บทที่ 6 การแปลงลาปลาซ

บทที่ 6 การแปลงลาปลาซ

การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) เปนการแปลงในรูปอินทิกรัลแบบหนึ่ง ซ่ึงเหมาะที่นํามาใชในการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวคงคาและเปนวิธีการที่ใชกันมาก เนื่องจากโดยทั่วไปในการผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธนั้น เราจําเปนจะตองหาผลเฉลยทั่วไปเสียกอน แตในบางครั้งการหาผลเฉลยทั่วไปนั้นไดไมคอยงายนัก

มีนักคณิตศาสตรช่ือ โอลิเวอร เฮฟวิไซด (Oliver Heaviside) ไดใชหลักการของแคลคูลัสรวมกับการแปลงลาปลาซสามารถในการแกปญหาคาเริ่มตนได โดยหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ เชิงอนุพันธไดโดยไมจําเปนตองหาผลเฉลยทั่วไปเสียกอน ซ่ึงเปนวิธีที่เหมาะสมที่สุด และสามารถใชกับการแกปญหาคาขอบเขตไดเชนเดียวกัน การแปลงลาปลาซเปนวิธีที่มีประโยชนมากสําหรับปญหาในทางเครื่องกล และในวงจรไฟฟาที่มีแรงขับเคลื่อนเปนแบบไมตอเนื่องหรือเปนแบบมีคาบ ที่ไมใชฟงกชันไซนหรือฟงกชันโคไซน ซ่ึงจะเริ่มตนดวยนิยามของการแปลงลาปลาซและคุณสมบัติและทฤษฎีตางๆ ตลอดจนกลาวถึงการแปลงลาปลาซไปแกสมการเชิงอนุพันธ

6.1 การแปลงลาปลาซ

นิยาม 6.1.1 กําหนดฟงกชัน ( )tF ที่นิยามสําหรับ 0≥t และ s แทนตัวแปรจริงเฉพาะการณ

(Arbitary real variable) การแปลงลาปลาซของ ( )tF เขียนแทนดวยสัญลักษณ ( ){ }tFL หรือ ( )sf ซ่ึงนิยามดังนี้

( ){ } ( ) dttFesftFL st )(0∫==∞ −

สําหรับ s ทุกตัว ที่ทําใหอินทิกรัลไมตรงแบบหาคาได (Improper integral exists)

ซ่ึงอินทิกรัลไมตรงแบบคือ ∫ −∞→

RdttFe st

R 0)(lim โดยเรียก ( )sf วา ผลการแปลงลาปลาซของ

ฟงกชัน f (Laplace Transform of f ) การแปลงลาปลาซจะหาคาไดหรือไมนั้นขึ้นอยูกับคาลิมิต ถาหาคาไดเรากลาววาการ

แปลงลาปลาซคอนเวอรจ (Converges) หรือลูเขา แตถาหาคาไมไดเรากลาววาการแปลงลาปลาซ

ไดเวอรจ (Diverges) หรือลูออก

สมการเชิงอนุพันธ 2

การแปลงลาปลาซของฟงกชันเบื้องตน (Elementary functions) โดยใชนิยาม ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 6.1.1 จงหาคาของการแปลงลาปลาซ

ก. { }1L

วิธีทํา { }1L = ( )dte st 10∫∞ −

= dte stR ∫

∞

→

−∞ 0

lim

= R

R se st

0lim

−

−

→∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−

→∞ se

se sR

R

0lim

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

s10

= 1

0ss, >

ข. { }ateL เมื่อ a เปนคาคงตัว

วิธีทํา { }ateL = ( )∫∞ −0

dtee atst

= dte tasR ∫

∞

→

−−∞ 0

)(lim

= ( )

( )Rtas

ase

R 0lim

−−

−−

→∞

= ( )

( )( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−−−

→∞ ase

ase asRas

R

0lim

= asas

>−

,1


ค. { }tL

วิธีทํา { }tL = ( )dtte st∫∞ −0

= dtteR st

R ∫ −∞→ 0

lim

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

−∞→

R

sete

s

stst

R 0)(1lim

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

+−−

+− −−∞→

)0

)0(()(1lim 0s

ees

sReeRs

SRR

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

ss11

= 2

1s

ง. { }2tL

วิธีทํา { }2tL = ( )dtte st 20∫∞ −

= dtetR st

R ∫ −∞→ 0

2lim

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−−

→

−−

∞

Rst

se

steet

s

stst

R 022 )22(1lim

= ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

+−

+−−

+−

+− −−∞→

)2

02002)0(()2

2Re22(1lim 0

s

esee

s

stes

sReR

sSR

R

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

221

ss

= 32s


จ. { }ntL

วิธีทํา { }ntL = ( )dtte nst∫∞ −

0

= dtentR st

R ∫ −∞→ 0

lim

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫+ −−

→

−−∞

dtetsne st

Rst R nnt

sR 0011lim

= ( )∫ −

→

−∞

R n dttesn st

R 01lim

= { }1−ntLsn 0, >s

และจะไดตอไปเรื่อย ๆ ดังนี้

{ }1−ntL = { }21 −− ntLs

n

{ }2−ntL = { }32 −− ntLs

n

แทนใน { }ntL { }1−= ntLsn ดวย { }1−ntL และ { }2−ntL จะได

{ }ntL = { }33

))(( 21 −−− ntLs

nnn

เมื่อทําไปเรื่อย ๆ ก็จะได

{ }ntL = ( )( ) }{12...21 0tLsnnn

n⋅−−

จาก { }0tL = { }1L = 0,1>s

s

เราจะไดวา { }ntL = ( )( )ss

nnnn

112...21⋅

⋅−−

และ { }ntL = 0,!1 >+

ssnn

หรือ จากนิยามฟงกชันแกมมา ,...3,2,1,!)1( ==+Γ nnn ไดวา

{ }ntL = 01 ,)(

1>

++

Γ sn

sn


จ. { }ktL sin เมื่อ k เปนคาคงตัว

วิธีทํา { }ktL sin = ktdte st sin0∫∞ −

= ∫ −∞→

Rktdte st

R 0sinlim

= ( ) Rst

ksktsktke

R0

22sincoslim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−−

→∞

= 0,22 >+

sks

k

ในบางครั้งฟงกชัน ( )tF ไมมีความตอเนื่องสําหรับ t บางคา แตการแปลงลาปลาซของฟงกชัน ( )tF ก็ยังสามารถหาคาได ดังทฤษฎีตอไปนี้ ทฤษฎี 6.1.1 กําหนดฟงกชัน ( )tF ซ่ึงมีความตอเนื่องเปนชวง (Piecewise Continuous) ในทุก ๆ ชวงจํากัด สําหรับ 0≥t และสอดคลองกับเงื่อนไข

( ) atMetF ≤ สําหรับทุก ๆ 0≥t

และสําหรับคาคงตัวบางคา M และ a แลวจะไดวาการแปลงลาปลาซของ ฟงกชัน ( )tF คือ

( ){ } ( ) dttFesftFLst

)(0

−∞∫== as >,

พิสูจน ในการพิสูจนทฤษฎีนี้จะตองแสดงวา ( ){ } ( ) dttFesftFLst

)(0

−∞∫== คอนเวอรจหรือ

ลูเขาหา เมื่อ ( )tF สอดคลองกับเงื่อนไขที่กําหนด

จากนิยามของการแปลงลาปลาซและสมบัติของอินทิกรัลของฟงกชันที่มีความตอเนื่องเปนชวง

( ){ } ( ) ( )∫≤∫=∞ −∞ −00

dttFedttFetFL stst

∫ >−

=≤∞ −0

, asas

MdtMee atst

นั่นคือ สามารถหา ( ){ }tFL ได เมื่อ as >


ตัวอยาง 6.1.2 จงหา ( ){ }tHL

ก. ( )tH = ⎩⎨⎧

><<

3,030,5

tt

วิธีทํา ฟงกชัน ( )tH ไมมีความตอเนื่องที่ 0=t และ 3=t

( ){ }tHL = dttHe st )(0∫∞ −

= ( ) dtedte stst ∫∫∞ −− +3

3

005

= 0)(5 3

0+∫− −− stde

sst

= ( )3

0

5 stes

−−

= ( )15 3 −− − ses

= ( )0,

15 3

>− −

sse s

ข. ( )tH = ⎩⎨⎧

><<

4,540,

ttt

วิธีทํา ฟงกชัน ( )tH ไมมีความตอเนื่องที่ 0=t และ 4=t

( ){ }tHL = dttHe st )(0∫∞ −

= dtedtte stst ∫∫∞ −− +4

4

05

= R

R

st

se

see

st st

st4

4

02

)(lim)( 5 −−−−∞→

−

+−

= +−−

−−− −−

− )0()( 2

0

2

444

se

se s

s

se⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

− −−

∞→ se

se ssR

R

455lim

= s

ess

ese sss 4

22

44 514 −−−

++−−

= 0,122

44>+−

−−

sss

es

e ss


ตัวอยาง 6. 1.3 จงหา ( ){ }tFL เมื่อ

( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<−<<

4,042,120,3

ttt

วิธีทํา ( ){ }tFL = dttFe st )(0∫∞ −

= ∫ ∫∫∞ −−− ++ −

4

2 4

2

0)0()()3( 1 dtedtedte ststst

= ∫ +∫ −− −4

2

2

003 dtedte stst

= 3 02

24e

sd st

esd st

st st−

−−

−

−−∫ − ∫( ) ( )

= 30

2

2

4( ) ( )es

es

st st−

−

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

−

−−

= 32 0 4 2−

−

−

−

−

−

−

−− − −⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

s s ses s

es

es

e

= 32 4 21−

−

−

−

−+ − +⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

s s ses s

es

es

= s

ses

sess

se 24323 −−

−++

−−

= −

− − −+ + −3 32 4 2e e es

s s s

= −

−−+ +2 44 3s se e

s 0, >s


แบบฝกหัด 6.1

จงหาคาของการแปลงลาปลาซที่กําหนดใหดังนี้ 1. { }ktL

2. ( ){ }tHL เมื่อ ( )tH = 4 0 1

3 1

,

,

< <

>

⎧⎨⎩

t

t

3. ( ){ }tGL เมื่อ ( )tG = 1 0 2

2

,

,

< <

>

⎧⎨⎩

t

t t

4. { }ktL cos

5. L t t{ }2 3 5− +

6. L e et t{ }− −+4 23

7. L e et t{ }2 3 3− −

8. ( ){ }tFL เมื่อ ( )tF = ⎩⎨⎧

><<

2,420,0

tt

9. ( ){ }tML เมื่อ ( )tM = ⎩⎨⎧

>≤≤

5,150,2

ttt

10. ( ){ }tNL เมื่อ ( )tN = ⎩⎨⎧

><<

ππ

ttt

,00,2sin

11. ( ){ }tPL เมื่อ ( )tP = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<−<<

2,021,210,

ttttt

12. ( ){ }tQL เมื่อ ( )tQ = ⎩⎨⎧

><

2,72,9

tt


คําตอบแบบฝกหัด 6.1

1. k

ss

20, >

2. 14 0

se ss( ) ,− − >

3. 1

02 2

2s s

es

es

s s

+ +

− −

>,

4. s

ss k2 2

0+

>,

5. 2 3 5

03 2s s s

s− + >,

6. 2 2 7

2 42

( )( )( )

,s

s ss

+

+ +> −

7. s

ss

+

−>

9

93

2,

8. 0,4 2

>−

ss

e s

9. ( ) 0,912 55

2 >−−−

− ss

ees

ss

10. ( ) 0,4

122 >+

− −

ss

e sπ

11. 0,212

2

>+− −−

ss

ee ss

12. 0,29>

− −

ss

e s


6.2 สมบัติของการแปลงลาปลาซ

สมบัติของการแปลงลาปลาซบางประการที่สําคัญ เพื่อนําไปชวยในการหาแปลง

ลาปลาซของฟงกชันที่ซับซอนมากขึ้นคือ สมบัติเชิงเสน ( Linear Property ) ดังนี้

ถา ( )tF1 และ ( )tF2 ตางก็มีการแปลงลาปลาซ และถา 1c และ 2c เปนคาคงตัว ใด ๆ แลวจะไดวา

)}({)}({)}()({ 22112211 tFLctFLctFctFcL +=+

พิสูจน โดยสมบัติของอินทิกรัลไดวา

( ) ( )( )dttFctFcetFctFcL st2211

02211 )}()({ +∫=+

∞−

( )( ) ( )( )∫+∫=∞

−∞

−

02211

0dttFcedttFce stst

( ) ( )∫+∫=∞

−∞

−

022

011 dttFecdttFec stst

( ){ } ( ){ }tFLctFLc 2211 +=

ตัวอยาง 6.2.1 จงหาคาของการแปลงลาปลาซ ก. L e t{ }2 4 3+ วิธีทํา L e t{ }2 4 3+ = { } { }teLL 342 +

