單元名稱：指數函數   第 1頁

    教案設計：____________________

102 學年度數學實習教師教學演示教案 單元名稱 3-2 指數函數

教材來源 龍騰版 數學 第 1冊課本

課程日期 102年 12月 5日 課程時間 50分鐘 單元目標 1. 使用描點法繪製指數函數的圖形。

2. 認識並且了解指數函數圖形的基本性質；包括單調性、凹凸性。

3. 從已知的指數函數之定義域或值域，判斷其關聯性，對函數有進一步

的認識。

4. 指數函數圖形的平移。

5. 比較不同底數之間，函數圖形的差異。

6. 能夠解開指數方程式（即，方程式的未知數在指數）的問題。

7. 進一步能夠解開指數不等式（即，不等式的未知數在指數）的問題。

先備知識 1. 自變數與應變數之間的關係。

2. 使用描點法繪製函數圖

形。

3. 解開二元二次方程式的解。

4. 解開一元一次（或一元二次）不等式的解。

課程前置

1.  製作學習單，內容為讓同學可以在座標上練習描點繪製函數圖形。

教學活動步驟

教學活動階段 教學階段內容 板書 / 教學媒材 引起動機

（階段時間：1 分

鐘以內）

1.教師口述：「假設科加斯 Chogath 在等級 6

時學會的大絕『饗宴 Feast』，每施放一次若

擊殺一個敵方單位，血量將會呈指數增加，

若大絕的技能疊加層數為𝑥，科加斯的血量增加幅度為𝑦乘上一百，其中𝑥與𝑦呈現𝑦 =2!。」 此段落主要先展示出一個指數函數的形式。

2.教師口述：『我們稍微的來看一下這樣的設

定有多麼的 OP(Over Power)：疊加第一層的時候，𝑥 = 1，這個時候血量的增加幅度為𝑦 = 2! = 2。看起來有加像沒加一樣嘛。那麼如果疊加到第二層的時候，𝑥 = 2，這時血量增加幅度為𝑦 = 2! = 4，隨便一個小裝備加的都比它多。但是疊到第三層的時候，

𝑦 = 2! = 8，好像還是很廢。至於第四層的情況，𝑦 = 2! = 16，才開始有一點看頭。第五層就變成𝑦 = 2! = 32，突然已經變得加很多了。大家都知道最多可以疊加到第六層，第

六層的情況居然是𝑦 = 2! = 64，這應該蠻 OP了吧。』

以上這個段落讓學生透過一個簡單的例子體

認指數函數的函數值變化的形式與增幅程

度。

板書： y = 2!

x   1   2   3   4   5   6  y   2   4   8   16   32   64  

x=技能疊加層數

y=血量增加幅度(乘上一百

點血量)

課程重點#1

指數函數的定義

（階段時間：1 分

鐘以內）

教師口述：「這種寫成像是𝑦 = 𝑎!的函數關係，我們稱之為以 a 為底的指數函數。進一步

的說，指數函數就是自變數在指數部分的函

數形式。重點在於，當𝑎 > 0，對任意的實數𝑥，𝑎!都會有明確的定義。」

板書：

指數函數 y = a!  a > 0

單元名稱：指數函數   第 2頁  

        教案設計：____________________  

示範：

函數圖形的描點

（階段時間：5分鐘）

教師口述：「我們把剛才科加斯的技能狀況

畫在坐標圖形上。」

此處可以快速的一邊將各點坐標宣告，同時

間將坐標描上。

教師口述：「不過由於指數函數的定義是

𝑥 ∈ ℝ，所以我們把𝑥推廣到負數多描幾個點試試看。」

將原本例題所界定的 x與 y進行推廣，將自變數與應變數對應的表格多畫出負數部分填

寫。然後就一邊描點。

同一時間應指示學生一起把點描在學習單

上。

板書：

(y = 2!的圖形)

課程重點＃2

觀察指數函數圖

形的特性(a>1)

