Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieo�cjalny)

A. Zembrzuski, P.Jankowski

February 3, 2009

0.1 Literatura

1. Kennweth A. Ross, Charles R.B. Wright, �Matematyka dyskretna�, PWN 2006

2. Joanna Grygiel, �Wprowadzenie do matematyki dyskretnej�, EXIT 2007

3. Jerzy Jaworski, Zbigniew Paªka, Jerzy Szyma«ski, �Matematyka dyskretna dla informatykówcz. I: Elementy kombinatoryki�, Wydawnictwo Naukowe UAM w Poznaniu 2008

4. Th.H.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, C.Stein, �Wprowadzenie do algorytmów�, WNT,2004.

1

1 Wykªad I - zbiory

Teoria mnogo±ci

Dziaª matematyki zajmuj¡cy si¦ teori¡ zbiorów nazywa si¦ po polsku teori¡ mnogo±ci. Wynika toz faktu, »e zamiennie ze sªowem zbiór u»ywa si¦ terminu mnogo±¢.

De�nicja zbioru

Zbiór uwa»a si¦ za poj¦cie pierwotne, czyli takie, którego si¦ nie de�niuje.

Okre±lenie elementów zbioru

Aby okre±li¢ zbiór:

1. Wymieniamy jego elementy: A = {3, 6, 9, 12}.

2. Podajemy wªasno±¢ posiadan¡ przez jego elementy: A = {x : 3 ≤ x ≤ 12∧x = 3∗n, n ∈ N}.

3. Przez podanie metody obliczania kolejnych elementów:

(a) Przyjmij i = 1.

(b) Oblicz 3 ∗ i i doª¡cz do zbioru.

(c) Zwi¦ksz i o 1.

(d) Przerwij dla i = 4.

Zbiór sko«czony

oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem 1, 2, ..., n dla pewnej liczby naturalnej n.De�nicja ta obejmuje równie» zbiór pusty, dla n = 0.

Zbiór przeliczalny (nieformalnie)

zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy mo»na ponumerowa¢ liczbami naturalnymi.Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego mo»na ustawi¢ w ci¡g � "wypisa¢ je po kolei".

Zbiór przeliczalny (formalnie)

Zbiór A nazywamy przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on sko«czony lub istnieje funkcjawzajemnie jednoznaczna przeksztaªcaj¡ca zbiór wszystkich liczb naturalnych na zbiór A.

Zbiór dyskretny

Do zbiorów dyskretnych zaliczamy zbiory sko«czone oraz przeliczalne.

2

Zbiory liczbowe

Caªkowite = Z - przeliczalneNaturalne = N - przeliczalneWymierne = QRzeczywiste = RZespolone = C

Równo±¢ zbiorów

Mówimy, »e zbiory A i B s¡ równymi, A = B, wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element zbioru Ajest elementem zbioru B i na odwrót:

A = B ⇔ ∀x(x ∈ A⇔ x ∈ B).

Zawieranie (inkluzja) zbiorów

Mówimy, »e zbiór A zawiera si¦ w zbiorze B, A ⊂ B, wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy elementzbioru A jest elementem zbioru B. A nazywamy wtedy podzbiorem zbioru B. Zbiór pusty Ø jestpodzbiorem ka»dego zbioru A.

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).

Wªasno±ci równo±ci i zawierania zbiorów

(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C)⇒ A ⊂ C(A = B) ∧ (B = C)⇒ A = C(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)⇒ A = B

Dopeªnienie zbiorów

Dopeªnieniem zbioru A, A', w przestrzeni X nazywamy wszystkie elementy przestrzeni X nienale»¡ce do zbioru A:

A′ = {x : x /∈ A}.

Suma zbiorów

Sum¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∪ B zªo»ony ze wszystkich elementów nale»¡cych doktóregokolwiek z sumowanych zbiorów:

A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Ró»nica zbiorów

Ró»nic¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór A \B, którego elementami s¡ te elementy zbioru A, którenie s¡ elementami zbioru B :

A \B = {x : x ∈ A ∨ x /∈ B}.

3

Iloczyn (przeci¦cie) zbiorów

Iloczynem (przeci¦ciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∩ B skªadaj¡cy si¦ z elementów, którenale»¡ równocze±nie do A i do B:

A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Zbiory rozª¡czne

Zbiory A i B nazywamy rozª¡¢znymi wtedy i tylko wtedy gdy A ∩B = Ø.

Prawa rachunku zbiorów

Niech A, B, C, D oznaczaj¡ dowolne podzbiory przestrzeni X. Wówczas:

• A ∩B = B ∩ A- przemienno±¢ mno»enia,

• A ∪B = B ∪ A - przemienno±¢ dodawania,

• (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) - ª¡czno±¢ mno»enia,

• (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) - ª¡czno±¢ dodawania,

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) - rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania,

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) - rozdzielno±¢ dodawania wzgl¦dem mno»enia,

• A ∪Ø=A

• A ∩X = A

• A ∩ A′ = Ø

• A ∪ A′ = X

Prawa de Morgana

W teorii mnogo±ci prawa De Morgana sªu»¡ opisowi dziaªania dopeªnienia:1. dopeªnienie sumy zbiorów jest równe cz¦±ci wspólnej ich dopeªnie«, (A ∪B)′ = A′ ∩B′2. dopeªnienie cz¦±ci wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopeªnie«, (A ∩B)′ = A′ ∪B′.

Para uporz¡dkowana

Par¡ uporz¡dkowan¡ nazywamy par¦, której pierwszym elementem jest a, za± drugim b. Oz-naczamy j¡ jako (a,b).

(a, b) = (c, d)⇔ a = c ∧ b = d.

Iloczyn kartezja«ski

Iloczynem kartezja«skim nazywamy zbiór wszystkich par uporz¡dkowanych (a,b), takich, »e a ∈ Ai b ∈ B. Iloczyn kartezja«ski oznaczamy A×B.

4

2 Wykªad II - funkcje

De�nicja funkcji

W zbiorze X jest okre±lona pewna funkcja f , je»eli ka»demu elementowi x ze zbioru X jest przy-porz¡dkowany dokªadnie jeden element y z pewnego zbioru Y . Przyporz¡dkowanie to nazywamyfunkcj¡.