= { } { }teLL 3412 +

จาก { }s

L 11 =

และ { }ateL as −

=1 จะได

31}{ 3

−=

seL t

ดังนั้น Ls s

ste{ } ,2 42 4

303+ +

−= >


ข. L t{ }2 5+

วิธีทํา L t{ }2 5+ = L t L{ } { }2 5 1+

จาก L t n{ } = n

sn!+1

จะได L t{ }2 = 2 23 3

!

s s=

ดังนั้น L t{ }2 5+ = 2 5

03s s

s+ >,

ค. L t t{ }3 2 1− +

วิธีทํา L t t{ }3 2 1− + = L t L t L{ } { } { }3 2 1− +

จาก L t n{ } = n

sn!+1

จะได }{ 3tL = 33

6!3ss

= และ L t{ }2 = 2 23 3

!

s s=

และ { }s

L 11 =

ดังนั้น L t t{ }3 2 1− + = 0,12634 >+− s

sss

ง. ( ){ }21−teL

วิธีทํา ( ){ }21−teL = }12{ 2 +− tt eeL

= }1{}{2}{ 2 LeLeL tt +−

จาก { }ateL as −

=1 จะได

21}{ 2

−=

seL t ,

11}{−

=s

eL t

และ { }s

L 11 =

ดังนั้น ( ){ }21−teL = 2,11

22

1>+

−−

−s

sss


ในการแปลงลาปลาซไดมีตารางการแปลงลาปลาซของฟงกชันที่สําคัญเพื่อสะดวกในการนําไปใชหาคาดังนี้

ตารางการแปลงลาปลาซ

( )tF ( ){ } ( )sftFL = 1. 1 1

0ss, >

2. ,...3,2,1, =nt n n

ss

n

!,

+>

10

3. pt , 1−>p Γ ( )psp+

+

11

4. ate 1

s as a

−>,

5. atnet , n = 1, 2, 3, ... ns a

s an

!( )

,+−

>1

6. ktcos ss k

s2 2

0+

>,

7. ktsin k

s ks

2 20

+>,

8. ktcosh s

s ks k

2 2+>,

9. ktsinh k

s ks k

2 2+>,

10. ktt sin 22 2 2

ks

s k( )+

11. ktt cos 2 2

2 2 2

s ks k

−

+( )


ตารางการแปลงลาปลาซ (ตอ)

( )tF ( ){ } ( )sftFL = 12. ktt sinh 2

2 2 2

ks

s k( )+

13. ktt cosh 2 2

2 2 2

s ks k( )+

14. ktktkt cossin − 2 3

2 2 2

ks k( )+

15. ktktkt sinhcosh − 2 3

2 2 2

ks k( )−

16. kte at sin− ks a k( )+

+2 2

17. kte at cos− s as a k

+

++( )2

2

18. ( )tFeat

( )asf −

19. ( ) 21

−

tπ

21

−s

20. 1 − − tet

ln 11

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥s

21. 2 sinh ktt

lns ks k+

−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

22. 21

tkt( cosh )− ln

s ks

2 2

2

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

23. 21

tkt( cos )− ln

s ks

2 2

2

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

24. sin kt

t tan − ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1 k

s


ตารางการแปลงลาปลาซ (ตอ)

( )tF ( ){ } ( )sftFL =

25. 1a b

e eat bt

−−( )

1

( )( ),

s a s ba b

− −=

26. 1a b

ae beat bt

−−( )

ss a s b

a b( )( )

,− −

=

27. cos cosat bt

b a

−

−2 2

ss a s b

a b( )( )

,2 2 2 2+ −

=

28. a bt b atab a b

sin sin( )−

−2 2

12 2 2 2( )( )

,s a s b

a b+ −

=

29. [ ] 21

2−

t

23

−s

ตัวอยาง 6.2.2 จงหาคาของการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. te 43 −

วิธีทํา { }teL 43 − = { }teL 43 −

= ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−− 4

13s

= 3

44

ss

+> −,

ข. t5cos4

วิธีทํา { }tL 5cos4 = { }tL 5cos4

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 22 54

ss

= 4

250

2

s

ss

+>,


ค. − 3

t

วิธีทํา Lt

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭3

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

21

3 tL

= −

− +

+31

21

121

Γ ( )

s

= − 3

1

2Γ ( )

s

= 03 , >− ssπ

ง. 3 2 64 3 2t t− +/

วิธีทํา L{ 3 2 64 3 2t t− +/ } = 3 2 6 14 3 2L t L t{ } { } { }/− +

= 3 4 2 5 2 65 5 2

. /! ( )/s s s

− +Γ

= 3 24 1 3 2 1 2 1 2 65 5 2

( ) ( )( ) ( )/ / //s s s

− +Γ

= 0,62372

255 >+− ssss

π

จ. tt cossin

วิธีทํา { }ttL cossin = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

22sin tL (เนื่องจาก ttt cossin22sin = )

= 1

22L t{sin }

= 1

2

2

42.s +

(เนื่องจาก { }ktL sin = k

s k2 2+)

= 4

12 +s

0, >s


ฉ. atcosh

วิธีทํา { }atL cosh = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ + −

2

atat eeL (เนื่องจาก 2

coshatat eeat

−+= )

= { }atat eeL −+21

= { } { }atat eLeL −+21

21

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− asas1

211

21

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

− asas11

21

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−++222

1as

asas

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− 222

21

ass

= s

s as a

2 2−>,

ช. ttte t 2cos24sin364 35 +−+

วิธีทํา L { ttte t 2cos24sin364 35 +−+ }

= }2cos2{}4sin3{}6{}4{ 35 tLtLtLeL t +−+

= }2{cos2}4{sin3}{6}{4 35 tLtLtLeL t +−+

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 22224 22

443!36

514

ss

sss

= 5,4

216

12365

4224 >+

++

−+−

ss

ssss


ซ. tt 3cos5cos2

วิธีทํา เนื่องจาก ( ) ( )BABABA −++= coscoscoscos2

tttt 2cos8cos3cos5cos2 +=

ดังนั้น { }ttL 3sin5cos2 = { }ttL 2cos8cos +

= { } }2{cos8cos tLtL +

= 2222 28 ++

+ ss

ss (เนื่องจาก { }ktL cos =

kss

22 +)

= 464 22 +

++ s

ss

s

ฌ. te t 5cosh4

วิธีทํา { }teL t 5cosh4 = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + −

2

554

ttt eeeL

= { }tt eeL −+9

21

= { } { }[ ]tt eLeL −+9

21

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

− 11

91

21

ss

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−++

)1)(9()9()1(

21

ssss

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−

9882

21

2 sss

= 98

42 −−

−ss

s


แบบฝกหัด 6. 2

จงหาคาของการแปลงลาปลาซที่กําหนดใหตอไปนี้

1. L t{ }22 2. { }tL πsin

3. { }ttL 2cos32sin5 − 4. L et

t{ }2

33 4+

5. L at{sin }2 6. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

32

4t

eL

7. { }36 −tL 8. ( ){ }21+tL

9. { }ttL 3cos53sin2 + 10. L e et t{ ) }3 3 2− −

11. Lt t

t( )( )+ −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1 2 12. L t{ sin }28 3

13. { }ttL 2cos2sin 14. L tt

{( ) }233

21−

15. { }ttL 2cosh52sinh5 − 16. { }ttL 5cos3sin10

17. { }atL sinh 18. { }ttL 2coscos

19. { }ttL 2sinsin 20. { })25sin( +tL



1. 43s

2. 22 ππ+s

3. 10 3

42

−

+

s

s 4.

Γ ( )//

1 3 4

24 3s s+

−

5. 2

2 2

2

4

a

s as( )+ 6.

12

3 2s −

7. 6 32

− ss

8. 2 2 2

3

+ +s ss

9. 6 5

92

+

+

ss

10. 72

362s s( )−

11. s

ss

ππ 2

2

1

23 +− 12.

144

362s s( )+

13. 2

162s + 14.

4 1 3

9

2 1 3

3

1 37 3 4 3 1 3

Γ Γ Γ( ) ( ) ( )/ / // / /s s s

− +

15. −

+

5

2s 16.

−

+ ++

102 24

40

64s s

17. 22 asa−

18. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+ 11

93

21

22 ss

19. )9)(1(

422 ++ ss

s 20. 25

2sin2cos52 ++

ss


6.3 การแปลงผกผันลาปลาซ

เมื่อกําหนดฟงกชัน ( )tF มาให เราสามารถหาการแปลงลาปลาซของฟงกชัน ( )tF ไดนั่นคือ ( ){ } ( )sftFL = ตอไปเราจะพิจารณาถึงการหาฟงกชัน ( )tF เมื่อทราบการแปลง ลาปลาซของฟงกชัน ( )tF นั่นคือกําหนด ( ){ } ( )sftFL = มาใหแลวตองการหาฟงกชัน ( )tF

เรียกวา การแปลงผกผันลาปลาซ (Inverse Laplace Transform)

นิยาม 6.3.1 ถา ( ){ } ( )sftFL = แลว เราเรียก ( )tF วา การแปลงผกผันลาปลาซของ ( )sf เขียนแทนดวย ( ){ } ( )tFsfL =−1

เชน จาก { }ateL = as −

1 จะไดวา }{ 3eL t− = 3

1+s

นั่นคือ ( ) tetF 3−= และ ( )3

1+

=s

sf จะไดวา esL t31

31 −− =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

หรือ จาก { }s

L 11 = จะไดวา 111 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

sL เปนตน

สมบัติเชิงเสน เปนสมบัติที่สําคัญของการแปลงผกผันลาปลาซ โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวใด ๆ แลว จะไดวา

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }sfLcsfLcsfcsfcL 21

211

122111 −−− +=+

การหาการแปลงผกผันลาปลาซ เราสามารถใชผลจากตารางการแปลงลาปลาซได เชน

การแปลงลาปลาซ การแปลงผกผันลาปลาซ

{ }s

L 11 = 111 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

sL

{ }as

ateL−

=1 e

asL at=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−− 11

{ }22sin

kskktL+

= ktks

kL sin

221 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

{ }22cos

kssktL+

= ktks

sL cos

221 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

{ }1

!+

=n

n

sntL n

nt

sn

L =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

11 !


ตัวอยาง 6.3.1 จงหาคาของการแปลงผกผันลาปลาซตอไปนี้

ก. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

sL101

วิธีทํา ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

sL101 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

sL 110 1

= 10

ข. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

251

sL


⎩⎨⎧

+−

251

sL = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

21

5 1

sL

= te 25 −

ค. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

41

21

sL


⎩⎨⎧

+−

41

21

sL =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

221

21

sL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

221

22

21

sL

= t2sin21

ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

25

21

ss

L


⎩⎨⎧

+−

25

21

ss

L = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

25 2

1

ssL

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−22

1

25

s

sL

= t2cos5


จ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

434

21

ss

L


⎩⎨⎧

+−−

434

21

ss

L = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+−

43

44

221

sss

L

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

43

44

21

21

sL

ss

L

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

413

44

21

21

sL

ss

L

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−−

22

223

224

2

1

2

1

sL

s

sL

= tt 2sin232cos4 −

ฉ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

21 52

ss

L


⎩⎨⎧ −−

21 52

ss

L = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

sL

ssL

21

21 52

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

sLsL 2

11 15

12

= ( ) ( )t512 −

= t52 −

ช. 0,11 >−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ k

sL k

วิธีทํา เนื่องจาก { } ( )11

+

+Γ= p

p

sptL

จะได ( ) 11

1 +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+Γ p

p

sptL

ดังนั้น ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

sL p 1

1 1( )1+Γ

=pt p


ให 1−= kp จะได

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

sL k 11

1 1( )( )11

1

+−Γ=

−

kt k

( )kt

sL

k

k Γ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−1

1 1

หรือ จากนิยามฟงกชันแกมมา ,...3,2,1,!)1( ==+Γ nnn ไดวา ( ) ( )!1−=Γ kk

นั่นคือ ( )!11 1

1

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−

kt

sL

k

k เมื่อ ,...3,2,1=k

เชน ( ) tts

L =−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−

!121 12

21

( ) 2!131 213

31 tt

sL =

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−

ในการหาการแปลงผกผันลาปลาซ นอกจากเราจะใชผลจากตารางการแปลงลาปลาซมาชวยในการหาค าแล ว ในบางกรณี เ ราอาจจะตองใชการแยก ( )sf เปน เศษสวนยอย (partial fraction) เขามาชวยในการหาการแปลงผกผันลาปลาซกอน ดังตัวอยางตอไปนี้


