Thermodynamisch_formules_du
Transcript of Thermodynamisch_formules_du
![Page 1: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/1.jpg)
FBM
asch
inen
wes
enTe
chni
sche
The
rmod
ynam
ik
FormelsammlungTechnische ThermodynamikWärmeübertragung
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
University ofApplied Sciences
![Page 2: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/2.jpg)
HOCHSCHULE ZITTAU/GÖRLITZ (FH) - University of Applied Sciences
FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung Technische Thermodynamik Wärmeübertragung Seite
Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Größen 1/1 Thermische Zustandsgrößen 2/1 Energetische Zustandsgrößen 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgrößen 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wärmeleitung 12/1 Wärmedurchgang 13/1 Konvektiver Wärmeübergang 14/1 Wärmestrahlung 15/1 Wärmeübertrager 16/1 Instationäre Wärmeleitung 17/1
![Page 3: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/3.jpg)
Internationales Einheitensystem “SI“
Größe SI - Einheit empfohlene Einheit
Länge z 1 m 1 m
Zeit τ 1 s 1 s
Masse m 1 kg 1 kg
Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol
Thermodynamische Temperatur T 1K 1K
Kraft F 2kg m1 N 1
s⋅
= 1 kN = 1000 N
Druck p 2
5
N1Pa 1m
1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa
∗
∗
=
= ⋅= =
2
kN1 kPa 1m
1 kPa 0,01 bar∗=
=
Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wärme Q Arbeit W
1 J = 1 Nm
1 kJ = 1 kNm
spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wärme q spezifische Arbeit w
2
2J Nm m1 1 1
kg kg s= =
2
2kJ m1 1000kg s
=
Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wärmestrom Q Arbeitsleistung =P W
= =J Nm1 W 1 1s s
kJ kNm1 kW 1 1s s
= =
Spezif. Wärmekapazitäten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R
J Nm1 1kg K kg K
=⋅ ⋅
kJ kNm1 1kg K kg K
=⋅ ⋅
Entropiestrom S Wärmekapazitätsstrom C
W J Nm1 1 1K s K s K
= =⋅ ⋅
kW kJ kNm1 1 1K s K s K
= =⋅ ⋅
* in der Technik oft verwendete Einheit bar für Druck
![Page 4: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/4.jpg)
KühlturmWärmever-brauchermit Heizflächen
KernreaktorBrennkammer für Gase
Drosselventil(Druckminder- ventil)
Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine
Pumpe allgemein
Verdichterallgemein
KondensatorMischwärme-übertrager
Kühlmedium
Verdampfer (Kessel)mit Überhitzer
Verdampfer(Kessel)
Wärmeüber-trager alsRekuperatorallgemein(Wärme-tauscher)
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
![Page 5: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/5.jpg)
Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersäule
Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizöl
![Page 6: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/6.jpg)
1/1
Größen Umrechnung Beispiele
spezifische Größe Z: (massebezogen)
Zz =m
pv, u, h, s, c , q, w
Zeitbezogene Größe Z (Strom):
=τ
dZZd Z m z= ⋅
m, n, V, H, Q, W P=
Volumenbezogene Größe Z: ZzV
= z z= ρ ⋅ m, q ρ =
Molare Größe Z: Zz
n= z M z= ⋅ v, h, s, q, w
Flächenbezogene Größe Z: ZzA
= q
Stromdichte: ZzA
= ˆ ˆq , m
Temperatur Maßeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K=
CELSIUS-Temp.: t t C=° t T 273,15C K
= −°
FAHRENHEIT-Temp.: ϑF ϑF F=° F 9 T 459,67F 5 K
ϑ= ⋅ −
°
RANKINE-Temp.: ϑR ϑR R=° R 9 TR 5 K
ϑ= ⋅
°
Temperaturdifferenz: ∆T ∆ ∆T t K= = ∆ ∆T t=
Druck
p d A p= = =d F
1 kPa 0,01 barn ,
Überdruck: ∆p p puüb = - pu - barometrischer Druck der Umgebung
Unterdruck: ∆p p pun u= -
Vakuum: un
u
pVa
p∆
=
![Page 7: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/7.jpg)
1/2
Statischer Druck einer Flüssigkeitssäule
∆ ∆p g zFl FL= ⋅ ⋅ρ ρFl → Dichte der Flüssigkeit
∆z Fl → Höhe der Flüssigkeitssäule
Auftriebskraft
F = g V ( - )A ver ver⋅ ⋅ ρ ρ
Vverρ ver
ρ
FA
g
Vver → Volumen des verdrängenden Körpers (Fluids)
ρver → Dichte des verdrängenden Fluids
ρ → Dichte des Fluids in Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K
n n nn
1v bei p , T=ρ
des Fluids
![Page 8: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/8.jpg)
2/1
Thermische Zustandsgrößen Spezifisches Volumen v und Dichte ρ
Dichte: ρ =1v
Reales Fluid
v = f (p,T)technische Formulierung
= f (p,T)⎫→⎬
ρ ⎭
z.B. WDT, Stoffwerte
p = f (T,v) → physikalische Formulierung
Realgasfaktor realp vzR T⋅
=⋅
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T− = − v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:
TRmVp ⋅⋅=⋅
TRvp ⋅=⋅ TRvp ⋅=⋅ TRMvp ⋅⋅=⋅ TRnVp ⋅⋅=⋅
Spezifisches Volumen: pTR=vig ⋅
Dichte: TR
p=ig⋅
ρ Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:
MRR=
M Molare Masse des Stoffes→ =mMn
R, M Stoffwerte
Strömendes ideales Gas: TRmVp ⋅⋅=⋅
Differenz für Zustandsänderung �
2 1
2 12 1
T Tv v Rp p⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
![Page 9: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/9.jpg)
2/2
Inkompressible (ideale) Flüssigkeiten und Festkörper
v f Tif nur= ( ) )T(
1)T(vif
if
ρ=
� Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )1if
2if
12 TvTvvv −=−
v Tif ( ) Stoffwerte
Näherung
ifv v '(T)=
)T('v � z.B. WDT
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )1212 T'vT'vvv −=−
)T('v � Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
if
o p ov (T) v 1 (T T )⋅⎡ ⎤= + α −⎣ ⎦
)=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp βα→α � Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten
für Länge L >> Querschnitt bei Festkörpern
o lin oL(T) L 1 (T T )= + α ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦
lin Längenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o
α →