Terminologia

Element x ze zbioru X nazywamy argumentem funkcji, a element y ze zbioru Y przyporz¡dkowanyelementowi x nazywamy warto±ci¡ funkcji. Warto±¢ funkcji oznaczamy f(x), czyli y = f(x).Uwaga: sam¡ funkcj¦ te» cz¦sto oznacza si¦ f(x), ale nie nale»y myli¢ poj¦¢ funkcja i warto±¢funkcji.

Mówimy, »e f jest okre±lona na zbiorze X i ma warto±ci w zbiorze Y . Funkcj¦ nazywa si¦ te»odwzorowaniem lub przeksztaªceniem. Funkcja f odwzorowuje (przeksztaªca) zbiór X w zbiór Y ,co mo»na krótko zapisa¢ stosuj¡c oznacznie f : X → Y .

Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji i oznaczamy D(f). Przeciwdziedzina to zbiór warto±cifunkcji. Uwaga: cz¦sto przeciwdziedzin¡ nazywa si¦ zbiór Y .

Funkcja okre±lona jest przez podanie dziedziny oraz sposobu przyporz¡dkowania warto±ci ar-gumentom. Sposób przyporz¡dkowania mo»e by¢ okre±lony np. wzorem, podaniem warto±ci wtabeli lub opisem sªownym.

Przykªady funkcji i ich wykresy

• Funkcja staªa f(x) = 1dla ka»dego x ∈ R

• f(x) =

{1 dla x ≥ 00 dla x < 0

• Odwzorowanie to»samo±ciowe (funkcja identyczno±ciowa) f(x) = x, x ∈ R

• Warto±¢ bezwzgl¦dna f(x) = |x| ={

x dla x ≥ 0−x dla x < 0

• f(x) = x2 dla x ∈ R

• Na ¢wiczenia: f(x) = |x− 2| − 3, f(x) = (x+ 1)2 + 2...

Injekcja (funkcja ró»nowarto±ciowa, zanurzenie)

Funkcja, która dla dowolnych dwóch ró»nych argumentów przyjmuje ró»ne warto±ci. Formalnie:funkcja jest ró»nowarto±ciowa wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Surjekcja (funkcja �na�)

Funkcja przyjmuj¡ca jako swoje warto±ci wszystkie elementy zbioru Y . Formalnie: funkcja jest sur-jekcj¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ∀y∈Y ∃x∈X : f(x) = y. O takiej funkcji mówimy, »e odwzorowujezbiór X na zbiór Y .

5

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja)

Funkcja równocze±nie ró»nowarto±ciowa (injekcja) i �na� (surjekcja).

Przykªady

• f : R→ R, f(x) = x+ 1 jest bijekcj¡

• f : N→ N, f(x) = x+ 1 jest injekcj¡, nie jest surjekcj¡

• f : R→ R, f(x) = x2 nie jest injekcj¡ ani surjekcj¡

Zªo»enie funkcji

We¹my funkcje f : X → Y oraz g : Y → Z. Zªo»eniem funkcji g z funkcj¡ f nazywamy funkcj¦g ◦ f : X → Z zde�niowan¡ wzorem g ◦ f(x) = g (f (x)) dla wszystkich x ∈ X.

Przykªady

• f(x) = x2, g(y) = 1 + y, g ◦ f(x) = 1 + x2

• f(x) = sin(x), g(y) =√y, g ◦ f(x) =

√sin(x)

• f(x) = πx, g(y) = cos(y), g ◦ f(x) = cos(πx)

• f(x) = (1 + x)2, g(y) =√

1 + y3, g ◦ f(x) =√

1 + (1 + x)6

• f(x) = x2, g(y) =√y , g ◦ f (x) = |x|

Funkcje odwrotne

Funkcj¡ odwrotn¡ do danej funkcji f : X → Y nazywa si¦ tak¡ funkcj¦ g : Y → X, »e zªo»enieobu funkcji jest przeksztaªceniem to»samo±ciowym: g (f (x)) = x dla ka»dego x nale»¡cego dodziedziny f oraz f (g (y)) = y dla ka»dego y nale»¡cego do dziedziny g. Funkcj¦ odwrotn¡ do fcz¦sto oznacza si¦ jako f−1 i nie nale»y tego myli¢ z odwrotno±ci¡ algebraiczn¡ 1/f ...

Terminologia i wªasno±ci

Nie dla ka»dej funkcji istnieje funkcja odwrotna. Te, które maj¡ funkcj¦ odwrotn¡, nazywamyodwracalnym. Je»eli f−1 jest funkcj¡ odwrotn¡ do f , to f jest odwrotna do f−1.

Przykªady i wykresy

• f(x) = x3 dla x ∈ R, f−1(y) = 3√y dla y ∈ R

• f(x) = x2 dla x ≥ 0, f−1(y) =√y dla y ≥ 0

• f(x) = x2 dla x ∈ R nie ma funkcji odwrotnej

6

Uwaga: Na ogóª zamiast y pisze si¦ x i nie nale»y myli¢ argumentu funkcji z argumentem funkcjiodwrotnej.

• f(x) =1

xdla x 6= 0, f−1(x) =

1

xdla x 6= 0, czyli f jest odwrotna do samej siebie.

• Czy jest jeszcze jaka± funkcja o tej wªasno±ci? f(x) = x, −x, 2− x,...

• f(x) = ex dla x ∈ R, f−1(x) = ln(x) dla x > 0 (e = 2.718...)

• f(x) = sin(x) dla −π2≤ x ≤ π

2, f−1(x) = arcsin(x) dla −1 ≤ x ≤ 1 (funkcje cyklome-

tryczne...)

• A jak b¦dzie dla f(x) = 1 + x? Odp. f−1(x) = x− 1...

3 Wykªad III. Ci¡gi

Notacja: wska¹niki

Je»eli rozwa»amy ukªad równa« z dwoma lub trzema niewiadomymi, niewiadome te mo»emy ozna-czy¢ x, y, z. Maj¡c np. siedem niewiadomych zastosujemy raczej oznaczenie x1, x2, ... ,x7.