ก. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

ssL

21

21


⎩⎨⎧

+−

ssL

21

21 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

)2(11

ssL

พิจารณา ss 2

12 +

= )2(

1+ss

= 2+

+s

BsA

= )2(

2+++

ssBsAAs


= ( )

)2(2

+++

ssAsBA

จะได ( ) AsBA 21 ++=

เทียบสัมประสิทธิ์ 0=+ BA

12 =A

ดังนั้น 21

=A และ 21

−=B

ss 2

12 +

= ( )221

21

−−

ss


⎩⎨⎧

+−

ssL

21

21 = ( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

221

211

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

)2(21

21 11

sLsL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

21

211

21 11

sL

sL

= e t2

21)1(

21 −−

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− te 21

21

ข. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−

6523

21

sss

L


⎩⎨⎧

+−+−

6523

21

sss

L = ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+−

)2(3231

sss

L

พิจารณา 65

232 +−

+ss

s = ( )( )2323−−

+ss

s

= 23 −

+− s

Bs

A

= ( ) ( )( ) )2(3

32−−

−+−ss

sBsA

จะได ( ) ( )3223 −+−=+ sBsAs

ให 3=s จะได 11 = A

ให 2=s จะได 8 = B−

B = 8−


65

232 +−

+ss

s = 2

83

11−

−− ss


⎩⎨⎧

+−+−

6523

21

sss

L = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−−

28

3111

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

28

311 11

sLsL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

218

31

11 11

sLsL

= tete 28311 −

ค. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

ssL 3

1 1


⎩⎨⎧

+−

ssL 3

1 1 = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

)1(12

1

ssL

พิจารณา )1(

12 +ss

= 12 +

++

sCBs

sA

= ( )1)()1(

2

2

+

+++

sssCBssA

= ( )1)(

2

2

++++

ssACssBA

จะไดวา 1 = ACssBA +++ 2)(

เทียบสัมประสิทธิ์ 0=+ BA , 0=C และ 1=A

ดังนั้น 21,1 −== BA และ 0=C

)1(12 +ss

= 1

12 +

−s

ss


⎩⎨⎧

+−

ssL 3

1 1 = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

11

21

ss

sL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

11

211

ss

Ls

L

= tcos1−


ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

22123

1

sssL


⎩⎨⎧

−+−−

22123

1

sssL =

( ) ( ) ⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−−

22

12

1

sssL

= ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−

21

12

1

ssL

พิจารณา 22

123 −+− sss

= )2)(1(

12 −+ ss

= 212 −

+++

sC

sBAs

= ( )( )

( )( )21

122

2 −+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−+

ss

sCsBAs

1 = ( )( ) ( )12 2 ++−+ sCsBAs

ให 2=s จะได 1 = ( )14 +C และ C = 51

ให 0=s จะได 1 = CB +− 2

1 = 512 +− B และ B =

52

−

ให 1=s จะได 1 = CBA 2+−−

1 = 52

52++− A และ A =

51

−

22

123 −+− sss

= 2

51

152

51

2 −+

+

−−

ss

s


⎩⎨⎧

−+−−

22123

1

sssL =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

+

−−−

251

152

51

21

ss

sL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

+−

+−−

21

12

151

221

ssss

L

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

− 211

12112

121

51

sLs

Ls

sL

= [ ]ett t2sin2cos51

+−−



จงหาคาของการแปลงผกผันลาปลาซตอไปนี้

1. ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

s

sL

23

1 54 2. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+−

166

168

221

sss

L

3. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

321

sL 4. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

5311

sL

5. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

164

21

ss

L 6. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

3682

21

ss

L

7. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+−−

ssssL 5

231 1 8.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

23

1 2

s

sL

9. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

64163

21

ss

L 10. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

ss

L 5

21 )12(

11. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−

)5)(3(1

sss

L 12. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

+−

)1)(1(

132

1

ss

sL

13. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−

−−

)3)(1)(2(4221

ssss

L 14. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

+−−

3)2)(1(

715251

ss

ssL

15. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+−

)20)(10(

22

221

ss

sL



1. π

tt 58 21

−

−

2. tt 4sin234cos8 −

3. te32

4. et

35

31 −

5. t4cos4

6. tt 6sin346cos2 −

7. 2462

432 tttt −+−

8. π

21

4−

− tt

9. tt 8sinh28cosh3 −

10. ttt 43

2

241

322 ++

11. tt ee 53

25

23 −−

− +

12. ttet sincos22 +−

13. ttt eee 32

27

61

34 +− −

−

14. eteete ttt t 22221 22 ++−− −

15. tt 52sin510

910sin1054

+−


6.4 การแปลงลาปลาซโดยทฤษฎีการเลื่อนแบบที่หนึ่ง (First translation theorem)

ทฤษฎี 6.4.1 ถา ( ){ } ( )sftFL = แลว )()}({ asftFeL at −=

พิสูจน จากนิยาม ( ){ }tFL = ( )sfdttFe st =∫∞ − )(0

ดังนั้น )}({ tFeL at = dttFee atst )(0∫∞ −

= dttFe atst )(0∫∞ +−

= dttFe tas )(0

)(∫∞ −−

= ( )asf −

หมายเหตุ การหาการแปลงลาปลาซของ ( )tFeat หรือ )}({ tFeL at สามารถหาไดดังนี้

1. หาคาการแปลงลาปลาซของ ( )tF กอน นั่นคือหา ( ){ }tFL จะได ( )sf

2. พิจารณาคา a จาก ( )tFeat แลวนําไปหาคาของ ( )asf − โดยการแทนคา s ใน

( )sf ดวย as − ก็ไดคา )}({ tFeL at ตามตองการ

ตัวอยาง 6. 4.1 จงหาคาของการแปลงลาปลาซตอไปนี้

ก. { }teL t3

วิธีทํา จาก ( ){ } ( )sftFL =

โดยที่ ( ) ttF =

จะได { }2

1s

tL = นั่นคือ ( )2

1s

sf =

จาก )()}({ asftFeL at −=

ดังนั้น }{ 3 teL t = ( )3−sf

= ( )23

1−s


ข. }2sin{ 5 teL t


โดยที่ ( ) ttF 2sin=

จะได { }4

22sin 2 +=

stL นั่นคือ ( )

42

2 +=

ssf


ดังนั้น }2sin{ 5 teL t = ( )5−sf

= ( ) 45

22 +−s

= 42510

22 ++− ss

= 2910

22 +− ss

ค. { }tetL 22 −


โดยที่ ( ) 2ttF =

จะได { }3

2 2s

tL = นั่นคือ ( )3

2s

sf =


ดังนั้น { }tetL 22 − = ( )2+sf

= ( )32

2+s

= 8126

223 +++ sss


ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

teL

t


⎩⎨⎧

teL

t =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

21

teL t

จาก ( ){ } ( )sftFL =

โดยที่ ( ) 21

−= ttF

จะได =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

21

tL 1

21

)121(

+−

− +Γ

s

= 21

)21(

s

Γ

= π

s

นั่นคือ ( ) =sfπ

s



⎩⎨⎧

teL

t =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

21

teL t = ( )1−sf

= π

s −1


การแปลงผกผันลาปลาซ โดยทฤษฎีการเลื่อนแบบที่หนึ่ง

ทฤษฎี 6.4.2 ถา )()}({1 tFsfL =− แลว )()}({1 tFeasfL at=−−

พิสูจน จาก ( )sf = )}({)(0

tFLdttFe st =∫∞ −

( )asf − = dttFe tas )(0

)(∫∞ −−

= dttFee atst )(0∫∞ −

= dttFee atst ))((0∫∞ −

= { })(tFeL at

จากนิยามการแปลงผกผันลาปลาซจะไดวา ถา ( ){ } ( )sftFL = แลว )()}({1 tFsfL =−

ในทํานองเดียวกัน ถา ( ){ } ( )asftFeL at −= แลว ( ){ } )(1 tFeasfL at=−−

หมายเหตุ การหาการแปลงผกผันลาปลาซของฟงกชัน โดยทฤษฎีการเลื่อนแบบที่หนึ่งสามารถหาไดดังนี้

1. พิจารณาในรูปของ ( )asf −

เชน ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

731

sL จัดในรูป ( )asf − ไดเปน

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

731

sL ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= −

731

sL โดยที่ ( ) ( )73−−

=−s

asf และ 7−=a

2. พิจารณา ( ){ } )(1 tFeasfL at=−− นั่นคือ

โดยจัดในรูป ( ){ } ( ){ }sfLeasfL at 11 −− =−

3. หา )()}({1 tFsfL =−

จะได ( ){ } ( )tFeasfL at=−−1 ตามตองการ

เชน จาก ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

731

sL ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= −

731

sL

จะได ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−−

sLe

sL t 37

3 171 โดยที่ ( )s

sf 3=

( ) tt ee 77 33 −− ==



ก. ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

21

58

sL

วิธีทํา ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

21

58

sL =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

215 8

sLe t

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

215 18

sLe t

= ( )te t58

= tte58

ข. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−

13415

21

ssL


⎩⎨⎧

++−

13415

21

ssL = ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

94415

21

ssL

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−

9215

21

sL

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−

9235 2

1

sL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

935 2

12

sLe t

= te t 3sin5 2−

ค. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

1781

21

ssL


⎩⎨⎧

+−−

1781

21

ssL = ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

++−−

11681

21

ssL

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

141

21

sL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

114

21

sLte

= tte sin4


ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

2561

21

sssL


⎩⎨⎧

+++−

2561

21

sssL = ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

++++−

16961

21

sssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

16)3(1

21

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−+−

16)3(2)3(

21

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

162

213

ssLe t

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+−−

162

16 2213

sssLe t

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

162

16 21

213

sL

ssLe t

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

164

21

16 21

213

sL

ssLe t

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− tte t 4sin

214cos3

จ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

1344

21

sssL


⎩⎨⎧

+++−

1344

21

sssL = ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

++++−

9444

21

sssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

9)2(42

1

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

++−

9)2(2)2(

21

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−−

92

212

ssLe t


= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

+−−

92

9 2212

sssLe t

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

92

9 21

212

sL

ssLe t

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

93

32

9 21

212

sL

ssLe t

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +− tte t 3sin

323cos3

ฉ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

311

sL


⎩⎨⎧

+−

311

sL =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−

sLe t 113

= ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

21

13 1

sLe t

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

−

−

21

121

3 te t (จาก ( )k

ts

Lk

k Γ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−1

1 1 )

= π

21

3−

− te t

= t

e t

π

3−


ช. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

21

)2)(1(108ss

sL

วิธีทํา พิจารณา 2)2)(1(108−+

−ss

s = 2)2(1 2 −

+−

++ s

Cs

Bs

A

= 2

2

)2)(1()2)(1()1()2(

−+−++++−

ssssCsBsA

ดังนั้น s108 − = ( ) ( ) ( )( )2112 2 −++++− ssCsBsA

ให 2=s จะได 12− = B3

4−=B

ให 1−=s จะได 18 = A9

2=A

ให 0=s จะได 8 = CBA 24 −+

8 = C248 −−

2−=C

2)2)(1(108−+

−ss

s = 2

2)2(

41

22 −−

−−

+ sss


⎩⎨⎧

−+−−

21

)2)(1(108ss

sL =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−−

+−

22

)2(4

12

21

sssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

21

2)2(

141

12 1

211

sLs

LsL

= es

Lee ttt 21

42 22

12 −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− −−

= etee ttt 242 22 −−−



1. จงหาคาของการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. { }etL t53 −

ข. { }teL t 2cos−

ค. { }teL t 4sin3

ง. { }tetL 4

จ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

teL

t3

2. จงหาคาของการแปลงผกผันลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

10293

21

sss

L

ข. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

1411

sL

ค. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

31

)5(1

sL

ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

31

)5(ss

L

จ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−

5232

21

sss

L

ฉ. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

)1)(8(123

21

sss

L

ช. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−++−

)84)(52(150

221

ssssL



1. ก. 4)5(6+s

ข. 52

12 ++

+

sss

ค. 256

42 +− ss

ง. 23

)4(2 −s

π

จ. 3+s

π

2. ก. ]3sin23cos3[ tte t +−

ข. πt

et

2

4

ค. te t 25

21

ง. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

25 2

5 tte t

จ. ]2sin52[cos21 ttet +

ฉ. ett t−+ 22sin222cos

ช. ]2sin32cos4[]2sin32cos4[ 2 ttette tt +++ −−


6.5 การแปลงลาปลาซของอนุพันธของฟงกชัน

การแปลงลาปลาซของอนุพันธของฟงกชัน (Laplace transform of Derivatives) จะนําไปใชประโยชนอยางมากในการหา ผลเฉลยของสมการอนุพันธเชิงเสน (Linear differential equations) โดยจะชวยทําใหการหาผลเฉลยไดงายขึ้น

