第 3 章 解析函数的积分

By 付小宁

一、积分的定义1. 有向曲线 :

设 C 为平面上给定的一条光滑 ( 或按段光滑 ) 曲线 , 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向 ( 或正向 ), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线 , 称为有向曲线 .

x

y

oA

B如果 A到 B 作为曲线 C 的正向 ,

那么 B到 A 就是曲线 C 的负向, . C记为

第一节 复变函数积分的概念

简单闭曲线正向的定义 :

简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P 顺此方向前进时 , 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方 .

x

y

o P

P

P

P

与之相反的方向就是曲线的负方向 .

关于曲线方向的说明 :

在今后的讨论中 , 常把两个端点中的一个作为起点 , 另一个作为终点 , 除特殊声明外 , 正方向总是指从起点到终点的方向 .

设在复平面 C 上有一条连接 及 Z 两点的简单曲线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及 v(x,y)是 f(z) 的实部及虚部。把曲线 C用分点

分成 n个更小的弧，在这里分点

是在曲线 C上按从 到 Z的次序排列的。

0z

如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式

Zzzzzz nn ,...,,, 1210

),...,2,1,0( nkzk

0zk 1kzkz

))((1

01 k

n

kkk zzf

2. 积分的定义 :

复变函数的积分

0z

1z

1kzk kz

Zzn

1nz

C

复变函数的积分分实部与虚部，有

或

)]())][(,(),([ 1

1

01 kk

n

kkkkkkk yyixxivu

在这里 分别表示的

实部与虚部。

,))(,())(,([

))(,())(,(

1

01

1

01

1

01

1

01

n

kkkkk

n

kkkkk

n

kkkkk

n

kkkkk

yyuxxvi

yyvxxu

kkkk yx 、及、 kkz 与

复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线 C上的分点个数无穷增加，而且

时，上面的四个式子分别有极限：0}1,...,2,1,0|0

)()(|max{| 21

211

nk

yyxxzz kkkkkk

这时，我们说原和式有极限,d),(,d),(,d),(,d),( CCCCyyxuxyxvyyxvxyxu

,d),(d),(d),(d),( yyxuxyxviyyxvxyxuCC

复变函数的积分这个极限称为函数 f(z) 沿曲线 C的积分，记为

.d)(C zzf

因此，我们有

,d),(d),(d),(d),(

d)(

yyxuxyxviyyxvxyxu

zzf

CC

C

复变函数的积分

如果 C是简单光滑曲线：

，并且 ，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成

因此，我们有

))((),( 0 Ttttytx

ZzTt 及相应于及 00

T

tttu

0

d)('),(

ttitivuzzfT

tCd)](')(')][,(),([d)(

0

复变函数的积分我们可以看到，把 dz 形式地换成微分，就直接得到上式，因此有

ttztzfzzfT

tCd)('))((d)(

0

当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。

例 1

解

. 43 : ,d 的直线段从原点到点计算 iCzzC

直线方程为 ,10,4

,3

tty

tx

,)43( , tizC 上在 ,d)43(d tiz

d)43(d1

0

2 ttizzC

d)43(1

0

2 tti

.2

)43( 2i

)dd)((d CC

yixiyxzz又因为

ddddd CCC

yxxyiyyxxzz

这两个积分都与路线 C 无关

,

43

曲线的是怎样从原点连接到点所以不论 iC

.2

)43(d

2izz

C

例 2

解. 1 1 (3)

; 1 (2)

; 1 (1)

: ,dRe

2

的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线

的直线段从原点到点

为其中计算

ix

ixy

i

CzzC

(1) 积分路径的参数方程为),10()( titttz

,d)1(d,Re tiztz 于是

C zzdRe 1

0d)1( tit );1(

21

i x

y

o

i1

1

i

y=x

(2) 积分路径的参数方程为

x

y

o

i1

1

i

y=x

2xy

),10()( 2 titttz

,d)21(d,Re ttiztz 于是

C zzdRe 1

0d)21( titt

1

0

32

32

2

t

it;

