Post on 23-Nov-2021
Analiza szeregów czasowych:
1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia
pokrewne
P. F. Górahttp://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
semestr letni 2006/07
Plan wykładu• Dyskretna transformata Fouriera, podstawowe pojecia, algorytm(y) FFT,
twierdzenie Shannona o próbkowaniu.• Splot, widmo mocy, wygładzanie widma.• Filtr Wienera.• Filtry liniowe FIR, IIR. Funkcja przejscia filtru. Rola fazy.• Projektowanie prostych filtrów.• Modele stochastyczne: AR, MA, ARMA, ARIMA. Równania Yule’a–Walkera.
Identyfikacja modelu. Kryterium Akaike,• Przewidywanie przyszłego zachowania szeregu.• Uwagi o wielowymiarowych szeregach czasowych — wielowymiarowe mo-
dele ARMA, ARCH, GARCH.• Banki filtrów. Falki (wavelets) Daubechies.
1. Dyskretna transformata Fouriera 2
• Inne bazy falkowe. Przykłady zastosowania falek.
• Kompresja i odszumianie przy uzyciu falek.
• Transformata falkowa obrazów nieruchomych.
• Sygnały nieliniowe. Twierdzenie Takensa. Rekonstrukcja przestrzeni fazo-wej.
• Odszumianie i przewidywanie przyszłego zachowania nieliniowego szereguczasowego.
1. Dyskretna transformata Fouriera 3
Zaliczenie
W celu zaliczenia wykładu nalezy rozwiazywac — i oddawac mi w formiepisemnej — zadania “dla wszystkich” zamieszczane na mojej stronie WWW.Z osobami, które chca (moga? musza?) zdawac egzamin, forme egzaminu
ustale indywidualnie.
1. Dyskretna transformata Fouriera 4
Transformata Fouriera
G(f) =
∞∫
−∞g(t)e2πift dt (1)
Transformata odwrotna:
g(t) =
∞∫
−∞G(f)e−2πift df (2)
Trzeba pamietac gdzie w uzywanej konwencji pojawia sie 2π. Aby transformataFouriera istniała, funkcja musi odpowiednio szybko zanikac w ±∞.1. Dyskretna transformata Fouriera 5
Własnosci transformaty Fouriera
Splot:
(g ? h)(t) =
∞∫
−∞g(τ)h(t− τ) dτ (3a)
g ? h ↔ G(f)H(f) (3b)
Funkcja korelacji:
Corr(g, h) =
∞∫
−∞g(τ + t)h(t) dτ (4a)
Corr(g, h) ↔ G(f)H∗(f) (4b)
1. Dyskretna transformata Fouriera 6
Twierdzenie Wienera-Chinczyna∗
Funkcja autokorelacji:
Corr(g, g) ↔ |G(f)|2 (5)
Równosc Parsevala
∞∫
−∞|g(t)|2 dt =
∞∫
−∞|G(f)|2 df = całkowita moc (6)
∗Ang. Wiener-Khinchin Theorem.
1. Dyskretna transformata Fouriera 7
Próbkowanie dyskretne
W praktyce nigdy nie mamy do czynienia z sygnałami ciagłymi, a tylko z szere-gami czasowymi. Załózmy, ze mamy szereg próbkowany ze stałym krokiem ∆:
gn = g(n∆) , n = . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . (7)
Zauwazmy, ze samo próbkowanie wprowadza do układu pewna charakterystycz-na czestotliwosc, zwana czestotliwoscia Nyquista:
fNyq =1
2∆. (8)
Jaki jest jej sens? Aby prawidłowo rozpoznac okres fali harmonicznej, trzeba jaspróbkowac co najmniej dwa razy na okres. Jesli zatem próbkujemy z krokiem∆, mozemy zaobserwowac tylko czestotliwosci f ∈ [−fNyq, fNyq].
