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ik

FormelsammlungTechnische ThermodynamikWärmeübertragung

Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar

University ofApplied Sciences

HOCHSCHULE ZITTAU/GÖRLITZ (FH) - University of Applied Sciences

FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar

Formelsammlung Technische Thermodynamik Wärmeübertragung Seite

Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Größen 1/1 Thermische Zustandsgrößen 2/1 Energetische Zustandsgrößen 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgrößen 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wärmeleitung 12/1 Wärmedurchgang 13/1 Konvektiver Wärmeübergang 14/1 Wärmestrahlung 15/1 Wärmeübertrager 16/1 Instationäre Wärmeleitung 17/1

Internationales Einheitensystem “SI“

Größe SI - Einheit empfohlene Einheit

Länge z 1 m 1 m

Zeit τ 1 s 1 s

Masse m 1 kg 1 kg

Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol

Thermodynamische Temperatur T 1K 1K

Kraft F 2kg m1 N 1

s⋅

= 1 kN = 1000 N

Druck p 2

5

N1Pa 1m

1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa

∗

∗

=

= ⋅= =

2

kN1 kPa 1m

1 kPa 0,01 bar∗=

=

Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wärme Q Arbeit W

1 J = 1 Nm

1 kJ = 1 kNm

spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wärme q spezifische Arbeit w

2

2J Nm m1 1 1

kg kg s= =

2

2kJ m1 1000kg s

=

Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wärmestrom Q Arbeitsleistung =P W

= =J Nm1 W 1 1s s

kJ kNm1 kW 1 1s s

= =

Spezif. Wärmekapazitäten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R

J Nm1 1kg K kg K

=⋅ ⋅

kJ kNm1 1kg K kg K

=⋅ ⋅

Entropiestrom S Wärmekapazitätsstrom C

W J Nm1 1 1K s K s K

= =⋅ ⋅

kW kJ kNm1 1 1K s K s K

= =⋅ ⋅

* in der Technik oft verwendete Einheit bar für Druck

KühlturmWärmever-brauchermit Heizflächen

KernreaktorBrennkammer für Gase

Drosselventil(Druckminder- ventil)

Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine

Pumpe allgemein

Verdichterallgemein

KondensatorMischwärme-übertrager

Kühlmedium

Verdampfer (Kessel)mit Überhitzer

Verdampfer(Kessel)

Wärmeüber-trager alsRekuperatorallgemein(Wärme-tauscher)

Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)

Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 2481)

Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersäule

Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)

Wasser

Luft

Verbrennungsgase

Dampf

Feste Brennstoffe

Brenngase

Heizöl

1/1

Größen Umrechnung Beispiele

spezifische Größe Z: (massebezogen)

Zz =m

pv, u, h, s, c , q, w

Zeitbezogene Größe Z (Strom):

=τ

dZZd Z m z= ⋅

m, n, V, H, Q, W P=

Volumenbezogene Größe Z: ZzV

= z z= ρ ⋅ m, q ρ =

Molare Größe Z: Zz

n= z M z= ⋅ v, h, s, q, w

Flächenbezogene Größe Z: ZzA

= q

Stromdichte: ZzA

= ˆ ˆq , m

Temperatur Maßeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K=

CELSIUS-Temp.: t t C=° t T 273,15C K

= −°

FAHRENHEIT-Temp.: ϑF ϑF F=° F 9 T 459,67F 5 K

ϑ= ⋅ −

°

RANKINE-Temp.: ϑR ϑR R=° R 9 TR 5 K

ϑ= ⋅

°

Temperaturdifferenz: ∆T ∆ ∆T t K= = ∆ ∆T t=

Druck

p d A p= = =d F

1 kPa 0,01 barn ,

Überdruck: ∆p p puüb = - pu - barometrischer Druck der Umgebung

Unterdruck: ∆p p pun u= -

Vakuum: un

u

pVa

p∆

=

1/2

Statischer Druck einer Flüssigkeitssäule

∆ ∆p g zFl FL= ⋅ ⋅ρ ρFl → Dichte der Flüssigkeit

∆z Fl → Höhe der Flüssigkeitssäule

Auftriebskraft

F = g V ( - )A ver ver⋅ ⋅ ρ ρ

Vverρ ver

ρ

FA

g

Vver → Volumen des verdrängenden Körpers (Fluids)

ρver → Dichte des verdrängenden Fluids

ρ → Dichte des Fluids in Umgebung

Normzustand n

pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K

n n nn

1v bei p , T=ρ

des Fluids

2/1

Thermische Zustandsgrößen Spezifisches Volumen v und Dichte ρ

Dichte: ρ =1v

Reales Fluid

v = f (p,T)technische Formulierung

= f (p,T)⎫→⎬

ρ ⎭

z.B. WDT, Stoffwerte

p = f (T,v) → physikalische Formulierung

Realgasfaktor realp vzR T⋅

=⋅

Differenz für Zustandsänderung �

( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T− = − v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte

Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:

TRmVp ⋅⋅=⋅

TRvp ⋅=⋅ TRvp ⋅=⋅ TRMvp ⋅⋅=⋅ TRnVp ⋅⋅=⋅

Spezifisches Volumen: pTR=vig ⋅

Dichte: TR

p=ig⋅

ρ Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:

MRR=

M Molare Masse des Stoffes→ =mMn

R, M Stoffwerte

Strömendes ideales Gas: TRmVp ⋅⋅=⋅

Differenz für Zustandsänderung �

2 1

2 12 1

T Tv v Rp p⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2/2

Inkompressible (ideale) Flüssigkeiten und Festkörper

v f Tif nur= ( ) )T(

1)T(vif

if

ρ=

� Stoffwerte

Differenz für Zustandsänderung �

( ) ( )1if

2if

12 TvTvvv −=−

v Tif ( ) Stoffwerte

Näherung

ifv v '(T)=

)T('v � z.B. WDT

Differenz für Zustandsänderung �

( ) ( )1212 T'vT'vvv −=−

)T('v � Stoffwerte

Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten

if

o p ov (T) v 1 (T T )⋅⎡ ⎤= + α −⎣ ⎦

)=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp βα→α � Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)

Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten

für Länge L >> Querschnitt bei Festkörpern

o lin oL(T) L 1 (T T )= + α ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦

lin Längenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o

α →

3/1Energetische Zustandsgrößen Isochore Wärmekapazität Cv Isobare Wärmekapazität Cp

m

Cc v

v = Definition mC

c pp =

v

v Tu:c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= pp

hc :T∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT

Ideales Gas

ig 3v 2c R= ⋅ Einatomige Gase ig 5

p 2c R= ⋅

Mehratomige Gase

)T( fcnurig

v = Rcc igv

igp +=

nurigpc f (T)=

Stoffwerte

Berechnung mit Isentropenexponenten κ

Temperaturunabhängige Festwerte als Näherung

Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase

61,66=κκ =1,4κ =1,3

(exakt) (gute Näherung) z.B. Luft (grobe Näherung)

R1

1cigv ⋅

−κ=

igv

igp cc ⋅κ= R

1cig

p ⋅−κκ

=

Ideale Flüssigkeiten und Festkörper

)T( fcnurif

v = )T( fcnurif

p = Stoffwerte

Näherung

)T(c'c pifp ≈

z. B. WDT

3/2

Innere Energie U Enthalpie H

Definition

U → Energiegehalt eines Systems Vp+U:H ⋅=

mUu = , umU ⋅= m

Hh = , hmH ⋅=

Reales Fluid

u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT

vphu ⋅−=

Differenz für Zustandsänderung

( ) ( )

( ) ( )2 1 2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦

( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T− = −

v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT

3/3

Innere Energie U Enthalpie H

Ideales Gas

uig = f (T) (T)f=hnurig

ig igu h R T= − ⋅

Stoffwerte

igh (T) Stoffwerte

∫+=T

T

igv

igo

ig

o

dT )T(cuu ∫+=T

T

igp

igo

ig

o

dT )T(chh

Differenz für Zustandsänderung

2

1

Tig

2 1 vT

u u c (T)dT− = ∫ 2

1

Tig

2 1 pT

h h c (T)dT− = ∫

( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T− = − − ⋅ − ( ) ( )ig ig

2 1 2 1h h h T h T− = −

hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte

mit Mittelwerten c bzw. cvmig

pmig = const

O

Tig ig ig

o v oT

u u c (T T )= + − O

Tig ig ig

o p oT

h h c (T T )= + −

O O

T Tig igv p o

T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T

o o

T Tig igv p

T Tc c R= −

o o

T ig igTig ig op p

o oT T

h h1c c (T)dTT T T T

−= ⋅ =

− −∫

Stoffwerte

Differenz für Zustandsänderung

( )ig2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )ig

2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −

Rcc igpm

igvm −=

2 1

2o o

1

T Tig igp 2 o p 1 oT

T Tig igpm p

2 1T

c (T T ) c (T T )

c = c(T T )

⋅ − − ⋅ −

=−

o

Tigp

Tc Stoffwerte

Näherung für kleine Differenz ( )12 TT − :

( ) ( )2

1

Tig ig ig igpm p p 1 p 2

T

1c = c c T c T2

⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦

cpig (T) Stoffwerte

3/4 Innere Energie U Enthalpie H

Ideale Flüssigkeiten und Festkörper )T(fh

nurif = Stoffwerte

= + ∫o

Tif if if

o vT

u u c (T) dT = + ∫o

Tif if if

o pT

h h c (T) dT

u h T p v Tif if if= − ⋅( ) ( ) hif

T vif

T( ), ( ) Stoffwerte

Differenz für Zustandsänderung

2

1

Tif

2 1 vT

u u c (T)dT− = ∫ 2

1

Tif

2 1 pT

h h c (T)dT− = ∫

( ) ( )if if

2 1 2 1if if

2 2 1 1

u u h T h T

(p v (T ) p v (T ))

− = −

− ⋅ − ⋅

( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T− = −

hif (T) Stoffwerte

hif

T vif

T( ), ( ) Stoffwerte

mit Mittelwerten ifpm

ifvm c bzw. c = const

O

Tif if if

o v oT

u u c (T T )= + − O

Tif if if

o p oT

h h c (T T )= + −

O O

T Tif ifv p o

T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T

o o

T Tif ifv p

T Tc c R= −

o o

TT if ifif if op p

o oT T

1 h hc c (T)dTT T T T

−= ⋅ =

− −∫

Stoffwerte

Differenz für Zustandsänderung ( )if

2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )if2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −

2 1

2o o

1

T Tif ifp 2 o p 1 oT

T Tif ifpm p

2 1T

c (T T ) c (T T )

c = c(T T )

⋅ − − ⋅ −

=−

o

Tifp

Tc Stoffwerte

Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :

( ) ( )2

1

Tif if if ifpm p p 1 p 2

T

1c = c c T c T2

⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦ ifpc (T) Stoffwerte

Näherungen

)T('vp)T('huif ⋅−= ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT

Differenz für Zustandsänderung

( ) ( )( ) ( )

2 1 2 1

2 2 1 1

u u h' T h' Tp v' T p v' T

− = −⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦

( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T− = −

v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT

4/1

Entropie S

spez. Entropie s Sm

= Entropiestrom S m s= ⋅

Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz für Zustandsänderung

( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1− = −, ,

( )s f p T= , z. B. WDT

Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=

igTpig ig

ooTo

c (T) ps s dT R lnT p

⎛ ⎞= + − ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

T igig ig v

ooTo

c (T) vs s dT R lnT v

⎛ ⎞= + + ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

igigT

o

ps s R lnp

⎛ ⎞= − ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ mit dT

T)T(c

ssT

T

igpig

oigT

o

∫+=

( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet für: K 273,15=T bei 0s o

igo =

Ausnahmen - Wasserdampf: Kkg

kJ 1562,9sigo ⋅=

- Luft: igo

kJs 0,16189 kg K

=⋅

Differenz für Zustandsänderung

( ) ( )s s s T s T RppT

igTig

2 1 2 12

1− = − − ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln

( )s TTig Stoffwerte

mit Mittelwerten igvm

igpm cbzw. c = const:

T

ig ig igo p

o oTo

T ps s c ln R ln T p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tig ig ig

o vo oTo

T vs s c ln R ln T v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Differenz für Zustandsänderung

s s cTT

Rpppm

ig2 1

2

1

2

1− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln ln s s c

TT

Rvvvm

ig2 1

2

1

2

1− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln ln

Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :

⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦

T2ig ig ig igpm p p 1 p 2

T1

1c = c c (T ) c (T )2

c c Rvmig

pmig= −

cpig (T) Stoffwerte

4/2

Ideale Flüssigkeiten und Festkörper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= =

)p,T( fsif =

( )ififT

pif ifo o

To

dv (T)c (T)s s dT p p

T dT= + − ⋅ −∫ mit dT

T)T(c

ssT

T

ifpif

oifT

o

∫+=

Näherung:

( )if

if ifT o

dv (T)s s p p

dT= − ⋅ −

( )ifs

dv'(T)s s'(T) p p (T)dT

= − ⋅ −

p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT

( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 für Wasser, berechnet für K 273,15=T bei 0s o

ifo =

( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 für Wasser

Differenz für Zustandsänderung

( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if

2 1if if2 1 T 2 T 1 2 1

2 1

v T v Ts s s T s T p p

T T−

− = − − ⋅ −−

( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte

Näherung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1

2 1

v' T v' Ts s s' T s' T p p

T T−

− = − − ⋅ −−

( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT

mit Mittelwert ifpmc = const:

( )⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ifTif if if

o p ooTo

dv (T)Ts s c ln p pT dT

Differenz für Zustandsänderung

( )if if

2 1if 22 1 pm 2 1

1 2 1

v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T

−⎛ ⎞− = ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ −⎝ ⎠

ifv (T) Stoffwerte

Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :

T2if if if if

pm p p 1 p 2T1

1c = c c (T ) c (T )2

⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦

( )c Tpif Stoffwerte

Sonderfall T=const

( )if if

2 1 2 1v (T T) v (T T)

s s p p(T T) (T T)+ δ − − δ

− = − ⋅ −+ δ − − δ

mit δT = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T

5/1

Exergie E

spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e= ⋅

Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:

( ) ( )u uu)h( ssThh:ee −⋅−−=≡

uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz für Zustandsänderung ⌫

( ) ( )12 u1212 ssThhee −⋅−−=− Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfähigkeit:

( )st 2 st12E m e c g z m e= + + ⋅ = ⋅

mit st 21

2e e c g z= + + ⋅

Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:

( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e −⋅+−⋅−−=

uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz für Zustandsänderung ⌫

( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee −⋅+−⋅−−=−

6/1

Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)

Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr’)

ooo o o o

u 0s 0 beih u p v 0

=== + ⋅ ≈

oo

3 1o

T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg−

=== ⋅

Fluide Einphasengebiete (Flüssigkeit, überhitzter Dampf)

p1 p2 p3

0°C . . . t . . . . 800°C

.

. (Flüss.) . . . (überh. Dampf) . .

.

.

. (Flüss.). . . (überh.Dampf).

.

.

.

.

.

. (über- krit. Fluid) .

Werte für v, h, s, cp,

λ, η

⇒ p1

p2

p3

p

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

kr

tr

t (p )s 1 t (p )s 2 t

Trennstrich in Tabelle

überkrit. Fluid

überh. Dampf

Dampfdruck-kurveFlüss.

aus Tabelle für Nassdampfgebiet

Phasengrenzkurven

p ts = f(p) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(p) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(p)

.

.

.

.

.

.

.

.

. sowie

t ps = f(t) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(t) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(t)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

T

T (p)s

s

h

s

h"

h'

s' s"

p

v"

x=0 v'

kr x=1

T (p)s

kr v" p

h"

x=1x=0 v'h'

p

s' s"

6/2

Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sättigungsdruck):Siedetemperatur (Sättigungstemperatur): für beide Phasensp f T

T f ps

==

⎫⎬⎭

( )( )

Anteil siedender Flüssigkeit: m', V' v'=V'm'

→

Anteil trocken gesättigten Dampfes: m", V" v"=V"m"

→

Nassdampfgemisch: m m' m"= +

V V Vx = +' " x

xVv m

→ =

Dampfanteil m" m"xm m' m"

= =+

Dampfvolumenanteil x

V" V"yV V' V"

= =+

xv"vxy ⋅=

spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + ⋅ − ρxxv

=1

v' v" f T, ( )= oder = f (p) ↗ z.B. WDT

spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + ⋅ − h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) ↗z.B. WDT

Verdampfungsenthalpie vr h h'' h'≡ ∆ = − spezifische innere Energie: u h p vx x s x= − ⋅

p f Ts = ( ) ↗ z.B. WDT

spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + ⋅ − s s f (T) oder' , "= = f (p) ↗ z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= − − ⋅ −

( )h s f p Tu u u u, ,= ↗ z.B. WDT

6/3

c

t Tripel-zustand

p

pc22,064 MPa

kritischer Punkt

überkritisches Fluid

feste Phase Feststoff

Sublimationsdruckkurve psub(T)

Dampfdruckkurve ps(T)

ideales Gas

Tt 273,16 K

Tc 647,096 K

pt0,6117 kPa

T

Schmelzdruckkurven

Wasser

andere Fluide

pmelt(T)

flüssige Phase Flüssigkeit

reales Fluid

Werte von Wasser T

ps(T)

inkom-pressible

Flüssigkeit Gasphase

überhitzter Dampf

p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen

TT

max

T

Zweiphasengemisch flüssig - gasförmig

Flüssigkeit

p,v-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien

Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flüssigkeit

(Zeiger ')

Taulinie x=1 - Zustand trocken gesättigten

Dampfes (Zeiger '')

6/4

T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen

Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen

T

s

inkompressibleFlüssigkeit

Ts (p)

s'(p) s"(p)