32

21

i

x

y

o

i1

1

i

y=x

2xy

(3) 积分路径由两段直线段构成

x 轴上直线段的参数方程为 ),10()( tttz

1 到 1+i 直线段的参数方程为 ),10(1)( tittz

,dd,Re tztz 于是

,dd,1Re tizz 于是

C zzdRe 1

0dtt

1

0d1 ti

.21

i

例 3

解

.2 : ,d zCzzC

圆周为其中计算

积分路径的参数方程为

),π20(2 iez d2d iiez

C zz d π2

0d22 iie )2( z因为

π2

0d)sin(cos4 ii

.0

例 4

解

. ,

, ,d)(

1 01

0

为整数径的正向圆周

为半为中心为以求

n

rzCzzzC n

z

x

y

o

r0z

积分路径的参数方程为

),π20(0 irezz

C n zzz

d)(

11

0

π2

0 )1(1 d

nin

i

erire

,dπ2

0 in

n eri

z

x

y

o

r0z

, 0 时当 n

C n zzz

d)(

11

0

π2

0di ;2 i

, 0 时当 n

C n zzz

d)(

11

0

π2

0d)sin(cos nin

rin ;0

rzz

n zzz

0

d)(

1 1

0

所以

.0,0

,0,2

n

ni

重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关 .

三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质 .

;d)(d)()1(

CCzzfzzf

)(;d)(d)()2( 为常数kzzfkzzkfCC

;d)(d)(d)]()([)3( CCC

zzgzzfzzgzf

CC

MLszfzzfMzf

CzfLC

.d)(d)( ,)(

)( , )4(

那末

上满足在函数的长度为设曲线

估值不等式

性质 (4) 的证明 , 1两点之间的距离与是因为 kkk zzz

, 度为这两点之间弧段的长ks

k

n

kk zf

1

)( 所以

n

kkk zf

1

)(

n

kkk sf

1

)(

两端取极限得 .d)(d)( CC

szfzzf

n

kkk sf

1

)( 因为

n

kksM

1

,ML

.d)(d)( MLszfzzfCC

所以 [ 证毕]

例 5

解

. d1

, 43

绝对值的一个上界试求积分

的直线段为从原点到点设

Cz

iz

iC

1)(0 ,)43( ttizC的参数方程为

根据估值不等式知

Cz

izd

1

C

sizd

1

ittizC

)14(311

,

上因为在

22 )14()3(

1

tt

259

254

25

12

t

,35

Cz

izd

1 从而

Csd

35

325

.325

d1

C z

iz故

5

注意

,],[ 是实轴上区间若C ,d)(d)(

xxfzzf

C

则

,)( 是实值的如果 xf 即为一元实函数的定积分.

.d)( ,

, ,d)(

)( ,

C

zzf

zzf

zf

必须记作线的限制

要受积分路因为这是一个线积分记作

的积分的函数终点为一般不能把起点为

一、问题的提出观察上节例 1,

, )( 在复平面内处处解析被积函数 zzf

此时积分与路线无关 .

观察上节例 4, ,1

0 0zz

n

时为被积函数当

, 0 的内部不是处处解析的为中心的圆周它在以 Cz

c

izzz

.02d1

0

此时

第二节 柯西－古萨基本定理

观察上节例 5, ,)( iyxzzf 被积函数

由于不满足柯西－黎曼方程 , 故而在复平面内处处不解析 .

. d 与路线有关此时积分值 zzc

.

, 0

域但此区域已不是单连通的内部函数处处解析的虽然在除去 Cz

由以上讨论可知 , 积分是否与路线有关 ,

可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.

B

二、基本定理柯西－古萨基本定理

.0d)( :

)(

, )(

c

zzf

CBzf

Bzf

的积分为零

内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数

C定理中的 C 可以不是简单曲线 .

此定理也称为柯西积分定理 .