ทฤษฎี 6.5.1 ถา ( )tF เปนฟงกชันตอเนื่อง และ ( )tF ′ เปนอนุพันธของฟงกชันที่มีความตอเนื่องในทุกชวงของ Tt ≤≤0 โดยที่ ( )tF เปนฟงกชันที่มีอันดับเอกซโปเนนเชียล สําหรับ Tt > แลวจะไดวา

( ){ } ( ){ } ( )0FtFsLtFL −=′

พิสูจน จากนิยาม ( ){ }tFL = dttFe st )(0

−∞

∫

( ){ }tFL ′ = dttFe st )(/

0

−∞

∫

พิจารณา dttFe st )(/−∫

ให eu st−= และ ( )dttFdv ′=

dtesdu st−−= และ ( )tFv =

จะได dttFsetFedttFe ststst )()()(/ −−=− ∫+∫

ดังนั้น ( ){ }tFL ′ = dttFsetFe stst )()(00

−∞∞

− ∫+

= dttFesFeFe st )()0()(0

0 −∞

−∞− ∫+−∞

= ( ) ( ){ }tFsLF +− 0

นั่นคือ ( ){ }tFL ′ = ( ){ } ( )0FtFsL −


ในทํานองเดียวกัน จะไดวา

( )}{ tFL ′′ = )0()}({ FtFsL ′−′

= [ ] )0()0()}({ FFtFsLs ′−−

= )0()0()}({2 FsFtFLs ′−−

( )}{ tFL ′′′ = )0()0()}({2 FFstFLs ′′−′−′

= [ ] )0()0()0()}({2 FFsFtFSLs ′′−′−−

= )0()0()0()}({ 23 FFsFstFLs ′′−′−−

M

นั่นคือเราจะไดวา

)}({ tFL n = )0(...)0()0()}({ )1(/21 −−− −−−− nnnn FFsFstFLs

ตัวอยาง 6.5.1 จงหา ( )}{ tFL ′ เมื่อ ( ) ttF 3cos=

วิธีทํา จาก ( ){ }tFL ′ = ( ){ } ( )0FtFsL −

( ){ }tFL = { }tL 3cos

= 0,92 >

+s

ss

( )0F = ( )03cos = 0cos = 1

ดังนั้น )}({ tFL ′ = 192 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+sss

= 192

2−

+ss

= 9

92

22

+−−

sss

= 9

92 +−

s


ตัวอยาง 6.5.2 จงหาคาของ

ก. { }ktL sin โดยการแปลงลาปลาซของอนุพันธอันดับสอง

วิธีทํา จาก )}({ tFL ′′ = )0()0()}({2 FsFtFLs ′−−

F t( ) = ktsin

)(tF ′ = ktk cos

)(tF ′′ = ktk sin2−

F ( )0 = 00sin =

)0(F ′ = ( ) kkkk == 0cos0cos

แทนคาจะได { }ktkL sin2− = { } ( ) ksktLs −− 0sin2

{ }ktLk sin2− = { } kktLs −sin2

k = { } { }ktLkktLs sinsin 22 +

k = ( ) { }ktLks sin22 +

k = ( ) { }ktLks sin22 +

ดังนั้น { }ktL sin = ks

k22 +

, 0>s

ข. { }2tL โดยการแปลงลาปลาซของอนุพันธอันดับสาม

วิธีทํา จาก ( )}{ tFL ′′′ = )0()0()0()}({ 23 FFsFstFLs ′′−′−−

F t( ) = 2t จะได )(tF ′ = t2 2)(, =′′ tF และ 0)( =′′′ tF

)0(F = 0 จะได )0(F ′ = 0 2)0(, =′′F และ 0)0( =′′′F

แทนคาจะได 0 = 2)0()0()}{ 223 −−− sstLs

0 = 2)}{ 23 −tLs

2 = )}{ 23 tLs

ดังนั้น { }2tL = 0,23 >s

s


ทฤษฎี 6. 5.2 ถาฟงกชัน ( )tF มีการแปลงลาปลาซ ( )sf โดยที่

( ){ } ( )sftFL = = ( )dttFe st∫∞ −

0 แลวจะไดวา

( ){ } =tFtL n )]([)1( sfdsd

n

nn

− = ( ) ( )sf nn1−

พิสูจน จาก ( )sf = ( )dttFe st∫∞ −

0

( )sf / = dttFedsd st )(

0∫∞ −

= ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∞

0)( dttFste

s∂∂ (หาอนุพันธเทียบกับตัวแปร s )

= dttFet st )(0

−∞∫ −

= [ ]dtttFest

)(0

−∞∫−

= ( ) ( ){ }ttFL1−

( )sf // = dttFet st )()1(0

22 −∞∫−

= [ ]dttFtest

)()1( 20

2−∞

∫−

= ( ) ( ){ }tFtL 221−

M ( )sf n = ( ) ( ){ }tFtL nn1−

( ){ }tFtL n = ( ) ( )sf nn1−

ดังนั้น ( ){ } =tFtL n )]([)1( sfdsd

n

nn

− = ( ) ( )sf nn1−

และจากนิยามของการแปลงผกผันลาปลาซ เราจะไดวา

ถา ( ){ } =tFtL n ( ) ( )sf nn1−

แลว ( ) ( ){ } =−− sfL n11 ( )tFt n

หรือ ( ){ } =− sfL 1 ( ) ( )tFt nn1−


หมายเหตุ การหาการแปลงลาปลาซของ ( )tFt n หรือ ( ){ }tFtL n สามารถหาไดดังนี้


3. พิจารณาคา n จาก ( )tFt n แลวนําไปหาคาของ ( ) ( )sf nn1−

เชน 1=n จะได ( ) ( )sf /1− จึงนํา ( )sf มาหาอนุพันธอันดับหนึ่ง ผลจากการ

หาอนุพันธอันดับหนึ่งที่ไดนํามาคูณกับ 1− ก็เปนคําตอบตามตองการ

2=n จะได ( ) ( ) ( )sfsf ////21 =− จึงนํา ( )sf มาหาอนุพันธอันดับสอง

ผลจากการอนุพันธอันดับสองที่ไดเปนคําตอบตามตองการ

ตัวอยาง 6.5.3 จงหาคาของการแปลงลาปลาซตอไปนี้

ก. { }ttL 2sin

วิธีทํา จาก ( ){ } =tFtL n ( ) ( )sf nn1−

จะได { }ttL 2sin = ( ) ( )sf /11−

= ( ) ( )sf /1−

( ) ttF 2sin=

( )sf = { }tL 2sin

= 4

22 +s

( )sf / = 22

2

)4()2(2)0)(4(

+−+

sss

= −

+

4

42 2s

s( )

ดังนั้น { }ttL 2sin = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

− 22 )4(4)1(

ss

= 2)4(

42 +s

s


ข. { }kttL sin2

วิธีทํา จาก ( ){ } =tFtL n ( ) ( )sf nn1−

จะได { }kttL sin2 = ( ) ( )sf //21−

= ( )sf //

( ) kttF sin=

( )sf = { }ktL sin

= k

s k2 2+

( )sf / = 222

222

)()2()0()(

ksskks

+−+

= 222 )(2ksks

+−

( )sf // = 422

22222

)()2)()(2)(2()2()(

ksskskskks

++−−−+

= 422

22222

)()]8)2)()[((

kskskksks

++−++

= 322

232

)(822

kskskks

++−−

= 322

32

)(26

kskks

+−

ดังนั้น { }kttL sin2 = 2 3

2 2 3

6 2ks k

s k−

+( )


การแปลงลาปลาซของอินทิกรัลของฟงกชัน (Laplace transform of Integrals)

ทฤษฎี 6.5.3 ถาฟงกชัน ( )tF มีการแปลงลาปลาซ ( )sf โดยที่ ( ){ } ( )sftFL = แลวจะไดวา

( )ssfduuFL

t=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ )(

0

พิสูจน ให ( )tG = duuFt

)(0∫

( )tG / = ( )tF

( )0G = 0

จากการแปลงลาปลาซของอนุพันธของฟงกชัน

( ){ } ( ){ } ( )0/ GtGsLtGL −=

แทน ( )tG / = ( )tF และ ( )0G = 0 ได

( ){ } ( ){ }tGsLtFL =

( ){ } ( ){ }s

tFLtGL =

= ssf )(

ดังนั้น ( )ssfduuFL

t=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ )(

0

และจากนิยามการแปลงผกผันลาปลาซของฟงกชัน จะไดวา

duuFssfL

t)()(

01 ∫=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

หมายเหตุ การหาการแปลงลาปลาซของ ( )∫∞

0duuF หรือ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ duuFL

t)(

0สามารถหาไดดังนี้


2. นํา ( )sf ที่หาไดคูณกับ s1 ผลที่ไดเปนคําตอบตามตองการ


ตัวอยาง 6.13 จงหาคาของการแปลงลาปลาซของอินทิกรัล }4sin{

0duuL

t∫

วิธีทํา จาก ( )ssfduuFL

t=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ )(

0

จะไดวา ( ) ttF 4sin=

( )sf = { }tL 4sin

= 16

42 +s

ดังนั้น }4sin{0

duuLt∫ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+1641

2ss

= ss 16

43 +

ตัวอยาง 6.5.4 จงหาคาของการแปลงลาปลาซของอินทิกรัล }{0

dueLt u∫

วิธีทํา จาก ( )ssfduuFL

t=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ )(

0

จะไดวา ( ) tetF =

( )sf = { }teL

= 1

1−s

ดังนั้น }{0

dueLt u∫ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−111

ss

= ss −2

1

หมายเหตุ จากตัวอยาง 6.5.4 อาจหา ∫t udue0

กอนแลวหาการแปลงลาปลาซไดดังนี้

( ) 10

00−=−==∫ tt

tut u eeeedue

ดังนั้น { }1}{0

−=∫ tt u eLdueL { } { }1LeL t −=

ss1

11

−−

= ( )( )1

1−−−

=ssss

( )11−

=ss

= ss −2

1


แบบฝกหัด 6.5 1. จงหา ( ){ }tFL ′ เมื่อ ( ) ttF 2sin=

2. จงหา ( ){ }tFL ′′ เมื่อ ( ) ttF cos=

3. จงหา { }ttL 3sin

4. จงหา { }ttL 2cos2

5. จงหา { }tteL t sin

6. จงหา { }ttL 2sin2

7. จงหา { }atetL 2

8. จงหา }2cos{0

duuLt∫

9. จงหา }4sin{0

2 duueLt u∫

10. จงหา }4sin{0

3 duuueLtt ∫



1. 4

22 +s

s

2. 12 +

−s

s

3. 22 )9(6+ss

4. 32

3

)4(242

+−

sss

5. 22 )22(22+−

−ss

s

6. 32

2

)4(1612

+−

ss

7. 3)(2as −

8. 4

12 +s

9. ( )( )162

42 +−ss

10. ( ) 163

82 +−s


6.6 การหาการแปลงผกผันลาปลาซโดยใชทฤษฎีคอนโวลูชัน

การหาการแปลงผกผันลาปลาซของ ( )sf บางฟงกชัน พบวาอาจไมสะดวกที่จะ ใชวิธีที่ไดกลาวมาแลว โดยเฉพาะเมื่อ ( )sf มีขนาดใหญ มีอีกวิธีหนึ่งที่อาจชวยไดคือ วิธี

คอนโวลูชัน โดยจะใชทฤษฎีคอนโวลูชัน (Convolution Theorem) มาชวยในการหาผลการแปลงผกผันลาปลาซ

นิยาม 6.6.1 ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องของ t เมื่อ 0>t คอนโวลูชันของ f และ g เปนฟงกชันของ t เขียนแทนดวย ( )( )tgf ∗ หรือ ( ) ( )tgtf ∗ กําหนดดังนี้

