第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分

第四章 解析函数的幂级数表示法第五章 解析函数的罗朗展示与孤立奇点第六章 残数理论及其应用第七章 保形变换

Department of Mathematics

第一章 复数与复变函数第一节 复数第二节 复平面上的点集

第三节 复变函数第四节 复球面与无穷远点

第一章 复数与复变函数第一节 复数1 复数域2 复平面3 复数的模与辐角4 复数的乘幂与方根5 共轭复数6 复数在几何上的应用举例Department of

Mathematics

1 、复数域：

（ 1 ）复数的有关概念

，

z x iy x Ry

1i x y z

zx Re zy Im

每个复数 具有 的形状，其中 和 ，

是虚数单位； 和 分别称为 的实部和虚部，

。分别记作

复数 111 iyxz 和 222 iyxz 相等是指它们的实部与虚部分别

相等。

如果 0Im z ，则 z 可以看成一个实数；

如果 0Im z ，那么 z 称为一个虚数；

如果 0Im z ，而 0Re z ，则称 z 为一个纯虚数。

因此，全体实数是全体复数的一部分．

（ 2 ）复数的四则运算

复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下， 构成一个复数域 ( 对加、减、乘、除运算封闭），记为 C ，复数域可以看成实数域的扩张 .

);()()()( 21212211 bbiaaibaiba

);()())(( 122121212211 babaibbaaibaiba

.)(

)(22

22

211222

22

2121

22

11

ba

babai

ba

bbaa

iba

iba

2 复平面 复数域 C 也可以理解成平面 RxR ，我们称 C 为复平面 .

作映射：

则在复数集 C与平面 RxR之建立了一个 1-1 对应（双射） .

平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为 z- 平面， w- 平面等 .

).,( yxiyxz :2RC

“ ” “ ”引进复平面后，我们在 数 与 点 之间建立了一一对应关系，

“ ” “ ” “ ” “为了方便起见，今后我们就不再区分 数 和 点 及 数集 和 点集。

( , )x y

必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．

3 复数的模与辐角（ 1 ）模与辐角及辐角主值

复数可以等同于平面中的向量， iyxz 。

向量的长度称为复数的模，定义为： 22|| yxz ；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，

定义为： ix

yz 2arctanArg （ Zk ）。 tan ,

yArgz

x

我们知道非零复数有无限多个辐角，

今后以 arg z表示其中的一个特定值，并称合条件

arg z 的一个为主值，或称之为 z的主辐角。

于是， arg 2 , ( 0, 1, 2, )Argz z k k 。

注意：当 z=0时辐角无异议。

当 z 0 arg , tan arctany y

z z Arcx x

时 表示 的主辐角它与反正切 的主值

有如下关系（ arg z ， arctan2 2

y

x

）

( 0)

arctan , 0, 0;

, 0, 0;2

arctan , 0, 0;

arctan , 0, 0;

0, 0;

argz

yx y

x

x y

yx y

xy

x yx

x y

z

当

当

当

当

- ,当2

（ 2 ） 复数的三角形式

非零复数的三角表示定义为：

复数加、减法的几何表示如下图：

).sin(cos|| ArgziArgzzz

2z

1z0

21 zz

21 zz 2z

2z

1z2z

（ 3 ） 复数加法的几何表示

基本不等式

关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

|;|||||)1( 2121 zzzz

||;||||||)2( 2121 zzzz

|;|||||)3( 2121 zzzz

||;||||||)4( 2121 zzzz

|;||Im||,||Re|)5( zzzz

.||)6( 2 zzz

2z

1z0

21 zz

21 zz 2z

2z

1z2z

（ 4 ）三角表示的乘法

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法 ，设

其中后一个式子应理解为集合相等 .

),sin(cos|| 1111 ArgziArgzzz

),sin(cos|| 2222 ArgziArgzzz 则有

)],sin()[cos(|||| 21212121 ArgzArgziArgzArgzzzzz

|,||||| 2121 zzzz

,)( 2121 ArgzArgzzzArg

同理，对除法，也有：

其中后一个式子也应理解为集合相等 .

)],sin( )[cos(||/||/ 21212121 ArgzArgziArgzArgzzzzz

,)/( 2121 ArgzArgzzzArg

|,|/|||/| 2121 zzzz

（ 5 ）复数的指数形式及运算 从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数 z，即有

(cos sin )z r i (1.1)

同时我们引进著名的欧拉 ( )Euler 公式：

cos sinie i (1.2)

则

(1.1)可化为 iz re (1.3)

(1.3)称为非零复数 z的指数形式，

由 (1.3)式几指数性质即可推得复数的乘除有

1 2 1 2

1

1 2

2

( )1 2 1 2 1 2

( )1 1 1

2 2 2

i i i

ii

i

z z re r r r e

z re re

z r r

(1.4)

因此 1 2 1 2z z z z ， 11

2 2

zz

z z 2( 0)z (1.5)

1 2 1 2

11 2

2

( )

Argz z Argz Argz

zArg Argz Argz

z

(1.6)

