z

x

yO

D

),( yxfz

复习１ 二重积分的几何意义当函数 0),( yxf 时 ,二重积

分D

dxdxyxf ),(

的值等于图示曲顶柱体的体积 .

－－曲顶柱体的底面；D),( yxfz －－曲顶。 V

VdxdxyxfD

),(

§2 二重积分计算

性质１ 当 为常数时，k

.),(),( DD

dyxfkdyxkf

性质２ D

dyxgyxf )],(),([

.),(),( DD

dyxgdyxf

复习２　二重积分的性质

性质３ 对区域具有可加性.),(),(),(

21

DDD

dyxfdyxfdyxf

)( 21 DDD

[应用］

x

┃

Ob

x

dxx

a

dxxAdv )(

b

a

b

adxxAdvV )(

．

复习３　已知平行截面积的立体体积用垂直于

轴的一组平面

去截立体。如

果截面积为

k

x

，则)(xA

)(xA

［应用］

),( yxf ≥0

VdyxfD

),(

，根据二重积分的几何解

释，二重积分

以下先就特殊类型的积分区域来研究二重积分的计算方法．

设

一、利用直角坐标计算二重积分

D

：

a

≤

x

≤

b

，

)(1 x ≤

y

≤ )(2 x

O

ya x )(2 xy

)(1 xy

D

X －型区域

bD

x),( bax在任意　　　　　　处

作　轴的垂线，与区域　　边界的交点不超过两个。

x D

特征 :

D

：

c

≤

x

≤d

，

)(1 y ≤

y

≤ )(2 y

O

yc

x)(2 yx

)(1 yx

D

Y －型区域

d

y

特征：),( dcy在任意　　　　　　处

作　轴的垂线，与区域　　边界的交点不超过两个。

y D

),( yxfz

)(1 xy

)(2 xy

O

b

xa

x

z

y

)(xA

D

D： ≤ ≤ ，

)(1 x ≤ ≤ )(2 xya x b

),( yxfz Dyx ),(

曲顶柱体的底面 :

曲顶柱体的顶面 :

作 轴的垂直平面截曲顶柱体 , 设截面积为 应有

x

)(xA

b

aD

dxxAVdyxf )(),( ［复习］

)(2 x

z

)(1 x

O y

)(xA

z

)(1 x )(2 xO

x

xy

)(xA )(

)(

2

1

),(x

xdyyxf

， ],[ bax.

),( yxfz

),( yxfz

,

由此可得二重积分的计算公式

D

dyxf ),( b

a

x

xdxdyyxf ]),([

)(

)(

2

1

.

b

adxxAV )(

于是 , 当积分区域为 X－型区域 :

D ≤ ≤ ， )(1 x ≤ ≤ )(2 xya x b时 ,二重积分可以化为二次积分

:

D

dyxf ),(

b

adx

)(

)(

2

1

),(x

xdyyxf

.

b

adxxAV )(

(1) 如果积分区域为 X－型区域 :D ≤ ≤ ， )(1 x ≤ ≤ )(2 xya x b:

D

dyxf ),(

b

adx

)(

)(

2

1

),(x

xdyyxf

.

.

D

a xb

y

O

)(2 xy

)(1 xy

D

x

[例1]

.

.

.

D ≤ ≤ ， )(1 y ≤ ≤ )(2 yxc y d:

D

dyxf ),(

d

cdy

)(

)(

2

1

),(x

xdxyxf

(2) 如果积分区域为 Y－型区域 :

D

c

x

d

y

O

)(2 xy )(1 xy

y

[例1]

o

3D2D

1D

如果二重积分

xdydyxfD ),(

的积分区域 D 既不是X -型Y -型区域，用

D

分成若干小区域 .

D

dyxf ),(

1

),(D

dyxf ＋2

),(D

dyxf ＋3

),(D

dyxf ．

区域也不是平行于坐标轴的直线将

［性质］

x

y

xy

1

2xy

x

y

o

)1,1(

D

例 1 计算二重积分 D

xyd，其中 D是由直线

xy

与抛物线

2xy

所围成的闭区域．

D ：： 0≤ x ≤ １，

1

2x ≤ y≤ 　．x

D

xyd 1

0 2

x

xxydydx

1

0

2

2]2

[ dxy

x x

x

1

0

53

24

1)(

2

1dxxx

解法一　

；解法二 D :０≤y≤ １，≤y x≤ ．y

D

xyd 1

0

y

yxydxdy

1

0

32

24

1)(

2

1dyyy .

