14+Zbirka+zadataka+iz+matematike++za+V+i+VI

Mr Miroslav Kuka

Vesna Mijailovi}

ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE

za V I VI razred

sa teorijskim osnovama i re{enjima

MMI

PREDGOVOR

Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje

u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou V i VI razreda. Posebno smo

obratili pa`nju da sadràji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih

mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost,

svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima

re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enik

imati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek

primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na

svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava.

Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake

od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored

homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija

interesovanje u~enika za tako koncipirane sadràje.

Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo

svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani

Milovanov, Jeleni Vukovi} i Aleksandri Kneèvi} na podr{ci, sugestijama i tehni~koj

realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.

Autori

SADR@AJ Za{to i kako raditi zadatke iz matematike? V RAZRED 1. SKUPOVI 1.1. SKUPOVI I PODSKUPOVI 1.2. UNIJA, PRESEK I RAZLIKA SKUPOVA

Teorijske osnove sa primerima ......................................................3 Zadaci za samostalan rad..............................................................4 Re{enja ...........................................................................................6

1.3. SKUP PRIRODNIH BROJEVA. URE\ENJE U SKUPU No 1.4. IZRAZ SA PROMENLJIVOM

Teorijske osnove sa primerima ......................................................8 Zadaci za samostalan rad..............................................................9 Re{enja .........................................................................................10

2. SKUPOVI TAÂKA 2.1. GEOMETRIJSKE FIGURE KAO SKUPOVI TAÂKA 2.2. UNIJA, PRESEK I RAZLIKA SKUPOVA TAÂKA

Teorijske osnove sa primerima ....................................................11 Zadaci za samostalan rad............................................................14 Re{enja .........................................................................................15

2.3. KRU@NA LINIJA, KRU@NICA I KRUG 2.3.1. DVE KRU@NICE


3. UGAO 3.1. UGAO (NASTANAK, ELEMENTI, OBELE@AVANJE) 3.2. CENTRALNI UGAO, KRU@NI LUK, TETIVA I MERENJE UGLOVA 3.3. SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA 3.4. GRAFI^KO SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA


3.5. SUSEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI


3.6. PARALELNE PRAVE S TRANSVERZALOM I UGLOVI KOJE ONE ÎNE 3.7. UGLOVI SA PARALELNIM I NORMALNIM KRACIMA


4. DELJIVOST BROJEVA 4.1. OSNOVNI POJMOVI 4.2. PRAVILA O DELJIVOSTI BROJEVA 4.3. RASTAVLJANJE SLO@ENOG BROJA NA PROSTE ÎNIOCE 4.4. ZAJEDNI^KI ÎNILAC (DELILAC), NAJVE]I ZAJEDNI^KI ÎNILAC

(DELILAC) I NAJMANJI ZAJEDNI^KI SADR@ALAC


5. RAZLOMCI 5.1. POJAM RAZLOMKA I ME[OVITOG BROJA 5.2. DECIMALNI RAZLOMCI


5.3. PRO[IRIVANJE I SKRA]IVANJE RAZLOMKA


5.4. SABIRANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA


5.5. SABIRANJE I ODUZIMANJE DECIMALNIH BROJEVA


5.6. MNO@ENJE I DELJENJE RAZLOMAKA 5.7. MNO@ENJE I DELJENJE DECIMALNIM BROJEM 5.8. BROJNI IZRAZI


5.9. JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE U VEZI SA OSNOVNIM RAÛNSKIM OPERACIJAMA


5.10. RAZMERA I PROPORCIJA


6. OSNA SIMETRIJA 6.1. SIMETRIJA U ODNOSU NA RAVAN


6.2. OSNA SIMETRIJA JEDNE FIGURE


6.3. SIMETRALA DU@I


6.4. SIMETRALA UGLA

Teorijske osnove sa primerima ..................................................101 Zadaci za samostalan rad..........................................................103 Re{enja .......................................................................................103