( )( ) ( ) ( )∫ −=∗t

duutguftgf0

เชน ( ) ttf = และ ( ) tetg = จะได

( )( ) ( ) ( )tgtftgf ∗=∗

tet ∗=

∫ ⋅= −t ut dueu0

∫ ⋅⋅= −t ut dueeu0

∫ ⋅= −t ut dueue0

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= −−

tuut euee

0

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−= −−−− 000 eeetee ttt

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−= −− 1ttt etee

1−−= tet การสลับท่ี (Commutative) คอนโวลูชันสามารถสลับที่ได กลาวคือ

( )( ) ( )( )tfgtgf ∗=∗

หรือ ( ) ( ) =∫ −t

duutguf0

( ) ( )∫ −t

duutfug0

ซ่ึงแสดงไดดังนี้


โดยเปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรต u ใหเปนตัวแปรใหม สมมติใหเปนตัวแปร y ซ่ึงกําหนดดังนี้

uty −=

จะได ytuuyt −=+= , เมื่อ 0=u ได ty = และเมื่อ tu = ได 0=y และ dydu −=

ดังนั้น ( )( ) ( ) ( )∫ −=∗t

duutguftgf0

( ) ( )( )∫ −−=0

tdyygytf

( ) ( )∫ −=t

dyytfyg0

( )( )tfg ∗=

ทฤษฎี 6.6.1 ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่มีการแปลงลาปลาซเปน ( )sf และ ( )sg ตามลําดับ นั่นคือ ( ){ } ( )sftFL = และ ( ){ } ( )sgtGL = แลว จะไดวา

( )( ){ } ( ) ( )sgsfduutGuFLtgfLt

⋅=−∫=∗ })()({0

พิสูจน จาก ( ){ } ( ) ( )∫==∞ −0

duuFesfuFL su

( ){ } ( ) ( )∫==∞ −0

dvvGesguGL sv

จะไดวา ( ) ( )sgsf ⋅ = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∫

∞ −∞ −

00)( dvvGeduuFe svsu

= ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞ +−0 0

dudvvGuFe vus

ให tvu =+ จะได utv −= และ dtdv =

เมื่อ 0=v จะได ut = และเมื่อ ∞=v จะได ∞=t

ดังนั้น ( ) ( )sgsf ⋅ = dudtutGuFe stt

ut)()(

00−∫∫ −

=

∞

=

= dtduutGuFet

u

st

t⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫∫

=

−∞

=)()(

00

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −∫ duutGuFL

t)()(

0

นั่นคือ ( ) ( )sgsfduutGuFLt

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −∫ )()(

0


การหาการแปลงผกผันลาปลาซโดยวิธีคอนโวลูชัน จะไดวา

ถา )()}({1 tFsfL =− และ )()}({1 tGsgL =

− แลวจะไดวา

∫ −=− t

duutGuFsgsfL0

1 )()()}().({

หรือเราเขียนแทนดวย

∫ −==t duutGuFFGGF 0 )()(**

ตัวอยาง 6.6.1 จงใชทฤษฎีคอนโวลูชันหาการแปลงผกผันลาปลาซของ

ก. ( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

11

21

ssL

วิธีทํา ให ( )1

12 +

=s

sf ดังนั้น ( ) ttF sin= และ ( ) uuF sin=

( ) 21s

sg = ดังนั้น ( ) ttG = และ ( ) ututG −=−

จาก ∫ −=− t

duutGuFsgsfL0

1 )()()}().({

จะได ( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

11

21

ssL = ( )( )∫ −

tduutu

0sin

= ( )( )∫ −t

duuut0

sin

= [ ]duuuutt

sinsin0

−∫

( ) ( )( )[ ]t

uuuut0

sincoscos +−−−=

( )[ ]t

uuuut0

sincoscos +−−−=

[ ]t

uuuut0

sincoscos −+−=

( ) ( )0sin0cos00cossincoscos −+−−−+−= tttttt

tt sin−=


ข. tt ∗cos

วิธีทํา tF cos= , ( ) uuF cos=

tG = , ( ) ututG −=−

จาก GF ∗ = ∫ −t

duutGuF0

)()(

จะได tt ∗cos = ( )( )∫ −t

duutu0

cos

= ( )∫ −t

duuut0

cos

= [ ]∫ −t

duuuut0

coscos

( )[ ]t

uuuut0

cossinsin +−=

[ ]t

uuuut0

cossinsin −−=

( ) ( )0cos0sin00sincossinsin −+−−−= tttttt

( ) ( )1cos −−−= t

tcos1−=

ค. ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−22

1

1s

sL

วิธีทํา ให ( )12 +

=s

ssf ดังนั้น ( ) ttF cos= และ ( ) uuF cos=

( )1

12 +

=s

sg ดังนั้น ( ) ttG sin= และ ( ) ( )ututG −=− sin

จาก ∫ −=− t

duutGuFsgsfL0

1 )()()}().({

จะได ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−22

1

1s

sL = ( ) ( )( )∫ −t

duutu0

sincos

= ( )( )∫ −t

duututu0

sincoscossincos


= ( )∫ −t

duuutut0

2 cossincoscossin

= ∫−∫tt

uduutudut00

2 cossincoscossin

= ∫−∫tt

uduutudut00

2 cossincoscossin

= ∫−∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + tt

duutduut00 2

2sincos2

2cos1sin

= ∫−∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ttduutduut

00 22sincos

22cos

21sin

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

tt utuut00 4

2coscos42sin

2sin

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

tt utuut00 4

2coscos42sin

2sin

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

40sin

20

42sin

2sin ttt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

40cos

42coscos tt

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

41

42coscos

42sin

2sin ttttt

= 4

cos4

2coscos4

2sinsinsin2

ttttttt−++

= ( )ttttttt cos2coscos2sinsin41sin

2−++

= ( )( )ttttt cos2cos41sin

2−−+

= ( )( )tttt coscos41sin

2−−+

= ( )tttt coscos41sin

2−+

= tt sin2


ง. ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

3112

1

ssL

วิธีทํา ให ( )( )21

1−

=s

sf ดังนั้น ( )( )

tt tes

Les

LtF =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= −−

21

21 1

11

และ ( ) uueuF =

( )3

1+

=s

sg ดังนั้น ( ) tetG 3−= และ ( ) ( )uteutG −−=− 3

จาก ∫ −=− t

duutGuFsgsfL0

1 )()()}().({

จะได ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

3112

1

ssL = ( ) ( )( )∫ −−t utu dueue

03

= ( )( )∫ +−t utu dueue0

33

= ( )( )∫ ⋅−t utu dueeue0

33

= ∫ −t ut dueue0

43

= ∫− t ut duuee0

43

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

tuut euee

0

443

164

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1640

164

00443 eeetee

ttt

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

161

164

443

ttt etee

= 16164

3ttt eete −

+−

= t

tt

eete

3161

164+−



1. จงใชทฤษฎีคอนโวลูชันหาคาตอไปนี้

ก. tet ∗

ข. { }tetL ∗

ค. ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−

−

)1()2( 223

1

ss

sL

ง. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

2221

)(1as

L

2. จงใชทฤษฎีคอนโวลูชันหาผลการแปลงลาปลาซผกผันของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( )( )221

+− ss

ข. ( )( )131

−+ ss

ค. ( )( )11

12 ++ ss

ง. ( )22 1

1

+s

จ. ( )22 1

1+ss

ฉ. ( ) ( )21

14 +− ss

3. ถา ( ){ } ( )sftFL = แลวจงแสดงวา

ก. ( ){ }atFL = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

asf

a1

ข. ( )taFasfL =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−1



1. ก. 1−− tet

ข. )1(

12 −ss

ค. duuteu ut

)cos(2 2

0−∫

π

ง. [ ]atatata

cossin2

13 −

2. ก. ( )tt ee 22

41 −−

ข. ( )tt ee 3

41 −−

ค. ( )tett −+− cossin21

ง. ( )ttt cossin21

−

จ. 22 −++ −− tete tt

ฉ. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− t

t

ettte 2

23

811

92

32

181


6.7 การแปลงลาปลาซของฟงกชันหนวย (Laplace transform of the unit step function)

การแกสมการเชิงอนุพันธ ( ) ( )tfyDQ = ที่มี ( )tf เปนฟงกชันตอเนื่องเปนชวงหรือฟงกชันที่แรงดล (Impulse function) สามารถทําไดโดยใชวิธีการแปลงลาปลาซ โดยเขียนฟงกชัน

( )tf ใหอยูในรูปฟงกชันหนวย (The unit step function) หรือเรียกวา ฟงกชันหนวยของ

เฮฟวิซายด (Heaviside’s unit step function) จะทําใหการหาคําตอบของสมการเชิงอนุพันธโดยวิธีการแปลงลาปลาซมีความยุงยากนอยลง

นิยาม 6.7.1 ฟงกชันหนวยเขียนดวย ( )atU − โดย 0≥a นิยามดังนี้

( )atU − = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

at

at

,1

,0

แสดงไดโดยกราฟดังนี้

( )atU − 1

t ถา 0=a จะได

( )tU = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

0,1

0,0

t

t


( )atU − 1

t

0

0

a


การคูณ ( )atU − ดวยฟงกชันตอเนื่อง

จากนิยามการคูณฟงกชัน จะไดวาถา ( )tf เปนฟงกชันตอเนื่องใด ๆ แลว

( ) ( )atUtf − = ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>

<

attf

at

,

,0

เชน

( )15.0 −tU = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

1,5.0

1,0

t

t


( )15.0 −tU 1

t

( )1−ttU = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

1,

1,0

tt

t


( )1−ttU 1

t

0

0.5

0

1

1


( )π−ttUsin = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

π

π

tt

t

,sin

,0


( )1−ttU 1

ผลรวมของฟงกชันหนวย

ถา ( )⎩⎨⎧

><

=−atat

atU,1,0 และ ( )

⎩⎨⎧

><

=−btbt

btV,1,0 เปนฟงกชันหนวย โดยที่

ba <<0 แลวจะไดวา

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<

<=−−−

btbta

atbtUatU

,0,1,0


( ) ( )btUatU −−− 1

t จากผลรวมและผลคูณของฟงกชันหนวย ทําใหเราสามารถเขียนฟงกชันที่มีกราฟเปนชวง ๆ โดยเขียนในพจนของฟงกชันหนวย เชน

0 π -1

π2

t

0 a

b


( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<

<=−−−

2,021,

1,021

ttt

ttUtUt


( ) ( )[ ]21 −−− tUtUt

t การแปลงแบบลาปลาซของฟงกชันหนวย ( )atU −

( ){ } 0, >=−−

ss

eatULas

พิสูจน จาก ( ){ } ( )∫=∞

−

0dttFetFL st

และ ( )atU − = 0

1

,

,

t a

t a

<

>

⎧⎨⎩

เนื่องจาก ( )atU − มีจุดขาดตอนที่ at =

ดังนั้นจากนิยามการแปลงลาปลาซได

( ){ }atUL − = ( ) ( )dtedte st

a

sta

100

−∞

− ∫+∫

= dte st

a

−∞

∫

= ( )sstde st

R

aR −

−

∞→

−∫lim

= R

a

st

R se−

−

∞→lim

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−−

∞→ se

se sasR

Rlim

= 0, >−

ss

e as

นั่นคือ ( ){ }atUL − = 0, >−

ss

e as

ถา 0=a แลว ( ){ } 0,1>= s

stUL

0 1 2

2

1


และจากนิยามการแปลงผกผันลาปลาซ เราไดวา

( )atUs

eLas

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−1

ตัวอยาง 6.7.1 จงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( )⎩⎨⎧

=>

<

3,33,0

tt

tF

วิธีทํา จัด ( )tF อยูในรูปของฟงกชันหนวย คือ ( )atU − = ⎩⎨⎧

>

<

atat

,1,0 ไดดังนี้

เราจะไดวา ( )⎩⎨⎧

=>

<

3,13,0

3tt

tF

= ( )33 −tU

ดังนั้น ( ){ }tFL = ( ){ }33 −tUL

= ( ){ }33 −tUL

= s

e s33 −

(จาก ( ){ }s

eatULas−

=− )

ข. ( )⎩⎨⎧

=>−

<

2,62,8

tt

tF

วิธีทํา จัด ( )tF อยูในรูปของฟงกชันหนวย คือ ( )atU − = ⎩⎨⎧

>

<

atat

,1,0 ไดดังนี้

( )⎩⎨⎧

+=>−

<

2,142,0

8tt

tF

⎩⎨⎧

−=>

<

2,12,0

148tt

= ( ){ }2148 −− tUL ดังนั้น ( ){ }tFL = ( ){ }2148 −− tUL

= { } ( ){ }2148 −− tULL

= se

s

s2148 −

−

= se s2148 −−



1. จงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧ <<

>2,4

20,0

t

t

ข. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>

1,1

1,2

t

t

ค. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

<−

1,1

1,2

t

t

ง. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

2,6

2,8

t

t

จ. ( ) ( )2312 −+− tUtU

ฉ. ( )3−ttU 2. จงหาคาของ

ก. { }−−

15

Les

s

ข. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − −−

−

seeL

ss 21 2



1. ก. s

e s4 2−

ข. se s+ −1

ค. s

e s 2−−

ง. se s28 2− −

จ. s

ee ss 232 −− +

ฉ. 2

333s

ese ss −− +

2. ก. ( )5−tU

ข. ( ) ( )212 −−− tUtU


6.8 ทฤษฎีการเลื่อนแบบที่สองของฟงกชัน (Second Translation Theorem )

