第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分

§1 复积分的概念及其简单性质

§2 柯西积分定理

§3 柯西积分公式及其推论

§4 解析函数与调和函数的关系

第第 11 节 复积分的概念及其简单性质节 复积分的概念及其简单性质1. 复变函数积分的定义 : 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线 .

定义 3.1 设有向曲线 C: 以 为起点 , 为终点 , 沿 C 有定义 . 顺着 C 从 a 到 b的方向在 C 上取分点 : 把曲线 C 分成若干个弧段 ( 图 3.1)

其中

图 3.1

( ), ( )z z t t

( )a z ( )b z ( )f z

bzzzzza nn ,...,,, 1210

1k k kz z 在从 到 (k=1, 2, , n)的每一弧段上任取一点 ，作成和数

1

( )n

n k kk

s f z

1k k kz z z .

当分点无限增多 , 而这些弧段长度的最大值趋于零时 , 如果和数 的极限存在且等于 J, 则称 沿 C( 从 a 到 b) 可积 , 而称 J 为 沿 C( 从 a 到 b) 的积分 ,

并以记号 : 表示 :

C 称为积分路径 . 表示沿 C 的正方向的积分 , 表示沿 C 的负方向的积分 . 定理 3.1 若 沿曲线 C 连续 , 则 沿 C 可积 , 且

(3.1)

ns( )f z ( )f z

( )dCf z z

( )dC

J f z z( )d

Cf z z

( )dCf z z

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y ( )f z

( )c c cf z dz udx vdy i vdx udy

证 : 设

上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数 . 在定理的条件下 ,必

有 沿 C 连续 , 于是这两个曲线积分都是存在的 , 因此 , 积分

存在 , 且有公式 (3.1)

1 1

11 1 1

, ,

, ( , ) , ( , )

: ( )( ) )( ) ( ) ( )

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

n n n

n k k k k k k k k k k k k k kk k k

z x iy x x x y y y

i u u v v

s f z z iv x i y u x v y i u y v x

n

kk=1

得 (u

( , ) ( , )u x y v x y及

( )dCf z z

例 3.1 命 C 表连接点 a 及 b 的任一曲线 , 试证 :(1) (2) 证 : (1) 因

(2) 因

取 由定理 3.1 可知积分 存在 , 且应与

的极限相等 , 从而应与 的极限相等 , 今

dCz b a 2 21

d ( ).2C

z z b a 1

1 max| | 0

( ) 1, ( ) , lim ,k

n

n k k nx

k cz

f z s z z b a s b a dz b a

故 即

1 1 11

( ) , , : 1 ( )n

k k k k kk

f z z z z z z

选 则得

11

, : 2 ( )n

k k k k kk

z z z z

则得 dCz z

1 2 及 12 ( 1 2)

2 2 2 2 21 2

1

1 1 1 1( 1 2) ( ) ( ), d ( ).

2 2 2 2

: , 0, 0

n

k k Ck

c c

z z b a z z b a

C dz zdz

故

注 当 为闭曲线时

2. 复变函数积分的计算问题 设有光滑曲线 C:

'

' ' '

' '

( ) ( ) ( )( ), ( ) [ , ]

( ) ( ) ( ). ( ) , [ ( )] [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ) ( )

(3.1) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( )

c c c

z z t x t iy t t z t

z t x t iy t f z C f z t u x t y t iv x t y t u t iv t

f z dz udx vdy i udy vdx u t x t v t y t dt

i u t y

这就表示 在 上连续且有不为零的导数

又设 沿 连续 今

由公式 有

' ' '

' '

( ) ( ) ( )] , ( ) [ ( )] ( ) ,(3.2)

( ) Re{ [ ( )] ( )} Im{ [ ( )] ( )} , (3.3)

c

c

t v t x t dt f z dz f z t z t dt

f z dz f z t z t dt i f z t z t dt

即

或

例 3.2

这里 C 表示以 a 为心 ,p 为半径的圆周 ( 注 : 积分值与 a,p 无关 )证 : C 的参数方程为 :

2 , ( 1)d

0, ( 1 )( )nC

i nz

nz

的整数

ieaz

(3.2) 2 2

0 0

(3.2) 2 2 ( 1)10 0

2 2

1 0 0

d2 .

