Post on 10-Dec-2015
description
CƠ SỞ THỦY ĐỊA
CƠ HỌC
CHƢƠNG III.
CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ
1. Phƣơng trình liên tục
Phương trình liên tục của dòng thấm là phương trình tổng
quát vận động của chất lỏng đồng nhất trong môi trường
lỗ hổng; phương trình đó là biểu thức toán học của qui
luật bảo toàn khối lượng của chất lỏng vận động. Phương
trình liên tục gặp hầu như trong tất cả các lĩnh vực vật lý.
Để thành lập phương trình phương trình liên tục chúng ta
lấy một hình hợp nguyên tố có
cạnh dx, dy, dz song song với
các trục tọa độ (hình 11).
Chúng ta sẽ nghiên cứu sự cân
bằng vật chất sau khoảng thời
gian vô cùng nhỏ dt trong hình
hộp nguyên tố. Hình I.1. Nguyên tố vô cùng
bé của dòng thấm không gian
1. Phƣơng trình liên tục
Thể tích của hình hộp nguyên tố ký hiệu là V, bằng dxdydz. Thể tích hổng trong hình hộp là Vh, được xác định theo biểu thức sau .
Khối lượng chất lỏng lấp đầy các lỗ hổng trong nguyên tố dòng thấm sẽ bằng
M = nV (II-1)
ở đây, - mật độ của chất lỏng.
Vi phân phương trình (II-1) chúng ta tìm được sự thay đổi khối lượng của chất lỏng trong hình hộp sau thời gian dt.
(II-2)
Hình I.1. Nguyên tố vô cùng
bé của dòng thấm không gian
nVVh
dtt
nVdt
t
M )(
1. Phƣơng trình liên tục
Bằng cách khác chúng ta thấy
rằng khối lượng của chất lỏng
chảy vào nguyên tố nghiên cứu
theo hướng trục x sẽ bằng
vxdydzdt (vx – hình chiếu của
tốc độ vận động trên trục x).
Cũng trong khoảng thời gian đó
khối lượng của chất lỏng chảy
ra từ hình hộp nguyên tố sẽ bằng.
Như vậy, hiệu số giữa khối lượng nước chảy đến và chảy
ra khỏi nguyên tố nghiên cứu sau khoảng thời gian dt
theo phương trục x sẽ là
Hình I.1. Nguyên tố vô cùng
bé của dòng thấm không gian
dydzdtdxx
vv x
x
dxdydzdtx
vx
1. Phƣơng trình liên tục
Tương tự, sự thay đổi khối lượng
của chất lỏng trong hình hộp
nguyên tố theo các trục y và z sẽ
bằng:
và
Toàn bộ khối lượng chất lỏng thay đổi trong nguyên tố
dòng thấm sau thời gian dt sẽ là:
(II-3)
So sách các biểu thức (II-2) và (II-3) chúng ta nhận được
phương trình cân bằng (II-4)
Hình I.1. Nguyên tố vô cùng
bé của dòng thấm không gian
dxdydzdty
vy.
dxdydzdtz
vz
VdtvdivVdtz
v
y
v
x
v zyx
t
nvdiv
1. Phƣơng trình liên tục
Phương trình trên là phương trình liên tục của dòng thấm. Để tìm phương trình phân bố áp lực trong dòng thấm cần phải tìm liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình liên tục với áp lực.
Trước tiên, chúng ta nghiên cứu động thái cứng trong dòng thấm đồng nhất. Khi đó người ta bỏ qua sự thay đổi mật độ của chất lỏng và sự biến dạng của đất đá, tức là trong phương trình (II-4) ; ngoài ra, chúng ta cho
rằng dòng chất lỏng đồng nhất nên có thể mang ra ngoài dấu vi phân theo các toạ độ. Lúc ấy, phương trình liên tục của dòng thấm đồng nhất về thành phần khi động thái cứng có dạng
(II-5)
0t
n
0x
v
y
v
x
v zyx
1. Phƣơng trình liên tục
ở đây vận động của chất lỏng tuân theo định luật Đacxi
và các thành phần của tốc độ thấm được biểu diễn bằng
các biểu thức sau:
(II-6)
ở đây kx, ky, kz - hệ số thấm theo hướng của các trục tọa
độ.
Thay các giá trị của vx, vy và vz từ phương trình (II-6) vào
phương trình liên tục, chúng ta nhận được
(II-7)
Phương trình trên là phương trình eliptit của toán lý.
z
Hkv
y
Hkv
x
Hkv zzyyxx ;;
0z
Hk
zy
Hk
yx
Hk
xzyx
1. Phƣơng trình liên tục
Trong lớp đồng nhất - đẳng hướng (kx = ky = kz = const và
có thể đưa ra ngoài dấu vi phân), sự phân bố áp lực trong
lớp được biểu diễn bằng phương trình Laplace.
