实变函数复习整理 - liuchenggang95.files.wordpress.com实变函数复习整理 第1 页/共15 页 刘承刚 实变函数复习整理 中国人民大学 2013 级信息学院
第二章 复变函数的积分
90
数数数数数数 第第第 第第第第第第第 第第第第第第第第第第第第第第第第第第第第第 第第第第第 第第第第 西西 第第 ， 第第第第第第第第第第第第第第第 第第第第第第第第第第第第第第第第第第第 第第第第 。，， 第第第第第第第第。 第 第 第第第第第第第第第第 一 第第第第第第第第第第第第第第。
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第二章 复变函数的积分. 本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的 柯西定理和柯西积分公式 ，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。. 第一节 复变积分的定义和性质. 复变函数的积分定义为和的极限。. 2 ．复变函数积分的计算 — 分解为实变函数的积分的计算. 由积分的定义. 由积分的定义 +. 二 复变函数积分的性质. 三 复积分的计算方法. 例 2. (1) 解. 1. y = x. 积分路径的参数方程为. 解 2. y = x. y = x. (2) 积分路径的参数方程为. - PowerPoint PPT Presentation
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数学物理方法
第二章 复变函数的积分
本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的柯西定理和柯西积分公式，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。
第一节 复变积分的定义和性质
复变函数的积分定义为和的极限。
数学物理方法
x
y
0z
1kz kz
k
nz
1 1z
L
1：定义：（1）设L为复平面上的一条光滑曲线，
( )w f z 在L上有定义。 （2）将L任意分成n段， k 为第k段
1,k kz z 上的任意一点。
（3）当n ，且max 0kz 时，
若和式的极限
max 01
lim ( )n
k kz
k
f z
存在，并且极限值与 kz 和 k 的选取方式无关，则称它为 ( )f z
沿L的积分，记作max 0
1
( ) lim ( )n
k kzkL
f z dz f z
数学物理方法
积分存在的条件： （1） 积分曲线L 是分段光滑的曲线； （2） 被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数。
2 ．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算方法一： ( ) ,f z u iv dz dx idy
( ) ( )( ) ( ) ( )L L L L
f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy
— — 复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分
方法二：若曲线L用参数方程 ( )z z t 表示 t ，则 ( )dz z t dt
( ) ( ) ( )L
f z dz f z t z t dt
— — 复变函数的积分化为参数积分
数学物理方法
1
(1) ( )d ( )dk
n
kl lk
f z z f z z
(2) ( )d ( )d
AB BAl lf z z f z z
1 2 1 2(3) ( ) ( ) d ( )d ( )dl l l
f z f z z f z z f z z
由积分的定义
二 复变函数积分的性质
1max 0
( )d lim ( )k
n
k kL nkz
f z z f z
(4) ( )d ( )dl laf z z a f z z
( ) d , (5) ( )d
, ( ) ,l
l
f z z dz dsf z z
Ms M f z s l
的长度。
由积分的定义 +
1 2 1 2z z z z
数学物理方法
证明; “利用实变函数线积分的定义，并利用 矢量之和的长
”度不大于矢量长度之和 ，以及复变积分的定义得：
max 0 max 01 1
( ) lim ( ) lim ( )n n
k k k kl z zk k
f z dz f z f z
max 01
lim ( ) ( )n
k kzk l
f z f z dz
若在曲线l上，max ( )f z M ，曲线l的长度为l，则
( ) ( )l l
l
f z dz f z dz M dz Ml
数学物理方法
三 复积分的计算方法
1max 0
( )d lim ( )k
n
k kL nkz
f z z f z
01 : nlI zdz l z z 例 计算： ，
2 20
1
2 nI z z 答案：
1 用定义计算
x
y
0z
1kz kz
k
nz
1 1z
L
数学物理方法
21 1
1 1max 0 max 0
( )
1) , lim ( ) lim ( )k k
k k
n n
k k k k k k k kl n nk kz z
f
z zdz z z z z z z
选
21 1 1 1 1
1 1max 0 max 0
2) , lim ( ) lim ( )k k
n n
k k k k k k k kl n nk kz z
z zdz z z z z z z
选
2 21 1 1
1max 0
2 21
1max 0
2 20
1lim ( ) ( )
2
1lim ( )
2
1( )
2
k
k
n
k k k k k kl nkz
n
k knkz
n
zdz z z z z z z
z z
z z
两式相加
x
y
0z
1kz kz
k
nz
1 1z
L
1max 0
( )d lim ( )k
n
k kL nkz
f z z f z
数学物理方法
例 2
2
Re d , :
(1) 1 ;
(2) 1 ;
(3) 1 1 .