Tc

sc

h' (p)

p max

Ttst' st"

h"(p)

reales Fluid

c

ideales Gas

Tmax

überhitzter Dampfx = 1

x = 0

v = const

v = const

x = 0,

2

p = const

x =

0,4 x = 0,6

x = 0,8

h = const

v chc

pc

h = const

v t"p t

v"(p

)p

= co

nst

p =

cons

t

v =

cons

t

p =

cons

tv

= co

nst

t"t'

Flüssigkeit

NassdampfZweiphasengemisch

flüssig-gasförmig

kritischer Punkt

inkompressibleFlüssigkeit

h

hc

sc s"(p)s'(p)

h"(p)

h'(p)

st' st"

p,T s(p)

v t"

T = const

ideales Gas

NassdampfZweiphasengebietflüssig-gasförmig

c

ht'

p t ,T t

Ts (p)

p = co

nst

überhitzter DampfT c

v = co

nst

p c

Tmax

pmax

v"(p

)

x = 1

x = 0,8

x = 0,

4

v = const

p t ,Tt

x = 0

t'

t"Tt

ht"

in Bild 8.7

Flüssigkeit

kritischer Punkt

7/1

Massebilanz

Instationär: m m dmdzu ab− =∑∑ τ

Sonderfall: ,m m constzu ab = im Zeitraum ∆τ

( )m m m mzu ab− ⋅ = −∑∑ ∆τ 2 1

mit ∆τ = τ2 - τ1

Stationär: m mzu ab= ∑∑ (m = const im System)

Massestrom: m V= ⋅ρ , ρ =1v

Volumenstrom: V c Aq= ⋅ Aq → durchströmte Querschnittsfläche c → mittlere Strömungsgeschwindigkeit über Querschnittsfläche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab− = −∑∑ 2 1

8/1

Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik

Energiebilanz bei geschlossenen Systemen

Instationäre Energiebilanz: Q WdUd

+ =τ

mit: δ=

τQQ

d, WW P

dδ

≡ =τ

Differentielle Formen

dUWWQ dissV =δ+δ+δ r dissQ V dp W W dHδ + ⋅ + δ + δ = Zustandsänderung von Zeitpunkt bis Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie

1212diss12V12 UUWWQ −=++ 2

1

p

12 r12 diss12 2 1p

Q V dp W W H H+ ⋅ + + = −∫

Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung von Zeitpunkt bis

2

1

V

V12 r12V

W p dV W= − ⋅ +∫ V rW p dV Wδ = − ⋅ + δ

Äußere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)

( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + ⋅ −

pu → barom. Druck in Umgebung d. Kolbens

z2

N1 2 Kz1

W F (z) dz= ∫

FK(z) - Äußere Kolbenkraft in Abhängigkeit von z (positiv in Richtung Volumenverringerung)

z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const

21 UU =∑ 21 HH =∑

8/2

Energiebilanz bei offenen Systemen

Instationäre Energiebilanz: Q W H HdUd

stzust

abst+ + − =∑ ∑ τ

Stationäre Energiebilanz vom Eintritt bis Austritt :

Q P W H Htst

dissst st

12 12 12 2 1+ + = −∑ ∑ Gesamtenthalpieströme:

Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅

Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅

Technische Nutzleistung des Fluidstroms:

P W m wtst

tst

tst

12 12 12= = ⋅

Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )

2

1

pst 2 21

r12 2 1 2 1t12 2p

w v dp w c c g z z= ⋅ + + − + ⋅ −∫

Spezifische innere technische Arbeit: = ⋅ +∫

2

1

p

r12t12p

w v dp w

Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 - stationärer Fließprozeß

( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z⎡ ⎤+ + = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Differentielle Form: st

t dissq w w dh c dc g dzδ + δ + δ = + ⋅ + ⋅

mit stt rw v dp w c dc g dzδ = ⋅ + δ + ⋅ + ⋅

Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen st

2st1 HH =∑

9/1

Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:

Form mit U: dU p dVdS

T+ ⋅

=

Form mit H: dH V dpdS

T− ⋅

=

Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen

Instationäre Entropiebilanz: τ

=+ddSSS irr

Q

Differentielle Form: dSSTQ irr =δ+δ

Quasistatische Zustandsänderung vom Zeitpunkt bis :

S S S SQirr

12 12 2 1+ = −

SQTQ12

1

2= ∫

δ → Entropie der Wärme

Sirr12 → Entropieproduktion im System

1 12 2

S m sS m s

= ⋅= ⋅ → Entropie im Fluid

Sonderfall: Adiabate Mischung

irr12 2 1S S S= −∑

9/2

Entropiebilanz bei offenen Systemen

Instationäre Entropiebilanz: S S S SdSdQ zu ab

irr+ − + =∑ ∑ τ

Stationäre Entropiebilanz vom Eintritt zum Austritt :

S S S SQirr

12 12 2 1+ = −∑ ∑

SQTQ12

1

2= ∫

δ → Entropie des Wärmestroms

irr12S → Entropieproduktionsstrom im System

S m s1 1 1= ⋅ → Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= ⋅ Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß

( )12irr1212Q ss mSS −⋅=+

Differentielle Form: dssTq irr

2

1=δ+

δ∫

Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen

∑−= 12irr12 SSS

10/1

Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:

E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + − = −( ) ( )

ET T

TQQ

u12

1

2=

−∫ δ

→ Exergie der Wärme

( )12u12V12N VVpWW −⋅+= → Nutzarbeit

2

1

V

V12 r12V

W pdV W= − +∫

→ Volumenänderungsarbeit

W W Wdiss el W12 12 12= + + ... → Dissipierte Arbeiten

irr12u12v STE ⋅=

→ Exergieverlust im System

E m eu u( ) ( )= ⋅ → Stoffgebundene Exergie der inneren Energie

Form mit Exergie der Enthalpie:

2

1

P

Q12 r12 diss12 v12 2 1P

E V dp W W E E E+ ⋅ + + − = −∫

E m e= ⋅ → Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)

10/2

Exergiebilanz bei offenen Systemen

Stationäre Exergiebilanz vom Eintritt bis Austritt :

