Zeferino Da Fonseca Completo

7/27/2019 Zeferino Da Fonseca Completo

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EL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS:

Una Introduccin


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Zeferino A. da Fonseca Lopes

EL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS:

Una Introduccin


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Universidad Rafael UrdanetaAutoridades Rectorales

Dr. Jess Esparza Bracho, RectorIng. Maulio Rodrguez, Vicerrector AcadmicoIng. Salvador Conde, Secretario

Lic. Nancy Villarroel M.L.S. Directora de Biblioteca

2011 Fondo Editorial Biblioteca Universidad Rafael Urdaneta

Portada: Luz Elena Hernndez

Universidad Rafael Urdaneta, Fondo Editorial BibliotecaVereda del Lago, Maracaibo, Venezuela.

ISBN: 978-980-7131-12-4

Deposito Legal: lfi2382011510516


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A mis Hijas:

Marianella

Rosibel

Patricia


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CONTENIDO

Prefacio xi

Captulo I____________________________________________________________________1

Conceptos bsicos del mtodo de los elementos finitos

1.1 Introduccin 11.2 Antecedentes histricos 21.3 Etapas bsicas en la formulacin del mtodo de los elementos finitos 3

1.3.1 Definicin del problema y su dominio 41.3.2 Discretizacin del dominio 41.3.3 Identificacin de la(s) variable(s) 51.3.4 Formulacin del problema 51.3.5 Establecimiento de los sistemas de referencia 51.3.6 Construccin de las funciones de aproximacin de los

elementos 61.3.7 Determinacin de las ecuaciones de los elementos 71.3.8 Transformacin de coordenadas 81.3.9 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos 81.3.10 Introduccin de las condiciones de contorno 81.3.11 Solucin del sistema de ecuaciones resultante 81.3.12 Interpretacin de los resultados 8

1.4 Ejemplo 1.1. Determinacin del valor de 91.5 Implementacin computacional del mtodo de los elementos finitos 121.6 Mtodos y formulaciones de las ecuaciones de los elementos 12

1.6.1 El mtodo directo 131.6.2 El mtodo variacional 131.6.3 El mtodo de los residuos pesados 13

1.7 Modelos de elementos finitos en la mecnica de los slidos 141.8 Modelos de elementos finitos en la mecnica de los fluidos 14

Captulo II__________________________________________________________________ 17

Formulacin del mtodo de los elementos finitos va el mtodo directo

2.1 Introduccin 172.2 Sistemas de resortes lineales 172.3 Elementos simples de la mecnica estructural 19

2.3.1 Elemento unidimensional sometido a carga axial 192.3.2 Elemento de armadura plana 202.3.3 Elemento de viga de eje recto 21

2.4 Formulacin general del mtodo directo 242.4.1 Elemento unidimensional sometido a carga axial 242.4.2 Elemento de viga de eje recto 272.4.3 Elemento bidimensional 312.4.4 Estado plano de tensiones 33


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2.4.5 Estado plano de deformaciones 392.5 Transformacin de coordenadas 40

2.5.1 Formulacin directa 402.5.2 Formulacin va matrices de rotacin 42

2.6 Ensamblaje de las matrices de rigidez 47

2.6.1

Reglas del ensamblaje 472.6.2 Procedimiento general del ensamblaje 512.6.3 Caractersticas de la matriz ensamblada 52

2.7 Introduccin de las condiciones de contorno 542.8 Vector de cargas nodales equivalente en el mtodo directo 562.9 Ejemplos de la mecnica estructural 572.9.1 Ejemplo 2.1. Elemento unidimensional sometido a

carga axial 582.9.2 Ejemplo 2.2 Elemento de armadura plana 612.9.3 Ejemplo 2.3. Elemento de viga de eje recto 66

2.9.4 Ejemplo 2.4. Placa en estado plano de tensiones 722.10 El mtodo directo en problemas no estructurales 76

2.10.1 Flujo de redes en tuberas 772.10.1.1 Ejemplo 2.5. Red de tuberas 782.10.2 Flujo de redes elctricas 812.10.2.1 Ejemplo 2.6. Red elctrica 812.10.3 Conduccin de calor unidimensional 852.10.3.1 Ejemplo 2.7. Flujo de calor unidimensional 86

Captulo III_________________________________________________________________91

Elementos y funciones de interpolacin

3.1 Introduccin 913.2 Elementos unidimensionales 91

3.2.1 Elementos de Lagrange 913.2.1.1 Coordenadas naturales 933.2.1.2 Ejemplo 3.1. Distribucin de temperatura en un elemento

unidimensional 963.2.2 Elementos de Hermite 97

3.3 Elementos bidimensionales 993.3.1 Funciones de interpolacin de elementos

bidimensionales 993.3.2 Funciones de interpolacin del elemento triangular

lineal 1013.3.2.1 Ejemplo 3.2. Distribucin de presiones en un elemento

bidimensional 1023.3.3 Coordenadas naturales para elementos

triangulares 1043.3.4 Elementos triangulares de orden superior 1053.3.5 Funciones de interpolacin del elemento rectangular

lineal 1083.3.6 Elementos rectangulares de orden superior 110


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3.3.7 Coordenadas naturales de los elementosrectangulares 113

