教學演示教案 Dec.5
-
Upload
bowei-yang -
Category
Documents
-
view
373 -
download
0
Transcript of 教學演示教案 Dec.5
單元名稱:指數函數 第 1頁
教案設計:____________________
102 學年度數學實習教師教學演示教案 單元名稱 3-2 指數函數
教材來源 龍騰版 數學 第 1冊課本
課程日期 102年 12月 5日 課程時間 50分鐘 單元目標 1. 使用描點法繪製指數函數的圖形。
2. 認識並且了解指數函數圖形的基本性質;包括單調性、凹凸性。
3. 從已知的指數函數之定義域或值域,判斷其關聯性,對函數有進一步
的認識。
4. 指數函數圖形的平移。
5. 比較不同底數之間,函數圖形的差異。
6. 能夠解開指數方程式(即,方程式的未知數在指數)的問題。
7. 進一步能夠解開指數不等式(即,不等式的未知數在指數)的問題。
先備知識 1. 自變數與應變數之間的關係。
2. 使用描點法繪製函數圖
形。
3. 解開二元二次方程式的解。
4. 解開一元一次(或一元二次)不等式的解。
課程前置
1. 製作學習單,內容為讓同學可以在座標上練習描點繪製函數圖形。
教學活動步驟
教學活動階段 教學階段內容 板書 / 教學媒材 引起動機
(階段時間:1 分
鐘以內)
1.教師口述:「假設科加斯 Chogath 在等級 6
時學會的大絕『饗宴 Feast』,每施放一次若
擊殺一個敵方單位,血量將會呈指數增加,
若大絕的技能疊加層數為𝑥,科加斯的血量增加幅度為𝑦乘上一百,其中𝑥與𝑦呈現𝑦 =2!。」 此段落主要先展示出一個指數函數的形式。
2.教師口述:『我們稍微的來看一下這樣的設
定有多麼的 OP(Over Power):疊加第一層的時候,𝑥 = 1,這個時候血量的增加幅度為𝑦 = 2! = 2。看起來有加像沒加一樣嘛。那麼如果疊加到第二層的時候,𝑥 = 2,這時血量增加幅度為𝑦 = 2! = 4,隨便一個小裝備加的都比它多。但是疊到第三層的時候,
𝑦 = 2! = 8,好像還是很廢。至於第四層的情況,𝑦 = 2! = 16,才開始有一點看頭。第五層就變成𝑦 = 2! = 32,突然已經變得加很多了。大家都知道最多可以疊加到第六層,第
六層的情況居然是𝑦 = 2! = 64,這應該蠻 OP了吧。』
以上這個段落讓學生透過一個簡單的例子體
認指數函數的函數值變化的形式與增幅程
度。
板書: y = 2!
x 1 2 3 4 5 6 y 2 4 8 16 32 64
x=技能疊加層數
y=血量增加幅度(乘上一百
點血量)
課程重點#1
指數函數的定義
(階段時間:1 分
鐘以內)
教師口述:「這種寫成像是𝑦 = 𝑎!的函數關係,我們稱之為以 a 為底的指數函數。進一步
的說,指數函數就是自變數在指數部分的函
數形式。重點在於,當𝑎 > 0,對任意的實數𝑥,𝑎!都會有明確的定義。」
板書:
指數函數 y = a! a > 0
單元名稱:指數函數 第 2頁
教案設計:____________________
示範:
函數圖形的描點
(階段時間:5分鐘)
教師口述:「我們把剛才科加斯的技能狀況
畫在坐標圖形上。」
此處可以快速的一邊將各點坐標宣告,同時
間將坐標描上。
教師口述:「不過由於指數函數的定義是
𝑥 ∈ ℝ,所以我們把𝑥推廣到負數多描幾個點試試看。」
將原本例題所界定的 x與 y進行推廣,將自變數與應變數對應的表格多畫出負數部分填
寫。然後就一邊描點。
同一時間應指示學生一起把點描在學習單
上。
板書:
(y = 2!的圖形)
課程重點#2
觀察指數函數圖
形的特性(a>1)
(階段時間:10
分鐘)