VI RAZRED 1. CELI BROJEVI 1.1. SKUP CELIH BROJEVA. APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA


1.2. SABIRANJE, SVOJSTVA SABIRANJA I ODUZIMANJE


1.3. JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE U VEZI SA SABIRANJEM I ODUZIMANJEM


1.4. MNO@ENJE, SVOJSTVA MNO@ENJA I DELJENJE


1.5. JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE U VEZI SA MNO@ENJEM I DELJENJEM


2. RACIONALNI BROJEVI 2.1. SKUP RACIONALNIH BROJEVA. DECIMALNI ZAPIS RACIONALNOG

BROJA


2.2. SABIRANJE, SVOJSTVA SABIRANJA I ODUZIMANJE


2.3. JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE U VEZI SA SABIRANJEM I ODUZIMANJEM


2.4. MNO@ENJE. SVOJSTVA MNO@ENJA

2.5. DELJENJE (ZAPIS qp ) I DECIMALNI ZAPIS


2.6. IZRAZI SA RACIONALNIM BROJEVIMA


2.7. JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE U VEZI SA MNO@ENJEM I DELJENJEM


2.8. PROCENAT I PRIMENA PROCENTA


3. TROUGAO 3.1. POJAM TROUGLA 3.2. UGLOVI TROUGLA


3.3. ODNOS STRANA TROUGLA 3.4. ODNOS STRANA I UGLOVA U TROUGLU 3.5. VRSTE TROUGLOVA


3.6. KONSTRUKCIJA UGLOVA OD 600, 300, 900 I 750


3.7. PODUDARNOST TROUGLOVA


3.8. KONSTRUKCIJE TROUGLOVA


3.9. CENTAR KRUGA OPISANOG OKO TROUGLA 3.10. CENTAR KRUGA UPISANOG U TROUGLU 3.11. TE@I[TE TROUGLA 3.12. ORTOCENTAR TROUGLA


4. ÊTVOROUGAO 4.1. POJAM ÊTVOROUGLA 4.2. UGLOVI ÊTVOROUGLA


4.3. VRSTE ÊTVOROUGLA 4.4. ZAJEDNI^KE OSOBINE PARALELOGRAMA


4.5. KONSTRUKCIJE PARALELOGRAMA


4.6. TRAPEZ 4.7. DELTOID


5. POVR[INA ^ETVOROUGLA I TROUGLA 5.1. POVR[INA PRAVOUGAONIKA 5.2. POVR[INA KVADRATA


5.3. POVR[INA PARALELOGRAMA 5.4. POVR[INA ROMBA (JEDNAKOSTRANI^NOG PARALELOGRAMA)


5.5. POVR[INA TROUGLA


5.6. POVR[INA TRAPEZA


5.7. POVR[INA DELTOIDA 5.8. POVR[INA ^ETVOROUGLA SA NORMALNIM DIJAGONALAMA


PRILOZI

LITERATURA

ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE?

Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ili reprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se na osnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlika izme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorije koja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti), mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i teì: da se znanje koje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se poveù i shvate pojmovi, da se koriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd.

Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istraìva~kom radu. Sli~nost je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja, uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu i ma{ta moè da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problema sadrì u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veoma va`nu komponentu procesa obrazovanja. Ali, vratimo se postavljenom pitanju: kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike? îtanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da se

zadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bi se shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultat pravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi, {ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti.

Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojne vrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datim veli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izraza koji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka, izra~unava kona~an rezultat.

Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da se mnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" teè shvata i primenjuje.

Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakom konkretnom primeru.

Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka iz matematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da uloè ve}i napor da usvojena teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad. Unapred se radujemo njihovom uspehu.

196 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

3.9. CENTAR KRUGA OPISANOG OKO TROUGLA Ako u trouglu ABC (sl.19) povu~emo simetrale s1 i s2 njegovih strana a i b, one }e se prese}i u nekoj ta~ki S. Kako ta ta~ka leì na simetrali s1, ona je podjednako udaljena od krajeva B i C strane a. Me|utim, ona leì i na simetrali s2, pa je podjednako udaljena od krajeva A i C strane b. Dakle, ta~ka S je podjednako udaljena od sva tri temena trougla ABC. Ako rastojanje SA=SB=SC uzmemo za polupre~nik kruga, iz ta~ke S, kao centra, moèmo tim polupre~nikom opisati krug koji }e pro}i kroz sva tri temena trougla. Za takav krug kaèmo da je opisan oko trougla. Kroz presek S simetrala s1 i s2 prolazi i simetrala s3 strane c. Naime, svaka ta~ka simetrale s3 podjednako je udaljena od ta~aka A i B, a ta~ka S, kao {to smo videli, ima tu osobinu, pa je i ona na toj simetrali. Moèmo zaklju~iti: Sve tri simetrale strana trougla seku se u jednoj ta~ki, koja je centar kruga opisanog oko trougla. 3.10. CENTAR KRUGA UPISANOG U TROUGLU U trouglu ABC (sl.20a) povu~ena je simetrala AD unutra{njeg ugla BAC. Kako trougao ima tri ugla, o~igledno je da postoje i tri takve simetrale, kao {to vidimo na (sl.20b): AD, BE, CF; one se sve tri seku u jednoj ta~ki O. Ta ta~ka je podjednako