关于定理的说明 :

(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界 , )( 在函数 zf

, 上解析即在闭区域 CBB , 上解析内与CB

c

zzf .0d)( 那末

(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界 , )( 在函数 zf

那末上连续在闭区域 , CBB , 内解析B

定理仍成立 .

三、典型例题例 1

解

1.d

321

z

zz

计算积分

, 1 32

1 内解析在函数

z

z

根据柯西－古萨定理 , 有

1.0d

321

zz

z

例 2

.

),1(0d)(

任意闭曲线

是其中证明 Cnzzc

n

证 , )1( 为正整数时当n , )( 平面上解析在 zz n

由柯西－古萨定理 ,

.0d)( cn zz

, 1 )2( 时为负整数但不等于当 n

, )( 平面上解析的整个在除点 zz n

, : 点不包围若情况一 C

由柯西－古萨定理 ,

;0d)( cn zz

, : 点包围若情况二 C

由上节例 4 可知 , .0d)( cn zz

, )( 围成的区域内解析在 Cz n

例 3 .d)1(

1

2

12

iz

zzz

计算积分

解 ,11

211

)1(12

izizzzz

, 21

1

1 上解析都在和因为

iz

izz

根据柯西－古萨定理得

2

12 d

)1(1

iz

zzz

2

1

d1

211

211

iz

zizizz

2

1

2

1

2

1

d1

21

d1

21

d1

iziziz

ziz

ziz

zz

0

2

1

d1

21

iz

ziz

i 221

.i

.0d)( :

)(

, )(

c

zzf

CBzf

Bzf

的积分为零

内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数

(1) 注意定理的条件“单连通域” .

(2) 注意定理的不能反过来用 .

. )( ,0d)( 内处处解析在而说即不能由 CzfzzfC

;23

21

1

)( : 内在圆环域反例 zz

zf

. 11

)( : 2 内在反例 zz

zf

一、问题的提出

2.d

11

, z

zz

计算实例

, 1 2 在内的闭曲线是包含因为 zz

根据本章第一节例 4 可知 ,

2.2d

11

z

izz

由此希望将基本定理推广到多连域中 .

第三节 基本定理的推广复合闭路定理

D

C

1C1D

A A

E

F

,

1

成一条复合闭路看及闭曲线如果我们把这两条简单 CC

: 的正方向为

, 按逆时针进行外面的闭曲线 C

( ) AA'→ C→AA'→AEFΓ为为 -1

),

, (

的左手边内部总在的的正向进行时即沿

.0)(

dzzf那末

解析函数沿闭曲线的积分 , 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 . 闭路变形原理

说明 : 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.

二、复合闭路定理 1. 闭路变形原理

按顺顺时针进行 C 1

2. 复合闭路定理

,

, , , , ,

, , , ,

,

21

21

D

CCCC

CCCC

DC

n

n

为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交

它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设

, )( 内解析在如果 Dzf

D

C

1C

2C

3C

那末

,d)(d)()1(1

n

kC

Ck

zzfzzf

; 均取正方向及其中 kCC

.0d)()2(

zzf

).

, , , , :(

, , , ,

21

21

顺时针进行按按逆时针进行其方向是

组成的复合闭路为由这里

n

n

CCCC

CCCC

D

C

1C

2C

3C

A

B

F

E

N

M

三、典型例题例 1

解

.