Wspóªczynniki w wielomianie niskiego stopnia mo»emy oznaczy¢ kolejnymi literami a, b, c itd.,np. ax2 + bx + c. Ale w wielomianie wy»szego stopnia wygodniejsze byªoby ich ponumerowanie,np. a6x

6 + a5x5 + a4x

4 + a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0.Liczby caªkowite numeruj¡ce zmienne i wspóªczynniki w powy»szych przykªadach nazywamy

indeksami lub wska¹nikami.

Notacja: suma

5∑k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 6,4∑

k=2

k2 = 22 + 32 + 42,∑

k=3,7,8

(−1)k = (−1)3 + (−1)6 + (−1)8,

∑k∈Nk<4

k

k + 1=

0

0 + 1+

1

1 + 1+

2

2 + 1+

3

3 + 1.

De�nicja ci¡gu

Je»eli ka»dej liczbie naturalnej k zostanie przyporz¡dkowana jedna liczba rzeczywista ak, to mówimy,»e zostaª okre±lony niesko«czony ci¡g liczbowy. A wi¦c ci¡g jest funkcj¡ odwzorowuj¡c¡ N w R.Ci¡g zapisujemy w postaci a0, a1, a3, ... lub (ak)k∈N lub (ak).

Typowe oznaczenia

Dla ci¡gów: a, b, c, x, u, ... i wska¹ników: i, j, k, l,m, n. Równie» w programach numerycznych lit-erami i, j, k, l, m, n standardowo oznacza si¦ liczby caªkowite. W programach zamiast wska¹nikówstosuje si¦ zapis jak dla funkcji, np. a(k).

7

Przykªady

ak = k2, (0, 1, 4, ...)

ak =1

k + 1,

(1,

1

2,

1

3, ...

)ak = (−1)k, (1, −1, 1, −1, ...). Zbiór warto±ci: {−1, 1}.

Granica ci¡gu

Nieformalnie: je»eli dla du»ych warto±ci k warto±¢ ak zbli»a si¦ do pewnej liczby g, to liczb¦ t¦nazywamy granic¡ ci¡gu. Zapisujemy to tak: lim

k→∞ak = g. Mówimy, »e ci¡g (ak) d¡»y do g. Je»eli

ci¡g d¡»y do plus lub minus niesko«czono±ci, nazywamy go rozbie»nym.

Przykªady

limk→∞

1

k + 1= 0, lim

k→∞

k

k + 1= 1, lim

k→∞(−1)k - nie istnieje, lim

k→∞k2 =∞.

Ci¡g arytmetyczny

ak = k, (0, 1, 2, 3, ...), limk→∞

ak =∞,n∑

k=0

ak = 0 + 1 + 2 + ...+ n =n(n+ 1)

2.

Ci¡g geometryczny

ak = aqk, (a, aq, aq2, aq3, ...).

Przykªad: a = 1, q =1

2⇒ ak =

(1

2

)k

,

(1,

1

2,

1

4,

1

8, ...

).

Granica ci¡gu geometrycznego:limk→∞

ak =∞ je»eli q > 1,

limk→∞

ak = a je»eli q = 1,

limk→∞

ak = 0 je»eli −1 < q < 1,

limk→∞

ak nie istnieje, je»eli q < −1.

Suma wyrazów ci¡gu geometrycznego:n∑

k=0

ak = a1− qn+1

1− q.

∞∑k=0

ak = a1

1− qje»eli −1 < q < 1. Dla q ≥ 1 sum jest niesko«czona, a dla q ≤ −1 nie istnieje

Szeregi

Omawiaj¡c ci¡gi arytmetyczny i geometryczny u»yli±my okre±lenia �suma wyrazów ci¡gu�. Jestto okre±lenie opisowe, które wyja±nia, »e dodajemy do siebie poszczególne wyrazy danego ci¡gu.Bardziej formalnie, zgodnie z terminologi¡ stosowan¡ w podr¦cznikach analizy matematycznej,

8

nale»aªoby powiedzie¢, »en∑

k=0

ak to suma cz¦±ciowa szeregu, np. arytmetycznego lub geome-

trycznego. Podobnie,∞∑

k=0

ak to niesko«czona suma szeregu. Uwaga: sam szereg, którego de�nicji

tutaj nie przypominamy, równie» jest oznaczany∞∑

k=0

ak - tak jak niesko«czona suma.

Je»eli suma∞∑

k=0

ak istnieje i ma sko«czon¡ warto±¢, to szereg nazywamy zbie»nym. Np. szereg

geometryczny jest zbie»ny dla −1 < q < 1. Gdy szereg nie jest zbie»ny, nazywamy go rozbie»nym.Np. szeregi arytmetyczny oraz geometryczny dla |q| ≥ 1 s¡ rozbie»ne.

Warunek zbie»no±ci szeregu

Suma cz¦±ciowa szeregu oczywi±cie istnieje zawsze, o ile wyrazy ci¡gu zostaªy dobrze okre±lone. Aleniesko«czona suma mo»e nie istnie¢ lub mie¢ niesko«czon¡ warto±¢, czyli szereg mo»e by¢ rozbie»ny.Szereg jest zbie»ny tylko wtedy, gdy lim

k→∞ak = 0. Jest to warunek konieczny, ale niewystarczaj¡cy

- mo»e si¦ zdarzy¢, »e szereg b¦dzie rozbie»ny nawet, gdy wyrazy ak d¡»¡ do zera, np.∞∑

k=1

1

k=∞.

Notacja: iloczyn

5∏k=2

k2 = 22 · 32 · 42 · 52

Ci¡g silnia

an =n∏

k=1

k = 1 · 2 · 3 · ... · n = n!

Np. a1 = 1!=1, a2 = 2! = 2, a3 = 3! = 6, a4 = 4! = 24, itd.Uwaga: funkcja silnia jest okre±lona równie» dla k = 0. Z pewnych wzgl¦dów przyjmuje si¦, »e0! = 1.

