Matematyka dyskretna

Matematyka DyskretnaAndrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku

Rozdzia 1

Funkcje boolowskie1.1 Algebra BooleaPrzykadem algebry Boolea jest zbir dwuelementowy:

z trzema operacjami: alternatyw, koniunkcj i negacj. a a a Alternatywa, ktr b dziemy te nazywa po prostu sum , jest operacj dwuargumentow, a e z c a a a oznaczan przez: a lub i okrelon przez tabel : s a e p 0 0 1 1 q 0 1 0 1

p+q 0 1 1 1

Koniunkcja (lub iloczyn) jest drug operacj dwuargumentow, oznaczan przez: a a a a lub

i okrelon przez tabel : s a e p 0 0 1 1 q 0 1 0 1

3

0 0 0 1

!

%$

" #

" #

4

Rozdzia 1. Funkcje boolowskie

Podobnie jak w arytmetyce, kropk b dziemy opuszcza , je eli nie b dzie to prowadzi e e c z e c do niejednoznacznoci. s Operacje alternatywy i koniunkcji mo na te zdeniowa za pomoc nast puj cych z z c a e a wzorw: Negacja jest operacj jednoargumentow, oznaczan przez: a a a lub

i okrelon przez tabel : s a e

p 0 1

1 0

Algebr e mo emy interpretowa jako logik zdaniow. Zmienne s zdaniami, z c e a a ktre mog przyjmowa wartoci prawda lub fasz. Je eli oznaczymy prawd przez i a c s z e fasz przez , to powy ej zdeniowane operacje odpowiadaj znanym operacjom z logiki z a zda . n Lemat 1.1 Operacje alternatywy, koniunkcji i negacji speniaj nast puj ce tosamoci: a e a z s (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(alternatywa i koniunkcja s przemienne), a (alternatywa i koniunkcja s a

czne), a

(alternatywa jest rozdzielna wzgl dem koniunkcji), e (koniunkcja jest rozdzielna wzgl dem alternatywy), e , , ,

,

,

,

,

,

,

(prawa pochaniania), (prawa deMorgana),

,

(prawo podwjnego przeczenia).

Najprostsze dowody powy szych to samoci polegaj na sprawdzeniu, ze zachodz one z z s a a dla ka dego mo liwego podstawienia za zmienne wartoci 1 lub 0. Na przykad, udowodz z s nimy to samoc: z s Wszystkie mo liwe podstawienia zebrane s w tabeli: z a

# "

0 " # ) "# # # " " ( ' & & $ % " $ # " ! #

1.1. Algebra Boolea p 0 0 1 1 q 0 1 0 1

5

Poniewa trzecia kolumna jest identyczna z pierwsz , wi c rwnoc z a e s jest prawdziwa dla ka dego podstawienia, czyli jest to samoci . z z s a Innym przykadem algebry Boolea jest zbir wszystkich podzbiorw jakiego zbioru s z operacjami okrelonymi w nast puj cy sposb: s e a jest sum mnogociow a s a jest iloczynem

jest uzupenieniem zbioru,

,

1 jest zbiorem

,

0 jest zbiorem pustym .

Tak e te operacje speniaj to samoci z lematu 1.1. z a z s Udowodnimy, dla przykadu, to samoc z s . Je eli element nale y do z z zbioru , to nale y tak e do sumy z z . Je eli za nie nale y do , to nie nale y z s z z tak e do iloczynu z , a wi c nie nale y do zadnego skadnika sumy e z , czyli nie . Tak wi c zbiory i e zawieraj dokadnie te same elementy, a nale y do z a wi c s rwne. e a Oprcz trzech podstawowych, w algebrze Boolea deniuje si inne operacje. Dla nas e wa na b dzie operacja xor (ang. exclusive or) albo alternatywa wykluczajca. xor jest z e a operacj dwuargumentow, oznaczan przez: a a a

i okrelon przez tabel : s a e p 0 0 1 1 q 0 1 0 1

0 1 1 0

Operacja ta jest nazywana alternatyw wykluczajc , poniewa w logice zdaniowej a a a z zdanie jest prawdziwe, je eli albo , albo jest prawdziwe, ale nie jest prawdziwe, z gdy i naraz s prawdziwe. Operacja a ma nast puj ce wasnoci: e a s

(a)

Lemat 1.2

(jest przemienna),

0 0 1 1

"

6 (b) (c) (d)

Rozdzia 1. Funkcje boolowskie

,

, .

,

cznoc operacji zapewnia, ze mo emy opuszcza nawiasy w wyra eniach typu a s z c z , bez spowodowania niejednoznacznoci. s Operacj xor mo na zdeniowa poprzez alternatyw, koniunkcj i negacj: e z c e e e

W algebrze podzbiorw operacja xor odpowiada rnicy symetrycznej: z

1.2 Wyra enia boolowskie zPodobnie jak wyra enia arytmetyczne, mo emy budowa wyra enia boolowskie. Wyraz z c z zeniami boolowskimi s stae i oraz zmienne boolowskie (typu boolean). Bardziej a zo one wyra enia mo na budowa za pomoc operatorw boolowskich i nawiasw. Jez z z c a zeli i s dwoma wyra eniami boolowskimi, to wyra eniami boolowskimi s tak e a z z a z nast pujce wyra enia: e a z

1.2.1 Wyra enia boolowskie w j zyku Pascal z eW j zyku Pascal wyra eniami boolowskimi s stae true i false oraz zmienne tye z a pu boolean. Wyra enia boolowskie mo na te budowa z wyra e arytmetycznych za z z z c z n pomoc tak zwanych operatorw relacyjnych. Je eli U i W s dwoma wyra eniami aryta z a z metycznymi, to wyra eniem boolowskim jest wyra enie: z z U op W, gdzie op oznacza dowolny operator relacyjny. Operatory relacyjne s zestawione w tabeli: a operator = < > = znaczenie rwne mniejsze wi ksze e r ne z mniejsze lub rwne wi ksze lub rwne e

"

(f) zbir

z dziaaniami xor i koniunkcji tworzy ciao.

(e) Jeeli z

, to

$

% "

(jest czna), a

(xor jest rozdzielne wzgl dem koniunkcji), e ,

1.3. Funkcje boolowskie

7

Wyra enia boolowskie mo na tak e budowa za pomoc operatorw boolowskich i naz z z c a wiasw. Je eli U i W s dwoma wyra eniami boolowskimi, to wyra eniami boolowskimi z a z z s tak e nast puj ce wyra enia: a z e a z

Przykadami wyra e boolowskich w j zyku Pascal s : z n e a

gdzie b jest zmienn typu boolean, a x zmienn liczbow . a a a Wyra enia boolowskie wyst puj w j zyku Pascal w instrukcjach warunkowych lub z e a e w p tlach while i repeat. e

1.3 Funkcje boolowskie

gdzie

. Mamy cztery funkcje boolowskie jednej zmiennej:

funkcj sta e a

rwn 0, a ,

identycznoc s negacj e

,

funkcj sta e a

rwn 1. a

Wartoci tych funkcji zestawiono w tabeli: s x 0 1

0 0

Funkcje boolowskie

U or W (suma lub alternatywa), U and W (koniunkcja), not W (negacja), U xor W (exclusive or lub alternatywa wykluczajca), a (U) (wyra enie U wzi te w nawias). z e

true or b, b and not(x>=0), (00 do begin {C} x:=x-1; y:=y+y end; {B} writeln(y) end.

a f 20

Trzeci punkt kontrolny

jest wewnatrz p tli, tu przed instrukcja x:=x-1, z asercja: e z

0 e f 2v

Punkt

na ko cu programu, tu przed instrukcja writeln, z asercja: n z

W tym programie te sa trzy punkty kontrolne. Punkt z cja readln, z asercja:

na poczatku, zaraz za instruk

X 4 X

S

X

X X X X X X

' $

6 S eF7% 0

' $

X X i

X h X

X X

X X

8 6 4 ' 2 5(&$

8

Rozdzia 1. Poprawnoc programw s

Dowd poprawnoci programu polega teraz na dowodzie tych samych czterech implis kacji, ktre znajduja si w podrozdziale 10.5. e Aby udowodni , ze program zawsze si zatrzyma, wystarczy jako licznik przyja c e c zmienna , ktra przyjmuje wartoci nieujemne i zmniejsza swoja wartoc przy ka dym s s z kolejnym odwiedzeniu punktu .

1.7 CzekeryW przypadku gdy udowodnimy, ze jaki program dziaa poprawnie, wwczas mamy pew s noc, ze dla ka dych danych wejciowych uzyskany wynik b dzie dobry. Inna metoda s z s e sprawdzania, ze program dziaa poprawnie, sa czekery. Zamiast dowodzi , ze program c zawsze zadziaa dobrze, czekery sprawdzaja, czy zadziaa on dobrze w konkretnych przy padkach. Do zadania algorytmicznego projektowane sa dwa programy. Program gwny , ktry rozwiazuje zadanie, oraz program , zwany czekerem lub werykatorem, ktry z po ka dym zadziaaniu programu sprawdza, czy odpowied programu jest poprawz na. Zakada si przy tym, ze dziaanie czekera jest du o prostsze ni dziaanie programu e z z . W dodatku program mo e by traktowany jak czarna skrzynka, gdzie nie mamy z c wgladu w to, jak program dziaa, tylko dostajemy ostateczne odpowiedzi. Przyjrzyjmy si pomysowi czekerw na przykadach. e We my znowu algorytm Euklidesa, ale teraz wygodniej jest wzia wersj , gdzie proz c e e oraz i , takie ze gram bierze par liczb i i zwraca trzy liczby: . Zeby sprawdzi , czy program dobrze obliczy dane wyjciowe, wystarczy c s sprawdzi , czy dzieli i , oraz czy c

Inny przykad to czeker dla programu obliczajacego zaokraglenie w gr pierwiastka e kwadratowego z liczby naturalnej . Przykad takiego programu przedstawiono w rozdziale 3.5. Je eli program gwny oblicza dla wartoci wejciowej wartoc wyjciowa z s s s s , to zadanie czekera polega na sprawdzeniu dwch rzeczy, czy

1.8 Zadania1. Udowodnij poprawnoc programu (przedstawionego w podrozdziale 6.6), ktry dla s danych liczb , oblicza oraz liczby cakowite , speniajace rwnoc s .

S uvt

' $ e(&%

oraz czy

' $ e(&3

S

P

GP ) Ey $ '

S v

' $ e(&%

S

6 ' $ $ 24 ' G

' $

' $

P

P H'

F$

Rozdzia 1

Rachunek prawdopodobienstwa1.1 Zdarzenia Podstawowym poj ciem rachunku prawdopodobienstwa jest przestrze zdarze elemene n n tarnych, ktr najcz sciej b dziemy oznacza przez . W tej ksi zce ograniczymy si do a e e c a e przypadkw, gdy jest zbiorem skonczonym. Dzi ki temu b dziemy mogli ograniczy e e c si to prostych rozwa a . e z n Elementy przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Przestrze zdarze cz sto zwi zana jest z jakim eksperymentem losowym (probabin n e a s listycznym). Przykad 1.1 a) Przypucmy, ze rzucamy monet . Przestrze zdarze elementarnych s a n n moe by wtedy okrelona jako z c s , gdzie oznacza wypadnicie ora, a e reszki. b) W przypadku rzutu dwoma (rozrnialnymi) monetami przestrze zdarze elemenz n n tarnych moe by okrelona jako z c s , gdzie oznacza, ze wypady dwa ory; , ze na pierwszej monecie wypad orze, a na drugiej reszka; , ze na pierwszej reszka, a na drugiej orze; a , ze na obu monetach wypady reszki. c) Przypucmy, ze mamy urn z szecioma ponumerowanymi kulami, i ze kule o nus e s merach 1 i 2 s biae, a kule o numerach 3,4,5 i 6 s czarne. Przestrze zdarze a a n n elementarnych moe by zdeniowana jako z c . d) Przy rzucie kostk a .

e) Przy rzucie dwiema (rozrnialnymi) kostkami z . Zdarzenie odpowiada wynikowi, gdzie na pierwszej kostce wypado oczek, a na drugiej . f) Przy rzucie monet i kostk a a na przykad opisuje wynik, gdzie na monecie wypad orze, a na kostce 6 oczek. 3

3 1 ( & % " 3 1 ( & % " 5S6TSS26S6T4S45#!

A 3 I A I " F E 9 SRQC4!PHG@DC4BA@8

' ' ' ' $ $" #3210)(#%#!

