c Tomáš Madaras 2018 Základné pojmy z topológie plôch · 2018. 10. 12. · c Tomáš Madaras...

c©Tomáš Madaras 2018

Základné pojmy z topológie plôch

DefiníciaKrivka (oblúk) v topologickom priestore X je obor hodnôt spojitejfunkcie f : 〈0, 1〉 → X. Krivka sa nazýva jednoduchá, ak f jeprosté. Jednoduchá uzavretá krivka je jednoduchá krivka f taká,že f(0) = f(1).

- krivka f(〈0, 1〉) spája jej koncové body f(0), f(1)

DefiníciaMnožina S ⊆ X je oblúkovo súvislá, ak každé jej dva body možnospojiť jednoduchou krivkou ležiacou v S.

DSMc


Veta (Jordan)

Nech C je jednoduchá uzavretá krivka v R2. Potom R2 \ Cpozostáva z práve dvoch oblastí, z ktorých jedna (int(C)) jeohraničená a druhá (ext(C)) je neohraničená; hranica každej ztýchto oblastí je C.

Veta (Jordan–Schönflies)

Nech C je jednoduchá uzavretá krivka v R2. Potom int(C) jehomeomorfná vnútrajšku jednotkového disku a ext(C) jehomeomorfná jeho komplementu.

Z Jordanovej vety vyplýva, že ľubovoľná jednoduchá krivka, ktoráspája bod z int(C) s bodom v ext(C) pretína C.

DSMc


- označenie: S2 . . . sféra v R3 – množina všetkých bodov[x, y, z] ∈ R3, ktoré spĺňajú rovnosť

x2 + y2 + z2 = 1

Uvažujme sféru S2 a jej dotykovú rovinu P . Nech z ∈ S2 jeprotiľahlý bod k spoločnému bodu S2 a P . Stereografickáprojekcia je zobrazenie π : S \ {z} → P , kde π(s) = p právevtedy, keď body z, s, p sú kolineárne.

DSMc


Planárne a rovinné grafy

DefiníciaGraf G je vnorený do X ak vrcholy G sú rôzne body X a každáhrana G je jednoduchá krivka spájajúca dva body X, ktoré sú jejkoncové vrcholy v G, pričom jej vnútrajšok má prázdny prienik skaždou hranou (jednoduchou krivkou) a vrcholom (bodom roviny)G. Uvedenú množinu bodov a jednoduchých kriviek nazývamevnorenie (reprezentácia) G do X.

DefiníciaBod X, ktorý je prienikom vnútrajškov dvoch rôznych hrán e, e′ vnakreslení grafu G sa nazýva priesečník hrán e, e′; hovoríme tiež,že hrany e, e′ sa pretínajú.

DSMc


DefiníciaGraf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho vnorenie D do rovinyR2. D sa potom nazýva rovinný graf.

PríkladDve nakreslenia grafu K4:

Nakreslenie vľavo je nakreslením planárneho grafu, ale nie je torovinný graf.

DSMc


História - rekreačná matematika, problém štyroch farieb (19. stor.)

Problém piatich kráľovstiev (A.F. Möbius, 1840)

Istý kráľ mal 5 synov; podľa jeho vôle mali synovia po jeho smrtirozdeliť kráľovstvo na 5 častí tak, aby každá časť mala spoločnúhranicu so všetkými ostatnými časťami (pozn. hranica nesmiepozostávať z "jediného bodu"). Je to možné?

Problém služieb (utility problem, H. Dudeney, 1913)

Do troch rôznych domov treba zaviesť elektrinu, plyn a vodu ztroch výrobní tak, aby sa jednotlivé vedenia nekrížili. Je to možné?

Problém štyroch farieb (F. Guthrie, 1852)

Je možné štáty každej politickej mapy zafarbiť pomocou najviacštyroch farieb tak, aby žiadne dva štáty so spoločnou hranicounemali tú istú farbu?

DSMc


VetaGraf K5 nie je planárny.

