Chuong III A

CƠ SỞ THỦY ĐỊA

CƠ HỌC

CHƢƠNG III.

CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ

1. Phƣơng trình liên tục

Phương trình liên tục của dòng thấm là phương trình tổng

quát vận động của chất lỏng đồng nhất trong môi trường

lỗ hổng; phương trình đó là biểu thức toán học của qui

luật bảo toàn khối lượng của chất lỏng vận động. Phương

trình liên tục gặp hầu như trong tất cả các lĩnh vực vật lý.

Để thành lập phương trình phương trình liên tục chúng ta

lấy một hình hợp nguyên tố có

cạnh dx, dy, dz song song với

các trục tọa độ (hình 11).

Chúng ta sẽ nghiên cứu sự cân

bằng vật chất sau khoảng thời

gian vô cùng nhỏ dt trong hình

hộp nguyên tố. Hình I.1. Nguyên tố vô cùng

bé của dòng thấm không gian


Thể tích của hình hộp nguyên tố ký hiệu là V, bằng dxdydz. Thể tích hổng trong hình hộp là Vh, được xác định theo biểu thức sau .

Khối lượng chất lỏng lấp đầy các lỗ hổng trong nguyên tố dòng thấm sẽ bằng

M = nV (II-1)

ở đây, - mật độ của chất lỏng.

Vi phân phương trình (II-1) chúng ta tìm được sự thay đổi khối lượng của chất lỏng trong hình hộp sau thời gian dt.

(II-2)

Hình I.1. Nguyên tố vô cùng


nVVh

dtt

nVdt

t

M )(


Bằng cách khác chúng ta thấy

rằng khối lượng của chất lỏng

chảy vào nguyên tố nghiên cứu

theo hướng trục x sẽ bằng

vxdydzdt (vx – hình chiếu của

tốc độ vận động trên trục x).

Cũng trong khoảng thời gian đó

khối lượng của chất lỏng chảy

ra từ hình hộp nguyên tố sẽ bằng.

Như vậy, hiệu số giữa khối lượng nước chảy đến và chảy

ra khỏi nguyên tố nghiên cứu sau khoảng thời gian dt

theo phương trục x sẽ là



dydzdtdxx

vv x

x

dxdydzdtx

vx


Tương tự, sự thay đổi khối lượng

của chất lỏng trong hình hộp

nguyên tố theo các trục y và z sẽ

bằng:

và

Toàn bộ khối lượng chất lỏng thay đổi trong nguyên tố

dòng thấm sau thời gian dt sẽ là:

(II-3)

So sách các biểu thức (II-2) và (II-3) chúng ta nhận được

phương trình cân bằng (II-4)



dxdydzdty

vy.

dxdydzdtz

vz

VdtvdivVdtz

v

y

v

x

v zyx

t

nvdiv


Phương trình trên là phương trình liên tục của dòng thấm. Để tìm phương trình phân bố áp lực trong dòng thấm cần phải tìm liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình liên tục với áp lực.

Trước tiên, chúng ta nghiên cứu động thái cứng trong dòng thấm đồng nhất. Khi đó người ta bỏ qua sự thay đổi mật độ của chất lỏng và sự biến dạng của đất đá, tức là trong phương trình (II-4) ; ngoài ra, chúng ta cho

rằng dòng chất lỏng đồng nhất nên có thể mang ra ngoài dấu vi phân theo các toạ độ. Lúc ấy, phương trình liên tục của dòng thấm đồng nhất về thành phần khi động thái cứng có dạng

(II-5)

0t

n

0x

v

y

v

x

v zyx


ở đây vận động của chất lỏng tuân theo định luật Đacxi

và các thành phần của tốc độ thấm được biểu diễn bằng

các biểu thức sau:

(II-6)

ở đây kx, ky, kz - hệ số thấm theo hướng của các trục tọa

độ.

Thay các giá trị của vx, vy và vz từ phương trình (II-6) vào

phương trình liên tục, chúng ta nhận được

(II-7)

Phương trình trên là phương trình eliptit của toán lý.

z

Hkv

y

Hkv

x

Hkv zzyyxx ;;

0z

Hk

zy

Hk

yx

Hk

xzyx


Trong lớp đồng nhất - đẳng hướng (kx = ky = kz = const và

có thể đưa ra ngoài dấu vi phân), sự phân bố áp lực trong

lớp được biểu diễn bằng phương trình Laplace.

