Dadang Amir Hamzah · PDF fileMatematika II : Aplikasi Integral Dadang Amir Hamzah sumber :...

Matematika II : Aplikasi Integral

Dadang Amir Hamzah

sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg

2016

Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 58

Outline

1 Luas Antara Kurva

2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus


Outline

1 Luas Antara Kurva



Luas Antara Kurva

Misalkan f(x) ≥ g(x) untuk setiap x ∈ [a, b].

Misalkan S adalah daerah pada bidang antara grafik f(x) dang(x), a ≤ x ≤ b.

Bagaimana menghitung luas S?


Luas Antara Kurva

Misalkan f(x) ≥ g(x) untuk setiap x ∈ [a, b].Misalkan S adalah daerah pada bidang antara grafik f(x) dang(x), a ≤ x ≤ b.

Bagaimana menghitung luas S?


Luas Antara Kurva

Langkah pertama adalah membagi selang [a, b] menjadi n bagiandengan menggunakan partisi

P : a < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b.

Hampiri daerah S oleh persegi panjang yang panjang alasnya∆xi = xi − xi−1 dan tingginya f(x∗i )− g(x∗i ). Jadi luas hampirannya adalah

∆Si ≈ (f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi

Apabila f dan g terintegral, dapat dipilih x∗i = xi


Luas Antara Kurva

Maka secara intuitif

Luas(S) =

n∑i=1

∆Si ≈n∑i=1

(f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi

Luas daerah S, Luas(S) didefinisikan sebagai nilai limit jumlahRiemann diatas

Luas(S) = lim|P |→0

n∑i=1

(f(x∗i )− g(xi)∗)∆x =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

atau bila f dan g terintegral,

limn→∞

n∑i=1

(f(x∗i − g(x∗i ))∆x =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx


Definisi Daerah Antara Dua Kurva

DefinisiJika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a, b] dan f(x) ≥ g(x) untuksetiap x ∈ [a, b], maka luas daerah yang dibatasi oleh grafiky = f(x), y = g(x), dan dua garis veritkal x = a dan x = b adalah

A =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx


Luas Daerah Dibawah Kurva

Jika S adalah daerah dibawah kurva f(x) ≥ 0, antara x = a dan x = b,maka S dapat dipandang sebagai daerah antara y = f(x) dany = g(x) = 0 (xb-x). Maka

Luas(S) =

∫ b

af(x)dx


Langkah Umum

1 Selalu mulai dengan sketsa kedua kurva.

2 Tentukan mana yang atas yA dan mana yang bawah yB,kemudian sketsa satu contoh persegi panjang yang digunakanuntuk menghampiri

3 Slice - Approximate - Integrate :I. Slice : Lakukan partisi P = {x0, x1, . . . , xn}II. Approximate : Buat persegi panjang yang menghampiri komponen

luas ∆Ai antara x = xi−1 dan x = xi, dan tentukan luashampirannya.

∆Ai ≈ (yA − yB)∆xIII. Integrate : Maka luasnya adalah

A = limn→

n∑i=1

(yA − yB)∆x =

∫ b

a

(yA − yB)dx


Langkah Umum

1 Selalu mulai dengan sketsa kedua kurva.2 Tentukan mana yang atas yA dan mana yang bawah yB,

kemudian sketsa satu contoh persegi panjang yang digunakanuntuk menghampiri

3 Slice - Approximate - Integrate :I. Slice : Lakukan partisi P = {x0, x1, . . . , xn}II. Approximate : Buat persegi panjang yang menghampiri komponen

luas ∆Ai antara x = xi−1 dan x = xi, dan tentukan luashampirannya.

∆Ai ≈ (yA − yB)∆xIII. Integrate : Maka luasnya adalah

A = limn→

n∑i=1

(yA − yB)∆x =

∫ b

a

(yA − yB)dx


Contoh

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dany = 2x− x2


Contoh

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dany = 2x− x2Solusi :Tentukan titik potongnya : Menyelesaikan x2 = 2x− x2 atau2x2 − 2x = 0.Jadi, 2x(x− 1) = 0. Keduanya berpotongan di x = 0 dan x = 1.