Dôkaz: Sporom – nech existuje vnorenie G grafu K5 do roviny anech v1, . . . , v5 sú jeho vrcholy. G je kompletný graf, teda každéjeho dva vrcholy sú spojené jednoduchou krivkou. Potom v1v2v3v1je jednoduchá uzavretá krivka v rovine a buď v4 ∈ int(C) alebov4 ∈ ext(C). Bez ujmy na všeobecnosti, nech v4 ∈ int(C); potomvnútra kriviek v1v4, v2v4 a v3v4 tiež ležia v int(C).Uvažujme kružnice C1 = v2v3v4v2, C2 = v3v1v4v3, C3 = v1v2v4v1.Pre i = 1, 2, 3 platí vi ∈ ext(Ci). Keďže viv5 je hrana G a G jerovinný graf, tak z Jordanovej vety dostávame, že pre i = 1, 2, 3platí tiež v5 ∈ ext(Ci). Teda v5 ∈ ext(C); potom však podľaJordanovej vety máme, že krivka v4v5 pretína C, čo je spor srovinnosťou G. �

Podobným argumentom možno dokázať, že K3,3 nie je planárny.

DSMc



Dôkaz: Sporom – nech existuje vnorenie G grafu K5 do roviny anech v1, . . . , v5 sú jeho vrcholy. G je kompletný graf, teda každéjeho dva vrcholy sú spojené jednoduchou krivkou. Potom v1v2v3v1je jednoduchá uzavretá krivka v rovine a buď v4 ∈ int(C) alebov4 ∈ ext(C). Bez ujmy na všeobecnosti, nech v4 ∈ int(C); potomvnútra kriviek v1v4, v2v4 a v3v4 tiež ležia v int(C).

Uvažujme kružnice C1 = v2v3v4v2, C2 = v3v1v4v3, C3 = v1v2v4v1.Pre i = 1, 2, 3 platí vi ∈ ext(Ci). Keďže viv5 je hrana G a G jerovinný graf, tak z Jordanovej vety dostávame, že pre i = 1, 2, 3platí tiež v5 ∈ ext(Ci). Teda v5 ∈ ext(C); potom však podľaJordanovej vety máme, že krivka v4v5 pretína C, čo je spor srovinnosťou G. �


DSMc



Dôkaz: Sporom – nech existuje vnorenie G grafu K5 do roviny anech v1, . . . , v5 sú jeho vrcholy. G je kompletný graf, teda každéjeho dva vrcholy sú spojené jednoduchou krivkou. Potom v1v2v3v1je jednoduchá uzavretá krivka v rovine a buď v4 ∈ int(C) alebov4 ∈ ext(C). Bez ujmy na všeobecnosti, nech v4 ∈ int(C); potomvnútra kriviek v1v4, v2v4 a v3v4 tiež ležia v int(C).Uvažujme kružnice C1 = v2v3v4v2, C2 = v3v1v4v3, C3 = v1v2v4v1.Pre i = 1, 2, 3 platí vi ∈ ext(Ci). Keďže viv5 je hrana G a G jerovinný graf, tak z Jordanovej vety dostávame, že pre i = 1, 2, 3platí tiež v5 ∈ ext(Ci). Teda v5 ∈ ext(C); potom však podľaJordanovej vety máme, že krivka v4v5 pretína C, čo je spor srovinnosťou G. �


DSMc


Z geometrického hľadiska je rovinný graf G nejaká množina bodovroviny (tvorená jednoduchými krivkami, ktoré majú spoločnékoncové body). Množina R2 \G potom pozostáva z niekoľkýchoblúkovo súvislých otvorených množín, ktoré sa nazývajú steny. Znich je práve jedna neohraničená; táto sa nazýva vonkajšia stena G,ostatné steny sú vnútorné steny. Množinu všetkých stien Goznačujeme F (G).

Pre rovinný graf G možno tiež definovať binárnu reláciu susednostistien na množine F (G) (dve steny sú susedné, ak ich hranice majúspoločnú jednoduchú krivku, ktorá je hranou G) a binárne relácieincidencie stien s vrcholmi resp. hranami (vrchol resp. hranainciduje so stenou, ak patrí resp. je podmnožinou jej hranice).

DSMc


Príklad

Stena α inciduje s vrcholmi a, b, c a s hranami ab, bc, ca; stena βinciduje s vrcholmi b, c, d, e a s hranami bc, be, cd, de. Stena γinciduje so všetkými vrcholmi a so všetkými hranami okrem hranybc.

DSMc


LemaGraf G má vnorenie do roviny práve vtedy, keď má vnorenie dosféry.

