1

6.2 多元函数的微积分主要内容：一 . 多元函数的概念二 . 二元函数的极限和连续三 . 偏导数的概念及简单计算四 . 全微分五 . 空间曲线的切线与法平面六 . 曲面的切平面与法线七 . 多元函数的极值

2

设 D 是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x， y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、 y 的二元函数 ( 或点 P 的函数 ) ，记为

z=f (x， y)(或 z=f (P))

二元函数的定义：

其中 D 称为定义域， x， y 称为自变量， z 称为因变量．类似地可定义三元及三元以上函数．

当自变量的个数多于一个时 , 函数称为多元函数

一 . 多元函数的概念

3

二元函数的图形：

二元函数的图形是一张曲面．

例 z=a x+b y + c 是一张平面，

x

y

z

Ox0

y0

M0

点集 {(x， y， z)|z=f(x， y)， (x， y)D} 称为二元函数zf(x， y)的图形．

4

由方程 x2y2z2a 2 确定的函数 z=f (x， y) 有两个：

由方程 x2y2z2a 2 确定的函数 z=f (x， y) 是中心在原点， 它的定义域为 D ={(x， y)|x2y2 a 2}．

O x

y

半径为 a 的球面．

,222 yxaz .222 yxaz

,222 yxaz

.222 yxaz

5

二 . 二元函数的极限和连续 1. 二元函数的极限 设函数 f (x， y) 在开区域 ( 或闭区域 )D 内有定义，P0(x0， y0)是 D 的内点或边界点．如果对于任意给定的正数 总存在正数 ，使得对于适合不等式

都有 |f (x， y)A|< 成立，则称常数 A 为函数 f (x， y)当 x x0， y y0 时的极限，记为

这里 |P P0|．

我们把上述二元函数的极限叫做二重极限

定义

20

200 )()(0 yyxxpp

),0(),(,),(lim

0

0

AyxfAyxfyyxx

或

的一切点 P(x， y)D ，

6

(1) 二重极限存在，是指 P 以任何方式趋于 P0 时，函数都无限接近于 A.

例

当点 P(x， y) 沿 x 轴、 y 轴趋于点 (0 ， 0) 时函数的极限为零，当点 P(x， y) 沿直线 y=k x 趋于点 (0 ， 0) 时

注意：

.0,0

.0,

),(

22

2222

yx

yxyx

xy

yxf

.1

limlim 2222

2

022

00 k

k

xkx

kx

yx

xyx

kxyx

(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在．

7

.)sin(

lim120 x

xy

yx

求例

yxy

xy

x

xy

yx

yx

)sin(lim

)sin(lim

20

20

解：

yxy

xy

yx

yx

20

20

lim)sin(

lim

.2)sin(

lim20

xy

xyxy

8

则称函数 f (x， y) 在点 P0(x0， y0) 连续．

定义： 设函数 f(x,y) 在开区域 ( 或闭区域 )D 内有定义 ,P0(x0,y0) D ．

函数 f (x， y) 在区域 ( 开区域或闭区域 )D 内连续： 是指函数 f (x， y)在 D 内每一点连续．此时称 f

(x， y) 是D 内的连续函数． 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数

f(P) 上去．

2. 二元函数的连续性

如果),(),(lim 00

0

0

yxfyxfyyxx

9

所以函数在原点不连续 .

例４　函数　　　　　　　　　　　　　　　　在单位圆　　　　　　

)1(,

)1(,),(

2222

2222

yxyx

yxyxyxf

122 yx 上各点是否连续？

解：　如果 函数在单位圆上任何点都连续2

若　　　在单位圆上任何点都不连续2

在原点是否连续？函数例22

1),(2

yxyxf

是无穷大，因为解： )0,0(f

10

设函数 zf(x， y) 在点 (x0， y0) 的某一邻域内有定义，

当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，

相应地函数有增量 f (x0x， y0)f(x0， y0) ，

（１）如果极限

xΔ

yxfyxΔxfxΔ

),(),(lim 0000

0

存在，

则称此极限为函数 zf (x， y) 在点 (x0， y0) 处对x 的偏导数，记作

。或 ),(,,, 000

0

0

00

0yxfz

x

f

x

zx

yy

xxx

yy

xxyyxx

定义

.叁 偏导数的概念及简单计算1. 偏导数的概念：

11

y

yxfyyxfy

),(),(lim 0000

0

。或 ),(, 000

0yxfz x

yyxxy

记作 ,,

0

00

0

yy

xxyyxx y

f

y

z

（２）如果极限

则称此极限为函数 zf(x， y) 在点 (x0， y0) 处对 y 的偏导数，

存在，

12

对自变量的偏导函数，记作

偏导函数： 如果函数 zf(x， y) 在区域 D 内每一点 (x， y) 处对 x 的偏导数都

存在，那么这个偏导数就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 zf(x， y)

