APLIKASI

INTEGRAL

)(0,|),( xfybxayxD =

7.1 Menghitung Luas Daeraha. Misalkan daerah

a b

f(x)

D

Luas D = ?

x

Langkah :1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah

irisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas (lebar) ∆𝑥

xxfA )(

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

b

a

dxxf )(Luas D = A =

3

8

3

12

0

3

2

0

2 =

== xdxxA

2xy =

Contoh 1 : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 sumbu x, dan x = 2.

2

Luas irisan

x

2x

xxA 2

Luas daerah

3

8

3

12

0

3

2

0

2 =

== xdxxA

)()(,|),( xhyxgbxayxD =

x

xxgxhA − ))()((

b) Misalkan daerahh(x)

g(x)

a b

Luas D = ?

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas(lebar) ∆𝑥.

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D = A = −

b

a

dxxgxh ))()((

D h(x)-g(x)

22 −= xy

24 2 −=+ xx

22 −= xy

xxxA −−+ ))2()4(( 2

Contoh 2: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 4 dan parabola

062 =−− xx

0)2)(3( =+− xx

Titik potong antaragaris dan parabola

y=x+4

-2 3 x = -2, x = 3x

)2()4( 2 −−+ xx

Luas irisan

− −

++−=−−+=

3

2

3

2

22 )6())2()4(( dxxxdxxxA

6

1256

2

1

3

13

2

23 =

++−=

−

xxx

Sehingga luas daerah :

Catatan :

• Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x, maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah.

• Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih.

2xy =

022 =−+ xx

xxA 2

1

xxA +− )2(2

Contoh 3: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,2xy = dan y = -x + 2

Jawab :

Titik potong

22 +−= xx

2

0)1)(2( =−+ xx

x = -2, x = 1

y=-x+2

1

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian

xx

Luas irisan I

Luas irisan II

xxA 2

1

===

1

0

1

0

3

312

13

1|xdxxA

Luas daerah I

Luas daerah II2

1

2

21

2

1

2 |22 xxdxxA +−=+−=

2

1)2()42(

21 =+−−+−=

Sehingga luas daerah

6

5

2

1

3

121 =+=+= AAA

)()(,|),( yhxygdycyxD =

y

−

d

c

dyygyh ))()((

yygyhA − ))()((

c). Misalkan daerah

h(y)

g(y)

c

dD

Luas D = ?

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi h(y)-g(y) dan alas (lebar)

y

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnyadiperoleh:

y

Luas D = A =

h(y)-g(y)

23 yx −=

231 yy −=+

022 =−+ yy

1−= xy

23 yx −=

Contoh 4: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

dan 1−= xy

Jawab :

Titik potong antara garis danparabola

0)1)(2( =−+ yy

y = -2 dan y = 1

-2

1

y

)1()3( 2 +−− yy

Luas irisan

2((3 ) ( 1))A y y y − − +

−

+−−=

1

2

2 ))1()3(( dyyyL −

+−−=

1

2

2 )2( dyyy

.2

92

2

1

3

11

2

23 =

+−−=

−

yyy

Sehingga luas daerah :

Catatan :

• Jika irisan sejajar dengan sumbu x, maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.

• Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

Carilah luas daerah yang dibatasi oleh :

a. Kurva y = x3 + x +15, garis x = -2, x = 1, dan sumbu x

b. Kurva y2 = x – 1, garis y = -4, y = 2, dan sumbu y

c. Kurva x2 = 2 – y dan garis y = x

d. Kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

e. Kurva x = 4 - y2 , garis x + y – 2 = 0

f. Kurva y = x2 + 3, kurva y = -x2 + 1, garis x = -3, dangaris 7x + y = 11

)(0,|),( xfybxayxD =

7.2 Menghitung volume benda putar

7.2.1 Metoda Cakram

a. Daerah diputar terhadap sumbu x

a b

f(x)

D

Benda putarDaerah D

? Volume benda putar

x

a b

f(x)

D

x

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengantinggi f(x) dan alas ∆𝑥 diputar terhadapsumbu x akan diperoleh suatu cakramlingkaran dengan tebal ∆𝑥 danjari-jari f(x),

xxfV )(2

=

b

a

dxxfV )(2

sehingga

f(x)

Catatan: jari-jari = jarak dari sumbu putar ke batas daerah

2x x

x

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dangaris x = 2 diputar terhadap sumbu x

2xy =

2xy =

2x

2x

Jika irisan diputar terhadap sumbu x

akan diperoleh cakram dengan jari-jari

dan tebal

Sehingga

xxxxV = 422 )(

Volume benda putar

===

2

0

2

0

54

5

32|

5

xdxxV

2x

)(0,|),( ygxdycyxD =b. Daerah

diputar terhadap sumbu y

c

d

x=g(y)

D

Daerah D Benda putar? Volume benda putar

c

d

y

y

y

yygV )(2

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

c

d

x=g(y)

D

y

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danjari-jari g(y).