(II-8)

Phương trình Laplace là một trong những phương trình

quan trọng nhất của vật lý toán; hàm số thỏa mãn

phương trình Laplace gọi là hàm số điều hòa hoặc hàm

số thế

Các thành phần của tốc độ thấm có thể biểu diễn qua

hàm số = kH ( gọi là hàm số thế của tốc độ thấm), khi

đó các biểu thức (II-6) viết lại ở dạng sau:

(II-9)

02

2

2

2

2

2

z

H

y

H

x

H

zv

yv

xv zyx ;;


Nhờ biểu thức (II-9) phương trình liên tục của dòng thấm

khi động thái cứng có dạng:

(II-10)

Phương trình Laplace có một tính chất rất quan trọng, có

ý nghĩa rất lớn trong thủy động lực đó là tổ hợp bất kỳ các

lời giải thích nào của phương trình Laplace cũng là lời

giải của phương trình Laplace.

Từ đây rút ra kết luận: có thể cộng các thế của dòng

phẳng nước dưới đất; vận động tổng hợp cũng là vận

động thế.

02

2

2

2

2

2

zyx

2. Ph. trình dòng phẳng ngang không áp

Để thành lập phương trình của dòng

phẳng ngang không áp chúng ta nghiên

cứu sự cân bằng của nước trong nguyên

tố vô cùng bé có các cạnh dx, dy và

chiều cao bằng toàn bộ chiều dày của tầng

chứa nước (hình II.2)

Lưu lượng nước chảy đến nguyên tố theo

hướng trục x là qxdy và theo trục y là qydx;

lưu lượng chảy ra từ nguyên tố trong ứng với các trục tọa

độ như sau :

theo trục x là qxdy +

theo trục y là qydx +

Hình II.2. Sơ đồ

dòng nguyên tố

dxdyx

qx

dydxx

qy

Lƣợng nƣớc chảy đến

lấy dấu dƣơng nếu

chiều chảy trùng với

chiều của trục tọa độ.


Ngoài các đại lượng trên trong dòng

nguyên tố còn nhận được lượng nước

cung cấp ngấm từ trên xuống Wdxdy.

Hiệu số giữa lưu lượng nước chảy đến

và chảy đi chính là sự thay đổi thể tích

nước trong nguyên tố nghiên cứu. Trị

số nước thay đổi được biểu diễn ở dạng

khác và bằng dxdy (ở đây, - độ

nhả nước hoặc độ thiếu hụt bão hòa). Khi đó phương

trình cân bằng của nước trong lòng nguyên tố có dạng

sau


dòng nguyên tố

t

H

dxdyt

Hdydx

y

qdxqdxdy

x

qdyqWdxdydxqdyq

y

yx

xyx


Sau khi rút gọn phương trình trên chúng

ta nhận được phương trình liên tục của

dòng phẳng ngang không áp:

(II-11)

Đối với dòng phẳng ngang không áp ở

mỗi một mặt cắt thẳng đứng gradien áp

lực không đổi và bằng độ nghiêng bề mặt nước ngầm

(II-12)

Các biểu thức đối với lưu lượng đơn vị qx và qy có thể viết

ở dạng sau: qx = Tix; qy = Tiy (II-13) T - độ dẫn nƣớc ở mặt cắt tính toán và bằng tích số giữa hệ số thấm và

chiều dày của tầng chứa nƣớc;


dòng nguyên tố

t

HW

y

q

x

q yx

y

Hi

x

Hi yx ;


đối với tầng chứa nước không đồng

nhất gồm nhiều lớp, độ dẫn nước T

được xác định theo công thức sau

Nhờ các biểu thức trên phương trình

(II-11) viết lại được ở dạng

(II-14)

Phương trình (II-14) là phương trình vi

phân phi tuyến tính. Trong nhiều

trường hợp độ dẫn nước có thể coi

như không đổi và khi đó phương trình

(II-14) sẽ có dạng đơn giản hơn:(II-15)

Hình II.3. Mặt cắt thẳng

đứng của tầng chứa

nƣớc có cấu tạo lớp

n

i

ii hkhkhkT1

2211 ...

t

HW

y

HT

yx

HT

x

t

H

TT

W

y

H

x

H.

2

2

2

2


Khi vận động ổn định và khi không có

nước ngấm từ trên xuống, phương

trình (II-15) sẽ có dạng sau

Trong lớp đồng nhất độ dẫn nước

T = kh (ở đây, h - chiều dày của dòng

nước ngầm và có thể lấy h = H), khi

đó phương trình (II-15) có dạng sau

(II-16)

Thừa số ở vế phải phương trình

(II-16) có thể biểu diễn ở dạng sau




02

2

2

2

y

H

x

H

t

h

kk

W

y

h

x

h.