1 ,d12

2

曲线在内的任何正向简单闭

为包含圆周计算积分

zzzz

z

,1 0

12

2

zz

zzz

和内有两个奇点

在复平面因为函数

依题意知 ,

x

y

o 1

也包含这两个奇点，

,

21 CC 和不相交的正向圆周内作两个互不包含也互在

x

y

o 1

,0 1 zC 只包含奇点

,1 2 zC 只包含奇点

1C 2C

根据复合闭路定理 ,

zzz

zd

122

21

d12

d12

22CC

zzz

zz

zzz

2211

d1

d1

1d

1d

11

CCCC

zz

zz

zz

zz

0220 ii .4 i

例 2

. 1

2 ,d

所组成向圆周

和负为正向圆周计算积分

z

zzze z

x

y

o 1 2

1C

2C解 , 21 围成一个圆环域和CC

,

上处处解析

在此圆环域和其边界函数z

e z

圆环域的边界构成一条复合闭路 ,

根据闭路复合定理 , .0d

zz

e z

例 3

. ,

,d)(

121

00

为自然数闭曲线

的任意正向为含求

n

zzzzi n

解 由上例可知

,0,0

0,2d

)(1

1 n

niz

az n

, 0za 此处不妨设

.1,0

1,1d

)(1

21

0 n

nz

zzi n则有

一、主要定理和定义定理一

.

d)(

, )(

无关

线与连结起点及终点的路那末积分

内处处解析在单连通域如果函数

C

zzf

Bzf

C

由定理一可知 :

解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关 , ( 如下页图 )

1. 两个主要定理 :

第四节 原函数与不定积分

B B

0z 1z0z 1z1C

2C

1C

2C

, , 10 zz 终点为如果起点为

21

d)(d)(CC

zzfzzf 1

0

d)(z

zzzf

, , , 110 zzBzz 并令内变动在让如果固定

.d)()( 0

z

zfzFB 内的一个单值函数便可确定

.)()( ,

d)()(

, )(

0

zfzF

BfzF

Bzfz

z

并且析函数

内的一个解必为那末函数

内处处解析在单连通域如果函数

定理二

证 利用导数的定义来证 .

B

, 内任一点为设 Bz z

,

K

Bz

小圆内的为中心作一含于以

K

B

zK

, 内在充分小使取 Kzzz

zz

)()( zFzzF z

z

zz

zff

00

d)(d)(

由于积分与路线无关 ,

, d)( 00

zzfzz

z到的积分路线可先取

, zzz 沿直线到然后从 0z

)

d)( :(0

路线相同

的这一段与注意 z

zf

, )( 的定义由 zF

)()( zFzzF于是 ,d)( zz

zf

zz

zzf d)( 因为

zz

zzf d)( ,)( zzf

B

zK

zz

0z

)()()(

zfz

zFzzF 所以

)(d)(1

zffz

zz

z

d)]()([1

zffz

zz

z

B

zK

zz

0z

, )( 内解析在因为 Bzf , )( 内连续在所以 Bzf

,0,0 故

, 内都在的一切使得满足 Kz

, 时即 z ,)()( zff总有

由积分的估值性质 ,

)()()(

zfz

zFzzF

)()()(

zfz

zFzzF d)]()([

1zff

z

zz

z

d|)()(|1

zffz

zz

z

.

1

zz

,0)()()(

lim 0

zf

zzFzzF

z于是

).()( zfzF 即

此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似 .

[ 证毕]

2. 原函数的定义 :

.

)( )( ,)()(

,)( )(

的原函数内在区域为那末称即

内的导数为在区域如果函数Bzfzzfz

zfBz

.)( d)()( 0

的一个原函数是显然 zffzFz

z

原函数之间的关系 :

. )( 一个常数的任何两个原函数相差zf

证 , )( )( )( 的任何两个原函数是和设 zfzHzG

)()()()( zHzGzHzG 那末

0)()( zfzf

.)()( czHzG 于是 ) ( 为任意常数c

,)( )( zFBzf 内有一个原函数在区域如果

那末它就有无穷多个原函数 ,

.)()( 为任意常数一般表达式为 cczF

根据以上讨论可知 :

[ 证毕]

3. 不定积分的定义 :

.)(d)(

, )( )(

)( )(

czFzzf

zfc

czFzf

记作的不定积分为为任意常数

的原函数的一般表达式称

定理三

. ,

)()(d)(

, )( )(

, )(

10

011

0

内的两点为域这里

那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数

Bzz

zGzGzzf

zfzG

Bzf

z

z

( 类似于牛顿 - 莱布尼兹公式 )

证 , )( d)( 0

的原函数也是因为 zfzzfz

z ,)( d)(

0

czGzzfz

z所以

, 0时当 zz 根据柯西 - 古萨基本定理 ,

,)( 0zGc 得

,)()( d)( 00

zGzGzzfz

z所以

.)()( d)( 01

1

0

zGzGzzfz

z或 [ 证毕

]说明 : 有了以上定理 , 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算 .