1

( )

[ cos( 1) sin( 1) ] 0

i

iC

ii n

c n n in n

n

z i e di d i

z e

n n

dz i e d ie d

z a e

in d i n d

当 为整数且 时

3. 复变函数积分的基本性质 : 设 f(z),g(z) 沿曲线 C 连续 , 则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质 :

为复常数）azzfazzafCC

()()().1( dd

(2). [ ( ) ( )]d ( )d d C C Cf z g z z f z z g(z) z

1 21 2(3). ( )d ( )d d ( )

C C Cf z z f z z f(z) z C C C 其中 由曲线 和 衔接而成

dd CC

zzfzzf )()().4(

2 2

1 1

(5). | ( )d | | ( ) || | | ( ) |

( ) ( )

(5) , :

| ) | | ( ) || | | ( ) |

c cC

n n

k k k k kk k

f z z f z dz f z ds

dx dy ds

z f z f s

n

kk=1

这里| dz|表示弧长的微分,即: | dz| =

要得到 式只要对下列不等式取极限

f (

定理 3.2( 积分估值 ) 若 f(z) 沿曲线 C 连续 , 且有正数 M>0 使L 为 C 之长 , 则 :

证 : 由不等式 : 取极限即可 .

| ( ) |f z M

| ( )d |Cf z z ML

1

| ) | | |

n

k kk

z M z ML

n

kk=1

f (

例 3.3 计算积分 :

解 : (1) 连接 o 及 1+i 的直线段的参数方程为 :

(2) 连接 o 与 1 的直线段的参数方程为 :连接点 1 与 1+i 的直线段的参数方程为：

Re , (

(1)

c zdz C

o

其中积分路径 图3. 2)为:

连接由点 到点1+i的直线段(2)连接由点o到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所成的折线

(1 ) (0 1),z i t t

1 1

0 0

1Re {Re[(1 ) ]}(1 ) (1 )

2c

izdz i t i dt i tdt

故

(0 1)z t t

(1 ) (1 ) (0 1) 1 (0 1)z t i t t z it t 即

1 1 1 1

0 0 0 0

1Re Re [Re(1 )]

2c zdz tdt it idt tdt i dt i 故

ͼ3.2

1

y

x

1+i

O

§§ ２　柯西积分定理２　柯西积分定理

1. 柯西积分定理定理 3.3 设 在 Z 平面上的单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任意一条围

线，则

证明：令 ，由公式 (3.1) 得 　由假设 在 D 内连续，从而 在 D 内连续，且 C-R 满足条件： 根据格林（ Green ）定理有 ， 因此

( ) 0Cf z dz

, ( ) ( , ) ( , )z x iy f z u x y iv x y

( )C C Cf z dz udx vdy i vdy udx

( )f z

( )f z

, , ,x y x yu u v v

,x y y xu v u v 0Cudx vdy

0Cvdx udy ( ) 0

Cf z dz

定理 3.4 设 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任意一条闭曲线（ C 不必为简单闭曲线），则

推论 3.5 设 在单连通区域 D 内解析，则对于 D 内任意两点 与 ，积分值 与连接起点 与终点 的路径无关．

证明：设 与 是 D 内连接 与 的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线 就连接成 D 内的一条闭曲线 C ， 从而由柯西积分定理及 § １的性质（３）有 :