A

C

Sl. 19

Bs3s1 s2

S

b

c

a

A

Sl. 20

B

CD

C

A

ED

OF B

C

A

EO

F

D

B

P

R

Q

a) b)

c)

Trougao

197

udaljena od sve tri strane trougla (sl.20c). Zaista, ona je podjednako udaljena od krakova AB i AC ugla BAC, jer je na simetrali AD; zatim, ona je podjednako udaljena od krakova BA i BC ugla ABC, jer je na simetrali BE. Kako, me|utim, strane trougla leè na tim kracima, jasno je da je podjednako udaljena i od samih strana trougla, tj. OP=OQ=OR. Ako rastojanje OP uzmemo za polupre~nik kruga sa centrom u O i nacrtamo krug, on }e dodirivati strane trougla u ta~kama P, Q, R (sl.20c). Za takav krug kaèmo da je upisan u trouglu. Da bismo odredili ta~ku O, dovoljno je da povu~emo samo simetrale dva ugla trougla, jer i tre}a prolazi kroz tu ta~ku. Zaista, svaka ta~ka simetrale CF ugla ACB podjednako je udaljena od krakova CA i CB toga ugla, a ba{ tu osobinu ima i ta~ka O. Stoga je i ona na toj simetrali. Na osnovu toga moèmo zaklju~iti: Sve tri simetrale unutra{njih uglova trougla seku se u jednoj ta~ki, koja je centar kruga upisanog u trouglu. 3.11. TE@I[TE TROUGLA Du` koja spaja teme trougla sa sredinom naspramne strane zove se teì{na linija trougla; na primer, du` CD na (sl.21a). Ako, npr, trougao obesimo o konac, pri~vr{}en kod jednog temena trougla, tako da slobodno visi, vide}emo da }e teì{na linija pasti na istu pravu na kojoj leì i konac (pravac viska); ona pokazuje pravac dejstva sile teè kojom Zemlja privla~i predmete. Otuda i naziv teì{na linija.

Na (sl.21b) vidimo da trougao ima tri teì{ne linije: AD, BE, CF. Sve tri teì{ne linije trougla seku se u jednoj ta~ki. Ta ta~ka zove se teì{te trougla; na primer, ta~ka T na (sl.21b). Pa`ljivim crtanjem i merenjem moèmo se uveriti da teì{te T trougla deli svaku teì{nu liniju na dva dela tako da je deo od temena (na primer A) do teì{ta dvaput ve}i od dela koji leì izme|u teì{ta i sredine naspramne strane (ta~ka D), tj.

AT=2DT, ili AT=32 AD ili DT=

31 AD.

C

A

E T

F

D

BA

C

D B

Sl. 21

a) b)


3.12. ORTOCENTAR TROUGLA Jednu od strana trougla zovemo prema potrebi osnovica trougla, a druge dve kraci trougla. Teme naspram osnovice zove se vrh trougla. Duìna normale spu{tene iz vrha na osnovicu zove se visina trougla. Na primer, na (sl.22a) strana AB je osnovica trougla ABC, AC i BC njegovi kraci, C njegov vrh, CD=h njegova visina. Kako svaku stranu trougla moèmo izabrati za osnovicu, trougao ima tri visine; na primer ha, hb i hc, na (sl.22b). Kao {to se vidi, visinu obi~no obeleàvamo sa h kad je jedna (sl.22a i 22c), i sa ha, hb i hc (sl.22b) ili sa h1, h2 i h3 (sl.22d) kad ih je vi{e, isti~u}i tako stranu kojoj odgovara. Kod jednakokrakog trougla, kako smo pomenuli, za osnovicu se obi~no uzima strana koja je ve}a ili manja od ostale dve jednake strane trougla. U pravouglom trouglu svaka kateta je ujedno i visina trougla; ali kad se govori o visini pravouglog trougla, obi~no se misli na onu koja odgovara hipotenuzi. Na sl.22c) nacrtan je pravougli trougao KLM sa pravim uglom kod temena M; njegova visina je MN=h.