1. Dyskretna transformata Fouriera 8
Aliasing
A co jesli sygnał zawiera czestotliwosci f 6∈ [−fNyq, fNyq]? Czy zostaja oneutracone? To byłoby pół biedy: Czestosci spoza przedziału Nyquista, jesli saobecne w sygnale, zafałszowuja obserwowany rozkład czestosci wewnatrz tegoprzedziału: „Ogony” zostaja odbite do srodka. Dlatego tez jesli podejrzewamy,ze krok próbkowania jest za duzy i nie mozna go zmniejszyc, nalezy odfiltrowacczestosci spoza przedziału Nyquista przed dalsza obróbka.
Praktycznym testem na nieobecnosc aliasingu jest to, ze widmo mocy† zanikana granicach przedziału Nyquista.
†Wybiegajac przed orkiestre.
1. Dyskretna transformata Fouriera 9
-fNyq 0 fNyq
P(f
)
f
prawdziweznieksztalcone
ogony odbite do srodka
1. Dyskretna transformata Fouriera 10
Formalne zródło aliasingu:
Jesli ∆ jest krokiem próbkowania, dwie fale o czestotliwosciach f1, f2 daja takiesame próbki, jesli f1 − f2 = k/∆: exp(2πif1n∆) =exp(2πi(f2 + k/∆)n∆) = exp(2πif2n∆ + 2πikn) = exp(2πif2n∆).
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
sin(
2πt)
+ 0
.5si
n(9π
t)
sin(
2πt)
- 0
.5si
n(7π
t)
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
P(ω
)
ω
∆ = 1/8, N = 32
1. Dyskretna transformata Fouriera 11
Twierdzenie Shannona‡ o próbkowaniu§:
Jezeli funkcja jest pasmowo ograniczona (ang. bandwidth limited, band-limited),to znaczy jesli zawiera tylko czestotliwosci z przedziału [−fNyq, fNyq], i jesli danyjest nieskonczony ciag próbek z krokiem ∆, to
∀t : g(t) = ∆∞∑
n=−∞gn
sin(2πfNyq(t− n∆)
)
π(t− n∆). (9)
To bardzo mocne twierdzenie: Pozwala odtworzyc wartosci funkcji pasmowoograniczonej w nieprzeliczalnie wielu punktach na podstawie jej znajomosciw dyskretnych punktach. Szumy (procesy stochastyczne) i funkcje nieciagłe niesa pasmowo ograniczone.‡Zwane takze Twierdzeniem Shannona-Kotelnikowa.§Ang. Shannon sampling theorem.
1. Dyskretna transformata Fouriera 12
Skonczone szeregi czasowe
W praktyce nigdy nie mamy nieskonczonego szeregu czasowego — dysponu-jemy zaledwie skonczonym ciagiem o długosci N . Co zrobic z transformataFouriera, a w szczególnosci jak zapewnic jej zbieznosc? Stosowane sa dwiekonwencje:
• Zakładamy, ze szereg czasowy zanika do zera przy koncach — a jesli niezanika, obkładamy go odpowiednia funkcja okna zapewniajaca to zanikanie.
• Zakładamy, ze dostepny ciag skonczony jest okresem podstawowym nie-skonczonego ciagu okresowego. Jest to motywowane tym, iz w tej konwen-cji czyste przebiegi harmoniczne maja transformaty (ciagła transformata Fo-uriera funkcji sinus istnieje tylko w sensie dystrybucyjnym).