因此

( )f z

( ) 0Cf z dz

( )f z 0z 1z1

0

( )z

zf z dz 0z 1z

1C 2C 0z 1z 1C

2C

1 2

0 ( ) ( ) ( )C C Cf z dz f z dz f z dz

1 2

( ) ( )C Cf z dz f z dz

２．不定积分定理 3.6 设 在单连通区域 D 内解析，则由 (3.5) 定义的函数 在 D 内解析，且

证明： 作一个以 Z 为心，以充分小的 为半径的圆 ，使得 在 内 取动点 ，则

由于积分与路径无关，因而我们可取 的积分路径为由 沿 与相同的路径到 Z , 再从 Z 沿直线段到 , 从而有

于是

图 3.3

( )f z ( )F z( ) ( )F z f z

z D C C D C

( 0)z z z

0 0

( ) ( ) 1[ ( ) ( ) ]

z z z

z z

F z z F zf d f d

z z

0

( )z z

zf d

0z

0

( )z

zf d z z

0

( ) ( ) 1( )

z z

z

F z z F zf d

z z

0

( ) ( ) 1( ) ( ) ( )

z z

z

F z z F zf z f d f z

z z

0 0 0

1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

z z z z z z

z z zf d f z d f d f z d

z z z

但已知 在 D 内连续，所以对 ，可取上述的 充分小，使得在 内的一切点 均有 ， 从而由定理 3.2 有

即

定理 3.7 设 (1) 在单连通区域 D 内连续．(2) 沿区域 D 内任一条围线 C 的积分为零，则函数（ 为 D 内一定点）在 D 内解析，且 ( )

定义 3.2 设 在区域 D 内连续，则称满足 条件（ ）的函数 为 的一个原函数．定理 3.8 （牛顿－莱布尼兹公式）在定理 3.6 或定理 3.7 的条件下，

(3.7)

( )f z 0 C

( ) ( )f f z

0

( ) ( ) 1( ) [ ( ) ( )]

z z

z

zF z z F zf z f f z d

z z z

0

( ) ( )( ) lim ( )

z

F z z F zF z f z

z

( )f z

( )Cf d

0

( ) ( )z z

zF z f d

0z ( ) ( )F z f z z D

( )f z [ ( )] ( )z f z z D ( )z( )f z

00( ) ( ) ( )

z

zf d z z 0 ,z z D

例 3.5

解：因为 在 z 平面上解析， 为 的一个原函数，故由（ 3.7 ）式即得

例 3.6 求

解：因为 在平面上解析，且 为它的一个原函数，故

2 3

0

iz dz

3z

4

4

z3z

42 3 2 4

00

1(2 )

4 4

i izz dz i

2cosb

az z dz

2cosz z21

sin2

z

2 2 2 21 1cos sin (sin sin )

2 2

b baa

z z dz z b a

３．柯西积分定理的推广

定理　 设 C 是一条围线， D 是 C 的内部， 在闭区域 上解析， 则

定理 3.9 设 C 是一条围线， D 是 C 的内部， 在 D 内解析，在 上连续，则

3.3 ( )f z D D C

( ) 0Cf z

( )f z D D C

( ) 0Cf z dz

§§ ３　柯西积分公式及其推论３　柯西积分公式及其推论

１．柯西积分公式定理 3.10 （柯西积分公式）设围线 C 是区域 D 的边界， 在 D 内解析， 在 上连续，则 　 （ ）（ 3.9 ）

证明：对于任意固定一点 ，则函数 作为 的函数在 D 内除点 z 外解析．现以点 z 为心，充分小的 为半径作圆周 ，使 对于复围线 及函数 ，应用定理 3.10 的（ 3.8 ）式有

而由例 3.2 知

( )f z

D D C 1 ( )( )

2 C

ff z d

i z

z D

z D( )

( )f

Fz

0 L L D

C L ( )F

( ) ( )C L

f fd dz z

( )2

L

fd iz

因此

又 根据的连续性知对 ，只要 时，就有 ( )

于是由定理 3.2 知 由的任意性即知，有 （ 3.10 ）

故有

( ) ( )2 ( ) 2 ( )

C L

f fd if z d if zz z

( ) ( ) ( ) ( )C L L

f f f f zd d dz z z

( )f 0, 0 z

( ) ( )2

f f z

L

( ) ( ) ( )2 ( )

C L

f f f zd if z dz z

22

( )2 ( )

C

fd if zz

z D

1 ( )( )