（階段時間：10

分鐘）

教師口述：「數學課其實是一堂教導我們欣

賞美的課程。別笑！欣賞美的事物不是美術

課的特權，我們看到美的事物，我們會欣賞

她的什麼部分呢？沒錯，我們會觀察她的曲

線。於是我用一條平滑的曲線將這些描點連

起來。」

此時將函數圖形的描點用指數函數的曲線連

接，並指示學生也同樣繪圖於學習單上。

教師口述：『相信在座有許多同學非常的擅

長欣賞曲線，我們請最擅長觀察曲線的同學

來告訴我這條曲線的特色是什麼。』

由同學提名選出或者抽籤選出回答的同學。

教師口述：『當我們觀察一個函數圖形的變

化的時候，我們會關心他在自變數為零的時

候有什麼特殊的情況，所以我們觀察到它通

過(0,1)，這是第一點。 接著，我們會關心這個函數是否恆正或者恆

負，我們發現𝑦 = 2!這個函數在 a>1的時候恆正，也就是函數圖形恆在 x軸上方，這是第二點。

最後，我們會在意這個函數是遞增還是遞

減，因為我們可以從這個趨勢去推測函數的

發展情況。我們從圖形上可以觀察出來，這

個函數圖形由左往右逐漸上升，這是第三

點。』

上面這個段落為如果學生在回答方面沒有頭

緒時，教師所做的提示話語。

教師口述：「上面這三點，基本上只要是底

數 a>1，𝑦 = 𝑎!的函數圖形都有這個特徵。同學可以思考一下，比方說𝑦 = 3!、𝑦 = 4!是不是也符合這樣的三個特點。」

板書：

當 a>1

1. 通過點(0,1)

2. 恆在 x 軸上方

3. 由左往右逐漸上升

課程重點#2發展

觀察指數函數圖

形的特性(0<a<1)

（階段時間：3 分

鐘）

教師口述：『我們一開始說了，我們的底數

a>0 就符合指數函數的定義，在我們探索過

a>1的狀況過後，我們可以進展到 0<a<1的情況。』

教師一邊列出 0<a<1 的情況下，𝑦 = (!!)!的自

變數與應變數關係表格，每標示出一個點就

板書：

x 1 2 3 4 5 6

y

單元名稱：指數函數   第 3頁

    教案設計：____________________

將點描在座標圖形上。

教師口述：「數學這門學問最引人入勝的地

方就在於，許多細節有很漂亮的內構性與關

聯性。我們若也將𝑦 = (!!)!的函數圖形畫出

來，並且觀察這個優美曲線的特色，有沒有

同學能夠仿照前面的三個特色，告訴我

𝑦 = (!!)!的函數圖形的三個特色？」

此時學生應可順利回答相對應的三個特色，

若仍有困難，仿照前個段落的方式給予提

示。

當 0<a<1

1. 通過點(0,1)

2. 恆在 x 軸上方

3. 由左往右逐漸下降

課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!

!)!

兩個函數的圖形

對稱性 （階段時間：10分鐘）

教師口述：「剛才我們不小心把這兩個圖形

畫在同一個坐標平面上，我們就借此機會繼

續探索曲線的美。我們發現它們像這樣交會

於一個點，這個點是(0,1)，為什麼？」

讓學生自由回答，他們很容易可以回答出，

因為不管指數大於 1或者介於 0到 1之間，當指數為 0的時候，這個數都會是 1。

教師口述：『看到這樣美麗的曲線，我不禁

地想著，要是它們倆有對稱關係，那就更完

美了。但是美的感覺是一回事，數學更美的

地方就在於，我們可以透過踏實的證明，來

得到堅不可破的完美。我們現在就來證明看

看這兩個函數圖形是否對稱。

怎麼知道有沒有對稱呢？當我們說兩個函數

圖形對稱，則是在說這兩個函數圖形相對應

的點距離對稱軸的距離相等。令一個點

P 𝛼,𝛽 在𝑦 = 2!圖形上，即𝛽 = 2!，因為𝛽＝2!!∙(!!) = (!

!)!!，我們發現點 Q −𝛼,

𝛽 將會落在𝑦 = (!!)!圖形上。如果我將 P、Q

兩點做連接，更可以進一步觀察出 y軸是𝑃𝑄的中垂線。所以我們說𝑦 = 2!與𝑦 = (!