3.3.8 Elementos serendipity 1153.3.9 Elementos isoparamtricos 1213.3.10 Clculo de las derivadas de las funciones de

interpolacin 1233.3.10.1 Elementos triangulares 1233.3.10.2 Ejemplo 3.3. Clculo de las derivadas de las funciones de

interpolacin de un elemento triangular 1243.3.10.3 Elementos rectangulares 1263.3.10.4 Ejemplo 3.4. Clculo de las derivadas de las funciones de

interpolacin de un elemento rectangular 1273.3.11 Integracin numrica 1293.3.11.1 Cuadratura numrica sobre un elemento triangular

patrn 1303.3.11.2 Cuadratura numrica sobre un elemento rectangular

patrn 131

Captulo IV________________________________________________________________133

Formulacin variacional del mtodo de los elementos finitos

4.1 Introduccin. 1334.2 El problema de brachistochrone 1334.3 La primera variacin de un funcional 1354.4 Funciones con varias variables dependientes 1394.5 Funciones con varias variables independientes 1404.6 Funciones con varias variables dependientes y varias variables

Independientes 1414.7 El mtodo de Rayleigh-Ritz 142

4.7.1 Ejemplo de aplicacin del mtodo de Ritz 1444.8 Relacin entre el mtodo de Ritz y el mtodo de los

elementos finitos 1454.9 Deduccin de las ecuaciones de los elementos finitos a partir

de un principio variacional 1464.9.1 Solucin de un problema de valor de contorno mediante

un enfoque variacional 1474.10 Formulacin variacional de problemas de la mecnica

de los slidos 1514.10.1 Ecuaciones bsicas de la mecnica de los slidos 152

4.10.1a Ecuaciones de equilibrio externo 1524.10.1b Ecuaciones de equilibrio interno 1534.10.1c Relaciones deformacin-desplazamiento 1554.10.1d Ecuaciones de compatibilidad 1574.10.1e Ecuaciones constitutivas 1584.10.1f Condiciones de contorno 160

4.10.2 Principio de la mnima energa potencial 1614.10.3 Elasticidad tridimensional 162


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4.10.3a Energa de deformacin 1624.10.3b Trabajo realizado por las fuerzas externas 165

4.10.4 Elasticidad axisimtrica 1664.10.4a Energa de deformacin 1664.10.4b Trabajo realizado por las fuerzas externas 167

4.11

Deduccin de las ecuaciones de los elementos finitos, asociadasal principio de la mnima energa potencial 1684.11.1 Elasticidad tridimensional 1684.11.2 Elasticidad axisimtrica 171

4.12 Evaluacin de los coeficientes de las matrices locales de rigidez y de losvectores de cargas nodales equivalente de los elementos 173

4.12.1 Coeficientes de la matriz de rigidez 1744.12.2 Coeficientes del vector de cargas nodales equivalente 174

4.13 Solucin de problemas de la mecnica de los slidos va el principiode la mnima energa potencial 176

4.13.1 Ejemplo 4.1. Barra unidimensional sometida acarga axial 177

4.13.2 Ejemplo 4.2. Placa delgada sometida a un estado decarga uniforme 178

4.13.3 Ejemplo 4.3. Placa delgada sometida a unacompresin uniforme 181

4.13.4 Ejemplo 4.4. Cilindro sometido a presin interna:solucin bidimensional 183

4.13.5 Ejemplo 4.5. Cilindro sometido a presin interna: solucinaxisimtrica 186

Captulo V__________________________________________________________________189

Problemas de campo escalar

5.1 Introduccin 1895.2 Problemas tridimensionales 1905.3 Discretizacin en el tiempo 1935.4 Problemas axisimtricos 1935.5 Conduccin de calor 1945.6 Torsin de barras prismticas 1965.7 Flujo a travs de medios porosos 1975.8 Campos electrostticos 1995.9 Solucin de algunos problemas de campo escalar 200

5.9.1 Ejemplo 5.1. Conduccin de calor en una aletaTrapezoidal 200

5.9.2 Ejemplo 5.2. Conduccin de calor en una placa rectangular concondiciones esenciales de contorno: caso permanente 204

5.9.3 Ejemplo 5.3. Conduccin de calor en una placa bidimensionalcon condiciones naturales de contorno 206

5.9.4 Ejemplo 5.4. Conduccin de calor en una pared adiabtica:


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caso no permanente 2085.9.5 Ejemplo 5.5. Torsin de una barra prismtica de seccin transversal

cuadrada 2105.9.6 Ejemplo 5.6. Torsin de una barra prismtica de seccin transversal

circular 212

5.9.7

Ejemplo 5.7. Torsin de una barra prismtica de seccin transversalelptica 2145.9.8 Ejemplo 5.8. Torsin de una barra prismtica de seccin transversal

triangular 2155.9.9 Ejemplo 5.9. Flujo subterrneo de agua en un acufero

Homogneo 2175.9.10 Ejemplo 5.10. Zona acufera delimitada por los ros Bocon

y Masparro 2195.9.11 Ejemplo 5.11. Cable coaxial rectangular 220

Captulo VI________________________________________________________________223

Formulacin del mtodo de los elementos finitos va residuos pesados

6.1 Introduccin 2236.2 Formulacin general del mtodo de los residuos pesados 223

6.2.1 Mtodo de la colocacin 2246.2.2 Mtodo de los subdominios. 2256.2.3 Mtodo de los mnimos cuadrados 2256.2.4 Mtodo de Galerkin 226

