Základné pojmy finančnej matematiky3).pdf · Stredná priemyselná škola strojnícka,...

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

1

Základné pojmy finančnej matematiky

Banka je miesto, kde si odkladáme prípadne požičiavame peniaze. Stará sa, aby nám ich nikto neukradol a posiela ich na základe nášho príkazu na iné účty v rámci danej banky alebo do iných bánk (trvalý príkaz, internetbanking, ...). Banka má náklady na svoju činnosť (budovy, zamestnanci, bezpečnosť, ...), preto musí zarábať. Vyberá poplatky za vedenie účtu, prevedenie transakcií a z požičaných peňazí úroky. Aj keď sú v prevažnej miere súkromné, podliehajú dozoru Slovenskej Národnej Banky. Základné pojmy: Klient – človek , ktorý využíva bankové služby. Bankár – zamestnanec banky, ktorý sa zaoberá bankovníctvom. Prevod peňazí – operácia, ktorou sa bezhotovostne prevedú peniaze z jedného účtu na druhý účet. Bežný účet – účet na ktorý prichádzajú platby napr. mzda a prostredníctvom ktorého platíme stále platby (nájom, telefón, ...), prípadne jednorazové platby. Sporiaci účet – účet, na ktorý si klient ukladá peniaze a zhodnocuje ich v podobe úrokov. Termínovaný účet – účet, na ktorý si klient uloží peniaze na určitú dobu a získava úrok iba, ak nevyberie peniaze počas dohodnutej doby. Kontokorent – účet, na ktorom má klient povolené od banky čerpať peniaze do mínusu v rámci stanoveného limitu na svojom bežnom účte, alebo účte špeciálne k tomu vyhradenému. Poplatky – ceny za nejakú službu (vedenie účtu, karty, prevod peňazí, ...). Každá banka môže mať iné poplatky za tú istú službu. Transakcie – prevod peňazí, predaj produktov, schválenie úveru a ďalšie rôzne aktivity banky. Úver – pôžička banky klientovi

hypotekárny – poskytuje sa na bývanie (kúpa alebo prestavba bytu, domu); je zaistený zastavením nehnuteľnosti

spotrebný – úver na spotrebný tovar; je na neho vyšší úrok

mladomanželská pôžička – musia byť splnené podmienky: - manželstvo trvá najviac dva roky - obaja majú najviac 35 rokov - spoločný príjem je nižší ako 2,6 násobok priemernej mzdy - nižší úrok

nákup na splátky – zabezpečujú ho spravidla rôzne spoločnosti, nie banky. Sú často na veľmi vysoký úrok.

kreditná karta Úrok – odmena klientovi za to, že do banky uložil peniaze alebo odmena banke za požičanie peňazí. Môžeme ho vyjadriť:

v eurách ako výšku pripísanej sumy na účte, prípadne akú sumu zaplatíme za požičanie peňazí

v percentách znamená percentuálnu časť z istiny (vložená respektíve požičaná suma); najčastejší je ročný (ozn. p.a. – per annum)

daň z úrokov z úrokov sa platí 15% daň


2

RPMN (ročná percentuálna miera nákladov) – súhrn všetkých poplatkov a nákladov, ktoré musí klient zaplatiť banke pri riadnom plnení úverovej zmluvy počas celej doby splácania úveru. Vyjadruje sa percentuálnym podielom z dlžnej čiastky za jeden rok. Bonita – ohodnotenie klienta ako dobre je schopný splácať budúci dlh; čím vyššia je bonita , tým nižší je úrok; analyzujú

osobné údaje

pravidelné výdaje klienta a celej domácnosti

úverovú históriu a platobnú morálku (vyhľadajú to v úverových registroch) Platobné karty – karty, ktoré klient využíva pri bezhotovostných platbách

debetná karta je spojená so zostatkom na bežnom účte a môžeme platiť len do výšky disponibilného zostatku na účte

embosovaná karta – okrem platenia pomocou elektronického terminálu, výberu v bankomatoch (ako debetná karta) je vybavená reliéfnym písmom, ktorý umožňuje platbu pomocou mechanickej čítačky

kreditná karta je spojená s možnosťou čerpať úver. Úverový limit karty nie je závislý od bežného účtu; niektoré banky vydávajú kreditné karty aj keď klient nemá v banke založený bežný účet; môžeme platiť aj keď nemáme dostatok peňazí – výberom touto kartou si vlastne požičiavame a musíme to banke vrátiť (aj s vysokými úrokmi, ak nevložíme späť peniaze do určitej dohodnutej doby).

Zodpovedné správanie pri vybavovaní pôžičky

Pri úveroch nás zaujímajú úroky, pretože vyjadrujú sumu, ktorú musíme banke zaplatiť za požičané peniaze. Úver si musíme dobre zvážiť:

vziať si ho predovšetkým v banke (na Slovensku dobre fungujú); prejsť si ponuky viacerých bánk a vybrať najvýhodnejšiu

dávať si pozor na nebankové subjekty – pozorne si preštudovať podmienky poskytovania úveru, pretože majú veľmi vysoké úroky a pre klienta zlé podmienky splácania (parlament prijal zákon, ktorý obmedzuje výšku úrokov)

pri investovaní dávať pozor na subjekty, ktoré sľubujú vysoké výnosy, aby sme neprišli o celoživotné úspory; aj v rámci banky pri investovaní vyššej sumy zistiť, či daný produkt je garantovaný štátom

Ak si plánujeme vziať úver v banke musíme zvážiť:

výšku úroku

výšku splátky

preplatenie úveru

zmluvné podmienky, sankcie

poplatky za vedenie úverového účtu Pozor!!! Pri podpisovaní akejkoľvek zmluvy (pôžička, telefón,...) si ju najprv podrobne prečítajte, aj to čo je písané drobným písmom. Ak niečomu nerozumiete nehanbite sa spýtať, prípadne poradiť s právnikom.


3

Bezhotovostné spôsoby platby

Výhodou takýchto platieb je, že nemusíme nosiť so sebou hotovosť. Môžeme využívať rôzne spôsoby platby. 1. Internetové bankovníctvo

môžeme sledovať stav a pohyby na účte, zadávať platby prípadne príkazy na stále platby

komunikácia je zabezpečená prihlasovacím menom a heslom; heslo je buď trvalé, ktoré pozná klient a banka, alebo generované pre každé pripojenie zvlášť pomocou prístupového kľúča

2. Telefónne, SMS bankovníctvo

má veľa podôb; pokyny sa zadávajú pomocou hlasu (telefón), poslaním SMS, vyťukaním čísla účtu, kódu ap.

používajú sa tiež hesla a kódy

je na ústupe, výhodnejšie je internetové bankovníctvo 3. Platobná karta

vznikla, aby ľudia nenosili hotovosť

niektoré údaje sú natlačené – meno, dátum vydania a platnosti, číslo karty

ďalšie údaje sú na magnetickom prúžku alebo čipe, ktorý je bezpečnejší, pretože sa ťažšie kopíruje

platba musí byť autorizovaná PIN kódom alebo podpisom; PIN kód sa zadáva pri výbere bankomatom alebo platení v obchode

podvodníci sa snažia karty kradnúť alebo kopírovať, ale transakcie sú bezpečné; dôležité je správať sa zodpovedne (nepožičiavať kartu, nikomu nehovoriť PIN kód ani ho nemať zapísaný pri karte)

môžeme ňou platiť aj cez internet (zadáva sa číslo karty, platnosť, meno a kód, ktorý je na druhej strane karty

4. Šek

papier, ktorým klient prikazuje svojej banke, aby tomu kto šek predložil zaplatila danú čiastku

musí tam byť meno, kto ho vystavil, čiastka, dátum vystavenia, splatnosť

u nás sa využíva veľmi málo 5. Platobný príkaz

stačí vyplniť príkaz, podpísať ho a odovzdať pri priehradke v banke, kde máme účet; prevod je drahší ako cez internet

Jednoduché úrokovanie

je typ úrokovania, ktoré sa používa pri uložení kapitálu na dobu kratšiu ako je jedno úrokové obdobie

úrokuje sa iba základná istina a vyplácané úroky sa k nej nepripočítavajú a ďalej neúročia

úroky sú vyplácané podľa typu jednoduchého úrokovania na začiatku alebo konci úrokového obdobia

Vzorce

ndiKú ).1.(.0 )).1.(1.(00 ndiKúKKn %100

raúrokovámiei

ú – úrok


4

0K - súčasná hodnota kapitálu (istina)

nK - budúca hodnota kapitálu

i – úroková sadzba (úroková miera) vyjadrená ako desatinné číslo (vyjadruje sa prevažne ročná úroková sadzba p.a.) d – zrážková daň (daň z úrokov) vyjadrená ako desatinné číslo; ak 0d o zrážkovej dani neuvažujeme n – dĺžka úrokového obdobia v jednotkách úrokovej periódy (doba uloženia kapitálu) Doba n sa stanovuje podľa tzv. štandardov (konvencií)

Spôsob Štandard Počet dní v mesiaci Počet dní v roku

Nemecký (európsky) 30E/360 30 360

Americký 30A/360 30/31 360

Francúzsky (medzinárodný) ACT/360 skutočný 360

Anglický ACT/365 skutočný skutočný

Poznámka 1:

ak zaokrúhľujeme počet dní v roku, hovoríme o bankovej metóde

ak za počet dní v roku berieme skutočný počet hovoríme o exaktnej (presnej) metóde

Pri oboch metódach môžeme vyjadriť skutočný počet dní v mesiaci (podľa kalendára) alebo každý mesiac má 30 dní

Poznámka 2:

musíme si uvedomiť, že n (dobu uloženia kapitálu) môžeme vyjadriť

360

tn - ak počítame v dňoch

12

zn - ak počítame v mesiacoch

Príklad 1: Po letnej brigáde ste si do banky uložili 800 €. Úroková sadzba je 4 % p.a. (ročná úroková miera). Úroky z vkladu sú zdanené 15 % zrážkovou daňou. Akú čiastku si môžete vybrať po 3 mesiacoch? Riešenie:

ide o jednoduché úrokovanie, pretože počítame v rámci jedného úrokového obdobia

vypíšeme, čo poznáme a čo máme vypočítať

;8000 K ;04,0%100

%4i ;15,0

%100

%15d ;

12

3n ?nK

80,80612

3.15,01.04,01.800.1.10

ndiKKn

Po 3 mesiacoch si môžete vybrať 806,80 €.