Dôkaz: Nech G má vnorenie D̃ do sféry S2. Zvoľme bod z ∈ S2,ktorý nepatrí vnoreniu D̃. Potom obraz D̃ v stereografickejprojekcii z bodu z je vnorenie G do roviny. Obrátene, ak D jevnorenie G do roviny, tak vnorenie D̃ grafu G do sféry získamepomocou inverzného zobrazenia ku stereografickej projekcii zvolenejtak, aby bod dotyku roviny a sféry ležal vnútri niektorej steny D. �

DôsledokNech G je rovinný graf a α je ľubovoľná stena G. Potom existujevnorenie D′ grafu G do roviny, v ktorom všetky hrany incidentné sα v rámci G sú incidentné s vonkajšou stenou D.

DSMc



Dôkaz: Nech G má vnorenie D̃ do sféry S2. Zvoľme bod z ∈ S2,ktorý nepatrí vnoreniu D̃. Potom obraz D̃ v stereografickejprojekcii z bodu z je vnorenie G do roviny.

Obrátene, ak D jevnorenie G do roviny, tak vnorenie D̃ grafu G do sféry získamepomocou inverzného zobrazenia ku stereografickej projekcii zvolenejtak, aby bod dotyku roviny a sféry ležal vnútri niektorej steny D. �


DSMc



Dôkaz: Nech G má vnorenie D̃ do sféry S2. Zvoľme bod z ∈ S2,ktorý nepatrí vnoreniu D̃. Potom obraz D̃ v stereografickejprojekcii z bodu z je vnorenie G do roviny. Obrátene, ak D jevnorenie G do roviny, tak vnorenie D̃ grafu G do sféry získamepomocou inverzného zobrazenia ku stereografickej projekcii zvolenejtak, aby bod dotyku roviny a sféry ležal vnútri niektorej steny D. �


DSMc


DefiníciaNech G je rovinný graf a α ∈ F (G). Stupeň steny α je počet hránincidentných s α, pričom každý most sa započítava dvakrát.

Príklad

Stena α má stupeň 3, stena β štyri a stena γ 15.

DSMc


DefiníciaDuál rovinného grafu G = (V,E, F ) je pseudograf G∗, ktoréhomnožina vrcholov je F a množina hrán je definovaná nasledovne:ak e ∈ E je hrana incidentná s dvomi rôznymi stenami α, β ∈ F ,tak αβ je hrana G∗ a ak e ∈ E je most G incidentný so stenouα ∈ F , tak αα je slučka v G∗.

LemaDuál rovinného grafu je planárny pseudograf.

DSMc


LemaNech G je rovinný graf s m hranami. Potom

∑f∈F (G)

deg(f) = 2m.

Dôkaz: Ak hrana e rovinného grafu G je most, tak do stupňaincidujúcej steny sa započíta dvakrát. Každá iná hrana rovinnéhografu sa započíta raz do stupňa každej z dvoch stien, ktoré s ňouincidujú. Teda celkovo je každá hrana v

∑f∈F (G)

deg(f) započítaná

dvakrát. �

DSMc


Veta (Euler 1752)

Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a sstenami. Potom n+ s = m+ 2.

Dôkaz: matematickou indukciou podľa počtu k kružníc grafu.

1◦ : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), tedaplatí m = n− 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu(to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholovstromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčšístrom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jehoodobratí získame menší strom T − x, ktorý má podľa indukčnéhopredpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možnopridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentnánepretínala iné hrany). Teda platín+ s = n+ 1 = (n− 1) + 2 = m+ 2.

DSMc


Veta (Euler 1752)



1◦ : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), tedaplatí m = n− 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu

(to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholovstromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčšístrom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jehoodobratí získame menší strom T − x, ktorý má podľa indukčnéhopredpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možnopridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentnánepretínala iné hrany). Teda platín+ s = n+ 1 = (n− 1) + 2 = m+ 2.

DSMc


Veta (Euler 1752)



1◦ : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), tedaplatí m = n− 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu(to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholovstromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčšístrom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jehoodobratí získame menší strom T − x, ktorý má podľa indukčnéhopredpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možnopridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentnánepretínala iné hrany).

Teda platín+ s = n+ 1 = (n− 1) + 2 = m+ 2.

DSMc


Veta (Euler 1752)



1◦ : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), tedaplatí m = n− 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu(to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholovstromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčšístrom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jehoodobratí získame menší strom T − x, ktorý má podľa indukčnéhopredpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možnopridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentnánepretínala iné hrany). Teda platín+ s = n+ 1 = (n− 1) + 2 = m+ 2.