![Page 10: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/10.jpg)
3/1Energetische Zustandsgrößen Isochore Wärmekapazität Cv Isobare Wärmekapazität Cp
m
Cc v
v = Definition mC
c pp =
v
v Tu:c ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= pp
hc :T∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT
Ideales Gas
ig 3v 2c R= ⋅ Einatomige Gase ig 5
p 2c R= ⋅
Mehratomige Gase
)T( fcnurig
v = Rcc igv
igp +=
nurigpc f (T)=
Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten κ
Temperaturunabhängige Festwerte als Näherung
Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase
61,66=κκ =1,4κ =1,3
(exakt) (gute Näherung) z.B. Luft (grobe Näherung)
R1
1cigv ⋅
−κ=
igv
igp cc ⋅κ= R
1cig
p ⋅−κκ
=
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
)T( fcnurif
v = )T( fcnurif
p = Stoffwerte
Näherung
)T(c'c pifp ≈
z. B. WDT
![Page 11: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/11.jpg)
3/2
Innere Energie U Enthalpie H
Definition
U → Energiegehalt eines Systems Vp+U:H ⋅=
mUu = , umU ⋅= m
Hh = , hmH ⋅=
Reales Fluid
u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT
vphu ⋅−=
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )
( ) ( )2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 1 1
u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T− = −
v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT
![Page 12: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/12.jpg)
3/3
Innere Energie U Enthalpie H
Ideales Gas
uig = f (T) (T)f=hnurig
ig igu h R T= − ⋅
Stoffwerte
igh (T) Stoffwerte
∫+=T
T
igv
igo
ig
o
dT )T(cuu ∫+=T
T
igp
igo
ig
o
dT )T(chh
Differenz für Zustandsänderung
2
1
Tig
2 1 vT
u u c (T)dT− = ∫ 2
1
Tig
2 1 pT
h h c (T)dT− = ∫
( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T− = − − ⋅ − ( ) ( )ig ig
2 1 2 1h h h T h T− = −
hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte
mit Mittelwerten c bzw. cvmig
pmig = const
O
Tig ig ig
o v oT
u u c (T T )= + − O
Tig ig ig
o p oT
h h c (T T )= + −
O O
T Tig igv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tig igv p
T Tc c R= −
o o
T ig igTig ig op p
o oT T
h h1c c (T)dTT T T T
−= ⋅ =
− −∫
Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung
( )ig2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )ig
2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −
Rcc igpm
igvm −=
2 1
2o o
1
T Tig igp 2 o p 1 oT
T Tig igpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
⋅ − − ⋅ −
=−
o
Tigp
Tc Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )12 TT − :
( ) ( )2
1
Tig ig ig igpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
cpig (T) Stoffwerte
![Page 13: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/13.jpg)
3/4 Innere Energie U Enthalpie H
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper )T(fh
nurif = Stoffwerte
= + ∫o
Tif if if
o vT
u u c (T) dT = + ∫o
Tif if if
o pT
h h c (T) dT
u h T p v Tif if if= − ⋅( ) ( ) hif
T vif
T( ), ( ) Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung
2
1
Tif
2 1 vT
u u c (T)dT− = ∫ 2
1
Tif
2 1 pT
h h c (T)dT− = ∫
( ) ( )if if
2 1 2 1if if
2 2 1 1
u u h T h T
(p v (T ) p v (T ))
− = −
− ⋅ − ⋅
( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T− = −
hif (T) Stoffwerte
hif
T vif
T( ), ( ) Stoffwerte
mit Mittelwerten ifpm
ifvm c bzw. c = const
O
Tif if if
o v oT
u u c (T T )= + − O
Tif if if
o p oT
h h c (T T )= + −
O O
T Tif ifv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tif ifv p
T Tc c R= −
o o
TT if ifif if op p
o oT T
1 h hc c (T)dTT T T T
−= ⋅ =
− −∫
Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung ( )if
2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )if2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −
2 1
2o o
1
T Tif ifp 2 o p 1 oT
T Tif ifpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
⋅ − − ⋅ −
=−
o
Tifp
Tc Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
( ) ( )2
1
Tif if if ifpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦ ifpc (T) Stoffwerte
Näherungen
)T('vp)T('huif ⋅−= ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )( ) ( )
2 1 2 1
2 2 1 1
u u h' T h' Tp v' T p v' T
− = −⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T− = −
v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT
![Page 14: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/14.jpg)
4/1
Entropie S
spez. Entropie s Sm
= Entropiestrom S m s= ⋅
Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1− = −, ,
( )s f p T= , z. B. WDT
Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=
igTpig ig
ooTo
c (T) ps s dT R lnT p
⎛ ⎞= + − ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
T igig ig v
ooTo
c (T) vs s dT R lnT v
⎛ ⎞= + + ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
igigT
o
ps s R lnp
⎛ ⎞= − ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ mit dT
T)T(c
ssT
T
igpig
oigT
o
∫+=
( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet für: K 273,15=T bei 0s o
igo =
Ausnahmen - Wasserdampf: Kkg
kJ 1562,9sigo ⋅=
- Luft: igo
kJs 0,16189 kg K
=⋅
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )s s s T s T RppT
igTig
2 1 2 12
1− = − − ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
( )s TTig Stoffwerte
mit Mittelwerten igvm
igpm cbzw. c = const:
T
ig ig igo p
o oTo
T ps s c ln R ln T p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tig ig ig
o vo oTo
T vs s c ln R ln T v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Differenz für Zustandsänderung
s s cTT
Rpppm
ig2 1
2
1
2
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln ln s s c
TT
Rvvvm
ig2 1
2
1
2
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln ln
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