3 mesiace z 12 mesiacov (1rok)


5

Príklad 2 Od veriteľa ste si požičali 400 € a za rok mu musíte vrátiť 440 €. Aká je výnosnosť pôžičky pre veriteľa? Predpokladá sa ročná úroková sadzba, bez zrážkovej dani. Riešenie:

ak chceme vypočítať výnosnosť musíme vypočítať i – ročnú úrokovú sadzbu, vyjadrením neznámej zo vzorca, prípadne dosadíme do vzorca a riešime ako rovnicu

vo vzorci ndiKKn .1.10 vynecháme d1 , pretože neuvažujeme

o zrážkovej dani a tak d = 0

;4000 K ;440nK ;1n ?i

niKKn .10 nK

KKi n

.0

0

niKKKn ..00 / 0K %101,01.400

400440

i

niKKKn ..00 / nK .: 0

inK

KK n

.0

0

Odpoveď: Výnosnosť pôžičky pre veriteľa je 10 %. Príklad 3 Za koľko dní vzrastie vklad 60 € na 64 € pri ročnej úrokovej miere 8 % a použitím štandardu ACT/360. Riešenie:

štandard ACT/360 znamená, že počítame skutočný počet dní

potrebujeme vypočítať n a potom presný počet dní

;600 K ;64nK ;08,0i ;0d ?n

niKKn .10

n.08,01.6064

n.8,46064 360

tn

n.8,44 3606

5 t

6

5

48

40 nn t300

Odpoveď: Vklad zo 60 € na 64 € vzrastie pri úrokovej miere 8 % za 300 dní.

Zložené úrokovanie

Je typ úrokovania, ktoré sa využíva na uloženie kapitálu na dlhšiu dobu ako jedno úrokové obdobie a zároveň na celý počet úrokových období

Úroky sa pripisujú k istine a spolu s ňou sa ďalej úročia Vzorce

n

nm

diKK

1.1.0


6

ndKK n ,,,0 : označenie ako pri jednoduchom úrokovaní

m: frekvencia úrokovania (koľkokrát za rok sú pripisované úroky m = 1 ročne (jedenkrát za rok) m = 2 polročne (dvakrát za rok) m = 4 štvrťročne (štyrikrát ročne) V príkladoch pokiaľ to nie je uvedené inak, predpokladáme:

d = 0, tak neuvažujeme o zrážkovej dani

m = 1, tak uvažujeme o ročnom pripisovaní úrokov

Motivačný príklad Peter a Marek sa rozhodli uložiť do banky 10 000 € so 6 % ročnou úrokovou sadzbou, na 10 rokov. Peter si zvolil jednoduché úrokovanie svojich peňazí a Marek si zvolil zložené úrokovanie. Ktorý z nich ich uložil výhodnejšie? Vysvetlite prečo. Riešenie:

vypočítame budúcu hodnotu kapitálu, ktorú získame pri jednoduchom úrokovaní a zloženom úrokovaní

Peter si zvolil jednoduché úrokovanie, použijeme vzorec pre jednoduché úrokovanie

;100000 K ;06,0i ;10n ;0d ?10 KKn

niKKn .10

1600010.06,01.1000010 K

Marek si zvolil zložené úrokovanie, použijeme vzorec pre zložené úrokovanie

;100000 K ;06,0i 1m (jedno úrokové obdobie za 1 rok); 101.10 n ; ;0d

?10 K

n

nm

iKK

10

48,179081

06,01.10000

10

10

K

Odpoveď: Výhodnejšie si uložil peniaze Marek, pretože po 10 rokoch bude mať 17908 € a Peter len 16000 €. Je to preto, lebo pri zloženom úrokovaní sa úroky pripisujú k istine a ďalej úročia s istinou. Poznámka:

dokázali sme, že ak si chceme uložiť peniaze na viac úrokových období je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie (podobne bude aj veriteľ používať úrokovanie pri pôžičke)

Príklad 1 Na dvojročný termínovaný vklad ste si uložili 1000 €. Úroky sú pripisované polročne. Koľko si budete môcť vybrať za 2 roky, ak úroková sadzba na tento vklad je 4 % p.a. a daň z úrokov je 15 %? Riešenie:

;10000 K ;04,0i ;15,0d 2m (2 polroky za jeden rok); 42.2 n (za 2 roky

vám pripíšu úroky 4 krát – sú to 4 polroky); ?nK


7

n

nm

diKK

1.10

75,1069

2

15,01.04,01.1000

4

nK

Pri daných podmienkach si budeme môcť vybrať 1069,75 €. Príklad 2: Pri akej ročnej úrokovej sadzbe so štvrťročným pripisovaním úrokov sa nám za 5 rokov zúročí 5000 € na 7000 €? Riešenie:

máme vypočítať ročnú úrokovú sadzbu tzn. i, zo základného vzorca si vyjadríme i a dosadíme (ak nevieš rieš ako rovnicu)

;50000 K ;7000nK ;4m 204.5 n (za 5 rokov je 20 štvrťrokov); ;0d ?i

n

nm

iKK

10 m

K

Ki n

n .10

n

n

m

i

K

K

1

0

4.15000

700020

i

m

i

K

Kn

n 10

0679,0i %79,6

m

i

K

Kn

n 10

imK

Kn

n

.1

0

Odpoveď: Za daných podmienok sa nám peniaze zúročia pri úrokovej miere 6,79 %.

Zmiešané úrokovanie

ide o kombináciu jednoduchého a zloženého úrokovania

používa sa pri uložení kapitálu na dobu, ktorú nie je možné vyjadriť ako celý počet úrokových období

Vzorce:

ldi

m

diKK

n

n .1.1.1.

1.0

0

mdiKKn ,,,, 0 : ako pri zloženom úrokovaní

0n : počet celých úrokových období

l: zostávajúca doba uloženia (vyjadrená v rokoch) Poznámka:

pri dosadení 00 n dostaneme vzorec pre jednoduché úrokovanie

pri dosadení 0l dostaneme vzorec pre zložené úrokovanie


8

Príklad 1 Na koľko sa zúročí 2000 € za 8 rokov a 3 mesiace pri úrokovej sadzbe 12 % p.a. a ročnom úročení. Riešenie:

potrebujeme vypočítať nK

použijeme vzorec pre zmiešané úrokovanie, pretože nemáme celé úrokované obdobia (ročné úročenie; 8 rokov a 3 mesiace)

;20000 K ;12,0i 1m (ročné úrokovanie); 80 n (8 rokov); 4

1

12

3l (3 mesiace

z 1 roka; 1 rok = 12 mesiacov); ?nK

ldi

m

diKK

n

n .1.1.1.

1.0

0

48,51004

1.12,01.

1

12,01.2000

8

nK

Odpoveď: Za dané obdobie sa 2000 € zúročí na 5100,48 €. Úloha 1: Ak by sme počítali iba pomocou zloženého úrokovania získali by sme menej peňazí ako pomocou zmiešaného úrokovania. Skúste si to prepočítať.

Efektívna úroková sadzba

používa sa pri porovnávaní výhodnosti uloženia kapitálu v rôznych bankách

pri pripisovaní úrokov raz ročne dáva rovnakú splatnú čiastku, ako nominálna úroková sadzba pri pripisovaní úrokov m – krát ročne

o spojitom úrokovaní hovoríme vtedy, ak v období jedného roka je nekonečne veľa nekonečne krátkych úrokových období

Vzorce:

11

m

em

ii 1 i

e ei - pri spojitom úrokovaní

ei : efektívna úroková sadzba

i : ročná úroková sadzba m: frekvencia úrokovanie

pri ročnom pripisovaní úrokov platí: iie

Príklad 1 Chcete si uložiť peniaze a máte možnosť si zvoliť z ponúk 4 bánk: Banka A ponúka úrokovú sadzbu 13 % p.a. s denným pripisovaním úrokov Banka B ponúka úrokovú sadzbu 13,5 % p.a. s polročným pripisovaním úrokov Banka C ponúka úrokovú sadzbu 14 % p.a. s ročným úročením Banka D ponúka úrokovú sadzbu 12,8 % so spojitým úročením Riešenie:

každá banka má inú úrokovú sadzbu, iné pripisovanie úrokov, preto pre porovnanie využijeme vzorce na výpočet efektívnej úrokovej sadzby

Banka A: 360;13,0 mi (denné pripisovanie úrokov, používame normu 30/360)


9

1388,01360

13,0111

360

m

em

ii %88,13

Banka B: 2;135,0 mi (polročné pripisovanie úrokov tzn. 2 – krát za rok)

1396,012

135,0111

2

m

em

ii %96,13

Banka C: 1;14,0 mi (ročné úročenie tzn. iie )

14,0ei %14

Banka D: 128,0i ; spojité úročenie

1366,011 128,0 eei i

e %66,13

porovnáme jednotlivé percentá a vyberieme si najvyššiu hodnotu, pretože je to pre nás najvýhodnejšie dosiahneme najvyššiu budúcu hodnotu uloženého kapitálu

13,66 % < 13,88 % < 13,96 % < 14 % D A B C Odpoveď: Najvýhodnejšia je banka C.