DSMc


2◦ : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej akok kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G.

GrafG− e je súvislý (odobratie kružnicovej hrany súvislosť nepokazí),rovinný (je podgrafom rovinného grafu G), má n′ = n vrcholov,m′ = m− 1 hrán a s′ = s− 1 stien (e inciduje s dvoma stenami,ktoré sa po odstránení e spoja do jedinej steny). Podľa indukčnéhopredpokladu potom platí n′ + s′ = m′ + 2, z čohon+ (s− 1) = (m− 1) + 2, teda n+ s = m+ 2. �

DSMc


2◦ : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej akok kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G. GrafG− e je súvislý (odobratie kružnicovej hrany súvislosť nepokazí),rovinný (je podgrafom rovinného grafu G), má n′ = n vrcholov,m′ = m− 1 hrán a s′ = s− 1 stien (e inciduje s dvoma stenami,ktoré sa po odstránení e spoja do jedinej steny).

Podľa indukčnéhopredpokladu potom platí n′ + s′ = m′ + 2, z čohon+ (s− 1) = (m− 1) + 2, teda n+ s = m+ 2. �

DSMc


2◦ : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej akok kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G. GrafG− e je súvislý (odobratie kružnicovej hrany súvislosť nepokazí),rovinný (je podgrafom rovinného grafu G), má n′ = n vrcholov,m′ = m− 1 hrán a s′ = s− 1 stien (e inciduje s dvoma stenami,ktoré sa po odstránení e spoja do jedinej steny). Podľa indukčnéhopredpokladu potom platí n′ + s′ = m′ + 2, z čohon+ (s− 1) = (m− 1) + 2, teda n+ s = m+ 2. �

DSMc


DôsledokGraf K5 nie je planárny.

Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K5. Totonakreslenie má potom 5 vrcholov a 10 hrán, teda má10 + 2− 5 = 7 stien. Každá stena inciduje s aspoň tromi hranami,preto

∑x∈F (K5)

deg(x) ≥ 7 · 3 = 21. Zároveň však∑x∈F (K5)

deg(x) = 2|E(K5)| = 2 · 10 = 20, čo je spor. �

DSMc



Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K5. Totonakreslenie má potom 5 vrcholov a 10 hrán, teda má10 + 2− 5 = 7 stien.

Každá stena inciduje s aspoň tromi hranami,preto

∑x∈F (K5)


deg(x) = 2|E(K5)| = 2 · 10 = 20, čo je spor. �

DSMc



Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K5. Totonakreslenie má potom 5 vrcholov a 10 hrán, teda má10 + 2− 5 = 7 stien. Každá stena inciduje s aspoň tromi hranami,preto

∑x∈F (K5)


deg(x) = 2|E(K5)| = 2 · 10 = 20, čo je spor. �

DSMc


DôsledokGraf K3,3 nie je planárny.

Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K3,3.Toto nakreslenie má potom 6 vrcholov a 9 hrán, teda má9 + 2− 6 = 5 stien. Keďže K3,3 je bipartitný graf, tak neobsahujekružnice dĺžky 3 a teda každá stena inciduje s aspoň štyrmihranami; preto

∑x∈F (K3,3)

deg(x) ≥ 5 · 4 = 20. Zároveň však∑x∈F (K3,3)

deg(x) = 2|E(K3,3)| = 2 · 9 = 18, čo je spor. �

DSMc



Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K3,3.Toto nakreslenie má potom 6 vrcholov a 9 hrán, teda má9 + 2− 6 = 5 stien.

Keďže K3,3 je bipartitný graf, tak neobsahujekružnice dĺžky 3 a teda každá stena inciduje s aspoň štyrmihranami; preto

∑x∈F (K3,3)


deg(x) = 2|E(K3,3)| = 2 · 9 = 18, čo je spor. �

DSMc



Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K3,3.Toto nakreslenie má potom 6 vrcholov a 9 hrán, teda má9 + 2− 6 = 5 stien. Keďže K3,3 je bipartitný graf, tak neobsahujekružnice dĺžky 3 a teda každá stena inciduje s aspoň štyrmihranami; preto

∑x∈F (K3,3)


deg(x) = 2|E(K3,3)| = 2 · 9 = 18, čo je spor. �

DSMc


DôsledokNech n ≥ 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami.Potom m ≤ 3n− 6, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď každástena G má stupeň 3.