Diperoleh yA = 2x− x2 dan yB = x2 dan 0 ≤ x ≤ 1.


Luas persegi panjang hampirannya adalahL ≈ (yA − yB)∆x) = ((2x− x2)− x2)∆x.

Maka L =∫ 10 ((2x− x2)− x2)dx =

∫ 10 (2x− 2x2)dx = 1

3 .


Luas persegi panjang hampirannya adalahL ≈ (yA − yB)∆x) = ((2x− x2)− x2)∆x.Maka L =

∫ 10 ((2x− x2)− x2)dx =

∫ 10 (2x− 2x2)dx = 1

3 .


Interpretasi

Kurva A dan B menyatakan laju dua kendaraan yang melakukanbalapan. Berikan interpretasi luas daerah antara A dan B, 0 ≤ t < 16.


Luas daerah kurva kecepatan A menyatakan jarak yang telahditempuh oleh mobil A dalam selang waktu 16 detik.

Luas daerah kurva kecepatan B adalah jarak yang telah ditempuholeh mobil A dalam selang waktu 16 detik.


Luas daerah kurva kecepatan A menyatakan jarak yang telahditempuh oleh mobil A dalam selang waktu 16 detik.Luas daerah kurva kecepatan B adalah jarak yang telah ditempuholeh mobil A dalam selang waktu 16 detik.


Maka luas daerah diantara kedua kurva kecepatan menyatakan jarakantara kedua mobil pada detik ke 16


Untuk menentukan luas daerah antara y = f(x) dan y = g(x)harus ditentukan selang dimana f(x) ≥ g(x) dan selang dimanaf(x) ≤ g(x).Luas daerah antara kurva y = f(x) dan y = g(x) adalah

S1 + S2 + S3 =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx

karena

|f(x)− g(x)| ={f(x)− g(x), jika f(x) ≥ g(x)g(x)− f(x), jika g(x) ≥ f(x)


Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin(x) dany = cos(x), x = 0 dan x = π/2.sss

Maka,

A = A1 +A2 =

∫ π/4

0(cos(x)− sin(x))dx+

∫ π/2

π/4(sin(x)− cos(x))dx


Ada situasi dimana sebaiknya kita memandang x sebagai fungsidari y.

I Jika f(y) ≤ g(y) untuk semua y, c ≤ y ≤ d, maka luasnya adalahA =

∫ d

c(f(y)− g(y))dy


Definisi

Jika xR(y) dan xL(y) masing-masing adalah kurva batas kanan dankiri sebuah daerah, maka luas daerah tersebut adalah

A =

∫ d

c[xR(y)− xL(y)]dy


DefinisiJika x = f(y) dan x = g(y) kontinu pada interval [c, d] dan f(y) ≥ g(y)untuk setiap y ∈ [c, d], maka luas daerah yang dibatasi oleh grafikx = f(y), x = g(y), dan dua garis horizontal y = c dan y = d adalah

A =

∫ d

c[f(y)− g(y)]dy


Contoh

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x− 1 dan y2 = 2x+ 6.


Contoh

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x− 1 dan y2 = 2x+ 6.

Cara I : Memandang x sebagai fungsi dari y

A =

∫ 4

−2

(y + 1−

(y22− 3))

dy = 18


Memandang y sebagai fungsi dari x

A =

∫ 1

−32(√

2x+ 6)dx+

∫ 5

−1

(√2x+ 6− (x− 1)

)dx = 18


Outline

1 Luas Antara Kurva



Volume Silinder Umum


Benda Pejal

Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.

Strategi: Slice-Approximate-Integrate.

I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.

I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.

I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.

Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.


Benda Pejal

Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.

I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.

I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.

I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.

Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.


Partisi interval [a, b] dengan himpunan titik pembagi

P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .

Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,

∆Vi ≈ A(x∗i )∆xi.



P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.

Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,




P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]

Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,




P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,



V =

n∑i=1

∆Vi ≈n∑i=1

A(x∗i )∆xi

Jadi,

V = lim|P |→0

n∑i=1

A(x∗i )∆xi =

∫ b

aA(x)dx


Definisi Volume

DefinisiJika S adalah benda pejal yang terletak pada x = a dan x = b, sertapenampang terhadap bidang lurus Px yang melalui x ∈ [a, b] diketahuiadalah A(x) kontinu, maka

V =

∫ b

aA(x)dx


Volume Bola

Perlihatkan bahwa volume bola dengan radius r adalah V = 4π3 r

3.

Luas penampang A(x) = πy2 = π(r2 − x2)


Volume Bola

Perlihatkan bahwa volume bola dengan radius r adalah V = 4π3 r

3.Luas penampang A(x) = πy2 = π(r2 − x2)


Volume Bola

C =

∫ r

−rA(x)dx =

∫ r

−rπ(r2 − x2)dx =

4

3πr3


Outline

1 Luas Antara Kurva



Contoh

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh grafik y =√x, x = 1, dan

y =√x. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan

memutar S terhadap sumbu-x.

V =

∫ 1

0π(√x)2dx


Contoh

Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar daerah yangdibatasi y − x3, y = 8, dan sumbu-y, terhadap sumbu-y.


Solusi

A(y) = πx2 = π( 3√y)2 = πy2/3

Volume cakram hampiran ∆V = A(y)dy = πy2/3dy, 0 ≤ y ≤ 8

Maka volumenya adalah

V =

∫ 8

0A(y)dy =

∫ 8

0πy2/3dy = π

3

5y5/3

∣∣∣∣80

=96

5π


Problem

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x.Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar Rterhadap sumbu-x.


Problem

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x.Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar Rterhadap sumbu-x.Titik potong : x2 = x maka x2 − x = x(x− 1) = 0. Jadi, keduanyaberpotongan di x = 0 dan x = 1. Penamppangnya berupa dualingkaran sepusat (cincin) dengan luas cicin : π(rluar)

2 − π(rdalam)2


Solusi:

rluar = x dan rdalam = x2. Maka

A(x) = πx2 − πx4.

Volume benda

V =

∫ 1

0(πx2 − πx4)dx =

[π3x3 − π

5x5]10

=2π

15


Solusi:rluar = x dan rdalam = x2. Maka

A(x) = πx2 − πx4.

Volume benda

V =

∫ 1

0(πx2 − πx4)dx =

[π3x3 − π

5x5]10

=2π

15


Metode Cakram dan Washer

Pada contoh diatas kita menyelesaikan masalah penentuanvolume benda putar dengan menggunakan metode cakram atauwasher.

C =

∫ b

aA(x)dx atau V =

∫ d

cA(y)dy

dengan A(x) = π(rluar(x))2 − π(rdalam(x))2.

Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakramJika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.




C =

∫ b

aA(x)dx atau V =

∫ d

cA(y)dy


Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakram

Jika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.




C =

∫ b

aA(x)dx atau V =

∫ d

cA(y)dy


Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakramJika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.


Contoh

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y =√x.

Kemudian daerah S diputar terhadap garis x = −1 menghasilkansuatu benda padat. Tentukan volume benda padat tersebut.


Contoh

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y =√x.

Kemudian daerah S diputar terhadap garis x = −1 menghasilkansuatu benda padat. Tentukan volume benda padat tersebut.

Titik potong : x =√x atau x−

√x = 0. Faktorkan,√

x(√x− 1) = 0. Maka titik potong adalah x = 0 dan x = 1.

Radius luar: rluar(x) = 1 +√x dan radius dalam rdalam(x) = 1 + x.


Titik potong : x =√x atau x−

√x = 0. Faktorkan,√

x(√x− 1) = 0. Maka titik potong adalah x = 0 dan x = 1.

Radius luar: rluar(x) = 1 +√x dan radius dalam rdalam(x) = 1 + x.

S(y) = π(rluar(y))2 − π(rdalam(y))2 = π(1 +√y)2 − π(1 + y)2

Maka

V =∫ 10

(π(1 +

√y)2 − π(1 + y)2

)dy

= π∫ 10

(1√y − y2 − y

)dy = π

2


Diperlukan metode alternatif

ProblemDaerah D dibawah grafik y = 22 − x3 diputar terhadap sb-y. Tentukanvolume benda padat (solid) yang diperoleh.