%" 53517)(6&5420

3

C E @DC4BA9

;

4

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa g) W przypadku rzutu (rozrnialnymi) monetami przestrze zdarze elementarnych z n n moe by okrelona jako zbir wszystkich elementowych ci gw z wartociami z c s a s lub . h) Przypucmy, ze mamy urn z dwoma kulami biaymi i trzema czarnymi, i ze losus e jemy dwie kule z tej urny. Oznaczmy te kule przez , , , i . Przestrzeni a zdarze elementarnych moe tu by albo zbir dwuelementowych podzbiorw zbion z c ru kul, lub zbir dwuelementowych ci gw bez powtrze . Zaley to od tego, czy a n z b dziemy rozpatrywa zdarzenia, w ktrych rozrniamy wylosowane kule, czy nie e c z rozrniamy. z

Mo na te rozpatrywa przestrzenie zdarze nie zwi zane z eksperymentem: z z c n a Przykad 1.2 Przestrzeni zdarze elementarnych moe by : a n z c a) Zbir liter lub sw wyst puj cych w jakim tekcie, ksi zce lub licie. e a s s a s b) Zbir moliwych hase potrzebnych do uzyskania dost pu do danych lub systemu. z e Jeeli zbir moliwych hase jest zbyt may, to atwo mona zama zabezpieczenia. z z z c c) Zbir moliwych wylicze algorytmu probabilistycznego (algorytmu, ktry korzysta z n z funkcji losuj cej). a Dowolny podzbior nazywamy zdarzeniem. Pami tajmy, ze rozwa amy tyle z ko sko czone przestrzenie zdarze elementranych. W przypadku, gdy nie jest zbiorem n n sko czonym, konieczna jest inna denicja zdarzenia. Cay zbir nazywamy zdarzeniem n pewnym, a zbir pusty zdarzeniem niemoliwym. Zdarzenia roz czne, z a , nazywamy wykluczaj cymi si . Zdarzenie a e nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia . Przykad 1.3 a) W przykadzie 1.1b, z rzutem dwoma monetami, mamy zdarze . Zbir n jest zdarzeniem polegaj cym na a tym, ze na pierwszej monecie wypad orze. b) W przykadzie 1.1e, z rzutem dwoma kostkami, mamy zdarze . Zbir n jest zdarzeniem, ze suma oczek na obu kostkach wynosi 5. c) W przykadzie 1.1c, z kulami, bia . a

oznacza zdarzenie, ze wylosowano kul e

d) Rzut czteroma monetami, przykad 1.1g z , zdarzenie, ze na pierwszej i trzeciej monecie wypady ory to , a zdarzenie, ze na pierwszej i trzeciej monecie wypado to samo to .

E " 6B(9 #%S 9& #&S 9% 0(2)"0 E E E 9

4!

T4 4 4 (

' 1 0( 2& 2% " ' ' $ $

%

24$ 0 $% "

% R3 "

,

1.2. Prawdopodobie stwo n

5

1.2 PrawdopodobienstwoDenicja 1.4 Prawdopodobie stwo, lub rozkad prawdopodobie stwa, jest funkcj okrelon n n a s a na zbiorze zdarze (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorw ). Kaden z mu zdarzeniu przypisujemy liczb rzeczywist e a , jego prawdopodobie stwo. n Funkcja ta musi spenia warunki: c Aksjomaty prawdopodobienstwa A1) A2) dla kadego z

,

,

A3) Jeeli zdarzenia z

i

s roz czne, to a a

.

Zbir zdarze elementarnych wraz z okrelonym na nim prawdopodobienstwem b dziemy n s e nazywa przestrzeni probabilistyczn . W przypadku, gdy przestrze n zdarze elemenc a a n tarnych jest zbiorem sko czonym, wystarczy okreli prawdopodobie stwa dla zdarze n s c n n elementarnych. Musz by tylko spenione dwa warunki: a c A4) A5) dla ka dego z ,

,

Prawdopodobie stwo dowolnego zdarzenia jest wtedy rwne n

atwo mo na sprawdzi , ze tak zdeniowane prawdopodobienstwo spenia aksjomaty z c denicji 1.4. W przypadku, gdy przestrze zdarze elementarnych jest zbiorem wszystkich mo n n z liwych wynikw jakiego eksperymentu, najcz sciej przyjmuje si , ze funkcja prawdos e e podobie stwa przypisuje, ka demu zdarzeniu elementarnemu tak sam wartoc. Mamy n z a a s wtedy do czynienia z klasyczn denicj prawdopodobie nstwa. W tej ksi zce b dziemy a a a e najcz sciej u ywa klasycznej denicji, a w razie odst pstwa od tej umowy, b dziemy to e z c e e specjalnie zaznacza . c Denicja 1.5 Rozkad prawdopodobie stwa, w ktrym kade zdarzenie elementarne n z ma takie samo prawdopodobie stwo n

nazywamy rozkadem jednostajnym.

Przykad 1.6 a) Dla rzutu dwoma monetami (przykad 1.1b moemy okreli prawz s c dopodobie stwo wedug klasycznej denicji: mamy wtedy n

1 $ E #% )( 9

E 9

E

1 $ E 5#% )( 9

9 E 9

E 9

$ %E 9

F F " E 9

#" !

1 $ E S2% '& 9

E 9

1 $ E 52% '& D9

" E 9 6E 9

" ! E D9 SE 9

6

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa Ale oczywicie funkcja prawdopodobie stwa moe by dowoln funkcj speniaj c s n z c a a a a warunki A4 i A5. Na przykad

. b) W przykadzie 1.2a, ze zbiorem wszystkich liter w tekcie, prawdopodobie stwo s n moe by zdeniowane jako cz stoci wyst powania poszczeglnych liter w tym z c e s e tekcie. Na podstawie cz stoci wyst powania liter mona zgadywa w jakim j zyku s e s e z c e napisany jest tekst. Podobnie mona rozpatrywa cz stoc wyst powania sw w z c e s e tekcie i na tej podstawie zgadywa autorstwo tekstu. s c W nast puj cym twierdzeniu zebrano kilka prostych wnioskw wynikajcych z ake a a sjomatw prawdopodobie stwa. n Twierdzenie 1.7 b) Jeeli z c) d)

a)

, to

oraz

Przykad 1.8 (kontynuacja przykadu 1.3d) z czteroma monetami). Jeeli zaoymy rozz z kad jednostajny, to prawdopodobie stwo ze na pierwszej i trzeciej monecie wypad orze n wynosi , a prawdopodobie stwo, ze na pierwszej i trzeciej monecie wypadnie to samo n wynosi . Podobnie w przypadku, gdy rzucamy monetami (przykad 1.1g). Przestrze n zdarz elementarnych zawiera e ci gw, z czego a sprzyja zdarzeniu, ze na pierw szej i trzeciej monecie wypadnie orze, a sprzyja zdarzeniu, ze na pierwszej i trzeciej monecie jest to samo. Tak wi c otrzymamy takie same prawdopodobie stwa jak w przye n padku rzutu czteroma monetami.

c) Mamy A3 mamy d) wynika bezporednio z c). s

9 EE 9 9 %$ E E E 9 EE 9 E 999 9 )EE E 9 GE 9 9 E 9 $ E 9E E 9 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9

.

oraz

oraz

, a poniewa z

E 9

Dowd: a) Z aksjomatu A3 mamy speniaj c rwnoc a a s b) Je eli z , to

, a 0 jest jedyn liczb a a

, a wi c z aksjomatu A3 e a wi c z aksjomatu e , z wniosku 1.7b

&

E 9$ %E

9

$ E S% ) 9

$ E 9 E 9 I E 9 $%E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 I E 9 E 9

%

&

$ E 6& )( D9

%

$ )

%

$ E S1 ) 9

lub

$ )(

%S& 9 E

1% E 524S& 9

$ E 6( % ) 9

$ E 5% '( 9

% " ( "

1.3. Prawdopodobie stwo warunkowe i zdarzenia niezale ne n z

7

Dowd przez indukcj : e Dla twierdzenie zachodzi w sposb trywialny. Za my, ze twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorw. Rozpatrzmy z

z aksjomatu A3 i z zao enia indukcyjnego wynika z

Dowd przez indukcj : Dla e twierdzenie zachodzi w sposb trywialny. Za my, z ze twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorw. Z twierdzenia 1.7c i z zao enia indukcyjnego mamy z

1.3 Prawdopodobienstwo warunkowe i zdarzenia niezale ne zDenicja 1.11 Prawdopodobie stwo warunkowe zajcia zdarzenia n s zaszo zdarzenie oznaczane przez okrelamy jako s

pod warunkiem, ze

Ma to sens tylko wtedy gdy

.

$E9

I E

9

Twierdzenie 1.10 Dla dowolnej rodziny zbiorw mamy

(niekoniecznie parami roz cznych) a

$E %D

9

E

9 QE 9

E 9 I $$$

$ E E 9 9 E F 9 E F 9

E

I

9

Poniewa z

$

QE 9

C A

Twierdzenie 1.9 Niech dla kadej pary indeksw z

b dzie rodzin parami roz cznych zdarze ( e a a n ). Wtedy

"

)

$$$

E 9

T

"

8

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa

Mo emy powiedzie , ze jest to prawdopodobie stwo zajcia zdarzenia w sytuacji, gdy z c n s mamy pewnoc, ze zaszo zdarzenie . Przy klasycznej denicji, gdy prawdopodobie ns stwo oznacza cz stoc wyst pienia, to prawdopodobienstwo e s a oznacza jaka cz sc e elementw zbioru nale y do zbioru . z

Dlatego mo na mwi , ze w takim przypadku zdarzenia z c Denicja 1.13 Mwimy, ze zdarzenia i

Przykad 1.14 (Kontynuacja przykadu 1.1c, z szecioma kulami). Zdarzenie s wylosowania kuli biaej i zdarzenie wylosowania kuli z parzystym numerem s niezalene, poniewa a z z oraz . Po prostu cz stoc e s wyst powania kuli biaej wrd kul o parzystych numerach (1 na 3) jest taka sama jak e s cz stoc wyst powania kuli biaej wrd wszytkich kul (2 na 6). e s e s

, to mwimy, ze s one parami niezale ne, a z Je eli mamy wi cej zdarze z e n je eli ka de dwa zdarzenia s niezale ne, to znaczy gdy z z a z dla ka dej pary z .

Przykad 1.16 (Kontynuacja przykadu 1.1b, z rzutem dwoma monetami). Niech b dzie e zdarzeniem, ze na pierwszej monecie wypad orze, , ze na drugiej monecie wypad orze, a , ze na obu monetach wypado to samo. Mamy

Jak wida zdarzenia te s parami niezalene, poniewa dla kadej pary indeksw c a z z z mamy . Ale zdarzenia te nie s niezalene, a z poniewa z

A " I

$

( " E

$ " E 9 E 9 E 9 E 9 " ( E 9 E 9 E 9

9 E 9 E 9 E % " E 9 E 9 E 9

$ %E

9

Denicja 1.15 Zdarzenia mamy

& " E F 9 & " E 9 ' ' $% 23 #)(2 #%#! $ $" $ E 9 E 9 E 9 $ E F 9 E E 9 9 E 9 E 9 E 9 E F 9

Je eli z , to mwimy, ze zdarzenie jest niezale ne od zdarzenia z . W takim przypadku zajcie zdarzenia nie zale y od tego, czy zaszo zdarzenie . s z Je eli i s zdarzeniami o niezerowych prawdopodobienstwach i jest niezale ne z a z od , to jest niezale ne od . Rzeczywicie z s poci ga a , a to pociga a

i

s niezale ne. a z

s niezalene, jeeli a z z

, s niezalene jeeli dla kadego podzbioru a z z z

E 9 DE 9 E

9

Wniosek 1.12

.