∑∑ −=−++ st1

st212v12diss

st12t12Q EEEWPE

mit ET T

TQQ

u12

1

2=

−∫ δ → Exergie des Wärmestroms

irr12u12v STE ⋅= → Exergieverluststrom im System

( )st 2 st1

1 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Eintritt

( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Austritt

Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß

( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z⎡ ⎤+ + − = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen

exAufwand

EE

η = ∑∑

Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen

∑−=− st1

st212v EEE

10/3

Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:

( )12u12vNN vvpwwe −⋅+==

Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen: 2

1

p

t t r12p

e w v dp w= = ⋅ +∫

Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21

kin 2e c=

Spez. potentielle Energie: e g zpot = ⋅ Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen

( ) ( )uuu ssThhe −⋅−−=

Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen

( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue −⋅+−⋅−−=

Spez. Exergie der Wärme: ∫ δ−

=2

1

uq q

TTTe

Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. übertragene Wärme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= ⋅ − , 0)T(e uq = Spez. Volumenänderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= ⋅ − , Vw ue (p ) 0=

11/1

Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Näherung: adiabat

constm =

1p1 , T1c1 , z1

p < p2 1

2, T2

c2 , z2

H Hst st2 1=

( )irr2 112S m s s= ⋅ −

( )v12 U 2 1E m T s s= ⋅ ⋅ − , st1

st2

exEE

=η

Sonderfall: c c z z2 1 2 1≈ ≈,

h h2 1=

h = const

h

p p1 2

s s s1 2

h = h2 11 2

v v1 2

Reale Fluide: T2 < T1 falls innerhalb Inversionskurve

T2 > T1 falls außerhalb Inversionskurve

( ) ( )11212 T,psh,p = sss −− z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT

Ideales Gas: T T T2 1= =

s s Rpp

Rvv2 1

2

1

2

1− = − ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ln ln

Ideale Flüss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =

( )if

2 1 2 1dv (T)s s p p

dT− = − ⋅ − wobei

if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)

+ δ − − δ≈

+ δ − − δ

mit δT = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T

mit vifif=1ρ

wobei ρif f T= ( ) Stoffwerte

gute Näherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT

11/2

Verdichtung (Kompression) - Näherung: Verdichter, Pumpe - adiabat

( ) ( ) ( )

( )

st 2 21t12 2 1 2 1 2 12

2 1 2s 1sV

P m h h c c g z z1mit h h h h

⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + ⋅ −

η

2 2

mFlüssigkeit Gas

Dampf

Pt12st

adiabat

M M

1 1

Pumpe Verdichter(Kompressor)

m

p2>p1

ηsV Pt12st

1 1 1 2s 2 1Für realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT

( )

( ) ( )

igpm

ig2 1 pm 2 1

2 1 2s 1sV

1

22s 1

1if

2s 1 m 2 1

Für ideales Gas mit c , const :

h h c (T T )1T T (T T )

pmit T Tp

Für ideale Flüss : h h v p p

κ−κ

κ =

− = ⋅ −

= + ⋅ −η

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠− = ⋅ −

h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte

( )

( )

irr2 112

v12 u 2 1

S m s s

E m T s s

= ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

h p

s s

p

h

hh

s

w w

2

1 2

1

1

2

2s

t12s t12

1

s12irr

2s2

Isentroper Verdichtergütegrad (innerer Wirkungsgrad)

ηsVt s

t

sww

h hh h

= =−

−12

12

2 1

2 1

Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =

oder Ideale Flüss. mit c constpm

if = :

ηsVsT T

T T=

−−

2 1

2 1

Näherung: adiabate reversible Verdichtung → s=const

→ 2 = 2s

→

ηsV

t t s sw w h h== = −1

12 12 2 1

11/3

Turbinenentspannung (-expansion) - Näherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine

( ) ( ) ( )( )

⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + η ⋅ −

st 2 21t12 2 1 2 1 2 12

2 1 sT 2s 1

P m h h c c g z z

mit h h h h

1

2adiabat

G

-Pt12st

ηsT

m

Für reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT

( )

( ) ( )

1

igpm

ig2 1 pm 2 1

2 1 sT 2s 1

22s 1

1

if2s 1 m 2 1

Für ideales Gas mit c , const :

h h c (T T)T T (T T)

pmit T Tp

Für ideale Flüss: h h v p p

κ−κ

κ =

− = ⋅ −= + η ⋅ −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

− = ⋅ −

h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte

( )

( )

irr2 112

v12 u 2 1

S m s s

E m T s s

= ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

s s s1 2

p1 p2

h

hh

h1

2

2s

-wt12

2

1

2s

-wt12s

s12irr

Isentroper Turbinengütegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)

2 1t12sT

t12s 2s 1

h hww h h

−η = =

−

Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =

oder

Ideale Flüss. mit c constpmif = :