Metode Shell (Kulit Tabung)

Misalkan S adalah daerah dibawah kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b.

Kemudian S diputar terhadap sb-y


Metode Shell (Kulit Tabung)

Misalkan S adalah daerah dibawah kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b.Kemudian S diputar terhadap sb-y


Kulit Tabung

Slice : Partisi interval [a, b] menjadi

P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}, xi−1 < xi.

Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :

I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:

F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗

i ), danF tebal ∆xi


Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :

I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:

F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗

i ), danF tebal ∆xi


Volume tiap Kulit Tabung / Silinder

Volume kulit tabung adalah selisih volume silinder luar denganradius r2 dan vlume silinder dalam dengan radius r1

ddV = V2 − V1

= πr22h− πr21h= π(r22 − r21)h= π(r2 + r1)(r2 − r1)h= 2π

(r2+r1

2

)(r2 − r1)h

= 2π(r2+r1

2

)h∆r

MakaV = 2π r h∆r

dengan r = r2+r12 adalah rata-rata radius luar dan dalam


Volume tiap Kulit Tabung / Silinder

Volume kulit tabung adalah selisih volume silinder luar denganradius r2 dan vlume silinder dalam dengan radius r1dd

V = V2 − V1= πr22h− πr21h= π(r22 − r21)h= π(r2 + r1)(r2 − r1)h= 2π

(r2+r1

2

)(r2 − r1)h

= 2π(r2+r1

2

)h∆r

MakaV = 2π r h∆r

dengan r = r2+r12 adalah rata-rata radius luar dan dalam


Volume kulit tabung adalah

V = 2π r h∆r

V = [keliling] [tinggi] [tebal]

∆Vi = [2π x∗i ] [f(x∗i )] ∆xi

dengan x∗i = xi+xi−1

2


Maka volume total adalah

∆Vi ≈ [2π xx̄2] [f(x̄i)] ∆xi

V = lim‖P‖→∞∑n

i=1 2π x̄i f(x̄i) ∆xi

Dari jumalah Riemann diperoleh

V =

∫ b

a2π x f(x) dx


Volume tiap silinder: Alternatif

Gunting secara vertikal dan ratakan sehingga diperoleh balok tipissebagai berikut :

∆Vi ≈ [2π x̄i] [f(x̄i)] ∆xi

V = lim‖P‖→∞∑n

i=1 2π x̄i f(x̄i) ∆xi


Kembali ke problem semula

Dengan menggunakan metode kulit tabung, volume

V =

∫ 2

02π x(2x2 − x3) dx = . . .


Contoh 1

Daerah yang dibatasi kurva y = x dan y =√x diputar terhadap

sumbu-y. Tentukan volume benda yang dihasilkan.


Contoh 1

Daerah yang dibatasi kurva y = x dan y =√x diputar terhadap

sumbu-y. Tentukan volume benda yang dihasilkan.

Solusi :Radiusnya adalah r = x, 0 ≤ x ≤ 1, tinggi h = x− x2. Maka∆V = 2π x(x− x2) ∆x.

V =

∫ 1

02π x (x− x2) dx =

π

6


Contoh 2

Daerah R dibatasi oleh kurva x = y2 dan x = 1 kemudian diputarterhadap sumbu-x. Tentukan volume benda yang dihasilkan.


Contoh 2

Daerah R dibatasi oleh kurva x = y2 dan x = 1 kemudian diputarterhadap sumbu-x. Tentukan volume benda yang dihasilkan.

Solusi :Radiusnya adalah y, 0 ≤ y ≤ 1, tinggi h = 1− y2. Maka∆V = 2π y (1− y2) ∆x.

V =

∫ 1

02π y(1− y2) dy =

π

2


Contoh 3

Putar daerah dibawah kurva y = x− x2 terhadap garis x = 2.Tentukan volumenya.