Umorovací počet

Úmor dlhu – je tá časť splátky úveru, ktorá znižuje dlžnú čiastku Splátka (anuita) úveru sa skladá z úrokov a úmoru dlhu

umorovať dlh môžeme rovnakým úmorom alebo rovnakou splátkou

pre výpočet splátky budeme uvažovať umorovanie dlhu splátkami v rovnakej (konštantnej) výške, ktoré sú uskutočňované pravidelne vždy raz za úrokové obdobie a to na jeho konci

Umorovací plán – je dokument , ktorý obsahuje pre jednotlivé obdobia splácania úveru:

výšku splátky

výšku úroku

výšku úmoru

stav dlhu Pre prehľadnosť je výhodné zapisovať umorovací plán do tabuľky. Vzorce: Umorovanie dlhu konštantnou anuitou:

n

iDa

1.

i

1

1

D: počiatočná hodnota dlhu i: úroková sadzba za úrokové obdobie (nemusí byť ročná) n: počet úrokových období, počas ktorých sa dlh spláca (nemusí byť počet rokov) a: veľkosť jednej pravidelnej splátky (anuita) : diskontný faktor

Príklad 1: Podnikateľ si zobral v banke úver 500 000 € s úrokovou sadzbou 6,25 % p.a.. Má byť splatený 8 rovnakými splátkami zaplatenými ku koncu roka. a) Vypočítajte výšku splátky. b) Vytvorte umorovací plán.


10

c) Aký úrok zaplatil podnikateľ v 3. roku? d) Aký je zostatok dlhu v 6.roku? e) Aká je celková umorená časť dlhu ku koncu 6.roka? Riešenie:

urobíme si umorovací plán (tabuľka)

vypočítame anuitu (výšku splátky) a postupne budeme dopĺňať tabuľku Umorovací plán:

Splátka Úrok Úmor Stav dlhu

Počiatočný stav _________ __________ _________ 500 000,00

Koniec 1. roka 81 316,48 31 250,00 50 066,48 449 933,52

Koniec 2. roka 81316,48 28 120,85 53 195,63 396 737,89

Koniec 3. roka 81316,48 24 796,12 56 520,36 340 217,53

Koniec 4. roka 81316,48 21 263,60 60 052,88 280 164,65

Koniec 5. roka 81316,48 17 510,29 63 806,19 216 358,46

Koniec 6. roka 81316,48 13 522,40 67 794,08 148 564,38

Koniec 7. roka 81316,48 9 285,27 72 031,21 76 533,17

Koniec 8. roka 81316,49 4 783,32 76 533,17 0,00

Výpočet výšky splátky:

8;0625,0;500000 niD

48,81316

0625,01

11

0625,0.500000

1

11

.1

.8

nn

i

iD

iDa

Vyplňovanie tabuľky:

vypíšeme prvý riadok a stĺpec a vypočítame anuitu

do tabuľky môžeme splátku zapísať (2. stĺpec) do riadku 1. – 7. rok

začneme vyplňovať jednotlivé riadky Počiatočný stav:

vyplníme len stav dlhu (sumu, ktorú sme si požičali) Koniec 1. roka: Splátka : máme zapísanú (81 316,48) Úrok (3. stĺpec): Stav dlhu v riadku počiatočný stav vynásobíme i 312500625,0.500000

Úmor (4. stĺpec): od splátky odčítame úrok (v riadku koniec 1. roka) 48,500663125048,81316

Stav dlhu (5. stĺpec): od stavu dlhu (počiatočný stav) odčítame úmor (koniec 1. roka) Koniec 2. roka: Splátka: máme zapísanú Úrok: Stav dlhu (koniec 1. roka) vynásobíme i

85,281200625,0.52,449933

Úmor: od splátky odčítame úrok 63,5319585,2812048,81316

Stav dlhu: od stavu dlhu (koniec 1. roku) odčítame úmor (koniec 2. roka) 89,39673763,5319552,449933

Takýmto spôsobom postupujem pokiaľ nevyplníme všetky riadky okrem posledného.


11

Koniec 8. roka:

vypočítame úrok

do stavu dlhu zapíšeme 0

do úmoru zapíšem stav dlhu na konci 7. roka

vypočítame splátku (sčítame úrok a úmor) Keď sme vyplnili celú tabuľku využijeme je na hľadanie odpovedí na zadané otázky. Odpoveď: a) Výška splátky je 81 316,48 €.

vypočítali sme podľa vzorca b) umorovací plán (tabuľka) c) Podnikateľ zaplatil v 3. roku 24 796,12 €.

Zistili sme to z tabuľky v stĺpci „úrok“ a v riadku „koniec 3. roka“ d) Na konci 6. roka je zostatok dlhu 148 564,38 €.

Zistili sme to z tabuľky v stĺpci „stav dlhu“ a riadku „koniec 6. roka“ e) Na konci 6. roka je umorených 351 435,63 €.

Môžem to zistiť dvojakým spôsobom: od celkového dlhu odčítame stav na konci 6. roka (500 000 – 148 564,38) alebo sčítame úmor od 1. roka do 6. roka

Finančná gramotnosť

Finančná gramotnosť je naša schopnosť používať poznatky a zručnosti na efektívne riadenie vlastných finančných zdrojov tak, aby sme si zaistili finančné zabezpečenie na celý život.

Finančná gramotnosť Slovákov je slabá aj napriek tomu, že možnosti finančného vzdelávania na slovenských školách je najlepšia (podľa OECD). 15 % slovenských študentov má finančné povedomie pod základnou úrovňou. Z 18 skúmaných krajín má slabšie výsledky už len Taliansko a Kolumbia, najlepšie výsledky dosiahli mladí ľudia v Číne. Vyplynulo to zo štúdie organizácie, ktorá testovala vzťah mladých k financiám. (webnoviny, 15. 09. 2014.)

Nadácia PARTNERS a agentúra FOCUS zrealizovali prieskum, ktorý sa zameral na základné poznatky z ekonómie a financií. Prieskum sa realizoval face to face v období 14.08. – 20.08.2014. Zúčastnilo sa ho 720 respondentov, obyvateľov Slovenskej republiky, ktorí majú aspoň 18 rokov. Z prieskumu vyplynulo, že:

56 % Slovákov nevie zhodnotiť výhodnosť úverov výpočtom prostredníctvom úroku a RPMN (ročná percentuálna miera nákladov),

74 % Slovákov nevie rozlíšiť mieru rizika investícií, ktoré sú kľúčové pri výbere investičného produktu alebo určení stratégie 2. A 3. dôchodkového piliera.

Finančné správanie Slovákov:

43 % neušetrí z mesačného príjmu vôbec nič,

42 % ušetrí menej ako 10 %. Podľa údajov Eurostatu obyvatelia Eurozóny ušetria 14 % svojich príjmov (najviac

Švajčiari 17 %). Avšak 85 % Slovákov je pod európskym priemerom respektíve na nule.

Zo Slovákov, ktorí si požičali, 44 % dáva na splátky pôžičiek tretinu svojich príjmov, 35 % minie na splátky do tretiny a 9 % viac ako tretinu príjmu. Na druhej strane sa 55 % Slovákov si nepožičiava vôbec.


12

Kombinatorika

Kombinatorika je súčasť diskrétnej matematiky, ktorá študuje (spravidla) konečné množiny objektov, ktoré vyhovujú zadaným kritériám a zaoberá sa najmä "počítaním" objektov v týchto množinách a rozhodovaním, či isté objekty a množiny objektov vôbec existujú . Jedným z najvýznamnejších kombinatorikov nedávnej doby bol Gian-Carlo Rota, ktorý pomohol sformalizovať kombinatoriku začiatkom šesťdesiatych rokov.

Podobne ako matematika sprevádza ľudstvo po celú dobu jeho histórie, tiež kombinatorika sa v histórii objavuje už veľmi dávno. Prvé kombinatorické poznatky, príklady a výsledky môžeme nájsť už v období okolo roku 2000 pred Kristom. Texty vzťahujúce sa ku kombinatorike nachádzame najčastejšie v indickej a čínskej civilizácii. Väčšinou je však zložité určiť čo len približný dátum vzniku týchto textov. Obsahujú totiž celý rad poznámok a záznamov, ktoré často nie sú pôvodné a do textov sa dostali v neskoršom období. Mnoho prác sa vôbec nezachovalo, existujú na ne len odkazy.