教師口述:「數學課其實是一堂教導我們欣
賞美的課程。別笑!欣賞美的事物不是美術
課的特權,我們看到美的事物,我們會欣賞
她的什麼部分呢?沒錯,我們會觀察她的曲
線。於是我用一條平滑的曲線將這些描點連
起來。」
此時將函數圖形的描點用指數函數的曲線連
接,並指示學生也同樣繪圖於學習單上。
教師口述:『相信在座有許多同學非常的擅
長欣賞曲線,我們請最擅長觀察曲線的同學
來告訴我這條曲線的特色是什麼。』
由同學提名選出或者抽籤選出回答的同學。
教師口述:『當我們觀察一個函數圖形的變
化的時候,我們會關心他在自變數為零的時
候有什麼特殊的情況,所以我們觀察到它通
過(0,1),這是第一點。 接著,我們會關心這個函數是否恆正或者恆
負,我們發現𝑦 = 2!這個函數在 a>1的時候恆正,也就是函數圖形恆在 x軸上方,這是第二點。
最後,我們會在意這個函數是遞增還是遞
減,因為我們可以從這個趨勢去推測函數的
發展情況。我們從圖形上可以觀察出來,這
個函數圖形由左往右逐漸上升,這是第三
點。』
上面這個段落為如果學生在回答方面沒有頭
緒時,教師所做的提示話語。
教師口述:「上面這三點,基本上只要是底
數 a>1,𝑦 = 𝑎!的函數圖形都有這個特徵。同學可以思考一下,比方說𝑦 = 3!、𝑦 = 4!是不是也符合這樣的三個特點。」
板書:
當 a>1
1. 通過點(0,1)
2. 恆在 x 軸上方
3. 由左往右逐漸上升
課程重點#2發展
觀察指數函數圖
形的特性(0<a<1)
(階段時間:3 分
鐘)
教師口述:『我們一開始說了,我們的底數
a>0 就符合指數函數的定義,在我們探索過
a>1的狀況過後,我們可以進展到 0<a<1的情況。』
教師一邊列出 0<a<1 的情況下,𝑦 = (!!)!的自
變數與應變數關係表格,每標示出一個點就
板書:
x 1 2 3 4 5 6
y
單元名稱:指數函數 第 3頁
教案設計:____________________
將點描在座標圖形上。
教師口述:「數學這門學問最引人入勝的地
方就在於,許多細節有很漂亮的內構性與關
聯性。我們若也將𝑦 = (!!)!的函數圖形畫出
來,並且觀察這個優美曲線的特色,有沒有
同學能夠仿照前面的三個特色,告訴我
𝑦 = (!!)!的函數圖形的三個特色?」
此時學生應可順利回答相對應的三個特色,
若仍有困難,仿照前個段落的方式給予提
示。
當 0<a<1
1. 通過點(0,1)
2. 恆在 x 軸上方
3. 由左往右逐漸下降
課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!
!)!
兩個函數的圖形
對稱性 (階段時間:10分鐘)
教師口述:「剛才我們不小心把這兩個圖形
畫在同一個坐標平面上,我們就借此機會繼
續探索曲線的美。我們發現它們像這樣交會
於一個點,這個點是(0,1),為什麼?」
讓學生自由回答,他們很容易可以回答出,
因為不管指數大於 1或者介於 0到 1之間,當指數為 0的時候,這個數都會是 1。
教師口述:『看到這樣美麗的曲線,我不禁
地想著,要是它們倆有對稱關係,那就更完
美了。但是美的感覺是一回事,數學更美的
地方就在於,我們可以透過踏實的證明,來
得到堅不可破的完美。我們現在就來證明看
看這兩個函數圖形是否對稱。
怎麼知道有沒有對稱呢?當我們說兩個函數
圖形對稱,則是在說這兩個函數圖形相對應
的點距離對稱軸的距離相等。令一個點
P 𝛼,𝛽 在𝑦 = 2!圖形上,即𝛽 = 2!,因為𝛽=2!!∙(!!) = (!
!)!!,我們發現點 Q −𝛼,
𝛽 將會落在𝑦 = (!!)!圖形上。如果我將 P、Q
兩點做連接,更可以進一步觀察出 y軸是𝑃𝑄的中垂線。所以我們說𝑦 = 2!與𝑦 = (!