Kod o{trouglog trougla (sl.22b), podno`je svake visine pada na odgovaraju}u stranu; kod pravouglog trougla (sl.22c) podno`ja dve visine padaju u teme pravoga ugla, a podno`je tre}e visine pada na hipotenuzu; kod tupouglog trougla podno`ja dveju visina padaju na produètke odgovaraju}ih strana, a podno`je tre}e visine pada na stranu koja leì naspram tupoga ugla. Na (sl. 22, b, c i d) vidimo da se sve tri visine (ili prave na kojima one leè) seku u jednoj ta~ki. Ta ta~ka zove se ortocentar trougla. Ortocentar o{trouglog trougla pada u trougao (ta~ka O na sl.22b); pravouglog trougla u teme pravog ugla (ta~ka M na

A D

C

B

Sl. 22

h

DA

h

B

C

hha c b

b a

c

O

NK

h

L

M

a) b)

c) d)

P Q

R

h3h1

h2

S

Trougao

199

sl.22c) jer su katete ujedno i visine trougla; tupouglog trougla van trougla u presek pravih na kojima leè visine (ta~ka S na sl.22d). Pa`ljivim crtanjem i merenjem moèmo se uveriti da su sve tri visine jednakostranog trougla jednake me|u sobom, tj. h1=h2=h3 (sl.23b), a kod jednakokrakog trougla da su jednake one koje odgovaraju kracima (na sl.23a vidimo da je h2=h3).

êtiri ta~ke: centar opisanog i centar upisanog kruga, teì{te i ortocentar zovu se zna~ajne ta~ke trougla. ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1. Konstruktivno:

a) Upi{i kru`nicu u jednakostrani~an, jednakokrak i tupougli trougao. b) Opi{i kru`nicu oko jednakostrani~nog, jednakokrakog i tupouglog trougla. c) Odredi teì{te u jednakostrani~nom, jednakokrakom i tupouglom trouglu. d) Odredi ortocentar u jednakostrani~nom, jednakokrakom i tupouglom trouglu.

2. Konstrui{i jednakostrani~an trougao ako je dat: a) ru=1,5 cm b) ro=3 cm.

3. Opi{i kru`nicu oko pravouglog trougla, ako je: a) hipotenuza tog trougla 6 cm b) teì{na du` koja odgovara hipotenuzi 3 cm.

4. Teì{na du` koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli ga na 2 jednakokraka trougla. Dokaì.

5. Nacrtaj proizvoljan tupougli trougao i konstrukcijom odredi njegov ortocentar. 6. Konstrui{i jednakostrani~an trougao ako je data visina h=4,5 cm i odredi zna~ajne

ta~ke. 7.* Pre~nik upisane kru`nice pravouglog trougla jednak je razlici zbira kateta i

hipotenuze. Dokaì. 8.* Podno`je visine koja odgovara hipotenuzi deli hipotenuzu u razmeri 1:3.

a) Izra~unaj uglove tog trougla. b) Odredi (konstrui{i) zna~ajne ta~ke tog trougla.

a)

1h

h32h 2h 3h

h1

b)

Sl. 23


9. Odredi ta~ku koja je podjednako udaljena od 3 grada koja su raspore|ena u

obliku trougla (konstruktivno). 10. Konstruktivno odredi ta~ku koja predstavlja benzinsku pumpu, tako da je

podjednako udaljena od 3 puta koja se seku. RE[ENJA 1. a) Centar upisane kru`nice nalazi se u preseku simetrala uglova

sss=O OM=ru * Kod jednakostrani~nog trougla ta~ka O je centar opisane kru`nice, centar upisane kru`nice, ortocentar i te`i{te, tj. sve 4 karakteristi~ne ta~ke se poklapaju.

b) O1=sABsBCsAC

Centar opisane kru`nice trougla nalazi se u preseku simetrale stranica OA=OB=OC=ro