E F 9

E 9 E F 9 E 9 E F 9 E 9

$$$

$$$

C A

9

E 9 E 9

$ $ $ 2# "

& I C

1.4. Prawdopodobie stwo cakowite n Przykad 1.17 W przypadku rzutu wypad orze. Wtedy zdarzenia

9

monetami, niech oznacza, ze na -tej monecie s niezalene. atwo sprawdzi , ze a z c

dla kadego , z

,

dla kadej pary z

,

dla kadej trjki z

,

, itd.

prawdopodobie stwo, ze wypadn same ory, wynosi n a

1.4 Prawdopodobienstwo cakowite Twierdzenie 1.18 (wzr na prawdopodobienstwo cakowite.) Niech b d zdarzeniami takimi, ze: e a , dla kadego z , dla

,

(zdarzenia s parami roz czne), a a

(zdarzenia daj w sumie ca przestrze ). a a n

Wtedy prawdopodobie sto dowolnego zdarzenia n

wynosi

dla

wi c na mocy twierdzenia 1.9 mamy e

Z wniosku 1.12 mamy ; co daje tez twierdzenia. e W przypadku dwch zdarze uzupeniajcych si n a e i wzr z twierdzenia 1.18 wygl da nast puj co: a e a (1.1)

$ E 9 E F 9 E 9 E F 9 E 9 E 9 E F 9 E 9 9 E 9

C A

$ %E

E 9 QE 9

Ponadto

$ %E

9

Dowd Mamy

$$$

A

E 9 E F 9

E 9 C A " ( "! E 9 C A % " 2 E 9 A

% "

I C A " I I A T" I

$ $$

E 9

H

QE 9

,

10


Przykad 1.19 Wyobramy sobie urn z trzema kulami: 1 bia i 2 czarnymi. Przypucmy, z e a s ze pierwsza osoba wylosowaa jedn kul i schowaa j . Jakie jest prawdopodobie stwo, a e a n ze druga osoba wylosuje kul bia ? Niech e a oznacza, ze pierwsza osoba wylosowaa bia kul , wtedy a e oznacza, ze wylosowaa czarn kul . Niech a e oznacza, ze druga osoba wylosowaa bia kul . a e Mamy , , oraz . Razem daje to

A jakie jest prawdopodobie stwo, ze po drugim losowaniu w urnie zostanie biaa kula? n Zajdzie to wtedy, gdy obie osoby wylosuj kul czarn . Z wniosku 1.12 mamy a e a

Jak wida prawdopodobie stwo wylosowania biaej kuli jest takie samo dla pierwszego, c n drugiego i trzeciego losuj cego. a Poniewa przestrze zdarze jest tutaj maa, wi c mona nasz wynik sprawdzi bezpoz n n e z c srednio. Oznaczmy kule przez , i . Niech przestrze zdarze elementarnych b dzie n n e

Czyli w tym przypadku, rwnie druga osoba ma tak sam szans wylosowania kuli z a a e biaej co pierwsza. Przykad 1.20 Wyobramy sobie dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest jedna kula z biaa i jedna czarna, a w drugiej urnie dwie biae i jedna czarna. Rzucamy monet . Jeeli a z wypadnie orze, to losujemy kul z pierwszej urny, jeeli reszka, to losujemy z drugiej e z urny. Jakie jest prawdopodobie stwo, ze wylosujemy kul bia ? Niech oznacza wyloson e a wanie kuli biaej, a wypadnicie ora na monecie, wtedy e oznacza, ze na monecie wypada reszka. Mamy oraz -jest to prawdopodobie stwo wylosowania kuli biaej pod warunkiem, n ze wypad orze i losowalimy z pierwszej urny. s -jest to prawdopodobie stwo wylosowania kuli biaej pod warunn kiem, ze wypada reszka i losowalimy z drugiej urny. s Korzystaj c teraz ze wzoru (1.1) mamy a

E ' 42 9& E 2& ' % @ E %' ' 9

Zakadamy, ze kady z tych wynikw jest rwnie prawdopodobny. Wida teraz, ze zdarze z c nia: , oraz s rwno prawdopodobne. a Rozwamy teraz przypadek, gdy w urnie jest kul z czego biaych. Znowu zakadaz my, ze kady wynik dwch losowa jest rwnie prawdopodobny. Mamy z n , , oraz . Razem daje to

E 9 " S E F 9 E 9

% " E F 9

$ E ' % 2 9& E $" # 9& E #&2 9% E $ " ' %D9 E 2$ )9 E ' $ " @ ' ' ' ' '& " % 9 ' ' $ #& 2% "

9

& & % " % " E 9 E F 9 E

& & % % " % " " E 9 E F 9 ! E 9 " E 9 & % &

" " " E 9 5 E " E F 9 S 9 E 9 9 9 E

E $ " 2 9& E $ " ' % @ ' 9

E"

% ! E 9 E 9 "

' 9 4E #&$ 9" E 2'%$" 0!

9

& % PE F 9 % " 2 E F 9

1.5. Zmienna losowa

11

Zastanwmy si teraz jak powinna wygl da przestrze probabilistyczna w tym przykae a c n dzie. Niech zawiera wszystkie moliwe wyniki eksperymentu. z

Aby by w zgodzie z intuicj i naszymi poprzednimi wyliczeniami rozkad prawdopodoc a bie stwa powinien by nast puj cy: n c e a

Rozkad jednostajny nie jest w tym przykadzie dobry, bo mielibymy prawdopodobie s n . stwo, wypadnicia ora rwne e

1.5 Zmienna losowaDenicja 1.21 Zmienna losowa jest to dowolna funkcja z przestrzeni zdarze elemenn tarnych w zbir liczb rzeczywistych . Trzeba tutaj przypomnie , ze w tej ksia ce rozwa amy tylko skonczone przestrzenie zdac z z rze elementarnych. W przypadku, gdy jest zbiorem niesko nczonym denicja zmiennej n losowej jest inna. Przykad 1.22 a) Rozwamy rzut monet , z a sowa jest okrelona tabel s a

(przykad 1.1a). Zmienna lo-

b) Rozwamy rzut dwoma monetami, (przykad 1.1b) z i b d dwoma zmiennymi losowymi okrelonymi w tabeli e a s

Zmienna okrela wynik rzutu na pierwszszej monecie, s , jeeli wypad z orze, i , jeeli wypada reszka. W podobny sposb zmienna losowa z okrela wynik rzutu na drugiej monecie. s

E 9

"

"

"

"

OO

OR

RO

4!

" E 9 "

E 9 E 9

Inny przykad to zmienna

okrelona tabel s a O R

"

O

R

RR

3"

3 "

3"

E 9

1 2% ( " " (

(O,1b)

(O,2b)

(R,1b)

(R,2b)

(R,3c)}

$. Niech

E 2& 9 E 24 9 E $ " 9 E 24 9 E $ " @ ' $% $% 9

$

% " % & % % E 9 " % " "

" E 9

12

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa c) Rozwamy rzut monetami, (przykad 1.1g). Dla kadego , z z zmienn a ; , jeeli na -tej monecie wypad orze, oraz z jeeli wypada reszka. z

d) Rozwamy losowanie jednej kuli z urny zawieraj cej siedem ponumerowanych kul. z a . Niech zmienna losowa bedzie zdeniowana jako

a zmienna losowa

jako

( jest reszt z dzielenia numeru kuli przez 2, a a 3). Wartoci tych dwch zmiennych zebrane s w tabeli. s a

reszt z dzielenia przez a

1 1 1

2 0 2

3 1 0

4 0 1

5 1 2

6 0 0

7 1 1

1 2 1 1

2 2 0 -2

3 1 0 2

4 1 0 -1

5 3 2 0

6 0 0 0

e) Rozwamy rzut dwoma kostkami (przykad 1.1e) z . Niech oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce, wynik rzutu na drugiej kostce. Wtedy zmienna okrela sum oczek na obu kostkach. s e

Zauwa my, ze je eli liczba nie nale y do zbioru wartoci z z z s zmiennej , to zda rzenie jest zdarzeniem niemo liwym. Prawdopodobienstwo zdarzenia z wynosi

nazywamy funkcj g stoci (rozkadu) prawdopodobie stwa zmiennej losowej a e s n

E 9 E 9

Denicja 1.23 Funkcj e

.

E 9

$

E 9 F

$ E 9

Maj c zmienn losow a a a

i liczb rzeczywist e a

deniujemy zdarzenie

3 5I QCA @F @DC4BA@ I " E 9

Moemy teraz okreli inne zmienne losowe, na przykad z s c , . Ich wartoci zebrano w tabeli s

7 2 1 1

" E 9 ,

jako

I A " A I

E 9

$ '&

5% ( E 9

( E 9

E 9 E 9 % E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9

A

E 9

E 9

E 9 E 9

%

1 " @ S3546)(6&S%20

E 9

okrelamy s ,

E 9

1.5. Zmienna losowa Przykad 1.24 (Kontynuacja przykadu 1.22d) Dla zmiennej rzenia

13

Zmienna losowa

posiada wi c rozkad e

Poniewa , jak zao ylimy jest zbiorem sko czonym, to zbir wartoci z z s n s zmienz n mamy . Tak wi c funkcja e nej te jest sko czony. Dla g stoci przyjmuje wartoci niezerowe tylko dla sko czenie wielu argumentw. Zauwa e s s n z my, ze je eli z , to zdarzenia i wykluczaj si . Mamy przy a e tym Lemat 1.25 Jeeli z jest funkcj g stoci zmiennej losowej a e s , to

. rozumiemy jako sko czon sum po zbiorze wartoci n a e s

Zauwa my, ze ostatnia podwjna suma jest sum po wszystkich elementach z a grupowanych wedug wartoci zmiennej . Mamy wi c s e

W dalszej cz sci przedstawiajc funkcj g stoci zmiennej losowej e a e e s wa a tylko te , dla ktrych z c .

b dziemy roze

Przykad 1.26

a) Zmienna losowa

z przykadu 1.22a posiada rozkad -1 1

$ E 9

% " % " E 9

$" ! E 9

E 9

E 9

E 9

E 9

E 9

Dowd. Sum e zmiennej .

" E 9

dla kadego z

.

E D9

(

E 9 E 9 E 9

(

& E 9

Podobnie zmienna

ma rozkad

0

1

%

&

0

1

2

% E 51S #% 9

mamy trzy niepuste zda-

" " #@ 6(20 E 9

% E 9

E 053S& ! #& 9

" E 9

E

9

po-

14

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa b) Niech oznacza sum wartoci oczek w rzucie dwoma kostkami, przykad 1.22e. e s G stoc rozkadu prawdopodobie stwa zmiennej losowej przedstawia nast puj ca e s n e a tabela:

Maj c funkcj g stoci rozkadu zmiennej a e e s zdarze opisywanych za pomoc zmiennej . n a Przykad 1.27

pami tajmy, ze zdarzenia e

W przypadku dwch zmiennych losowych i okrelonych na tej samej przestrzeni s zdarze elementarnych mamy tak zwany czny rozkad prawdopodobie nstwa, ktrego n a g stoc jest okrelona jako e s s

0 1

b) Dla zmiennych i z przykadu 1.22d czny rozkad prawdopodobie stwa a n przedstawiony jest w tabeli:

Lemat 1.29 Niech , b dzie g stoci acznego rozkadu zmiennych e e s a

"

%

"

0 1

"

"

0

( " " ( ( ( " "

0

1

1

2

Przykad 1.28 a) czny rozkad zmiennych losowych a jest przedstawiony w tabeli

i

"

i

jest innym zapisem zdarzenia

E 9 E 9 9 E 9

i

$ ( )

" 3& 3 #( 2& & #% 2 9 3& E1

$ %E

b) Dla zmiennej

3 2& " 2& % 2& #( #1 2& 3 2& 1 2( #& #% 2& " E 9 3 3& 3& 3& 3 3 3& 3& 3& 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a) Dla zmiennej losowej lub oraz z przykadu 1.26b mamy

mo emy okrela prawdopodobie stwa z s c n

z przykadu 1.24. mamy

" 1 & % E 9 #& 9 E ! " E "

s roz czne. a a

&

&

9 2E 9 %

E

9

.

, z przykadu 1.22b

i

. Wtedy

2% E

" !

& " "

%

"

& T % ! E"

! " E" "

" 9 E#& & 9 9 E 9

(i

Przykad 1.30 Sumuj c wiersze tabeli z przykadu 1.28b mona otrzyma g stoc roza z c e s kadu zmiennej , a sumuj c kolumny g stoc rozkadu a e s .

E 9

E

9

$ %E

9

E 9 E 9 E 9 E 9

E 9 E E 9 E 9 E 9 E 9 9

E 9 E 9 E 9 E 9

Podobnie mo na pokaza , ze z c

Z drugiej strony

poniewa z

Dowd Zauwa my, ze z

a)

b)

1.5. Zmienna losowa

0

1

i

2

&

"

"

"

0 1

(

"

%

%

&

"

%

Przykad 1.31 Wemy zmienne z

Podobnie jak dla jednej zmiennej, maj c g stoc cznego rozkadu prawdopodobiena e s a stwa dwch zmiennych i mo na oblicza prawdopodobie stwa zdarze opisywaz c n n nych przez te zmienne.