二、典型例题

例 1

解

. d 1

0

的值求z

zzz

, 是解析函数因为 z ,21

2z它的原函数是

由牛顿 - 莱布尼兹公式知 ,

21

d 1

0

1

0

2z

z

z

zzzz ).(

21 2

021 zz

例 2 . dcos 0

2 的值求i

zzz

解 i

zzz0

2dcos

i

zz0

22dcos21

i

z

0

2sin21

)sin(21 2 .sin

21 2

( 使用了微积分学中的“凑微分”法)

例 3 . dcos 0

的值求i

zzz

i

zzz0

dcos i

zz0

)(sind

ii zzzz

00 dsin]sin[

解

izzz 0]cossin[ .11 e

此方法使用了微积分中“分部积分法”

例 4

. )(

,0d)(

, )(

内解析在证明

都有内任何一条简单闭曲线

且对于内连续在单连通域设函数

Bzf

zzfCB

Bzf

C

(Morera 定理 )

证 , , 0 内任意一点为内取定一点在 BzzB

依题意可知

, d)( 00

的路线无关和的值与连接 zzfz

z

, d)()( 0

z

zfzF 定义了一个单值函数

参照本章第四节定理二 , 可证明),()( zfzF

, )( 内一个解析函数是所以 BzF

因为解析函数的导数仍为解析函数 ,

. )( 为解析函数故 zf

解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同 ?

两者的提法和结果是类似的 .

; , ,

, )(

0 都是复数因而且积分路线是曲线为单连域中的解析函数但在复积分中要求

zzC

zf

. , ,

],[ )(

都是实数数上的连续实函为区间在实积分中要求

xa

baxf

两者对函数的要求差异很大 .

,

,

0

0

zz

zC

的正向圆周

半径为很小的为中心取作以积分曲线 , )( 的连续性由 zf

,

)(

0处的值接近于它在圆心的缩小而逐渐的值将随着上函数在

z

zfC

)(.d)(

d)(

0

0

0

缩小将接近于 CCz

zzzf

zzzzf

Cz

zzzf

d)(

0

0 ).(2d1

)( 00

0 zifzzz

zfC

一、问题的提出第五节 柯西积分公式

二、柯西积分公式定理

Cz

zzzf

izf

CzD

DCDzf

.d)(

π21

)(

, ,

,

, )(

00

0 那末内任一点为于它的内部完全含闭曲线内的任何一条正向简单

为内处处解析在区域如果函数

D0zC证 , )( 0连续在因为 zzf

,0则 ,0)(

D0zC K

, 0 时当 zz . )()( 0 zfzf

,

:)( ,

0

0

的内部全在

的正向圆周半径为为中心设以

CRzz

KRRz

R

Cz

zzzf

d)(

0

则

Kz

zzzf

d)(

0

KK

zzz

zfzfz

zzzf

d)()(

d)(

0

0

0

0

K

zzz

zfzfzif d

)()()(2

0

00

K

szz

zfzfd

)()(

0

0

.π2d K s

R

上不等式表明 , 只要 R 足够小 , 左端积分的模就可以任意小 ,根据闭路变形原理知 , 左端积分的值与 R 无关 , 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能 .