ηsTs

T TT T

=−−

2 1

2 1

Näherung: adiabate reversible Entspannung → s=const

→ 2 = 2s

→

ηsT

t t s sw w h h== = −1

12 12 2 1

11/4

Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const

p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−

⋅ =−

⋅ = ⋅ = +, , , ,κ

κ κκ

11

1

vv2

1=

pp

2

1=

TT

2

1= u u2 1− = h h2 1− = s s2 1− =

Isochore v constpT

const=

=

vv2

11= p

pTT

2

1

2

1=

TT

pp

2

1

2

1=

( )u u c T Tv2 1 2 1− = −

( )h h c T Tp2 1 2 1− = −

s s c

TTv2 12

1− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln

Isobare p constvT

const=

=vv

TT

2

1

2

1=

pp

2

11=

TT

vv

2

1

2

1=

( )u u c T Tv2 1 2 1− = −

( )h h c T Tp2 1 2 1− = −

s s c

TTp2 12

1− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln

Isotherme T const

p v const=

⋅ =vv

pp

2

1

1

2=

pp

vv

2

1

1

2=

TT2

11= u u2 1 0− = h h2 1 0− =

s s Rpp

s s Rvv

2 12

1

2 12

1

− = − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ln

ln

Isentrope s const

p v const=

⋅ =κvv

pp

vv

TT

2

1

1

2

1

2

1

1

2

11

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

κ

κ

pp

TT

pp

vv

2

1

2

1

1

2

1

1

2

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−κκ

κ

TT

pp

TT

vv

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

−

κκ

κ

( )u u c T Tv2 1 2 1− = −

( )h h c T Tp2 1 2 1− = −

s s2 1 0− =

Polytrope

p v constn⋅ = vv

pp

vv

TT

n

n

2

1

1

2

1

2

1

1

2

11

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

pp

TT

pp

vv

nn

n

2

1

2

1

1

2

1

1

2

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

TT

pp

TT

vv

nn

n

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

−

( )u u c T Tv2 1 2 1− = −

( )h h c T Tp2 1 2 1− = −

2 1

2v

1

s s

Tn c lnn 1 T

− =

⎛ ⎞− κ= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

11/5

Reversible Prozesse idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const

p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−

⋅ =−

⋅ = ⋅ = +, , , ,κ

κ κκ

11

1

q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore

v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= −

w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= − = −

Isobare p const v

T const= =,

( )q c T Tp12 2 1= −

( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= − − = − − w t12 0=

Isotherme T const

p v const=

⋅ =q w wv t12 12 12= − = − w w q R T v

vR T p

pp v p vv t12 12 12

2

1

2

11 1 2 2= = − = − ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅ = ⋅ln ln mit: R T =

Isentrope s const

p v const=

⋅ =κq12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11

= − =−

−κ

11 2

v121

R T pw 1

1 p

κ−κ

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥

= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

wR T v

vv121 1

2

1

11=

⋅

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

κ

κ

mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1

w wv t12 121

=κ

( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= − = ⋅

−−

κκ

12

t12 11

pw R T 1

1 p

κ−κ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥κ

= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

w R Tvvt12 1

1

2

1

11=

−⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−κ

κ

κ

mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1

w wt v12 12= ⋅κ

Polytrope p v constn⋅ =

( )( )

( )

q c T T w

q c T T w

q nn

R T T

v v

p t

12 2 1 12

12 2 1 12

12 2 11 1

= − −

= − −

=−

− −⋅ ⋅ −

( )( )( )

κκ

n 1n1 2

v121

R T pw 1

n 1 p

−⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥

= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

wR Tn

vvv

n

121 1

2

1

11=

⋅

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1

( )wR

nT T w

nwv v t12 2 1 12 121

1=

- − =

n 1n2

t12 11

pnw R T 1n 1 p

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥

= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

wn

nR T

vvt

n

12 11

2

1

11=

−⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1

( )w R nn

w n wt t v12 12 121= ⋅

−− = ⋅T T2 1

12/1

Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen (λ=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0

Wärmestromdichte: (Betrag)

q grad t= − λ ⋅ AQq =

Wärmestrom durch Wand:

tQRλ

λλ

∆= wi wat t tλ∆ = −

Wärmeleit- widerstand: R

Amλ

δλ

=⋅

δ - Wanddicke - mittlere vom Wärmestrom

durchdrungene FlächeAm

Ebene Wand:

=dtgrad tdx

xi xax

t δ

λ

Q

Q

A

Ai

twi

twitwatwa

t x)Eb(

a

δ = −x xa i

Temperaturverlauf (linear)

( ) ( )t x) t t t

x xEbwi wi wa

i( = − − ⋅−δ

Ebm i aA a b A A A const= ⋅ = = = =

(a, b – Abmessungen der Wand)

→ Näherung für wandartige Gebilde

Zylinderwand:

RohrwandHohlzylindermit Länge l

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=dtgrad tdr

rir

t δ

λQ

Q

A

Ai a

twi

twitwatwa

i

a

ra

t rZyl( )

( )1a i a i2r r d dδ = − = −

Temperaturverlauf (logarithmisch)

( )t r t t t

rrrr

Zylwi wi wa

i

ai

( )ln

ln= − − ⋅

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )− −= π ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a iZyl a im

a ai i

d d A AA ld Aln lnd A

→Näherung für kanalartige Gebilde bei AA

a

i< 3

Kugelwand:

=dtgrad tdr

i aλ

δ

Kug t(r)

ri r

t

ra

twi twa

twa twi

Ai

Aa Q

Q

( )1a i a i2r r d dδ = − = −

Temperaturverlauf (hyperbolisch)

( )t r t t tr r

r r

Kugwi wi wa

i

i a

( ) = − − ⋅−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

1 1

( )Kug a im a i

i a

d dA A A

1 1d d

−= π = ⋅

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

→Näherung für geschlossene Gefäße bei AA

a

i< 3

(logarith-misches Mittel)

(geomet-risches Mittel)

13/1

Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ , α = const)

x = x1

t

λ

Q

A , A

i a

i ax2

αa

k

, α i

Aλ

Bλ

C

tFtW

tW

Am Am Am

i x3 x = x4a

t F

tW = tW

2

3

B CA

a 4

a

itW = t Wi 1

x

Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj

= = = = (j = A, B, C)

Wärmestrom:

k

kk R

tQ ∆= k F Fi at t t∆ = −

Wärmedurchgangswiderstand R R R Rk

ji j a

= + +∑α λ α (j = A,B,C)

iiaak Ak

1Ak

1R⋅

=⋅

=

ka - Wärmedurchgangskoeffizient

bezogen auf Fläche Aa ki - Wärmedurchgangskoeffizient

bezogen auf Fläche Ai

Wärmeübergangswiderstände RAi i i

α α=

⋅1

RAa a a

α α=

⋅1

α - Wärmeüber-

gangskoeffizient

Wärmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R

Aj

j

j m jλ

δ

λ=

⋅

Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms:

Q Q Q Q Qk i j a= = = =α λ α

i j akk i j a

k i j a

t t ttQ , Q , Q , QR R R R

α λ αα λ α

α λ α

∆ ∆ ∆∆= = = =

13/2

Verallgemeinerung:

thRtQ ∆

= Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von ∆t

Berechnung des thermischen Widerstandes:

α

i a

a

F

αi

λ1

λ6

λ2

λ3

λ4

λ5

t Fit

aQ.

