Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z
description
Transcript of Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z
![Page 1: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/1.jpg)
• Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z
Równania rekurencyjne i ich zastosowania
• Stabilność: ciągi monotoniczne i okresowe, układy dynamiczne
• Rola stabilności: metoda Newtona, macierze Markowa, fraktale
• Chaos na odcinku
![Page 2: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/2.jpg)
Część pisemna (obowiązkowa)Egzamin
• teoria wraz z zagadnieniami z ćwiczeń• autorskie propozycje studentów
Część ustna (opcjonalna) - możliwość podniesienia oceny z części ustnej
• zadania rachunkowe• zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz z dowodami)• samodzielne dowodzenie prostych twierdzeń
![Page 3: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/3.jpg)
(L-systems)
Glon arabaena catenula
komórki nie
podlegające podziałom
komórkiulegające podziałom
duże małe
Systemy Lindenmayera
![Page 4: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/4.jpg)
Systemy Lindenmayera
P - duża komórka powodująca rozrost w prawoL - duża komórka powodująca rozrost w lewop - mała komórka powodująca rozrost w prawol - mała komórka powodująca rozrost w lewo
P L p p L p
L l P l l P
regułypodziału
![Page 5: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/5.jpg)
Systemy Lindenmayera
L | p
L | p
L | p L | p l | P
l | P
l | P
![Page 6: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/6.jpg)
Systemy Lindenmayera
- alfabet
: Formalizacja
p,l,P,L
lPLplPLp8 - słowo (długości 8)
lPLpLplP - konkatenacja słów
1n
n- zbiór słów
![Page 7: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/7.jpg)
Systemy Lindenmayera
Reguły podziału komórek (liter)determinują
: Formalizacja
:f
)l(flP)L(f
)p(fLp)P(f
podziały organizmów (słów) wg wzoru
)v(f)u(f)vu(f
Np. LplP)p(f)L(f)Lp(f
![Page 8: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/8.jpg)
Systemy Lindenmayera
Pytania:
PLp)L(f 1000
?
?
Lpl)L(f 1000
LP)L(f 1000 ?
![Page 9: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/9.jpg)
Gra »Life« Conwaya: Zasady
Stan przedzmianą
Stan pozmianie
Opis,,socjologiczny”
Liczba sąsiadów
pełna 0-1
pełna
pusta pełna
pusta
pusta4-8
3
śmierć z samotności
śmierć z przeludnienia
narodziny
narodziny
,,rodzice” umierają
z samotności
![Page 10: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/10.jpg)
Gra »Life« Conwaya: Zasady
Stan przedzmianą
Stan pozmianie
Opis,,socjologiczny”
Liczba sąsiadów
pełna 0-1
pełna
pusta pełna
pusta
pusta4-8
3
śmierć z samotności
śmierć z przeludnienia
narodziny
śmierć z przeludnienia
,,rodzą” się 2 nowe tracąc
2 ,,rodziców”
łódka stoi w miejscu
![Page 11: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/11.jpg)
Gra »Life« Conwaya
,,skok”
,,lądowanie”
Żaba
lot Dakoty-4
![Page 12: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/12.jpg)
Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4
poprzednio teraz
![Page 13: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/13.jpg)
Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4
poprzednio teraz
![Page 14: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/14.jpg)
Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4
poprzednio teraz
![Page 15: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/15.jpg)
Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4
poprzednio teraz
![Page 16: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/16.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 0
![Page 17: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/17.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 1
![Page 18: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/18.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 2
![Page 19: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/19.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 3
![Page 20: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/20.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 4
![Page 21: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/21.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 5
![Page 22: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/22.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 6
![Page 23: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/23.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 7
![Page 24: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/24.jpg)
Gra »Life« Conwaya
lot Dakoty-4
stage 8
![Page 25: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/25.jpg)
Właściwą scenerię dla A stanowi torus
a nie płaszczyzna
nmodA
11
12
= liczba pikseli w pionie/w poziomien
Automorfizm Arnolda (Arnold’s cat map)
Rn,,,,n,,,,R:A 2222 12101210
![Page 26: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/26.jpg)
To ja w roli
kota Arnolda
Po 1-krotnym
działaniu A Po 2-krotnym
działaniu A
A2 A5A
Kot Arnolda
![Page 27: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/27.jpg)
Po 5-krotnym
działaniu A
Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie.
Nowy rodzaj kryptografii -
kryptografia chaotyczna?
A5
Kot Arnolda
![Page 28: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/28.jpg)
Frakcje polityczne: (1), (2) i (3).
Macierze Markowa
p ij - prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i na j
214141
313131
414121
M
0100 z,y,x%,zyx nnnnnn
z
y
x
M
z
y
x
n
n
n
n
n
n
1
1
1
- rozkład poparcia w n-tych wyborach
![Page 29: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/29.jpg)
Macierze Markowa
Mariaż powyższego z teorią gier i systemów głosowaniapozwala wyjaśnić dlaczego w większości rozwiniętych parlamentów
istnieją tylko dwie partie (np. Anglia, Stany Zjednoczone)
,,Twierdzenie ergodyczne”
Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu stały rozkład poparcia
%,%,,%,,,,z,y,x nnnn 9279342374312
4315
4316
niezależnie od rozkładu początkowego z,y,x 000
Praktycznie stałe już przy n=8 wyborach
![Page 30: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/30.jpg)
Wzrost wykładniczy
Model kapitalizacji (procent składany); inflacja
Rozpad połowiczny; datowanie C-14
xx nn 1
Prawo Malthusa; bakterie
- kapitał po n latachxn , - oprocentowaniep1
2
1
p
- masa materiału promieniotwórczego po czasie nT
- wielkość populacji w n-tym pokoleniu
xn
T - czas półrozpadu
xn - współczynnik narodzin
![Page 31: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/31.jpg)
Wzrost wykładniczy
Króliki Leonarda z Pizy
- liczba par królików w n-tym miesiącu xn
xxx nnn 12110 xx
miesięczne - niezdolne do rozrodu
nowo narodzone
hodowlę zaczynamy od 1 pary
2
51n
nxwzór asymptotyczny
![Page 32: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/32.jpg)
Ograniczona oscylacja
Żniwowanie (harvesting); rozsądne połowy
- masa złapanych homarów w n-tym roku xn
x1996 x1997
221
1xx
xnn
n
Np. dla Maine = 16 435 ton = 20 871 ton
rekord!
x2005Odszukać wartość i porównać z modelem
lobster - homar
![Page 33: Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081418/56814611550346895db31f9c/html5/thumbnails/33.jpg)
Zależność logistyczna
Model Verhulsta
- gęstość populacji
Generator liczb pseudolosowychchaotyczne!
x, n10
xxrx nnn 11
- współczynnik przyrostu r, 40Przeludnieniehamuje rozwój
xxx nnn 141