E 9

oraz

i

i

i

lub

" !

z przykadu 1.30. Wtedy

i

lub

i

i

lub

i

9 E

9

15

16


1.6 Niezale no c zmiennych losowych z s

lub inaczej, gdy gdzie zmiennej

oznacza g stoc rozkadu cznego, e s a .

g stoc zmiennej e s

,a

g stoc e s

Przykad 1.33 Zmienne losowe i z przykadu 1.28a s niezalene, natomiast a z zmienne i z przykadu 1.28b nie s niezalene. a z Oczywicie mo e by wi cej zmiennych losowych okrelonych na jednej przestrzeni s z c e s a Dla trzech zmiennych losowych , , czny rozkad prawdopodobie nstwa, zdeniowany jest jako i i

Podobnie jak poprzednio atwo mo na pokaza , ze z c

Podobnie mamy w przypadku

zmiennych losowych

$ %E

9 E 9 E 9 E 9

Denicja 1.34 Zmienne losowe mamy

,

,

s niezalene jeeli dla kadej trjki liczb , a z z z

i

$E

$ $ $ 9

$E

W oglnym przypadku zmiennych losowych podobie stwa okrelony jest jako n s

ich czny rozkad prawdoa

$$$

$ $ $ 9 E $ $ $ 9

$$$

E

oraz na przykad

$E 9 E 9 $ %E 9 E 9 E 9 E 9

i

E 9

E 9

Mamy przy tym

E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 $ %E

9 E 9

Denicja 1.32 Zmienny losowe mamy i

i

s niezalene jeeli dla kadej pary liczb , a z z z

9

i

1.6. Niezale noc zmiennych losowych z s

17

Przykad 1.36 Wr my do przykadu z rzutem monetami, przykad 1.22c. Dla kadego c z zmienna losowa jest rwna jeeli na -tej monecie wypad orze, i 1 jeeli na -tej z z monecie wypada reszka. Zmienne s niezalene. a z

Twierdzenie 1.37 Niech i b d niezalenymi zmiennymi losowymi, a e a z nymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Wtedy zdarzenia

oraz s niezalene. a z

Dowd Poniewa zbir wartoci zmiennej z s elementy zbioru . Niech

jest sko czony, mo emy wypisa wszystkie n z c

dla jakiego s dla jakiego s

oraz

Poniewa sumowane zdarzenia wykluczaj si wzajemnie mamy z a e i

E

i

$ %E

9

9

czyli

istniej a

takie, ze

oraz

E E 9

6C #A

E 9

E 9 ! F E 9 ! F

Mamy zatem

$

Podobnie niech

$

E D9 T $ $ $ E 9 T0 $ $ $

E 9 F F E 9

Poka emy teraz, ze je eli zmienne losowe i z z zdarzenia opisywane przez te zmienne. Dokadniej

s niezale ne, to niezale ne s te a z z a z

i

dowol-

A

$E

9

$ $ $ A

E 9

Denicja 1.35 Zmienne losowe zachodzi

s niezalene jeeli dla kadej -tki liczb a z z z

$$$

DC4A

E

9

E 9

F

$$$ A

18


ale

1.7 Warto c oczekiwana, srednia sDenicja 1.38 Wartoc oczekiwana (rednia) zniennej losowej s s

to liczba

Przykad 1.39 Dla zmiennej losowej

z przykadu 1.24 wartoc oczekiwana wynosi s

Je eli zmienna posiada jednostajny rozkad prawdopodobie nstwa, to jej wartoc oczez s kiwana jest zwyk sredni arytmetyczn jej wartoci. a a a s

W oglnym przypadku wartoc oczekiwana jest nazywana sredni wa on . s a z a

$

E 9

E 9

Dowd Je eli pogrupujemy wyrazy sumy z , to otrzymamy

E 9 E 9

$ %E

9

E 9

Lemat 1.40

wedug wartoci zmiennej s

$ %E

9 E 9

$ E 9

$ " % % &" % E 9

$ E 9 E 9

F F F F " " E 9

Teza twierdzenia wynika z prostego faktu, ze

$

E 9 E 9

E 9

E 9

E 9 E 9

oraz

E 9 E 9

E 9 DE 9

E

E 9

9 E

9

a poniewa z

E 9

i

s niezale ne a z

1.7. Wartoc oczekiwana, srednia s

19

Przykad 1.41 Przypucmy, ze mamy informacj , ze w jakiej grupie studenckiej poowa s e s studentw otrzymaa ocen 5 z matematyki dyskretnej, jedna trzecia otrzymaa ocen 4, e e a jedna szsta ocen 3. Jaka jest srednia ocena w tej grupie? Przyjmujemy, ze grupa jest e przestrzeni losow , a zmienna losowa jest ocen studenta. Wtedy wartoc oczekiwana a a a s zmiennej

jest sredni ocen w tej grupie. a a

istnieje zdarzenie elementarne Wniosek 1.42 Dla kadej zmiennej losowej z takie, ze oraz . Podobnie istnieje zdarzenie takie, ze oraz .

Dowd: Udowodnimy tylko pierwsz cz sc twierdzenia, drug mo na udowodni w poa e a z c dobny sposb. z dodatnim prawdopodobienstwem mamy Przypucmy, ze dla ka dego s z . Ale to prowadzi do sprzecznoci s

W przypadku klasycznej denicji wniosek 1.42 opisuje prosty fakt, ze zawsze istnieje przynajmniej jedna wartoc mniejsza od lub rwna wartoci sredniej oraz wartoc wi ksza s s s e od lub rwna sredniej. W poni szym twierdzeniu zebrano podstawowe wasnoci wartoci oczekiwanej. z s s Twierdzenie 1.43

a)

.

d) Jeeli z Dowd: a)

, to

$ %E 9 E 9

E 9

c)

$ %E

9

E 9

E 9

E 9 E

9

E

9

b)

$ %E

9

E

9 E 9

E 9

EE 9 E 9 9

E

E 9 E 9

c) Jeeli zmienne z

i

s niezalene, to a z .

b) Jeeli z

jest liczb rzeczywist , to a a

.

.

E 9

$ %E

E 9 I E 9

9 E 9

E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E

$

"

& 3 3 & % " ( 2% " & " ( " 1 E 9 3

E 9 E 9 E 9

E 9

E 9

E 9 E 9

E 9

9

9

"

"

E 9

E 9

E 9

E 9

20


Twierdzenie 1.44 Wartoc oczekiwana sumy s

zmiennych

jest rwna

Twierdzenie 1.45 Jeeli zmienne z iloczynu rwna si e

s niezalene, to wartoc oczekiwana ich a z s

Twierdzenie 1.46 (Nierwnoc Markowa) Jeeli zmienna losowa s z nieujemne, to dla dowolnej liczby rzeczywistej

przyjmuje waretci s

Dowd:

Przykad 1.47 Nierwnoc Markowa wyraa doc prosty fakt. Przypucmy, ze okrela s z s s s liczb pieni dzy posiadan przez studenta. Jeeli wartoc srednia zmiennej wynosi 100 e e a z s zotych, to tylko poowa studentw moe mie 200 lub wi cej zotych. Przypucmy bowiem z c e s ze cz sc studentw posiada 200 (lub wi cej) zotych. Wtedy udzia tej bogatej e e cz sci studentw w sredniej wynosi co najmniej e ,i wartoc srednia nie moe wynosi 100 zotych, jeeli zmienna nie przyjmuje wartoci s z c z s ujemnych.

"

" %

%

Zauwa my, ze nierwnoc Markowa jest u yteczna tylko kiedy z s z , to mamy trywialne oszacowanie bowiem

. Je eli z

d) Je eli dla ka dego , z z

E 9

$ %E 9 $$$ $E %D 9 E 9 $$$ "( E 9 E 9 E 9 E 9 $ %E 9 E 9 E 9 E 9 E 9 E 9

, to

.

E 9

!

$E

&

" E $ 1 ) 0 % " $ 9

E 9

9

$

I E 9 " I E

E 9

$

!

E 9 I E

E 9

!

i

E 9

Pogrupujmy skadniki sumy wedug wartoci zmiennych s

i

.

9

E 9

9

E 9

E 9

!

E 9 I

" # ' $

E 9 1

1.7. Wartoc oczekiwana, srednia s

21

Poka emy teraz jak mo na wykorzysta prawdopodobie stwo do rozwa a kombinaz z c n z n torycznych. Udowodnimy nast puj ce: e a Twierdzenie 1.48 Wierzchoki dowolnego grafu mona pokolorowa dwoma kolarami z c (biaym i czarnym) w taki sposb, ze przynajmniej poowa kraw dzi ma swoje ko ce w e n rnych kolorach. z Zanim przejdziemy do dowodu wyjanjmy kilka rzeczy: s

Dla krawdzi e mwimy, ze wierzchoki i s koncami krawdzi lub, ze a e kraw d czy i . e z a Graf cz sto przedstwiamy na rysunku jako zbir punktw po czonych ukami. Na e a przykad rysunek 1.1 przedstawia graf ze zbiorem wierzchokw i zbiorem krawdzi e

Rysunek 1.1: Przykad grafu

atwo jest pokolorowa ka dy graf tak, aby ka da krawd miaa oba konce w jedc z z e z nym kolorze. Wystarczy wszystkie wierzchoki pokolorowa tym samym kolorem. Graf c z rysunku 1.1 mo na pokolorowa tak, aby ka da krawd bya dwukolorowa. Trzeba z c z e z pokolorowa na biao wierzchoki , , i i na czarno wierzchoki , i . Ale nie dla c ka dego grafu jest mo liwe takie pokolorowanie, w ktrym ka da krawd ma ko nce w z z z e z r nych kolorach. Na przykad dla trjk ta, czyli grafu z wierzchokami z a i kraw dziami e (patrz rysunek 1.2) nie istnieje takie pokolorowanie.

'$

%" 5&542#!

'

Denicja 1.49 Graf jest to dowolny sko czony zbir wierzchokw n kraw dzi e , gdzie kraw dzie to pary wierzchokw. e

wraz ze zbiorem

$

7 2 2 27 ' 2 2 #'2$ # ' $ $

$ 7

H7 # F

$

% " " 25&S #5&20 #5%##2

'

6H

22


Rysunek 1.2: Trjkt a

Dowd twierdzenia 1.48: Przypucmy, ze graf ma s wierzchokw i krawdzi. Rozwa my przestrzen zdarze elementarnych zo on ze wszystkich mo e z n z a z liwych pokolorowa wierzchokw grafu . Jest ich n . Dla ka dej krawdzi z e okrelmy zmienn losow s a a w nast puj cy sposb: e a , je eli z w kolorowaniu oba ko ce krawdzi maj r ne kolory i n e a z w przeciwnym n przypadku. , poniewa w poowie kolorowan ko ce maj r ne kolory. z a z W jednej czwartej kolorowa oba ko ce s biae (kolorowa , w kttych i maj kolor n n a n a biay, jest , bo na tyle sposobw mo na pokolorowa pozostae z c wierzchokw) oraz w jednej czwartej kolorowa oba s czarne. n a . Rozwa my teraz sum zmiennych losowych z e Mamy wi c e

Wartoc zmiennej s

to liczba r nokolorowych krawdzi w kolorowaniu . Ale z e

Dlatego, zgodnie z wnioskiem 1.42 musi istnie kolorowanie , dla ktrego c . Srednia liczba r nokolorowych kraw dzi w kolorowaniu mo e by obliczona bez z e z c u ywania terminologii rachunku prawdopodobienstwa. Policzmy ile we wszystkich koloz rowaniach jest r nokolorowych kraw dzi. Z jednej strony jest to z e liczba r nokolorowych kraw dzi w kolorowaniu z e

Z drugiej strony

Przedostatnia rwnoc wynika z tego, ze liczba kolorowan, w ktrych jest r nokos z lorowa wynosi (poowa wszystkich). Srednia liczba r nokolorowych kraw dzi w z e kolorowaniu wynosi wi c e

liczba kolorowa , w ktrych kraw d jest r nokolorowa n e z z

$

" E 9 F F

%

E 9

%

$ %E

%

E 9

E

% F F F F

$

& % E 9$

$

%

"

% %

E 9

% % ! E 9 "

! 9 E" E 9

9

"

%

6H

%

9

% 2

1.8. Wariancja

23

1.8 Wariancja

Wariancja jest miar tego jak bardzo wartoci zmiennej s oddalone od sreda s a niej. Im wi ksze rozrzucenie wartoci tym wi ksza wariancja. W poni szym twierdzeniu e s e z zebrano podstawowe wasnoci wariancji s

d)

poniewa zmienne s niezale ne, to z twierdzenia 1.43c z a z

Z drugiej strony

po odj ciu stronami dwch ostatnich rwnoci e s

Twierdzenie 1.52 (Nierwnoc Czebyszewa) Dla zmiennej losowej s oraz liczby rzeczywistej mamy

z wartoci oczekiwan s a a

E 9 E 9 % E 9 E E 99 E 9 % E 9 E 9 % E 9 E % 9 E E 99 E 9 E 9

E 9 )E 9 9 E 9 )E 9 9 E 9 $E 9 E E EE 9 E E 99 E 9 9

)EE 9 9 E 9 E 9 %

$

E 9

$

E 9 E 9 % E 9 E E

" E 9 I E" F

)EE 9 9 )EE 9

"

F9

Dowd a) wynika z faktu, ze zmienna b)

przyjmuje tylko nieujemne wartoci, s

E 9

e) Jeeli zmienne z

s parami niezalene, to a z

$$$

d) Jeeli zmienne z

i

s niezalene, to a z

E 9

E 9 E

9

)99

E 9 9

E 9

c)

$ %E

9

E 9

b)

E 9 E 9

Twierdzenie 1.51

a)

EE

)99 E 9

Denicja 1.50 Wariancj zmiennej losowej a nazywamy liczb e

o wartoci oczekiwanej s

E 9

$ '

E 9

E 9

.