).,(,,, yxfzx

f

x

zxx 或

类似地， 可定义函数 zf(x， y) 在点 (x0， y0) 处对 y 的偏导

函数，记为 。或 ),(,,, yxfzy

f

y

zyy

偏导数与偏导函数的关系： .|),(),( , 0000 yyxxxx yxfyxf

.|),(),( , 0000 yyxxyy yxfyxf

13

2 . 一阶偏导数的计算

注意：

看成二者之商 .

xz

求导即可看作常量对时，只要暂时把，求 xyx

z

2

求导即可看作常量而对时，只要暂时把，求 yxy

z

3

它们只是一种记号，不能把,,,,,y

f

y

z

x

f

x

z

1

14

., xyy

zyx

x

z2332

例 3 求 zx23x yy2 在点 (1 ， 2) 处的偏导数．

解

.72213,82312

2

12

1

y

xy

x y

z

x

z

15

3. 二阶偏导数的计算

按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数

二阶偏导数： 设函数 zf(x， y) 在区域 D 内具有偏导数

那么在 D 内 fx(x， y)、 fy(x， y) 都是 x， y 的函数．如果这两个函数的偏导数也存在 , 则称它们是函数 zf(x， y) 的二偏导数．

),,(),,(2

2

2

yxfyx

z

x

z

yyxf

x

z

x

z

x xyxx

).,(),,( 2

22

yxfy

z

y

z

yyxf

xy

z

y

z

x yyyx

).,(),,( yxfy

fyxf

x

fyx

16

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

,),(),,(22

yxfyx

z

x

z

yyxf

xy

z

y

z

x xyyx

其中

称为混合偏导数．

同样可得三阶、四阶以及 n 阶偏导数．

高阶偏导数 :

17

;92,33 23322 xxyyxy

zyyyx

x

z

;196,6 222

22

2

yyxxy

zxy

x

z

解

;182,196 32

222

2

xyxy

zyx

yx

z

.6 23

3

yx

z

,,,13422

2

2323

yx

z

xy

z

x

zxyxyyxz

，求设例

。及 3

3

2

2

x

z

y

z

18

，试证设例 )()(),(5 yhxgyxf

02

yx

f

)( yhy

f

在对 x 求导就有

02

yx

f

得证 .

，故）（求导数，因为对解： 0

xgy

y

19

设 zf(u， v) ，而 u(x， y)， v(x， y) ，则复合函数

4. 复合函数的微分法 ( 链式法则 )

xvxux vfuffx

v

v

z

x

u

u

z

x

z或,

yvyuy vfuffy

v

v

z

y

u

u

z

y

z或,

zf [(x， y)， (x， y)] 的偏导数为：

20

。求全导数而设例dt

dztveutuvz t cos,,sin6

ttete tt cossincos

ttte t cos)sin(cos

t

z

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz

解：

ttuve t cossin

21

四 . 全微分全增量：

z f (xx， yy)f(x， y) 称为函数在点P(x， y) 对自变量增量 x 、 y 的全增量．

全微分的定义：如果函数 zf(x， y) 在点 (x， y) 的全增量

yyxfxyxfz yx ),(),(

yyxfxyxf yx Δ),(Δ),(

与增量与其两个偏导数分别跟 xyxfyyxxfz Δ),()Δ,Δ(Δ

的乘积之和的差yΔ

时的高阶无穷小，则是当 0)Δ()Δ( 22 yx

22

记作 dz或 df(x,y), 即dyyxfdxyxfdz yx ),(),(

或 dyy

zdx

x

zdz

可微 : 当函数 z=f(x,y) 在 (x,y) 全微分存在时 ,称 z=f(x,y)在

(x,y) 可微 .当函数 z=f(x,y) 在区域 D 的每一点都可微时 ,称 z=f(x,y)在

区域 D 可微 .