!)!這兩

個函數的圖形對稱於 y軸。 更一般性的來說，所以我們說𝑦 = 𝑎!與𝑦 =(!!)!這兩個函數的圖形也會對稱於 y軸。』

這個段落是實證𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!這兩個函數

的圖形對稱性。進而推廣出一般性的結果。

課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!

!)!

兩個函數的圖形

共通性 （階段時間：10分鐘）

教師口述：「我們來觀察一下 a>1跟 0<a<1 這兩個的特色之間有什麼共同或不同。我們剛

知道這兩個函數圖形對稱於 y軸。我們發現它們都通過點(0,1)，為什麼？因為𝑎! = 1. 它們兩個圖形都在 x 軸上方，也就是對於任意

實數 x，𝑎!的值恆大於 0. 觀察這個函數，我們會關心他在每個自變數

相對應的函數值。我如果在函數圖形上畫一

條水平線，假設我畫一條𝑦 = 𝑏，與原本函數圖形所交會的點代表什麼？沒錯就是

2! = 𝑏的解以及(!!)! = 𝑏的解。換句話說，方

程式𝑎! = 𝑏(𝑏 > 0)都恰好有一個實根。所以如果當𝑎! = 𝑎!，一定會𝛼 = 𝛽. 」

板書：

（在共同的地方打勾或者圈

起來，並寫下：）

1. 圖形通過點(0,1) (∵ 𝑎! = 1) 2. 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎! > 0 3. 方程式𝑎! = 𝑏(𝑏 > 0)都恰好有一個實根。

單元名稱：指數函數   第 4頁  

        教案設計：____________________  

引導出𝑦 = 𝑎!與𝑦 = (!!)!兩者的函數圖形之異

同。 教師口述：「我們現在有了這三個共通點，

那麼我畫一個圖讓大家做比較。（圖如右）

這個圖有沒有符合這三點呢？那我們可以把

這個圖跟他們一起歸類為𝑦 = 𝑎!的函數嗎？好你們觀察一件事情喲，直觀上我們觀察這

個曲線的形狀，𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!的函數圖形

曲線比較像是向上凹曲，但是我現在畫的這

個圖形曲線則是向下凹曲。這個性質叫做凹

性，判定方法是我們在函數圖形上任意兩點

做連線，觀察這條連線是在函數圖形的上方

或者下方，就可以判斷凹性是向上還是向

下。」 覺察此二函數圖形皆是凹向上，並且學習觀

察函數圖形的凹性。 課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!

!)!

兩個函數的圖形

異質性

教師口述：「我們已經從函數圖形的趨勢判

斷出，𝑦 = 2!這個函數的圖形由左往右逐漸上升，而𝑦 = (!

!)!的圖形則是由左往右逐漸下

降。

我們稍微再探討一下這件事情：我們說

𝑦 = 𝑎!這個函數的圖形在每個𝛼 < 𝛽的地方，將得到𝑎! < 𝑎!，我們說這樣的函數是嚴格遞增函數。有沒有人好奇，不

嚴格的遞增函數會長什麼樣子呢？你們看下

這個圖形，是不是有一些地方的函數值相等

呢？這樣的函數依舊遞增，只是好像不那麼

嚴格，也就是允許等號的部分。

另一方面，𝑦 = !!

!這個函數的圖形在每個

𝛼 < 𝛽的地方，將得到𝑎! > 𝑎!，我們說這樣的函數是嚴格遞減函數。」

探討𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!兩者函數圖形的凹性，

並簡單的判斷凹性。

課程重點#3 指數函數圖形的

平移與伸縮

教師口述：「就像在第 2 章我們所學過的，

我們看到一個函數圖形的形式，我們就會很

想要對這條曲線上下其手，我的意思是說，

我們會想要把它平移、伸縮。

拿𝑦 = 2!跟𝑦 = 3!的函數圖形來作比較，我們可以發現，當同一個指數的時候，也就是在

底數大於 1的情況下，如果 x 相同，指數越大的時候，函數值也跟著越大。」

課後活動 / 作業

教師課後省思