Vypátrať históriu základných pravidiel kombinatoriky pre počítanie je zložité aj z ďalších dôvodov. Pravidlá kombinatoriky sú natoľko jednoduché, že boli používané často len intuitívne, bez konkrétneho doloženia ich znalosti. Z mnohých príkladov je zrejmé, že ľudia tieto pravidlá poznali, ale nikde ich nenájdeme presne popísané. Výsledky bolo možné získať jednoduchým vypísaním všetkých možností. Asi najznámejšie príklady z histórie sú rôzne kombinácie chutí, ktoré môžeme získať zo šiestich základných: sladkej, kyslej, slanej, horkej, ostrej a trpkej; príklady na vytváranie slov z rôzne dlhých slabík; miešanie vôní; a tak ďalej (zdroj: wikipedia).

Faktoriál

Pre každé prirodzené číslo n definujeme:

1.2.3.........3.2.1.! nnnnn ; .1n

Symbol !n čítame „ n faktoriál“ a znamená súčin čísel od n do .1 Špeciálne platí:

.1!0 Faktoriál budeme využívať pri riešení rôznych kombinatorických úloh ako

prostriedok na dosiahnutie „počítania“ objektov v konečných množinách. Príklad 1. Pomocou definície rozpíšte výraz: a) !5 b) !a

c) !2n d) !.3k

Riešenie: a) 1201.2.3.4.5!5

b) 1.2.3......3.2.1.! aaaaa

c) 1.2.3.......2.1..1.2!2 nnnnnn

d) 1.2.3........6.5.4.3!3 kkkkk

Na výpočet faktoriálu možno použiť aj kalkulačku. Slúži na to tlačidlo

!x .

Použitie kalkulačky uvedieme v nasledujúcom príklade.

Príklad 2. Pomocou kalkulačky vypočítajte: a) !7 b) !.28

Riešenie:

a) !7 = SHIFT !x 5040

http://sk.wikipedia.org/wiki/Diskr%C3%A9tna_matematika

http://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=Gian-Carlo_Rota&action=edit&redlink=1

http://sk.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=2000_pred_Kr.&action=edit&redlink=1


13

b) !28 = SHIFT !x 2910.05,3

V niektorých príkladoch je výhodné faktoriál rozpísať nie ako súčin od n do 1,

ale od n po iné číslo alebo iný výraz, ktorý v príklade už vystupuje. Uvedieme

v nasledujúcom príklade. Príklad 3. Rozpíšte výraz obsahujúci faktoriál: a) !5 b) !a

c) !2n d) !3k

Riešenie: a) !2.3.4.5!3.4.5!4.5!5

b) .....!3.2.1.!2.1.!1.! aaaaaaaaaa

c) .....!1..1.2!.1.2!1.2!2 nnnnnnnnnn

d) .....!6.5.4.3!5.4.3!4.3!3 kkkkkkkkkk

Z dôvodu podmienky výrazu obsahujúceho faktoriál, kde pre !n platí 1n

a špeciálne 1!0 , je nutné určovať podmienky pre výrazy obsahujúce faktoriál stále.

Uvedieme v nasledujúcom príklade.

Príklad 4. Určte podmienky výrazu: a) !a b) !2n

c) !3k .

Riešenie: a) Zaaa 0!

b) Znnnn 202!2

c) .303!3 Zkkkk

Príklad 5. Upravte a určte podmienky: a) !3!.5

!8 b)

!7

!5

!

!2

k

k

k

k

Riešenie: Pri zjednodušovaní výrazu vyjadríme výraz s väčšou hodnotou pomocou menšieho:

a) 561

7.8

1.2.3

6.7.8

1.2.3!.5

!5.6.7.8

!3!.5

!8

b)

1.2

!7

!7.6.5

!

!.1.2

!7

!5

!

!2kk

k

kkk

k

kkk

k

k

k

k

32823065226.5 222 kkkkkkkkkk

Podmienky: 5050202 kkkkk

Zkkkk 7707

Poznámka: výslednú podmienku vytvoríme ako prienik jednotlivých podmienok, prípadne priamo z faktoriálu s najmenšou hodnotou.

Príklad 6. Riešte rovnicu:

.2553!1

!3 2

xx

x

x

Riešenie:

2553!1

!3 2

xx

x

x

2553

!1

!1.2.3 2

xx

x

xxx

2553623 22 xxxxx


14

2518 x / 1

248 x / 8: 3x

Podmienky: Zxxxxxx 1101303

Keďže riešenie rovnice spĺňa uvedenú podmienku, platí .3P

Kombinatorické pravidlo súčinu

Na základe skúseností alebo vypisovaním konkrétnych možností riešme nasledujúce motivačné príklady, v ktorých budeme zisťovať počet možností v konkrétnej situácii a pomocou výsledku vydedukujeme pravidlo, ktoré ich bez vypísania možností bude vedieť vypočítať.

Motivačný príklad 1. Z mesta A do mesta B vedú štyri cesty a z mesta B do mesta C vedú tri cesty. Určte počet možností, ktoré udávajú počet ciest z mesta A do mesta C a pritom prechádzajú cez mesto B. Riešenie: Uvedenú situáciu si načrtneme a jednotlivé cesty označíme:

Z obrázka vyplýva, že možnosti sú: a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3. Možností na výber cesty z mesta A do mesta B sú štyri a možností na výber cesty z mesta B do mesta C sú tri, teda možností na výber cesty z mesta A do mesta C sú 4.3=12. Motivačný príklad 2. Určte počet všetkých trojciferných čísel vytvorením z číslic 3,5. Riešenie: Možnosti vyhovujúce podmienkam úlohy sú: 333 335 353 355 533 535 553 555. Všetkých trojciferných čísel, ktoré spĺňajú podmienky úlohy je: 2.2.2=8. Kombinatorické pravidlo súčinu(vydedukované z motivačných úloh):

A C

B

a

b

c

d

1

2

3


15

Počet všetkých usporiadaných k -tic, ktorých prvý člen možno vybrať 1n spôsobmi,

druhý člen po výbere prvého člena 2n spôsobmi, a tak ďalej, až k -ty člen po výbere

všetkých prechádzajúcich členov kn spôsobmi, sa rovná:

knnnn ........ 321 .

Variácie a permutácie s opakovaním a bez opakovania

Riešením jednotlivých príkladov v predchádzajúcej stati (Kombinatorické pravidlo súčinu) sme sa všimli, že v každom príklade sme vytvárali k -prvkové

podmnožiny utvorené z n prvkov tak, že v nich záleží na poradí (sú usporiadané).

Jednotlivé situácie v príkladoch sa od seba líšia porovnaním veličín kn, a taktiež

tým, či je v danej situácii dovolené opakovanie prvkov. Analýzou uvedených odlišností možno rozdeliť jednotlivé prípady do štyroch

skupín takto:

A. Variácie k -tej triedy z n prvkov bez opakovania nVk

vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov bez

opakovania prvkov, pričom k < n ;

počet variácií k -tej triedy z n prvkov bez opakovania možno určiť jednak kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom

!

!

kn

nnVk

Príklad 1. K zostaveniu vlajky, ktorá má byť zložená z troch rôznofarebných vodorovných pruhov, sú k dispozícii látky farba bielej, červenej, modrej, zelenej a žltej. Určte počet vlajok, ktoré možno z látok týchto farieb zostaviť. Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané trojice z piatich prvkov (farieb) bez opakovania.

a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : 603.4.5 .

b) Pomocou vzorca: 3,5 kn

.603.4.5!2

!2.3.4.5

!2

!5

!35

!553

V

Z látok týchto farieb možno zostaviť 60 vlajok.

B. Variácie k -tej triedy z n prvkov s opakovaním nV k´

vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov s

opakovaním prvkov, pričom k < n ;

počet variácií k -tej triedy z n prvkov s opakovaním možno určiť jednak kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom

k

k nnV ´


16

Príklad 2. Určte počet všetkých päťciferných prirodzených čísel vytvorených z číslic

7,6,5,4,3,2,1 s opakovaním číslic.

Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané pätice zo siedmich prvkov (číslic) s opakovaním.

a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : .168077.7.7.7.7

b) Pomocou vzorca: 5,7 kn

.1680777´ 5

5 V

Počet všetkých päťciferných prirodzených čísel z utvorených je .16807

C. Permutácie z n prvkov bez opakovania nP

vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov bez

opakovania prvkov, pričom k = n (označenie k sa preto nepoužíva);

počet permutácií z n prvkov bez opakovania možno určiť jednak

kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom

!nnP

Príklad 3. Koľkými spôsobmi možno usadiť v divadle do jednej lóže šiestich hostí vedľa seba? Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané šestice zo šiestich prvkov (hostí) bez opakovania.

a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : .7201.2.3.4.5.6

b) Pomocou vzorca: 6n

.720!66 P

Počet všetkých usadení hostí v jednej lóži je .720

D. Permutácie z n prvkov s opakovaním nP kk ,....., 21´ , pričom jednotlivé prvky sa

opakujú ,...., 21 kk -krát

vytvárame usporiadanú podmnožinu z n prvkov s opakovaním prvkov,

že jednotlivé prvky sa opakujú ,...., 21 kk -krát a platí nkk .....21 ;

počet permutácií z n prvkov s opakovaním, pričom jednotlivé prvky sa

opakujú ,...., 21 kk -krát možno určiť len vzorcom (pretože pri vzájomnej

výmene tých istých číslic, sa číslo nezmení)

!......!.