1

例２试将二重积分

D

dyxf ),( 化为两种不同次序的累

D由直线 xy xy 2, 和 x 轴所围成．次积分，其中

1

1

xy

)0,2(B

O x

y

)1,1(A

xy 2

1D 2D

解法一

D

dyxf ),(

=1

),(D

dyxf +2

),(D

dyxf

1

0 0),(

xdyyxfdx

2

1

2

0),(

xdyyxfdx

解法二

D

dyxf ),( = 1

0

2),(

y

ydxyxfdy ．

=

+

D

dxdyy

x2)1(

1

２

例 3 计算 ，其中D由直线 2xy 与抛2yx 所围成．

xy

2yx

2yx

D

o

解

D

dy

x 2)1(

1

2

1

2

22 )1(

1y

ydx

y

xdy

dyy

2

1

2

2

)1(1

= 2

1

2 0)2(2

1dyyy ．

线

1

y

1

o

yx

)1,1(

1

D

x

例 4 先改变积分顺序，再计算积分值：

1

0

1 2 siny

xydxxdyI

．

解 改写成二重积分 , 得

D

xydxdyx sin2

其中 :D 0 ≤ ,y≤ 1 y ≤ x ≤ .1将 按 D X 型区域又可以表示为

:D y0≤x ≤ .1 ，0 ≤ ≤

1

0 0

2 sinx

xydyxdx

= 1

0

2 )cos1( dxxx= )1sin1(2

1

I

x

I

［公式］

Ao

D

iirr

ii rrr ii

i

iiiiii rrr 22

21

)(21

iiii rrr )2(21

iiiii rrrr

2)(

,iii rr

.)sin,cos(),( DD

rdrdrrfdxdyyxf

二、利用极坐标系计算二重积分

.)sin,cos()(

)(

2

1

rdrrrfd

A

D

o

)(1 r )(2 r

D

rdrdrrf )sin,cos(

二重积分化为二次积分的公式（１）

区域特征如图

,

).()( 21 r

区域特征如图

,

).()( 21 r

.)sin,cos()(

)(

2

1

rdrrrfd

D

rdrdrrf )sin,cos(

Ao

D )(2 r

)(1 r

Ao

D

)(r

.)sin,cos()(

0

rdrrrfd

二重积分化为二次积分的公式（２）

区域特征如图

,

).(0 r

D

rdrdrrf )sin,cos(

D

rdrdrrf )sin,cos(

.)sin,cos()(

0

2

0

rdrrrfd

极坐标系下区域的面积 .D

rdrd

二重积分化为二次积分的公式（３）

区域特征如图

).(0 r

D

o A

)(r

,20

例1 写出积分D

dxdyyxf ),( 的极坐标二次积分形

式，其中积分区域,11|),{( 2xyxyxD }10 x .

1 yx

122 yx解 在极坐标系下

sin

cos

ry

rx

所以圆方程为 1r ,

直线方程为 cossin1

r ,

D

dxdyyxf ),( .)sin,cos(2

0

1

cossin

1

rdrrrfd

例2 计算dxdyeD

yx22

，其中D 是由中心在

原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.

解 在极坐标系下

D： ar0 ， 20 .

dxdyeD

yx 22

a r rdred0

2

0

2

).1(2ae

例3 求广义积分0

2

dxex .

解 }|),{( 2221 RyxyxD

}2|),{( 2222 RyxyxD

}0,0{ yx

}0,0|),{( RyRxyxS

显然有 21 DSD

,022

yxe

1

22

D

yx dxdye S

yx dxdye22

.2

22

D

yx dxdye

1D2DSS

1D

2D

R R2

又 S

yx dxdyeI22

R

yR

x dyedxe00

22

;)( 2

0

2

R

x dxe

1I

1

22

D

yx dxdye

R r rdred

00

22 );1(4

2Re

同理2I

2

22

D

yx dxdye );1(4

22Re

当 R 时, ,41

I ,42

I

故当 R 时, ,4I 即2

0)(

2

dxex4,

所求广义积分

0

2

dxex2.

,21 III

);1(4

)()1(4

222 22

0

RR xR edxee

例 4 计算 dxdyyxD

)( 22 ，其 D 为由圆

yyx 222 ， yyx 422 及直线 yx 3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域 .

解 32

61

sin4 r

sin2 r

dxdyyxD

)( 22

3

6

sin4

sin2

2 rdrrd ).32

(15

yyx 422

yyx 222

03 yx

03 xy

例 5 计 算 二 重 积 分

D

dxdyyx

yx22

22 )sin(,

其 中 积 分 区 域 为 }41|),{( 22 yxyxD .

解 由对称性，可只考虑第一象限部分，

注意：被积函数也要有对称性.

D

dxdyyx

yx22

22 )sin( 4

1

22

22 )sin(

D

dxdyyx

yx

2

10

sin4 2 rdr

rr

d .4

14DD 1D

例6 求曲线 )(2)( 222222 yxayx 和 222 ayx 所围成的图形的面积.

解根据对称性有 14DD

在极坐标系下

)(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar

,222 arayx

1D

由

ar

ar 2cos2, 得交点 )

6,(aA ,

所求面积 D

dxdy 1

4D

dxdy

2cos2

0

64a

ardrd

).3

3(2 a

三、二重积分的换元法

.sin

,cos

ry

rx间的关系为

坐标与极坐标之平面上同一个点，直角

的一种变换，坐标平面到直角标平面上式可看成是从直角坐

xoy

ro

换是一对一的．，且这种变平面上的一点成

，通过上式变换，变面上的一点平即对于

),(

),(

yxMxoy

rM

ro

.),()],(),,([),(

:)3(

;0),(),(

),()2(

),(),,()1(

),(),,(:

),(

DD

dudvvuJvuyvuxfdxdyyxf

DDT

vuyx

vuJD

Dvuyvux

DxoyDuov

vuyyvuxxT

Dxoyyxf

是一对一的，则有变换

上雅可比式在

；上具有一阶连续偏导数在且满足

，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换

上平面上的闭区域在设定理

例 1

解

所围成的闭区域．线

轴和直轴、由其中计算

2

,

yx

yxDdxdyeD

xy

xy

,, xyvxyu 令

.2

,2

uvy

uvx

则

,DD

D

x

y

o

2 yx

D

u

v

o

vuvu

2v

.22

;0

;0

vyx

vuy

vux即

),(),(vuyx

J

,21

21

21

21

21

D

v

u

D

xy

xy

dudvedxdye21故

v

v

v

u

duedv2

021

2

0

1 )(21

vdvee .1 ee

例 2

解

所围成的闭区域．椭圆

为其中计算

1

,1

2

2

2

2

2

2

2

2

by

ax

Ddxdyby

ax

D

.20,0,0,0 rba其中

,sin

,cos

bry

arx作广义极坐标变换

},20,10),{( rrDD在这变换下

.),(),(abr

ryx

J

故换元公式仍成立，处为零，内仅当在 0 rDJ

drdabrrdxdyby

ax

DD

22

2

2

2

11 .32ab