lz z l
i
y x i
x i
计算 其中 为
从原点到点 的直线段
抛物线 上从原点到点 的弧段从原点沿 轴到点 再到 的折线
2 通过计算实线积分来计算
(1) 解1
,x y dx dy
Re dl
z z 1(1 );
2i x
y
o
i1
1
i
y=x
Re d = ( )l l l l
z z x dx idy xdx i xdy
l lxdx i xdx
数学物理方法
解2
积分路径的参数方程为( ) (0 1),z t t it t
Re , d (1 )d ,z t z i t 于是
Re dl
z z1
0(1 )dt i t
1(1 );
2i x
y
o
i1
1
i
y=x
数学物理方法
(2) 积分路径的参数方程为
x
y
o
i1
1
i
y=x
2xy
2( ) (0 1),z t t it t
Re , d (1 2 )d ,z t z ti t 于是
Re dl
z z1
0(1 2 )dt it t
12
3
0
2
2 3
t it
1 2;
2 3i
2 : 1 ; l y x i 为 抛物线 上从原点到点 的弧段
数学物理方法
x
y
o
i1
1
i
y=x
2xy
(3) 积分路径由两段直线段构成
x 轴上直线段的参数方程为 ( ) (0 1),z t t t
1到 1+i 直线段的参数方程为 ( ) 1 (0 1),z t it t Re , d d ,z t z t 于是
Re 1, d d ,z z i t 于是
Re dl
z z1
0dt t
1
01 di t
1.
2i
1.复变函数的积分定义为和的极限。2、积分存在的条件： （1） 积分曲线L 是分段光滑的曲线； （2） 被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数。
3.复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算方法一： ( ) ,f z u iv dz dx idy
( ) ( )( ) ( ) ( )L L L L
f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy
— — 复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分
方法二：若曲线L用参数方程 ( )z z t 表示 t ，则 ( )dz z t dt
( ) ( ) ( )L
f z dz f z t z t dt
— — 复变函数的积分化为参数积分
1
(1) ( )d ( )dk
n
kl lk
f z z f z z
(2) ( )d ( )d
AB BAl lf z z f z z
1 2 1 2(3) ( ) ( ) d ( )d ( )dl l l
f z f z z f z z f z z
4. 复变函数积分的性质
(4) ( )d ( )dl laf z z a f z z
( ) d , (5) ( )d
, ( ) ,l
l
f z z dz dsf z z
Ms M f z s l
的长度。
5. 复积分的计算方法
数学物理方法
(1)解
例 3
d ,
: 3 4 ; 0 3 3+4 ; lz z
l i i 计算
（1）0 （2）
: (3 4 ) , 0 1 的参数方程为l z i t t
d (3 4 )d , z i t 1 2
0d (3 4 ) d
lz z i t t
12
0(3 4 ) d i t t
2(3 4 ) 7 24= - .
2 2 2
ii
x
y
o
3 4i
3
4i
数学物理方法
x
y
o
3 4i
3
4i
(2) 积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为 ( ) (0 3),z t t t
3到 3+4i 直线段的参数方程为
d d ,z t于是
d d ,z i t于是 dlz z
3
0dt t
4
0(3 4 ) di i t
( ) 3 (0 4),z t it t
7 24= -
2 2i
d d d d d l l lz z x x y y i y x x y 这两个积分都与路线 l 无关
数学物理方法
复习：格林公式—平面上曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设函数 P(x, y)、 Q (x, y) 在单连通域 D 内
有一阶连续偏导数，则曲线积分 与路径无关的充
要条件是
LyQxP dd
y
P
x
Q
Dyx ),(
d d d d d l l lz z x x y y i y x x y
数学物理方法
3 用极坐标计算
例 4
解 :
d , : 2. l
z z l z 计算 其中 为 圆周
积分路径的参数方程为
2 (0 2π),iz e d 2 diz ie
dl
z z2π
02 2 diie ( 2 )z 因为
2π
04 (cos sin )di i 0
数学物理方法
例 6
解
00
1 d , ,
( )
, .
nlz l z r
z z
n
求 为以 为中心 为半
径的正向圆周 为整数z
x
y
o
r0z
积分路径的参数方程为
0 (0 2π),iz z re
0
1d
( )nlz
z z2π
0d
i
n in
ire
r e
2π ( 1)
1 0d ,i n
n
ie
r
数学物理方法
z
x
y
o
r0z
1 , n 当 时
0
1d
( )nlz
z z2π
0di 2 ;i
1 , n 当 时
0
1d
( )nlz
z z 2π
1 0cos ( 1) sin ( 1) d
n
in i n
r 0;
0 0
1 d
( )nz z r
zz z 所以
2 , 1,
0, 1.
i n
n
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关 .