6.3 Aplicacin del mtodo de los residuos pesados a un problemade valor de contorno 226

6.4 Aplicacin del mtodo de los residuos pesados a un problemade conduccin de calor unidimensional 229

6.5 Formulacin Galerkin/(mef) de problemas de la mecnica de los slidos:caso tridimensional 232

6.6 Formulacin Galerkin/(mef) de problemas de la mecnica de los slidos:caso axisimtrico 236

6.7 El mtodo de Galerkin/(mef) aplicado a la mecnica de los fluidos.6.7.1 Ecuaciones bsicas asociadas a la mecnica de los fluidos 239

6.7.1a Ecuacin de continuidad: casotridimensional 239

6.7.1b Ecuacin de continuidad:caso axisimtrico 240

6.7.1c Ecuaciones de movimiento: casotridimensional 240

6.7.1d Ecuaciones de movimiento: casoaxisimtrico 240

6.7.1e Ecuaciones constitutivas 2406.7.1f Condiciones de contorno 242

6.7.2 Formulacin Galerkin/(mef) de las ecuaciones de conservacin:modelo U-V-P 243

6.7.2a Caso tridimensional 243


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6.7.2b Caso axisimtrico 2486.7.3 Formulacin Galerkin/(mef) de las ecuaciones de conservacin:

modelo penalti 2516.7.3a Caso tridimensional 2516.7.3b Caso axisimtrico 254

6.8

Solucin de problemas de la mecnica de los fluidosmediante el mtodo de Galerkin/(mef) 2556.8.1 Fluidos newtonianos 256

6.8.1a Ejemplo 6.1 Fluidos de Couette y Poiseuille 2566.8.1b Ejemplo 6.2 Flujo deslizante entre dos placas

paralelas 2596.8.1c Ejemplo 6.3 Cojinete hidrodinmico 2616.8.1d Ejemplo 6.4 Flujo a travs de una contraccin

suave (4:1) 2646.8.1e Ejemplo 6.5 Flujo a travs de una contraccin

abrupta (10:1) 2666.8.2 Fluidos no-newtonianos 267

6.8.2a.- Ejemplo 6.6. . Contraccin plana abrupta: Relacin 10:1 2686.8.3 Hinchamiento de fluidos viscosos 270

6.8.3a Mecanismo del fenmeno del hinchamiento 2706.8.3b Clculo de la superficie libre 2716.8.1c Ejemplo 6.7. Hinchamiento de fluidos newtonianos

a travs de boquillas planas 2736.8.1d Ejemplo 6.8. Hinchamiento de fluidos no-newtonianos

a travs de boquillas planas 2756.8.1e Ejemplo 6.9. Hinchamiento a travs de boquillas

circulares 275

Bibliografa 277


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PREFACIO

El mtodo de los elementos finitos (mef), se ha constituido con el transcurrir de los aos,en una herramienta numrica indispensable, no slo en el rea de la ingeniera de diseo, si notambin en muchas otras reas de las ciencias en general. Los programas de computacin basados

en esta tcnica numrica, son ampliamente usados en la investigacin y en la solucin deinnumerables problemas relacionados con la mecnica del medio continuo.La motivacin fundamental que me condujo a escribir este libro, fue la de presentar a los

estudiantes de los ltimos semestres ingeniera y de los cursos de maestra, un texto sobre el mefen el cual los conceptos bsicos del mismo fuesen tratados del modo ms simple posible. As, auncuando no se omiten los aspectos fundamentales, desde el punto de vista matemtico, asociadosal mtodo, se hace nfasis tanto en su interpretacin fsica como en su implementacincomputacional.

El texto est dividido en seis captulos, en los cuales se presenta el meftal como ste sedesarroll, histricamente, a travs de los aos. En el captulo 1 se hace una breve reseahistrica del mtodo y se introducen los principios bsicos del mismo.

En el captulo 2, se desarrolla la formulacin del mefva el mtodo directo. Para abordareste captulo, al lector le bastar tener los conocimientos bsicos del lgebra matricial y lamecnica de materiales. Los ejemplos que se resuelven al final de este captulo, estnrelacionados con el rea antes mencionada, as como tambin con la mecnica de los fluidos ytransferencia de calor. La resolucin de dichos problemas se hace en forma detallada y paso apaso, siguiendo el mismo procedimiento sistemtico de un programa computacional basado en elmef.