222

22

2

22

t

h

t

h

ht

h 2

.2

1


và ký hiệu , khi đó phương trình

(II-6) có dạng

(II-17)

ở vế phải phương trình (II-17) coi h

bằng giá trị trung bình và ký hiệu

(1959 Selkatsev V.N đề nghị gọi a là

hệ số truyền mực nước đối với nước

không áp và là hệ số truyền áp đối với

nước áp lực), khi đó phương trình của

dòng phẳng ngang không áp sẽ có

dạng đơn giản sau




2

2

1 hU

t

U

khk

W

y

U

x

U.

2

2

2

2

kha

t

U

ak

W

y

U

x

U.

12

2

2

2

(II-18)

3. Phƣơng trình động thái đàn hồi của dòng thấm

Động thái đàn hồi của dòng thấm phát sinh khi có sự thay

đổi tải trọng trên tầng chứa nước làm thay đổi áp lực. Động

thái đàn hồi biểu diễn rõ rệt trong các tầng chứa nước áp

lực. Đơrêxôv, Selkatsev V.N. là những người đầu tiên xây

dựng lý thuyết về dòng thấm trong điều kiện động thái đàn

hồi.

Tương tự như khi thành lập phương trình liên tục của dòng

thấm, ta lập được cân bằng nước trong nguyên tố dòng

thấm vô cùng bé

(II-19)

ở đây, - tỉ trọng của nước.

Chúng ta sẽ tìm biểu thức đạo hàm đối với thời gian của

tích số n trong điều kiện đàn hồi.

t

n

z

v

y

v

x

v zyx


Khi áp lực thay đổi nước là vật thể đàn hồi lý tưởng, vì sự

thay đổi tỉ trọng của nước tuân theo định luật Huc sẽ tỉ

lệ thuận với sự thay đổi áp P

(II-20)

n - hệ số co giãn thể tích của nước, nó là sự thay đổi

tương đối thể tích của nước khi thay đổi áp lực là 1at. Đối

với nước nhạt n = 4,75.10-51/at, còn đối với nước kháong

với độ khoáng hóa M(g/l) dùng công thức Maminun V.N.

Đồng thời có thể cho rằng sự thay đổi áp lực làm cho độ lỗ

hổng của đất đá trong vỉa cũng thay đổi và tỷ lệ thuận với

sự thay đối áp lực lên cốt đất.

n = - d Pd (II-21)

Pn

at

Mn

1.10.15,710.75,4 85


Coi áp lực bên ngoài không thay đổi, chúng ta có Pđ = -

P và

n = d P (II-22)

ở đây, d - hệ số giãn thể tích của đất đá; trị số của nó thay

đổi trong phạm vi rất rộng và phụ thuộc và loại đá và chiều

sâu thế nằm.

Theo Selkatsev V.N đối với đất đá trầm tích nằm sâu có

thể lấy đ = (1÷5).10-41/at

Dùng các quan hệ (II-20) và (II-22) vế phải của phương

trình (II-19) viết lại ở dạng sau

(II-23)

t

n

tn

t

n


chú ý rằng chúng ta có

khi có (II-23) có dạng

(II-24)

ở đây n - hệ số đàn hồi, hệ số đàn hồi là sự thay đổi thể

tích nước trong nguyên tố đơn vị của dòng khi áp lực thay

đổi.

t

H

t

P

t

H

t

P

tnn

2

t

H

t

P

t

ndd

dnn

nd

n

t

H

t

H

t

Hn

t

nn ;..

. 22


Phân tích tài liệu thăm dò tỉ mỉ nước dưới đất đã chứng tỏ

rằng trong các tầng chứa nước áp lực sự thay đổi hệ số

đàn hồi của đới trao đổi mạnh thường không lớn (thực tế

n = 10-6 – 10-51/atm).

Nhờ biểu thức (II-24) và áp dụng định luật thấm đường

thẳng Đacxi, từ phương trình (II-19) chúng ta nhận được

phương trình vi phân của dòng thấm không gian trong lớp

đồng nhất đẳng hướng khi động thái đàn hồi

(II-25)

Thông số a đặc trưng cho quá trình phát triển động thái

thấm đàn hồi của dòng thấm theo thời gian; Selkatsev V.N.

gọi a là hệ số truyền áp và theo ông nó phụ thuộc vào độ

co giãn của lớp.

t

H

az

H

y

H

x

H.

12

2

2

2

2

2

dnn

ka

(

HẾT CHƢƠNG III

Chuong III A

Documents

Transcript of Chuong III A