Rekurencyjna de�nicja silni

a0 = 1, ak = k · ak−1 dla k > 0.Np. a1 = 1 · 1 = 1, a2 = 2 · 1 = 2, a3 = 3 · 2 = 6 itd.

4 Wykªad IV. Elementy logiki

Zdanie

Zdaniem jest dowolne stwierdzenie, o którym mo»emy jednoznacznie powiedzie¢, »e jest prawdziwelub falszywe. To znaczy musi ono przyjmowa¢ jedn¡ z tych warto±ci i nie mo»e by¢ równocze±nieprawdziwe i faªszywe.

9

Przykªad stwierdze« b¦d¡cych zdaniami

1. Autorem �Pana Tadeusza� byª H.Sienkiewicz.

2. Autorem �Pana Tadeusza� byª A.Mickiewicz.

3. Kraków to miasto.

4. 2 + 2 = 4.

5. 2 ∗ 3 = 10.

6. Ka»da liczba caªkowita parzysta wi¦ksza od 4 jest sum¡ dwóch liczb pierwszych - dot¡d niedowiedziona �hipoteza Goldbacha�.

7. x+ y = y + x dla wszystkich x, y ∈ R.

8. Istniej¡ liczby n ∈ N, dla których 2n = n2.

Przykªad stwierdze«, którym nie mo»na przypisa¢ warto±ci logicznej

1. To twoje czy moje miejsce?

2. Albo kupisz mi lody albo si¦ obra»¦. - tylko osoba mówi¡ca zdanie wie czy jest ono prawdziwe.

3. Dlaczego studiujesz informatyk¦?

Przykªady stwierdze« niejednoznacznych

1. Wykªadowcy dobrze zarabiaj¡.

2. Mleko jest zdrowe.

3. Jest dzisiaj bardzo zimno.

4. x− y = y − x

(a) �dla wszystkich x, y ∈R� - faªsz,(b) �dla pewnych x, y ∈R� - prawda.

5. Nie istnieje pierwiastek z liczby x < 0

(a) �dla x ∈R� - prawda,(b) �dla x, y ∈C� - faªsz.

10

Spójniki logiczne

Wyró»niamy pi¦¢ podstawowych spójników logicznych:

1. ∼ - �nie� - negacja,

2. ∧ - �i� - koniunkcja,

3. ∨ - �lub� - alternatywa,

4. ⇒ - �je»eli to� - �implikuje� - implikacja,

5. ⇔ - �wtedy i tylko wtedy, gdy� - równowa»no±¢.

Warunki

W przypadku prawdziwo±ci zdania p ⇒ q mówimy, »e p jest warunkiem wystarczaj¡cym dla qlub, »e q jest warunkiem koniecznym dla p. Stwierdzenie, »e p jest warunkiem koniecznym iwystarczaj¡cym dla q oznacza, »e zdanie p⇔ q jest prawdziwe.

Przykªady

1. ��eby zda¢ egzamin z matematyki dyskretnej trzeba ci¦»ko pracowa¢.� Implikacja zda¢⇒ci¦»ko pracowa¢ jest prawdziwa. Implikacja odwrotna ju» nie. Niestety ci¦»ka praca niezawsze wystarcza, »eby zda¢.

2. Zerowanie si¦ pierwszej pochodnej funkcji w punkci x0 jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczaj¡cym, aby funkcja posiadaªa w tym punkcie minimum.

Podziaª zda«

Zdania dzielimy na:

• Zdania proste - w których nie wyst¦puje »aden spójnik logiczny,

• Zdanie zªo»one - w których wyst¦puje co najmniej jeden spójnik logiczny.

Zdanie zªo»one

Przykªady

1. Je»eli Agatha Christie jest autork¡ kryminaªów to jest autork¡ poezji,

2. Wrocªaw i Warszawa sa województwami,

3. Nie jest prawd¡, »e 3 jest liczb¡ parzyst¡ lub 7 jest liczb¡ pierwsz¡,

4. Ziemia jest pªaska wtedy i tylko wtedy gdy 2+2=5.

11

Zmienne zdaniowe

Zmienne zdaniowe reprezentuj¡ proste zdania, których warto±¢ logiczn¡ mo»emy ªatwo rozstrzygn¡¢.Interpretacja ta nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zda«. Zmienne zdaniowe mog¡ by¢ (i cz¦stos¡) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowan¡ teori¡. Zmiennezdaniowe oznaczamy zwyczajowo jako p,q,r,s.

Rachunek zda«

Rachunek zda« to dziaª logiki matematycznej badaj¡cy zwi¡zki mi¦dzy zdaniami (zmiennymi zdan-iowymi) lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomoc¡ spójników zdaniowych ze zda« lubfunkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zda« okre±la sposoby stosowania spójników zdaniowychw poprawnym wnioskowaniu.

Matryca logiczna

Matryca logiczna to stworzony w XIX wieku przez logika ameryka«skiego Charlesa SandersaPeirce'a ukªad tabelaryczny zero-jedynkowych kombinacji warto±ci logicznych argumentów danejfunkcji zdaniowej i dokªadnie zale»¡cych od nich warto±ci logicznych tej»e funkcji zdaniowej, gdzieprawdzie odpowiada 1 (lub ang. P) a faªszowi przypisuje si¦ 0 (F ).

p q ~p ~q p ∨ q p ∧ q p⇒ q p⇔ q

0 0 1 1 0 0 1 10 1 1 0 1 0 1 01 0 0 1 1 0 0 01 1 0 0 1 1 1 1

Równowa»no±¢

Równowa»no±¢ p⇔ q jest zde�niowany za pomoc¡ zdania (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)p q (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 0 11 1 1 1 11 1 2 3 2

Alternatywa wykluczaj¡ca

Alternatywa wykluczaj¡ca ⊕ oznaczana jest przez informatyków XOR i ma te same warto±cilogiczne co zdanie ∼ (p⇔ q). Jej de�nicja jest nast¦puj¡ca:

p q p⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0

12

Tautologia

Tautologia to zdanie zªo»one b¦d¡ce zawsze prawdziwe niezale»nie od warto±ci logicznych tworz¡-cych je zmiennych zdaniowych.