[ 证毕 ]

Cz

zzzf

izf d

)(21

)(0

0 柯西积分公式

Kz

zzzfzf

d)()(

0

0

关于柯西积分公式的说明 :

(1) 把函数在 C 内部任一点的值用它在边界上的值表示 . ( 这是解析函数的又一特征 )

(2) 公式不 但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法 , 而且给出了解析函数的一个积分表达式 . ( 这是研究解析函数的有力工具 )

(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 . , 0

ieRzzC 是圆周如果

.d)(π21

)(π2

0 00 ieRzfzf

三、典型例题例 1

解

44

.d3

21

1)2(;d

sin21

(1)

zz

zzz

zz

zi

求下列积分

4

dsin

21

(1)z

zz

zi

, sin)( 在复平面内解析因为 zzf

, 4 0 内位于 zz

4

.d3

21

1)2(

z

zzz

44

d3

2d

11

zz

zz

zz

2212 ii

.6 i

4

dsin

21

z

zz

zi

;0

由柯西积分公式

0sin2

21

z

zii

例 2 .d)1(

1

2

12

iz

zzz

计算积分

解 )1(

12zz ))((

1izizz iz

izz )(

1)(zf

, 21

)( 内解析在因为 izzf

,0 iz

由柯西积分公式

2

12 d

)1(1

iz

zzz

2

1

d)(

1

iz

zizizz

izizzi

)(1

2

221

2i

i .i

例 3 .πd)cos(sin ,dπ

0

cos

1

ezz

e

z

z

并证明求积分

解 根据柯西积分公式知 ,

1

dz

z

zz

e0

2

z

zei ;2 i

)ππ( , irez令 ,1rz

1

dz

z

zz

e

dπ

π

ii

re

ireree

i

dπ

π

ieei

dsincosπ

π

iei

π

π

cosπ

0

cos d)sin(sind)cos(sin2 eei

dπ

π

ieei

,π2d 1

izze

z

z

因为

π

π

cosπ

0

cos d)sin(sind)cos(sin2 eei1

dz

z

zz

e

比较两式得 .πd)cos(sinπ

0

cos e

四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式 ,

它的证明基于柯西–古萨基本定理 , 它的重要性

在于 : 一个解析函数在区域内部的值可以用它在

边界上的值通过积分表示 , 所以它是研究解析函

数的重要工具 .

Cz

zzzf

izf .d

)(21

)(0

0柯西积分公式 :

一、问题的提出问题:

(1) 解析函数是否有高阶导数 ?

(2) 若有高阶导数 , 其定义和求法是否与实变函数相同 ?

回答 :(1) 解析函数有各高阶导数 .

(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示 , 这与实变函数完全不同 .

解析函数高阶导数的定义是什么 ?

第六节 高阶导数

二、主要定理定理

. ,

)(

),2,1(d)()(

π2!

)( :

, )(

0

10

0)(

D

zDzfC

nzzzzf

in

zf

nzf

Cn

n

而且它的内部全含于线任何一条正向简单闭曲

的内围绕的解析区域为在函数其中

导数为

阶它的的导数仍为解析函数解析函数

证 , 0 内任一点为设 Dz , 1 的情况先证 n

根据导数的定义 ,z

zfzzfzf

z

)()(lim)( 00

00

从柯西积分公式得 ,d)(

21

)(0

0

Cz

zzzf

izf

,d)(

21

)(0

0

Cz

zzzzf

izzf

zzfzzf

)()( 00

,d)(

d)(

21

00

C Cz

zzzf

zzzz

zfzi

Cz

zzzzzzf

id

))(()(

21

00

CCz

zzzzzzzf

iz

zzzf

id

)()()(

21

d)(

)(21

02

02

0

I

Cz

zzzzzzzf

I d)()(

)(21

02

0

Cs

zzzzz

zfzd

)(

21

02

0

, )( 上解析在因为 Czf ,上连续所以在 C

, )( 上有界在故 Czf ,)( ,0 MzfM 使得于是

D0zC

, 0 上各点的最短距离到曲线为从设 Czd

d

, 适当地小并取 z , 21

dz 满足

, 0 dzz 则 , 11

0 dzz

00 zzzzzz ,2d

,21

0 dzzz

,3d

MLzI

,3dML

zI

. 的长度为这里 CL

,0 z如果 ,0 I那末

zzfzzf

zfz

)()(lim)( 00

00 ,d

)()(

21

20

Cz

zzzf

i

再利用以上方法求极限z

zfzzfz

)()(lim 00

0

.d)(

)(2

!2)( 3

00

Cz

zzzf

izf可得

至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数 .

