student- 3/Matematyka Dyskretna [MDA]/MDA... · PDF fileZasady zaliczania kursu z...

Click here to load reader

  • date post

    28-Feb-2019
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of student- 3/Matematyka Dyskretna [MDA]/MDA... · PDF fileZasady zaliczania kursu z...

Zasady zaliczania kursu z matematyki dyskretnej I-MDA-DA na studiach dziennych w sem. zimowym roku akad. 2011/12

1. Wystawiana jest jedna ocena kocowa z caego kursu na podstawie sumy punktw uzyskanych przez studenta w trakcie semestru i na egzaminie kocowym w sesji zimowej. Ocena wystawiana jest wycznie studentom zapisanym na kurs.

2. W cigu semestru przeprowadzane s na wiczeniach 3 kolokwia: na 4, 8 i 13 zajciach. Pierwsze dwa sprawdzaj opanowanie zagadnie kombinatorycznych a trzecie z teorii grafw.

3. Kade kolokwium trwa 2 godz. akademickie, skada si z nie wicej ni 10 zada i oceniane jest w skali od 0 do 16 punktw (pierwsze) lub od 0 do 17 punktw (dwa pozostae).

4. Punkty z trzech kolokwiw s sumowane i warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie na wiczeniach przynajmniej 26 punktw, co nazywane jest zaliczeniem wicze. Zatem nie uzyskanie przez studenta zaliczenia wicze oznacza brak moliwoci zaliczenia caego kursu.

5. Kolokwium poprawkowe jest organizowane w ostatnim tygodniu zaj semestru zimowego w wyznaczonym dodatkowym terminie. Na kolokwium poprawkowym student moe wybra do poprawy zakres tematyczny jednego z trzech kolokwiw przeprowadzanych na wiczeniach. Punkty uzyskane na kolokwium poprawkowym zastpuj punkty uzyskane na wybranym do poprawy regularnym kolokwium i staj si skadnikiem sumy decydujcej o dopuszczeniu do egzaminu (dotyczy to rwnie studentw, ktrzy przystpiliby do kolokwium poprawkowego po uzyskaniu na wiczeniach 26 lub wicej punktw).

6. Kolokwium poprawkowe trwa 2 godz. akademickie, skada si z nie wicej ni 10 zada i oceniane jest w tej samej skali, co wybrane do poprawy kolokwium regularne. Uzyskanie po kolokwium poprawkowym sumy przynajmniej 26 punktw dopuszcza do egzaminu kocowego. Brak zaliczenia wicze po kolokwium poprawkowym oznacza niezaliczenie kursu z przedmiotu.

7. Egzamin w sesji trwa 2,0 godz. zegarowe, skada si z nie wicej ni 12 zada i oceniany jest w skali od 0 do 50 punktw. Zatem maksymalna suma punktw, ktra jest podstaw wystawienia oceny kocowej z kursu wynosi 16+17+17+50=100.

8. Punkty uzyskane na wiczeniach i punkty z egzaminu s sumowane i na podstawie tej sumy wystawiana jest ocena kocowa z kursu wg skali: 51 60 pkt ocena 3,0, 61 70 pkt ocena 3,5, 71 80 pkt ocena 4,0, 81 90 pkt ocena 4,5, 91 100 pkt ocena 5,0.

9. Studentom, ktrzy przystpuj do egzaminu dwukrotnie (w sesji s dwa terminy) wystawia si ocen kocow na podstawie liczby punktw uzyskanych w II terminie.

10. Uzyskanie po egzaminie w sumie mniej ni 51 punktw oznacza niezaliczenie caego kursu.

11. Regulaminowy termin egzaminu poprawkowego jest w sesji wrzeniowej. Zaliczenie wicze pozostaje warunkiem dopuszczenia do egzaminu poprawkowego. Wynik egzaminu poprawkowego uwzgldniany jest w ocenie kocowej z kursu w taki sam sposb, jak wynik egzaminu podstawowego.

J. Sikorski (prowadzcy kurs)

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 1 / 6

MATEMATYKA DYSKRETNA

Program wykadu dla studiw stacjonarnych w semestrze zimowym:

KOMBINATORYKA wykady 1. 8.

Literatura:

M.Libura, J.Sikorski Wykady z matematyki dyskretnej. Cz.I: Kombinatoryka Wydawnictwo WSISiZ (2003)

Z.Palka, A.Ruciski Wykady z kombinatoryki WNT (1998, 2004)

W.Lipski Kombinatoryka dla programistw WNT (1989, 2004)

K.Ross, C.Wright Matematyka dyskretna PWN (1996, 2003)

R.Graham, D.Knuth, O.Patashnik Matematyka konkretna PWN (2002)

GRAFY i SIECI wykady 9. 15.

