ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MD_1_zbiory.pdf · Kenneth...

ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE

Wykłady z matematyki dyskretnejdla informatyków i teleinformatyków

UTP Bydgoszcz

01

(Wykłady z matematyki dyskretnej) ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE 01 1 / 49

Literatura

Korzystałem, między innymi, z podręczników:

Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna,PWN, Warszawa 2003

Zbigniew Palka, Andrzej Ruciński, Wykłady z kombinatoryki,WNT, Warszawa 2004

Andrzej Szepietowski, Matematyka dyskretna, WUG, 2004

Wiesław Zech, Matematyka dyskretna (w przygotowaniu)

oraz z materiałów umieszczonych w Internecie, na przykład

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=

Matematyka dyskretna 1/Wykład 1: Indukcja

oraz wykłady kolejne


Zbiory

Definicja.Zbiory A oraz B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x jeślix ∈ A, to x ∈ B oraz jeśli x ∈ B, to x ∈ A.

Bardziej formalny zapis:A = B ⇔ ∀x

(x ∈ A⇔ x ∈ B

).

Bardziej formalne podejście: jest to aksjomat ekstensjonalności (równości)- jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla: dwa zbiory złożone z tych samychelementów są identyczne.

Przykład.a, b, 3 = 3, b, a = a, a, 3, 3, 3, a, b, b, b, b, b, a.

Uwaga.Nie są istotne: kolejność i krotność elementów danego zbioru.


Podzbiory

Definicja.Zbiór pusty, to zbiór niezawierający żadnego elementu, oznaczany ∅.

Definicja.E ⊆ F ⇔ ∀x

(x ∈ E ⇒ x ∈ F

).

Oznaczenie. Pisząc ⊂ mamy na myśli ⊆.

Jeśli A ⊆ B (czyli A jest podzbiorem B) i jeśli A 6= B, to piszemy A ( B imówimy, że A jest podzbiorem właściwym B.

Przykład. ∀A ∅ ⊆ A, gdyż ∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A

).

Przykład. a ( a, b, b, a ⊆ a, b ( a, b, 3.

Twierdzenie. Y = Z ⇔ Y ⊆ Z ∧ Z ⊆ Y .


Moc zbioru

Oznaczenie. Ilość elementów (skończonego) zbioru A oznaczamy ‖A‖.

Przykład. Gdy A = a, b, 3, to ‖A‖ = 3.

Definicja. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorempotęgowym zbioru A i oznaczamy 2A.

Twierdzenie. Gdy ‖A‖ = n, to ‖2A‖ = 2n.

Przykłady.‖∅‖ = 0,2∅ = ∅, ‖2∅‖ = 20 = 1,2∅ = ∅, ∅, ‖2∅‖ = 21 = 2,2a,b,3 = ∅, a, b, 3, a, b, a, 3, b, 3, a, b, 3,‖2a,b,3‖ = 23 = 8.


Operacje na zbiorach

Załóżmy, że A oraz B są podzbiorami zbioru X .

Suma zbiorów: A ∪ B = x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B.

Iloczyn (mnogościowy) zbiorów, czyli część wspólna:A ∩ B = x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B.

Różnica zbiorów: A \ B = x ∈ X | x ∈ A ∧ x /∈ B.

Różnica symetryczna zbiorów: A − B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Dopełnienie (uzupełnienie) zbioru A do zbioru (przestrzeni, uniwersum) X :Ac = X \ A.

Iloczyn kartezjański zbiorów: A× B = (a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B.


Oznaczenia

Zbiór liczb naturalnych N = 0, 1, 2, . . . ,(przypomnienie: kolejność elementów w zbiorze nie jest istotna),

zbiór liczb całkowitych Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,

zbiór liczb rzeczywistych R,

zbiór liczb wymiernych Q,

zbiór liczb całkowitych dodatnich (zbiór liczb naturalnych dodatnich)Z+ = N+ = N \ 0.


Przykład.

Jeśli A = 0, 1, 3, B0, 2, X = 0, 1, 2, 3, 4, to

A ∪ B = 0, 1, 2, 3,A ∩ B = 0,A \ B = 1, 3,B \ A = 2,A − B = 1, 2, 3,Ac = 2, 4,Bc = 1, 3, 4,A× B = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2),B × A = (0, 0), (2, 0), (0, 1), (2, 1), (0, 3), (2, 3).