!´

21

,....., 21 kk

nnP kk

Príklad 4. Určte počet všetkých päťciferných prirodzených čísel, ktoré možno zostaviť z číslic 7,5 , pričom v každom z nich má byť číslica 5 práve trikrát.

Riešenie:


17

Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané pätice zo piatich

prvkov (číslic) 7,7,5,5,5 . Číslica 5 sa opakuje trikrát, teda 31 k a číslica 7 sa

opakuje dvakrát, teda .22 k

Dosadením do vzorca dostaneme:

.102

20

1.2

4.5

1.2!.3

!3.4.5

!2!.3

!55´ 2,3 P

Počet všetkých päťciferných čísel podľa podmienok úlohy je .10

Poznámka:

Pri prvých troch typoch z predchádzajúceho rozdelenia kombinatorických úloh je ľahšie príklad riešiť kombinatorickým pravidlom súčinu. Vzorcami na výpočet variácií bez opakovania, variácií s opakovaním a permutácií bez opakovania možno riešiť všetky príklady v stati 1.2.

Kombinácie bez opakovania

Príklad 1. Určte koľkými spôsobmi možno zo štyroch chlapcov A, B, C, D vybrať predsedu a pokladníka? Vymenujte možnosti. Riešenie: Uvedené možnosti sú (na prvom mieste je predseda a na druhom mieste je pokladník): AB BA CA DA AC BC CB DB AD BD CD DC Keďže sa jedná o usporiadanú dvojicu (na poradí prvkov záleží) bez opakovania prvkov, počet usporiadaných dvojíc možno taktiež určiť kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom. Počet spôsobov na vybratie predsedu a pokladníka z uvedeného počtu prvkov je 12. Príklad 2. Určte koľkými spôsobmi možno zo štyroch chlapcov A, B, C, D vybrať dvojčlenné družstvo? Vymenujte možnosti. Riešenie: Uvedené možnosti sú: AB BC CD AC BD AD Počet spôsobov na vytvorenie dvojčlenného družstva zo štyroch chlapcov je 6. Keďže sa nejedná o usporiadanú dvojicu (na poradí prvkov nezáleží, pretože v dvojčlennom družstve nie sú dané pozície chlapcov), počet dvojčlenných družstiev nemožno určiť kombinatorickým pravidlom súčinu, ani vzorcami na počet variácií alebo permutácií (variácie a permutácie udávajú počet usporiadaných k tic).

V uvedenom príklade sa jedná o neusporiadanú k ticu, ktorú v kombinatorike

popisujú kombinácie.


18

Kombinácie bez opakovania k tej triedy z n prvkov nCk popisujú počet

neusporiadaných k tic z n prvkov a okrem vypisovania možností môžeme

ich počet vypočítať vzorcom

!!.

!

knk

n

k

nnCk

.;,; 0 knNkn

Číslo

k

n sa nazýva kombinačné číslo a číta sa „ n nad k “. Hodnota

kombinačného čísla sa dá vypočítať aj pomocou kalkulačky tlačidlom nCr .

Riešenie príkladu 2. pomocou vzorca: Zo zadania príkladu vyplýva:

4n 2k

62

3.4

1.2!.2

!2.3.4

!24!.2

!4

2

442

C

Výpočet pomocou kalkulačky: 4 nCr 2 = 6 Počet spôsobov na vytvorenie dvojčlenného družstva zo štyroch chlapcov je 6.

Vlastnosti kombinačných čísel

Z predchádzajúceho učiva vieme, že kombinačné číslo

k

n sa definuje:

!!.

!

knk

n

k

n

.;,; 0 knNkn

Z uvedeného vzťahu vieme odvodiť nasledujúce vlastnosti kombinačných čísel, ktoré aj dokážeme:

1. 10

n Dôkaz:

1

!

!

!.1

!

!0!.0

!

0

n

n

n

n

n

nn

2. nn

1 Dôkaz:

nn

n

nn

n

nn

1!1.1

!1.

!1!.1

!

1

3. 1

n

n Dôkaz:

1

!

!

1!.

!

!!.

!

n

n

n

n

nnn

n

n

n

4. 10

0

Dôkaz:

1

1.1

1

!00!.0

!0

0

0


19

5.

kn

n

k

n

Dôkaz:

kn

n

knnkn

n

knknn

n

knk

n

k

n

!!.

!

!!..

!

!!.

!

6.

1

1

1 k

n

k

n

k

n

Dôkaz:

!!.1

!.1!.

!1!.1

!

!!.

!

1 knk

knnkn

knk

n

knk

n

k

n

k

n

1

1

!!.1

!1

!!.1

1!.

!!.1

1!.

k

n

knk

n

knk

nn

knk

knkn

Tieto vlastnosti kombinačných čísel možno ilustrovať na schéme, ktorá sa

nazýva Pascalov trojuholník1:

0

0

0

1

1

1

0

2

1

2

2

2

0

3

1

3

2

3

3

3

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4

................................................................. Vyčíslením jednotlivých kombinačných čísel dostaneme Pascalov trojuholník:

1 Blaise Pascal - prírodovedec a náboženský filozof bol už od narodenia mimoriadne nadaný. Ako 19

ročný skonštruoval prvý mechanický počítací stroj – fungoval až do vynálezu elektronického počítača. Výsledkami svojej vedeckej práce prispel k základom matematickej analýzy, geometrie, teórie pravdepodobnosti, výpočtovej techniky. Vo fyzike sa zaoberal rovnováhou tekutín a vypracoval zásady hydrostatiky, ktorá je napríklad základom hydraulického lisu. Podľa neho je pomenovaná jednotka tlaku v sústave SI, taktiež je autorom Pascalovho zákona. Blaise Pascal zomrel vo veku tridsaťdeväť rokov 19. augusta 1662. Francúzsko ho dodnes uctieva ako svojho najväčšieho génia náboženskej filozofie. Jeho vynálezy:

Skonštruoval prvý počítací stroj pre dva základné aritmetické úkony. Sformuloval základný zákon hydrostatiky, ktorý nesie jeho meno. Vyslovil niekoľko základných téz počtu pravdepodobnosti a kombinatoriky a spolu s Pierrom

de Fermatom je považovaný za zakladateľa modernej teórie pravdepodobnosti. Známy je Pascalov trojuholník na určenie binomických koeficientov. Podľa jeho mena bola pomenovaná jednotka tlaku a mechanického napätia v SI sústave.

(Zdroj: wikipedia)


20

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1

.................................................................

Z Pascalovho trojuholníka taktiež vyplývajú vlastnosti kombinačných čísel takto:

rozmiestnenie rovnakých čísel je symetrické vzhľadom k osi súmernosti Pascalovho trojuholníka (vlastnosť 5)

súčet ľubovoľných dvoch susedných čísel v každom riadku Pascalovho trojuholníka je rovný číslu, ktoré sa nachádza v nasledujúcom riadku „pod ich stredom“ (vlastnosť 6).

Príklad 1.

Vyjadrite jediným kombinačným číslom .5

31

26

30

3

30

Riešenie:

Z vlastností kombinačných čísel vyplýva, že

4

30

2630

30

26

30,

a teda

4

31

4

30

3

30 a .

5

32

5

31

4

31

Príklad 2.

Vyjadrite jediným kombinačným číslom .2

5

2

4

2

3

2

2

Riešenie:

Z vlastností kombinačných čísel vyplýva, že

3

3

2

2, a teda

.3

6

2

5

3

5

2

5

2

4

3

4

2

5

2

4

2

3

3

3

2

5

2

4

2

3

2

2

Binomická veta

V tejto látke zapíšeme všeobecný vzorec na výpočet n tej mocniny

dvojčlena ba , kde n je prirodzené číslo.

Vypočítame najprv mocniny nba pre 4,3,2,1n a porovnáme ich

s koeficientmi Pascalovho trojuholníka:

1ba ba 1 1

2ba 22 2 baba 1 2 1

3ba 3223 33 babbaa 1 3 3 1


21

4ba 432234 464 babbabaa 1 4 6 4 1

Na základe predchádzajúceho možno napísať všeobecný vzorec na

výpočet n tej mocniny dvojčlena ba , kde n je prirodzené číslo, ktorý nazývame binomická veta:

nnnnnnba

n

nba

n

nba

nba

nba

nba ....

1.......

2..

1..

0

01122110

Vzorec na výpočet k teho člena binomického rozvoja má tvar:

11..1

kkn bak

n

Príklad 1.

Vypočítajte využitím binomickej vety: .2

3

4

2

yx

Riešenie: Dosadením do vzorca binomického rozvoja dostaneme:

.162

3

2

275481

168.3.4

4.9.6

2.27.481

2.3.

4

4

2.3.

3

4

2.3.

2

4

2.3.

1

4

2.3.

0

4

23

4322468

432

2468

402

312

222

132

042

4

2

yyxyxyxx

yyx

yx

yxx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

Príklad 2.

Vypočítajte siedmy člen binomického rozvoja výrazu .1

2

9

2

xx

Riešenie: Dosadením do vzorca, pričom 7,9 kn dostaneme:

.6721

.8.841

.2.6

96

6

632

xx

xx


22

Pravdepodobnosť

Hnacím motorom rozvoja teórie pravdepodobnosti boli hry založené na náhode, kde okrem iného patrili verejné i súkromné lotérie, ktoré boli po dlhé roky dôležitými sociálnymi i ekonomickými činnosťami. Prvé stavebné kamene teórie pravdepodobnosti boli položené až v šestnástom storočí.