Dôkaz: stačí dokazovať pre súvislé grafy. Uvažujme rovinnénakreslenie G, ktoré má s stien. Každá stena G inciduje s aspoňtromi hranami, preto

∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

3 = 3s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)

deg(x) = 2m, teda platí 2m ≥ 3s. Podľa Eulerovej

vety je n+ s = m+ 2, teda 3n+ 3s = 3m+ 6. Z toho vyplýva3m+ 6 ≤ 3n+ 2m, teda m ≤ 3n− 6. Rovnosť nastáva právevtedy, keď 2m = 3s, čo je práve vtedy, keď každá stena G mástupeň rovný 3. �

DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

3 = 3s.

Na druhej

strane,∑

f∈F (G)



DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

3 = 3s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)


vety je n+ s = m+ 2, teda 3n+ 3s = 3m+ 6.

Z toho vyplýva3m+ 6 ≤ 3n+ 2m, teda m ≤ 3n− 6. Rovnosť nastáva právevtedy, keď 2m = 3s, čo je práve vtedy, keď každá stena G mástupeň rovný 3. �

DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

3 = 3s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)



DSMc


DefiníciaRovinný graf, ktorého každá stena má stupeň 3 sa nazývatriangulácia.

DefiníciaPlanárny graf G sa nazýva maximálny planárny, ak pre každé dvanesusedné vrcholy x, y ∈ V (G) platí, že G+ xy nie je planárny.

VetaKaždá triangulácia je maximálny planárny graf. Obrátene, všetkyrovinné vnorenia maximálneho planárneho grafu s aspoň tromivrcholmi sú triangulácie.

DSMc


Dôkaz: Nech existuje triangulácia G s vrcholmi x, y ∈ V (G),xy 6∈ E(G) tak, že G+ xy je planárny graf. Uvažujme rovinnévnorenie G+ xy; toto vnorenie indukuje aj vnorenie G (keďžeG ⊂ G+ xy). Potom existuje kružnica C ⊆ G taká, žeV (C) = N(x).

Keďže G je rovinný graf, tak podľa Jordanovej vetyx ∈ int(C) a y ∈ ext(C), teda hrana xy pretína (v rovinnomvnorení G+ xy) kružnicu C v niektorej jej hrane, čo je spor.

DSMc


Dôkaz: Nech existuje triangulácia G s vrcholmi x, y ∈ V (G),xy 6∈ E(G) tak, že G+ xy je planárny graf. Uvažujme rovinnévnorenie G+ xy; toto vnorenie indukuje aj vnorenie G (keďžeG ⊂ G+ xy). Potom existuje kružnica C ⊆ G taká, žeV (C) = N(x). Keďže G je rovinný graf, tak podľa Jordanovej vetyx ∈ int(C) a y ∈ ext(C), teda hrana xy pretína (v rovinnomvnorení G+ xy) kružnicu C v niektorej jej hrane, čo je spor.

DSMc


Obrátene, nech existuje maximálny planárny graf G s aspoň tromivrcholmi a jeho vnorenie D, ktoré nie je trianguláciou. Potom v Dexistuje stena α stupňa aspoň 4; z toho ďalej vyplýva, že v Dexistujú štyri rôzne vrcholy x, y, z, w incidentné s α tak, že hranyxy, yz, zw sú tri po sebe idúce hrany v hraničnom slede α.

Ak byxz aj yw boli hrany D, tak obe ležia v R2 \ α a podľa Jordanovejvety (aplikovanej na uzavretú krivku xyzx) hrana wy pretína hranuxz, čo je spor s rovinnosťou D. Bez ujmy na všeobecnosti tedanech xz 6∈ E(D). Zostrojme rovinné vnorenie grafu G+ xz tak, žedo steny α vložíme jednoduchú krivku spájajúcu x a z (to je možnévzhľadom na fakt, že α je oblúkovo súvislá). Toto rovinné vnorenieje však v spore s maximálnou planárnosťou grafu G. �

DSMc


Obrátene, nech existuje maximálny planárny graf G s aspoň tromivrcholmi a jeho vnorenie D, ktoré nie je trianguláciou. Potom v Dexistuje stena α stupňa aspoň 4; z toho ďalej vyplýva, že v Dexistujú štyri rôzne vrcholy x, y, z, w incidentné s α tak, že hranyxy, yz, zw sú tri po sebe idúce hrany v hraničnom slede α. Ak byxz aj yw boli hrany D, tak obe ležia v R2 \ α a podľa Jordanovejvety (aplikovanej na uzavretú krivku xyzx) hrana wy pretína hranuxz, čo je spor s rovinnosťou D. Bez ujmy na všeobecnosti tedanech xz 6∈ E(D).