2π ( 1)1 0
d ,i nn
ie
r
数学物理方法
例7：试证明，若z在上半平面及实轴上趋于时， ( )zf z 一致的趋于零（与辐角无关），即
lim ( ) 0,z
zf z
0 arg z
则 ( )f z 沿图中无穷大半圆周 RC 的积分 lim ( ) 0R CR
f z dz
R R
R
RC
数学物理方法
R R
R
RC
证明： lim ( ) lim ( ) lim ( )R R RC C CR R R
dzf z dz f z dz zf z
z
lim max ( ) max lim ( ) 0R RCR
dz Rzf z zf z
z R
( ) d , (5) ( )d
, ( ) ,l
l
f z z dz dsf z z
Ms M f z s l
的长度。
已知 :
数学物理方法
例8：试证明若当定理：若z在上半平面及实轴上趋于时， ( )f z 一致的趋于零（与辐角无关），则
lim ( ) 0imz
R CRf z e dz
式中 0m ， RC 是以原点为圆心， R为半径的上半圆周，如图所示。
R R
R
RC
证明： 当 z在 RC 上时， Reiz ，由复变函数的积分性质（5）可得
(cos sin )
0( ) (Re ) eimz i imR i i
CRf z e dz f e R id
sin sin
0 0(Re ) max (Re )i mR i mRf e Rd f R e d
数学物理方法
sin
0
sin sin2
02
0sin sin( )2
02
( )
mR
mR mR
mR mR
e d
e d e d
e d e d
2sin sin sin2 2 2 2
0 0 0 02 2
mRmR mR mRe d e d e d e d
22
0
2 (1 )2
mR
mRee
mR mR
lim ( ) lim max (Re ) (1 ) 0imz i mR
R RCRf z e dz f e
m
y
O
1
2y
2
12 siny
lim 0 z
f z
题设条件： （上半平面）
数学物理方法
思考：什么样的积分与路径有关？什么样的积分与路径无关？什么样的积分之值是零？
一 单连通区域的柯西定理( )( )
f z Df z D
设 在单连通区域 内解析，则 在 内沿任意闭曲线的积分为零
( )d 0l
f z z 注：柯西定理被人们称之为解析函数的基本定理
第二节 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
D
数学物理方法
1851年 , 黎曼在附加条件“ f'(z)在 D 内连续”的条件下 , 借助于 Green公式给出了一个简单的证明 ;
1900年 Goursat发表了柯西积分定理证明方法 , 他的证明较长且复杂 ;
2004年莫国瑞、刘开第采用逼近论的方法给出了柯西积分定理的一个较为简单的证明，证明中用到逼近论和实分析等许多高深的知识 ;
2005年王信松、陆斌采用调和分析的方法给出了柯西积分定理的一个简单证明 , 但是证明中用到了控制收敛定理等实分析的高级工具 , 不利于复变函数的教学 .
数学物理方法
D
复习：
数学物理方法
证明：( ) ( , ) i ( , )f z u x y x y v
根据格林公式：( )d d d i d d
l l lf z z u x y x u y v v
由 C-R条件 , u u
x y x y
v v
( )d 0l
f z z
( )d d i ( )d du u
x y x yx y x y
v v
D
数学物理方法
根据解析的定义：
( )f z 在闭单连通区域D中解析 ( )f z 在比D大一些的区域
D内可导 ( )f z 在区域D中解析
这样，D的边界线L就是D内的一条闭曲线，根据柯西定
理， ( )f z 沿L的积分为零
( ) 0L
f z dz
推论 1 若 ( )f z 在闭单连通区域D中解析，则 ( )f z 沿D的边
界L的积分为零。
数学物理方法
1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
AB BA AB AB
AB AB
l l l l l
l l l l
f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz
f z dz f z dz f z dz f z dz
l
D
1l
A
B
2l
推论 2 ( ) ( )l
f z D f z dz若 在单连通区域 内解析，则 与路径无关
单连通区域的柯西定理
( ) ( )f z D f z D设 在单连通区域 内解析，则 在 内沿任意闭曲线的积分为零 ( )d 0
lf z z
推论 1 若 ( )f z 在闭单连通区域D中解析，则 ( )f z 沿D的边
界L的积分为零。
推论 2 ( ) ( )l
f z D f z dz若 在单连通区域 内解析，则 与路径无关
数学物理方法
0 0
1d
( )nz z r
zz z
2 , 1,
0, 1.