Näherung für Vernachlässigung der W-Ströme quer:

R R R R R Rth i a= + + + +

−α λ λ λ α1 2 5 6 (Reihenschaltung)

1 1 1 1 1

2 5 2 3 4 5R R R R Rλ λ λ λ λ−

= + + +

(Parallelschaltung) Wärmedurchgang bei aneinander vorbeifließenden Fluiden (durch Wand getrennt)

aGl

i

Geg0

A

k

ia

am.

m.

Q.

m.

Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom

Temperaturschaubild

k

i

Weg

t

Wand Glk∆t

Gegk∆t

Glk∆t

Gegk∆t

00 A

A

A0

i

a

m.

aGegm

.aGlm

.

Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :

A

0

A0

k

k

kkmk

tt

ln

ttt

∆

∆

∆−∆=∆ ai0 FFk ttt −=∆

0

aiA FFk ttt −=∆ A

Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenströmer

Wärmestrom k

mk

k RtQ ∆

=

14/1

Konvektiver Wärmeübergang Wärmestrom (NEWTONsches Wärmeübergangsgesetz)

αα ∆⋅⋅α= tAQ

F W F W1 2

F W1

F W2

t t t tt

t tln

t t

α− − −

∆ =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

tF ändert sich von tF1 auf tF2,

bei Mittelwert tW

mF Wt t tα∆ = − bei Mittelwerten für Fluidtemperatur m

Ft und Wandtemperatur tW

Wärmeüber- gangskoeffizient: α

λ= ⋅Nu

lchar

λ bei tst

Nu - Nußelt-Zahl lchar - charakteristische Länge für jeweilige Geometrie

Fluid

Reynolds -Zahl: Re =⋅c lcharν

ν bei tst

λ - Wärmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit

ν - kinematische Viskosität νηρ

=

η - dynamische Zähigkeit

Prandtl -Zahl: Pr = =⋅ν η

λacp

η, cp, λ bei tst

ρ - Dichte ρ =1v

a - Temperaturleitkoeff. acp

=⋅λ

ρ

Grashof -Zahl: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆⋅⋅⋅β

ν= αtlg1Gr 3

char2

ν, β bei tst

β - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α=β

β

toffwerteS

Flüss. für )T(

Gase ideale für T1=

stpst

Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor für Temperatur-Abhängigkeit der Stoffwerte – falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

10 14

Flüssigkeiten KTW

:,

ηη

ηη

−−

Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zähigkeit des Fluids bei Wandtemp. t

st

WW

g - Erdbeschleunigung

14/2

Freie Konvektion ⇒ Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −

Nu Gr Gr KT= ⋅ ⋅ + ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⋅011

13 0 1, ( Pr) ( Pr) ,

( )t t tst F W= +12

gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤−0 5 10 107 12Gr lchar = Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren lchar = Außendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte Enge Spalte

2 1W WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −

Nuk Grm Gr

n= +

⋅ ⋅+ ⋅

1( Pr)

( Pr) ( )t t tst W W= +0 51 2

,

gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤0 5 1700 108Gr

Nu = 1 für (Gr Pr) <1700⋅

t tW W1 2, - Temperaturen der

Spaltoberflächen

k

m

n t W1

t W2

δ

qδ

q

t W1 t W2

δq

t W1 t W2

q t W1

t W2

δ

q

A B

CD

E

A B C D E

0,07 0,0236 0,119 0,025 0,043

3200 10100 14500 13000 4100

1,333 1,393 1,27 1,36 1,36

lchar = δ (Spaltbreite)

14/3

Erzwungene Konvektion ⇒ Nu = f (Re,Pr)

Strömung in Rohren α− − −

= α ⋅ ⋅⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

F W F W1 2

F W1

F W2

t t t tQ A

t tln

t t

bzw. mF WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −

A - durchströmteQuerschnittsfläche

U - benetzter Umfangq

q

Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=

tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlänge

Laminare Strömung bei Re < 2300

Nu

dL

dL

K

gl

glT= +

⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⋅3 660 0677

1 01

133

0,83,, Re Pr

, Pr Re

,

( )= +

=

1st F F1 22

mst F

t t t

bzw. t t (Mittelwert)

gültig für: 6,0Pr,32

Lgld

PrRe >>⋅⋅ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Turbulente Strömung bei Re 2300≥

( ) ( )NudL

KglT= − ⋅ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅ −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⋅0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3

23

, Re , Pr , ( )1 2

1st F F2

mst F

t t t

bzw. t t (Mittelwert)

= +

=

gültig für: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10

dgl> ≤ < < <

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Strömung entlang ebener Wände (Platten) F1 WQ A t tα = α ⋅ ⋅ − lchar - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung tF1 - Anströmtemperatur des Fluids, tW – mittlere Wandtemperatur

Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5 10 5⋅

Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 66412

13, Re Pr

( )F1 W1

st 2t t t= +

gültig für: Pr > 0,6

Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105≥ ⋅

Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 037 0 8 0 43, Re Pr, ,

1Fst tt =

gültig für: 0,6 ≤ Pr ≤ 100

glchar dl = dA

Uglq

q=

4 mFt - mittlere Fluidtemperatur

15/1

Wärmestrahlung

Strahlungskoeffizient: C Cs= ⋅ε

ε = a ε - Emissionsverhältnis a - Absorptionskoeffizient

8

s s 2 4WC 10 5,67051

m K= σ ⋅ =

⋅ - Strahlungskoeffizient des Schwarzen Strahlers

Emittierter Energiestrom: E C AT

= ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

100

4

Wärmestrom durch Strahlung

Q C AT T

12 12 11

42

4

100 100= ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

a) Sich umhüllende Körper ( innerer Körper)

⇒1 2Q12

1

C

CAA C Cs

12

1

1

2 2

11 1 1

=

+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) unendlich großer Raum

Q12

21

bei: A2 >> ⇒ =AAA1

1

20

C C12 1=

c) und unendlich große parallele Wände

⇒Q12

21

bei: A2 ≈ ⇒ =AAA1

1

21

falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wände

s21

12

C1

C1

C1

1C−+

=

15/2

d) Berechnung mit Einstrahlzahl

.1

2Q12

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⋅ϕ+−

=

s22

1

s12s1 C1

C1

AA

C1

C1

C1

1C12

ϕ12 −Einstrahlzahl Diagramme für bestimmte Geometrien

Reziprozitätsbeziehung: ϕ ϕ12 1 21 2⋅ = ⋅A A Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung

1 U2Q12

αStr C

T T

T T= ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

12

14

24

1 2

100 100( )

Strahlungsschirm Strahlungs-

schirm (Sch)

3 1

Sch12Q

3

sch12 13 32Q Q Q= =

4 4

Sch 1 212

1 13 3 32

T T1Q 1 1 100 100A C A C

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎣ ⎦⋅ ⋅

T C AT

C AT

C A C A3

4 13 11

4

32 32

4

13 1 32 3100100 100⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ + ⋅

16/1

Rekuperatoren (Wärmetauscher)

Festlegungen:

H - Heizmedium → gibt Wärme ab K - Kühlmedium → nimmt Wärme auf

1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K

0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)

a - laufende Heizfläche (a = 0 ... A) A – Heizfläche des Wärmeübertragers

Wärmekapazitätsstrom: pC m c= ⋅

Q k A tj j HKm= ⋅ ⋅ ∆

Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium:

0 A

m HK HKHK 0

HKAHK

t tt

tln

t

∆ − ∆∆ =

⎛ ⎞∆⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Gleichstrom: 1K1H0HK ttt −=∆

2K2HAHK ttt −=∆

Gegenstrom: 2K1H0HK ttt −=∆

∆t t tHKA

H K= −2 1

Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = :

m 0 AHK HK HKt t t∆ = ∆ = ∆

Q C tH H= ⋅ ∆ ∆t t t C m cH H H H H pH= − = ⋅1 2 , , H2 H1

o o

t t

pH H2 o pH H1 ot tH2 H1

pHH2 H1 H2 H1

c (t t ) c (t t )h hct t (t t )

⋅ − − ⋅ −−

= =− −

to – Bezugstemperatur für Enthalpie

Näherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte

Q C tK K= ⋅ ∆ ∆t t t C m cK K K K K pK= − = ⋅2 1 , , K2 K1

o o

t t

pK K2 o pK K1 ot tK2 K1

pKK2 K1 K2 K1

c (t t ) c (t t )h hct t (t t )

⋅ − − ⋅ −−

= =− −

to – Bezugstemperatur für Enthalpie

Näherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte

j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche

16/2

( )H H1 K1Q C t t= Φ ⋅ ⋅ −

( )Betriebscharakteristik t

tH

H1Φ

∆:=

− tK1

j j H

H K

k A Cf ;C C⋅⎛ ⎞

Φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

mit k A

Ct

t

CC

tt

j j

H

H

HKm

H

K

K

H

⋅= =;

∆

∆

∆∆

Sonderfall: Verdampfer → ∆tK = 0

( )1K2KK hhmQ −⋅= , CC

H

K= 0

Sonderfall: Kondensator → ∆tH = 0

( )2H1HH hhmQ −⋅= , K

H

C 0C

=

( ) Φ⋅−⋅= 1K1HK ttCQ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅=Φ 0

CC;

CAk

fH

K

K

jj , ( )1K1H

Ktt

t:−∆

=Φ

j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche

Diagramme für - Gleichströmer - Gegenströmer - Kreuzströmer

17/1

Instationäre Wärmeleitung

Zu- bzw. abgeführte Wärme

[ ]omp t)(tcV)(Q −τ⋅⋅⋅ρ=τ

tm(τ) - Mitteltemperatur des Körpers nach Zeit τ Quasistatische instationäre Wärmeleitung Näherung für langsame Erwärmung bzw. Abkühlung von kleinen Körpern mit guten Wärmeleiteigenschaften

Mitteltemperatur tm im gesamten Körper gleich groß

Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich

o

Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0

α

Mittlere Temperatur im Körperverändert sich mit Zeit τ

t = f (τ)m

Körper mit- Masse m- Oberfäche A

p- c

Fluid mit Temperatur t = constF

o

Definition: Normierte Mitteltemperatur

Fo

Fmm tt

tt−−

=ϑ

Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m

p

A( ) expm c

⎧ ⎫α ⋅⎪ ⎪ϑ τ = − ⋅ τ⎨ ⎬⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

17/2

Analytische Lösung nach Gröber für symmetrische Bedingungen

Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich

o

Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0

α

Temperatur im Kern t = f (τ)K

Körper mit

- geometrische Länge L

Fluid mit Temperatur t = constF

geo

Temperatur an Oberfläche t = f (τ)W

Mitteltemperatur t = f (τ)m

p- m, c ,λ

o

Funktionaler Zusammenhang

Temperatur Zeit Stoffwerte

Fo

FKK tt

tt−−

=ϑ

Fo

FWW tt

tt−−

=ϑ

Fo

Fmm tt

tt−−

=ϑ

Normierte Temperatur

2geo

aFoL

= τ ⋅

Fourier-Zahl

mit: acp

=⋅λ

ρ

λ⋅α= geoL

Bi

Biot-Zahl

bei tW bekannt: Bi = ∞ und Berechnung für tF = tW

im Diagramm für

• Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo =δ2

; δ - Wanddicke

• Unendlich langer Zylinder Ld

geo =2

; d - Durchmesser

• Vollkugel Ld

geo =2

; d - Durchmesser

17/3

Näherungen für weitere Geometrien:

Plattenähnliche Gebilde LVAgeo ≈

Zylinderähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅2

V - Volumen A - Oberfläche

Kugelähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅3

Superpositionsprinzip

ϑ ϑ ϑ ϑ= ⋅ ⋅x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung von:

unendlich große Platte

(Pl) unendlich

langer Zylinder (Zyl)

d

δ

δ

Temperatur an Stelle : ϑ = ϑ ϑKPl

KZyl⋅

: ϑ = ϑ ϑKPl

WZyl⋅

: ϑ = ϑ ϑWPl

WZyl⋅

: ϑ = ϑ ϑWPl

KZyl⋅