imambukhari.weebly.com · Web view· Irisan (Intersection) Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A...

Matematika Dasar· Teori Himpunan· Relasi & Fungsi· Graph & Tree

© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.

anggota dari himpunan S, kita tulis x ∈ S,

kita tulis y ∉ S.

Teori HimpunanHimpunan adalah kumpulan dari obyek. Contoh :kumpulan dari 4 huruf a,b,c dan d merupakanhimpunan, dimana ditulis sbb:

L = { a, b, c, d }

Untuk mengindikasikan bahwa x merupakan

sedang y bukan merupakan anggota himpunan S,


Cara Penulisan Himpunan· Mendaftarkan semua anggotanya

Contoh:- A = {a,e,i,o,u}- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

· Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaContoh:- A = Himpunan vokal dalam abjad latin- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

· Menggunakan notasi pembentuk himpunanContoh:- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}

(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})- Q = { t | t biangan asli}

(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.

Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan Universal ( Semesta )

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Himpunan Universal :seluruh elemen yang mungkin adaU = { 1 , … , 10 }

Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan bagian (subset)

Jika setiap anggota himpunan A juga merupakananggota dari himpunan B, maka dapat dikatakan bahwaA merupakan ‘himpunan bagian’ dari B, maka ditulis

A ⊆ B.Contoh : A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A⊆B.


Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan disjoint

Jika setiap anggota himpunan A bukan merupakananggota dari himpunan B, maka dapat dikatakanbahwa A bukan merupakan ‘himpunan bagian’ dari B

Contoh : A = {1,2,3} dan B = {5,6}. Maka A ∩ B = ∅


anggota, dilambangkan dengan “∅” atau { }

Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan Kosong

Merupakan himpunan yang tidak mempunyai

S ∪∅ = S

∅ =

{ }

S ∩ ∅ = ∅ ∅ = Universal SetS- ∅ = S∅ -S =

©Imam Bukhari, S.Kom∅

Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Cardinalitas Himpunan

Untuk himpunan yang mempunyai nilai akhirA = { 2, 5, 7 }

|A| = 3

(ukuran set/himpunan)

Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Powersets

Powerset adalah Himpunan dalam himpunanS = { a, b, c }

Powerset dari S = himpunan dari seluruh subsets Ss

Observasi:© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.

2{Ø, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}

2 2 2 8

s 2 3

Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A ∪ B adalah suatu

Jadi A ∪ B = { x | x ∪ A atau x ∪ B }

A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5}

Operasi Himpunan· Gabungan (Union)

himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.

Contoh:


Operasi Himpunan· Irisan (Intersection)

Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A ∩ B adalah suatuhimpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.Jadi A ∩ B = { x | x ∩ A dan x ∩ B }Contoh:A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∩ B = {2,3}


Jadi A-B = { x | x ∈ A atau x ∉ B }

Operasi Himpunan· Selisih (Difference)

Selisih himpunan antara himpunan A dan himpunan B ditulisdengan A–B, dimana himpunan yang terdapat pada himpunan Atetapi tidak terdapat pada himpunan B.

Contoh :A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A-B = {1}


Jadi = { x | x ∈ S, x ∉ A }

Operasi Himpunan· Komplemen

Komplemen dari A ditulis dengan “ A “ adalah himpunanyang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukanberada di A.

AU={1,2,3,...7}. Jika A = {1,2,3} maka A = {4,5,6,7}


Pasangan berurutan (Ordered Pair)Pasangan berurutan berisi dua obyek yangmempunyai urutan yang telah tetap. Pasanganberurutan memperhatikan urutan obyek, makadua pasangan berurutan sama apabilamemenuhi aturan berikut:

( x, y) (u, v) (( x u) dan ( y v))

( x, y, z) (u, v, w) (( x u) dan ( y v) dan ( z w))

Cartesian Product

Perkalian antar himpunan

A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 }

A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) }

|A X B| = |A|.|B| 2 . 3 6


▫ s ∈ S ( s anggota dari S)▫ t ∈ T

Relasi· Relasi antar himpunan S dan T adalah

himpunan dari pasangan berurutan (s,t)dimana:

▫ Himpunan dari elemen pertama disebut“DOMAIN” dari relasi.