Przykład

Jeśli A = 0, B = 0, 1, to

A× B = (0, 0), (0, 1)

oraz

2A×B = ∅, (0, 0), (0, 1), (0, 0), (0, 1).


Iloczyn kartezjański

Elementy zbioru A× B to pary uporządkowane (a, b).

Uwaga.a, b = b, a, ale (a, b) 6= (b, a) (o ile a 6= b).c , c = c, ale (c , c) to nie to samo co c .

Zatem,(a, b) = (c , d)⇔ a = c ∧ b = d .


A = 0, 1, 3, B0, 2

Przedstawienie iloczynów A× B oraz B × A w postaci tabeli:

A× B 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

B × A 0 1 30 (0,0) (0,1) (0,3)2 (2,0) (2,1) (2,3)

Twierdzenie. Jeśli A i B są zbiorami o skończonej liczbie elementów, to‖A× B‖ = ‖A‖ · ‖B‖.


Załóżmy, że I ⊆ N oraz że Ai ⊆ X dla i ∈ I

Suma indeksowanej rodziny zbiorów:⋃i∈I

Ai = x ∈ X | ∃i∈I x ∈ Ai.

Iloczyn (mnogościowy) indeksowanej rodziny zbiorów:⋂i∈I

Ai = x ∈ X | ∀i∈I x ∈ Ai.

Iloczyn kartezjański trzech zbiorów A,B,C :

A× B × C = (a, b, c)| a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C.

Podobnie definiuje się iloczyn (produkt) kartezjański większej liczbyzbiorów.(Wykłady z matematyki dyskretnej) ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE 01 12 / 49

FUNKCJA f : X → Y

Definicja.Funkcja f odwzorowujaca zbiór X w zbiór Y jest to przyporzadkowaniekażdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

Yy2

y1

y3X x3

x1x2

Zbiór X to dziedzina funkcji f , oznaczana dom(f ) lub D(f ).

Zbiór wszystkich wartości funkcji f (przeciwdziedzina) jest oznaczanyim(f ) lub rg(f ), lub rng(f ).


Funkcje

Definicja. Funkcje f : X → Y nazywamy injekcją (różnowartościowa),gdy

∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Y

y1

y2X x2

x1

lub, równoważnie


∀x1,x2∈X f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.


prawo kontrapozycji: (p ⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)


∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Y

y1

y2X x2

x1

lub, równoważnie


∀x1,x2∈X f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.


Funkcja odwrotna

Definicja.Funkcje f : X → Y nazywamy:

surjekcją (funkcją „na”), gdy

∀y∈Y ∃x∈X y = f (x),

Y

y1

y2X x3

x1x2

bijekcją, gdy jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

Y

y1

y2X x2

x1


Funkcja odwrotna

Y

y1

y2X x2

x1

Definicja. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest bijekcją. Funkcjaodwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f −1 : Y → X określonanastepujaco:

f −1(y) = x ⇔ y = f (x).

Wniosek.f −1

[f (x)

]= x oraz f

[f −1(y)

]= y .


Obraz i przeciwobraz zbioru

Definicja.Niech f : X → Y , A ⊆ X , B ⊆ Y .

Obrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy zbiór

f [A] = y ∈ Y | ∃a∈A y = f (a).

PRZYKŁAD. Obrazem zbioru A = x1, x2 jest f [A] = y3.

Yy2

y1

y3X x3

x1x2


Obraz i przeciwobraz zbioru

Definicja.Niech f : X → Y , A ⊆ X , B ⊆ Y .

Przeciwbrazem zbioru B względem funkcji f nazywamy zbiór

f←[B] = x ∈ X | ∃b∈B b = f (x).

PRZYKŁAD.Przeciwobrazem zbioru B = y1, y3 jest f←[B] = x1, x2, x3.

Yy2

y1

y3X x3

x1x2


Funkcje b c oraz d eDEFINICJA. Funkcja floor (podłoga) (dla matematyków: część całkowita,cecha lub entier) b c : R→ Z dowolnej liczbie rzeczywistej xprzyporządkowuje największą liczbę całkowitą nie większą od x , czyli

bxc = maxz ∈ Z| z ¬ x.

Mantysa liczby rzeczywistej x to x − bxc

Definicja. Funkcja ceil (sufit) d e : R→ Z dowolnej liczbie rzeczywistejx przyporządkowuje najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą niż x , czyli

dxe = minz ∈ Z| z x.