A M B

C

C

A BM

ssss

A

B

sM

s

C

O O O

C

A B A B

C

sCBsACsAC sCB

C A

B

sBC

ABs

OO

O

Trougao

201

C

T

CA B1

A1B1

BCs

C

B

A

ABs

T

1C

B1

A1

c) CC1AA1BB1=T ST:TC1=2:1 BT:TB1=2:1 AT:TA1=2:1 AA1, BB1, CC1 su teì{ne duì AB1=B1C; CA1=A1B; AC1=C1B

d) CC1=hc AA1=hb BB1= hb

2. Analiza: ru=1,5 cm

aau htr 31

31 ==

h=3 ru=h=31,5 cm CC1=h=4,5 cm CC1s (osa simetrije UABC) gACC1=gC1CB (300) gAC1C=gCC1B (900) Lako moèmo konstruisati UAC1C (USU) Konstrukcija: 1. Cs 2. l(C,r=h) 3. ls=C1 4. gC1=900 C1x 5. gC=300 Cy 6. CxCy=A 7. l1(C,r=CA) 8. l1p(AC1)=B 9. UABC

A B

C

1C

1B A1H

H

A

C BCC1AA1BB1=H H - ortocentar, ta~ka u kojoj se seku visine UABC.

C

BA C190

30

A C1

C

B

s

lx

y

l1


b) ro=3 cm ro= aa ht 3

232 = Konstrukcija isto kao i pod a).

3 cm= h32

9 cm=2h h=4,5 cm

3. Centar opisane kru`nice kod pravouglog trougla nalazi se na sredini hipotenuze. a) c=6 cm b) tc=3 cm

2tc=c c=6 cm

Svaka ta~ka kru`nice je tre}e teme trougla, tj. postoji beskona~no mnogo trouglova (razli~itih) ~iji je centar opisane kru`nice ta~ka O.

4. c=2tc UAOC i UCOB su jednakokraki AO=OC(tc) jer je: CO=OB(tc)

5. han, konstruisati normalu n iz ta~ke A (opis) l(A,r=O1=O2) la={1,2} s|1,2|=n Isti postupak izvesti iz temena B i C hahbhc=H H spolja{njoj oblasti UABC

C B

A

A B

1C

C

C2

C2

B

r

r

rr

r

r

BC

A

t c

t c

t cO

h

A

B

c

bh

ha

C

Hn

1 2

c

a

ba

Trougao

203

6. h=4,5 cm

ro= ( ) 23:5,45,432

32 == h =3 cm

ru= h31 =4,5:3=1,5 cm

ta=ha=tb=tc=hb=hc Sve zna~ajne ta~ke se poklapaju Ou=Oo=T=H Konstrukcija: CC1= h=4,5 cm CO=3 cm OC1=1,5 cm k(O,r=3 cm)l{A,B} UABC (opisana kru`nica k) k1(O,r=1,5 cm) - upisana kru`nica k1 BB1=AA1=CC1= tb=ta=tc=h O centar simetrije UABC Prave odre|ene visinama (teì{nim duìma) su ose simetrije jednakostrani~nog UABC

7.* êtvorougao MONC je kvadrat

CM=CN=NO=OM=r UAONUAOE UMOBUBOE AE=AN=b-r BE=BM=a-r AB=AE+EB c=b-r+a-r c=b+a-2r 2r=a+b-c

8.* Iz UARC +x=900 Iz UBRC +y=900 AR:RB=1:3 AP:PB=1:1 UAPC je jednakostrani~an =600 +=900 =300 Centar opisane kru`nice je ta~ka P; teme C je ortocentar (H).

1B

A 1C

O

C

B

1Ah =tc c

ah =tah =tb b

c

k

C

A

O

B

r

r

r

M

E

N

r

r

b-r

a-r

b-r

a-r

BC=H

A

hc

R

P

xy


9. A, B, C - data mesta

sABsBCsAC=O |OA|=|OB|=|OC| (osobina simetrale du`i: da je svaka ta~ka na njoj podjednako udaljena od krajnjih ta~aka du`i)

10. AB, AC, BC - putevi sgsgsg=O |OM|=|ON|=|OR| (osobina simetrale ugla: svaka ta~ka na njoj je podjednako udaljena od krakova ugla)

C

sBCACs

AB

sAB

O

As

O

C

BM

N

Rs

s

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice

14+Zbirka+zadataka+iz+matematike++za+V+i+VI

Documents

Transcript of 14+Zbirka+zadataka+iz+matematike++za+V+i+VI