Met_mat_FK_2
1
]Metody matematyczne Fizyki Kwantowej. Zadania - Seria 2 1. W przestrzeni R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym dokona´ c orto- normalizacji Gramma-Schmidta wektor´ow: v 1 = (2, 2, 1), v 2 =(-1, 2, 2), v 3 = (1, 1, 1). 2. W przestrzeni L 2 (-1, 1) dokona´ c ortonormalizacji Gramma-Schmidta ukadu wektor´ ow {f 1 ,f 2 ,f 3 }, gdzie f 1 (x) = 1, f 2 (x)= x, f 3 (x)= x 2 . 3. Sprawdzi´ c, ˙ ze w przestrzeni L 2 [-π,π] funkcje 1, sinx, sin2x stanowi , a uk lad ortonormalny 4. W przestrzeni Hilberta l 2 (R) oznaczmy przez e i = (0, 0, 0, ..., 1, 0, 0, ...), i =1, 2, 3, ..., wektor maj , acy 1 na i - tym miejscu, a poza tym zera. Sprawdzi´ c, ˙ ze ci , agwektor´ow e i ,i =1, 2, 3, ... nie zawiera ˙ zadnego podci , agu Cauchy’ego. 5. Niech c 0 oznacza podprzestrze´ n przestrzeni Hilberta l 2 (R), zlo˙ zon , az ci , ag´owmaj , acych jedynie sko´ nczon , a ilo´ s´ cwyraz´owr´o˙ znych od zera. Dowie´ s´ c, ˙ ze podprzestrze´ n do niej ortogonalna c ⊥ 0 jestr´owna {0}. 6. Niech E = C ([0, 1]) oznacza przestrze´ n funkcji ci , ag lych na przedziale [0, 1]. E jest podprzestrzeni , a liniow , a przestrzeni Hilberta L 2 [0, 1]. Po- kaza´ c, ˙ ze E nie jest podprzestrzeni , a Hilberta przestrzeni L 2 [0, 1], tzn. nie jest zupelna. 7. W przestrzeni R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym rozpatrujemy podprzestrze´ n E = {(x, y, z ): x + y + z =0}. Poda´ c wz´or na rzut ortogonalny P : R 3 → E. 1
description
Met_mat_FK_2
Transcript of Met_mat_FK_2
]Metody matematyczne Fizyki Kwantowej. Zadania - Seria 2
1. W przestrzeni R3 ze standardowym iloczynem skalarnym dokonac orto-normalizacji Gramma-Schmidta wektorow: v1 = (2, 2, 1), v2 = (−1, 2, 2),v3 = (1, 1, 1).
2. W przestrzeni L2(−1, 1) dokonac ortonormalizacji Gramma-Schmidtaukadu wektorow {f1, f2, f3}, gdzie f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2.
3. Sprawdzic, ze w przestrzeni L2[−π, π] funkcje 1, sinx, sin2x stanowi ↪auk lad ortonormalny
4. W przestrzeni Hilberta l2(R) oznaczmy przez ei = (0, 0, 0, ..., 1, 0, 0, ...),i = 1, 2, 3, ..., wektor maj ↪acy 1 na i − tym miejscu, a poza tym zera.Sprawdzic, ze ci ↪ag wektorow ei, i = 1, 2, 3, ... nie zawiera zadnego podci ↪aguCauchy’ego.
5. Niech c0 oznacza podprzestrzen przestrzeni Hilberta l2(R), z lozon ↪a zci ↪agow maj ↪acych jedynie skonczon ↪a ilosc wyrazow roznych od zera.Dowiesc, ze podprzestrzen do niej ortogonalna c⊥0 jest rowna {0}.
6. Niech E = C([0, 1]) oznacza przestrzen funkcji ci ↪ag lych na przedziale[0, 1]. E jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a przestrzeni Hilberta L2[0, 1]. Po-kazac, ze E nie jest podprzestrzeni ↪a Hilberta przestrzeni L2[0, 1], tzn.nie jest zupe lna.
7. W przestrzeni R3 ze standardowym iloczynem skalarnym rozpatrujemypodprzestrzen E = {(x, y, z) : x + y + z = 0}. Podac wzor na rzutortogonalny P : R3 → E.
1