Najstaršou prácou venovanou týmto problémom je spis Hieronyma Cardana Liber de ludo aleæ (Kniha o hrách založených na náhode) datovaný do roku 1526.

Za skutočný začiatok rozvoja teórie pravdepodobnosti sa však považuje až slávna výmena listov medzi matematikmi Pascalom a Fermatom zahájená roku 1654. Išlo im vtedy o otázku, ako spravodlivo rozdeliť bank medzi hráčov, ak séria hazardných hier musela byť predčasne prerušená. Ďalším stimulom bol rozvoj poisťovníctva (problémy s poisťovaním lodí, problémy so životnými poistkami, atď.). (Zdroj: internet)

Pravdepodobnosť náhodného javu

Činnosti v bežnom živote vieme rozdeliť do dvoch skupín: činnosti, ktorých výsledky sa za splnených podmienok dajú predpokladať,

očakávať, napr. známka z písomky; činnosti, ktorých výsledky nie sú jednoznačné, závisia od náhody, napr. hod

hracou kockou. Náhodný pokus: každá činnosť, ktorá sa niekoľkokrát opakuje za rovnakých podmienok

a výsledok je neistý, náhodný. Náhodný jav: akékoľvek tvrdenie o výsledku náhodného pokusu, o ktorom môžeme

rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé.

Príklad: 1. Náhodný pokus: hod hracou kockou

Náhodný jav: padnutie 5 bodiek; padnutie steny s nepárnym počtom

bodiek; padnutie steny s 8 bodkami; padnutie steny

s počtom bodiek menším ako 7 ; ..... 2. Náhodný pokus: žrebovanie športky

Náhodný jav: vyžrebovanie čísla 7 ; vyžrebovanie párneho čísla; vyžrebovanie kladného čísla; vyžrebovanie záporného čísla; .....

3. Pracovný list 1 Nemožný jav: jav, ktorý za žiadnych okolností a náhod nenastane; označenie: ;

príklady: padnutie steny s 8 bodkami pri hode hracou kockou; vyžrebovanie

záporného čísla pri žrebovaní športky; .....

Istý jav: jav, ktorý nastáva vždy, za každých okolností; príklady: padnutie steny s počtom bodiek menším ako 7 pri hode hracou

kockou; vyžrebovanie kladného čísla pri žrebovaní športky; .....


23

Vzťahy medzi javmi (vysvetlenie na príkladoch, definícia nie je nutná):

jav A je časťou javu B BA ; príklad: A = pri hode hracou kockou padne

počet bodiek 3 , B = pri hode hracou kockou padne na kocke nepárny počet

bodiek;

rovnocenné javy BA, BA ; príklad: A = pri hode hracou kockou padne na

kocke párne číslo menšie ako 4 , B = pri hode hracou kockou padne na kocke číslo 2 ;

prienik javov BA, BA ; príklad: A = náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je

deliteľné 2 , B = náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je deliteľné 3 , BA =

náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je deliteľné 2 a 3 , teda 6 ;

zjednotenie javov BA, BA ; príklad: A = narodenie chlapca, B =

narodenie dievčaťa, BA = narodenie chlapca alebo dievčaťa;

nezlučiteľné javy BA, BA ; príklad: A = výroba výrobku prvej akosti,

B = výroba výrobku druhej akosti;

opačný (doplnkový) jav k javu A A ; príklad: A = pri hode hracou kockou

padne na kocke párne číslo, A = pri hode hracou kockou padne na kocke nepárne číslo. Pracovný list 2.

Pravdepodobnosť náhodného javu A :

číslo, ktoré popisuje nastanie náhodného javu A ; označuje sa AP ; jeho

výsledok môže byť vyjadrený desatinným číslom v intervale 1;0 ; v praxi sa

častejšie využíva vyjadrenie percentuálne %100%;0

Vlastnosti pravdepodobnosti:

pravdepodobnosť istého javu A : %1001AP ;

pravdepodobnosť nemožného javu B : %00 BP ;

pravdepodobnosť nezlučiteľných javov je daný súčtom pravdepodobností

týchto javov;

pravdepodobnosť opačného (doplnkového) javu k javu A : APAP 1´ ;

Klasická definícia pravdepodobnosti:

n

mAP


24

A - náhodný jav

n - počet všetkých výsledkov náhodného pokusu

m - počet priaznivých výsledkov náhodného pokusu.

Príklad 1. Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 ?

Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri hode hracou kockou máme vypočítať:

A - pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 .

V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej

pravdepodobnosti:

6n 6,5,4,3,2,1

1m 5 .

Dosadením uvedených veličín do vzorca na výpočet klasickej pravdepodobnosti dostaneme:

%6,16%100.61,06

1

n

mAP

Pravdepodobnosť, že pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 je %.6,16

Príklad 2. Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek na oboch kockách aspoň 10 ?

Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri hode dvoma hracími kockami máme vypočítať:

A - pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek na oboch kockách aspoň 10 .

V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej

pravdepodobnosti:

366.6 n 11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

6m 64 55 65 46 56 66


%6,16%100.61,036

6

n

mAP

Pravdepodobnosť, že pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek

na oboch kockách aspoň 10 je %.6,16


25

Príklad 3. V triede je 10 chlapcov a 15 dievčat. Aká je pravdepodobnosť, že pri výbere trojice

z nich bude práve jeden chlapec? Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri výbere trojice z nich máme vypočítať:

A - pri výbere trojice zo všetkých žiakov triedy má byť práve jeden chlapec. V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej

pravdepodobnosti:

23003

25

n (na poradí nezáleží)

1050105.102

15.

1

10

m (na poradí nezáleží)


%65,45%100.4565,02300

1050

n

mAP

Pravdepodobnosť, že pri výbere trojice z desiatich chlapcov a pätnástich dievčat bude práve jeden chlapec je %.65,45

Pracovný list 1. Rozdeľ uvedené opisy na náhodné pokusy a náhodné javy: hod mincou; na dvoch hracích kockách padne súčet bodiek osem; výber trojice žiakov v triede; výber dvoch televízorov v obchode; aspoň štyria žiaci z deviatich majú zošit; výber náhodného dvojciferného čísla; hod hracou kockou; strela hokejistu na bránku; hokejista strelí gól. Náhodné pokusy: ........................................................................................................... ........................................................................................................................................ Náhodné javy: ................................................................................................................ ........................................................................................................................................

Riešenie pracovného listu 1. Náhodné pokusy: hod mincou; výber trojice žiakov v triede; výber dvoch televízorov v obchode; výber náhodného dvojciferného čísla; hod hracou kockou; strela hokejistu na bránku Náhodné javy: na dvoch hracích kockách padne súčet bodiek osem; aspoň štyria žiaci z deviatich majú zošit; hokejista strelí gól

Pracovný list 2. Popíšte pravdivostnú hodnotu uvedeného výroku: a) Na hracej kocke padne číslo väčšie ako tri je doplnkový jav k javu, že na hracej

kocke padne číslo menšie ako tri. b) Jednociferné číslo deliteľné piatimi a jednociferné číslo deliteľné siedmimi sú

navzájom nezlučiteľné javy.


26

c) Pri hode mincou padne znak a pri hode mincou nepadne číslo nie sú rovnocenné javy.

d) Prienikom javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma nie je číslo deliteľné šiestimi.

e) Zjednotením javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma je číslo deliteľné dvoma a troma.

f) Prienikom javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma je číslo deliteľné dvoma alebo troma.

Riešenie pracovného listu 2.

a) 0 b) 1 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0

Pravdepodobnosť prieniku a zjednotenia javov

Zopakovanie operácií prienik a zjednotenie javov:

1. A - dvojciferné číslo deliteľné dvoma B - dvojciferné číslo deliteľné troma BA - dvojciferné číslo deliteľné dvoma a troma, teda šiestimi BA - dvojciferné číslo deliteľné dvoma alebo troma

2. C - prvý basketbalista trafí kôš

D - druhý basketbalista trafí kôš DC - prvý a druhý basketbalista trafí kôš, teda trafia obaja

DC - prvý alebo druhý basketbalista trafí kôš, teda trafí jeden z nich

Zopakovanie nezlučiteľných javov BA, BA :

1. A - dvojciferné číslo deliteľné 60

B - dvojciferné číslo deliteľné 70 javy BA, sú nezlučiteľné, lebo BA

2. C - dvojciferné číslo deliteľné 20

D - dvojciferné číslo deliteľné 30 javy DC, nie sú nezlučiteľné, lebo DC

je číslo deliteľné 60

Pre nezávislé javy BA, platí pre výpočet pravdepodobnosti prieniku javov BA :

BPAPBAP .

Pre náhodné javy BA, platí pre výpočet pravdepodobnosti zjednotenia javov BA :

BPAPBAP ; BA, - nezlučiteľné javy

BAPBPAPBAP ; BA, - zlučiteľné javy


27

Pracovný list Zakrúžkuj správnu odpoveď: a) Javy: futbalista Adam strelí gól a futbalista Jozef strelí gól sú javy závislé /

nezávislé. b) Javy: trojciferné číslo je deliteľné dvoma a trojciferné číslo je deliteľné troma sú

javy zlučiteľné / nezlučiteľné. c) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka

vytiahnem bielu guľôčku a nevrátim ju späť a z klobúka následne vytiahnem čiernu guľôčku sú javy závislé / nezávislé.

d) Javy: jednociferné číslo deliteľné 5 a jednociferné číslo deliteľné 6 sú javy

zlučiteľné / nezlučiteľné. e) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka

vytiahnem bielu guľôčku a vrátim ju späť a z klobúka následne vytiahnem čiernu guľôčku sú javy závislé / nezávislé.