▫ Himpunan dari elemen kedua disebut “RANGE”dari relasi.


· Misal S={a,b,c,d,e} danT={w,x,y,z}

· Relasi yang terjadi:R={(a,y),(c,w),(c,z),(d,y)}


Fungsi· Misalkan setiap elemen S dengan tepat

mempunyai 1 pasangan di elemen T (menjadielemen pertama dari pasangan berurutan). Relasiini disebut dengan “FUNGSI”.

S Tf(a)=x

f:S T© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.

Graph & Tree· Graph G terdiri dari himpunan hingga V dari

obyek disebut “Vertices/titik/node”, himpunanhingga E dari obyek disebut “Edges/tepi/garis”,dan fungsi γ yang memetakan setiap edge subset{v,w}, dimana v dan w adalah vertices.

· Dapat ditulis:


G {V , E, }

Macam Graph· Ditinjau dari arahnya, graph dibagi menjadi 2, yaitu:

1. Graph berarah (directed graph)

1. Graph tidak berarah (undirected graph)


Contoh Graph· Misalkan :

V {1,2,3,4}dan E {e1, e2 , e3 , e4 , e5}

dengan γ didefinisikan sbb:

(e1) (e5 ) {1, 2} (e2 ) {4, 3} (e3 ) {1, 3} (e4 ) {2, 4}


· Graph untuk G {V , E, } sbb:

e5

e1


e3

e2

e4

Definisi-definisi dalam Graph· Derajat dari node: derajat dari suatu node

dihitung dari jumlah busur yang terhubung dengannode itu.Contoh derajat node 1 adalah 3.

· Grap terhubung: jika setiap pasang simpul x dany, terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y.

· Panjang lintasan: banyaknya sisi yang dilaluilintasan tsb.


Definisi-definisi dalam Graph· Lintasan: urutan node, atau sisi yang dibentuk dari

satu simpul ke simpul yang lain (rangkaian node yangterhubung dengan busur).

Lintasan: (e, d), (d, c), (c, a)© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.

Definisi-definisi dalam Graph· Path: lintasan dimana tidak ada node yang

diulang


Definisi-definisi dalam Graph· Sirkuit/cycle: lintasan yang memiliki node awal

dan node akhir yang sama (lintasan yangkembali ke node awal).


Contoh Soal :· Temukan seluruh path sederhana


· Langkah 2

(c,(c,(c,(c,(c,

a)a), (a, b)e)e), (e, b)e), (e, d)


· Langkah 3

(c,(c,(c,(c,(c,(c,

a)a), (a, b)a), (a, b), (b, e)e)e), (e, b)e), (e, d)


· Langkah 4

(c,(c,(c,(c,(c,(c,(c,

a)a), (a, b)a), (a, b), (b, e)a), (a, b), (b, e), (e,d)e)e), (e, b)e), (e, d)


Tree· Tree: graph terhubung yang tidak memiliki

Sirkuit/cycle. Tree terdiri dari Root (akar),dan leave (daun)


Definisi-definisi dalam Tree· Root/akar: simpul tertinggi dalam Tree.· Leaf/daun: simpul yang tidak memiliki anak

lagi.· Branch/cabang: simpul-simpul selain daun.· Dalam sebuah Tree berlaku:

n = s + 1dimana:n = banyaknya simpuls = banyaknya sisi


Kedalaman suatu Tree


Binary Tree / Pohon biner· Tree yang setiap cabangnya paling banyak

memiliki dua anak


imambukhari.weebly.com · Web view· Irisan (Intersection) Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A...

Documents

Transcript of imambukhari.weebly.com · Web view· Irisan (Intersection) Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A...