เราไดทราบเกี่ยวกับทฤษฎีการเลื่อนแบบที่หนึ่งของฟงกชันแลวนั่นคือ

ถา ( ){ } ( )sftFL = แลว ( ){ } ( )asftFeL at −=

สําหรับทฤษฎีการเลื่อนแบบที่สองของฟงกชันเปนดังนี้

ทฤษฎี 6.8.1 ถา ( ){ } ( )sftFL = แลว เราจะไดวา ( ) ( ){ } ( )sfeatFatUL as−=−−

พิสูจน จาก ( )atU − =⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<

at

at

,1

,0

และ ( ){ }tFL = dttFe st )(0

−∞

∫ ดังนั้นได

( ) ( ){ } =−− atFatUL ( ) ( )dtatFatUe st −−∫ −∞

0

= ( ) ( ) ( ) ( )dtatFedtatFe st

a

sta

−∫+−∫ −∞

− 100

= ( )dtatFe st

a−∫ −

∞

ให vat =− จะได avt += และ dvdt =

เมื่อ at = จะได 0=v และเมื่อ ∞=t จะได ∞=v นั่นคือ

( ) ( ){ } =−− atFatUL ( ) ( )dvvFe avs +−∞

∫0

= ( )dvvFee assv −−∞

⋅∫0

= ( )dvvFee svas −∞

− ∫0

= ( )sfe as−

และจากการแปลงผกผันลาปลาซ จะไดวา

{ } ( ) ( )atFatUsfeL as −−=−− )(1


ตัวอยาง 6.8.1 จงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( ) ( )11 −− tUt

วิธีทํา จาก ( ) ( ){ } ( )sfeatFatUL as−=−−

จะได ( ) ( ) ( ) ( )1,11 −=−−=−=− tUatUttFatF

นั่นคือ ( ) ttFa == ,1 และ ( ) ( ){ } { } 21s

tLtFLsf ===

ดังนั้น ( ) ( ){ }11 −− tUtL = 22 1

se s ⋅−

= 2

2

se s−

ข. ( ) ( )2sin2 −− ttU


จะได ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,2sin2 −=−−=−=− tUatUttFatF

นั่นคือ ( ) ttFa sin,2 == และ ( ) ( ){ } { }1

1sin 2 +===

stLtFLsf

ดังนั้น ( ) ( ){ }2sin1 −− ttUL = 1

12

2

+⋅−

se s

= 12

2

+

−

se s

ค. ( ) ( )ππ −− tUt


จะได ( ) ( ) ( ) ( )πππ −=−−=−=− tUatUttFatF ,

นั่นคือ ( ) ttFa == ,π และ ( ) ( ){ } { } 21s

tLtFLsf ===

ดังนั้น ( ) ( ){ }ππ −− tUtL = 21s

e s ⋅−π

= 2se sπ−


ง ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=

1,2

1,

tt

tttF

วิธีทํา จัด ( )tF อยูในรูปของฟงกชันหนวย คือ ( ) =− atU⎩⎨⎧

><

atat

,1,0 เราจะไดวา

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<+=

1,

1,0

tt

tttF

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<+=

1,1

1,0

t

ttt

( )1−+= ttUt

พิจารณา ( )1−ttU โดยเขียน t ใหอยูในพจนของ 1−t ไดเปน ( ) 11 +−= tt

( )1−ttU ( )( ) ( )111 −+−= tUt

( ) ( ) ( )111 −+−−= tUtUt

ได ( ) ( ) ( ) ( )111 −+−−+= tUtUtttF

ดังนั้น ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }111 −+−−+= tUtUttLtFL

= { } ( ) ( ){ } ( ){ }111 −+−−+ tULtUtLtL

= { } ⋅++−

−

setLe

s

ss

21

= ⋅++−−

se

se

s

ss

221


จ. ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=

π

π

tt

tttF

,

,sin

วิธีทํา จัด ( )tF อยูในรูปของฟงกชันหนวย คือ ( ) =− atU⎩⎨⎧

><

atat

,1,0 เราจะไดวา

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

<+=

π

π

ttt

tttF

,sin

,0sin

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<−+=

π

π

t

tttt

,1

,0sinsin

( ) ( )π−−+= tUttt sinsin

พิจารณา ( ) ( )π−− tUtt sin โดยเขียน t ใหอยูในพจนของ π−t ไดเปน ( ) ππ +−= tt

( ) ( )π−− tUtt sin ( )( ) ( )πππ −−+−= tUtt sin

( ) ( )( ) ( )ππππ −−−+−= tUtt sin

( ) ( )( )( ) ( )ππππ −−−−+−= tUtt sin

( ) ( )( ) ( )ππππ −−++−= tUtt sin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ππππππ −−+−+−−= tUttUtUt sin

ได ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ππππππ −−+−+−−+= tUttUtUtttF sinsin

ดังนั้น ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ππππππ −−+−+−−+= tUttUtUttLtFL sinsin

{ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }ππππππ −−+−+−−+= tUtLtULtUtLtL sinsin

= { } ( ){ } { }tLsetULtLses

sin1

12

ππππ −+−+−++

= 11

1222 +

++++

−−−

se

se

se

s

sss πππ π

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++

+−

111

11

222 ssses

s ππ


ตัวอยาง 6.8.2 จงหาการแปลงผกผันลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. 2

2

se s−

วิธีทํา จาก { } ( ) ( )atFatUsfeL as −−=−− )(1

เนื่องจาก ( ) ( ){ } ts

LsfLtF =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧== −−

211 1

และ 2=a ( ) ( ) 22, −=−=− ttFatF


⎩⎨⎧ ⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

−−

221

2

21 1

seL

seL s

s

( ) ( )22 −−= tUt

ข. 4

22

4

+

−

se s

วิธีทํา จาก { } ( ) ( )atFatUsfeL as −−=−− )(1

เนื่องจาก ( ) ( ){ } ts

LsfLtF 2sin4

22

11 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+== −−

และ 4=a ( ) ( ) ( )42sin4, −=−=− ttFatF


⎩⎨⎧

+⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

−−

42

42

241

2

41

seL

seL s

s

( ) ( )42sin4 −−= ttU



1. จงแสดงฟงกชันในรูปของฟงกชันหนวยของ ( )tF

ก. ( )tF =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

>

2,3

2,cos

π

π

t

tt

ข. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<

<

ππ

2,020,cos

0,0

ttt

t

2. จากโจทยขอ 1 จงหาการแปลงลาปลาซ

3. จงหาการแปลงลาปลาซของ ( )tF ที่กําหนดให

ก. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<<−

3,0

30,

t

te t

ข. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<<

2,4

20,2

tt

tt

ค. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<<

π

π

tt

tt

,sin

0,cos ง. ( )tF =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>

π

π

2,cos

2,0

tt

t

จ. ( )tF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<−<<

2,021,210,0

tttt

5. จงหาคาของ

ก. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−−

162

21

sseL

s ข.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−−

2

51

seL

s

ค. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−−

22

31

πseL

s



1. ก. ( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

23cos3 πtUt

ข. ( ) ( )[ ]π2cos −− tUtUt

2. ก. 1

1

3 2

2

2

+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

−

se

s

e s

s

π

π

ข. ( )ses

s π22 1

1−−

+

3. ก. 1

1 33

+− −−

se s

ข. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ −

32

3242ss

es

s

ค. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

++

−

11

1 22 sse

ss sπ

ง. ( )ses

s π22 1

1−−

+

จ. 2

2

211

se

sse

ss

−− +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4. ก. ( ) ( )24cos2 −− ttU

ข. ( ) ( )π

ettUt )5(22

155

−−−−

ค. ( ) ( )π

π 3sin3 −− ttU


6.9 การแปลงลาปลาซของฟงกชันคาบ (Laplace Transform of Periodic function)

ฟงกชันคาบเปนฟงกชันที่มักจะเกิดขึ้นในปญหาของการประยุกต ที่พบในสมการเชิงอนุพันธ ฟงกชันคาบบางประเภทไมมีความยุงยากในการหาคําตอบของสมการ ไดแก ฟงกชันซายน หรือฟงกชันโคซายน แตฟงกชันคาบบางประเภทอาจจะมีความยุงยากในการหาคําตอบ การแปลงลาปลาซเปนวิธีหนึ่งที่จะชวยได

นิยาม 6. 9.1 ฟงกชัน ( )xF จะเรียกวา ฟงกชันคาบ (Periodic functions) เทากับ T ถา ( ) ( )xFxTF =+ สําหรับทุกคาของ x และ T เปนคาคงตัวบวก เรียก T วา คาบของฟงกชัน

( )xF ถา 0>T เปนจํานวนจริงที่นอยที่สุด เรียก T วา คาบมูลฐาน (Fundamental Period) โดยทั่วไปเมื่อกลาวถึงคําวา คาบ (Period) หมายถึง คาบมูลฐาน

ตัวอยางเชน ฟงกชัน xsin มีคาบเทากับ ...,6,4,2 πππ แต ( ) ,2sin π+x ( ) ,4sin π+x ( ) ...,6sin π+x ตางมีคาเทากับ xsin ดังนั้น คาบของฟงกชัน xsin คือ คาบที่

นอยที่สุดเทากับ π2 สามารถแสดงไดโดยกราฟดังนี้

xsin

1

-1

0 x π2 π4 π2−

คาบ


ตัวอยาง 6.9.1 จงเขียนกราฟของฟงกชัน ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

<<=

−− 05,3

50,3

x

xxF

วิธีทํา ( )xF 3 -10 -5 0 5 10 15

จากกราฟจะเห็นวา ฟงกชัน ( )xF มีคาบครบรอบเทากับ 10

ทฤษฎี 6.9.1 การแปลงลาปลาซของฟงกชันที่มีคาบ ถาฟงกชัน ( )tF มีคาบเทากับ P โดยที่ 0>P นั่นคือ ( ) ( )tFPtF =+ แลวจะไดวา

( ){ } ( )dttFee

tFL stP

sP−

− ∫−

=01

1

พิสูจน จาก ( ){ }tFL = ( )dttFe stP

−∫0

= ( ) ( ) ( ) ...3

2

2

0+∫+∫+∫ −−− dttFedttFedttFe st

P

P

stP

P

stP

ให Pvt += จะได dvdt =

เมื่อ Pt = จะได 0=v และเมื่อ Pt 2= จะได Pv =

ดังนั้น ( ){ }tFL = ( ) ( ) ...)(3

2

)(

00+∫++∫+∫ −+−− dttFedvPvFedttFe st

P

P

PvsP

stP

ให Pvt 2+= จะได dvdt =

เมื่อ Pt 2= จะได 0=v และ Pt 3= จะได Pv = ดังนั้น

( ){ }tFL = ( ) ( ) ...2)( )2(

000++∫++⋅∫+∫ +−−−− dvPvFedvPvFeedttFe Pvs

PsPsv

Pst

P

= ( ) ( ) ...2)(0

2

00++∫++∫+∫ −−−−− dvPvFeedvPvFeedttFe sv

PsPsv

PsPst

P

x

-3

คาบ


แตเนื่องจาก ( )tF เปนฟงกชันที่มีคาบเทากับ P โดยที่ 0>P ดังนั้น

( ) ( ) ( ) ( ) ...,2, vFPvFvFPvF =+=+ จะไดวา

( ){ }tFL = ( ) ( ) ( ) ...0

2

00+∫+∫+∫ −−−−− dvvFeedvvFeedttFe sv

PsPsv

PsPst

P

จะแทนคา v ดวย t ดังนั้น

( ){ }tFL = ( ) ( ) ( ) ...0

2

00+∫+∫+∫ −−−−− dvtFeedttFeedttFe st

PsPst

PsPst

P

( ){ }tFL = ( ) ( )dttFeee stP

sPsP −−− ∫+++0

2 ...1

จากการกระจายฟงกชันในรูปของอนุกรมกําลัง (Power Series)

x

xx−

=+++1

1...1 2 เมื่อ 11 <<− x

sPsPsP

eee

−−−

−=+++

11...1 2 เมื่อ 11 <<− −sPe

ได ( ){ } ( )dttFee

tFL stP

sP−

− ∫−

=01

1 , 0>s

ตัวอยาง 6.9.2 จงเขียนกราฟและหาการแปลงลาปลาซของฟงกชันที่มีคาบเทากับ π2 โดยอยูในชวง π20 <≤ t ซ่ึงกําหนดฟงกชันดังนี้

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤

<≤=

ππ

π

2,0

0,sin

t

tttF

วิธีทํา ฟงกชันนี้เขียนกราฟแสดงไดดังนี้

( )tF

1

0

π2

π4

π3

π

t


จากสูตร ( ){ } ( )dttFee

tFL stP

sP−

− ∫−

=01

1

ดังนั้น ( ){ }tFL = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∫+∫−

−−−

dtedttee

ststs )0(sin

11 2

0)2(

π

π

π

π

= dttee

sts sin

11

02

−− ∫

−

π

π

พิจารณา tdte st sin−∫

ให tdtdveu st sin, == −

tvsedu st cos, −=−= −

ได dttestetdte ststst coscossin −−=

− ∫−−∫ ( )1.............