(II-8)
Phương trình Laplace là một trong những phương trình
quan trọng nhất của vật lý toán; hàm số thỏa mãn
phương trình Laplace gọi là hàm số điều hòa hoặc hàm
số thế
Các thành phần của tốc độ thấm có thể biểu diễn qua
hàm số = kH ( gọi là hàm số thế của tốc độ thấm), khi
đó các biểu thức (II-6) viết lại ở dạng sau:
(II-9)
02
2
2
2
2
2
z
H
y
H
x
H
zv
yv
xv zyx ;;
1. Phƣơng trình liên tục
Nhờ biểu thức (II-9) phương trình liên tục của dòng thấm
khi động thái cứng có dạng:
(II-10)
Phương trình Laplace có một tính chất rất quan trọng, có
ý nghĩa rất lớn trong thủy động lực đó là tổ hợp bất kỳ các
lời giải thích nào của phương trình Laplace cũng là lời
giải của phương trình Laplace.
Từ đây rút ra kết luận: có thể cộng các thế của dòng
phẳng nước dưới đất; vận động tổng hợp cũng là vận
động thế.
02
2
2
2
2
2
zyx
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
Để thành lập phương trình của dòng
phẳng ngang không áp chúng ta nghiên
cứu sự cân bằng của nước trong nguyên
tố vô cùng bé có các cạnh dx, dy và
chiều cao bằng toàn bộ chiều dày của tầng
chứa nước (hình II.2)
Lưu lượng nước chảy đến nguyên tố theo
hướng trục x là qxdy và theo trục y là qydx;
lưu lượng chảy ra từ nguyên tố trong ứng với các trục tọa
độ như sau :
theo trục x là qxdy +
theo trục y là qydx +
Hình II.2. Sơ đồ
dòng nguyên tố
dxdyx
qx
dydxx
qy
Lƣợng nƣớc chảy đến
lấy dấu dƣơng nếu
chiều chảy trùng với
chiều của trục tọa độ.
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
Ngoài các đại lượng trên trong dòng
nguyên tố còn nhận được lượng nước
cung cấp ngấm từ trên xuống Wdxdy.
Hiệu số giữa lưu lượng nước chảy đến
và chảy đi chính là sự thay đổi thể tích
nước trong nguyên tố nghiên cứu. Trị
số nước thay đổi được biểu diễn ở dạng
khác và bằng dxdy (ở đây, - độ
nhả nước hoặc độ thiếu hụt bão hòa). Khi đó phương
trình cân bằng của nước trong lòng nguyên tố có dạng
sau
Hình II.2. Sơ đồ
dòng nguyên tố
t
H
dxdyt
Hdydx
y
qdxqdxdy
x
qdyqWdxdydxqdyq
y
yx
xyx
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
Sau khi rút gọn phương trình trên chúng
ta nhận được phương trình liên tục của
dòng phẳng ngang không áp:
(II-11)
Đối với dòng phẳng ngang không áp ở
mỗi một mặt cắt thẳng đứng gradien áp
lực không đổi và bằng độ nghiêng bề mặt nước ngầm
(II-12)
Các biểu thức đối với lưu lượng đơn vị qx và qy có thể viết
ở dạng sau: qx = Tix; qy = Tiy (II-13) T - độ dẫn nƣớc ở mặt cắt tính toán và bằng tích số giữa hệ số thấm và
chiều dày của tầng chứa nƣớc;
Hình II.2. Sơ đồ
dòng nguyên tố
t
HW
y
q
x
q yx
y
Hi
x
Hi yx ;
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
đối với tầng chứa nước không đồng
nhất gồm nhiều lớp, độ dẫn nước T
được xác định theo công thức sau
Nhờ các biểu thức trên phương trình
(II-11) viết lại được ở dạng
(II-14)
Phương trình (II-14) là phương trình vi
phân phi tuyến tính. Trong nhiều
trường hợp độ dẫn nước có thể coi
như không đổi và khi đó phương trình
(II-14) sẽ có dạng đơn giản hơn:(II-15)
Hình II.3. Mặt cắt thẳng
đứng của tầng chứa
nƣớc có cấu tạo lớp
n
i
ii hkhkhkT1
2211 ...
t
HW
y
HT
yx
HT
x
t
H
TT
W
y
H
x
H.
2
2
2
2
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
Khi vận động ổn định và khi không có
nước ngấm từ trên xuống, phương
trình (II-15) sẽ có dạng sau
Trong lớp đồng nhất độ dẫn nước
T = kh (ở đây, h - chiều dày của dòng
nước ngầm và có thể lấy h = H), khi
đó phương trình (II-15) có dạng sau
(II-16)
Thừa số ở vế phải phương trình
(II-16) có thể biểu diễn ở dạng sau
Hình II.3. Mặt cắt thẳng
đứng của tầng chứa
nƣớc có cấu tạo lớp
02
2
2
2
y
H
x
H
t
h
kk
W
y
h
x
h.