Zostrojme rovinné vnorenie grafu G+ xz tak, žedo steny α vložíme jednoduchú krivku spájajúcu x a z (to je možnévzhľadom na fakt, že α je oblúkovo súvislá). Toto rovinné vnorenieje však v spore s maximálnou planárnosťou grafu G. �

DSMc


Obrátene, nech existuje maximálny planárny graf G s aspoň tromivrcholmi a jeho vnorenie D, ktoré nie je trianguláciou. Potom v Dexistuje stena α stupňa aspoň 4; z toho ďalej vyplýva, že v Dexistujú štyri rôzne vrcholy x, y, z, w incidentné s α tak, že hranyxy, yz, zw sú tri po sebe idúce hrany v hraničnom slede α. Ak byxz aj yw boli hrany D, tak obe ležia v R2 \ α a podľa Jordanovejvety (aplikovanej na uzavretú krivku xyzx) hrana wy pretína hranuxz, čo je spor s rovinnosťou D. Bez ujmy na všeobecnosti tedanech xz 6∈ E(D). Zostrojme rovinné vnorenie grafu G+ xz tak, žedo steny α vložíme jednoduchú krivku spájajúcu x a z (to je možnévzhľadom na fakt, že α je oblúkovo súvislá). Toto rovinné vnorenieje však v spore s maximálnou planárnosťou grafu G. �

DSMc


DôsledokNech n ≥ 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami bezkružníc dĺžky 3. Potom m ≤ 2n− 4, pričom rovnosť nastáva právevtedy, keď každá stena G má stupeň 4.

Dôkaz: opäť stačí dokazovať pre súvislé grafy. Uvažujme rovinnénakreslenie G, ktoré má s stien. Každá stena G inciduje s aspoňštyrmi hranami, preto

∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

4 = 4s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)


vety je n+ s = m+ 2, teda 4n+ 4s = 4m+ 8. Z toho vyplýva4m+ 8 ≤ 4n+ 2m, teda 2m ≤ 4n− 8 a m ≤ 2n− 4. Rovnosťnastáva práve vtedy, keď 2m = 4s, čo je práve vtedy, keď každástena G má stupeň rovný 4. �

DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

4 = 4s.

Na druhej

strane,∑

f∈F (G)



DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

4 = 4s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)


vety je n+ s = m+ 2, teda 4n+ 4s = 4m+ 8.

Z toho vyplýva4m+ 8 ≤ 4n+ 2m, teda 2m ≤ 4n− 8 a m ≤ 2n− 4. Rovnosťnastáva práve vtedy, keď 2m = 4s, čo je práve vtedy, keď každástena G má stupeň rovný 4. �

DSMc




∑f∈F (G)

deg(f) ≥∑

f∈F (G)

4 = 4s. Na druhej

strane,∑

f∈F (G)



DSMc


DôsledokKaždý súvislý planárny graf obsahuje vrchol stupňa najviac 5;hranica 5 je najlepšia možná.

Dôkaz: Nech G je n-vrcholový planárny graf s m hranami. Potom

n · δ =∑

x∈V (G)

δ ≤∑

x∈V (G)

deg(x) = 2m ≤ 2(3n− 6) = 6n− 12

tedaδ ≤ 6n− 12

n= 6− 12

n< 6

z čoho vyplýva δ ≤ 5. �

Graf pravidelného dvadsaťstena je rovinný a 5-regulárny, tedahranica 5 v tvrdení je najlepšia možná.