依次类推 , 利用数学归纳法可证

.d)()(

2!

)( 10

0)(

C n

n zzzzf

in

zf [ 证毕 ]

高阶导数公式的作用 :

不在于通过积分来求导 , 而在于通过求导来求积分 .

三、典型例题例 1

解

C

z

Cz

ze

zz

z

rzC

.d)1(

)2(;d)1(

cos)1(

.1 : ,

225

为正向圆周其中计算下列积分

, 1 )1(

cos )1( 5 处不解析内在函数

zCz

z

, cos 内处处解析在但 Cz

C nn z

zzzf

in

zf d)()(

2!

)( 10

0)(根据公式

Cz

zz

d)1(

cos5 1

)4()(cos)!15(

2

z

zi

;12

5i

, )1(

)2( 22 处不解析内的在函数 izCz

e z

1C

2C

x

y

o

i C

i

, 1CiC 为中心作一个正向圆周内以在

, 2Ci为中心作一个正向圆周以

,

,, )1(

2122

围成的区域内解析

在由则函数 CCCz

e z

1C

2C

x

y

o

i C

i

根据复合闭路定理

C

z

zz

ed

)1( 22

21

d)1(

d)1( 2222 C

z

C

z

zz

ez

ze

1

d)1( 22C

z

zz

e

1

d)()(

2

2

C

z

ziziz

e

iz

z

izei

2)()!12(2

,2

)1( iei

1C

2C

x

y

o

i C

i

2

d)1(

22C

z

zz

e同理可得 ,2

)1( iei

C

z

zz

ed

)1( 22于是

2)1( iei

2)1( iei

))(1(2

ii ieei

)1sin1(cos)1(2

2 i

.4

1sin2

i

例 2

解

.31)2(;23)1(:

.d)2(

1 32

zzC

zzzC

其中

求积分

,0 2 )2(

1 32

zzzz

和有两个奇点函数

,23)1( z 2, z仅包含奇点 ,1

)( 3zzf 取

C

zzz

d)2(

1 32

C

zz

z d)2(

1

2

3

2

3

1!1

2

z

zi

;8

3 i

31)2( z

, 0 2 内都含在和两个奇点 Czz

2, 0 21 和分别包含和作简单闭曲线 CC

, 21 互不包含且互不相交和CC

根据复合闭路定理和高阶导数公式 ,

C

zzz

d)2(

1 32

21

d)2(

1d

)2(1

3232CC

zzz

zzz

21

d)2(

1

d)2(

1

2

3

3

2

CC

zz

zzz

z

2

3

0

2

1!1

2)2(

1

!22

zzz

iz

i

83

83 ii .0

例 3

证

),2,1()!1(1

1)!1()0(

,1

1)( )( 1

)(

nnen

nf

zzfzfz

nn

证明解析且内如果

,10d)(

2!

)0( 1)(

rz

zzf

in

frz

nn因为

rzn

n zz

zfnf d

)(

2!

)0( 1)(所以 n+1

z =r

n! 1ds

2π (1- z ) z≤

,)1(

!nrr

n

,1

n

nr取 不等式即证 .

一、调和函数的定义定义

. ),(

0,

,

),(

2

2

2

2

内的调和函数为区域那末称

并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数

Dyx

yx

Dyx

调和函数在流体力学和电磁场理论等实 际问题中有很重要的应用 .

第七节 解析函数与调和函数的关系

二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数 , 它的实部和虚部都是 D 内的调和函数 .