24


1.9 Rozkad jednopunktowy Z rozkadem jednopunktowym mamy do czynienia, wtedy gdy cae prawdopodobie nstwo jest skupione w jednym punkcie

wynosi

Lemat 1.54 Jeeli jaka zmienna przyjmuje wartoci nieujemne i z s s na losowa ma rozkad jednopunktowy, to znaczy

czyli dla kadego z

, jeeli z

, to

.

Zao enie, ze zmienna z przyjmuje tylko wartoci nieujemne jest istotne we wnios sku 1.54. Pokazuje to nast puj cy przykad. e a

$ )(

E 9 I E

Dowd: Poka emy, ze dla ka dego z z bowiem, ze istnieje , takie, ze twierdzenie 1.46, mamy

, je eli z

, to . Przypucmy s . Wtedy z nierwnoci Markowa, s

E 9

E 9

E 9 E 9 & E 9 & E 9 " E #! 0( 9

$

E 9

9 I E 9

Poniewa z , to Wartoc oczekiwana zmiennej s

dla ka dego z

.

, to zmien-

Denicja 1.53 Zmienna losowa

ma rozkad jednopunktowy, jeeli dla jekiego z s

E 9 EE

$

( E 9 " E 9

)99 E 9

ale

" E 9 I E "

Stosuj c nierwnoc Markowa dla zmiennej a s

9 E $'F 9 " F

9 F

to

$ %E " 9 E $ F " " E 9 $'F E " mamy

Dowd: Rozwa my zmienn losow z a a

. Poniewa z

9

F

" E 9

1.10. Rozkad zero-jedynkowy Przykad 1.55 Zmienna losowa

25

z przykadu 1.26a z funkcj g stoci: a e s

Wtedy

b dzie przestrzenia z jednostajnym rozkadem prawdoe Dowd: Niech podobie stwa i niech b dzie zmienna losowa okrelona wzorem n e s . Wtedy jest wartocia oczekiwana zmiennej , a s

1.10 Rozkad zero-jedynkowy Zmienna losowa ma rozkad zero-jedynkowy, je eli prawdopodobie nstwo jest skupioz ne tylko w dwch punktach 0 i 1. G stoc rozkadu prawdopodobie stwa ma wtedy posta e s n c

dla pewnych dodatnich speniaj cych warunek a Wartoc oczekiwana zmiennej wynosi s

$ E

9" EE 9 E 9 E 9 9

a wariancja

" !G

" (

0

1 .

jej wariancja, ktra jest nieujemna i rwna zeru tylko dla rozkadu jednopunktowego.

E BA9

przy czym rwnoc zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy s

dla kadego . z

A

$

" "

Wniosek 1.57 Niech

b da dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech e

E 9

"

E 9

$$$

H

" 2#

Dowd Poniewa z

, to z lematu 1.54 wynika, ze

.

"

E E

Lemat 1.56 Jeeli z

, to zmienna losowa

$$$ E 9 0 E )99 E 9 E 9

&

Ale i na odwrt

posiada rozkad jednopunktowy.

$ )(

EE 9 9 E 9 E 9

Wariancja zmiennej losowej

ma wartoc oczekiwan s a

% 2 " % " E 9 . z rozkadem jednopunktowym wynosi

-1

1

E 9

9

26


1.11 Rozkad dwumianowy BernoulliegoPrzypucmy, ze mamy seri niezale nych dowiadcze i w ka dym dowiadczeniu dwa s e z s n z s mo liwe wyniki: sukces z prawdopodobienstwem i pora ka z prawdopodobienstwem z z . Niech b dzie zmienn losow rwn liczbie sukcesw w tej serii. Zmienna e a a a losowa posiada rozkad dwumianowy (Bernouliego) z parametrami i . Dla uproszczenia rozwa a za my, ze z n z . Prawdopodobienstwo zdarzenia, ze wyst pi sukces, pora ka, sukces i pora ka wynosi a z z , poniewa wyniki dowiadz s cze s niezale ne. Dokadnie dwa sukcesy w serii czterech dowiadcze b dziemy mieli, n a z s n e je eli wyst pi jeden z ci gw, w ktrych na dwch pozycjach wyst puj sukcesy: z a a e a (sukces, sukces, pora ka, pora ka), z z (sukces, pora ka, sukces, pora ka), z z (sukces, pora ka, pora ka, sukces), z z (pora ka, sukces, sukces, pora ka), z z (pora ka, sukces, pora ka, sukces), z z (pora ka, pora ka, sukces, sukces). z z , bo na tyle sposobw mo na wybra dwie pozycje, na ktrych z c Takich ci gw jest a b d sukcesy. Ka dy z tych ci gw ma takie samo prawdopodobie nstwo rwne e a z a .I poniewa te ci gi s zdarzeniami wykluczajcymi si , prawdopodobie nstwo, ze wyst pi z a a a e a ktry z nich wynosi s

Podobnie dla dowolnego , prawdopodobienstwo, ze w serii czterech dowiad s cze wypadnie sukcesw wynosi n

Twierdzenie 1.58 Wartoc oczekiwana s mianowy o parametrach i wynosi . Dowd: Rozwa my funkcj: z e ze wzoru Newtona mamy

zmiennej losowej

Zr niczkujmy t funkcj z a e

$

$

9 E ! E 9

E 9 $ S 9 E

W podobny sposb mo na uzasadni , ze dla dowolnego z c metrami i ma posta c

rozkad dwumianowy z para-

maj cej rozkad dwua

E ! E 9 9

( 8$

(

$

%

(

( I I

E 9

3

"

1.12. Kra ce rozkadu dwumianowego n Je eli teraz podstawimy z

27

ma rozkad dwumianowy o parametrach i . Wartoc oczekiwana, ka dej ze zmiennych s z wynosi , wi c wartoc oczekiwana zmiennej wynosi . e s wynosi . Poniewa zmienne z s a Wariancja zmiennej niezale ne to wariancja ich sumy wynosi z , mamy wi c. e Twierdzenie 1.59 Wariancja zmiennej losowej trach i wynosi z rozkadem dwumianowym o parame-

1.12 Krance rozkadu dwumianowegoTwierdzenie 1.60 (Nierwnoci Chernoffa) Niech zmienna losowa posiada rozkad s dwumianowy o parametrach i . Oznaczmy wartoc oczekiwan tego rozkadu przez s a . Wtedy dla dowolnej liczby rzeczywistej , , mamy

1.13 Problem dnia urodzinZastanwmy si ile osb musi znajdowa si w pokoju, aby bya du a szansa, ze dwie e c e z osoby maj urodziny tego samego dnia. a Dla prostoty przyjmujemy, ze problem dnia urodzin jest rwnowa nu problemowi z wylosowania ci gu liczb a , ka da spord z s mo liwoci, tak aby z s wyst pio w nim jakie powtrzenie. a s Oznaczmy przez zdarzenie przeciwne, ze wszystkie wylosowane liczby s r ne. a z Je eli zao ymy, ze wszystkie ci gi s rwno prawdopodobne, to prawdopodobie nstwo, z z a a ze otrzymamy ci g r nowartociowy wynosi a z s

E "

9 " " 9 E % 29E " # E 9 E" 9 E 9

13 ##&

$ $ $

oraz

$$$

" I " I

9 9 I E E " " I 9 I E E " " 9

$

"

E 9

E 9

Suma tych zmiennych

Rozwa my ci g niezale nych zmiennych losowych z a z zero jedynkowym oraz

, ka da o rozkadzie z

$ # 9 E $$$

$ %E

9

E 9 "

" !

to otrzymamy

E

9

28


Skorzystamy teraz z nierwnoci s

Prawdopodobie stwo to jest mniejsze od n wtedy gdy , a to zachodzi . Dla , zachodzi to dla . wtedy gdy Tak wi c jeli w pokoju znajduj si co najmniej 24 osoby, to z prawdopodobie nstwem e s a e wi kszym od e dwie spord nich maj urodziny w tym samym dniu. s a

1.14 Zadania1. Zaproponuj przestrze zdarze elementarnych dla losowania dwch kul z urny n n zawieraj cej 3 kule biae i 4 czarne. Przedstaw zdarzenie, ze wylosowano: a a) dwie kule biae, b) kule w r nych kolorach. z 2. Zaproponuj przestrze zdarze elementarnych dla ustawienia czterech liter , , i n n w ci g. a Przedstaw zdarzenie, ze b)

i s rozdzielone jedn liter . a a a

3. Zaproponuj przestrze zdarze elementarnych dla nast puj cych dowiadcze : n n e a s n a) Losowanie karty z talii 52 kart. b) Losowanie 13 kart z talii 52 kart. c) Wypenienie kuponu totolotka. d) Wypenienie kuponu totalizatora pikarskiego.

b) ze pomidzy i stoj dwie cyfry; e a c) ze , i

stoj obok siebie. a

% "

a) ze i

% "

% "

5. Cyfry

ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobienstwo,

stoj obok siebie; a

d) zachodz co najmniej dwa spord zdarze , a s n

c) zachodz dokadnie dwa ze zdarzen , a

,

;

b) zachodzi dokadnie jedno ze zdarzen ,

a) zachodz wszystkie trzy zdarzenia; a

$ $ $ S

4.

,

i

$

a)

i stoj obok siebie; a

s zdarzeniami. Zapisa za pomoc dziaa na zbiorach zdarzenia: a c a n lub ; , .

' $

%

% ( % E " 9 $

I E 9 I " 9" E % )"#E " " # 9 9 "$

E"

% 2 " 13 ##& % % " % " I $

1.14. Zadania 6. Pokaza , ze c 7. Dane s a

29

,

i

. Obliczy c

i

.

8. Dane s a

. Obliczy c

i oraz

, wiadomo te , ze z

.

9. W urnie s 4 kule biae i 3 czarne. Losujemy dwie. Jakie jest prawdopodobie nstwo, a ze wylosowane kule b d w r nych kolorach? e a z 10. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na przyj ciu, na ktrym jest e si osoba, ktra ma urodziny tego samego dnia co ja? e

osb, znajdzie

11. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze przy okr gym stole wybrane na pocz tku dwie a a osoby usi d obok siebie? a a 12. Niech przestrze zdarze elementarnych b dzie zbiorem 3 elementowych ci gw n n e a zero-jedynkowych. Wypisz zdarzenia: a) na pierwszej wsprz dnej jest zero; e b) na pierwszej i trzeciej wsprz dnej s zera; e a c) na pierwszej i trzeciej wsprz dnej mamy r ne wartoci; e z s d) na wszystkich wsprz dnych jest to samo. e Oblicz prawdopodobie stwa tych zdarze (rozkad jednostajny). n n Czy zdarzenia te s niezale ne? a z a Niech przestrze zdarze elementarnych b dzie zbiorem elementowych ci gw n n e zero-jedynkowych (rozkad jednostajny). Oblicz prawdopodobie nstwa tych samych zdarze . n 13. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie nstwo, ze na zadnej kostce nie wypada szstka, je eli na ka dej kostce wypada inna liczba oczek. z z 14. Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie s dwie kule biae i cztery czarne, a a w drugiej urnie trzy biae i trzy czarne. Rzucamy kostk do gry. Je eli wypadnie 1 a z lub 2, to losujemy kul z pierwszej urny, je eli 3,4,5 lub 6, to losujemy z drugiej e z urny. Jakie jest prawdopodobie stwo, ze wylosujemy kul bia ? n e a Zaproponuj przestrze zdarze elementarnych i rozkad prawdopodobienstwa. n n 15. W urnie jest kul w tym biaych. osb po kolei losuje jedn kul bez zwracania. a e a) Ile wynosi prawdopodobie stwo wylosowania kuli biaej dla trzeciej osoby? n b) Ile wynosi prawdopodobie stwo wylosowania kuli biaej dla ka dej z losuj cych n z a osb?

E 9 PE

9

E 9 E 9 E % " PE 9 " PE 9 ( E 9 E & %8E & 9 " E 9 & " E 9 ( " E 9 E 9 E 9

,

9 9

30

Rozdzia 1. Rachunek prawdopodobienstwa i s niezale ne, to niezale ne s tak e a z z a z

16. Udowodnij, ze je eli zdarzenia z oraz i . 17. Zmienna losowa

posiada rozkad:

19. Podaj rozkad cz stoci wyst powania liter w zdaniu: e s e "Podzbiory przestrzeni zdarze losowych nazywamy zdarzeniami". n

Czy zmienne

i

s niezale ne? a z

Oblicz prawdopodobie stwa n

,

-1 1

( % " % 5 " 2 " " (% % @" " % 5 " " 3 "

1

Z=0

2

3

22. W dwch tabelach przedstawiono czny rozkad zmiennych , a tabela zawiera wartoci s , a druga wartoci s .

E " 9

Czy mo na tak dobra liczby , i , aby zmienne z c

0 1

%" @ " 3 " % @" "

0

21. czny rozkad zmiennych losowych a

i

przedstawiony jest w tabeli.