T2ig ig ig igpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
c c Rvmig
pmig= −
cpig (T) Stoffwerte
![Page 15: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/15.jpg)
4/2
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= =
)p,T( fsif =
( )ififT
pif ifo o
To
dv (T)c (T)s s dT p p
T dT= + − ⋅ −∫ mit dT
T)T(c
ssT
T
ifpif
oifT
o
∫+=
Näherung:
( )if
if ifT o
dv (T)s s p p
dT= − ⋅ −
( )ifs
dv'(T)s s'(T) p p (T)dT
= − ⋅ −
p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT
( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 für Wasser, berechnet für K 273,15=T bei 0s o
ifo =
( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 für Wasser
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if
2 1if if2 1 T 2 T 1 2 1
2 1
v T v Ts s s T s T p p
T T−
− = − − ⋅ −−
( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte
Näherung:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1
2 1
v' T v' Ts s s' T s' T p p
T T−
− = − − ⋅ −−
( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT
mit Mittelwert ifpmc = const:
( )⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ifTif if if
o p ooTo
dv (T)Ts s c ln p pT dT
Differenz für Zustandsänderung
( )if if
2 1if 22 1 pm 2 1
1 2 1
v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T
−⎛ ⎞− = ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ −⎝ ⎠
ifv (T) Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
T2if if if if
pm p p 1 p 2T1
1c = c c (T ) c (T )2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
( )c Tpif Stoffwerte
Sonderfall T=const
( )if if
2 1 2 1v (T T) v (T T)
s s p p(T T) (T T)+ δ − − δ
− = − ⋅ −+ δ − − δ
mit δT = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
![Page 16: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/16.jpg)
5/1
Exergie E
spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e= ⋅
Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:
( ) ( )u uu)h( ssThh:ee −⋅−−=≡
uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz für Zustandsänderung ⌫
( ) ( )12 u1212 ssThhee −⋅−−=− Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfähigkeit:
( )st 2 st12E m e c g z m e= + + ⋅ = ⋅
mit st 21
2e e c g z= + + ⋅
Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:
( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e −⋅+−⋅−−=
uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz für Zustandsänderung ⌫
( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee −⋅+−⋅−−=−
![Page 17: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/17.jpg)
6/1
Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr’)
ooo o o o
u 0s 0 beih u p v 0
=== + ⋅ ≈
oo
3 1o
T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg−
=== ⋅
Fluide Einphasengebiete (Flüssigkeit, überhitzter Dampf)
p1 p2 p3
0°C . . . t . . . . 800°C
.
. (Flüss.) . . . (überh. Dampf) . .
.
.
. (Flüss.). . . (überh.Dampf).
.
.
.
.
.
. (über- krit. Fluid) .
Werte für v, h, s, cp,
λ, η
⇒ p1
p2
p3
p
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
kr
tr
t (p )s 1 t (p )s 2 t
Trennstrich in Tabelle
überkrit. Fluid
überh. Dampf
Dampfdruck-kurveFlüss.
aus Tabelle für Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
p ts = f(p) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(p) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(p)
.
.
.
.
.
.
.
.
. sowie
t ps = f(t) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(t) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(t)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T
T (p)s
s
h
s
h"
h'
s' s"
p
v"
x=0 v'
kr x=1
T (p)s
kr v" p
h"
x=1x=0 v'h'
p
s' s"
![Page 18: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/18.jpg)
6/2
Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sättigungsdruck):Siedetemperatur (Sättigungstemperatur): für beide Phasensp f T
T f ps
==
⎫⎬⎭
( )( )
Anteil siedender Flüssigkeit: m', V' v'=V'm'
→
Anteil trocken gesättigten Dampfes: m", V" v"=V"m"
→
Nassdampfgemisch: m m' m"= +
V V Vx = +' " x
xVv m
→ =
Dampfanteil m" m"xm m' m"
= =+
Dampfvolumenanteil x
V" V"yV V' V"
= =+
xv"vxy ⋅=
spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + ⋅ − ρxxv
=1
v' v" f T, ( )= oder = f (p) ↗ z.B. WDT
spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + ⋅ − h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) ↗z.B. WDT
Verdampfungsenthalpie vr h h'' h'≡ ∆ = − spezifische innere Energie: u h p vx x s x= − ⋅
p f Ts = ( ) ↗ z.B. WDT
spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + ⋅ − s s f (T) oder' , "= = f (p) ↗ z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= − − ⋅ −
( )h s f p Tu u u u, ,= ↗ z.B. WDT
![Page 19: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/19.jpg)
6/3
c
t Tripel-zustand
p
pc22,064 MPa
kritischer Punkt
überkritisches Fluid
feste Phase Feststoff
Sublimationsdruckkurve psub(T)
Dampfdruckkurve ps(T)
ideales Gas
Tt 273,16 K
Tc 647,096 K
pt0,6117 kPa
T
Schmelzdruckkurven
Wasser
andere Fluide
pmelt(T)
flüssige Phase Flüssigkeit
reales Fluid
Werte von Wasser T
ps(T)
inkom-pressible
Flüssigkeit Gasphase
überhitzter Dampf
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
TT
max
T
Zweiphasengemisch flüssig - gasförmig
Flüssigkeit
p,v-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flüssigkeit
(Zeiger ')
Taulinie x=1 - Zustand trocken gesättigten
Dampfes (Zeiger '')
![Page 20: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/20.jpg)
6/4
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
T
s
inkompressibleFlüssigkeit
Ts (p)
s'(p) s"(p)
Tc
sc
h' (p)
p max
Ttst' st"
h"(p)
reales Fluid
c
ideales Gas
Tmax
überhitzter Dampfx = 1
x = 0
