ROBÓTICA
Lucélio de Oliveira Lemos
Cinemática DiretaParâmetros D-H
Sistemas de Referência e
Transformação de Coordenadas
Transformação Homogênea
w
z
y
x
V
Um ponto V no espaço pode ser representado em coordenadas homogêneas por,
onde
321 , , vw
zv
w
yv
w
x
e w é o fator de escala real e não nulo.
Translação
É Possível transladar um ponto u nas direções X, Y, e Z ou em uma direção arbitrária, a partir da aplicação da relação
1000
z100
y010
x001
)z,y,trans(xT0
0
0
000
com a relação
v = T . u
Considere a transformação homogênea
Exemplo 1
1000
0100
0010
1001
T e o ponto
1
0
0
1
u
A transformação homogênea T, transforma o ponto u em um ponto v,
v = T. u =
1
0
0
2
1
0
0
1
1000
0100
0010
1001
Transladar o ponto u(1,0,0) de 1 unidade na direção X, 2 na direção Y e 3 na direção Z.
Exemplo 2
1
0
0
1
1000
3100
2010
1001
(1,2,3) transv
RotaçãoConsidere os pontos u e v , representados na figura.
Suas representações no plano são u(xu, yu) e v(xv,yv) respectivamente. Considere ainda que o ponto u foi transformado no ponto v, através de uma rotação, em torno da origem, de um ângulo , no sentido anti-horário.
2v
2v
2u
2u
1v
1v
1u
1u
yxyxr
senry
cosrx
e
senry
cosrx
1
2
3
4
rotação em z
Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as equações 3 e 4, tem-se
sen.senrcos.cosrx 11v sen.ycos.xx uuv
sen.cosrcos.senry 11v sen.ycos.yy uuv
5
6
As equações 5 e 6 podem ser escritas, então:
uuv ysenxcosx
uuv ycosxseny
ou na forma vetorial
u
u
v
v
y
x
cossen
sencos
y
x7
Para o espaço tridimensional a equação 7 pode ser reescrita na forma vetorial:
u
u
u
v
v
v
z
yx
.
100
0cossen
0sencos
z
yx
ou ainda em Coordenadas Homogêneas,
1
z
yx
.
1000
0100
00cossen
00sencos
1
z
yx
u
u
u
v
v
v
Resumindo, as matrizes transformação homogênea de rotação em torno dos três eixos são:
1000
0100
00cossen
00sencos
Z,Rot
1000
0cossen0
0sencos0
0001
X,Rot
1000
0cos0sen
0010
0sen0cos
Y,Rot
Cinemática Direta
Cinemática Direta
Manipulador RR em movimento planoAs equações da cinemática direta são obtidas pela aplicação de trigonometria aos triângulos formados pelas juntas e elos
Notação de Denavit-Hartemberg
Notação de Denavit-Hartemberg
Algoritmo• Escolher um sistema de coordenadas fixo
(X0, Y0, Z0) associada com a base de robô
• Localizar o eixo Z de cada conjunto:
• Se a junta for ROTATIVA, o eixo é o eixo de rotação em si.
• Se a junta for PRISMÁTICA o eixo será na direção de deslizamento.
Denavit-Hartemberg www.youtube.com.br
Algoritmo
A posição relativa entre dois sistemas de coordenadas consecutivos, sistemasOi−1-xi−1yi−1zi−1 e Oi-xiyizi, é completamente determinada pelas posições relativas entre os eixos xi−1 e xi, e entre os eixos zi e zi−1, que são definidas pelos quatro parâmetros seguintes:• ai: é a distância (em módulo) entre zi−1 e zi, medida ao longo do eixo xi, que é anormal comum entre zi−1 e zi, ou seja, é a distância HiOi;• αi: é o ângulo (com sinal) entre o eixo zi−1 e o eixo zi, medido em torno do eixo xi,segundo a regra da mão direita, ou seja, é o ângulo de rotação em torno do eixo xi,que o eixo zi−1 deve girar para que fique paralelo ao eixo zi;• di: é a distância (com sinal) entre os eixos xi−1 e xi, medida sobre o eixo zi−1 (que é anormal comum entre xi−1 e xi), partindo-se de Oi−1 e indo em direção à Hi. O sinalde di é positivo, se para ir de Oi−1 até Hi, caminha-se no sentido positivo de zi−1, enegativo, se caminha-se no sentido oposto de zi−1;• θi: é o ângulo (com sinal) entre o eixo xi−1 e o eixo xi, medido em torno do eixo zi−1,segundo a regra da mão direita, ou seja, é o ângulo de rotação em torno do eixo zi−1,que o eixo xi−1 deve girar para que fique paralelo ao eixo xi.
Notação de Denavit-Hartemberg
Com estes quatro parâmetros, a posição e orientação do sistema de coordenadas i emrelação ao sistema i−1 pode ser definida como uma sequência de quatro transformações:• A primeira transformação, consiste em uma rotação em torno de zi−1, de um ângulo θi , medido segundo a regra da mão direita, de forma a alinhar xi−1 com xi:• A segunda transformação, é uma translação ao longo do eixo zi−1, de uma distânciadi, medida a partir do ponto Oi−1, até encontrar a intercessão da normal comumentre zi−1 e zi (ponto Hi);• A terceira transformação, consiste em uma translação ao longo do eixo xi, de umadistância ai, partindo-se do ponto Hi até encontrar o eixo zi (ponto Oi); e• A quarta transformação consiste em uma rotação em torno do eixo xi, de um ângulo αi, medido segundo a regra da mão direita, de forma a alinhar o eixo zi−1 com o eixo zi.
Notação de Denavit-Hartemberg
Notação de Denavit-Hartemberg
Assim, tem-se, em resumo, as seguintes transformações:
onde os símbolos Rot e Trans significam respectivamente transformação de rotação e detranslação. Em termos de transformações homogêneas, tem-se o seguinte:
Os parâmetros ai e αi são constantes e são determinados pela geometria do ligamento i. Um dos outros dois parâmetros, di ou θi, varia a medida que a articulação se move.
Notação de Denavit-Hartemberg
Existem algumas exceções à notação de Denavit-Hartenberg, sendo estas as seguintes:• Para estabelecer o sistema de coordenadas da base, a origem do sistema pode serescolhida em qualquer ponto do eixo z0. Os eixos x0 e y0, podem ser escolhidosarbitrariamente, desde que satisfaçam a regra da mão direita;• Para estabelecer o sistema de coordenadas do efetuador, a origem do sistema podeser escolhida em qualquer ponto conveniente do efetuador. A orientação dos eixosdeve ser tal que xn seja perpendicular a zn−1;• Se os eixos das duas articulações de um ligamento são paralelos, a normal comumentre eles não é única. Neste caso, a direção de xi−1 deve ser perpendicular a ambosos eixos e a origem Oi é arbitrária;• Se os eixos das duas articulações de um ligamento se interceptam, ou seja, se zi−1intercepta zi, a origem Oi deve ser localizada na interseção dos dois eixos e xi deveser perpendicular a ambos os eixos.
Parâmetros de Denavit-Hartenberg do robô de Stanford
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