i n
n
1 ? :1) 3 2;2) 2( 3)l
dzl z z
z
例
x
y
o 3
1 2 2)0i答： ）
2 ? : 3 2;
( 3)l
dzl z
z
例2
0答：
注：柯西逆定理不成立。 ( )
( )
f z D
f z D
在 内沿任意闭曲线的积分为零不能推出 在单连通区域 内解析
数学物理方法
例 3 .d)1(
1
2
12
iz
zzz
计算积分
解 ,11
211
)1(12
izizzzz
, 21
1
1 上解析都在和因为
iz
izz
根据柯西定理得
2
12 d
)1(1
iz
zzz
2
1
d1
211
211
iz
zizizz
x
y
o
i
数学物理方法
2
1
2
1
2
1
d1
21
d1
21
d1
iziziz
ziz
ziz
zz
0
2
1
d1
21
iz
ziz
i 221
.i
计算复变函数的环路积分： 首先应判断被积函数有无奇点？ 有何奇点？ 从而选择合适的公式计算。
数学物理方法
二 原函数和定积分根据推论 2，解析函数的积分与路径无关，设积分路径
的起点 0z ，终点为z，则积分上限的函数
0
( ) ( )z
zf d F z
是单连通区域内的单值函数。
现证明 是( )f z 的原函数 ( )F z
定理 若 ( )f z 是单连通区域D内的解析函数，则
0
( ) ( )z
zF z f d 也是D内的解析函数，且
0
( ) ( ) ( )z
z
dF z f d f z
dz
数学物理方法
y
x
o
D
z
0z
z z 证明：
根据积分上限函数的定义
0
( ) ( )z
zf d F z
则0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z z z
z z zF z z F z f d f d f d
由于解析函数的积分与路径无关，可取积分路径 2L 为直线。
设为直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给
0 ，必存在 0 ，使当 z ，有 ( ) ( )f f z
数学物理方法
y
x
o
D
z
0z
z z 则有 ( ) ( )( )
F z z F zf z
z
1 1( ) ( )
1( ) ( )
1 1( ) ( )
z z z z
z z
z z
z
z z z z
z z
f d f z dz z
f f z dz
f f z d dz z
这表明，当 0z 时， ( ) ( )F z z F z
z
的极限为 ( )f z ，即
0
( ) ( )( ) lim ( )
z
F z z F zF z f z
z
定理得证。
数学物理方法
由于 ( )F z 是 ( )f z 的一个原函数，所以 ( )F z C 构成原函数族，
则有：
0
( ) ( )z
zf d F z C
上式中令 0z z ，则有 0 0( ) 0 ( )F z C C F z ，从而
00( ) ( ) ( )
z
zf d F z F z
— — 解析函数的定积分公式
（形式上与牛顿— — 莱布尼兹公式相似）
数学物理方法
三 复连通区域的柯西定理
D
1L
2L
2L
2L
1L
1L
定理 若 ( )f z 在闭复通区域D解析，则 ( )f z 沿所有内、外边界
线 0( )kk
L L L 正方向积分之和为零
0
( ) ( ) ( ) 0kL L L
k
f z dz f z dz f z dz
“ ”正方向 是指，当沿内、外边界线环行时，D保持在左边。
换句话说，外边界线取逆时针方向，内边界线取顺时针方向。
数学物理方法
D
1L
2L
2L
2L
1L
1L
证明：作割线将闭复通区域变成闭单通区域。
闭单通区域的边界线由 0, 1 1 1 2 2 2, , , , ,L L L L L L L 构
成，则应用单连通区域的柯西定理推论 1有
0 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) 0L L L L L L L L
f z dz f z dz
又因
1 1
( ) ( )L L
f z dz f z dz
，2 2
( ) ( )L L
f z dz f z dz
代入上式得0 1 2
( ) ( ) ( ) 0L L L
f z dz f z dz f z dz
推广得：对于n连通区域，有n条独立的边界线，则
0
( ) ( ) 0kL L
k
f z dz f z dz
数学物理方法
推广得：对于n连通区域，有n条独立的边界线，则
0
0
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
k
k k
L Lk
L L Lk k
f z dz f z dz
f z dz f z dz f z dz
这表明 ( )f z 沿外边界线 0L （逆时针方向）的积分等于沿各内边
界线（逆时针方向）的积分之和。
数学物理方法
推论 3：
在 ( )f z 的解析区域中，积分回路连续变形，其积分值不变。
证明： 1 2
( ) ( )l l
f z dz f z dz
“ ”所谓 连续形变 是指，积分回路变形时不得跨越D以外的区域。
D
1l
2l
数学物理方法
l
aC
例 4 试证明： , 1( ) 2nnl
I z a dz i
式中a点在积分回路之内， nm 为克罗内克（Kronecker）符号，
简称符号，其定义为
1,
0, nm
n m
n m
,n m为整数
证明：（1）当 0n 时，被积函数( )nz a 为解析函数，有
( ) 0n
lz a dz 0n
（2）当 1n 时， 2( ) ( )l C
dz dzI i
z a z a
（3）当 1n 时， ( ) ( ) 0n n
l CI z a dz z a dz
数学物理方法
综上所述： , 1
2 , 1( ) 2
0, 1n
nl
i nI z a dz i
n
l
aC 此结论非常重要 , 用起来很
方便 , 因为 l 不必是圆 , a 也不必是圆的圆心 , 只要 a 在简单闭曲线 l 内即可 .