v = const
v = const
x = 0,
2
p = const
x =
0,4 x = 0,6
x = 0,8
h = const
v chc
pc
h = const
v t"p t
v"(p
)p
= co
nst
p =
cons
t
v =
cons
t
p =
cons
tv
= co
nst
t"t'
Flüssigkeit
NassdampfZweiphasengemisch
flüssig-gasförmig
kritischer Punkt
inkompressibleFlüssigkeit
h
hc
sc s"(p)s'(p)
h"(p)
h'(p)
st' st"
p,T s(p)
v t"
T = const
ideales Gas
NassdampfZweiphasengebietflüssig-gasförmig
c
ht'
p t ,T t
Ts (p)
p = co
nst
überhitzter DampfT c
v = co
nst
p c
Tmax
pmax
v"(p
)
x = 1
x = 0,8
x = 0,
4
v = const
p t ,Tt
x = 0
t'
t"Tt
ht"
in Bild 8.7
Flüssigkeit
kritischer Punkt
![Page 21: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/21.jpg)
7/1
Massebilanz
Instationär: m m dmdzu ab− =∑∑ τ
Sonderfall: ,m m constzu ab = im Zeitraum ∆τ
( )m m m mzu ab− ⋅ = −∑∑ ∆τ 2 1
mit ∆τ = τ2 - τ1
Stationär: m mzu ab= ∑∑ (m = const im System)
Massestrom: m V= ⋅ρ , ρ =1v
Volumenstrom: V c Aq= ⋅ Aq → durchströmte Querschnittsfläche c → mittlere Strömungsgeschwindigkeit über Querschnittsfläche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab− = −∑∑ 2 1
![Page 22: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/22.jpg)
8/1
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik
Energiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationäre Energiebilanz: Q WdUd
+ =τ
mit: δ=
τQQ
d, WW P
dδ
≡ =τ
Differentielle Formen
dUWWQ dissV =δ+δ+δ r dissQ V dp W W dHδ + ⋅ + δ + δ = Zustandsänderung von Zeitpunkt bis Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie
1212diss12V12 UUWWQ −=++ 2
1
p
12 r12 diss12 2 1p
Q V dp W W H H+ ⋅ + + = −∫
Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung von Zeitpunkt bis
2
1
V
V12 r12V
W p dV W= − ⋅ +∫ V rW p dV Wδ = − ⋅ + δ
Äußere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)
( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + ⋅ −
pu → barom. Druck in Umgebung d. Kolbens
z2
N1 2 Kz1
W F (z) dz= ∫
FK(z) - Äußere Kolbenkraft in Abhängigkeit von z (positiv in Richtung Volumenverringerung)
z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const
21 UU =∑ 21 HH =∑
![Page 23: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/23.jpg)
8/2
Energiebilanz bei offenen Systemen
Instationäre Energiebilanz: Q W H HdUd
stzust
abst+ + − =∑ ∑ τ
Stationäre Energiebilanz vom Eintritt bis Austritt :
Q P W H Htst
dissst st
12 12 12 2 1+ + = −∑ ∑ Gesamtenthalpieströme:
Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅
Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅
Technische Nutzleistung des Fluidstroms:
P W m wtst
tst
tst
12 12 12= = ⋅
Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )
2
1
pst 2 21
r12 2 1 2 1t12 2p
w v dp w c c g z z= ⋅ + + − + ⋅ −∫
Spezifische innere technische Arbeit: = ⋅ +∫
2
1
p
r12t12p
w v dp w
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 - stationärer Fließprozeß
( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z⎡ ⎤+ + = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Differentielle Form: st
t dissq w w dh c dc g dzδ + δ + δ = + ⋅ + ⋅
mit stt rw v dp w c dc g dzδ = ⋅ + δ + ⋅ + ⋅
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen st
2st1 HH =∑
![Page 24: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/24.jpg)
9/1
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:
Form mit U: dU p dVdS
T+ ⋅
=
Form mit H: dH V dpdS
T− ⋅
=
Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz: τ
=+ddSSS irr
Q
Differentielle Form: dSSTQ irr =δ+δ
Quasistatische Zustandsänderung vom Zeitpunkt bis :
S S S SQirr
12 12 2 1+ = −
SQTQ12
1
2= ∫
δ → Entropie der Wärme
Sirr12 → Entropieproduktion im System
1 12 2
S m sS m s
= ⋅= ⋅ → Entropie im Fluid
Sonderfall: Adiabate Mischung
irr12 2 1S S S= −∑
![Page 25: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/25.jpg)
9/2
Entropiebilanz bei offenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz: S S S SdSdQ zu ab
irr+ − + =∑ ∑ τ
Stationäre Entropiebilanz vom Eintritt zum Austritt :
S S S SQirr
12 12 2 1+ = −∑ ∑
SQTQ12
1
2= ∫
δ → Entropie des Wärmestroms
irr12S → Entropieproduktionsstrom im System
S m s1 1 1= ⋅ → Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= ⋅ Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß
( )12irr1212Q ss mSS −⋅=+
Differentielle Form: dssTq irr
2
1=δ+
δ∫
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen
∑−= 12irr12 SSS
![Page 26: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/26.jpg)
10/1
Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:
E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + − = −( ) ( )
ET T
TQQ
u12
1
2=
−∫ δ
→ Exergie der Wärme
( )12u12V12N VVpWW −⋅+= → Nutzarbeit
2
1
V
V12 r12V
W pdV W= − +∫
→ Volumenänderungsarbeit
W W Wdiss el W12 12 12= + + ... → Dissipierte Arbeiten
irr12u12v STE ⋅=
→ Exergieverlust im System
E m eu u( ) ( )= ⋅ → Stoffgebundene Exergie der inneren Energie
Form mit Exergie der Enthalpie:
2
1
P
Q12 r12 diss12 v12 2 1P
E V dp W W E E E+ ⋅ + + − = −∫
E m e= ⋅ → Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
![Page 27: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/27.jpg)
10/2
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationäre Exergiebilanz vom Eintritt bis Austritt :
∑∑ −=−++ st1
st212v12diss
st12t12Q EEEWPE
mit ET T
TQQ
u12
1
2=
−∫ δ → Exergie des Wärmestroms
irr12u12v STE ⋅= → Exergieverluststrom im System
( )st 2 st1
1 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Eintritt
( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Austritt
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß
( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z⎡ ⎤+ + − = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen
exAufwand
EE
η = ∑∑
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen
∑−=− st1
st212v EEE
![Page 28: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/28.jpg)
10/3
Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
( )12u12vNN vvpwwe −⋅+==
Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen: 2
1
p
t t r12p
e w v dp w= = ⋅ +∫
Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21
kin 2e c=
Spez. potentielle Energie: e g zpot = ⋅ Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen
( ) ( )uuu ssThhe −⋅−−=
Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen
( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue −⋅+−⋅−−=
Spez. Exergie der Wärme: ∫ δ−
=2
1
uq q
TTTe
Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. übertragene Wärme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= ⋅ − , 0)T(e uq = Spez. Volumenänderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= ⋅ − , Vw ue (p ) 0=
![Page 29: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/29.jpg)
11/1
Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Näherung: adiabat
constm =
1p1 , T1c1 , z1
p < p2 1
2, T2
c2 , z2
H Hst st2 1=
( )irr2 112S m s s= ⋅ −
( )v12 U 2 1E m T s s= ⋅ ⋅ − , st1
st2
exEE
=η
Sonderfall: c c z z2 1 2 1≈ ≈,
h h2 1=
h = const
h
p p1 2
s s s1 2
h = h2 11 2
v v1 2
Reale Fluide: T2 < T1 falls innerhalb Inversionskurve
T2 > T1 falls außerhalb Inversionskurve
( ) ( )11212 T,psh,p = sss −− z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT
Ideales Gas: T T T2 1= =
s s Rpp
Rvv2 1
2
1
2
1− = − ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ln ln
Ideale Flüss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =
( )if
2 1 2 1dv (T)s s p p
dT− = − ⋅ − wobei
if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)
+ δ − − δ≈
+ δ − − δ
mit δT = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
mit vifif=1ρ
wobei ρif f T= ( ) Stoffwerte
gute Näherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT
![Page 30: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/30.jpg)
11/2
Verdichtung (Kompression) - Näherung: Verdichter, Pumpe - adiabat
( ) ( ) ( )
( )
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 2s 1sV
P m h h c c g z z1mit h h h h
⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + ⋅ −
η
2 2
mFlüssigkeit Gas
Dampf
Pt12st
adiabat
M M
1 1
Pumpe Verdichter(Kompressor)
m
p2>p1
ηsV Pt12st
1 1 1 2s 2 1Für realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT
( )
( ) ( )
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 2s 1sV
1
22s 1
1if
2s 1 m 2 1
Für ideales Gas mit c , const :
h h c (T T )1T T (T T )
pmit T Tp
Für ideale Flüss : h h v p p
κ−κ
κ =
− = ⋅ −
= + ⋅ −η
⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠− = ⋅ −
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte
( )
( )
irr2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
h p
s s
p
h
hh
s
w w
2
1 2
1
1
2
2s
t12s t12
1
s12irr
2s2
Isentroper Verdichtergütegrad (innerer Wirkungsgrad)
ηsVt s
t
sww
h hh h
= =−
−12
12
2 1
2 1
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =
oder Ideale Flüss. mit c constpm
if = :
ηsVsT T
T T=
−−
2 1
2 1
Näherung: adiabate reversible Verdichtung → s=const
→ 2 = 2s
→
ηsV
t t s sw w h h== = −1
12 12 2 1
![Page 31: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/31.jpg)
11/3
Turbinenentspannung (-expansion) - Näherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine
( ) ( ) ( )( )
⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + η ⋅ −
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 sT 2s 1
P m h h c c g z z
mit h h h h
1
2adiabat
G
-Pt12st
ηsT
m
Für reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT
( )
( ) ( )
1
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 sT 2s 1
22s 1
1
if2s 1 m 2 1
Für ideales Gas mit c , const :
h h c (T T)T T (T T)
pmit T Tp
Für ideale Flüss: h h v p p
κ−κ
κ =
− = ⋅ −= + η ⋅ −
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
− = ⋅ −
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte
( )
( )
irr2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
s s s1 2
p1 p2
h
hh
h1
2
2s
-wt12
2
1
2s
-wt12s
s12irr
Isentroper Turbinengütegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)
2 1t12sT
t12s 2s 1
h hww h h
−η = =
−
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =
oder
Ideale Flüss. mit c constpmif = :
ηsTs
T TT T
=−−
2 1
2 1
Näherung: adiabate reversible Entspannung → s=const
→ 2 = 2s
→
ηsT
t t s sw w h h== = −1
12 12 2 1
![Page 32: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/32.jpg)
11/4
Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const
p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−
⋅ =−
⋅ = ⋅ = +, , , ,κ
κ κκ
11
1
vv2
1=
pp
2
1=
TT
2
1= u u2 1− = h h2 1− = s s2 1− =
Isochore v constpT
const=
=
vv2
11= p
pTT
2
1
2
1=
TT
pp
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s c
TTv2 12
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
Isobare p constvT
const=
=vv
TT
2
1
2
1=
pp
2
11=
TT
vv
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s c
TTp2 12
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
Isotherme T const
p v const=
⋅ =vv
pp
2
1
1
2=
pp
vv
2
1
1
2=
TT2
11= u u2 1 0− = h h2 1 0− =
s s Rpp
s s Rvv
2 12
1
2 12
1
− = − ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− = ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ln
ln
Isentrope s const
p v const=
⋅ =κvv
pp
vv
TT
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
κ
κ
pp
TT
pp
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−κκ
κ
TT
pp
TT
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
κκ
κ