)(yg

sehingga

=

d

c

dyygV )(2

2xy =

2xy =

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah yang dibatasi oleh , garis y = 4, dansumbu y jika diputar terhadap sumbu y

4

y

Jika irisan dengan tinggi dan tebaldiputar terhadap sumbu y akan diperolehcakram dengan jari-jari dan tebal

y

y y

y y

y

y

Sehingga

yyyyV == 2)(

Volume benda putar

===

4

0

4

0

2 8|2

yydyV

yx =

)()(,|),( xhyxgbxayxD =

7.2.2 Metoda Cincin

a. Daerah diputar terhadap sumbu x

h(x)

g(x)

a b

D

Daerah D Benda putar

? Volume benda putar

x

x

x

h(x)

g(x)

a b

x

D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekataniris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x) - g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).

sehingga xxgxhV − ))()(( 22

−=

b

a

dxxgxhV ))()(( 22

h(x)

g(x)

Catatan penting !Jari-jari luar = jarak dari sb putar ke batas daerah paling luarJari-jari dalam = jarak dari sb putar ke batas daerah paling dalam

2xy =

x

2 1x +

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasioleh 𝑦 = 𝑥2, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap garis y = -1

2

y=-1

1

21 x+D

Jika irisan diputar terhadap garis y = 1akan diperoleh suatu cincin dengan

jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar

Sehingga

xxV −+= )1)1(( 222

xxx −++= )112( 24

xxx += )2( 24

2

4 2 5 3 2 32 16 1761 205 3 5 3 15

0

2 ( | ) ( )V x x dx x x = + = + = + =Volume bendaputar :

)(0,|),( xfybxayxD =

7.2.3 Metoda Kulit Tabung

Diketahui

f(x)

a b

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

Daerah D Benda putar

Volume benda putar ?

Ilustrasi metode kulit tabung

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas ∆𝑥 serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y

akan diperoleh suatu kulit tabung dengantinggi f(x), jari-jari x, dan tebal ∆𝑥

x

x

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekataniris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x)

a b

D

x

f(x)

x

sehingga xxfxV )(2

=

b

a

dxxxfV )(2

Catatan penting!Jari-jari = jarak dari partisi ke sumbu putar.

Jika irisan dengan tinggi 𝑥2 ,tebal ∆𝑥dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabungdengan tinggi 𝑥2 , tebal ∆𝑥 dan jari jari x

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥2 , sumbu x, dangaris x = 2 diputar terhadap sumbu y

2xy =

x 2

2xD

x

Sehingga

xxxxxV == 32 22

Volume benda putar

===

2

0

2

0

43 8|2

2

xdxxV

Catatan :

-Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh: Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola 𝑦 = 𝑥2, garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4b. Garis x = 3

=−=−=−=

2

0

15224

532

3642

0

5

513

3842 )(|)()8( xxdxxxV

a. Sumbu putar y = 4

(i) Metoda cincin

2xy =

2

D

y=4

x

Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = )4( 2xrd −=)4( 2x−

Jari-jari luar =4 4=lr

Sehingga

xxV −− ))4()4(( 222

xxx −= )8( 42

Volume benda putar

(ii) Metoda kulit tabung

2xy =

2

D

y=4

y

y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh kulit tabung dengan

Jari-jari = r =y−4

y−4

y−2

Tinggi = h = y−2

Tebal = y

Sehingga

yyyV −− )2)(4(2

yyyyy +−−= )248(2Volume benda putar

+−−=

4

0

)248(2 dyyyyyV 4

0

2/5

5222/3

38 |)8(2 yyyy +−−=

15224=

b. Sumbu putar x=3

(i) Metoda cincin

2xy =

2

D

y

x = 3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam =

1

1=dr

Jari-jari luar =

3

y y−3

yrl −= 3

Sehingga

yyV −− ))1()3(( 22

yyy +−= )68(

Volume benda putar

dyyyV +−=

4

0

)68( 8)|848( 4

0

2/3 =+−= yy

(ii) Metoda kulit tabung

2xy =

2

D

x

x=3

x

Jika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h =

2x

2x

Jari-jari = r =

3

3-x

3-x

Tebal = x

Sehingga

xxxV − 2)3(2

xxx −= )3(2 32Volume benda putar

−=

2

0

32 )3(2 dxxxV 8)48(2|)(2 2

0

4

413 =−=−= xx

A. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadapsumbu x

1. 2dan,0,3 === xyxy

2. 0dan9 2 =−= yxy

3. xyxy 4dan2 ==

4.

2 2dany x x y= =5.

2 , ,dan 4y x sb y y= =

Latihan Soal

B. Daerah D dibatasi oleh kurva 𝒚 = 𝒙 dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (4) sumbu y(2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4

C. Daerah D dibatasi oleh parabol 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 dan garis x + y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1