Przykªady

p p⇒ p

0 11 1

p q [p ∧ (p⇒ q)] ⇒ q

0 0 0 1 10 1 0 1 11 0 0 0 11 1 1 1 1

1 1 3 2 4p q ~ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 0 01 0 0 1 1 0 0 11 1 0 1 1 0 0 0

1 1 3 2 4 2 3 2

Zdanie sprzeczne

Zdaniem sprzecznym nazywamy zdanie zªo»one, które jest zawsze faªszywe czyli jest faªszywe dladowolnych warto±ci tworz¡cych je zda« prostych (zmiennych zdaniowych). Je»eli zdanie P jestsprzeczne wówczas zdanie ∼ P jest tautologi¡.

Przykªad

Klasycznym przykªadem zdania sprzecznego jest zdanie zªo»one p∧ ∼ p:p ~p p∧ ∼ p

0 1 01 0 0

Zdania odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycje)

We¹my zdanie zªo»one p⇒ q. Zdanie q ⇒ p jest zdaniem do niego odwrotnym. jego znaczenie jestinne ni» zdania p⇒ q. Okazuje si¦ natomiast, »e zdanie p⇒ q jest równowa»ne zdaniu ∼ q ⇒∼ p,które nazywamy zdaniem przeciwstawnym lub kontrapozycj¡ zdania p⇒ q.

Przykªad

We¹my zdanie: �je»eli pada deszcz, to na niebie s¡ chmury�. Jest to zdanie zªo»one p ⇒ q z p=�pada deszcz� i q= �na niebie s¡ chmury�. Jest to zdanie prawdziwe. Zdanie odwrotne q ⇒ p maposta¢ �je»eli na niebie s¡ chmury, to pada deszcz�. Jest to zdanie faªszywe. Kontrapozycja ma

13

posta¢: �je»eli na niebie nie ma chmur to nie pada deszcz�. Jest to zdanie prawdziwe i wydaje si¦�logiczne� bez znajomo±ci �zycznego zwi¡zku mi¦dzy chmurami i deszczem.

Zdania logicznie równowa»ne

Dwa zdania zªo»one P i Q sa zdaniami logicznie równowa»nymi, je»eli maj¡ takie same warto±cilogiczne dla wszystkich kombinacji warto±ci logicznych ich zmiennych zdaniowych p, q itd. Innymisªowy, kolumny ostatecznych warto±ci logicznych w ich matrycach logicznych s¡ takie same.

P ⇔ Q wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one P ⇔ Q jest tautologi¡.

Implikacje logiczne

Dla danych dwóch zda« zªo»onych P i Q mówimy, »e zdanie P implikuje logicznie zdanie Q, je»elizdanie Q ma warto±¢ logiczn¡ prawdy zawsze wtedy, gdy zdanie P ma warto±¢ logiczn¡ prawdy.

P ⇒ Q wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one P ⇒ Q jest tautologi¡.

Aksjomat

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωµα aksíoma � godno±¢, pewno±¢, oczywisto±¢) � jedno zpodstawowych poj¦¢ logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, »e aksjomaty tozdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi si¦ w obr¦bie danej teorii matematycznej.We wspóªczesnej matematyce de�nicja aksjomatu jest nieco inna:

Aksjomaty s¡ zdaniami wyodr¦bnionymi spo±ród wszystkich twierdze« danej teorii, wybranymitak, aby wynikaªy z nich wszystkie pozostaªe twierdzenia tej teorii. Taki ukªad aksjomatów nazy-wany jest aksjomatyk¡.

5 Metody dowodzenia

Kontrprzykªad

Zdanie zªo»one ∀x p(x) b¦dzie faªszywe, je»eli jedno ze zda« p(x) b¦dzie faªszywe. St¡d, abywykaza¢, »e takie zdanie zªo»one jest faªszywe wystarczy pokaza¢, »e jedno z jego zda« skªadowychjest faªszywe. Innymi sªowy, wystarczy pokaza¢ jeden przykªad zaprzeczaj¡cy zdaniu ogólnemu,tzw. kontrprzykªad.

Przykªad

Liczba 2 jest kontrprzykªadem na stwierdzenie, »e �wszystkie liczby pierwsze sa nieparzyste�.

Dowody równowa»no±ci

Pierwszym rodzajem dowodów s¡ dowody równowa»no±ci: p⇔ q. Mo»emy je udowadnia¢ na dwasposoby.

Naraz w obie strony

Korzystaj¡c ze znanych de�nicji i aksjomatów przechodzimy od jednej strony równowa»no±ci dodrugiej, dbaj¡c aby ka»dy krok byª równie» równowa»no±ci¡

14

Za pomoc¡ dwóch implikacji

Cz¦sto ªatwiejszym sposobem jest skorzystanie z tautologii rachunku zda«:

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

i udowodnienie niezale»nie implikacji w obie strony.

Przykªad

Pokaza¢, »e dla dowolnego k ∈ N 10 dzieli k wtedy i tylko wtedy gdy ostatni¡ cyfra k jest 0.

Rozwi¡zanie

Lewa strona: p = �10 dzieli k ∈ N�.Prawa strona: q = �ostatni¡ cyfra k jest 0�.

Dowód w obie strony: 10 dzieli k ∈ N def⇔istnieje takie n ∈ N, »e k = 10n⇔ ostatni¡ cyfr¡ kjest 0.

Dowód przez implikacje: Je»eli k dzieli si¦ przez 10 to jego ostatni¡ cyfr¡ jest 0. Je»eli ostatni¡cyfr¡ k jest 0 to k dzieli si¦ przez 10.

Dowody implikacji

Mamy doczynienia ze zbiorem zaªo»e« p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧pn i tez¡ q. Udowadniamy implikacj¦p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q. Cz¦sto implikacj¦ zapisujemy pro±ciej jako p⇒ q.

Dowód wprost

Jedna z najbardziej naturalnych metod dowodzenia. Zakªadamy, »e p jest prawd¡ i pokazujemy,»e z tego wynika, »e q jest prawd¡.