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s2 1 0− =
Polytrope
p v constn⋅ = vv
pp
vv
TT
n
n
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
pp
TT
pp
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
TT
pp
TT
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
2 1
2v
1
s s
Tn c lnn 1 T
− =
⎛ ⎞− κ= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
![Page 33: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/33.jpg)
11/5
Reversible Prozesse idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const
p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−
⋅ =−
⋅ = ⋅ = +, , , ,κ
κ κκ
11
1
q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore
v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= −
w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= − = −
Isobare p const v
T const= =,
( )q c T Tp12 2 1= −
( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= − − = − − w t12 0=
Isotherme T const
p v const=
⋅ =q w wv t12 12 12= − = − w w q R T v
vR T p
pp v p vv t12 12 12
2
1
2
11 1 2 2= = − = − ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ⋅ = ⋅ln ln mit: R T =
Isentrope s const
p v const=
⋅ =κq12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11
= − =−
−κ
11 2
v121
R T pw 1
1 p
κ−κ
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥
= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wR T v
vv121 1
2
1
11=
⋅
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
κ
κ
mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1
w wv t12 121
=κ
( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= − = ⋅
−−
κκ
12
t12 11
pw R T 1
1 p
κ−κ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥κ
= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
w R Tvvt12 1
1
2
1
11=
−⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−κ
κ
κ
mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1
w wt v12 12= ⋅κ
Polytrope p v constn⋅ =
( )( )
( )
q c T T w
q c T T w
q nn
R T T
v v
p t
12 2 1 12
12 2 1 12
12 2 11 1
= − −
= − −
=−
− −⋅ ⋅ −
( )( )( )
κκ
n 1n1 2
v121
R T pw 1
n 1 p
−⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥
= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wR Tn
vvv
n
121 1
2
1
11=
⋅
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1
( )wR
nT T w
nwv v t12 2 1 12 121
1=
- − =
n 1n2
t12 11
pnw R T 1n 1 p
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wn
nR T
vvt
n
12 11
2
1
11=
−⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1
( )w R nn
w n wt t v12 12 121= ⋅
−− = ⋅T T2 1
![Page 34: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/34.jpg)
12/1
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen (λ=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0
Wärmestromdichte: (Betrag)
q grad t= − λ ⋅ AQq =
Wärmestrom durch Wand:
tQRλ
λλ
∆= wi wat t tλ∆ = −
Wärmeleit- widerstand: R
Amλ
δλ
=⋅
δ - Wanddicke - mittlere vom Wärmestrom
durchdrungene FlächeAm
Ebene Wand:
=dtgrad tdx
xi xax
t δ
λ
Q
Q
A
Ai
twi
twitwatwa
t x)Eb(
a
δ = −x xa i
Temperaturverlauf (linear)
( ) ( )t x) t t t
x xEbwi wi wa
i( = − − ⋅−δ
Ebm i aA a b A A A const= ⋅ = = = =
(a, b – Abmessungen der Wand)
→ Näherung für wandartige Gebilde
Zylinderwand:
RohrwandHohlzylindermit Länge l
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=dtgrad tdr
rir
t δ
λQ
Q
A
Ai a
twi
twitwatwa
i
a
ra
t rZyl( )
( )1a i a i2r r d dδ = − = −
Temperaturverlauf (logarithmisch)
( )t r t t t
rrrr
Zylwi wi wa
i
ai
( )ln
ln= − − ⋅
⎛⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( )− −= π ⋅ ⋅ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a iZyl a im
a ai i
d d A AA ld Aln lnd A
→Näherung für kanalartige Gebilde bei AA
a
i< 3
Kugelwand:
=dtgrad tdr
i aλ
δ
Kug t(r)
ri r
t
ra
twi twa
twa twi
Ai
Aa Q
Q
( )1a i a i2r r d dδ = − = −
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
( )t r t t tr r
r r
Kugwi wi wa
i
i a
( ) = − − ⋅−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1
1 1
( )Kug a im a i
i a
d dA A A
1 1d d
−= π = ⋅
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
→Näherung für geschlossene Gefäße bei AA
a
i< 3
(logarith-misches Mittel)
(geomet-risches Mittel)
![Page 35: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/35.jpg)
13/1
Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ , α = const)
x = x1
t
λ
Q
A , A
i a
i ax2
αa
k
, α i
Aλ
Bλ
C
tFtW
tW
Am Am Am
i x3 x = x4a
t F
tW = tW
2
3
B CA
a 4
a
itW = t Wi 1
x
Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj
= = = = (j = A, B, C)
Wärmestrom:
k
kk R
tQ ∆= k F Fi at t t∆ = −
Wärmedurchgangswiderstand R R R Rk
ji j a
= + +∑α λ α (j = A,B,C)
iiaak Ak
1Ak
1R⋅
=⋅
=
ka - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Aa ki - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Ai
Wärmeübergangswiderstände RAi i i
α α=
⋅1
RAa a a
α α=
⋅1
α - Wärmeüber-
gangskoeffizient
Wärmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R
Aj
j
j m jλ
δ
λ=
⋅
Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms:
Q Q Q Q Qk i j a= = = =α λ α
i j akk i j a
k i j a
t t ttQ , Q , Q , QR R R R
α λ αα λ α
α λ α
∆ ∆ ∆∆= = = =
![Page 36: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/36.jpg)
13/2
Verallgemeinerung:
thRtQ ∆
= Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von ∆t
Berechnung des thermischen Widerstandes:
α
i a
a
F
αi
λ1
λ6
λ2
λ3
λ4
λ5
t Fit
aQ.
Näherung für Vernachlässigung der W-Ströme quer:
R R R R R Rth i a= + + + +
−α λ λ λ α1 2 5 6 (Reihenschaltung)
1 1 1 1 1
2 5 2 3 4 5R R R R Rλ λ λ λ λ−
= + + +
(Parallelschaltung) Wärmedurchgang bei aneinander vorbeifließenden Fluiden (durch Wand getrennt)
aGl
i
Geg0
A
k
ia
am.
m.