Riešenie pracovného listu:

a) nezávislé b) zlučiteľné c) závislé d) nezlučiteľné e) nezávislé

Príklad: Na terč vystrelia po jednej rane dvaja strelci. Pravdepodobnosť toho, že prvý zasiahne cieľ, je 8,0 , pravdepodobnosť toho, že druhý zasiahne cieľ, je .9,0 Aká je

pravdepodobnosť toho, že a) obaja trafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, b) obaja netrafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, c) trafí iba jeden z nich, ak sa vzájomne neovplyvňujú, d) trafí aspoň jeden z nich, ak sa vzájomne neovplyvňujú?

Riešenie: Označme v príklade uvedené javy a ich doplnkové javy nasledovne: A - prvý strelec zasiahne cieľ B - druhý strelec zasiahne cieľ

A - prvý strelec nezasiahne cieľ

B - druhý strelec nezasiahne cieľ Pre pravdepodobnosti uvedených javov platí:

8,0AP 2,08,011 APAP

9,0BP 1,09,011 BPBP

a) Obaja trafia cieľ znamená, že trafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec.

Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov ( BA, sú nezávislé

javy, pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú), teda

72,09,0.8,0. BPAPBAP


28

Pravdepodobnosť toho, že obaja strelci trafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .72,0

b) Obaja netrafia cieľ znamená, že netrafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý

strelec. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov ( BA, sú

nezávislé javy, pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú), teda

02,01,0.2,0. BPAPBAP

Pravdepodobnosť toho, že obaja strelci netrafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .02,0

c) Trafí cieľ iba jeden z nich znamená, že buď nastane možnosť, že trafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý strelec alebo možnosť, že netrafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov (pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú) a zjednotenia nezlučiteľných javov, teda

26,018,008,09,0.2,01,0.8,0.. BPAPBPAPBABAP

Pravdepodobnosť toho, že trafí cieľ iba jeden strelec, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .26,0

d) Trafí cieľ aspoň jeden z nich znamená, že buď nastane možnosť, že trafí iba jeden strelec, a to že trafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý strelec alebo možnosť, že netrafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec alebo, že trafia obaja strelci. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov (pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú) a zjednotenia nezlučiteľných javov, teda

98,072,018,008,09,0.8,09,0.2,01,0.8,0

...

BPAPBPAPBPAPBABABAP

Pravdepodobnosť toho, že trafí cieľ aspoň jeden strelec, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .98,0

Bernoulliho schéma

Pracovný list Zakrúžkuj správnu odpoveď: a) Javy: futbalista Jozef strelí po prvom výkope gól, futbalista Jozef strelí po druhom

výkope gól a futbalista Jozef strelí po treťom výkope gól sú javy závislé / nezávislé.

b) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka vytiahnem jednu guľôčku a nevrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem druhú guľôčku a nevrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem tretiu guľôčku a nevrátim ju späť a z klobúka vytiahnem štvrtú guľôčku sú javy závislé / nezávislé.

c) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka vytiahnem jednu guľôčku a vrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem druhú guľôčku a vrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem tretiu guľôčku a vrátim ju späť a z klobúka vytiahnem štvrtú guľôčku sú javy závislé / nezávislé.


29

Riešenie pracovného listu: a) nezávislé b) závislé c) nezávislé

Ak máme n nezávislých pokusov, z ktorých každý skončí buď zdarom

s pravdepodobnosťou p alebo nezdarom s pravdepodobnosťou pq 1 , potom

pravdepodobnosť javu A , že práve k pokusov sa skončí zdarom, je

.,...,2,1,0;.. nkqpk

nAP knk

Jednotlivé pravdepodobnosti nkqpk

nknk ,...,2,1,0;..

, tvoria tzv. binomické

rozdelenie; iný názov je Bernoulliho schéma.

Príklad . Do hriadky vysadíme päť rastliniek. Pravdepodobnosť, že sa jedna rastlinka prijme, je %.80 Aká je pravdepodobnosť, že

a) sa prijmú štyri rastlinky, b) sa prijmú aspoň štyri rastlinky, c) sa prijmú najviac 2 rastlinky, d) sa prijme aspoň jedna rastlinka?

Riešenie:

a) Podľa zadania úlohy platí 2,08,01;8,0%80;4;5 qpkn

Dosadením do vzorca Bernoulliho schémy dostávame:

%96,404096,02,0.8,0.4

5454

AP

Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú štyri rastlinky je %.96,40

b) Podľa zadania úlohy platí

2,08,01;8,0%80;5,4;5 qpkn


%728,7373728,032768,04096,02,0.8,0.5

52,0.8,0.

4

5555454

AP

Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú aspoň štyri rastlinky je %.728,73

c) Podľa zadania úlohy platí

2,08,01;8,0%80;0,1,2;5 qpkn



30

%792,505792,000032,00064,00512,0

2,0.8,0.0

52,0.8,0.

1

52,0.8,0.

2

5050151252

AP

Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú najviac dve rastlinky je %.792,5

d) Podľa zadania úlohy platí

2,08,01;8,0%80;5,4,3,2,1;5 qpkn

Keďže jednotlivých možností je veľa, jednoduchšie je vypočítať uvedenú pravdepodobnosť cez pravdepodobnosť opačného (doplnkového) javu, tzn. negovať aspoň jedna na ani jedna, a teda platí

2,08,01;8,0%80;0´;5 qpkn


%968,9999968,000032,012,0.8,0.0

51´1 050

APAP

Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijme aspoň jedna rastlinka je %.968,99


31

Štatistika

Pre správne pochopenie množstva informácií s ktorými prichádzame každodenne do styku je nevyhnutné mať aspoň minimálne vedomosti zo štatistiky. Štatistika – veda o zhromažďovaní, spracovaní a vyhodnocovaní hromadných dát. Štatistický súbor – súbor všetkých objektov na ktoré sa vzťahuje daná otázka. Štatistické jednotky – jednotlivé prvky daného súboru. Rozsah štatistického súboru – počet štatistických jednotiek (ozn. n). Štatistický znak – vlastnosť štatistickej jednotky dôležitá z hľadiska štatistického skúmania (ozn. xi)

kvantitatívny znak – vyjadríme číslom

kvalitatívny znak – vyjadríme slovom.

Rozdelenie početnosti Absolútna početnosť – počet štatistických jednotiek s rovnakou hodnotou štatistického znaku (ozn. ni) Relatívna početnosť – podiel absolútnej početnosti a rozsahu súboru (ozn. pi)

n

np i

i . Často sa vyjadruje v percentách (100 . pi)

Kumulatívna početnosť – postupne sčítané jednotlivé absolútne početnosti (ozn. ki) Grafické spracovanie dát

využíva sa na spriehľadnenie dát

najčastejšie využívame absolútnu početnosť, ale ak sú veľké čísla použijeme relatívnu početnosť vyjadrenú v percentách.

Typy grafov – najčastejšie používané grafy: 1. histogram – stĺpcový diagram 2. polygón – spojnicový diagram (jednotlivé body spájame úsečkou) 3. kruhový graf – koláčový diagram 4. frekvenčná krivka – ako polygón, ale jednotlivé body spájame voľnou rukou.

Charakteristiky polohy

Charakteristiky polohy hodnôt znaku sú čísla, ktoré určitým spôsobom charakterizujú „priemernú hodnotu“ sledovaného znaku.

Aritmetický priemer (ozn. x ) hodnôt nxxx ,...,, 21 kvantifikovaného znaku x je daný

podielom súčtu hodnôt znaku a ich počtu: n

x

n

xxxx

n

i

i

n

121 ...

.

Vážený aritmetický priemer používame, ak hodnoty ix majú početnosť in .

Používame vzorec: n

nx

nnn

nxnxnxx

k

i

ii

k

kk

1

21

2211

.

...

......; nnnn k ...21

aritmetický priemer charakterizuje dobre súbor iba vtedy, ak sa hodnoty znaku navzájom extrémne nelíšia

ak niektoré hodnoty znaku sú extrémne vysoké alebo nízke skreslia aritmetický priemer a vtedy tú hodnotu môžeme škrtnúť.


32

Medián (ozn. Med(x)) – prostredný člen spomedzi hodnôt usporiadaných podľa veľkosti. Ak je rozsah súboru párne číslo urobíme aritmetický priemer 2 prostredných hodnôt.

Medián používame, ak sú v súbore prvky s extrémne odlišnými hodnotami znaku.

Modus (ozn. Mod(x)) – najčastejšie sa vyskytujúca hodnota štatistického znaku, teda hodnota s najväčšou početnosťou.

ak sú v súbore 2 rovnako najpočetnejšie znaky potom súbor modus nemá.