2 C

ff z d

i z

例 3.7 　求 ，其中 C 为圆周 　解：因为在闭圆上解析．所

以满足定理 3.11 的条件，故由（ 3.10 ）式有

又知 这是因为 在 z 平面上解析

定理 3.12 若函数 在圆 内解析，在闭圆 上连续，则

即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均值．

2(9 )( )Cd

i

2

2

2 2

(9 )2

(9 )( ) ( ) 9 5iC Cd d i

i i

0

1 sin 1 sin2 2 sin 0

2 2 0 zz z

z zdz dz z

i z i z sin z

( )f z0z R

0z R

2

0 00

1( ) ( Re )

2if z f z d

( )f z

0z

2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式（ 3.10 ）形式地在积分号下求导后得： （ 3.14 ）

再求导一次得 由此我们推得定理 3.13 　在定理 3.10 的条件下，函数 在区域 D 内有各阶导数，且有

　　（ ）　　（ 3.15 ）

证明：首先，当 时，我们证明（ 3.14 ）式成立，应用（ 3.10 ）我们有( )因此

2

1 ( )( )

2 ( )C

ff z d

i z

z D

3

2! ( )( )

2 ( )C

ff z d

i z

( )f z

( )1

! ( )( )

2 ( )n

nC

n ff z d

i z

, 1, 2,z D n

1n

0z ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( )[ ]2 2C C

f z z f z f fd d

z z i z z i z

1 ( )

2 ( )( )C

fd

i z z z

2

( ) ( ) 1 ( )

2 ( )C

f z z f z fd

z i z

2

1 ( ) 1 ( )

2 ( )( ) 2 ( )C C

f fd d

i z z z i z

2

1 ( )

2 ( ) ( )C

zfd

i z z z

由定理 3.11 的条件知 ，使得 均有 ，从而

因此由定理 3.2 知

故对 ，只要 ，有

即有 于是（ 3.14 ）式成立

0M C ( )2

df

2

dz z z z

2 32

1 ( )

2 ( ) ( ) 22

C

z z MLzf MLd

di z z z dd

3

0, min( , ) 02

d d

ML

z

2 3

( ) ( ) 1 ( )

2 ( )C

z MLf z z f z fd

z i z d

20

( ) ( ) 1 ( )( ) lim

2 ( )Cz

f z z f z ff z d

z i z

例 3.8 计算　 其中是绕一周的围线

解：因为 在 z 平面上解析，故应用公式（ 3.15 ）得

定理 3.14 设 在区域 D 内解析，则 在 D 内具有各阶导数，并且它们也 都在 D 内解析．

证明： ，则我们作一个以 为心，以充分小 的为半径的圆使得

此闭圆全含于 D 内，则由定理 3.13 和 在此圆内有各阶导数，特别地

在 有各阶导呼，再由 的任意性即推得 在 D 内有各阶导数．

3

cos

( )C

zdz

z i

cos z

1

3

cos 2(cos ) cos

( ) 2! 2nz iC

z i e edz z i i i

z i

( )f z ( )f z

0z D 0z 0

( )f z

( )f z0z 0z D

( )f z

３．柯西不等式与刘维定理定理 3.15 （柯西不等式）设 在区域 D 内解析， 为 D 内一点，区域 包含于 D ，则有 　 （ ）其 中 ．

证明：应用定理 3.13 于 上，则有

由柯西不等式，我们又可得到：

刘维尔定理： z 平面上解析且有界的函数 必为常数．

( )f z a

:k a R ( ) ! ( )( )n

n

n M Rf a

R 1,2,n

( ) max ( )z a R

M R f z

k

( )1 ( 1)

! ( ) ! ( ) ! ( )( ) 2

2 ( ) 2n

n n na

n f n M R n M Rf a R R

i a R R

1,2,n

( )f z

代数基本定理　在 z 平面上， n次多项式 （ ）至少有一个零点．证明：（反证法）假设 在 z 平面上无零点，由于 在平面上解析，从 而 在 z 平面上也是解析的．其次，由于