1

E # 9

Oblicz

,

,

,

,

,

.

2

i

byy niezale ne? z i . Pierwsza

E

Oblicz rozkady zmiennych

,

,

,

E 9 E 9 9 E 9 E 9 E 9 % 3 " 3 " " 3 " ( " "

-1

0 1

20. czny rozkad zmiennych losowych a

i

przedstawiony jest w tabeli.

0

1

. .

18. Zmienna jest okrelona na przestrzeni s nym rozkadem. Podaj jej rozkad, wartoc oczekiwan oraz s a

, wariancj e

oraz

Oblicz wartoc oczekiwan s a

z jednostaj.

E

E #& 9 5 & $ $ $ ## " 9

E 9

1 E 9

Oblicz

,

.

3 5 " 3 5 " " "

.

E& # 9 E " " % " E 9 (

1

2

3

4

5

i

9

1.14. Zadania

31

-1 1

Czy zmienne , i s niezale ne? Je eli nie, to zmien prawdopodobie stwa w a z z n pierwszej tabeli tak, zeby byy niezale ne. z

23. Na przestrzeni ,

z jednostajnym rozkadem okrelamy trzy zmienne s , . Czy zmienne te s niezale ne? a z

s s 24. Mamy trzy niezale ne zmienne losowe , i (okrelone na jakiej przestrzeni z probabilistycznej). Udowodnij, ze ka de dwie te s niezale ne. z z a z

Podobnie ka dy podzbir tych zmiennych jest niezale ny. z z

28. Pokaza , ze jezeli mamy zmienna losow c a inn zmienn , to i s niezale ne a a a z

z rozkadem jednopunktowym i dowoln a i ,

30. Poka , ze je eli zmienne losowe i s niezale ne, to dla dowolnych funkcji i z z a z , zmienne i te s niezale ne. z a z

c) Czy b) jest mo liwe je eli z z

ma rozkad jednostajny?

b) Czy jest mo liwe z

lub

a) Czy jest mo liwe z

lub

? ?

33. Przypucmy, ze zmienna losowa przyjmuje s ka de z dodatnim prawdopodobienstwem. z

wartoci s

$$$

%

32. Poda przykad dwch zmiennych c i .

i

o r nych rozkadach takich, ze z

31. Pokaza , ze c

29. Poka , ze je eli zmienne losowe i s niezale ne, to dla dowolnych liczb z z a z zdarzenia oraz s niezale ne. a z

E'

9

E

27. Pokaza , ze je eli c z

ma rozkad symetryczny, tzn dla pewnego dla ka dego , to z .

,

9

26. Pokaza , ze dla ka dego c z oraz .

istnieje zmienna losowa

taka, ze

" E 9

"

$$$

25. Mamy

niezale nych zmiennych losowych z zmienne te sa niezale ne. z z

. Pokaza , ze dla ka dego c z

E 9

$$$

% E 9 & E 9 1 " 5& $ $ $ ##

Oblicz rozkady brzegowe zmiennych , .

,

i

. Oblicz

,

9 0 E

9

% 5 " % @" @" " " %" % 5 " % 5 " % @" " " "

1

Z=1

2

3

2E1 ' " $

E

9 E

"

9 E

9

32


a) je eli z c)

35. Rzucano monet 10 razy. Jakie jest prawdopodobie nstwo, ze orze wypad co naja mniej raz? 36. Jakie jest prawdopodobienstwo otrzymania parzystej liczby sukcesw w ci gu a prb Bernoulliego, je eli prawdopodobienstwo sukcesu w jednej prbie wynosi: a) z 1/2, b) . 37. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w serii szeciu rzutw kostk suma oczek b dzie s a e parzysta. 38. Pokaza , ze je eli c z , to , gdzie

; a je eli z to rozkad dwumianowy.

, to

ma rozkad dwumianowy z parametrami , 39. Niech zmienna losowa . Oszacuj prawdopodobie stwo n (za pomoca nierwnoci s Markowa, Czebyszewa i Chernoffa).

C A

"

E @DCH 9

E # 3

E E )AH E A 9 9 C @DC A 9 E )AH 9

9

% 2 "

b)

E 9 ' % E 9 DE 9 E 9 '2% E 9 E 9 E 9 E 9 ' i s niezale ne to a z

&

34. Kowariancja zmiennych losowych . Pokaza , ze c

i

rwna si e ;

9 E 99 E 9 '.

)EE

Rozdzia 1

Rekurencja1.1 Wie e Hanoi zRekurencja jest to zdolnoc podprogramu (procedury lub funkcji) do wywoywania sas mego siebie. Zacznijmy od przykadu wie Hanoi. Przypucmy, ze mamy trzy wie e lub z s z a e a z s trzy paliki: , i . Na pierwszym paliku, , znajduj si trzy kr zki r nej wielkoci, nanizane w porzdku od najwi kszego na dole do najmniejszego na grze. Paliki i a e s na pocz tku puste. Nale y przeniec wszystkie kr zki z palika na , posugujc si a a z s a a e w razie potrzeby palikiem , wedug nast puj cych regu: e a mo na przenosi po jednym kr zku z jednego palika na inny, z c a

nie mo na umieszcza wi kszego kr zka na mniejszym. z c e a

Rozwi zaniem tej amigwki dla trzech kr zkw jest nast puj cy ci g siedmiu przeoa a e a a ze : n

gdzie zapis oznacza przeniesienie szczytowego kr zka z palika na palik . a Chodzi nam teraz o algorytm, ktry dla dowolnej liczby kr zkw wypisze ci g a a operacji potrzebnych do przeo enia kr zkw z palika na palik . z a Algorytm przekadania kr zkw a je eli z

, to przekadamy ten jeden kr zek a

,

przekadamy

-ty kr zek z a

przekadamy

kr zkw z na a 3

(za pomoc palika a

przekadamy razie potrzeby palikiem

kr zkw z a ),

na pomocniczy palik ,

na

je eli z

, to:

(posugujc si w a e

).

!

% '&

'%(

# "

$

$

$

4

Rozdzia 1. Rekurencja

Nietrudno zauwa y , ze je eli proces przekadania z c z kr zkw jest prawidowy, to a cay proces te jest prawidowy, poniewa obecnoc najwi kszego kr zka na dole palika z z s e a nie przeszkadza w przekadaniu mniejszych kr zkw. a Powy szy algorytm opiszmy teraz za pomoc rekurencyjnej procedury przenie, ktz a s ra odwouje si sama do siebie i wypisuje ci g instrukcji przeniesienia kr zkw z palika e a a na palik . procedura przenie( s je eli z kr zkw z a na , , za pomoc ): a

, to wypisz , to

przenie( s wypisz przenie( s

kr zkw z a , kr zkw z a

na , za pomoc a na , za pomoc a

Rysunek 1.1: Schemat dziaania procedury przenie dla wie Hanoi z trzema kr zkami s z a

Na rysunku 8.1 zilustrowano dziaanie procedury przenie dla s

. Skrt

oznacza wywoanie procedury przenie( kr zkw z s a na , za pomoc ). Strzaki a w d oznaczaj wywoanie procedury, strzaki w gr powroty po wykonaniu procedua e ry, a strzaki poziome odpowiadaj nast pstwu instrukcji w ramach jednego wykonania a e procedury.

%

%

%

je eli z

), ).

% #

%

'%

%

% '& % '&

%

# "

$ $ $

%

1.2. Algorytm Euklidesa, wersja rekurencyjna

5

1.2 Algorytm Euklidesa, wersja rekurencyjnaInnym przykadem algorytmu rekurencyjnego mo e by rekurencyjna wersja algorytmu z c Euklidesa, ktry oblicza najwi kszy wsplny dzielnik dwch dodatnich liczb naturalnych e i : funkcja NWD(a,b): je eli z , to , to , to

je eli z

je eli z

W j zyku Pascal powy sz procedur mo emy zapisa w nast puj cy sposb: e z a e z c e a function NWD(a,b:integer):integer; begin if a=b then NWD:=a then NWD:=NWD(a-b,b) else if else NWD:=NWD(a,b-a) end;

Rysunek 1.2: Schemat dziaania rekurencyjnej wersji algorytmu Euklidesa NWD(5,3):=1

NWD(2,3):=1

NWD(2,1):=1

Na rysunku 8.2 przedstawiono proces obliczania funkcji NWD(7,3).

1.3 Funkcje rekurencyjneCzasami wygodnie jest zdeniowa funkcje za pomoc wzoru rekurencyjnego. Na przyc a kad funkcj silnia deniuje si zwykle za pomoc nast puj cych dwch rwna n: e e a e a

3 2 ( 4 10)'

% %

'% !&&% #" ! $ !

,

"

"

, .

NWD(1,1):=1

6


Podobnie mo na deniowa inne funkcje ze zbioru liczb naturalnych w zbir liczb natuz c ralnych. Denicja taka zawiera przepis, jak policzy wartoc funkcji dla wartoci pocz tkowych, c s s a oraz drugi przepis, jak wyliczy wartoc dla argumentu za pomoc wartoci funkcji dla c s a s mniejszych argumentw.

1.4 Funkcja (ci g) Fibonacciego aNast pnym przykadem rekurencyjnego deniowania funkcji jest funkcja Fibonacciego, e okrelona rwnaniami: s

Kolejne wartoci funkcji Fibonacciego to: s

Udowodnimy teraz przez indukcj, ze e

gdzie oraz Rwnoc (1.1) zachodzi dla s i . Za my teraz, ze zachodzi dla wszystkich z argumentw mniejszych od . Zauwa my, ze oraz s rozwi zaniami rwnania z a a , mamy wi c e oraz a tak e z oraz . atwo teraz mo na pokaza , ze z c . Poniewa z , mamy , wi c wartoc e s jest rwna po zaokrgleniu do najbli szej liczby naturalnej i funkcja Fibonacciego ronie a z s wykadniczo.

1.5 Funkcja AckermannaFunkcja Ackermanna okrelona jest, dla liczb naturalnych s naniami:

Funkcja Ackermanna jest przykadem funkcji maj cej doc prost denicj , ale jest praka s a e tycznie nieobliczalna z tego powodu, ze jej wartoci szybko rosn. Na przykad: s a

3 1 0 0 2 )% ( " % % % % #" ! % ' %& $ " % 4"

" 4 " %

3 10)' 2 (

34 2 64 10)' '% 64 '% 54 ( 10)' ( '% 64 2 2 '10)' 4 ( 7 8 2 54

D C A @ 9 B

333 & "

% '% " "

%

(1.1)

, nast puj cymi rwe a

1.6. Algorytm sortowania przez scalanie

7

1.6 Algorytm sortowania przez scalanieZajmijmy si teraz pewnym prostym rekurencyjnym algorytem sortowania ci gu. Dla e a prostoty za my, ze dugoc ci gu jest pot g dwjki. z s a e a Algorytm sortowania

je eli ci g ma dugoc jeden, to jest ju posortowany, z a s z

je eli ci g jest du szy, to: z a z

dzielimy go na poowy,

sortujemy te poowy,

czymy posortowane poowy w jeden posortowany ci g. a a

Istota pomysu polega na tym, ze mo na szybko po czy dwa posortowane ci gi w jeden z a c a posortowany ci g. Algorytm czenia wyjanijmy na przykadzie. Przypucmy, ze mamy a a s s dwa ci gi: a i ze chcemy je po czy w posortowany ci g . Na pocz tku ci g jest pusty. Usta a c a a a wiamy dwa wska niki po jednym na pocz tku ka dego ci gu (wskazane elementy b d z a z a e a oznaczone daszkiem):

Porwnujemy wskazane elementy. Mniejszy z porwnanych elementw przepisujemy na ci g i przesuwamy wska nik w tym ci gu, z ktrego by wzi ty element do ci gu . a z a e a W wyniku otrzymamy:

Powtarzamy ten proces tak dugo, a w jednym z ci gw ostatni element zostanie zabrany z a do ci gu . a

3 ! 99 9

3

3

9

9

3

9

i oglnie

A A A 9

9 9 9 9 9

A

% A A

$ $ $

8


W takiej sytuacje pozostae elementy tego drugiego ci gu przenosimy do ci gu a a

Liczba porwna potrzebna do scalenia ci gw nie jest wi ksza od sumy dugoci tych n a e s ci gw. a Algorytm merge-sort (inaczej sortowanie przez scalanie), ktry sortuje ci g , a mo na rekurencyjnie opisa tak (rysunek 8.3): z c merge-sort(S):

je eli z

ma tylko jeden element, to koniec, ma wi cej elementw, to: e

je eli z

Rysunek 1.3: Schemat dziaania algorytmu merge-sort dla ci gu 3, 7, 5, 2, 6, 1, 8, 4 a 3752|6186 37|52 3|7 3 37 2357 12345678 7 5 25 5|2 2 6 16 1468 6|1 1 8 48 61|84 8|4 4

Algorytm merge-sort jest przykadem algorytmu typu dziel i zwyci zaj, ktrego e oglny schemat wygl da tak: a

je eli problem jest maego rozmiaru, to rozwi zujemy go bezporednio, z a s

%

czymy a

i

merge-sort(

%

merge-sort(

), ), .