Przykłady.b−4c = d−4e = −4b8.2c = 8, d8.2e = 9bπc = 3, dπe = 4b−πc = −4, d−πe = −3(Wykłady z matematyki dyskretnej) ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE 01 20 / 49

Ciągi liczbowe

Ciąg to funkcjaf : N→ R

(lub f : M → R, gdzie M = m,m + 1,m + 2, · · · dla dowolnej liczbynaturalnej m). Wartość f (n) zwykle zapisujemy an lub a[n] i nazywamyn-tym wyrazem ciągu.

Przykład.

SILNIA(n) = n! = 1 · 2 · . . . · n =n∏

k=1

k

dla n 1; przyjmujemy 0! = 1.

Zatema0 = 0! = 1, a1 = 1! = 1, a2 = 2! = 2, a3 = 3! = 6, a4 = 4! = 24, . . . .


y = log2 x , y =√x , y = x , y = x2, y = 2x

x

y

0 1

1


Przykłady jak szybko rosną wyrazy

w danych ciągach (część liczb w tabeli to przybliżenia):

n log2 n√n n2 2n n! nn

0 - 0 0 1 1 -1 0 1 1 2 1 12 1 1.41 4 4 2 43 1.58 1.73 9 8 6 27

10 3.32 3.16 100 1024 3.6 · 106 1010

102 6.64 10 104 1.27 · 1030 9.3 · 10157 10200

103 9.97 31.62 106 1.07 · 10301 4.02 · 102567 103000

104 13.29 100 108 2 · 103010 2.85 · 1035659 1040000

105 16.61 316.2 1010 1030103 2.8 · 10456573 10500000

106 19.93 1000 1012 9.9 · 10301029 8.26 · 105565708 106000000


Notacja „o duże”, „omega duże” oraz „theta duże”

Załóżmy, że f (n) oraz g(n) są ciągami liczb rzeczywistych nieujemnych.Piszemy

f (n) = O(g(n)),

gdy istnieje stała dodatnia C taka, że f (n) ¬ C · g(n) dla dostateczniedużych n.

Piszemyf (n) = Ω(g(n)),

gdy istnieje stała dodatnia C taka, że f (n) C · g(n) dla dostateczniedużych n.

Piszemyf (n) = Θ(g(n)),

gdy istnieją stałe dodatnie C1 oraz C2 takie, żeC1 · g(n) ¬ f (n) ¬ C2 · g(n) dla dostatecznie dużych n.


Notacja „o duże”, „omega duże” oraz „theta duże”

Przykład.Gdy an = 5n3 + 3n2 + (−1)n, to an = O(n3) = Ω(n3) = Θ(n3).

Przykład.Gdy bn = n + 1

n + 2n + · · ·+ n

n , to bn = O(n) = Ω(n) = Θ(n).

Przykład.Gdy cn = 1 + 1

2 + 13 + · · ·+ 1

n , to cn = Θ(log2 n).

Przykład.Gdy dn = n + n

2 + n3 + · · ·+ n

n , to dn = Θ(n · log2 n).

Oczywiście nie jest tu istotna podstawa logarytmu (większa niż 1), gdyżloga x = 1

logb a· logb x .


Notacja asymptotyczna, przykład

Algorytm sortowania bąbelkowego - czas działania to O(n2).

Dane wejściowe: ciąg a1, a2, . . . , an.Dane wyjściowe: elementy ciągu w porządku niemalejącym.

Instrukcje (1), (2) wykonaj n − 1 razy:1 weź pierwszy element ciągu;2 instrukcje (2.1), (2.2), (2.3) wykonaj n − 1 razy:

1 porównaj wskazany element z elementem następnym;2 jeżeli porównywane elementy są w niewłaściej kolejności, to je zamień

miejscami;3 weź następny element.


Przykład: algorytm sortowania bąbelkowego, czas O(n2).

Kolejne wiersze ilustrują ciąg po kolejnych porównaniach, czerwonymkolorem zaznaczony jest element aktualnie wskazany, niebieskim element zktórym porównujemy, zielonym największy element na końcu pętli:

4 5 2 34 5 2 34 2 5 34 2 5 34 2 3 54 2 3 52 4 3 52 4 3 52 3 4 52 3 4 52 3 4 5


Relacje

Definicja. Dla dowolnych zbiorów X oraz Y relacją na zbiorze X × Ynazywamy dowolny podzbiór % zbioru X ×Y . Czasami będziemy pisać x%yzamiast (x , y) ∈ %.