的全微分。与处关于在称为函数 yxyxyxfz ΔΔ),(),(

23

定理 1

函数 z=f(x,y) 在其一阶偏导数连续时一定可微 .

定理 2函数 z=f(x,y)) 在可微点连续 .

定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数

连续，则它可微 ,且其全微分为．z

u

y

u

x

uzyxfu

,,),,( ，如果其偏导数对于三元函数

dzz

udy

y

udx

x

udu

24

解 由定义知

所以

得

处的全增量和在点求函数例 )1,1(7 33 yxz

01.0Δ,02.0Δ yx全微分，已知

0825.0)1(1)01.01()02.01(Δ 2222 z

,33)1,1(

22

)1,1(

yxx

z

22)1,1(

3

)1,1(

yxy

z

08.0)01.0()2(02.03 dz

25

的全微分。求例222

18

zyxu

23222 )( zyx

x

x

u

解 因为

23222 )( zyx

y

y

u

23222 )( zyx

z

z

u

23222 )( zyx

zdzydyxdxdu

所以

26

五．空间曲线的切线与法平面定义 :

设在空间曲线 上有一个定点 ， M

在其邻近处取 上另一点 ，'M

并作割线 'MM

令 沿 趋近 ， 'M M

那么割线的极限位置TM

的切线 就是曲线 在点 M

M

M

x

y

z

O

T

27

设空间曲线的参数方程为

.)()()( 0

0

0

0

0

0

t

zz

t

yy

t

xx

得曲线在点 M 处的切线方程为

过曲线上 tt0和 tt0t 对应的

考虑

当M M ，即 t 0 时．

,ΔΔΔ

000

z

zz

y

yy

x

xx

其方程为

,000

tzzz

tyyy

txxx

x(t)， y(t)， z(t)

这里假定 (t)， (t)， (t) 都可导．

点M 和M ，作曲线的割线 M M ，

x

y

z

O

M

M

28

通过点 M 而与切线垂直的平面

法平面：

x

y

z

O

M

(t0)(xx0) (t0)(yy0) (t0)(zz0)0．

称为曲线在点 M 处的法平面 .

法平面方程为 :

29

例 9 求曲线 xt， yt 2， zt 3 在点 (1 ， 1 ， 1) 处的切线及法平面

于是，切线方程为

法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0 ，即 x2y3z6．

3

1

2

1

1

1

zyx

方程 .