证 ,)( 内的一个解析函数为设 Divuzfw

. , xv

yu

yv

xu

那末

. , 2

2

22

2

2

yxv

yu

xyv

xu

从而

根据解析函数高阶导数定理 ,

, 数具有任意阶的连续偏导与 vu

,0 2

2

2

2

yu

xu从而 ,0 2

2

2

2

yv

xv同理

. 都是调和函数与因此 vu [ 证毕]

, 22

yxv

xyv

,yx

u

xy

u 22

. ,

, ,

的共轭调和函数称为两个调和函数中

的内满足方程在换句话说

uv

xv

yu

yv

xu

D

2. 共轭调和函数的定义

. ),( ),(

, ),(

的共轭调和函数称为函数内构成解析函数的调和在们把使我内给定的调和函数为区域设

yxuyxv

Divu

Dyxu

区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 .

3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.

解

例 1

.

),(

, 3),( 23

数和由它们构成的解析函其共轭调和函数

并求为调和函数证明yxv

yxyyxu

,6 xyxu 因为 ,6 2

2

yxu

,33 22 xyyu

,6 2

2

yyu

,0 2

2

2

2

yu

xu于是 . ),( 为调和函数故 yxu

,6 xyxu

yv

因为

yxyv d6 ),(3 2 xgxy

),(3 2 xgyxv

yu

xv

又因为 ,33 22 xy

xxxg d3)( 2故 ,3 cx ,3),( 23 cxyxyxv

)(3 2 xgy ,33 22 xy

得一个解析函数 ).3(3 2323 cxyxiyxyw

这个函数可以化为 ).()( 3 czizfw

答案

课堂练习. ,

236),( 3223

并求其共轭调和函数调和函数为证明 yxyyxxyxu

.263),( 3322 cxyxyyxyxv

) ( 为任意常数c

) ( 为任意常数c

4. 不定积分法

.

,),( ),(

不定积分法求解析函数的方法称为用不定积分或已知调和函数 yxvyxu

不定积分法的实 施过程 :

, )( )( 仍为解析函数的导数解析函数 zfivuzf

xx ivuzf )( 且 yx iuu xy ivv

, 来表示用与把 zivviuu xyyx

),()( zUiuuzf yx ),()( zVivvzf xy

将上两式积分 , 得

,d)()( czzUzf ,d)()( czzVzf

,)( zfu求适用于已知实部

,)( zfv求适用于已知虚部

例 2).( 1)( , )(

, . , 22

zfifivuzf

vkyxuk

的并求为解析函数使再求为调和函数使值求

解

根据调和函数的定义可得 ,1k

,2 xxu 因为 ,2 2

2

xu

,2 kyyu

,2 2

2

kyu

yx iuuzUzf )()( 因为 kyix 22

kyix 22 yix 22 ,2z

zzzf d2)( 根据不定积分法 ,2 cz

,1)( if由 ,0 c得

所求解析函数为

.2)( 222 zxyiyxzf

用不定积分法求解例 1 中的解析函数

yx iuuzUzf )()(

)2(3 22 yxyixi ,3 2iz

zizzf d3)( 2 ,13 ciz

) ,

, )( (

1为任意纯虚数所以常数实的任意常数不可能包含的实部为已知函数因为

c

zf

例 3 .3),( 23 yxyyxu 实部

解

) ( 为任意实常数c).()( 3 czizf 故

)(zf

已知 求解解析函数

xy ivvzVzf )()(

注意：利用偏积分方法也能得到相同的结果。

例 4 . cosxeyx,v y)(

解

iv.uzf )(

sinxiecosxe yy -izeiyxiexp ))((

.-iziezf )(

三、小结与思考

本节我们学习了调和函数的概念、解析函数

与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念 .

应注意的是 : 1. 任意两个调和函数 u与 v所构成的函数 u+iv 不一定是解析函数 .

2. 满足柯西—黎曼方程 ux= vy, vx= –uy,的 v 称为 u

的共轭调和函数 , u与 v 注意的是次序不能 颠倒 .

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