Matematyka dyskretna

Literatura

Podstawowa:

1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006)

2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008

Uzupełniająca:

3. Matematyka dyskretna (http://wazniak.mimuw.edu.pl/)

4. J. Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna, PWN, 1999

5. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, 2004

6. N.L. Biggs: Discrete Mathematics, Oxford University Press, 1989

7. T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004

MATEMATYKA DYSKRETNA

dział(y) matematyki zajmujący się badaniem struktur

nieciągłych, to znaczy struktur zawierających zbiory co najwyżej

przeliczalne.

Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można

ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "ponumerować".

Matematyka dyskretna stała się popularna w ostatnich latach dzięki za-stosowaniom w informatyce, która w sposób naturalny zajmuje się je-dynie strukturami skończonymi.

Działy matematyki związane z matematyką dyskretną

 • logika,  • teoria  mnogości,  • algebra  liniowa,    • algebra  struktur  skończonych,  • kombinatoryka,  • teoria  liczb,  • teoria  częściowych  porządków,  • rachunek  prawdopodobieństwa,  • algorytmika,  • teoria  informacji,    • teoria  grafów,  • złożoność  obliczeniowa.  

Elementy teorii mnogości (teorii zbiorów)

Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (teorii mnogości (Georg Cantor 1845 –

1918)); intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też ko-lekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Zbiory dystrybutywne (G. Cantor, 1883) (definicja)

Według Cantora zbiór, to każda wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość.

Zbiory

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe (elementy).

Zbiory (zwykle) oznaczamy dużymi literami, natomiast jej elementy małymi literami.

W teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją należenia lub przynależności do zbioru oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego ε (epsilon).

Fakt, że element a należy do zbioru B zapisujemy symbolicznie: a ∈ B, natomiast fakt, że element b nie należy do zboru B zapisujemy: b ∉ B

Mamy zbiory skończone, nieskończone oraz zbiór pusty (ozn. ∅)

Używamy symboli

=, ⊂, ⊄, ⊆, ∅ (litera alfabetu norweskiego),

Ω, ∩, ∪, \, AC (A‘), ⊕ (Δ).

Działania na zbiorach

• Sumą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴   ∨  𝑥 ∈ 𝐵}.

Działania na zbiorach

• Iloczynem zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocze-śnie do obu zbiorów

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴   ∧  𝑥 ∈ 𝐵}.

Działania na zbiorach

• Różnicą  zbiorów  A  i  B  nazywa  się  zbiór  tych  elementów,  które  należą  do  zbioru  A  i  nie  należą  do  zbioru  B  

𝐴  \  𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴   ∧  𝑥 ∉ 𝐵}.

Działania na zbiorach

• Dopełnieniem  zbioru  B  (w  przestrzeni  Ω,  w  uniwersum)  nazywa  się  zbiór  tych  ele-­‐mentów,  które  nie  należą  do  zbioru  B  

 𝐵𝐶 = 𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∉ 𝐵 =  Ω  \  𝐵. (𝐵′)

 

Działania na zbiorach

• Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów

𝐴  ∆  𝐵 = (𝐴  \  𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) (𝐴  ⨁  𝐵)

Prawa (własności) algebry zbiorów

przemienność sumy zbiorów

A ∪ B = B ∪ A

przemienność iloczynu zbiorów

A ∩ B = B ∩ A

łączność sumy zbiorów

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

łączność iloczynu zbiorów

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Prawa (własności) algebry zbiorów

prawa idempotentności

A ∪ A = A, A ∩ A = A

prawa identyczności

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

prawo podwójnego dopełnienia (A')' = A

prawa dopełnienia

A ∪ A' = Ω, A ∩ A' = ∅

Ω' = ∅, ∅' = Ω

prawa de Morgana dla zbiorów

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Para uporządkowana (a, b) to zbiór dwuelementowy, zawierający informacje o kolejności elementów, tzn. (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎). W teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy: 𝑎, 𝑏 = { 𝑎 , {𝑎, 𝑏}}. Iloczyn kartezjański (A x B) zbiorów A, B nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A a drugi do zbioru B. Jeśli A=B to A x A oznazamy jako A2. Zbiór potęgowy (𝑷(𝑨)) zbioru A to rodzina (zbiór zawierający) wszystkich podzbiorów zbioru A. Moc zbioru (|A|, lub card(A)) dla zbioru skończonego A, to liczba jego elementów.

|A×B| = |A| · |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)