1. Dyskretna transformata Fouriera 13
My przyjmujemy te druga konwencje. Zgodnie z nia udajemy, ze badamy szeregpostaci
. . . , g0, g1, g2, . . . , gN−1︸ ︷︷ ︸kopia −1
, g0, g1, g2, . . . , gN−1︸ ︷︷ ︸prawdziwe dane
, g0, g1, g2, . . . , gN−1︸ ︷︷ ︸kopia 1
, . . . (10)
Poniewaz mamy N próbek wejsciowych, takze dyskretna transformate Fouriera(DFT, ang. Discrete Fourier Transform) mozemy obliczyc tylko w N punktach.Dla ustalenia uwagi niech N bedzie parzyste. Przyjmujemy, ze DFT obliczacbedziemy dla czestotliwosci
fn =n
N∆, n = −N
2, . . . ,
N
2. (11)
1. Dyskretna transformata Fouriera 14
G(fn) =
∞∫
−∞g(t) e2πifnt dt
= limM→∞
1
2M+1
M∑
s=−M
s(N−1)∆∫
(s−1)(N−1)∆
g(t) e2πifnt dt =
(N−1)∆∫
0
g(t)e2πifntdt
(12)
Całke w (12) przyblizam w najprostszy mozliwy sposób, przyblizajac funkcje pod-całkowa funkcja schodkowa:
G(fn) 'N−1∑
k=0
gk e2πifntk∆ ' ∆N−1∑
k=0
gk e2πikn/N . (13)
1. Dyskretna transformata Fouriera 15
Liczby
Gn =1√N
N−1∑
k=0
gk e2πikn/N (14)
nazywam dyskretnymi składowymi fourierowskimi funkcji g. W tej konwencjitransformata odwrotna ma postac
gk =1√N
N−1∑
n=0
Gn e−2πikn/N . (15)
Dyskretna wersja tozsamosci Parsevala ma postac
N−1∑
k=0
|gk|2 =N−1∑
n=0
|Gn|2 . (16)
1. Dyskretna transformata Fouriera 16
DFT jako operacja liniowa
Zauwazmy, ze wzór (14) mozna zapisac w postaci
Gn =N−1∑
k=0
Wnk gk , (17a)
Wnk =1√N
e2πikn/N . (17b)
Liczby Wnk mozna zinterpretowac jako elementy pewnej macierzy. Wobec tegozwarta postacia (17) jest
G = Wg , (18)
gdzie G, g ∈ CN , W ∈ CN×N . Wydaje sie, ze koszt numeryczny obliczaniaDFT wynosi O(N2), czyli tyle, ile wynosi koszt mnozenia wektora przez macierz.Jednak dzieki symetriom macierzy W, koszt ten mozna znacznie zredukowac.1. Dyskretna transformata Fouriera 17
Własnosci macierzy W
(WW†)
ls=
N−1∑
k=0
Wlk
(W†)
ks=
N−1∑
k=0
Wlk (Wsk)∗ =
1
N
N−1∑
k=0
e2πi(l−s)k/N
(19)Jesli l = s, wszystkie wyrazy pod suma sa równe 1 i wynik wynosi 1. Jeslil − s = m 6= 0,
(WW†)
ls=
1
N
N−1∑
k=0
(e2πim/N
)k=
1−(e2πim/N
)N
N(1− e2πim/N)=
1− e2mπi
N(1− e2πim/N)= 0 .
(20)
(WW†)
ls= δls.
Widzimy, ze macierz W jest unitarna. (Uwaga na przyjeta normalizacje!)
1. Dyskretna transformata Fouriera 18
Podsumowanie
DFT jest (z dokładnoscia do normalizacji) unitarnym przekształceniem wektorapróbek (sygnału) w wektor składowych fourierowskich.
DFT mozna zatem traktowac jako przedstawienie wektora próbek w innej bazie,mianowicie w bazie rozpietej przez sinusy i kosinusy o czestotliwosciach
0, 1/(N∆), 2/(N∆), . . . , 1/(2∆).
Zgodnie ze wzorem (18), numeryczny koszt obliczenia DFT wprost z definicjiwynosi O(N2). Na szczescie istnieja szybsze sposoby — algorytm FFT.
1. Dyskretna transformata Fouriera 19
Uwagi• Dyskretne współczynniki fourierowskie sa okresowe, w szczególnosci
G−N/2 = GN/2. Jest to konsekwencja załozenia o okresowosci sygnału.• Ujemne czestotliwosci pojawiaja sie dlatego, ze funkcje sinus i kosinus o tym
samym okresie traktujemy jako niezalezne.• Niekiedy rozwaza sie transformaty rozpiete na samych sinusach (transfor-
mata sinusowa) lub na samych kosinusach (transformata kosinusowa).• „Sygnał” moze byc w ogólnosci zespolony. Jezeli sygnał jest rzeczywisty,
mozna jego transformate obliczyc szybciej robiac sygnał zespolony o po-łowie długosci. Podobnie mozna jednoczesnie liczyc transformaty dwu sy-gnałów rzeczywistych. Transformaty rozwikłuje sie korzystajac z własnoscisymetrii DFT.
