]Metody matematyczne Fizyki Kwantowej. Zadania - Seria 2

1. W przestrzeni R3 ze standardowym iloczynem skalarnym dokonac orto-normalizacji Gramma-Schmidta wektorow: v1 = (2, 2, 1), v2 = (−1, 2, 2),v3 = (1, 1, 1).

2. W przestrzeni L2(−1, 1) dokonac ortonormalizacji Gramma-Schmidtaukadu wektorow {f1, f2, f3}, gdzie f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2.

3. Sprawdzic, ze w przestrzeni L2[−π, π] funkcje 1, sinx, sin2x stanowi ↪auk lad ortonormalny

4. W przestrzeni Hilberta l2(R) oznaczmy przez ei = (0, 0, 0, ..., 1, 0, 0, ...),i = 1, 2, 3, ..., wektor maj ↪acy 1 na i − tym miejscu, a poza tym zera.Sprawdzic, ze ci ↪ag wektorow ei, i = 1, 2, 3, ... nie zawiera zadnego podci ↪aguCauchy’ego.

5. Niech c0 oznacza podprzestrzen przestrzeni Hilberta l2(R), z lozon ↪a zci ↪agow maj ↪acych jedynie skonczon ↪a ilosc wyrazow roznych od zera.Dowiesc, ze podprzestrzen do niej ortogonalna c⊥0 jest rowna {0}.

6. Niech E = C([0, 1]) oznacza przestrzen funkcji ci ↪ag lych na przedziale[0, 1]. E jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a przestrzeni Hilberta L2[0, 1]. Po-kazac, ze E nie jest podprzestrzeni ↪a Hilberta przestrzeni L2[0, 1], tzn.nie jest zupe lna.

7. W przestrzeni R3 ze standardowym iloczynem skalarnym rozpatrujemypodprzestrzen E = {(x, y, z) : x + y + z = 0}. Podac wzor na rzutortogonalny P : R3 → E.

1