พิจารณา dtte st cos−∫

ให tdtdveu st cos, == −

tvsedu st sin, =−= −

จะได dtte st cos−∫ = dtteste stst sinsin −− ∫+

แทน dtte st cos−∫ ใน ( )1

ดังนั้น dtte st sin−∫ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫+−− −−− tdtesteste ststst sinsincos

= dttestsete ststst sinsincos 2 −−− ∫−−−

tsetedttestdte stststst sincossinsin 2 −−=

−− −−∫+∫

( ) tsetetdtes ststst sincossin1 2 −−− −−=∫+

21sincossin

stsetedtte

ststst

+−−

∫−−

=−

ππ

02

0 1sincossin

stsetedtte

ststst

+−−

∫−−

=−

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−− −−−−

2

00

2 10sin0cos

1sincos

ssee

ssee ssss ππ ππ


= ( ) ( ) ( )( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−− −−

22 10111

101

ss

ssee ss ππ

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−

22 11

1 sse sπ

= 211

se s

++−π

จาก ( ){ }tFL = dttee

sts sin

11

02

−− ∫

−

π

π

นั่นคือ ( ){ }tFL = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+

−

− 22 11

11

se

e

s

s

π

π

= ( )( )22 11

1

se

es

s

++

+

−

−

π

π

= ( )( )( )2111

1

see

ess

s

+−+

+

−−

−

ππ

π

= ( )( )211

1

se s +− −π



1. จงเขียนกราฟของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( )xF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

<<−

50,3

05,0

x

x ข. ( )xF =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

<<

−− 03,2

30,2

x

x

ค. ( )xF = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

<<

ππ

π

2,3

0,cos

x

xx ง. ( )xF =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<≤<≤

64,042,120,0

ttt

จ. ( ) π20,2 <<= tttF

2. จงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้

ก. ( ) 40, <≤= tttF มีคาบเทากับ 4

ข. ( ) 10, <≤= tetF t และ ( ) ( )tFtF =+1

ค. ( ) 20, <≤= − tetF t และ ( ) ( )tFtF =+ 2

ง. ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤

<≤=

at

a

atat

tFππ

π

2,0

0,sin มีคาบเทากับ

aπ2

3. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันซึ่งมีกราฟดังนี้

( )tF

1 0 1 2 3 4 5 6

t



2. ก. )1(

1442

44

s

ss

esese−

−−

−+−−

ข. )1)(1(

11

s

s

ese

−

−

−−−

ค. )1)(1(

12

)1(2

s

s

ese

−

+−

−++−

ง. ( )221 ase

a

as

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−π

3. )1(

1ses −+


6.10 การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนโดยวิธีการแปลงลาปลาซ

จากการแปลงลาปลาซของฟงกชันและอนุพันธของฟงกชันรวมถึงการแปลงผกผัน ลาปลาซ เราสามารถนําไปประยุกตในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ เชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัวและกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตนให ซ่ึงเปนวิธีที่สะดวกและนิยมใชกันมากในการประยุกตทางฟสิกสและไฟฟา เชน การศึกษาเกี่ยวกับระบบวงจรไฟฟาและการสั่นของมวลในทางกลศาสตร เปนตน ทั้งนี้เพราะ

1. สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนจะถูกเปลี่ยนเปนสมการพีชคณิต

2. ถามีเงื่อนไขคาเริ่มตนสามารถหาผลเฉลยเฉพาะได โดยไมตองผานขั้นตอนการหาผลเฉลยทั่วไป

3. ถาไมมีเงื่อนไขคาเริ่มตนสามารถหาผลเฉลยทั่วไปได

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธอันดับ n ดังนี้

)(... 012)1(

1)( tQyayayayaya n

nn

n =+′+′′+++ −−

โดยที่ naaaa ...,,,, 210 เปนคาคงตัวและกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตนดังนี้

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

210 0,...,0,0,0 −− ==′′=′= n

n cycycycy

หาการแปลงลาปลาซทั้งสองขางในสมการแลวใชคุณสมบัติเชิงเสนได

)}({}{}{...}{}{ 01)1(

1)( tQLyLayLayLayLa n

nn

n =−

− +′+++ จาก ( ){ }nyL = )0(...)0()0()}({ )1(21 −−− −−′−− nnnn yysystyLs

= 12

11

0 ...)}({ −−− −−−− n

nnn cscsctyLs

( ){ }1−nyL = )0(...)0()0()}({ )2(321 −−−− −−′−− nnnn yysystyLs

= 23

12

01 ...)}({ −

−−− −−−− nnnn cscsctyLs

M

{ }yL ′ = ( ){ } ( )0ytysL −

= ( ){ } 0ctysL −


กําหนดให ( ){ } ( )sutyL = และ ( ){ } ( )svtQL = ได

...]...)([]...)([ 23

12

0)1(

112

11

0 +−−−−+−−−− −−−−

−−−−

nnnn

nnnnn

n cscscsusacscscsusa

)()(])([ 001 svsuacssua =+−+

จัดพจนใหมไดดังนี้

+−+++−+++ −−−

−−−

211

21

101

11 []...[)(]...[ n

nn

nn

nn

nn

n sacasasacsusasasa )(][...]... 1122

31 svacasacasa nnnnn

nn =−−−

−− −+−−++

กําหนดให ( )sp = sasasa nn

nn 1

11 ...+++ −−

( )sr = ...]...[]...[ 23

12

112

11

0 −+++−+++ −−

−−−

− asasacasasac nn

nn

nn

nn

nnnnn acasac 112 ][. −−− −+−

ได ( ) ( ) ( ) ( )svsrsusp =−

( ) ( ) ( ) ( )svsrsusp +=

และ ( ) ( ) ( )( )sp

svsrsu +=

โดย ( )su เปนสมการพีชคณิตที่เปนผลมาจากการแปลงลาปลาซ

และจาก ( ){ } ( )tysuL =−1 ดังนั้นการแปลงผกผันลาปลาซของสมการคือ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

=)(

)()()( 1

spsvsrLty

ซ่ึงเปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ที่สอดคลองกับเงื่อนไขคาเริ่มตน

ดังนั้นจากสมการเชิงอนุพันธ ของฟงกชัน ( )ty ถา ( ){ } ( )sutyL = แลว สามารถเขียนแผนผังเพื่อแสดงขั้นตอนการหาผลเฉลย ( )ty โดยวิธีการแปลงลาปลาซไดดังนี้

สมการเชิงอนุพันธ ของฟงกชัน ( )ty

สมการพีชคณิตของ ( )su

( )su

( )ty

เงื่อนไขคาเริ่มตน (ถามี)

L

แกสมการ 1−L


สรุปการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน โดยวิธีการแปลงลาปลาซ

1. ใสการแปลงลาปลาซทั้งสองขางของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน แลวใชหลักดังนี้

1.1 )}({)}({)}()({ 22112211 tFLctFLctFctFcL ++ =

1.2 )0(...)0()0()0()}({)}({ )1(321 −−−−= −−′′−′−− nnnnnn FFsFsFstFLstFL

1.3 ใชเงื่อนไขคาเริ่มตนแทนคา ก็จะไดสมการพีชคณิตในรูป ( )su

2. แกสมการพีชคณิตเพื่อหา ( )su

3. หาการแปลงผกผันแบบลาปลาซของสมการก็จะได ( ){ } ( )tysuL =−1 ซ่ึงเปนผลเฉลยของสมการ เชิงอนุพันธเชิงเสน

ตัวอยาง 6.10.1 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) 30,2 5 ==−′ yetyty t

วิธีทํา ( ){ } ( ){ }tyLtyL 2−′ = { }teL 5

กําหนดให ( ){ } ( )sutyL = จะได ( ){ } ( )tysuL =−1

จาก ( ){ }tyL ′ = ( ){ } ( )0ytysL −

= ( ) 3−ssu

และ { }teL 5 = 5

1−s

แทนคาได ( ) ( )sussu 23−− = 1

5s −

( ) ( )sus 2− = 35

1+

−s

( ) ( )sus 2− = 5143

−−

ss

( )su = )5)(2(

143−−

−ss

s

( ){ }suL 1− = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−

)5)(2(1431

sssL

( )ty = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−

)5)(2(1431

sssL


พิจารณา )5)(2(

143−−

−ss

s = 52 −

+− s

Bs

A

= )5)(2(

)2()5(−−

−+−ss

sBsA

143 −s = ( ) ( )25 −+− sBsA

ให 5=s จะได 1 = B3 ดังนั้น 31

=B

ให 2=s จะได 8− = A3− ดังนั้น 38

=A

)5)(2(

143−−

−ss

s = ( ) ( )531

238

−+

− ss

ดังนั้น ( )ty = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

−−

)5(31

)2(381

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

51

31

21

38 11

sL

sL

= tt ee 52

31

38

+

ตัวอยาง 6.10.2 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60,30,082 =′==−′−′′ yytytyty

วิธีทํา ( ){ } ( ){ } ( ){ }tyLtyLtyL 82 −′−′′ = { }0L


จาก ( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) 632 −− ssus

( ){ }tyL ′ = ( ){ } ( )0ytysL −

= ( ) 3−ssu

และ { }0L = 0

แทนคาได ( )( ) 0)(83263)(2 =−−−−− sussussus

( ) 0)(86263)(2 =−+−−− sussussus

( ) ssuss 3)(822 =−−


ดังนั้น

823)( 2 −−

=ss

ssu

( ){ }suL 1− = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

823

21

sssL

( )ty = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

)2)(4(31

sssL


3+− ss

s = 24 +

+− s

Bs

A

= )2)(4(

)4()2(+−

−++ss

sBsA

s3 = ( ) ( )42 −++ sBsA

ให 4=s จะได 12 = A6 ดังนั้น 2=A

ให 2−=s จะได 6− = B6− ดังนั้น 1=B

)2)(4(

3+− ss

s = 2

14

2+

+− ss


⎩⎨⎧

++

−−

21

421

ssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

21

412 11

sL

sL

= tt ee 242 −+

ตัวอยาง 6.10.3 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20,40,32 =′==+′+′′ − yytetytyty t

วิธีทํา ( ){ } ( ){ } ( ){ }tyLtyLtyL +′+′′ 2 = { }tteL −3


จาก ( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) 242 −− ssus

( ){ }tyL ′ = ( ){ } ( )0ytysL −

= ( ) 4−ssu


จาก ( ){ }tFeL at = ( )asf −

พิจารณา { }tteL −

จะไดวา 1−=a

และ ( ) ( ){ } { } 21s

tLtFLsf ===

( )asf − = ( )1+sf

( )21

1+

=s

ดังนั้น { }tteL − = ( )21

1+s

แทนคาได ( )( )( )2

2

13)(4224)(+

=+−+−−s

sussussus

( )( )2

2

13)(8224)(+

=+−+−−s

sussussus

( )( )2

2

13104)(12+

=−−++s

ssuss

( )( )2

2

13104)(1+

++=+s

ssus

ดังนั้น ( ) ( )42 1

31104)(

++

+

+=

ssssu

( ){ }suL 1− = ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+

+−42

1

13

1104

sssL

( )ty = ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+

+−42

1

13

1104

sssL

พิจารณา 2)1(104

++

ss =

1)1( 2 ++

+ sB

sA

= 2)1()1(

+++

ssBA

104 +s = ( )1++ sBA


ให 1−=s จะได 6 A= ดังนั้น 6=A

ให 0=s จะได 10 = BA + ดังนั้น 4=B

2)1(104

++

ss =

14

)1(6

2 ++

+ ss


⎩⎨⎧

++

++

+−

421

)1(3

14

)1(6

sssL

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−

411

21

)1(13

114

)1(16

sL

sL

sL

จาก ( )tFesfLeasfL atat ==− −− )}({)}({ 11

ได tt tes

Les

L −=

−−=

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ 21

21 1

)1(1

ttt ets

Les

Les

L −=

−−=

−−=

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+3

41

41

41

61!3

611

)1(1

นั่นคือ ( )ty = ttt etete −−− ++ 3

6346

= ttt etete −−− ++ 3

2146 t

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− 46

2

3tte t

ตัวอยาง 6.10.4 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) ( ) 000,sin2 =′==+′′ − yytetyty t