Literatura:

M.Libura, J.Sikorski Wykady z matematyki dyskretnej. Cz.II: Teoria grafw Wydawnictwo WSISiZ (2002)

N.Deo Teoria grafw i jej zastosowania w technice PWN (1980)

R.Wilson Wprowadzenie do teorii grafw PWN (2000)

K.Ross, C.Wright Matematyka dyskretna PWN (1996)

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 2 / 6

NOTACJA I POJCIA PODSTAWOWE

Funktory zdaniotwrcze:

- lub (alternatywa, suma logiczna)

- i (koniunkcja, iloczyn logiczny)

- nie (negacja)

- jeli ..., to ... (implikacja)

- ... wtedy i tylko wtedy, kiedy ... (rwnowano)

Kwantyfikatory:

- istnieje (kwantyfikator szczegowy, egzystencjalny)

- dla kadego (kwantyfikator oglny)

Zbiory:

- zbir liczb rzeczywistych, - zespolonych,

= { 0, 1, 2, ... } - zbir liczb naturalnych,

= { ..., 2, 1, 0, 1, 2, ... } - zbir liczb cakowitych,

= { 0, 1} - zbir binarny, - zbir pusty,

{ a1, ..., an } - zbir skadajcy si z n elementw a1, ..., an

{ a } - zbir jednoelementowy zawierajcy tylko a,

{ x X : W(x) } - zbir tych elementw zbioru X, dla ktrych

funkcja zdaniowa W(x) ma warto prawda,

- suma zbiorw, - iloczyn zbiorw, \ - rnica zbiorw,

- rnica symetryczna zbiorw: A B = (A \ B) (B \ A)

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 3 / 6

C = A B

A B

C = A B

B

C = A B\ C = A B

A B

A A B

- zawieranie si zbiorw: A B (A jest zawarty w B)

- waciwe zawieranie si: A B

(A jest podzbiorem waciwym zbioru B) A: A A, ale A A

(A) - zbir wszystkich podzbiorw zbioru A;

A: A A: (A) oraz A: A (A)

| A | - liczno (moc) zbioru A, np. | {a1, a2, a3} | = 3

( a, b ) - para uporzdkowana: a - poprzednik, b - nastpnik

A B - iloczyn kartezjaski zbiorw A i B:

A B = { (a, b) : a A b B }

( a1, ..., an ) - n-tka uporzdkowana (wektor n-elementowy)

A1 ... An - iloczyn kartezjaski zbiorw A1, ..., An A1 ... An = { ( a1, ..., an ) : a1 A1 ... an An }

Funkcje i operacje:

Q =

falszywejest Q zdanie jesli 0,

prawdziwejest Q zdanie jesli , 1 - binarna warto zdania,

{ }xyZyx = :max - podoga; { }xyZyx = :min - sufit

yxyxyx =mod - modulo, czyli reszta z dzielenia x przez y x, y , y 0

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 4 / 6

Relacja binarna

R A B

(relacja dwuczonowa w iloczynie kartezjaskim zbiorw A i B)

A

B

A Bx( , ) x y R

Relacja binarna na zbiorze A: R A A

to, e elementy a i b s w relacji, zapisujemy: (a, b) R lub aRb

Dziedzina relacji R : { a A : ( b B : ( a, b ) R) }

- zbir poprzednikw par nalecych do R

Przeciwdziedzina relacji R : { b B : ( a A : ( a, b ) R) }

- zbir nastpnikw par nalecych do R

Przykad relacji

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { {1, 2}, {1, 4} }

R - relacja przynalenoci do zbioru

R = { (1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4}) } A B

dziedzina relacji R : { 1, 2, 4 }

przeciwdziedzina relacji R : { {1, 2}, {1, 4} }

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 5 / 6

graf relacji:

1

2

3

4

{1, 2}

{1, 4}

tablica relacji:

1

2

3

4

{1, 2} {1, 4}

1

1

1

1

Relacja (binarna) R na zbiorze X jest:

zwrotna, jeli x X : xRx

przechodnia, jeli x, y, z X : ( xRy yRz ) xRz

symetryczna, jeli x, y X : xRy yRx

antysymetryczna, jeli x, y X : ( xRy yRx ) x = y

Relacj zwrotn, przechodni i symetryczn

nazywamy relacj rwnowanoci

typowe oznaczenie: , np. a b

Przykad relacji rwnowanoci w zbiorze liczb rzeczywistych

dla x, y relacja x y zachodzi wtedy i tylko wtedy,

gdy x y (rnica jest liczb cakowit)

Relacj zwrotn, przechodni i antysymetryczn

nazywamy relacj porzdkuj c zbir X

typowe oznaczenie: , np. a b

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (1) J.Sikorski Strona 6 / 6

Przykady relacji porzdkujcych

Relacja podzielnoci w zbiorze : aRb a jest podzielnikiem b

Relacja zawierania w zbiorze (X) : ARB A B

Pierwsze pytania kombinatoryczne:

Ile jest relacji binarnych w iloczynie kartezjaskim X Y ,

jeli | X | = n i | Y | = m ?

Ile jest relacji binarnych na zbiorze | X | = n ?

Ile jest zwrotnych relacji binarnych na zbiorze | X | = n ?

Ile jest (anty)symetrycznych relacji binarnych na zbiorze | X | = n ?

Funkcja f : X Y

to taka relacja R X Y, e dla kadego x X istnieje

dokadnie jedna para postaci ( x, y = f (x) ) R

Fun(X, Y) zbir wszystkich funkcji z X w Y

Dla dowolnych zbiorw A X i B Y definiujemy:

f (A) = { y Y : x A : y = f (x) } (obraz zbioru A)

f 1(B) = { x X : f (x) B } (przeciwobraz zbioru B)

o funkcji f : X Y mwimy, e jest na jeli f ( X ) = Y

Sur(X, Y) zbir wszystkich funkcji z X na Y (surjekcji )

funkcja jest rnowartociowa (wzajemnie jednoznaczna), jeli

a, b X a b f (a) f (b)

Inj(X, Y) zbir wszystkich funkcji rnowart. z X w Y (injekcji )

Bij(X, Y) = Sur(X, Y) Inj(X, Y) zbir wszystkich bijekcji z X na Y

WYSZA SZKOA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sikorski Strona 1 / 7

Zasada rwnolicznoci

Bij(X, Y) | X | = | Y |