%

dzielimy ci g a

na poowy

i

,

:

3 9

9

$ $ $ $

1.7. Rozwi zywanie rwna i nierwnoci rekurencyjnych a n s

9

1.7 Rozwi zywanie rwnan i nierwno rekurencyjnych a sciOszacujmy teraz czas dziaania algorytmu sortowania przez scalanie. Niech oznacza liczb operacji porwnania potrzebn do posortowania ci gu dugoci . Mamy nast puj ce e a a s e a oszacowania:

Druga zale noc wynika st d, ze aby posortowa ci g dugoci , sortujemy dwa ci gi z s a c a s a dugoci s , a nast pnie potrzebujemy porwnan, aby scali te dwie powki. Dla proe c stoty rozwa a zakadamy tutaj, ze jest pot g dwjki, z n e a dka jakiego naturalnego s . Istnieje wiele sposobw wyliczania lub szacowania funkcji okrelonej rekurencyjnie. s Przedstawimy teraz dwa najprostsze z nich: metod podstawiania i metod iteracji. e e

1.8 Metoda podstawianiaW metodzie podstawiania odgadujemy rozwi zanie albo jego oszacowanie, a nst pnie a e pokazujemy, ze jest ono poprawne. Poka emy dziaanie tej metody szacuj c zo onoc z a z s czasow merge-sortu okrelon rekurencj (1.2)-(1.3). Zgadujemy, ze a s a a

dla jakiej staej s i udowodnimy przez indukcj, ze powy sza nierwnoc zachoe z s dzi dla ka dego pot gi dwjki z e . Zachodzi ona dla . Zakadamy teraz, ze i podstawiamy do nierwnoci (1.3) s

Ostatnia nierwnoc jest speniona, je eli s z . Metoda podstawiania zostaa zastosowana w podrozdziale o funkcji Fibonacciego do pokazania, ze

2 ( % ( (

3 & "

(

)

%

2

( $ " "

$ $ $

je eli problem jest du y, to: z z dzielimy problem na podproblemy, rozwi zujemy podproblemy, a czymy rozwi zania podproblemw w rozwi zanie caego problemu. a a a

(1.2) (1.3)

(1.4)

10


ale tam odgadnito dokadne rozwi zanie. Teraz poka emy jak dojc do rozwi znia zaczynajc e a z s a a od oglniejszej postaci. Zacznijmy od rwnania

Po podzieleniu stromnami przez

, otrzymamy

Powy szy ukad jest speniony dla z

Tak wi c otrzymujemy wzr na funkcj Fibonacciego e e

(1.6)

1.9 Metoda iteracyjnaMoteda iteracyjna polega na rozwijaniu rekursji. Jako pierwszy przykad rozwa my zaz le noc. z s

Dla uproszczenia zakadamy, ze jest pot g e a rozwijamy w nast puj cy sposb: e a

, dla jakiego naturalnego. Funkcj s e

gdzie i to stae, spenia rwnanie (1.5). Sprawd my teraz, dla jakich staych z funkcja spenia zale noci z s i . Otrzymujemu ukad rwnoci s

%

Jest to rwnanie kwadratowe z dwoma rozwi zaniami a , czyli dwie funkcje oraz Zauwa my, ze tak e ka da funkcja postaci z z z

oraz speniaj rwnanie (1.5). a

%

9 $ 9

% % )%

Sprawd my, jakie funkcje postaci z rwnania (1.5) mamy

speniaj to rwnanie. Po podstawieniu do a

3

%%

D

3 4

%

%

9

%

" " "

%

%

(1.5)

%

i

A

% A

33 &3 9 9

B ( 9 9 % 33 3 D 9 B ( 33 9 &3 D 9 3 3 3 9 D 9 9 D 9 D 9 1.10. Metoda rekurencji uniwersalnej oraz z faktu, ze , czyli gdy i

Przypucmy, ze mamy rwnanie rekurencyjne s

33 3

(

Iteracj powtarzamy, a ostatni skadnik b dzie zawiera e z e Otrzymamy wtedy

Dla

Skorzystalimy tu z rwnoci s s .

1.10 Metoda rekurencji uniwersalnejJak b dziemy j rozwija , to otrzymamy e a c Jako drugi przykad rozwa my rekursj z e . Otrzymamy wtedy (1.7)

(1.8) 11 .

! "$

( (

12


gdzie i . Rwnanie takie otrzymamy szacuj c czas dziaania algorytmu a rekurencyjnego, ktry metod "dziel i rz d " dzieli problem na podproblemw rozmiaru a a z . Funkcja opisuje czas potrzebny na podzielenie problemu na podproblemy i na po czenie rozwi za podproblemw w rozwi zanie caego problemu. a a n a Na koniec podamy bez dowodu twierdzenie mwi ce jak mo na szacowa funkcj a z c e okrelon rwnaniem (1.8). s a Twierdzenie 1.1 (o rekurencji uniwersalnej) Niech nych liczb cakowitych rwnaniem rekurencyjnym b dzie okrelone dla nieujeme s

gdzie

,

i

oznacza

lub

. Wtedy

Jeeli z

, to

.

, to

1.11 Zadania

1. Napisz program, ktry rekurencyjnie oblicza: a) funkcj silnia, b) funkcj Fibonace e ciego, c) funkcj wykadnicz . e a 2. Napisz program, ktry oblicza symbol Newtona: a) wedug wzoru rekurencyjnego

Porwnaj te programy.

3. Napisz program, ktry rekurencyjnie oblicza funkcj: e

4. Oblicz

wedug rekurencyjnego algorytmu Euklidesa.

5. Wedug algorytmu czenia po cz ci gi a a a i .

" &

3 2 10)' (

3

% &$ '% $$

#

% $ "

$

"

b) wedug wzoru

'%

Jeeli z pewnej staej

dla pewnej staej .

oraz

!

Jeeli z

dla pewnej staej

, to

!

" "

( " "

!

&4

4

"

! ! ! ! 4 !" 2

!

" 9

9

$

$

" 2 !

.

dla

1.11. Zadania

13

6. Stosuj c algorytm merge-sort posortuj ci g sw: sowik, wrbel, kos, jaskka, a a kogut, dzi cio, gil, kukuka, szczygie, sowa, kruk, czubatka. e [Fragment wiersza Ptasie radio Juliana Tuwima] 7. Dana jest funkcja

8. Dana jest funkcja

Oblicz

. Co oblicza funkcja

9. Wypisz ci g przeo e potrzebnych do przeniesienia czterech kr zkw na wie ach a z n a z Hanoi. 10. Udowodnij, ze algorytm opisany w podrozdziale 8.1 wymaga a przeniesienia kr zkw.

%

3 " "

Oblicz

. Co oblicza funkcja

34 " : ? : ? przeo e do z n

9

Rozdzia 1

Struktury danych1.1 Listy, stosy i kolejkiLista to uporzdkowany ci g elementw. Przykadami list s wektory lub tablice jednowya a a miarowe. W wektorach mamy dost p do dowolnego elementu, poprzez podanie indeksu e tego elementu. Przykad 1.1 W j zyku Pascal przykadem typu tablicy jednowymiarowej jest e array[1..N] of integer. Jeeli mamy zmienn tego typu z a a:array[1..N] of integer, to tablica a zawiera N elementw a[1], a[2], ... ,a[N]. W programie moemy odwoywa si do caej tablicy, na przykad w instrukcji przypisania z c e a:=b, lub do pojedynczych elementw: a[i]:=a[i+1]. Moemy take uywa tablic dwu lub wi cej wymiarowych. Przykadem tablicy dwuwyz z z c e miarowej jest typ array[1..N,1..M] of real. Zmienna zawiera elementw. Dla kadej pary liczb z speniaj cej warunki a , element c[i,j] zawiera liczb typu real. e c:array[1..N,1..M] of real

Czasami wygodniej posugiwa si listami bez u ywania indeksw. Przykadami list, c e z ktrych mo na u ywa bez koniecznoci odwoywania si do indeksw poszczeglnych z z c s e elementw, s kolejki i stosy. a 3

,

4

Rozdzia 1. Struktury danych

Denicja 1.2 Kolejka jest list z trzema operacjami: a dodawania nowego elementu na koniec kolejki,

zdejmowania pierwszego elementu z pocz tku kolejki, a sprawdzania, czy kolejka jest pusta.

Taki sposb dodawania i odejmowania elementw jest okrelany angielskim skrtem s FIFO (rst in rst out, czyli pierwszy wszed pierwszy wyjdzie). Przykady kolejek spotykamy w sklepach, gdzie klienci czekaj cy na obsu enie tworz kolejki. a z a Denicja 1.3 Stos jest list z trzema operacjami: a dodawania elementu na wierzch stosu, zdejmowania elementu z wierzchu stosu, sprawdzania, czy stos jest pusty.

Na stosie dodajemy i odejmujemy elementy z tego samego ko nca, podobnie jak w stosie talerzy spi trzonym na stole. Talerze dokadane s na wierzch stosu i zdejmowae a ne z wierzchu stosu. Taka organizacja obsugi listy okrelana jest angielskim skrtem s LIFO (last in rst out, czyli ostatni wszed pierwszy wyjdzie). Niektrzy w ten sposb organizuj prac na biurku. Przychodzce listy ukadaj na stosie i jak maj czas, to a e a a a zdejmuj jeden list i odpowiadaj na niego. a a Przyjrzyjmy si zastosowaniu kolejki lub stosu do szukania. Przypucmy, ze szukamy e s przez telefon pewnej informacji (na przykad chcielibymy si dowiedzie , kto z naszych s e c znajomych ma pewn ksi zk ). a a e Algorytm szukania ksi zki wrd znajomych a s tworzymy STOS, ktry na pocz tku jest pusty, a wkadamy na STOS numer telefonu swojego znajomego, powtarzamy dopki na stosie s jakie numery: a s zdejmujemy z wierzchu STOSU jeden numer telefonu,

dzwonimy pod ten numer,

je eli osoba, do ktrej si dodzwonilimy, posiada szukan ksi zk , to koz e s a a e niec poszukiwa , n je eli nie posiada ksi zki, to pytamy j o numery telefonw jej znajomych, z a a ktrzy mog mie ksi zk (lub zna kogo kto j ma); ka dy nowy numer zostaje a c a e c s a z dopisany do STOSU. W powy szym algorytmie zamiast stosu mo e by u yta kolejka. z z c z

1.2. Drzewa binarne

5

1.2 Drzewa binarneDrzewo jest hierarchiczn struktur danych. Jeden element drzewa, zwany korzeniem, jest a a wyr niony. Inne elementy drzewa s jego potomstwem lub potomstwem jego potomstwa z a itd. Terminologia u ywana do opisu drzew jest mieszanin terminw z teorii grafw, boz a taniki i stosunkw rodzinnych. Elementy drzewa nazywa si wierzchokami lub w zami. e e Licie to wierzchoki nie maj ce potomstwa. Drzewa cz sto przedstawia si w formie s a e e grafu, gdzie ka dy wierzchoek jest po czony kraw dzi ze swoim ojcem i ze swoimi z a e a dzie mi (swoim potomstwem). Dla ka dego elementu w drzewie istnieje dokadnie jedna c z z scie ka prowadzca od korzenia do tego wierzchoka. a Drzewa binarne to takie drzewa, w ktrych ka dy wierzchoek ma co najwy ej dwch z z a synw. Do oznaczania wierzchokw w drzewie binarnym wygodnie jest u ywa c ci gw z oznacza zbir wszystkich skonczonych ci gw zer i jedya zer i jedynek. Niech nek. Zbir ten zawiera ci g pusty (dugoci 0), oznaczany przez . Wierzchoki drzewa a s oznaczamy w nast puj cy sposb: e a

korze drzewa oznaczamy przez n

pusty ci g, a

je eli jaki wierzchoek jest oznaczony przez , to jego synowie oznaczeni s przez z s a i .

Rysunek 1.1: Przykad drzewa binarnego

Przy takim oznaczeniu wierzchokw drzewa binarnego nazwa wierzchoka mwi z nam, jaka scie ka prowadzi od korzenia do . Na przykad, aby dojc od korzenia do s wierzchoka nalezy: pjc w prawo do , potem znowu w prawo do , a na koncu w s lewo do .