Uwaga. Jeżeli relacja % ⊆ X × Y spełnia warunek: dla każdego x ∈ Xistnieje dokładnie jeden y ∈ Y taki, że (x , y) ∈ %, to relacja % jest funkcjądzialającą z X do Y przyporządkowującą każdemu x ∈ X taki y ∈ Y , że(x , y) ∈ %.

Przykład. Będę zainteresowany (wpisując do systemu USOS) relacjąskładajacą się z uporządkowanych par, których poprzednikami są studenci,a następnikami oceny z egzaminu (I termin) z matematyki dyskretnej.Relację tę możemy traktować jako funkcję przyporządkowującą studentowiocenę z egzaminu.


X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)

Wersja zapisu w tabeli:

X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacjami są, na przykład, podzbiory:


X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacjami są, na przykład, podzbiory: %1 = (0, 0), (0, 2), (1, 2), (3, 0) .

Relacje będące funkcjami f : X → Y są zaznaczone kolorem niebieskim.


X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacjami są, na przykład, podzbiory: %2 = (1, 0), (3, 2) .



X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacjami są, na przykład, podzbiory: %3 = (0, 2), (1, 0), (3, 2) .



X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacjami są, na przykład, podzbiory: %4 = (0, 0), (1, 0), (3, 0) .



X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 20 (0,0) (0,2)1 (1,0) (1,2)3 (3,0) (3,2)

Relacją pełną (uniwersalną) jest U = X × Y .


X = 0, 1, 3, Y = 0, 2

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)


X × Y 0 2013

Relacją jest relacja pusta ∅.


Graficzna reprezentacja relacji

X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)

X

310

Y

2

0



X × Y = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2)

X

310

Y

2

0


Relacja odwrotna

Definicja.Załóżmy, że % jest relacją na zbiorze X × Y , czyli % ⊆ X × Y . Relacjąodwrotną %← (oznaczną także %−1) jest relacja na zbiorze Y × Xokreślona:

%← = (y , x) ∈ Y × X | (x , y) ∈ %.


Relacja w zbiorze

Definicja. Gdy X = Y , to % ⊆ X × X nazywamy relacją w zbiorze X .

Obserwacja. Relacje w „małych” zbiorach łatwo narysować.

Przykład. W zbiorze X = 0, 1, 2, 4 określamy relację % następująco:(i , j) ∈ % wtedy i tylko wtedy, gdy i < j .

0

1 2

4


PRZYPOMNIENIE.Gdy X = Y , to % ⊆ X ×X nazywamy relacją w zbiorze X .

Definicja.Relacja % w zbiorze X jest zwrotna, gdy (x , x) ∈ % dla wszystkich x ∈ X .

Przykład. X = a, b, c

X × X a b ca (a,a) (a,b) (a,c)b (b,a) (b,b) (b,c)c (c,a) (c,b) (c,c)

Relacja identyczności idX = (a, a), (b, b), (c , c) jest relacją zwrotną.


Relacja identyczności idX = (a, a), (b, b), (c , c) wzbiorze X = a, b, c jest relacją zwrotną.

X × X a b ca (a,a)b (b,b)c (c,c)

Graf tej relacji:

ab

c


Relacja % w zbiorze X jest:zwrotna, gdy (x , x) ∈ % dla wszystkich x ∈ X .

Przykład. Ta relacja %z = (a, a), (a, b), (b, b), (c, c) też jest relacjązwrotną.

X × X a b ca (a,a) (a,b)b (b,b)c (c,c)

Graf tej relacji:

ab

c


Relacja symetryczna

Definicja. Relacja % w zbiorze X jest: symetryczna, gdy(x , y) ∈ % implikuje (y , x) ∈ % dla wszystkich x , y ∈ X .


X × X a b ca (a,a) (a,c)b (b,b) (b,c)c (c,a) (c,b)

ab

c


Relacja antysymetryczna

Definicja. Relacja % w zbiorze X jest: antysymetryczna, gdy(x , y) ∈ % i (y , x) ∈ % implikuje x = y dla wszystkich x , y ∈ X .


X × X a b ca (a,a) (0,0) (a,c)b (b,a)c (c,c)

ab

c


Relacja spójna

Definicja. Relacja % w zbiorze X jest: spójna, gdy

∀x∈X ,y∈X (x , y) ∈ % ∨ (y , x) ∈ %.


