第 3讲一元函数微积分郑丰华

实 验 目 的 1 、学习用软件求一元函数积分的方法2 、从几何图形上直观理解定积分的定义3 、学习用软件解决定积分应用问题

实验内容1 、符号积分int 函数调用格式

格 式 说 明 fint

tf ,int

baf ,,int

batf ,,,int

'','',int nmf

分关于默认变量的不定积求f

的不定积分关于变量求 tf

为数值和的定积分，到关于默认变量由求 babaf

为数值和的定积分，到由关于变量求 babatf

为符号和的定积分，到关于默认变量由求 nmnmf

其中 为符号表达式f

[ 例 1] 对 )3cos( txf 求积分。 >> f='cos(3*x+t)'; >> int(f) >> int(f,'t') >> int(f,0,pi/2) >> int(f,'t',0,pi/2) >> int(f,'m','n')

ans = 1/3*sin(3*x+t) ans = sin(3*x+t) ans = -1/3*cos(t)-1/3*sin(t) ans = 4*cos(x)^3-3*cos(x)-sin(3*x) ans = 1/3*sin(3*n+t)-1/3*sin(3*m+t)

21 xdx

[ 例 2] 计算广义积分

>> f='1/(1+x^2)';>> int(f,-inf,inf)

ans = pi

[ 例 3] 计算积分

0

21

dxxe x

>> f='exp(-x)*x^(-1/2)';

>> int(f,0,inf)ans = pi^(1/2)

[ 例 4] 求变上限积分的导数 x

x

dttdxd

cos

sin

2 )cos(

>> syms x t;>> f=cos(pi*t^2);>> diff(int(f,sin(x),cos(x)))ans = -cos(pi*cos(x)^2)*sin(x) -cos(pi*sin(x)^2)*cos(x)

[ 例 5] 求变上限积分的极限

.cos

lim 0

2

0 x

dttx

x

>> syms x t;>> f=cos(t^2);>> limit(int(f,0,x)/x)

ans = 1

，函数

dtttexfx

0

2)(

有极值？

]6[例 为何值时当x

>>syms x t; >>y=t*exp(-t^2); >>f=int(y,0,x) >>ezplot(f) >>f=char(f); >>[xmin,ymin]=fminbnd(f,-0.5,0.5)

f = -1/2*exp(-x^2)+1/2xmin = 0ymin = 0

2. 交互式近似积分格式 )'(' frsums

说明 计算 f 在区间 [0,1] 上的近似积分；

b

adttfs )( 作变换 xabat )( 化为

1

0

))(()( dxxabafabs

[ 例 7] 利用 rsums 命令求积分

并观察定积分定义的几何意义 .

,

1

1

2

dtes t

>>syms a b x t u;

>>f=exp(-t^2);

>>s=eval(int(f,-1,1))

>>a=-1;b=1;

>>u=a+(b-a)*x;

>>rsums(subs(f,u)*(b-a))

3 ．定积分应用 [ 例 8] 在相距 100m 的两个高度相等的铁塔上悬挂一根电缆，允许电缆在中间下垂 10m ，试计算两塔之间所用电缆的长度。

[ 方法 1] 建立如图所示直角坐标系 y

-50 500 x

悬链线方程为： axachy

ay=ach x/a

>>syms a c x; >>f1='a*cosh(50/a)-a-10'; >>ezplot(f1,[80,160]) >>f1=subs(f1,a,x); >>f1=char(f1); >>a=fzero(f1,130) >>f='a*cosh(x/a)'; >>l1=eval(2*int(sqrt(1+diff(f)^2),0,50))

a = 126.6324l1 = 102.6187

[ 方法 2] 折线法 建立直角坐标系如图所示 10

50 50 x

y

>> L2=2*sqrt(50^2+10^2)

L2 = 101.9804

[ 方法 3] 抛物线法 建立直角坐标系如图所示

设抛物线方程为 2cxy

-50 500

10

y

x

>> y=c*x^2;>>c1=solve('c*50^2-10');>>y=subs(y,c,c1);>>L3=eval(2*int(sqrt(1+diff(y)^2),0,50))>>e12=abs(l1-l2)>>e13=abs(l1-l3) L3 = 102.6061e12 = 0.6383e13 = 0.0126

上机实验题一、基础型实验

1 、计算下列不定积分（ 1 ） ;

1 2 xx

xdx （ 2 ） ;)1ln( 2 dxx

（ 3 ） （ 4 ） ;

sin1cossin

4 dxxxx

.coxbxdxeax

2 、计算下列积分

（ 4 ） （ 3 ）

（ 2 ） （ 1 ） ;)sin(ln1

dxxe

;12ln

0dxe x

e

xx

dx

12

;)(ln1

.0

22 2

dxex x

3 、求下列极限（ 1 ） （ 2 ） ;

arctan

20lim x

dttx

x

;

2

sin0

2

0lim

x

dttx

x

4 、求函数

x

dttt

txI0

2 113 的极值。

二、应用型实验空中缆绳长度问题某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，

全长约 ，m1471 高度差为 。m380 采用循环单线修建，从下站到上站行经 8 个铁塔，将缆绳分为 9 段，各段的水平距离用 id 表示，高差 用 ih 表示，其数据见下表：

1d 2d 3d 4d 5d 6d 7d 8d 9d

220 200 140 120 100 120 140 200 220

1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h50 5045 40 38 34 38 40 45

每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处 。m1

要求：（ 1 ）用折线法；（ 2 ）用抛物线法，

估计整个索道工程所用的缆绳总长度。