6


Je eli mamy drzewo binarne , to z ka dym wierzchokiem mo emy skojarzy z z z c poddrzewo zo one z wierzchoka i wszystkich jego potomkw. Na przykad w z drzewie przedstawionym na rysunku 1.1 wierzchoek wyznacza poddrzewo przedstawione na rysunku 1.2. Rysunek 1.2: Poddrzewo

Mwimy te , ze drzewo skada si z korzenia (wierzchoka ), z lewego poddrzewa z e i z prawego poddrzewa . z Wysokoci drzewa nazywamy dugoc (liczb kraw dzi) najdu szej scie ki w drzes a s e e z wie prowadzcej od korzenia do licia. Na przykad drzewo z rysunku 1.1 jest wysokoci a s s 3.

1.3 Drzewa wyra en arytmetycznych z Przykadem zastosowania drzew binarnych s drzewa wyra e n arytmetycznych. Najpierw a z przykad. Na rysunku 1.3 przedstawiono drzewo wyra enia z . W drzewie tym ka z dy wierzchoek ma etykiet . Licie etykietowane s staymi albo zmiennymi. Wierzchoki e s a nie b d ce licmi etykietowane s operacjami arytmetyczymi. Ka demu wierzchokowi e a s a z w drzewie mo emy przypisa wyra enie arytmetyczne wedug nast puj cej zasady: z c z e a dla lici wyra eniami s etykiety tych lici (stae lub zmienne), s z a s

Przykad 1.4 W drzewie z rysunku1.3 wierzchokowi z etykieta odpowiada wyraenie z , wierzchokowi z etykieta wyraenie z , a korzeniowi wyraenie z

Wyraenie to zawiera wi cej nawiasw, ni to si zwykle stosuje. Normalnie to samo wyz e z e raenie przedstawiamy bez nawiasw w postaci z .

( 3(

&'2$" % # '10 '% & %& & ( ( & '% )

je eli wierzchoek ma etykiet , a jego synom przypisano wyra enia z e z , to wierzchokowi przypisujemy wyra enie z

( )

!

!A@

8( 93(

476 & (

4

# $"

& 15&

(

& '%

i .

1.3. Drzewa wyra e arytmetycznych z n

7

Opuszczenie nawiasw mo e prowadzi do niejednoznacznoci lub mo e zmieni z c s z c sens wyra enia. Na przykad wyra enie z z

po opuszczeniu nawiasw stanie si identyczne z wyra eniem e z i zmieni sens. Drzewo, ktre odpowiada wyra eniu z , przedstawiono na rysunku 1.4. Rysunek 1.4: Drzewo wyra enia z

Drzewo wyra enia arytmetycznego oddaje logiczn struktur i sposb obliczania tego z a e wyra enia. z

464

(

!A

Rysunek 1.3: Drzewo wyra enia z

!A@ &

(

! 7&

(

! 7&

8


Istnieje sposb przedstawiania wyra en arytmetycznych nie wymagajcy nawiasw. z a Jest to tak zwana notacja polska lub ukasiewicza. Jest ona te nazywana notacj postxow, z a a poniewa znak operacji stoi na koncu wyra enia, za argumentami, czyli wyra enie w noz z z tacji postxowej ma posta : c pierwszy argument drugi argument operacja. Notacja, do jakiej jestemy przyzwyczajeni, nazywa si inxowa, poniewa operacja znajs e z duje si pomidzy argumentami, czyli wyra enie w notacji inxowej ma posta : e e z c pierwszy argument operacja drugi argument. Przykad 1.5 Wyraenie w postaci postxowej z

ma w postaci inxowej posta c a wyraenie z jest postxow postaci wyraenia a a z

W wyra eniach w postaci postxowej nie potrzeba nawiasw. Wartoc wyra enia mo na z s z z w sposb jednoznaczny odtworzy z samego wyra enia za pomoc nast pujacego algoc z a e rytmu.: Algorytm obliczania wartoci wyra enia w postaci postxowej. s z Dla kolejnych elementw zapisu wyra enia: z je eli element jest sta lub zmienn , to wkadamy jego wartoc na stos, z a a s

je eli element jest znakiem operacji, to: z

zdejmujemy dwie wartoci z wierzchu stosu, s wykonujemy operacj na tych wartociach, e s

obliczon wartoc wkadamy na wierzch stosu, a s

po przejciu caego wyra enia jego wartoc znajduje si na stosie. s z s e

Przykad 1.6 Zademonstrujmy ten algorytm na przykadzie wyraenia: z

Zamy, ze zmienne maj nast puj ce wartoci: z a e a s , , , , . Ponisza tabela przedstawia zawartoc stosu po przeczytaniu kolejnych elementw wyraz s zenia.

4

8

3

!A@

3

1.4. Przeszukiwanie drzew binarnych czytany element a b c stos 3, 3, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 9, 9, 4, 9, 4, 2, 9, 2, 11.

9

1.4 Przeszukiwanie drzew binarnychZajmiemy si teraz dwoma algorytmami przeszukiwania drzew (binarnych): przeszukie wanie w g b i wszerz. R ni si one rodzajem u ytych struktur danych. W algorytmie a z a e z przeszukiwania w g b u yjemy stosu, a w algorytmie przeszukiwania wszerz u yjemy a z z kolejki.

1.4.1 Przeszukiwanie drzewa w gab Algorytm przeszukiwania drzewa w g b. a Dane wejciowe: drzewo . s

odwiedzamy korze n odwiedzony,

i wkadamy go na STOS; zaznaczamy

dopki STOS nie jest pusty, powtarzamy: je eli jest wierzchokiem na wierzchu STOSU, to sprawdzamy, czy istnieje z syn wierzchoka , ktry nie by jeszcze odwiedzony, najpierw sprawdzamy , a potem . je eli takie si znajdzie, to odwiedzamy , wkadamy go na wierzch STOz e SU i zaznaczamy jako wierzchoek odwiedzony,

je eli takiego nie ma, to zdejmujemy z choka b d cego na stosie pod spodem. e a

ze STOSU i cofamy si do wierze

Przykad 1.7 Ponisza tabela pokazuje jaki wierzchoek jest odwiedzany i jaka jest zaz wartoc stosu po kadej kolejnej iteracji p tli algorytmu, gdy przeszukiwane jest drzewo s z e z rysunku 1.1.

d e

jako wierzchoek

10

Rozdzia 1. Struktury danych Wierzchoek 0 00 0 01 0 1 10 1 11 110 11 111 11 1

STOS ,0 ,0,00 ,0 ,0,01 ,0

,1 ,1,10 ,1 ,1,11 ,1,11,110 ,1,11 ,1,11,111 ,1,11 ,1

W metodzie przeszukiwania w g b po ka dym kroku algorytmu wierzchoki znajdujce a z a si na stosie tworz scie k od wierzchoka wejciowego do wierzchoka aktualnie ode a z e s wiedzanego. Zauwa my, ze nazwa ka dego wierzchoka na stosie jest preksem (przedz z rostkiem) nazwy nast pnego wierzchoka. Dlatego wystarczy przechowywa ostatnie bity e c wierzchokw na stosie. Nie jest te konieczne zaznaczanie, ktre wierzchoki byy ju z z odwiedzone, wystarczy zauwa y , ze: z c je eli przyszlimy do wierzchoka od jego ojca, to zaden z synw nie by jeszcze z s odwiedzany,

je eli przyszlimy do wierzchoka z s odwiedzony by tylko lewy syn,

od lewego syna

(po zdj ciu e

Oto prostsza wersja algorytmu przeszukiwania w g b: a Algorytm przeszukiwania drzewa w g b (druga wersja). a Dane wejciowe: drzewo . s odwiedzamy korze i wkadamy go na STOS, n dopki STOS nie jest pusty, powtarzamy:

Je eli z

jest aktualnie odwiedzanym wierzchokiem i

Je eli ostatni operacj na stosi byo wo enie nowego elementu, to: z a a z Je eli z

ale

, to przejd do z

Je eli z

, to przejd do z

i w 0 na stos, z i w 1 na stos, z

je eli przyszlimy do wierzchoka od prawego syna z s odwiedzeni ju byli obaj synowie. z

(po zdj ciu ze stosu), to e

ze stosu), to

1.4. Przeszukiwanie drzew binarnych Je eli z oraz ojca wierzchoka .

11

Je eli ostatni operacj na stosie byo zdj cie 0 to: z a a e Je eli z choka .

, to zdejmij ostatni element ze stosu i przejd do ojca wierzz

Je eli ostatni operacj na stosie byo zdj cie 1 to: zdejmij ostatni element ze stosu z a a e i przejd do ojca wierzchoka . z

Przykad 1.8 Ponisza tabela pokazuje jaki wierzchoek jest odwiedzany i jaka jest zaz wartoc stosu po kadej kolejnej iteracji p tli drugiego algorytmu, gdy przeszukiwane jest s z e drzewo z rysunku 1.1. Wierzchoek 0 00 0 01 0 1 10 1 11 110 11 111 11 1

,0 ,0,0 ,0 ,0,1 ,0

,1 ,1,0 ,1 ,1,1 ,1,1,0 ,1,1 ,1,1,1 ,1,1 ,1

Zauwamy, ze etykiety na stosie z czone razem tworz nazw aktualnie odwiedzanego z a a e wierzchoka.

1.4.2 Przeszukiwanie drzewa wszerzNast pny algorytm przeszukiwania drzew u ywa kolejki jako pomocniczej struktury dae z nych. Algorytm przeszukiwania wszerz. Dane wejciowe: drzewo . s

odwiedzamy korze drzewa n

i wkadamy go do KOLEJKI.

Je eli z

, to przejd do z

, to zdejmij ostatni element ze stosu i przejd do z

i w 1 na stos, z

STOS

12

Rozdzia 1. Struktury danych dopki KOLEJKA nie jest pusta, powtarzamy: bierzemy jeden wierzchoek z pocz tku KOLEJKI, a

odwiedzamy wszystkiech synw wierzchoka kolejki.

i wkadamy je na koniec

Poni ej przedstawiono odwiedzane wierzchoki oraz zawartoc kolejki po ka dej kolejnej z s z iteracji p tli algorytmu przeszukiwania wszerz drzewa przedstawionego na rysunku 1.1. e wierzchoki 0,1 00,01 10,11 110,111

KOLEJKA 0,1 1,00,01 00,01,10,11 01,10,11 10,11 11 110,111 111

W metodzie przeszukiwania wszerz wierzchoki s przeszukiwane w kolejnoci od wierza s chokw b d cych najbli ej wierzchoka pocztkowego do wierzchokw b d cych dalej. e a z a e a

1.4.3 Rekurencyjne algorytmy przeszukiwania drzewIstnieje prosty i ciekawy sposb uzyskiwania postaci postxowej wyra enia arytmetyczz nego z drzewa tego wyra enia. Aby uzyska posta postxow wyra enia, nale y przez c c a z z szuka drzewo tego wyra enia w pewien okrelony sposb, zwany przeszukiwaniem poc z s storder. Przeszukiwanie postorder. Aby przeszuka (pod)drzewo maj ce swj korzen w wierzc a choku :

przeszukujemy jego lewe poddrzewo (z korzeniem w

przeszukujemy jego prawe poddrzewo (z korzeniem w

odwiedzamy wierzchoek

(korzen drzewa).

Algorytm ten mo emy krtko przedstawi w schemacie: z c lewe poddrzewo prawe poddrzewo korzen. Przykad 1.9 Jeeli przeszukamy drzewo z rysunku 1.4 i wypiszemy po kolei etykiety odz wiedzanych wierzchokw, to otrzymamy ci g: a

!A@ &

ktry jest postaci postxow wyraenia a a z

.

(

)

), ),

1.5. Drzewa poszukiwa binarnych n

13

Istniej jeszcze dwie inne pokrewne metody przeszukiwania drzew binarnych: inorder a i preorder: Przeszukiwanie inorder. Aby przeszuka (pod)drzewo maj ce swj korzen w wierzchoc a ku :



(korzen drzewa),


Przeszukiwanie preorder. Aby przeszuka (pod)drzewo maj ce swj korzen w wierzc a choku :


(korzen drzewa), ),



Przykad 1.10 Jeeli przeszukamy drzewo z rysunku 1.4 metod inorder, to etykiety utworz z a a ci g: a czyli wyraenie w postaci inxowej, ale bez nawiasw. Przeszukanie tego samego drzewa z metod preorder da ci g etykiet: a a Jest to tak zwana posta prexowa wyraenia. Znak operacji wyst puje w niej przed arc z e gumentami. Podobne jak w postaci postxowej, posta prexowa da si jednoznacznie c e rozkada i nie wymaga nawiasw. c

1.5 Drzewa poszukiwan binarnychDrzewa s podstawow struktur przy budowie du ych baz danych. Jed z najprostszych a a a z a takich struktur s drzewa poszukiwan binarnych. Aby utworzy drzewo p

Matematyka dyskretna

Documents

Transcript of Matematyka dyskretna