1. Dyskretna transformata Fouriera 20
Dodatnie i ujemne czestosci
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-6π -4π -2π 0 2π 4π 6π
H(ω
)
ω
h(t) = six(t) + cos(t)
Re H(ω)Im H(ω)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 1π 2π
P(ω
)
ω-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-6π -4π -2π 0 2π 4π 6πH
(ω)
ω
h(t) = six(t) - cos(t)
Re H(ω)Im H(ω)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 1π 2π
P(ω
)
ω
1. Dyskretna transformata Fouriera 21
Transformata sygnału „zgranego” z funkcjami bazowymi
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
sin(
2πt)
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8πP
(ω)
ω
∆ = 1/8, N = 32
1. Dyskretna transformata Fouriera 22
Transformata sygnału „niezgranego” z funkcjami bazowymi
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
sin(
6t)
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8πP
(ω)
ω
∆ = 1/8, N = 32
1. Dyskretna transformata Fouriera 23
Zwiekszenie ilosci próbek przy tym samym kroku próbkowaniapoprawia rozdzielczosc transformaty
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
sin(
6t)
+ 0
.5si
n(7t
)
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
P(ω
)
ω
∆ = 1/8, N = 32
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
P(ω
)
ω
∆ = 1/8, N = 128
1. Dyskretna transformata Fouriera 24
Funkcja kwaziokresowa
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
0 8 16 24 32 40 48 56 64
Fun
kcja
kw
azio
kres
owa
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0π 1π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8πP
(ω)
ω
∆ = 1/16, N = 1024
1. Dyskretna transformata Fouriera 25
Funkcja okresowa z zaburzeniem sprzezonym nieliniowo:
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2 4 6 8 10 12 14 16
sin(
4πt)
+ z
abur
zeni
e
t
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0π 2π 4π 6π 8π 10π 12π 14π 16πP
(ω)
ω
∆ = 1/16, N = 256
SNR ≈ 8 dB
1. Dyskretna transformata Fouriera 26
Sygnał nieliniowy — układ Lorentza
x = σ(y − x) , y = −xz + rx− y , z = xy − bz
-30
-20
-10
0
10
20
30
2000 2050 2100 2150 2200
x(t)
t
σ = 16, b = 4, r = 45.92
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 1π 2π 3π 4π 5π 6πP
(ω)
ω
∆ = 20/128, N = 16384
1. Dyskretna transformata Fouriera 27
Kolejny przykład
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
256 272 288 304 320
x(t)
(a)
t
c = 1.0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
2-8 2-6 2-4 2-2 20 22 24
S(f
)
(b)
f
c = 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
256 272 288 304 320
x(t)
(c)
t
c = 0.5
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
2-8 2-6 2-4 2-2 20 22 24
S(f
)
(d)
f
c = 0.5
1. Dyskretna transformata Fouriera 28
Uwaga terminologiczna: macierz Vandermonde’a
Macierz realizujaca DFT jest szczególnym przypadkiem macierzy Vandermon-de’a W = 1√
NV ∈ CN×N , gdzie
V =
1 1 · · · 1 1z0 z1 · · · zN−2 zN−1z20 z2
1 · · · z2N−2 z2
N−1... ... ... ...zN−10 zN−1
1 · · · zN−1N−2 zN−1
N−1
(21)
W przypadku DFT, zk = exp(2πik/N).