Contoh 3

Putar daerah dibawah kurva y = x− x2 terhadap garis x = 2.Tentukan volumenya.

Solusi :Elemen volume ∆Vi : radius r = 2− x, tinggi h = x− x2,0 ≤ x ≤ 1. Maka

∆Vi ≈ [2π (2− xi)] [xi − x2i ] ∆xi

Volume total

V =∫ 10 2π (2− x) (x− x2) dx


Exercise

Hitung volume benda putar yang dihasilkan dari memutar daerah Ryang dibatasi oleh kurva y = 3 + 2x− x2, garis x = 0 dan y = 0terhadapa. sumbu-x, b. sumbu-y,c. garis y = −1, d. garis x = 4.


Outline

1 Luas Antara Kurva



Benda Pejal

Benda pejal berikut mempunyai alas berupa lingkaran satuanx2 + y2 = 1. Penampang terhadap bidang tegak lurus sumbu-x berupasegitiga sama sisi. Tentukan volumenya.


Solusi:Untuk setiap x, −1 ≤ x ≤ 1, penampang berupa segitiga samasisi dengan panjang sisi 2y = 2

√1− x2

Tinggi segitiga adalah√

3√

1− x2.Maka luasnya adalah

A(y) =1

2

(√3√

1− x3)(

1√

1− x2)

=√

3(1− x2)

Volumenya adalah

V =

∫ 1

−1

√3(1− x3) dx =

4

3

√3



√1− x2


3√

1− x2.

Maka luasnya adalah

A(y) =1

2

(√3√

1− x3)(

1√

1− x2)

=√

3(1− x2)

Volumenya adalah

V =

∫ 1

−1

√3(1− x3) dx =

4

3

√3



√1− x2


3√

1− x2.Maka luasnya adalah

A(y) =1

2

(√3√

1− x3)(

1√

1− x2)

=√

3(1− x2)

Volumenya adalah

V =

∫ 1

−1

√3(1− x3) dx =

4

3

√3


Benda Pejal

Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.


Benda Pejal


Perhatikan gambar

garis OP mempuntai persamaan y = L2hx

Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx

Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =

[s(x)

]2=(Lx

)2x2

Volumenya adalah

V =

∫ h

0A(x)dx =

∫ h

0

L2

h2x2dx


Benda Pejal


Perhatikan gambar



Atau gunakan sifat segitiga sebangun.

Jadi, luas penampang adalah A(x) =[s(x)

]2=(Lx

)2x2

Volumenya adalah

V =

∫ h

0A(x)dx =

∫ h

0

L2

h2x2dx


Benda Pejal


Perhatikan gambar



Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =

[s(x)

]2=(Lx

)2x2

Volumenya adalah

V =

∫ h

0A(x)dx =

∫ h

0

L2

h2x2dx


Problem

Sebuah benda padat terbuat dari kayu berbentuk silinder denganradius 4. Benda tersebut dipotong sepanjang bidang tegak lurussumbu kayu, kemudian dipotong lagi sepanjang bidang yangmembentuk sudut 30◦ dengan bidang pertama sepanjang diameter.Tentukan volumenya.


Tempatkan benda pada bidang xy sehingga alasnya berupasetengah lingkaran y2 + x2 ≤ 16, y ≥ 0, −4 ≤ x ≤ 4

ss

Penampang tegak lurus sumbu-x berupa segitiga siku-sikudengan alas dan tinggi:

s(x) =√

16− x2 t(x) = tan(30◦)s(x) =

√16− x2√

3

Luas penampangnya adalah

A(x) =s(x)t(x)

2=

16− x2

2√

3


dan volumenya

V =∫ 4−4A(x)dx =

∫ 4−4

(16−x22√3

)dx

= 12√3

(16x− x2

3

)∣∣∣∣4−1

= 1283√3

Alternatif


Dadang Amir Hamzah · PDF fileMatematika II : Aplikasi Integral Dadang Amir Hamzah sumber :...

Documents

Transcript of Dadang Amir Hamzah · PDF fileMatematika II : Aplikasi Integral Dadang Amir Hamzah sumber :...