วิธีทํา ( ){ } ( ){ }tyLtyL +′′ = { }teL t sin2−


จาก ( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) 002 −−sus = ( )sus 2


พิจารณา { }teL t sin2−

จะไดวา 2−=a

และ ( ) ( ){ } { }1

1sin 2 +===

stLtFLsf


( )asf − = ( )2+sf

( ) 12

12 ++

=s

54

12 ++

=ss

ดังนั้น { }teL t sin2− 54

12 ++

=ss

แทนคาได 54

1)()( 22

++=+

sssusus

( )54

1)(1 22

++=+

sssus

ดังนั้น ( )( )5411)( 22 +++

=sss

su

( ){ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++= −−

)54)(1(122

11

sssLsuL

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++= −

)54)(1(122

1

sssLty


122 +++ sss

= 541 22 ++

++

++

ssDCs

sBAs

= ( ) ( )

( )( )541

12542

22 +++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

sss

sDCsssBAs

1 = ( )( ) ( )( )154 22 ++++++ sDCsssBAs

1 = DDsCsCsBBsBsAsAsAs +++++++++ 23223 5454

1 = ( ) ( ) ( ) ( )DBsCBAsDBAsCA +++++++++ 5454 23

ได 0=+CA

04 =++ DBA

045 =++ CBA

15 =+ DB

แกสมการได 81

−=A , 81

=B , 81

=C , 83

=D


)54)(1(122 +++ sss

= 54

83

81

181

81

22 ++

++

+

+−

ss

s

s

s

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

11

81

181

22 sss

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

5421

83

54281

ssss

s

( )ty = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+− −−

11

81

181

21

21

sL

ssL

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++ −−

541

83

5481

21

21

ssL

sssL

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−++−

1221

81sin

81cos

81

s

sLtt( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++ −

121

83

21

sL

= ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

−+−++−122

22181sin

81cos

81

s

sLtt⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+ −

112

83

21

sLte

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−−−++−12

21281sin

81cos

81

s

sLtett tte sin283 −+

= tt sin81cos

81

+− tte sin283 −+ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−−+12

2112

1281

sL

s

sLte

= tt sin81cos

81

+− tte sin283 −+ ( )ttte sin2cos2

81

−−+

= tt sin81cos

81

+− tte sin283 −+ ttette sin2

82cos2

81 −−−+

= tt sin81cos

81

+− tte sin281 −+ tte cos2

81 −+

= ( ) ( )tttett cossin281cossin

81

+−+−


ตัวอยาง 6.10.5 จงแกสมการ ( ) ( ) 000,cos16 =′==+′′ yytyy

วิธีทํา ( ){ } ( ){ }tyLtyL +′′ = { }tL cos16


จาก ( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) 002 −−sus

= ( )sus 2

จาก { }tL cos = 12 +s

s


16)()( 22

+=+

sssusus

( )1

16)(1 22

+=+

sssus

ดังนั้น ( )22 1

16)(+

=s

ssu

( ){ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −−

2211

)1(16

ssLsuL

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −

221

)1(16

ssLty

พิจารณา ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

221

)1(ssL โดยทฤษฎีคอนโวลูชันหาการแปลงผกผันลาปลาซ

จากตัวอยาง 6.6.1 (ค) ได tts

sL sin2)1( 22

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

ดังนั้น ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ttty sin

216

tt sin8=

ตัวอยาง 6.10.6 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) 20,00,10,33 2 −=′′=′==−′+′′−′′′ yyyetyyyy t


วิธีทํา ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }tyLtyLtyLtyL −′+′′−′′′ 33 = { }tetL 2


จาก ( ){ }tyL ′′′ = ( ){ } ( ) ( ) ( )00023 yysystyLs ′′−′−−

= ( ) 223 +− ssus

( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) ssus −2

( ){ }tyL ′ = ( ){ } ( )0ytysL −

= ( ) 1−ssu


พิจารณา { }tetL 2 จะไดวา 1=a

และ ( ) ( ){ } { } 32 2

stLtFLsf ===

( )asf − = ( )1−sf

( )31

2−

=s

ดังนั้น { }tetL 2 = ( )31

2−s

แทนคาได ( ) ( )( )( )3

23

12)(13232)(−

=−−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−

ssussussusssus

( ) ( )( )3

223

12)(33332)(−

=−−++−+−s

sussussusssus

( ) ( )( )3

223

1231133−

=+−−−+−s

sssusss

( ) ( )( )

131

2133 23

23 +−+−

=−+− sss

susss

( ) ( )( )

131

21 23

3 +−+−

=− sss

sus


ดังนั้น ( )( ) ( )3

2

6 113

12

−

+−+

−=

sss

ssu

( ){ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−

+−

= −−3

2

611

)1(13

)1(2

sss

sLsuL

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−

+−

= −3

2

61

)1(13

)1(2

sss

sLty

พิจารณา ( )32

113

−

+−

sss =

( ) ( ) 111 23 −+

−+

− sC

sB

sA

= ( ) ( )

( )31

211

−

−+−+

s

sCsBA

132 +− ss = ( ) ( )211 −+−+ sCsBA

ให 1=s จะได 1− A= ดังนั้น 1−=A

ให 0=s จะได 1 = CB +−−1 ดังนั้น 2=+− CB

ให 2=s จะได 1− = CB ++−1 ดังนั้น 0=+CB

แกสมการ 2=+− CB และ 0=+CB ได 1,1 =−= CB

( )32

113

−

+−

sss =

( ) ( ) 11

11

11

23 −+

−−

−−

sss

ดังนั้น ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

−−

−−

−= −

11

)1(1

)1(1

)1(2

2361

ssssLty

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= −−−−

11

)1(1

)1(1

)1(2 1

21

31

61

sL

sL

sL

sL

tttt es

Les

Les

Le +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −−−

21

31

61 112

tttt etes

Les

Le +−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −−

31

61 !2

21!5

!52

tttt eteetet +−−= 25

21

1202

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= 1

21

601 25 tttet


การหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธโดยวิธีการแปลงลาปลาซนั้น เชน สมการเชิงอนุพันธอันดับสองเราตองการเงื่อนไขคาเริ่มตน ( )0y และ ( )0y′ หากโจทยไมไดกําหนดไวเลยหรือกําหนดเปนเงื่อนไขอยางอื่น เชน เงื่อนไขคาขอบเขต เราจะตองสมมติเงื่อนไขคาเริ่มตนที่ยังไมไดกําหนดใหเปนคาคงตัวใด ๆ เสียกอน แลวใชเงื่อนไขที่มีเพื่อหาคาของคาคงตัวภายหลัง ดังตัวอยาง 6.10.7

ตัวอยาง 6.10.7 จงแกสมการ ( ) ( ) ( ) 12

,10,2cos9 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+′′ πyyttyty

วิธีทํา ( ){ } ( ){ }tyLtyL 9+′′ = { }tL 2cos

เนื่องจากโจทยไมไดกําหนด ( )0y′ จึงสมมติ ( ) cy =′ 0


จาก ( ){ }tyL ′′ = ( ){ } ( ) ( )002 ysytyLs ′−−

= ( ) cssus −−2

จาก { }tL 2cos = 42 +s

s


)(9)( 22

+=+−−

sssucssus

( ) css

ssus +++

=+4

)(9 22

ดังนั้น ( )( ) 9994

)( 2222 +

++

+++

=s

cs

s

ss

ssu

( ){ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

++

++= −−

99)9)(4( 222211

sc

ss

sssLsuL

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

++

++= −

99)9)(4( 22221

sc

ss

sssLty

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++= −−−

99)9)(4( 21

21

221

scL

ssL

sssLty


พิจารณา )9)(4( 22 ++ ss

s = )9()4( 22 +

++

++

sDCs

sBAs

= )9)(4(

)42)(()92)((22 ++

+++++ss

sDCssBAs

s = )4)(()9)(( 22 +++++ sDCssBAs

s = DCsDsCsBAsBsAs 4499 2323 +++++++

s = ( ) ( ) ( ) ( )DBsCAsDBsCA 494923 +++++++

ได 0=+CA

0=+ DB

149 =+ CA

049 =+ DB

แกสมการได 51

=A , 0=B , 51

−=C , 0=D และ

)9)(4( 22 ++ ss

s = )9(5)4(5 22 +

−+ s

ss

s

ดังนั้น ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++= −−−

99)9)(4( 21

21

221

scL

ssL

sssLty

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −−−

93

33cos

95)4(5 21

21

21

sLct

ssL

ssL

tcts

sLs

sL 3sin3

3cos95

145

12

12

1 ++⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −−

tcttt 3sin3

3cos3cos512cos

51

++−=

tctt 3sin3

3cos542cos

51

++=


แทนคา 12

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πy ใน ( )ty เพื่อหาคา c ได

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

23sin

323cos

54

22cos

511 πππ c

2

3sin32

3cos54cos

511 πππ c

++=−

( ) ( ) ( )13

0541

511 −++−=−

c

35

11 c−−=−

35

11 c−=+−

35

4 c−=−

5

12=c

ดังนั้น ( ) tttty 3sin543cos

542cos

51

++=



จงแกสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้โดยวิธีการแปลงลาปลาซ

1. ( ) ( ) ( ) ( ) 00,10,1 =′==+′′ yytyty

2. ( ) ( ) ( ) ( ) 10,10,209 =′==+′′ − yyetyty t

3. ( ) ( ) ( ) 50, ==+′ − yetyty t

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10,20,223 −=′==+′−′′ − yyetytyty t

5. ( ) ( ) 00,10,423 =′==+′−′′ yyyyy

6. ( ) ( ) 20,30,3216 −=′==+′′ yytyy

7. ( ) ( ) 80,20,644 2 =′−==+′−′′ − yyeyyy t

8. ( ) ( ) 40,10,42 −=′==′+′′ yyyy

9. ( ) ( ) 50,30,034 =′==+′−′′ yyyyy

10. ( ) ( ) 10,40,122 =′==+′−′′ yytyyy

11. ( ) ( ) 200,20,100258 =′==+′+′′ yyyyy

12. ( ) ( ) 30,00,3sin182 =′==−′−′′ − yyteyyy t

13. ( ) ( ) ( ) 30,00,00,cos10254 =′′=′==+′+′′+′′′ yyytyyyy

14. ( ) ( ) ( ) 20,00,00,sin20375 −=′′=′==−′+′′−′′′ yyytyyyy

15. ( ) ( ) 30,10,2cos59 =′==+′′ yytyy

16. ( ) ( )910,

1810,

219 =′=+=+′′ yytyy

17. ( ) ( ) 00,00,2444 =′==+′+′′ yyteyyy

18. ( ) ( ) ByAytyy =′==+′′ 0,0,2sin4

19. ( ) ( ) ( ) 00,00,00,426 =′′=′=+=′′+′′′ yyytyy

20. ( ) ( ) ( ) 30,30,10,1 −=′′=′==+′′′ yyyyy



1. ( ) 1=ty

2. ( ) ttety t 3cos23sin2 −+=

3. ( ) ( ) tetty −+= 5

4. ( ) ttt eeety 2

374

31

−+= −

5. ( ) tt eety 22 2 −+=

6. ( ) tttty 4sin4cos32 −+=

7. ( ) ( )243 22 −+= − ttety t

8. ( ) 223 2 −+= − tety t

9. ( ) tt eety 32 +=

10. ( ) ( )2091224 −++= tetty t

11. ( ) ( )ttety t 3sin2cos24 4 −−= −

12. ( ) teteeety tttt 3cos3sin32 2 −−− +−−=

13. ( ) ttteeety ttt sin2cos222 +−−+−= −−−

14. ( ) ( ) ttetty t cos3sin43 −+−=

15. ( ) ttty 2cos3sin +=

16. ( )181

9+=

tty

17. ( ) ( )teety tt 4141

41 22 +−= −

18. ( ) ( ) ( ) ttAtBty 2cos4

42sin841 −

++

=

19. ( ) ( ) 234 8221116 tttetty t +−+−−= −

20. ( )23cos221 2 teety

tt +−= −

บทที่ 6 การแปลงลาปลาซ

Documents

Transcript of บทที่ 6 การแปลงลาปลาซ