En el captulo 3, se deducen las funciones de interpolacin de algunos elementos finitostanto unidimensionales como bidimensionales, y se resumen los aspectos relacionados con laintegracin numrica.

En el captulo 4, se estudia la formulacin variacional del mefasociada a la teora linealde la elasticidad. Puesto que esta formulacin est ntimamente ligada al clculo variacional, alinicio de este captulo se presenta, en forma resumida, las nociones fundamentales de dichoclculo. Al final de este captulo se resuelven algunos problemas relacionados con la mencionadateora.

En el captulo 5, se muestra la solucin de algunos problemas conocidos con el nombre decampo escalar. Las correspondientes ecuaciones de los elementos finitos, se deducen a partir delfuncional que gobierna este tipo de problemas, y se resuelven algunos problemas quefrecuentemente aparecen en la prctica, tales como los asociados a la conduccin de calor, torsinen barras prismticas, flujo de fluidos a travs de medios porosos y campos electrostticos.

En el captulo 6, se presenta la formulacin general del mefva residuos pesados, y sededucen las ecuaciones de los elementos finitos correspondientes a la teora lineal de laelasticidad y a la mecnica de los fluidos, mediante el mtodo de Galerkin. Al final de estecaptulo se muestra la solucin numrica de algunos problemas relacionados con esta ltima reade la mecnica, especficamente los asociados con la entrada y salida de flujos de fluidosviscosos a travs de boquillas planas y circulares, y tambin se presenta una solucin alfenmeno del hinchamiento.

Es importante destacar que el nico motivo por el cual el captulo 4 est enfocado enexclusiva, a la teora lineal de la elasticidad, y el captulo 6 fundamentalmente al campo de lamecnica de los fluidos, se debe al hecho que se quiso mantener la secuencia del texto en el ordencronolgico del desarrollo histrico del mefpero, por supuesto, las formulaciones presentadas enambos captulos se pueden aplicar, en general, indistintamente a ambas ramas de la ciencia.


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Para facilitar la implementacin computacional de las ecuaciones de los elementos finitos,en el texto se ha privilegiado la escritura por extenso de la sintaxis matemtica de dichasecuaciones, y no se ha hecho uso de la escritura compacta que usualmente acompaa los librosque abordan este mtodo.

Agradezco al Dr Agustn Torres de la empresa Investigacin y Desarrollo (INDESCA),

del Complejo Petroqumico Ana Mara Campos del Estado Zulia, Venezuela, y al Prof. JuanDamia, Ph.D. de la Escuela de Ingeniera Mecnica de la Universidad del Zulia, la lectura dealgunos captulos del presente texto y sus valiosos comentarios y sugerencias. Deseo enfatizar,sin embargo, que cualesquiera inexactitudes o errores que se encuentren en el mismo es de mientera y nica responsabilidad.

Zeferino A. Da Fonseca Lopes


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I.- CONCEPTOS BSICOS DEL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

1.1.- Introduccin

Muchos problemas de importancia prctica que frecuentemente aparecen en ingeniera,

resultan de una complejidad matemtica tal que, aunque la deduccin de las ecuacionesdiferenciales que gobiernan tales problemas no resulta muy difcil, su solucin por mtodosexactos de anlisis, aun despus de introducir algunas hiptesis simplificadoras, no se logra si nopara ciertos problemas de geometra, condiciones de contorno y/o sistemas de carga muyparticulares. Por esto, aunque este tipo de solucin es la que ms informacin proporciona sobreel comportamiento de las variables involucradas en un problema dado, se debe recurrir a losmtodos numricos, los cuales permiten elaborar anlisis y diseos con un alto grado desofisticacin y precisin.

Los mtodos de los elementos finitos, de diferencias finitas, de volumen de control (biensea basado en diferencias finitas o elementos finitos) y de contorno, son apenas algunos, entre unagran gama de mtodos numricos que se han venido desarrollando y usando exitosamente, en la

solucin de muchos problemas en distintas reas de la ciencia. Aun cuando todos estos mtodosconstituyen una muy poderosa herramienta matemtica, no dejan de ser mtodos aproximados,debindose tener por lo tanto un especial cuidado en su utilizacin, ya que la calidad de lassoluciones que se obtengan depende de varios factores, entre los cuales se pueden destacar ladistribucin de la discretizacin espacial de la regin en estudio, el tipo de discretizacin en eltiempo en los problemas no permanentes, la aplicacin apropiada de las condiciones de contorno,la correcta inclusin en el modelo de las propiedades fsicas de los materiales que intervienen enel problema, etc. El correcto posicionamiento de estos aspectos requiere del sentido comn yalguna experiencia del analista, independientemente del mtodo seleccionado.

La disponibilidad, en la actualidad, de numerosos programas computacionales basados enlas diferentes tcnicas numricas mencionadas, dan al ingeniero la oportunidad de obtener

informacin muy detallada sobre el comportamiento de las variables involucradas en undeterminado problema. Sin embargo, la existencia de esta posibilidad, aumenta en vez de reducir,la necesidad de un juicio firme de ingeniera sobre el uso de un programa dado. La informacinde salida de un computador, aun con las ayudas grficas que existen en el presente, nunca podrsustituir el entendimiento y el sentido comn del analista.