Przykªad

Udowodni¢, »e je»eli a jest tak¡ liczb¡ caªkowit¡, ze a − 4 jest podzielne przez 5, to a3 + 1 jestrównie» podzielne przez 5.

Rozwi¡zanie

Zaªo»enie: p = �a jest tak¡ liczb¡ caªkowit¡, ze a− 4 jest podzielne przez 5�Teza: q = �a3 + 1 jest podzielne przez 5�Dowód: Je»eli a−4 jest podzielne przez 5 (p), to istnieje taka liczba caªkowita k, »e a−4 = 5k.

St¡da+ 1 = (a− 4) + 5 = 5k + 5 = 5(k + 1),

wi¦c

a3 + 1 = (a+ 1)(a2 − a+ 1) = 5(k + 1)(a2 − a+ 1),

czyli a3 + 1jest podzielne przez 5 (q).

15

Dowód kontrapozycji (nie wprost)

Korzystamy z tautologii rachunku zda«, zwanej prawem kontrapozycji:

(p⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ p).

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn)).

Zakªadamy wi¦c, »e teza twierdzenia q jest faªszywa i pokazujemy, »e z tego wynika, »e zaªo»eniep jest faªszywe.

Przykªad

Udowodni¢, »e je»eli iloczyn dwóch liczb caªkowitych a i b jest liczb¡ parzyst¡, to a jest liczb¡parzyst¡ lub b jest liczb¡ parzyst¡.

Rozwi¡zanie

Zaªo»enie: p = �iloczyn dwóch liczb caªkowitych a i b jest liczb¡ parzyst¡�Teza: q = �a jest liczb¡ parzyst¡ lub b jest liczb¡ parzyst¡�. Tez¦ mo»emy zapisa¢ jako sum¦

logiczn¡ dwóch zda«: q = q1 + q2, q1 = �a jest liczb¡ parzyst¡�, q2 = �b jest liczb¡ parzyst¡�.Dowód: �eby udowodni¢ implikacj¦ p ⇒ q, udowodnimy implikacj¦ ∼ q ⇒∼ p. Skorzystamy

dodatkowo z prawa D Morgana do zapisu zaprzeczenia tezy:

∼ (q1 ∨ q2)⇔∼ q1∧ ∼ q2.

Zaprzeczenie tezy: ∼ q = �a jest liczb¡ nieparzyst¡ i b jest liczb¡ nieparzyst¡�.Zaprzeczenie zaªo»enia: ∼ p = �iloczyn a i b jest liczb¡ nieparzyst¡�.Z zaprzeczenia tezy wynika, »e istniej¡ liczby caªkowite k i l takie, »e

a = 2k + 1 b = 2l + 1.

St¡d otrzymujemy, »e

ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1,

czyli iloczyn a i b jest nieparzysty.

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczno±ci (dowód przez zaprzeczenie)

Korzystamy z tautologii rachunku zda«:

(p⇒ q)⇔ (∼ p ∨ q).Stosuj¡c do jego prawej strony prawo De Morgana, otrzymujemy równowa»no±¢:

(p⇒ q)⇔∼ (p∧ ∼ q)

.Pami¦tamy, »e implikacja p⇒ q jest faªszywa wyª¡cznie gdy p jest prawdziwe i q jest faªszywe.

Wówczas, równowa»nie (p∧ ∼ q) musiaªoby by¢ prawdziwe.Dowód polega wi¦c na zaªo»eniu, »e p jest prawdziwe i q jest faªszywe i doprowadzeniu do

sprzeczno±ci, czyli wykazaniu, »e (p∧ ∼ q) jest faªszywe.

16

Przykªad

Udowodni¢, »e spo±ród trzynastu ludzi dwóch lub wi¦cej ma swoje urodziny w tym samymmiesi¡cu.

Rozwi¡zanie

Zaªo»enie: p = �mamy trzynastu ludzi�.Teza: q = �dwóch lub wi¦cej z nich ma swoje urodziny w tym samym miesi¡cu�.Dowód: Zaªó»my, »e mamy trzynastu ludzi (p prawdziwe) i »adnych dwóch z nich nie ma

urodzin w tym samym miesi¡cu (q faªszywe). To prowadzi do stwierdzenia, »e jest przynajmniejtrzyna±cie miesi¦cy w roku, czyli do sprzeczno±ci. Wykazali±my wi¦c, »e (p∧ ∼ q) jest faªszywe,zatem implikacja p⇒ q jest prawdziwa.

Dowód przez przypadki

Czasami musimy udowodni¢ implikacj¦ postaci

p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn ⇒ q

.Jest ona równowa»na

(p1 ⇒ q) ∧ (p⇒ q) ∧ · · · ∧ (pn ⇒ q),

wi¦c mo»na j¡ dowodzi¢ rozpatruj¡c przypadki czyli dowodz¡c ka»dej implikacji pi ⇒ q oddzielnie.

Przykªad

Udowodni¢, »e dla ka»dego n ∈ N liczba n3 + n jest parzysta.

Przypadek 1

Zaªó»my, »e n jest liczb¡ parzyst¡. Wtedy n = 2k dla pewnej liczby k ∈ N. St¡d:

n3 + n = 8k3 + 2k = 2(4k3 + k)

jest parzysta.

Przypadek 2

Zaªó»my, »e n jest liczb¡ nieparzyst¡. Wtedy n = 2k + 1 dla pewnej liczby k ∈ N. St¡d:

n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k + 1) + (2k + 1) = 2(4k3 + 6k2 + 4k + 1)

jest parzysta.

Zasada szu�adkowa (Dirichleta)

Zasada su�adkowa polega na prostej obserwacji, »e je»eli rozmie±cimy n przedmiotów w m szu-�adkach, gdzie n > m, to istnieje szu�adka, która zawiera co najmniej dwa przedmioty.

Zasada:Je»eli rozmie±cimy n przedmiotów w m szu�adkach, przy czym n > km (k ∈N), to w której±

szu�adce znajdzie si¦ co najmniej k + 1 przedmiotów.

17

Przykªad

Pokaza¢, »e je»eli w trójk¡cie równobocznym o boku dªugo±ci 4 umie±cimy 17 punktów, to zna-jdziemy dwa punkty, mi¦dzy którymi odlegªo±¢ nie przekracza 1.