公式 (1.5)与 (1.6)说明：两个复数 1z ， 2z 的乘积（或商），

其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．

特别当 2 1z 时可得 1 2( )1 2

iz z re 。

此即说明单位复数 2 1z 乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．

另外，也可把公式 (1.6)中的 Argz换成 argz（某个特定值），若 argz为主值时，

则公式两端允许相差 2 的整数倍，即有

1 2 1 2

11 2

2

( ) 2

( ) 2

Arg z z argz argz k

zArg argz argz k

z

(1.7)

公式 (1.4)可推广到有限个复数的情况，特别地，当 1 2 nz z z 时，有

( ) (cos sin )n i n n in nz re r e r i (1.8)

当 1r 时，就得到熟知的德摩弗 ( )DeMoiVre 公式：

(cos sin ) cos sinni n i n (1.9)

4 、 复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

)sin(cos|| nArgzinArgzzz nn

，则令 nn

zz

1

)],sin( )[cos(|| nArgzinArgzzz nn

,sincos)sin(cos nini n

进一步，有：

)]1

sin()1

[cos(||1

Argzn

iArgzn

zz nn

)],2

arg1

sin()2

arg1

[cos(||n

kz

ni

n

kz

nzn

可以看到， k=0,1,2,…,n-1 时，可得 n 个不同的值，即 z

有 n 个 n 次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上 . 这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形 .

5 、共轭复数复数的共轭定义为： iyxz ；显然 , ,z z Argz Argz

,z z这表明在复平面上 与 两点关于实轴是对称的。

我们也容易验证下列公式：

1 2 1 2

1 11 2 1 2 2

2 2

2

(1) , ,

(2) , ( ) ( 0),

(3) ,Re , Im ,2 2

(4) ( , , ) , , ,

R(a,b,c ) ( , , )

z z z z z z

z zz z z z z

z z

z z z zz zz z z

iR a b c a b c

R a b c

设 表示对于复数 的任一有理运算

则

6 、曲线的复数方程1、连接 1z 及 2z 两点的线段的参数方程为

1 2 1( ) (0 1)z z t z z t

过 1z 及 2z 两点的直线（图 ）的参数方程为

1 2 1( ) ( )z z t z z t

2、 z平面上以原点为心， k为半径的圆周的方程为

z R

z平面上以 0z 为心，R为半径的圆周的方程为

0z z R

3、 z平面上实轴的方程为 Im 0z ，

虚轴的方程为Re 0z .

例 1   试用复数表示圆的方程：,0)( 22 dcybxyxa

yzz

xzz

yxzz

2

,2

,22

,0 dzzzaz

).(2

1icb

解：利用

其中 a,b,c,d是常数 .

得：

其中，

7 、例题分析

例 2  设 、 是两个复数，证明：1z 2z

,, 21212121 zzzzzzzz

.11 zz

,, 222111 iyxziyxz 证明：设

)()( 221121 iyxiyxzz 则

)()( 2121 yyixx

)()( 2121 yyixx

,212211 zziyxiyx

))(( 221121 iyxiyxzz 则

)()( 21212121 xyyxiyyxx

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )x x y y i x y y x

212211 ))(( zziyxiyx

])()([)])(([ 21212121 xyyxiyyxx

.111111 ziyxiyxz

例 3 设 、 是两个复数，求证：1z 2z

).Re(2|||||| 212

22

12

21 zzzzzz

)(|| 21212

21 zzzzzz ）（证明：

））（ 2121 ( zzzz

21212211 zzzzzzzz

21212

22

1 |||| zzzzzz

).Re(2|||| 212

22

1 zzzz

a b

.0Im ab

az直线：

,,0arg ab

az

是实数，所以即abaz

例 4 作出过复平面 C上不同两点 a,b的直线表示式 .

4 )1( i

),4

sin4

(cos21

ii

所以有

)]24

(41

sin)24

(41

[cos2)1( 84 kiki

)]216

sin()216

[cos(2)1( 84 k

ik

i

3,2,1,0k 有四个根 .

例 5 求所有值：

解：由于

例 6 求cos3及 sin 3 用cos 与 sin 表示的式子

解： 3cos3 sin 3 (cos sin )i i （ ）=

3 2 2 3cos 3 cos sin 3cos sin sini i

3 2 3cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos

2 3 3sin 3 3cos sin sin 3sin 4sin

例 7、设 1z 、 2z 是两个复数，证明

1 2 1 2 ;z z z z 1 2 1 2z z z z ； 11 zz

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设 1z 、 2z 是

两个非零复数，则有

)sin(cos|| 1111 ArgziArgzzz )sin(cos|| 2222 ArgziArgzzz

则有

)]sin(

)[cos(||||

21

212121

ArgzArgzi

ArgzArgzzzzz

即 |||||| 2121 zzzz ， 2121 )( ArgzArgzzzArg ，其中后一个式子应理解为集合相

等。 同理，对除法，有

)]sin(

)[cos(||/||/

21

212121

ArgzArgzi

ArgzArgzzzzz

即 ||/|||/| 2121 zzzz ， 2121 )/( ArgzArgzzzArg ，其后一个式子也应理解为集

合相等。

1. 思考题

2. 作 业

1. 思考题

2. 作 业