Visto globalmente, la solucin numrica de un problema dado se puede esquematizar talcomo se muestra en la Fig.1.1. El sistema real del problema a resolver, se transforma en unmodelo matemtico, mediante la inclusin de los principios fsicos y de conservacin que rigen elmismo, la ciencia de los materiales, hiptesis consideradas, etc., asociados al problema a resolver.Una vez logrado el modelo matemtico y antes de obtener la solucin aproximada deseada, dichomodelo debe ser verificado, cotejando su respuesta en situaciones ms restringidas, de las cualesse puede conocer la solucin exacta, bien sea mediante mtodos exactos de solucin, o vamtodos experimentales. Slo despus de esta etapa de prueba, el modelo matemtico propuestopodr ser discretizado, a travs de alguna tcnica numrica, para finalmente obtener la solucinaproximada deseada, mediante la solucin numrica del modelo ya discreto.

Entre las tcnicas numricas ya mencionadas, una de las que ms se ha destacado desdehace aproximadamente cuarenta aos, tanto por su capacidad para modelar dominios irregulares,condiciones de contorno, no-linealidades (geomtricas y/o mecnicas), y/o sistemas de cargascomplejos (caractersticas stas que aparecen en la gran mayora de los problemas de inters


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prctico), como por la facilidad en la seleccin del mecanismo de aproximacin de las variablesinvolucradas en un problema especfico, es el Mtodo de los Elementos Finitos (mef).

Fig.1.1 Diagrama esquemtico del modelaje matemtico de un problema.

_____ proceso deductivo / analtico.

----- fuentes de discrepancia: realidad / modelo matemtico.

1.2.- Antecedentes Histricos

La idea de representar un dominio mediante un conjunto de elementos discretos, noaparece con el mef. En efecto, los antiguos matemticos usaban elementos finitos para predecirel valor de en forma bastante aproximada. Dicha aproximacin la realizaban limitando uncrculo con polgonos (inscritos o circunscritos), de tal modo que los segmentos de rectas(elementos finitos), aproximasen la circunferencia del crculo. De este modo, ellos estaban encapacidad de obtener estimaciones muy exactas del valor de (casi cuarenta dgitos).

Arqumedes (287 a.c.) us las mismas ideas para determinar reas de figuras planas y

volmenes de slidos aunque, por supuesto, no tena el conocimiento del procedimiento de lmite.Realmente, fue slo ste desconocimiento lo que impidi que Arqumedes descubriera el clculointegral alrededor de dos mil aos antes que lo hicieran Newton y Leibniz. Es importanteentonces destacar que, mientras la mayora de los problemas de la matemtica aplicada estndescritos en trminos de ecuaciones diferenciales, la solucin de stas mediante el mef, utilizaideas que son, en mucho, ms viejas que las usadas para establecerlas.

Muchos han sido los investigadores, tanto en el rea de la ingeniera, como en el rea de lamecnica aplicada que han participado en el desarrollo del mef. En 1909, Ritz desarroll unmtodo muy poderoso con el cual se puede obtener soluciones aproximadas, de problemas


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asociados al campo de la mecnica del continuo. En este mtodo, se asume la forma de las

incgnitas involucradas en el problema, en trminos de unas funciones de aproximacinconocidas y unos parmetros a determinar. La introduccin de estas funciones en el funcional quedescribe el problema en estudio, y su posterior diferenciacin con respecto a los referidosparmetros, produce una ecuacin la cual es igualada a cero. Si existen n parmetros

desconocidos, se formar un sistema de n ecuaciones simultneas. La solucin de dicho sistemapermite determinar dichos parmetros y, por lo tanto, obtener la solucin aproximada delproblema. Este mtodo es similar a la estimacin de los parmetros de ajuste en los problemas demnimos cuadrados. La limitacin ms severa del mtodo de Ritz, est en el hecho que lasfunciones de aproximacin, deben verificar las condiciones de contorno especificadas en elproblema en estudio, lo cual restringe la aplicacin del mtodo a aquellos problemas condominios de forma geomtrica relativamente simples.

En 1943, Courant hizo una muy significativa extensin del mtodo de Ritz introduciendofunciones seccionalmente continuas, definidas sobre reas triangulares, lo cual, conjuntamentecon el principio de mnima energa potencial, le permiti estudiar problemas de torsin. En estosproblemas, las incgnitas se seleccionaron de tal modo que fueran iguales a los valores de las

funciones, en los puntos de interconexin de las reas triangulares. Por otro lado, la limitacin delmtodo de Ritz fue eliminada ya que las condiciones de contorno se satisfacen, ahora, en unnmero finito de puntos sobre el contorno.