1. Dyskretna transformata Fouriera 29
Algorytm Fast Fourier Transform, FFT
Przykład: N = 8
G =V(8)√
8g =
1√8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1+i√2
i −1+i√2
−1 −1−i√2
−i 1−i√2
1 i −1 −i 1 i −1 −i
1 −1+i√2
−i 1+i√2
−1 1−i√2
i −1−i√2
1 −1 1 −1 1 −1 1 −1
1 −1−i√2
i 1−i√2
−1 1+i√2
−i −1+i√2
1 −i −1 i 1 −i −1 i
1 1−i√2
−i −1−i√2
−1 −1+i√2
i 1+i√2
g0g1g2g3g4g5g6g7
(22)
Widac regularnosci, ale trudno zobaczyc symetrie. . .1. Dyskretna transformata Fouriera 30
Permutujemy kolumny, jednoczesnie permutujac wektor danych — to nie zmie-nia wyniku.
G =1√8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 i −1 −i 1+i√2
−1+i√2
−1−i√2
1−i√2
1 −1 1 −1 i −i i −i
1 −i −1 i −1+i√2
1+i√2
1−i√2
−1−i√2
1 1 1 1 −1 −1 −1 −1
1 i −1 −i −1−i√2
1−i√2
1+i√2
−1+i√2
1 −1 1 −1 −i i −i i
1 −i −1 i 1−i√2
−1−i√2
−1+i√2
1+i√2
g0g2g4g6g1g3g5g7
(23)
Dzieki zmianie kolejnosci zaczyna byc cos widac!1. Dyskretna transformata Fouriera 31
Równanie (23) mozemy przepisac w postaci (zapis blokowy)
G =1√8
V(4) Ω(4)V(4)
V(4) −Ω(4)V(4)
g0g2g4g6g1g3g5g7
(24)
1. Dyskretna transformata Fouriera 32
. . . gdzie oznaczylismy
V(4) =
1 1 1 11 i −1 −i1 −1 1 −11 −i −1 i
, (25)
Ω(4) =
1 0 0 0
0 1+i√2
0 0
0 0 i 0
0 0 0 −1+i√2
=
(1+i√
2
)0
(1+i√
2
)1
(1+i√
2
)2
(1+i√
2
)3
(26)
1. Dyskretna transformata Fouriera 33
A zatem
G =1√8
V(4)
g0g2g4g6
+ Ω(4)V(4)
g1g3g5g7
V(4)
g0g2g4g6
−Ω(4)V(4)
g1g3g5g7
(27)
Fragmenty oznaczone kolorami obliczamy tylko raz. Mnozenie przez Ω(4) wy-konujemy w czasie liniowym. Zmniejszylismy czas obliczen o połowe.1. Dyskretna transformata Fouriera 34
Rzecz w tym, iz V(4) podlega analogicznej faktoryzacji
(zob. (25)), przy jednoczesnej dalszej permutacji wektora
wejsciowego:
V(4)
g0g2g4g6
=
V(2) Ω(2)V(2)
V(2) −Ω(2)V(2)
g0g4g2g6
(28)
V(2) =
[1 11 −1
], Ω(2) =
[1
i
]=
[i0
i1
]
(analogicznie dla [g1, g3, g5, g7]T )
1. Dyskretna transformata Fouriera 35
W ten sposób
G =1√8
V(2)
[g0
g4
]+Ω(2)V(2)
[g2
g6
]
V(2)
[g0
g4
]−Ω(2)V(2)
[g2
g6
]
+Ω(4)
V(2)
[g1
g5
]+Ω(2)V(2)
[g3
g7
]
V(2)
[g1
g5
]−Ω(2)V(2)
[g3
g7
]
V(2)
[g0
g4
]+Ω(2)V(2)
[g2
g6
]
V(2)
[g0
g4
]−Ω(2)V(2)
[g2
g6
]
−Ω(4)
V(2)
[g1
g5
]+Ω(2)V(2)
[g3
g7
]
V(2)
[g1
g5
]−Ω(2)V(2)
[g3
g7
]
(29)
Dwuwymiarowe wektory oznaczone kolorami oblicza sie tylko raz. W ten sposóbzłozonosc obliczeniowa zredukowalismy juz czterokrotnie.
1. Dyskretna transformata Fouriera 36
Ostatnia zagadka: W porównaniu z wyjsciowym równaniem (22), w równaniu(29) dokonalismy permutacji[g0, g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7]
T → [g0, g4, g2, g6, g1, g5, g3, g7]T .