所以 于是 ，使得 ， 又因为 在 上连续，故 ，

使得 （ ）从而在 z 平面上有

即 在 z 平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理， 为常数，故

亦为常数，与已知 为多项式矛盾，定理得证．

11 1 0( ) n n

n np z a z a z a z a

0na

( )p z ( )p z

1

( )p z

1 011

lim ( ) lim ( )n nn n nz z

a aap z z a

z z z

1lim 0

( )z p z

0R 1

1( )p z

z R1

( )p z z R 0M

1

( )M

p z z R

11

( )M

p z

1

( )p z1

( )p z

( )p z ( )p z

４．摩勒拉定理

柯西积分定理说明，只要 在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一围线均有 ，我们现在证明其逆也是正确的．

摩勒拉定理　设函数 在单连通区域 D 内连续，且对 D 内任一围线 C ，有 ，则 在 D 内解析．

证明：在假设条件下，由定理 3.7 知，函数 （ ）在 D 内解 析，且 （ ）再由定理 3.14 知 在 D 内还是解析

的，此即说明 在 D 内解析的．

( )f z

( ) 0Cf z dz

( )f z( ) 0

Cf z dz ( )f z

0

( ) ( )z

zF z f d 0z D

( ) ( )F z f z z D ( )F z

( )f z

§4 §4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 定义 3.5 如果二元实函数 在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满 足拉普拉斯方程 , 则称 为区域 D 内的调和函数 .

定义 3.6 在区域 D 内满足 C-R 条件 的两个调和函数 中 , 称为 在区域 D 内的共轭调和函数 .

u v u v

x y y x

, ,

vu, v u

yxH ,

0H yxH ,

定理 3.18 若 在区域 D 内解析 , 则在区域 D 内 必为

的共轭调和函数 . 假设 D 是一个单连通区域， 是区域 D 内的调和函数，则 在 D 内有二

阶连续偏导数，且

即 : 在 D 内有一阶连续偏导数，且

由数学分析的定理，知道 是全微分， (3.21)

则 （ 3.22 ）

, ,f z u x y v x y ,v x y

,u x y

,u x y ,u x y

2 2

2 2

u u

x y

=0

u

y

- u

x

,u u

y y x x

,u v

y x

-u udx dyy x

-

0

,

,

x y

y

u udx dyy x

0x

v x, y = - +C

定理 3.19 设 是在单连通区域 D 内的调和函数 , 则存在由（ 3.22 ）式所确定的函数 , 使 是 D 内的解析函数 .

注 (1) 如单连通区域 D包含原点 , 则（ 3.22 ）式中的 显然可取成原点 (0,0)；如 D非单连通区域，则积分（ 3.22 ）可能规定一个多值函数 . (2) 公式（ 3.22 ）不必强记 , 可以先如下去推（ 3.21 ）：由 ， 然后两端积分之。

(3) 类似地，

然后两端积分，有

,u x y

,v x y u iv f z

0, 0x y

, . .x y y xdv x y v dx v dyC Ru dx u dy

, . .x y y xdu x y u dx u dyC Rv dx v dy

0

,

,

x y

y xyu v dx v dy

0xx, y = +C

例 3.15 验证 是 z 平面上的调和函数 , 并求以 为实部的解析函数 , 使合

解 因在 z 平面上任一点 , , 故 在平面 z 上为调和函数 .

法一

故

要合必 故

3 2, 3u x y x xy ,u x y

f z 0f i

2 23 3xu x y 26 , 6 , 6y xx yyu x u x u x ,u x y

,0 2 2

0,0

, 2 2

,0

2 2

0

2 2

0

2 3

, 3.22 6 3 3

6 3 3

3 3

3 3

3

x

x y

x

y

y

uv x y xydx x y dy

xydx x y dy C

x y dy C

x y dy C

x y y C

33 2 2 3 33 3f z u iv x xy i x y y C x iy iC z iC

0f i 3f z z i

法二 先由 C.-R 条件中的一个得 故 再由 C.-R 条件中的另一个得

故 即

因此 ( 下同法一 )

2 23 3y xv u x y

2 33v x y y x

6 6x yv xy x u xy

' 0x x C

2 3, 3v x y x y y C