0 0
1d
( )nz z r
zz z
2 , 1,
0, 1.
i n
n
数学物理方法
例题 52
1,
Cdz
z z求 C 为包含 0与 1 的任何正向简单闭曲线。
解： 2
1 1 1
1z z z z
C
1C2C
0 1
2
1(1)
1C C C
dz dzdz
z z z z
（由闭路变形原理 ( 推论3) ）
2 11C C
dz dz
z z
2 2 0i i
数学物理方法
(2) (由复连通区域的柯西定理)
1 22 2 2
1C C C
dz dzdz
z z z z z z
1 1 2 21 1C C C C
dz dz dz dz
z z z z
0 2 2 0i i 0
C
1C2C
0 1
单连通区域的柯西定理
( ) ( )f z D f z D设 在单连通区域 内解析，则 在 内沿任意闭曲线的积分为零 ( )d 0
lf z z
推论 1 若 ( )f z 在闭单连通区域D中解析，则 ( )f z 沿D的边
界L的积分为零。
推论 2 ( ) ( )l
f z D f z dz若 在单连通区域 内解析，则 与路径无关
复连通区域的柯西定理定理 若 ( )f z 在闭复通区域D解析，则 ( )f z 沿所有内、外边界
线 0( )kk
L L L 正方向积分之和为零
0
( ) ( ) ( ) 0kL L L
k
f z dz f z dz f z dz
0
( ) ( )kL L
k
f z dz f z dz
( )f z在 的解析区域中，积分回路连续变形，其积分值不变。
推论 3
重要公式： , 1
2 , 1( ) 2
0, 1n
nl
i nI z a dz i
n
数学物理方法
解
2
2 1 d , 1
.
C
zz C z
z z
计算积分 为包含圆周
在内的任何正向简单闭曲线
,1 0
12
2
zz
zzz
和内有两个奇点
在复平面因为函数
依题意知 ,
x
y
o 1
CC也包含这两个奇点，
例 6
1 2 C ,C C在 内作两个互不包含也互不相交的圆周 和
,0 1 zC 只包含奇点 ,1 2 zC 只包含奇点
1C 2C
1 2: +C C C 则 构成复周线
打洞 !
数学物理方法
x
y
o 1
1C 2C
2
2 1d
C
zz
z z
21
d12
d12
22CC
zzz
zz
zzz
2211
d1
d1
1d
1d
11
CCCC
zz
zz
zz
zz
0220 ii
.4 i
Cauchy定理
重要公式
Cauchy定理
重要公式
数学物理方法
例 7 若 1
( )f zz a
在z a 的无心邻域内连续，积分回路是以
a点为圆心的圆弧 1 2( , )irC z a re ，试计算
rC
dzI
z a
的值。 解 将 iz a re 及 idz ire d 代入，可得
2 2
1 12 1( )
i
i
ire dI i d i
re
数学物理方法
四 小圆弧引理和大圆弧引理1· 小圆弧引理
若 ( )z 在z a 的无心邻域内连续，在小圆弧
1 2( , )irC z a re 上
0lim( ) ( )r
z a z k
一致成立，则
2 10lim ( ) ( )
rCrz dz ik
证明：根据0
lim( ) ( )r
z a z k
和极限的定义可得，任给 0 ，存
在 0 ，使当 z a r 时，有
( ) ( )z a z k
（则证得 2 1( ) ( )rC
z dz ik 即可）
数学物理方法
则 2 1( ) ( ) ( ) ( )r rC C
dzz dz ik z a z k
z a
2 1max ( ) ( ) ( )rC
dzz a z k
z a
由于可以任意的小，而 2 1( ) 为常量，即 2 1( ) 0
所以 2 1( ) ( ) 0rC
z dz ik
即 2 10lim ( ) ( )
rCrz dz ik
2 1( )rC
dzi
z a
数学物理方法
2· 大圆弧引理
若 ( )z 在无穷远点的无心邻域内连续，在大圆弧
1 2( , , )iRC z Re R 上 lim ( )
Rz z K
一致成立，则
2 1lim ( ) ( )RCR
z dz iK
1· 小圆弧引理
若 ( )z 在z a 的无心邻域内连续，在小圆弧
1 2( , )irC z a re 上
0lim( ) ( )r
z a z k
一致成立，则
2 10lim ( ) ( )
rCrz dz ik
数学物理方法
第三节 解析函数的柯西积分公式
0 ,z D
若 f (z) 在该闭区域内解析，则
00 0
( )d
( )= d
z zl
f zz
f zz
z zz z 0 0f z f z
0
000
2 π ( )1
( ) d .z z
f izz z
f zz
分析：一 有界区域的柯西积分公式
0 0
1 ( )d d
( ) ( )n nC C
f zz z
z z z z
D
l
0z
0z
数学物理方法
1 ( )( ) d
2 π l
f zf a z
i z a
1
2 l
for f z d
i z
---解析函数可用复积分表示。
单通区域的柯西积分公式：
如果 ( )f z 在单通区域D解析, a为D的内点，则
D
l
a
数学物理方法
[ 证 ] 由于 f (z) 在 a 连续 , 任给 >0, 存在 ()
>0, 当 |za|<时 , | f (z)f (a)| <.