!)!這兩
個函數的圖形對稱於 y軸。 更一般性的來說,所以我們說𝑦 = 𝑎!與𝑦 =(!!)!這兩個函數的圖形也會對稱於 y軸。』
這個段落是實證𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!這兩個函數
的圖形對稱性。進而推廣出一般性的結果。
課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!
!)!
兩個函數的圖形
共通性 (階段時間:10分鐘)
教師口述:「我們來觀察一下 a>1跟 0<a<1 這兩個的特色之間有什麼共同或不同。我們剛
知道這兩個函數圖形對稱於 y軸。我們發現它們都通過點(0,1),為什麼?因為𝑎! = 1. 它們兩個圖形都在 x 軸上方,也就是對於任意
實數 x,𝑎!的值恆大於 0. 觀察這個函數,我們會關心他在每個自變數
相對應的函數值。我如果在函數圖形上畫一
條水平線,假設我畫一條𝑦 = 𝑏,與原本函數圖形所交會的點代表什麼?沒錯就是
2! = 𝑏的解以及(!!)! = 𝑏的解。換句話說,方
程式𝑎! = 𝑏(𝑏 > 0)都恰好有一個實根。所以如果當𝑎! = 𝑎!,一定會𝛼 = 𝛽. 」
板書:
(在共同的地方打勾或者圈
起來,並寫下:)
1. 圖形通過點(0,1) (∵ 𝑎! = 1) 2. 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎! > 0 3. 方程式𝑎! = 𝑏(𝑏 > 0)都恰好有一個實根。
單元名稱:指數函數 第 4頁
教案設計:____________________
引導出𝑦 = 𝑎!與𝑦 = (!!)!兩者的函數圖形之異
同。 教師口述:「我們現在有了這三個共通點,
那麼我畫一個圖讓大家做比較。(圖如右)
這個圖有沒有符合這三點呢?那我們可以把
這個圖跟他們一起歸類為𝑦 = 𝑎!的函數嗎?好你們觀察一件事情喲,直觀上我們觀察這
個曲線的形狀,𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!的函數圖形
曲線比較像是向上凹曲,但是我現在畫的這
個圖形曲線則是向下凹曲。這個性質叫做凹
性,判定方法是我們在函數圖形上任意兩點
做連線,觀察這條連線是在函數圖形的上方
或者下方,就可以判斷凹性是向上還是向
下。」 覺察此二函數圖形皆是凹向上,並且學習觀
察函數圖形的凹性。 課程重點#2 發展 𝑦 = 2!與𝑦 = (!
!)!
兩個函數的圖形
異質性
教師口述:「我們已經從函數圖形的趨勢判
斷出,𝑦 = 2!這個函數的圖形由左往右逐漸上升,而𝑦 = (!
!)!的圖形則是由左往右逐漸下
降。
我們稍微再探討一下這件事情:我們說
𝑦 = 𝑎!這個函數的圖形在每個𝛼 < 𝛽的地方,將得到𝑎! < 𝑎!,我們說這樣的函數是嚴格遞增函數。有沒有人好奇,不
嚴格的遞增函數會長什麼樣子呢?你們看下
這個圖形,是不是有一些地方的函數值相等
呢?這樣的函數依舊遞增,只是好像不那麼
嚴格,也就是允許等號的部分。
另一方面,𝑦 = !!
!這個函數的圖形在每個
𝛼 < 𝛽的地方,將得到𝑎! > 𝑎!,我們說這樣的函數是嚴格遞減函數。」
探討𝑦 = 2!與𝑦 = (!!)!兩者函數圖形的凹性,
並簡單的判斷凹性。
課程重點#3 指數函數圖形的
平移與伸縮
教師口述:「就像在第 2 章我們所學過的,
我們看到一個函數圖形的形式,我們就會很
想要對這條曲線上下其手,我的意思是說,
我們會想要把它平移、伸縮。
拿𝑦 = 2!跟𝑦 = 3!的函數圖形來作比較,我們可以發現,當同一個指數的時候,也就是在
底數大於 1的情況下,如果 x 相同,指數越大的時候,函數值也跟著越大。」
課後活動 / 作業
教師課後省思