222
22
2
22
t
h
t
h
ht
h 2
.2
1
2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp
và ký hiệu , khi đó phương trình
(II-6) có dạng
(II-17)
ở vế phải phương trình (II-17) coi h
bằng giá trị trung bình và ký hiệu
(1959 Selkatsev V.N đề nghị gọi a là
hệ số truyền mực nước đối với nước
không áp và là hệ số truyền áp đối với
nước áp lực), khi đó phương trình của
dòng phẳng ngang không áp sẽ có
dạng đơn giản sau
Hình II.3. Mặt cắt thẳng
đứng của tầng chứa
nƣớc có cấu tạo lớp
2
2
1 hU
t
U
khk
W
y
U
x
U.
2
2
2
2
kha
t
U
ak
W
y
U
x
U.
12
2
2
2
(II-18)
3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm
Động thái đàn hồi của dòng thấm phát sinh khi có sự thay
đổi tải trọng trên tầng chứa nước làm thay đổi áp lực. Động
thái đàn hồi biểu diễn rõ rệt trong các tầng chứa nước áp
lực. Đơrêxôv, Selkatsev V.N. là những người đầu tiên xây
dựng lý thuyết về dòng thấm trong điều kiện động thái đàn
hồi.
Tương tự như khi thành lập phương trình liên tục của dòng
thấm, ta lập được cân bằng nước trong nguyên tố dòng
thấm vô cùng bé
(II-19)
ở đây, - tỉ trọng của nước.
Chúng ta sẽ tìm biểu thức đạo hàm đối với thời gian của
tích số n trong điều kiện đàn hồi.
t
n
z
v
y
v
x
v zyx
3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm
Khi áp lực thay đổi nước là vật thể đàn hồi lý tưởng, vì sự
thay đổi tỉ trọng của nước tuân theo định luật Huc sẽ tỉ
lệ thuận với sự thay đổi áp P
(II-20)
n - hệ số co giãn thể tích của nước, nó là sự thay đổi
tương đối thể tích của nước khi thay đổi áp lực là 1at. Đối
với nước nhạt n = 4,75.10-51/at, còn đối với nước kháong
với độ khoáng hóa M(g/l) dùng công thức Maminun V.N.
Đồng thời có thể cho rằng sự thay đổi áp lực làm cho độ lỗ
hổng của đất đá trong vỉa cũng thay đổi và tỷ lệ thuận với
sự thay đối áp lực lên cốt đất.
n = - d Pd (II-21)
Pn
at
Mn
1.10.15,710.75,4 85
3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm
Coi áp lực bên ngoài không thay đổi, chúng ta có Pđ = -
P và
n = d P (II-22)
ở đây, d - hệ số giãn thể tích của đất đá; trị số của nó thay
đổi trong phạm vi rất rộng và phụ thuộc và loại đá và chiều
sâu thế nằm.
Theo Selkatsev V.N đối với đất đá trầm tích nằm sâu có
thể lấy đ = (1÷5).10-41/at
Dùng các quan hệ (II-20) và (II-22) vế phải của phương
trình (II-19) viết lại ở dạng sau
(II-23)
t
n
tn
t
n
3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm
chú ý rằng chúng ta có
khi có (II-23) có dạng
(II-24)
ở đây n - hệ số đàn hồi, hệ số đàn hồi là sự thay đổi thể
tích nước trong nguyên tố đơn vị của dòng khi áp lực thay
đổi.
t
H
t
P
t
H
t
P
tnn
2
t
H
t
P
t
ndd
dnn
nd
n
t
H
t
H
t
Hn
t
nn ;..
. 22
3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm
Phân tích tài liệu thăm dò tỉ mỉ nước dưới đất đã chứng tỏ
rằng trong các tầng chứa nước áp lực sự thay đổi hệ số
đàn hồi của đới trao đổi mạnh thường không lớn (thực tế
n = 10-6 – 10-51/atm).
Nhờ biểu thức (II-24) và áp dụng định luật thấm đường
thẳng Đacxi, từ phương trình (II-19) chúng ta nhận được
phương trình vi phân của dòng thấm không gian trong lớp
đồng nhất đẳng hướng khi động thái đàn hồi
(II-25)
Thông số a đặc trưng cho quá trình phát triển động thái
thấm đàn hồi của dòng thấm theo thời gian; Selkatsev V.N.
gọi a là hệ số truyền áp và theo ông nó phụ thuộc vào độ
co giãn của lớp.
t
H
az
H
y
H
x
H.
12
2
2
2
2
2
dnn
ka
(
HẾT CHƢƠNG III