DSMc


DôsledokPre každý súvislý rovinný graf G = (V,E, F ) platí∑

x∈V(deg(x)− 4) +

∑y∈F

(deg(y)− 4) = −8

∑x∈V

(2 deg(x)− 6) +∑y∈F

(deg(y)− 6) = −12

∑x∈V

(deg(x)− 6) +∑y∈F

(2 deg(y)− 6) = −12

DSMc


Dôkaz: Z Eulerovho vzorca n+ s = m+ 2 dostávame−4n− 4s = −4m− 8, z čoho použitím vzťahov2m =

∑x∈V

deg(x), 2m =∑α∈F

deg(α) a rozpísaním členov 4n a 4s

dostaneme∑x∈V

(−4) +∑α∈F

(−4) = −∑x∈V

deg(x)−∑α∈F

deg(α)− 8

∑x∈V

deg(x) +∑x∈V

(−4) +∑α∈F

deg(α) +∑α∈F

(−4) = −8

Ostatné rovnosti sa dokážu podobným spôsobom, vychádzajúc zovzťahu −6n− 6s = −6m− 12 (člen −6m sa rozdelí na−2m− 4m).

�

DSMc


DôsledokNech G = (V,E, F ) je súvislý rovinný graf a nech vi resp. fi jepočet vrcholov resp. stien G, ktoré majú stupeň i. Potom∑

i≥1(4− i)(vi + fi) = 8

∑i≥1

(6− i)vi + 2∑j≥3

(3− j)fj = 12

∑j≥3

(6− j)fj + 2∑i≥1

(3− i)vi = 12

DSMc


Dôkaz: Z Eulerovho vzorca n+ s = m+ 2 dostávame4n+ 4s = 4m+ 8, z čoho použitím vzťahov2m =

∑i≥1

i · vi =∑j≥3

j · fj a rozpísaním členov 4n = 4∑i≥1

vi a

4s = 4∑j≥3

fj dostaneme

4∑i≥1

vi −∑i≥1

i · vi + 4∑j≥3

fj −∑j≥3

j · fj = 8

∑i≥1

vi(4− i) +∑j≥3

fj(4− j) = 8

Ostatné rovnosti sa dokážu podobným spôsobom, vychádzajúc zovzťahu 6n+ 6s = 6m+ 12 (člen 6m sa rozdelí na 2m+ 4m).

�

DSMc


DôsledokKaždý planárny graf obsahuje buď vrchol stupňa najviac 3, alebotrojuholníkovú stenu.

DôsledokKaždý konvexný mnohosten obsahuje aspoň štyri vrcholy stupňanajviac 5.

DôsledokKaždý konvexný mnohosten obsahuje aspoň štyri steny stupňanajviac 5.

DSMc


DôsledokExistuje práve päť pravidelných mnohostenov: pravidelný štvorsten,kocka, osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten:

DSMc


Dôkaz: Ak je mnohosten M pravidelný, tak jeho graf G(M)(stereografická projekcia vhodného obrazu M zo sféry do roviny) jerovinný, p-regulárny a každá stena má stupeň q (pre nejaké p, q).

Nech G(M) má n vrcholov, m hrán a s stien. Platí2m = np, 2m = sq. Po vyjadrení n, s a dosadení do Eulerovhovzorca dostávame

2m

p+

2m

q−m = 2

m

(2

p+

2

q− 1

)= 2

Je teda 2p +

2q − 1 > 0, z čoho 1

p +1q >

12 . Teda nemôže súčasne

platiť p ≥ 4, q ≥ 4; z toho dostávame, že (p, q) je niektorá z piatichdvojíc:

DSMc


Dôkaz: Ak je mnohosten M pravidelný, tak jeho graf G(M)(stereografická projekcia vhodného obrazu M zo sféry do roviny) jerovinný, p-regulárny a každá stena má stupeň q (pre nejaké p, q).Nech G(M) má n vrcholov, m hrán a s stien. Platí2m = np, 2m = sq. Po vyjadrení n, s a dosadení do Eulerovhovzorca dostávame

2m

p+

2m

q−m = 2

m

(2

p+

2

q− 1

)= 2

Je teda 2p +

2q − 1 > 0, z čoho 1

p +1q >

12 . Teda nemôže súčasne

platiť p ≥ 4, q ≥ 4; z toho dostávame, že (p, q) je niektorá z piatichdvojíc:

DSMc


(3, 3): pravidelný štvorsten(3, 4): kocka(3, 5): pravidelný dvanásťsten(4, 3): pravidelný osemsten(5, 3): pravidelný dvadsaťsten

�

DSMc

c Tomáš Madaras 2018 Základné pojmy z topológie plôch · 2018. 10. 12. · c Tomáš Madaras...

Documents

Transcript of c Tomáš Madaras 2018 Základné pojmy z topológie plôch · 2018. 10. 12. · c Tomáš Madaras...