El mtodo de Ritz, tal como fue usado por Courant, es idntico al mef el cual fuepresentado algunos aos despus por Clough, a partir de ideas diferentes. En efecto, en 1960,Clough introdujo, por primera vez, el trmino elemento finito, en su trabajo The Finite ElementMethod in Plane Stress Analysis. En este trabajo se present el mefcomo una extensin de lastcnicas de anlisis estructural, en la solucin de problemas de la mecnica del continuo.

La razn por la cual el meftuvo una acogida, casi inmediata en 1960, est asociada al grandesarrollo, casi simultneo, del computador digital, mediante el cual se logra efectuar la grancantidad de operaciones que el mef demanda, en forma rpida y precisa; en 1943 Courant no

contaba con esta poderosa herramienta de clculo.A mediados de los aos 60 los investigadores, tanto del campo de la mecnica del

continuo, como del anlisis estructural, supieron reconocer que la extensin del mtodo de Ritzpropuesta por Courant y el mefson, en esencia, idnticos. Este hecho trajo como consecuencia,en los siguientes aos, un progreso impresionante de este mtodo. Desde entonces el mef seaplica, con xito, en problemas tridimensionales, en problemas no lineales (geomtricos y/ofsicos), en problemas no permanentes, y en problemas de muchas otras reas distintas al anlisisestructural tales como, flujo de fluidos, transferencia de calor, anlisis de campos elctricos ymagnticos, robtica, ciencias mdicas, etc.

1.3.-Etapas bsicas en la utilizacin del mtodo de los elementos finitos .

Independientemente de la naturaleza fsica del problema, el anlisis del mismo medianteel mefsigue los siguientes pasos:1.- Definicin del problema y su dominio.2.- Discretizacin del dominio.3.- Identificacin de la(s) variable(s) de estado.4.- Formulacin del problema.5.- Establecimiento de los sistemas de referencia.


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6.- Construccin de las funciones de aproximacin de los elementos.7.- Determinacin de las ecuaciones a nivel de cada elemento.8.- Transformacin de coordenadas.9.- Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos.10.- Introduccin de las condiciones de contorno.

11.- Solucin del conjunto de ecuaciones simultneas resultante.12.- Interpretacin de los resultados.

1.3.1.- Definicin del problema y su dominio

El anlisis de un problema dado va el mef, tiene implcito tres tipos de aproximacin. Laprimera se relaciona con la definicin del dominio (fsica y geomtrica) del problema, las otrasdos estn asociadas a la discretizacin de las ecuaciones gobernantes, y a los algoritmosempleados en la solucin del sistema de ecuaciones algebraicas simultneas resultante.

Las aproximaciones usadas en la definicin de las caractersticas fsicas de las diferentesregiones del dominio, depende fundamentalmente del tipo de problema a resolver. Sin embargo,

la definicin geomtrica del dominio, requiere el establecimiento de ejes coordenados globalesen referencia a los cuales se describen las coordenadas de ciertos puntos (nodos), los cuales, a suvez, definen las ecuaciones de las lneas, superficies y/o volumen de los elementos. Este sistemacoordenado no necesita ser rectangular y cartesiano, para algunos problemas especficos, resultams adecuado utilizar algn tipo de sistema coordenado curvilneo.

El dominio puede ser limitado o no (ciertos dominios se extienden hasta el infinito). Pararegiones limitadas del dominio, la idealizacin se realiza mediante elementos finitos y para laspartes de la regin ilimitadas, se usan elementos infinitos o elementos de contorno. Muchas vecesel dominio entero est constituido de subdominios, como el caso de problemas de interaccin.Las condiciones de interfaz entre subdominios deben ser definidas, tambin, a priori de ladiscretizacin.

1.3.2.- Discretizacin del dominio

Puesto que usualmente el problema est definido sobre un dominio continuo, lasecuaciones gobernantes de un problema, con excepcin de las condiciones de contorno, sonvlidas tanto en todo el dominio como en cualquier parte de l. Esto permite idealizar el dominioa travs de regiones de tamao finito (elementos), interconectados de diferente forma y tamao,tal como se muestra en la Fig.1.2. Esta forma de discretizacin introduce ciertas aproximaciones(p.e., corte de las esquinas, lneas curvas por rectas, elementos curvos por planos, etc.). Sinembargo, colocando un nmero suficiente de elementos (o elementos de orden superior), se podrreproducir el dominio tan aproximadamente cuanto queramos.

Aun cuando es cierto que, en general, reduciendo el tamao de los elementos se obtienenmejores resultados, tambin es cierto que un refinamiento excesivo conduce a grandes sistemasde ecuaciones, lo cual puede tornarse imprctico desde el punto de vista computacional. De talmodo que, inicialmente, se debe entonces responder la siguiente pregunta: cual es el tipo deelemento ms eficiente y cual ser el tamao adecuado?. Una respuesta parcial a esta preguntaviene dada en la literatura bajo la palabra clave de modelaje. Algunas tcnicas relevantes en ladiscretizacin del dominio son losprocesos adaptativos o refinamientos de mallas y generacinautomtica de mallas.


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Fig.1.2 Discretizacin del dominio con diferentes elementos finitos.