设以 a 为中心 , R 为半径的圆周 K :|za|=R 全部在闭区域内部 , 且 R <.
( ) ( )d d
l K
f z f zz z
z a z a
( ) ( ) ( )
d dK K
f a f z f az z
z a z a
( ) ( )2 π ( ) d
K
f z f aif a z
z a
l
Ka
R
D
数学物理方法
( ) ( )d
K
f z f az
z a
d 2 π .
K
sR
| ( ) ( ) |d
| |K
f z f as
z a
1 ( )( ) d
2 π C
f zf a z
i z a
( ) ( ) ( )d -2 π ( ) d
K K
f z f z f az if a z
z a z a
数学物理方法
复连通域上的柯西积分公式
1
1 ( ) 1 ( )( )
2 i 2 i j
n
L Cj
f z f zf a dz dz
z a z a
设 D 是由 L , C1, C2 , … , Cn 围成的多连通区域，函数f(z) 在 内解析，则对 D 内任一点 ，D a
D
z aR
C1
C2
C3
L
数学物理方法
注： 1 ( )( ) d
2 π l
ff z
i z
1)更一般：
2)意义：解析函数在区域内的值由边界上的 积分值确定。3)可用来计算围道积分：
( )2 π ( ) d
l
fif z
z
1
d ?z
z
ez
z
0
1
d 2 2z
z
ez ie i
z
21
2
d ?( 1)
z
z i
ez
z z
21 1
2 2
( )d d 2 (sin1 cos1)
( 1) ( )
z
z z
z iz i z i
ee ez z i
z z i iz z z i z z i
数学物理方法
例 1 : ( 0,1,2)( 1)( 2)
z
C
edz C z r r
z z z
计算积分
解： ,10 r
C
z
dzz
zz
e
)2)(1(i
zz
ei
z
z
0
)2)(1(2
,21 r
21 CC
2 1
)2(C
z
dzz
zz
e
i
1)2(
2
z
z
zz
eii i
ei
3
2
,2r 321 CCC
1C2C 3C
01 2
数学物理方法
3 2)1(
3
2C
z
dzzzz
e
ie
i
2)1(
23
2
z
z
zz
eii
ei
ie
ie
i33
2 2
1C2C 3C
01 2
数学物理方法
二 无界区域中的柯西积分公式
无界区域的柯西积分公式： 如果 f (z) 某一闭曲线 L
及外部解析 , 并且满足 ，则对于曲线 L 的外部 a 有
这就是无界区域中的柯西积分公式
| | , ( ) 0z f z
1 ( )( ) d
2πi L
f zf a z
z a
a
RC
R
L
数学物理方法
a
RC
R
L
[ 证 ] 以 原点为中心 , 以 R 为半径的圆周 CR,将 L
和 a 全部包含在内，根据复连通区域的柯西积分公式得到 1 ( )
d2πi
1 ( )( ) d
2πiR LC
f f zz
af
zz
zza
a
| | | | | | | |z a z a R a
( ) ( )( )| d |
2 π 2π
| | 1 | | /
R R RC C C
f z f zf zz dz dz
z a z a z a
RM M
R a a R
根据条件当 ，即有 。| | , ( ) 0z f z | | , 0z M 1 ( )
d 02πi RC
f zz
z a
1 ( )( ) d
2 π l
f zf a z
i z a
单通区域的柯西积分公式：
如果 ( )f z 在单通区域D解析, a为D的内点，则
D
l
a
复连通域上的柯西积分公式
1
1 ( ) 1 ( )( )
2 i 2 i j
n
L Cj
f z f zf a dz dz
z a z a
设 D 是由 L , C1, C2 , … , Cn 围成的多连通区域，函数f(z) 在 内解析，则对 D 内任一点 ，D a
无界区域中的柯西积分公式
无界区域的柯西积分公式： 如果 f (z) 沿某一闭曲线 L 及外部解析 , 并且满足 ，则对于曲线 L 的外部 a 有
| | , ( ) 0z f z
1 ( )( ) d
2πi L
f zf a z
z a
数学物理方法
例 2 计算积分 2 2
d
( )( 3 )L
zI
z a z a
， L为：| | 2 ( 0)z a a
解法 1：被积函数 2 2
13( ) z af z
z a在积分区域 L内部有两个奇
点 1 2,z a z a ．设 1l 仅含奇点 1z ， 2l 仅含奇点 2z ，
1 22 2
2
1 1d ( )( 3 ) ( )( 3 )
d d( )( 3 )
1 1 2πi | 2πi |
( )( 3 ) ( )( 3 )
1 1 πi 2πi 2πi
2 ( 2 ) ( 2 )( 4 ) 4
L l l
z a z a