数 t1 ， 所以

所对应的参而点因为解 ),,(,, 111321 2tztyx ttt

}.,,{ 321

T

30

曲面上通过点 M 的一切曲线在点 M 的切线都在 同一个平面上．这个平面称为曲面在点 M 的切平面．

通过点 M (x0， y0， z0) 而垂直于切平面的直线称为曲面在该

曲面的切平面：

曲面的法线：

六．曲面的切平面与法线

曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量．

点的法线．

31

其中函数 z=f(x,y) 具有连续的一阶偏导数 ,

)(),(),( tzztyytxx

)(|)(| 000 yyy

fxx

x

fzz PP

法线的方程为

1000

zz

yf

yy

xfxx

pp

),(. yxfz 曲面方程的形式为1

的方程为的任意一条曲线，上过点为 CPSC

所对应切平面方程为对应的一点曲面在 ),,( 0000 zyxPtt

32

pzpypx F

zz

F

yy

F

xx 000

切平面方程为：

02 ),,( zyxF曲面方程的形式为．

处的法线方程为：则曲面在点 ),,( 000 zyxP

0000 )(|)(|)(| zzFyyFxxF pzpypx

33

解 f (x， y) 3x22y2，

例 10 求抛物面 z3x22y2 在点 P(1， -1， 5) 处的切平面方程及

所以在点 (2 ， 1 ， 4) 处的切平面方程为6(x1)-4(y+1)(z5)0 ，即 6x-4yz50．

法线方程为

.1

5

4

1

6

1

zyx

法线方程．

4,6

PP y

z

x

z所以

34

七．多元函数的极值

设函数 zf (x， y) 在点 (x0， y0) 的某个邻域内有定义，对于该

邻域内异开 (x0， y0) 的点 (x， y) ：如果都适合不等式

f (x， y)<f(x0， y0)，

则称函数在点 (x0， y0) 有极大值 f(x0， y0) ；如果都适合不等式

f (x， y)>f(x0， y0)，

则称函数在点 (x0， y0) 有极小值 f(x0， y0)．

极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．

极值的定义：

定理

有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值．

35

例 11 函数 z(x-2)2(y-3)2-1 在点 (2， 3) 处有极小值 -1

也有使函数值为负的点．

因为在点 (0 ， 0) 处的函数值为零，而在点 (0 ， 0) 的任一邻域内，总有使函数值为正的点，

取得极小值处既不取得极大值也不在点函数例 )0,0(4 xyz

36

定理 设函数 zf (x， y) 在点 (x0， y0) 具有偏导数，且在点

取得极值的必要条件：

(x0， y0) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

00 0000 ),(,),( yxfyxf yx

驻点：

函数 zf (x， y) 的驻点．

注意： 函数的驻点不一定是极值点极值点一定是驻点

如：函数 xyz （０，０）点是其驻点，但不是其极值点．

称为同时成立的点凡是能使 ),(),(,),( 0000 yxyxfyxf x

37

定理 设函数 zf (x， y) 在点 (x0， y0) 的某邻域内连续且有

一

取得极值的充分条件：

(3) AC B 20 时可能有极值，也可能没有极值．

(2) AC B 2<0 时没有极值；

(1)AC B 2>0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值， 当 A>0 时有极小值；

则 f (x， y) 在 (x0， y0) 处是否取得极值的条件如下：

),( 00 yxfA xx ),( 00 yxfB xy ),( 00 yxfC yy阶及二阶连续偏导数，又fx(x0， y0)0， fy(x0， y0)0 ，令

38

求二元函数极值的步骤：fx(x， y)0， fy(x， y)0，第一步 解方程组

求得一切实数解，即可得一切驻点．

第二步 对于每一个驻点 (x0， y0) ，求出二阶

偏导数的值 A、 B和 C．

第三步 定出 AC B 2 的符号，按定理的结论判 f(x0， y0) 是否是极值、是极大值 还是极小值．

39

例 12 　求函数 f (x， y)x3y33x23y29x 的极值．

求得驻点为 (1 ， 0) 、 (1 ， 2) 、 (3 ， 0) 、 (3 ， 2) ．

在点 (1 ， 0) 处， ACB 212·6>0 ，又 A>0 ，所以函数的 (1 ，0)

处有极小值 f(1， 0)5；

在点 (1 ， 2) 处， ACB 212·(6)<0 ，所以 f (1， 2) 不是极值； 在点 (3 ， 0) 处， ACB 212·6<0 ，所以 f (3， 0) 不是极值； 在点 (3 ， 2) 处， ACB 212·(6)>0 ，又 A<0 ，所以函数的(3 ， 2) 处有极大值 f(3， 2)31．

fxx(x， y)6x6， fxy(x， y)0， fyy(x， y)6y6．

再求出二阶偏导数．

.),(

,),(

063

09632

2

yyyxf

xxyxf

y

x解方程组解

40

八 . 小结

1 多元函数的概念2 二元函数的极限

3 二元函数的连续性

,),(lim Ayxfyyxx

0

0

),(),(lim 00

0

0

yxfyxfyyxx

41

(1) 偏导数的概念

(2) 一阶偏导数的计算

(3) 二阶偏导数的计算

(4) 复合函数的微分法

5 全微分

4 偏导数的概念及简单计算

dyyxfdxyxfdz yx ),(),(

,x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

.y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

42

6 ．空间曲线的切线与法平面

7．曲面的切平面与法线

8. 多元函数的极值

(t0)(xx0) (t0)(yy0) (t0)(zz0)0．

pzpypx F

zz

F

yy

F

xx 000

函数极值的求法

.)()()( 0

0

0

0

0

0

t

zz

t

yy

t

xx

0000 )(|)(|)(| zzFyyFxxF pzpypx

43

九 . 作业

习题 6.2

2 , 4 , 6 , 8 , 10