33

Základné pojmy teórie čísel Prirodzené čísla udávajú počet prvkov príp. poradie prvkov. Sú to čísla 1, 2, 3, (0

nie je prirodzené číslo). Číslo a je deliteľné číslom b, ak existuje také prirodzené číslo k, pre ktoré platí:

kba . Príklad

5.735 , môžeme povedať: číslo 35 je deliteľné číslom 7, číslo 7 je deliteľom čísla 35, číslo 35 je násobkom čísla 7, číslo 7 delí číslo 35 ( zapisujeme: 7/35). Zapamätajte si:

číslo 1 je deliteľom každého prirodzeného čísla,

každé prirodzené číslo je deliteľom seba samého. Prvočíslo – prirodzené číslo deliteľné číslom 1 a sebou samým. Zložené číslo – prirodzené číslo, ktoré má viac deliteľov (nie je prvočíslo). Spoločný deliteľ – každé prirodzené číslo, ktoré je deliteľom každého z daných prirodzených čísel. Súdeliteľné čísla – prirodzené čísla, ktoré majú aspoň jedného spoločného deliteľa (okrem jednotky). Nesúdeliteľné čísla – prirodzené čísla, ktoré nemajú iného spoločného deliteľa ako číslo 1.

Znaky deliteľnosti

Deliteľnosť 2:

ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek párnu číslicu (0, 2, 4, 6, 8) Napríklad: čísla 20, 326, 1568 sú deliteľné 2, pretože na mieste jednotiek majú 0, 6,8 Deliteľnosť 3:

ak ciferný súčet tohto čísla je deliteľný tromi Napríklad: číslo 5631 je deliteľné 3, pretože 5 + 6 + 3 + 1 = 15 a 15 : 3 = 5 Deliteľnosť 4 (resp. 20, resp. 25, resp. 50):

ak posledné dvojčíslie toho čísla je deliteľné 4 (resp. 20, resp. 25, resp. 50) Napríklad: číslo 1 540 je deliteľné 4 (resp. 20), pretože 40 : 4 = 10 (resp. 40 : 20 = 2) Deliteľnosť 5:

ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek 0 alebo 5. Napríklad: číslo 7365 je deliteľné 5, pretože na mieste jednotiek má 5. Deliteľnosť 6:

ak je prirodzené číslo súčasne deliteľné dvoma a tromi. Napríklad: číslo 356 142 je deliteľné šiestimi, pretože je to párne číslo a ciferný súčet (3 + 5 + 6 + 1 + 4 + 2 = 21) je deliteľný tromi. Deliteľnosť 8 (resp. 40):

ak posledné trojčíslie je deliteľné 8 (resp. 40). Napríklad: číslo 576 064 je deliteľné 8, pretože 064 je deliteľné 8. Deliteľnosť 9:

ak ciferný súčet toho čísla je deliteľný 9. Napríklad: číslo 6 233 211 je deliteľné 9, pretože 6 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 = 18 a 18 : 9 = 2. Deliteľnosť 10:


34

ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek 0. Napríklad: číslo 15 230 je deliteľné 10, pretože posledná číslica je 0. Deliteľnosť 11:

ak súčet číslic párnych rádov (jednotky, stovky, desaťtisícky, ...) zmenšený o súčet číslic nepárnych rádov (desiatky, tisícky, stotisícky, ...) je deliteľný 11.

Napríklad: číslo 71 654 je deliteľné 11, pretože (4 + 6 + 7) – (5 + 1) = 11 a 11 : 11 = 1 Poznámka: Vyskúšajte na kalkulačke, či dané kritéria platia.

Prvočíslo, zložené číslo

Prvočíslo – každé prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslom 1 a sebou samým. Zložené číslo - každé prirodzené číslo, ktoré má aspoň 3 rôzne delitele. Zapamätaj si:

najmenšie prvočíslo je číslo 2,

číslo 1 nie je prvočíslo. Rozklad zloženého čísla na súčin: Každé zložené číslo môžeme vyjadriť ako súčin jeho deliteľov; môže byť rôzny. Napríklad: ...8.5.210.816.520.440.280 Pre matematické výpočty je najvýhodnejšie rozkladať zložené číslo na súčin prvočísel – súčin, v ktorom je každý činiteľ prvočíslo. Príklad 1 Rozložte číslo 360 na súčin prvočísel. Riešenie:

rozložiť môžeme rôznymi spôsobmi 1. spôsob:

postupne rozkladáme jednotlivé činitele dovtedy pokiaľ v súčine nemáme iba prvočísla 60.6360

3.2 10.6 5.3.3.2.2.2360

3.2 5.2 5.3.2360 23

2. spôsob:

výhoda tohto spôsobu je, že postupne hľadáme prvočísla (vzostupne), ktorými je dané číslo deliteľné a hneď máme prvočíselný rozklad

360

180 2 prvočíselné delitele píšeme vpravo

90 2

45 2 5.3.2360 23

15 3

5 3

1 5


35

Poznámka:

zložené číslo n je deliteľné aspoň jedným prvočíslom p, pre ktoré platí np ,

ak číslo nie je deliteľné ani jedným takým prvočíslom, tak je prvočíslo. Príklad 2 Rozložte na súčin prvočísel: a) 1 147 b) 947 Riešenie:

vypočítame druhú odmocninu čísla a zisťujeme, či je dané číslo deliteľné prvočíslom až po danú odmocninu.

a) 87,331147 - hľadáme prvočíselné delitele až po 33

37.311147

b) 77,30947 - hľadáme prvočíselné delitele až po 30

zistili sme, že ani jedno prvočíslo od 2 po 29 nie je deliteľom 947 teda 947 je prvočíslo.

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok

Najväčší spoločný deliteľ (označenie baD , ) – je najväčšie číslo všetkých

spoločných deliteľov. Príklad 1 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 28 a 42. Riešenie:

môžeme danú úlohu riešiť viacerými spôsobmi 1. spôsob: metóda množín deliteľov

nájdeme delitele jednotlivých čísel

vypíšeme spoločné delitele a zapíšeme najväčšieho deliteľa

28,14,7,4,2,128 d

42,21,14,7,6,3,2,142 d

Spoločné delitele: 14,7,2,142,28 d

Najväčší spoločný deliteľ: 1442,28 D

Poznámka:

nevýhodou tejto metódy je prácnosť a že nevypíšeme všetky možnosti a vynecháme práve najväčšieho spoločného deliteľa.

2. spôsob: metóda prvočíselného rozkladu

urobíme prvočíselný rozklad čísel

spoločný deliteľ je súčin prvočísel, ktoré sú v oboch rozkladoch – vyhľadáme rovnaký základ a vyberieme najnižšiu mocninu.

7.228 2

7.3.242

147.242,28 D

Poznámka:

výhodou tejto metódy je rýchlosť 3. spôsob: metóda Euklidovho algoritmu

väčšie číslo zapíšeme ako delenie (so zvyškom) menšieho čísla,

v ďalšom kroku zapíšeme menšie číslo ako delenie zvyšku,


36

opakujeme dovtedy pokiaľ nie je zvyšok 0,

najväčší spoločný deliteľ je posledný nenulový zvyšok.

02.1428

141.2842

posledný nenulový zvyšok

1442,28 D

Najmenší spoločný násobok (označenie ban , ) je najmenší zo všetkých

spoločných násobkov Príklad 2 Nájdite najmenší spoločný násobok čísel 28 a 42. Riešenie:

môžeme danú úlohu riešiť viacerými spôsobmi 1. spôsob: metóda množín násobkov

nájdeme násobky jednotlivých čísel,

vypíšeme spoločné násobky a vyberieme najmenší.

,...112,84,56,2828 n

,...126,84,4242 n

Najmenší spoločný násobok: 8442,28 n

Poznámka: stačí, ak hľadáme násobky väčšieho čísla a zisťujeme, či je násobkom aj menšieho čísla

nevýhodou je prácnosť, dá sa využiť len pri menších číslach. 2. spôsob: metóda prvočíselného rozkladu

urobíme prvočíselný rozklad čísel,

najmenší spoločný násobok je súčin všetkých prvočísel s najväčším exponentom (prvočísla v oboch rozkladoch).

7.228 2

7.3.242

847.3.242,28 2 n

Poznámka:

najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sa využíva pri riešení slovných úloh


37

Obsah

Základné pojmy finančnej matematiky............................................................... 1

Jednoduché úrokovanie..................................................................................... 3

Zložené úrokovanie............................................................................................ 5

Zmiešané úrokovanie......................................................................................... 7

Efektívna úroková sadzba.................................................................................. 8

Umorovací počet................................................................................................ 9

Finančná gramotnosť........................................................................................ 11

Faktoriál............................................................................................................ 12

Kombinatorické pravidlo súčinu........................................................................ 14

Variácie a permutácie bez a s opakovaním...................................................... 15

Kombinácie bez opakovania............................................................................. 17

Vlastnosti kombinačných čísel.......................................................................... 18

Binomická veta................................................................................................. 20

Pravdepodobnosť náhodného javu.................................................................. 22

Pravdepodobnosť prieniku a zjednotenia javov............................................... 26

Bernoulliho schéma.......................................................................................... 28

Rozdelenie početnosti, grafické spracovanie dát............................................. 31

Charakteristiky polohy...................................................................................... 31

Znaky deliteľnosti............................................................................................. 33

Prvočíslo, zložené číslo.................................................................................... 34

Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok................................... 35

Pripravili: PaedDr. Zlata Marcinková

RNDr. Hedviga Rusinková

Základné pojmy finančnej matematiky3).pdf · Stredná priemyselná škola strojnícka,...

Documents

Transcript of Základné pojmy finančnej matematiky3).pdf · Stredná priemyselná škola strojnícka,...