Rozwi¡zanie

Podzielmy trójk¡t na 16 maªych trójk¡tów równobocznych (ka»dy bok dzielimy na 4 cz¦±ci) o bokudªugo±ci 1. Wykorzystujemy je jako szu�adki, do których wkªadamy 17 przedmiotów (punktów).Z zasady szu�adkowej wynika, »e istnieje co najmniej jeden maªy trójk¡t zawieraj¡cy co najmniejdwa punkty. Takie dwa punkty s¡ w odlegªo±ci mniejszej lub równej 1.

Indukcja matematyczna

Zasada indukcji matematycznej

Rozwa»amy twierdzenie dotycz¡ce liczb naturalnych. Sprawdzamy, czy speªnione s¡ dwa warunki:

1. Twierdzenie jest prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej no.

2. Z zaªo»enia prawdziwo±ci twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej k ≥ n0 wynika, »e jestono prawdziwe tak»e dla liczby nast¦pnej, k + 1.

Je»eli oba warunki s¡ speªnione, to twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n0.

Przykªad

Udowodnij, »e a+ aq + aq2 + . . .+ aqn = a1− qn+1

1− q.

• Warunek pocz¡tkowy. Twierdzenie jest prawdziwe np. dla n0 = 0: a = a1− q0+1

1− q= a.

• Zaªo»enie indukcyjne. Zakªadamy, »e twierdzenie

a+ aq + aq2 + . . .+ aqk = a1− qk+1

1− q

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej k ≥ 0.

• Teza indukcyjna. Chcemy sprawdzi¢, »e z zaªo»enia indukcyjnego wynika prawdziwo±¢twierdzenia dla k + 1, czyli

a+ aq + aq2 + . . .+ aqk + aqk+1 = a1− qk+2

1− q.

• Krok indukcyjny.

a+aq+aq2+. . .+aqk+aqk+1 = a1− qk+1

1− q+aqk+1 = a

1− qk+1 + qk+1 − qk+2

1− q= a

1− qk+2

1− q�

18

6 J¦zyki formalne na przykªadzie gramatyk Lindenmayera

7 Rekurencja

Wprowadzenie

Ci¡gi mo»na de�niowa¢ podaj¡c w sposób jawny wzory na kolejne wyrazy, np.

• ci¡g arytmetyczny: an = n ⇒ a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2 itd.;

• ci¡g geometryczny: an = a · qn ⇒ a0 = a, a1 = a · q, a2 = a · q2 itd.

Mo»na te» de�niowa¢ kolejne wyrazy ci¡gu za pomoc¡ wyrazów poprzednich, np.

• ci¡g arytmetyczny: a0 = 0, an+1 = an + 1;

• ci¡g geometryczny: a0 = a, an+1 = q · an.

Tego typu zale»no±ci nazywamy zale»no±ciami rekurencyjnymi lub wzorami rekurencyjnymi. Je»elizale»no±¢ rekurencyjna stanowi de�nicj¦ ci¡gu, to nazywamy j¡ de�nicj¡ rekurencyjn¡.

De�nicja rekurencyjna

Mówimy, »e ci¡g jest zde�niowany rekurencyjnie, je»eli:

• Okre±lony jest pierwszy wyraz lub pewna ilo±¢ pierwszych wyrazów ci¡gu;

• Nast¦pne wyrazy zde�niowane s¡ za pomoc¡ poprzednich wyrazów ci¡gu.

Dalsze przykªady

• ci¡g geometryczny: a0 = 4, an+1 =1

2· an ⇒ a0 = 4, a1 = 2, a2 = 1, a3 =

1

2, a4 =

1

4itd.

• suma wyrazów ci¡gu arytmetycznego: s0 = 0, sn+1 = sn + (n+ 1), ⇒ s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6itd.

• silnia: 0! = 1, (n+ 1)! = (n+ 1) · n! ⇒ 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 itd.

• ci¡g Fibonacciego: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 +Fn−2 ⇒ F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5 itd.

Znajdowanie wyrazu ogólnego

Zale»no±ci rekurencyjne odgrywaj¡ wa»n¡ rol¦ w informatyce, s¡ cz¦sto stosowane w programachnumerycznych. Niemniej, potrzebna mo»e by¢ równie» znajomo±¢ wzoru ogólnego (jawnego) nawyrazy ci¡gu zde�niowanego rekurencyjnie. Znajdowanie wyrazu ogólnego mo»e polega¢ na jegoodgadni¦ciu czy te» nieformalnym wyprowadzeniu, a nast¦pnie formalnym udowodnieniu np. zapomoc¡ indukcji matematycznej.

19

Przykªad

Znale¹¢ ogólny wyraz ci¡gu sn zde�niowanego wcze±niej rekurencyjnie. Wyraz sn oznacza sum¦

liczb naturalnych od 1 do n: sn = 1+2+ . . .+n. Pierwszy skªadnik sumy to 1, ostatni to n, a wi¦c

±rednia warto±¢ sumowanych liczb wynosin+ 1

2. Liczb tych jest n, czyli suma powinna wynosi¢

sn =n (n+ 1)

2. Teraz nale»y ten wzór udowodni¢ indukcyjnie.

• Warunek pocz¡tkowy s1 = 1 jest speªniony, gdy» s1 =1 · (1 + 1)

2= 1.

• Zakªadamy, »e zale»no±¢ jest speªniona dla n ∈ N: sn =n (n+ 1)

2.

• Chcemy udowodni¢, »e st¡d wynika prawdziwo±¢ wzoru dla n+1, czyli sn+1 =(n+ 1) (n+ 1 + 1)

2.

• Dowód: sn+1 = sn + (n+ 1) =n (n+ 1)

2+ n+ 1 =

n(n+ 1) + 2n+ 2

2=

(n+ 2)(n+ 1)

2�

Przykªad

Wyznacz za pomoc¡ zale»no±ci rekurencyjnej liczb¦ permutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , n}. Nast¦pnieznajd¹ wzór jawny na liczb¦ permutacji tego zbioru.