1.3.3.- Identificacin de la(s) variable(s) de estado

Hasta el momento no se ha hecho referencia a la naturaleza fsica del problema ya que lasetapas anteriores son comunes a cualquier tipo de problema, ya sea ste de transferencia de calor,de la mecnica de los fluidos, de la mecnica de los slidos, etc. A continuacin, y para cadaproblema en particular, la descripcin matemtica del fenmeno fsico conducir alcorrespondiente problema de valor de contorno, el cual contendr las variables de estadoasociadas al mismo. Estas variables se relacionarn entre s a travs de las ecuacionesconstitutivas, las cuales representan una expresin matemtica de una ley fsica en particular. LaTabla 1.1 muestra varios problemas con las variables de estado asociadas, y las correspondientes

ecuaciones constitutivas. Muchos problemas reales involucra el anlisis de dos o ms tipos deproblemas mostrados en dicha tabla, de modo conjunto y simultneo.

1.3.4.- Formulacin del problema

Frecuentemente, un problema fsico est formulado a travs de un conjunto de ecuacionesdiferenciales con sus correspondientes condiciones de contorno, o mediante una ecuacin integral(un funcional) sujeto a un requerimiento estacionario (mximo o mnimo). En el primer caso sedice que el problema fsico est referido a su forma diferencial y en el segundo, a su formavariacional. En ambos casos se llega al mismo resultado. En este texto se presentarn las dosformulaciones como forma de establecer las ecuaciones de los elementos.

1.3.5.- Establecimiento de los sistemas de referencia

Adems de los ejes globales de referencia del sistema completo, existen dos importantesrazones para seleccionar, adicionalmente, un sistema de referencia local para los elementos: lafacilidad con la que se construyen las llamadas funciones de forma de los elementos y la facilidadcon la que se integra en el interior de los mismos, con respecto al sistema local de cada elementoen particular. Sin embargo, puesto que los elementos se ensamblan en el sistema global dereferencia, este paso introduce una transformacin de coordenadas.


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Tabla 1.1 Descripcin matemtica de varios problemas de valor de contorno.

A pesar que todos los clculos en el mef se pueden realizar directamente en el sistemaglobal, este procedimiento es muy complicado para cualquier problema de inters prctico y,puesto que la transformacin de coordenadas entre cualesquiera dos sistemas coordenados estbien definida y es una operacin matemticamente sencilla, se deben deducir las ecuaciones delos elementos con relacin a su sistema local de referencia el cual puede ser cartesiano ocurvilneo, dependiendo de la forma de un elemento dado. En la Fig.1.3 se muestra un elementobidimensional y los sistemas global y local de referencia.

Fig.1.3 Sistemas de referencia usados en el mtodo de los elementos finitos.(a) Sistema local de referencia; (b) Sistema global de referencia.

1.3.6.- Construccin de las funciones de aproximacin de los elementos

Una vez que se han seleccionado el sistema coordenado local y la(s) variable(s) de estado,stas pueden ser aproximadas de diferentes formas. En el mef,la aproximacin tanto del dominiodel problema como de las variables involucradas en el mismo, se realiza mediante funcionesalgebraicas. Si el elemento es plano o de lados rectos, las coordenadas de los nodos primarios (los


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que estn localizados en los extremos de los elementos), definirn la forma exacta del mismo.Debido a esto, la discretizacin del dominio muchas veces se realiza mediante elementos de ladosrectos. Sin embargo, para algunos problemas estos elementos (p.e., elementos planos utilizadosen la discretizacin de cscaras), pueden producir errores inaceptables y la discretizacin debe serrealizada con elementos de orden superior, como los que se muestran en la Fig.1.4.

Un argumento similar es vlido para la aproximacin de la(s) variable(s) de estado. Estaspueden aproximarse mediante una funcin lineal o a travs de funciones de orden superior (i.e.,cuadrticas, cbicas, etc.). El analista debe decidir si la aproximacin fsica (variable(s) deestado) y la aproximacin geomtrica (forma del elemento), tendrn el mismo orden, o si por elcontrario dar preferencia a una sobre la otra en todo el dominio, o en alguna parte del mismo.Esto conduce a tres diferentes categoras de elementos. Si m y n representan dos grados deaproximacin distintos para la forma de los elementos y para la(s) variable(s) de estado,respectivamente, se dice que un elemento es: (a) subparamtrico si m n; (b) isoparamtrico sim = n; (c) superparamtrico si m n. La Fig.1.4 muestra ejemplos de estas tres categoras deelementos.

Fig.1.4 Ejemplos de elementos finitos subparamtricos, isoparamtricos y superparamtricos.