z z a z a z a z aI z z
z a z a z a z a
z a z a z a z a
a a a a a
1l2l
0a a
数学物理方法
解法 2：将上式逆时针方向转化为顺时针方向积分，则被积
函数2 2
1
3z az a
在 L外部仅有一个奇点 3z a ，且当 | |z 时，
2 2
1( ) 0f z
z a
，满足无界区域的柯西积分公式条件．故有
2 2 2 2
d d
( )( 3 ) ( )( 3 )L L
z zI
z a z a z a z a
2 2
32 2 2
11 πi( )
d 2πi |( 3 ) 4z aL
z az
z a z a a
数学物理方法
100| | 98.5
1
d
( )z
k
zI
z k
例 3 求积分
100 100| | 98.5 | | 98.5
1 1
d d
( ) ( )z z
k k
z zI
z k z k
10099
199 1
99 0.5 100 0.5
11
( )( )
d d( 99) ( 100)
kk k
z z
z kz k
z zz z
100 99
1 199
1 1 1 12 2 2 2
98 97 2 1 ( 1) 99!(99 ) (100 )
1 1 98 22 2 2
98! 99! 99! 99 97!
k kk
i i i ik k
ii i i
解：
（复连通区域柯西定理）
数学物理方法
特别说明：显然当积分区域内部的奇点多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计算．
数学物理方法
一个解析函数不仅有一阶导数 , 而且有各高阶导数 , 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示 . 这一点和实变函数完全不同 .
三 解析函数的高阶导数
解析函数的高阶导数公式：
若 ( )f z 在D内解析， z为D的内点，则 ( )f z 在D内可求
导任意多次，且
( )1
! ( )( ) d ( 1,2, )
2π ( )n
nC
n ff z n
i z
数学物理方法
[ 证 ] 设 z为 D 内任意一点 , 先证 n=1 的情形 , 即
因此就是要证
Δ 0
( Δ ) ( )( ) lim ,
Δz
f z z f zf z
z
由
Δ 0 .z 在 时也趋向于零
2
1 ( )( ) d
2 π ( )C
ff z
i z
2
1 ( ) ( Δ ) ( )d
2 π ( ) ΔC
f f z z f z
i z z
1 ( )( ) d
2 π C
ff z
i z
1 ( )( ) d .
2 π C
ff z
i z
1 ( )( Δ ) d
2 π ( Δ )C
ff z z
i z z
( Δ ) ( ) 1 ( )d
Δ 2 π ( )( Δ )C
f z z f z f
z i z z z
数学物理方法
因此 2
1 ( ) ( Δ ) ( )d
2 π ( ) ΔC
f f z z f z
i z z
2
1 ( ) 1 ( )d d
2 π ( ) 2 π ( )( Δ )C C
f f
i z i z z z
2
1 Δ ( )d
2 π ( ) ( Δ )C
zfI
i z z z
现要证当 z0时 I0, 而
2
1 Δ ( )| | d
2 π ( ) ( Δ )C
zfI
z z z
2
1 | Δ || ( ) | d
2 | | | Δ |C
z f s
z z z
数学物理方法
1 1| | , ,
| |z d
z d
| Δ | | | | Δ | ,2
dz z z z
1 2,
| Δ |z z d
2 3
1 | Δ || ( ) | d| | | Δ |
2 π | | | Δ | πC
z f s MLI z
z z z d
这就证得了当 z0时 , I0.
Dz
d
C
f (z) 在 上解析 , 则有界 , 设界为 M, 则在 C 上有 |
f (z) | M. d 为 z到 C 上各点的最短距离 , 则取 |z| 适当地小使其满足 |z| < d/2, 因此
D
数学物理方法
这就证得了
Δ 0
( Δ ) ( )lim
Δz
f z z f z
z
再利用同样的方法去求极限 :
2
1 ( )( ) d
2 π ( )C
ff z
i z
3
2! ( )( ) d
2 π ( )C
ff z
i z
便可得
依此类推 , 用数学归纳法可以证明 :
( )1
! ( )( ) d
2 π ( )n
nC
n ff z
i z
数学物理方法
注：高阶导数公式的作用 , 不在于通过积分来求导 , 而在于通过求导来求积分 .( ) ( )
1 1
! ( ) ( ) 2( ) d ( )
2 π ( ) ( ) !n n
n nCC
n f f if z dz f z
i z z n
1?( 0)
z
nz
edz n
z
1
2 1
( 1)!