Wprowadzamy oznaczenie: an - liczba permutacji zbioru zawieraj¡cego n elementów.

Np. dla n = 1 jest tylko jedna mo»liwo±¢, wi¦c a1 = 1. Dwa elementy zbioru mo»na ustawi¢ nadwa sposoby, {1, 2} lub {2, 1}, czyli a2 = 2. Trzy elementy mo»na ustawi¢ na sze±¢ sposobów,{3, 1, 2}, {1, 3, 2}, {1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 3, 1}, {2, 1, 3}, st¡d a3 = 6.

Ostatni, n-ty element zbioru mo»na ustawi¢ na n sposobów: na pierwszym miejscu, na drugim i takdalej, a» do ostatniego, n-tego miejsca. Czyli liczba permutacji an zbioru n-elementowego jest nrazy wi¦ksza ni» liczba permutacji an−1 zbioru zawieraj¡cego o jeden element mniej: an = n ·an−1.Jest to szukana zale»no±¢ rekurencyjna.

Poniewa» a1 = 1 oraz an = n · an−1, to ci¡g an jest ci¡giem silnia, czyli an = n!.

Odpowiedzi

• Zale»no±¢ rekurencyjna: a1 = 1, an = n · an−1;

• Ogólny wzór jawny: an = n!.

Jednorodne liniowe zale»no±ci rekurencyjne

Jednorodnymi liniowymi zale»no±ciami rekurencyjnymi nazywamy zale»no±ci postaci

an = c1an−1 + c2an−2 + . . .+ cran−r. (1)

Zale»no±ci takie musz¡ mie¢ zadanych r warunków pocz¡tkowych: a1, a2, ..., ar. Rozwi¡zaniemzagadnienia nazywamy wzór ogólny (jawny) dla wyrazu an, gdzie n jest dowoln¡ liczb¡ naturaln¡.

20

Zauwa»my, »e zawsze istnieje rozwi¡zanie trywialne an = 0, je±li pierwsze r wyrazów te» byªorównych zeru. Dalej zajmiemy si¦ szukaniem rozwi¡za« nietrywialnych, tzn. takich, dla którychprzynajmniej cz¦±¢ wyrazów jest ró»nych od zera.

Z równaniem (1) zwi¡zane jest równanie algebraiczne zwane równaniem charakterystycznym:

xr − c1xr−1 − c2xr−2 − . . .− cr = 0. (2)

Oznaczmy pierwiastki (rozwi¡znie) tego równania α1, α2, ..., αr.

Twierdzenie

Równanie rekurencyjne (1) ma rozwi¡zanie postaci

an = C1αn1 + C2α

n2 + . . .+ Crα

nr , (3)

gdzie staªe Ci s¡ liczbami do wyznaczenia z warunków pocz¡tkowych.

Przykªad

Wyznaczy¢ wzór na ogólny wyraz Fn ci¡gu Fibonacciego okre±lonego jednorodn¡, liniow¡ zale»no±-ci¡ rekurencyjn¡ Fn = Fn−1 + Fn−2 z warunkami pocz¡tkowymi F0 = 0 oraz F1 = 1.

• W tym przypadku c1 = c2 = 1 oraz r = 2, czyli równanie charakterystyczne ma posta¢:

x2 − x− 1 = 0.

• Jego rozwi¡zaniem s¡ liczby α1 =1 +√

5

2oraz α2 =

1−√

5

2.

• Ogólne rozwi¡zanie podanego równania charakterystycznego ma posta¢:

Fn = C1

(1 +√

5

2

)n

+ C2

(1−√

5

2

)n

.

• Z warunków pocz¡tkowych dostajemy równania na staªe Ci: 0 = C1 + C2

1 = C11 +√

5

2+ C2

1−√

5

2

.

• Ich rozwi¡zaniem s¡ liczby C1 =1√5oraz C2 = − 1√

5.

St¡d

Fn =1√5·

(1 +√

5

2

)n

− 1√5·

(1−√

5

2

)n

.

Odpowied¹: Fn =1√5·

(1 +√

5

2

)n

− 1√5·

(1−√

5

2

)n

. Sprawdzenie: F0 = 0, F1 = 1, F2 = 2,

itd.

21

Uwaga

Dla ci¡gu Fibonacciego przyjmuje si¦ te» cz¦sto de�nicj¦ z innymi warunkami pocz¡tkowymi:

F0 = 1 i F1 = 1. Wtedy Fn =1√5·

(1 +√

5

2

)n+1

− 1√5·

(1−√

5

2

)n+1

.

Liczby Fibonacciego

Wyrazy tego ci¡gu: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 itd. nosz¡ nazw¦ liczb Fibonacciego.

Zadanie domowe

Udowodni¢ indukcyjnie nast¦puj¡c¡ wªasno±¢ ci¡gu Fibonacciego:

Fn+1 · Fn−1 − F 2n = (−1)n .

Niejednorodne jednorodne zale»no±ci rekurencyjne

Np. ci¡g arytmetyczny lub suma wyrazów ci¡gu arytmetycznego.

Zªo»one (nieliniowe) zale»no±ci rekurencyjne

Np. ci¡g silnia.

Zadanie na ¢wiczenia

Pokaza¢, »e je»eli speªnione s¡ warunki pocz¡tkowe a0 = 12 i a1 = 29 oraz dla n ≥ 2 zachodziwzór rekurencyjny an = 5an−1 − 6an−2, to dla ka»dego n ≥ 0 wyrazy ci¡gu dane s¡ równanieman = 5 · 3n + 7 · 2n.

• Dowód indukcyjny:

an+1 = 5an − 6an−1 = 5 · (5 · 3n + 7 · 2n)− 6 · (5 · 3n−1 + 7 · 2n−1) = 5 · 3n+1 + 7 · 2n+1 �

• Wyprowadzenie z równania charakterystycznego:

x2 − 5x+ 6 = 0⇒ α1 = 3, α2 = 2;

an = C1 · 3n + C2 · 2n

a0 = 12, a1 = 29⇒ C1 = 5, C2 = 7 �

22