Co to za permutacja?
04261537
=
00021002010211020012101201121112
−→odwracam kolejnosc
00020012010201121002101211021112
=
01234567
(30)
Wektor wejsciowy (“wektor próbek”) uporzadkowany jest w odwrotnej kolejnoscibitowej (bit reversal order ) indeksów.
1. Dyskretna transformata Fouriera 37
Ten algorytm bardzo łatwo uogólnia sie na dowolne N = 2s, s ∈ N.
Widac tez, ze znacznie redukujemy koniecznosc obliczania złozonych wyrazentypu sin
(nπN
), cos
(nπN
)— koniecznosc wywoływania funkcji bibliotecznych
sin(·), cos(·) została w ogóle wyeliminowana. Na kazdym etapie faktoryzacjiwystarczy raz wyliczyc odpowiedni pierwiastek z i, na co sa gotowe wzory,
potem zas wyliczac tylko kolejne potegi.
Jaki jest koszt numeryczny tego algorytmu?
1. Dyskretna transformata Fouriera 38
Kazda faktoryzacja zmniejsza ilosc operacji o połowe.
Faktoryzacji mozna zrobic tyle, ile razy mozna podzielic macierz “na cwiartki”.
Koszt numeryczny algorytmu FFT wynosi
O(N log2 N)
Na przykład dla N = 65536 = 216 zastosowanie algorytmu FFT zmniejszazłozonosc obliczeniowa w stosunku do liczenia “z definicji” ponad cztery tysiace
razy .
1. Dyskretna transformata Fouriera 39
Uwagi
• Zupełnie podobny algorytm mozna skonstruowac dla N = 3s, N = 5s i,ogólnie, dla N = qs, gdzie q jest liczba pierwsza. Koszt obliczeniowy wynosiwówczas O(N logq N).
• Dobre biblioteki “szybko” obsługuja takze N = qs11 q
s22 · · · qsm
m , gdzieq1, q2, . . . , qm sa niskimi liczbami pierwszymi.
• Jezeli analizujemy ciag uzyskany z symulacji, to w zasadzie kontrolujemyjego długosc i koniecznie nalezy zadbac o to, aby była ona potega niskiejliczby pierwszej, ewentualnie iloczynem jak najmniejszej ilosci czynnikówtypu q
sji . Jezeli mamy ciag “doswiadczalny”, dla zapewnienia odpowiedniej
szybkosci obliczen nalezy go albo obciac, albo uzupełnic zerami do najbliz-szej “specjalnej” długosci.
1. Dyskretna transformata Fouriera 40
Inne uwagi
• DFT traktuje ciag próbek jak ciag zmiennych zespolonych. Jesli liczymytransformate sygnału rzeczywistego, mozna go przekształcic za sygnał “ze-spolony” o długosci dwa razy mniejszej. Po dokonaniu transformacji, odwi-kłujemy transformate korzystajac z własnosci symetrii transformaty Fouriera:Jezeli g ∈ RN , G∗(f) = G(−f). Daje to istotne przyspieszenie obliczen.
• Podobnie mozna jednoczesnie liczyc transormaty dwu sygnałów rzeczywi-stych — bardzo przydatne przy liczeniu splotu dwu takich sygnałów.
• Istnieja takze “szybkie” algorytmy rozkładajace sygnał wejsciowy w baziesamych kosinusów (szybka transformata kosinusowa) lub samych sinusów(szybka transformata sinusowa). Transformat tych mozna z sensem uzywacjesli sygnały wejsciowe maja odpowiednie symetrie. Szybkiej dwuwymia-rowej transformacji kosinusowej uzywa sie w standardzie JPEG.
1. Dyskretna transformata Fouriera 41
Jak zrobic transformacje dwuwymiarowa?
Bardzo prosto: Jezeli g ∈ CN×N ,
G = WgW† (31)
Oczywiscie jest na to odpowiedni “szybki” algorytm, z odpowiednim przyspie-szeniem dla g ∈ RN×N .
1. Dyskretna transformata Fouriera 42