0 0
z
nz
ine
ndzz
n
答案
数学物理方法
例 4 求下列积分的值 , 其中 C 为正向圆周 : | z | = r >1.
C
z
C
zz
zz
zd
)1(
e)2;d
)1(
cos)1 225
[ 解 ] 1) 函数 在 C 内的 z=1 处不解析 , 但
cosz在 C 内却是处处解析的 .
5)1(
cos
z
z
.12
)(cos)!15(
2d
)1(
cos 5
1
)4(5 | i
zi
zz
zz
C
数学物理方法
2 22)
( 1)
z
C
edz
z 1 2C C
1 2C C
C
2C
1C
21
2
2
2
2
)(
)(
)(
)(C
z
C
z
dziz
iz
e
dziz
iz
e
iz
z
iz
z
iz
e
iz
ei
22 )()(2
)4
1sin(2 i
数学物理方法
练习3
4 22 1
1 cos (1) d ; (2) d .
( 1)
z
z z
z e zz z
z z
求积分
解 3(1) 1 , z 函数 在复平面内解析
1 2 , a z 在 内 3,n
3
42
1d
( 1)z
zz
z
3
1
2[ 1]
3! z
iz
2 ;i
( )1
! ( ) ( ) d
2 ( )n
nC
n f zf a z
i z a 根据公式
数学物理方法
21
cos(2) d
z
z
e zz
z
cos , ze z函数 在复平面内解析
0 1 , a z 在 内 1,n
21
cosd
z
z
e zz
z
0
2( cos )
1!z
z
ie z
02 [ cos sin ]z z
zi e z e z
2 .i
数学物理方法
例 5 已知函数22( , ) tq tt q e ，求证
2 2
0
( , )( 1)
n nn q q
n n
t
t q de e
t dq
（1） 令 ,t 根据高阶导数公式： ( )1
! ( )( ) d
2 π ( )n
nC
n ff z
i z
( , )t q 对t的偏导数可写为：
2
100 0
2
1
( , ) ( , ) ! ( , )
2 ( )
!
2
n n
n n nLtt t
q
nL
t q q n qd
t i t
n ed
i
数学物理方法
（2）做变换 q z ，注意到 2 2 2 22 2( ) ( )q q z q q z q ze e e ，
上式变为
2 2
2
2
2
2
1
0
1
( , ) !( )
2 ( )
!( 1)
2 ( )
( 1)
n q z
n nLt
zn q
nL
n qn q
n
t q n edz
t i q z
n ee dz
i z q
d ee
dq
数学物理方法
0 0
1 ( )d d
( ) ( )n nC C
f zz z
z z z z
1. 柯西定理2. 重要公式
1. 柯西积分公式2. 高阶导数公式
数学物理方法
2π
0
1 ( )( ) e d
2 π e
ii
i
f z Ref z iR
i R
2π
0
1( )d
2 πif z Re
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值 .
四 柯西公式的推论1 平均值公式如果 C 是圆周 , 则柯西积分公式：iz Re
1 ( )( ) d
2 π C
ff z
i z
z
x
y
o
R
数学物理方法
( ) !( ) ( max ( ) )
R
nn C
M nf a M f z
R
2 柯西不等式：
证明： ( ) ( )1 1
! ( ) ! ( )( ) ( )
2 ( ) 2 ( )R R
n nn nC C
n f z n f zf a dz f a dz
i z a i z a
( )1
( )!( )
2 R
nnC
f znf a dz
z a nn R
nMR
R
Mn !2
2
!1
注 1 ：解析函数的导数模的估值与区域的大小有关；0 ( ) max ( )
RCn f a M f z 注 2 ：
( ) ( )Rf z C z a R 在闭区域 内解析
数学物理方法
3 刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数。 , intR RC R z C
( )1
! ( )( ) ,
2 ( )R
nnC
n ff z d
i z
( )f M
0)( zf .)( constzf
证明：对复平面上任一点 z ，
1)“ 在整个复平面解析且有界的复变函数必是常数”。由此我们是否可推断：“在整个数轴上解析且有界的实函数一定是常数”？2)ez,sinz 等不为常数，所以均无界。
( ) !( ) ( ) 0n
n
M n MR f z f z
R R 当 时，
z x
y
oR
数学物理方法
4 最大模原理：( ) ( )f z D f z在 上解析，则 在边界上取到最大值。
证明：max ( ) , ( ),
DM f z L L D
, z ,z D d设 为 与边界间的最小值
( )1( )
2
nn
D
ff z dz
i z
( )1( )
2
nn
D
ff z d
z
Ld
M n
2
1
1
( ) ( )2
nL
f z M M nd
( )f z M
注： 时，当 constzf )( ( )f z D在且只在 上取到最大值。
数学物理方法
数学物理方法
数学物理方法
数学物理方法