X × X a b ca (a,a) (a,b)b (b,b) (b,c)c (c,a) (c,b) (c,c)

ab

c


Relacja przechodnia

Definicja. Relacja % w zbiorze X jest: przechodnia, gdy

∀x∈X ,y∈X ,z∈X((x , y) ∈ % ∧ (y , z) ∈ %

)⇒ (x , z) ∈ %.


X × X a b ca (a,a) (a,b) (a,c)b (b,b) (b,c)c (c,c)

ab

c


RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI

Definicja.Relacja w zbiorze X jest relacją równoważności, gdy jest jednocześnie:zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Przykład.Relacja „=” w zbiorze N jest relacją równoważności.


Zbiory przeliczalne

Definicja.Dwa zbiory są równoliczne (mają tę samą moc), gdy istnieje bijekcjamiędzy tymi zbiorami.

Zbiór nazywamy przeliczalnym*, gdy albo jest skończony (moc zbiorun-elementowego wynosi n), albo równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych(mówimy wtedy, że moc tego zbioru to ℵ0).

MATEMATYKA DYSKRETNAzajmuje się badaniem struktur przeliczalnych.

*czasami za zbiór przeliczalny uważa się zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych,a „nasz” zbiór nazywa się co najwyżej przeliczalnym.


DODATEK. ‖Q+‖ = ℵ0, ‖Q‖ = ℵ0, ‖R‖ > ℵ0

Fakt. Zbiór X jest przeliczalny, jeśli jego elementy możemy ustawić w ciąg.

Uzasadnienie.Odpowiednia bijekcja liczbie 1 przyporządkuje pierwszy wyraz ciągu, liczbie 2 drugiwyraz ciągu, liczbie 3 trzeci wyraz ciągu, ...

Obserwacja. Zbiór Q+ liczb wymiernych dodatnich jest przeliczalny.

Uzasadnienie. Ustawimy te liczby w ciąg (niektóre wyrazy tego ciągu się powtarzają, aleto nie szkodzi). Najpierw pojawi się ułamek, a którym suma licznika i mianownika to 2,potem ułamki o sumie licznika i mianownika 3, potem o sumie, kolejno, 4, 5, 6, 7, 8,...Oczywiście wystapią w tym ciągu wszystkie liczby z Q+ (każda taka liczba ma określonąsumę licznika i mianownika).

11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,33,42,51,16,25,34,43,52,61,17,26,35,44,53,62,71, ...

Obserwacja. Zbiór Q liczb wymiernych jest przeliczalny.Uzasadnienie. Jeśli liczby z Q+ ustawimy w ciąg w1,w2,w3, . . . ,to liczby z Q możemy ustawić w ciąg 0,+w1,−w1,+w2,−w2,+w3,−w3, . . . .


DODATEK. ‖Q+‖ = ℵ0, ‖Q‖ = ℵ0, ‖R‖ > ℵ0

Obserwacja.Przedział (0, 1) nie jest przeliczalny.

Uzasadnienie.Przypuśćmy, że WSZYSTKIE liczby z przedziału (0, 1) można ustawić w ciągx1, x2, x3, x4, . . . . Zapiszmy te liczby jako ułamki dziesiętne (na przykład13 = 0, 333333333333 . . . ,

14 = 0, 25000000000 . . . ).

x1 = 0, a11a12a13a14 . . . , x2 = 0, a21a22a23a24 . . . ,x3 = 0, a31a32a33a34 . . . , x4 = 0, a41a42a43a44 . . . , . . .

Niech a1 =

9, gdy a11 6= 91, gdy a11 = 9

, a2 =

9, gdy a22 6= 91, gdy a22 = 9

, a3 =

9, gdy a33 6= 91, gdy a33 = 9

i tak dalej.

Liczba a = 0, a1a2a3 . . . ∈ (0, 1). Oczywiście a 6= x1 (obie liczby mają inną cyfrę „poprzecinku”, także a 6= x2 (obie liczby mają inną cyfrę na drugim miejscu „poprzecinku”), a 6= x3 (obie liczby mają inną cyfrę na trzecim miejscu „po przecinku”), ...Oznacza to, że a ∈ (0, 1) nie jest ŻADNYM wyrazem ciągu − otrzymaliśmy sprzeczność.Wniosek. Zbiór R nie jest przeliczalny.


ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MD_1_zbiory.pdf · Kenneth...

Documents

Transcript of ZBIORY, RELACJE, FUNKCJE - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MD_1_zbiory.pdf · Kenneth...