Q.
m.
Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom
Temperaturschaubild
k
i
Weg
t
Wand Glk∆t
Gegk∆t
Glk∆t
Gegk∆t
00 A
A
A0
i
a
m.
aGegm
.aGlm
.
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :
A
0
A0
k
k
kkmk
tt
ln
ttt
∆
∆
∆−∆=∆ ai0 FFk ttt −=∆
0
aiA FFk ttt −=∆ A
Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenströmer
Wärmestrom k
mk
k RtQ ∆
=
![Page 37: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/37.jpg)
14/1
Konvektiver Wärmeübergang Wärmestrom (NEWTONsches Wärmeübergangsgesetz)
αα ∆⋅⋅α= tAQ
F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tt
t tln
t t
α− − −
∆ =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
tF ändert sich von tF1 auf tF2,
bei Mittelwert tW
mF Wt t tα∆ = − bei Mittelwerten für Fluidtemperatur m
Ft und Wandtemperatur tW
Wärmeüber- gangskoeffizient: α
λ= ⋅Nu
lchar
λ bei tst
Nu - Nußelt-Zahl lchar - charakteristische Länge für jeweilige Geometrie
Fluid
Reynolds -Zahl: Re =⋅c lcharν
ν bei tst
λ - Wärmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit
ν - kinematische Viskosität νηρ
=
η - dynamische Zähigkeit
Prandtl -Zahl: Pr = =⋅ν η
λacp
η, cp, λ bei tst
ρ - Dichte ρ =1v
a - Temperaturleitkoeff. acp
=⋅λ
ρ
Grashof -Zahl: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∆⋅⋅⋅β
ν= αtlg1Gr 3
char2
ν, β bei tst
β - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α=β
β
toffwerteS
Flüss. für )T(
Gase ideale für T1=
stpst
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor für Temperatur-Abhängigkeit der Stoffwerte – falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10 14
Flüssigkeiten KTW
:,
ηη
ηη
−−
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zähigkeit des Fluids bei Wandtemp. t
st
WW
g - Erdbeschleunigung
![Page 38: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/38.jpg)
14/2
Freie Konvektion ⇒ Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
Nu Gr Gr KT= ⋅ ⋅ + ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⋅011
13 0 1, ( Pr) ( Pr) ,
( )t t tst F W= +12
gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤−0 5 10 107 12Gr lchar = Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren lchar = Außendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte Enge Spalte
2 1W WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
Nuk Grm Gr
n= +
⋅ ⋅+ ⋅
1( Pr)
( Pr) ( )t t tst W W= +0 51 2
,
gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤0 5 1700 108Gr
Nu = 1 für (Gr Pr) <1700⋅
t tW W1 2, - Temperaturen der
Spaltoberflächen
k
m
n t W1
t W2
δ
qδ
q
t W1 t W2
δq
t W1 t W2
q t W1
t W2
δ
q
A B
CD
E
A B C D E
0,07 0,0236 0,119 0,025 0,043
3200 10100 14500 13000 4100
1,333 1,393 1,27 1,36 1,36
lchar = δ (Spaltbreite)
![Page 39: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/39.jpg)
14/3
Erzwungene Konvektion ⇒ Nu = f (Re,Pr)
Strömung in Rohren α− − −
= α ⋅ ⋅⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tQ A
t tln
t t
bzw. mF WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
A - durchströmteQuerschnittsfläche
U - benetzter Umfangq
q
Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=
tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlänge
Laminare Strömung bei Re < 2300
Nu
dL
dL
K
gl
glT= +
⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⋅3 660 0677
1 01
133
0,83,, Re Pr
, Pr Re
,
( )= +
=
1st F F1 22
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
gültig für: 6,0Pr,32
Lgld
PrRe >>⋅⋅ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Turbulente Strömung bei Re 2300≥
( ) ( )NudL
KglT= − ⋅ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅ −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3
23
, Re , Pr , ( )1 2
1st F F2
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
= +
=
gültig für: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10
dgl> ≤ < < <
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Strömung entlang ebener Wände (Platten) F1 WQ A t tα = α ⋅ ⋅ − lchar - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung tF1 - Anströmtemperatur des Fluids, tW – mittlere Wandtemperatur
Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5 10 5⋅
Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 66412
13, Re Pr
( )F1 W1
st 2t t t= +
gültig für: Pr > 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105≥ ⋅
Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 037 0 8 0 43, Re Pr, ,
1Fst tt =
gültig für: 0,6 ≤ Pr ≤ 100
glchar dl = dA
Uglq
q=
4 mFt - mittlere Fluidtemperatur
![Page 40: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/40.jpg)
15/1
Wärmestrahlung
Strahlungskoeffizient: C Cs= ⋅ε
ε = a ε - Emissionsverhältnis a - Absorptionskoeffizient
8
s s 2 4WC 10 5,67051
m K= σ ⋅ =
⋅ - Strahlungskoeffizient des Schwarzen Strahlers
Emittierter Energiestrom: E C AT
= ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
100
4
Wärmestrom durch Strahlung
Q C AT T
12 12 11
42
4
100 100= ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
a) Sich umhüllende Körper ( innerer Körper)
⇒1 2Q12
1
C
CAA C Cs
12
1
1
2 2
11 1 1
=
+ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b) unendlich großer Raum
Q12
21
bei: A2 >> ⇒ =AAA1
1
20
C C12 1=
c) und unendlich große parallele Wände
⇒Q12
21
bei: A2 ≈ ⇒ =AAA1
1
21
falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wände
s21
12
C1
C1
C1
1C−+
=
![Page 41: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/41.jpg)
15/2
d) Berechnung mit Einstrahlzahl
.1
2Q12
⎟⎟⎠
⎞−⎜⎜
⎝
⎛⋅+
⋅ϕ+−
=
s22
1
s12s1 C1
C1
AA
C1
C1
C1
1C12
ϕ12 −Einstrahlzahl Diagramme für bestimmte Geometrien
Reziprozitätsbeziehung: ϕ ϕ12 1 21 2⋅ = ⋅A A Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung
1 U2Q12
αStr C
T T
T T= ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
12
14
24
1 2
100 100( )
Strahlungsschirm Strahlungs-
schirm (Sch)
3 1
Sch12Q
3
sch12 13 32Q Q Q= =
4 4
Sch 1 212
1 13 3 32
T T1Q 1 1 100 100A C A C
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎣ ⎦⋅ ⋅
T C AT
C AT
C A C A3
4 13 11
4
32 32
4
13 1 32 3100100 100⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ + ⋅
![Page 42: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/42.jpg)
16/1
Rekuperatoren (Wärmetauscher)
Festlegungen:
H - Heizmedium → gibt Wärme ab K - Kühlmedium → nimmt Wärme auf
1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K
0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)
a - laufende Heizfläche (a = 0 ... A) A – Heizfläche des Wärmeübertragers
Wärmekapazitätsstrom: pC m c= ⋅
Q k A tj j HKm= ⋅ ⋅ ∆
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium:
0 A
m HK HKHK 0
HKAHK
t tt
tln
t
∆ − ∆∆ =
⎛ ⎞∆⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠
Gleichstrom: 1K1H0HK ttt −=∆
2K2HAHK ttt −=∆
Gegenstrom: 2K1H0HK ttt −=∆
∆t t tHKA
H K= −2 1
Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = :
m 0 AHK HK HKt t t∆ = ∆ = ∆
Q C tH H= ⋅ ∆ ∆t t t C m cH H H H H pH= − = ⋅1 2 , , H2 H1
o o
t t
pH H2 o pH H1 ot tH2 H1
pHH2 H1 H2 H1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
⋅ − − ⋅ −−
= =− −
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
Näherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte
Q C tK K= ⋅ ∆ ∆t t t C m cK K K K K pK= − = ⋅2 1 , , K2 K1
o o
t t
pK K2 o pK K1 ot tK2 K1
pKK2 K1 K2 K1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
⋅ − − ⋅ −−
= =− −
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
Näherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte
j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche
![Page 43: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/43.jpg)
16/2
( )H H1 K1Q C t t= Φ ⋅ ⋅ −
( )Betriebscharakteristik t
tH
H1Φ
∆:=
− tK1
j j H
H K
k A Cf ;C C⋅⎛ ⎞
Φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
mit k A
Ct
t
CC
tt
j j
H
H
HKm
H
K
K
H
⋅= =;
∆
∆
∆∆
Sonderfall: Verdampfer → ∆tK = 0
( )1K2KK hhmQ −⋅= , CC
H
K= 0
Sonderfall: Kondensator → ∆tH = 0
( )2H1HH hhmQ −⋅= , K
H
C 0C
=
( ) Φ⋅−⋅= 1K1HK ttCQ , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⋅=Φ 0
CC;
CAk
fH
K
K
jj , ( )1K1H
Ktt
t:−∆
=Φ
j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche
Diagramme für - Gleichströmer - Gegenströmer - Kreuzströmer
![Page 44: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/44.jpg)
17/1
Instationäre Wärmeleitung
Zu- bzw. abgeführte Wärme
[ ]omp t)(tcV)(Q −τ⋅⋅⋅ρ=τ
tm(τ) - Mitteltemperatur des Körpers nach Zeit τ Quasistatische instationäre Wärmeleitung Näherung für langsame Erwärmung bzw. Abkühlung von kleinen Körpern mit guten Wärmeleiteigenschaften
Mitteltemperatur tm im gesamten Körper gleich groß
Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0
α
Mittlere Temperatur im Körperverändert sich mit Zeit τ
t = f (τ)m
Körper mit- Masse m- Oberfäche A
p- c
Fluid mit Temperatur t = constF
o
Definition: Normierte Mitteltemperatur
Fo
Fmm tt
tt−−
=ϑ
Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m
p
A( ) expm c
⎧ ⎫α ⋅⎪ ⎪ϑ τ = − ⋅ τ⎨ ⎬⋅⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 45: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/45.jpg)
17/2
Analytische Lösung nach Gröber für symmetrische Bedingungen
Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0
α
Temperatur im Kern t = f (τ)K
Körper mit
- geometrische Länge L
Fluid mit Temperatur t = constF
geo
Temperatur an Oberfläche t = f (τ)W
Mitteltemperatur t = f (τ)m
p- m, c ,λ
o
Funktionaler Zusammenhang
Temperatur Zeit Stoffwerte
Fo
FKK tt
tt−−
=ϑ
Fo
FWW tt
tt−−
=ϑ
Fo
Fmm tt
tt−−
=ϑ
Normierte Temperatur
2geo
aFoL
= τ ⋅
Fourier-Zahl
mit: acp
=⋅λ
ρ
λ⋅α= geoL
Bi
Biot-Zahl
bei tW bekannt: Bi = ∞ und Berechnung für tF = tW
im Diagramm für
• Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo =δ2
; δ - Wanddicke
• Unendlich langer Zylinder Ld
geo =2
; d - Durchmesser
• Vollkugel Ld
geo =2
; d - Durchmesser
![Page 46: Thermodynamisch_formules_du](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f2c749795947648d0a76/html5/thumbnails/46.jpg)
17/3
Näherungen für weitere Geometrien:
Plattenähnliche Gebilde LVAgeo ≈
Zylinderähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅2
V - Volumen A - Oberfläche
Kugelähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅3
Superpositionsprinzip
ϑ ϑ ϑ ϑ= ⋅ ⋅x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung von:
unendlich große Platte
(Pl) unendlich
langer Zylinder (Zyl)
d
δ
δ
Temperatur an Stelle : ϑ = ϑ ϑKPl
KZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑKPl
WZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑWPl
WZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑWPl
KZyl⋅