1.3.7.- Determinacin de las ecuaciones a nivel de cada elemento

A esta altura el modelaje del problema (i.e., la formulacin y discretizacin del dominiocon los elementos de forma y funciones deseadas), se ha completado. Usando algn modelomatemtico (mtodo de residuos pesados, trabajo virtual, mtodos de energa, etc.), se debeestablecer, a continuacin, sobre cada elemento, las ecuaciones discretas del problema continuo.Este paso involucra la determinacin de la llamada matriz de rigidez de cada elemento conrespecto a su sistema local de referencia. Esta matriz relaciona, por ejemplo, en el caso de unproblema de la mecnica de los slidos, los desplazamientos nodales con las fuerzas nodales o, enel caso de un problema de conduccin de calor, la temperatura con el flujo de calor. Este pasoinvolucra la consideracin de las ecuaciones constitutivas y, generalmente, el uso de laintegracin numrica.


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1.3.8.- Transformacin de coordenadas

Una vez determinadas las matrices de rigidezde todos los elementos que conforman ladiscretizacin del dominio del problema, y antes de proceder al ensamblaje de todas estasmatrices, para as obtener el comportamiento de todo el sistema, es necesario realizar la

transformacin de coordenadas, que permita transformar las matrices de rigidez de los elementos,desde sus respectivos ejes coordenados locales, al sistema global de referencia.

1.3.9.- Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos

El ensamblaje de las matrices de las ecuaciones de los elementos, se realiza de acuerdocon la configuracin topolgica de los mismos, despus que stas han sido transformadas alsistema global de referencia. Dicha configuracin se obtiene a travs del establecimiento de unarelacin entre la numeracin local de los nodos de los elementos, y la numeracin global de losmismos. El ensamblaje se efecta considerando nicamente los nodos de las interfaces, los cualesson comunes a los elementos adyacentes. La matriz resultante se denomina matriz global del

sistema.

1.3.10.- Introduccin de las condiciones de contorno

En este paso se introducen las condiciones de contorno en la matriz global del sistema,con lo cual esta matriz se podr reducir o condensar a su forma final, aun cuando en algunoscasos se prefiere, para no aadir nuevos algoritmos a la solucin del problema, dejar el sistemaglobal con su tamao inicial. Existen algunos algoritmos ms refinados que permiten introducirlas condiciones de contorno en el paso anterior (i.e., durante el ensamblaje), con lo cual se reducetanto el tiempo de ejecucin como la memoria requerida, pero dichos algoritmos requieren unaprogramacin muy diestra.

Los valores prescritos (conocidos) de la funcin (o el de sus derivadas) en los contornos,son las llamadas condiciones de contorno esenciales. Usualmente, estos valores son cero oconstantes (equivalente a especificar los desplazamientos, las velocidades, la temperatura, etc., enlos nodos), o como una funcin de la carga (en el caso de soportes elsticos que aparecen enalgunos problemas de la mecnica de los slidos).

1.3.11.- Solucin del sistema de ecuaciones resultante

Independientemente de la naturaleza del problema, el paso final en la solucin de unproblema mediante el mef, lo constituye la resolucin del sistema de ecuaciones simultneasresultante. Debido a la naturaleza determinstica del mef, los procedimientos de solucin dedichos sistemas se pueden clasificar en dos grupos: (a) los mtodos directos, tales como losmtodos de Gauss y de factorizacin de Cholesky, los cuales son los ms utilizados para sistemasde ecuaciones pequeos o moderados y (b) los mtodos iterativos, tales como los mtodos deGauss-Seidel y el de Jacobi, los cuales a su vez, son ms apropiados para sistemas de grandesrdenes. En estos mtodos, el tiempo de solucin es considerablemente menor que en losmtodos directos. Sin embargo, no son adecuados en problemas con mltiples sistemas de cargas,como los que frecuentemente se encuentran en la mecnica de los slidos. Cuando el sistema deecuaciones es no-lineal, los procedimientos de solucin ms utilizados son el mtodo de Picard,


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el mtodo de Newton-Raphson y variaciones del mtodo de Newton (Broyden, quasi-Newton,etc.).

1.3.12.- Interpretacin de los resultados

Con la resolucin del sistema de ecuaciones se obtienen los valores aproximados de la(s)variable(s) en los puntos discretos (nodos) del dominio. Generalmente, estos valores soninterpretados y usados en el clculo de otras cantidades fsicas, tales como los esfuerzos,deformaciones, el flujo de calor, etc., en todo el dominio, o en ciertas partes del mismo. Estosclculos posteriores se conocen con el nombre depos-procesamiento.

La comparacin de los resultados obtenidos con la evidencia experimental u otrosresultados numricos es, tal vez, una de las tareas ms importantes del mef, ya que debe darserespuesta a las siguientes preguntas: Cuan buenos son los resultados?. Qu hacer con ellos?. Larespuesta a la primera requiere de la estimacin del error y la segunda involucra la naturalezafsica del problema. Las respuestas a estas preguntas permitirn decidir si el anlisis ha llegado asu fin, o si por el contrario, se requiere la repeticin de algunos de los pasos descritos. En algunos

casos, el nuevo anlisis comienza en el mismo paso 1 (i.e., redefinicin del problema con nuevosparmetros fsicos, nueva discretizacin con diferentes tipos y formas de elementos, etc.). Sinembargo, en la prctica, para la mayora de los problemas, se obtienen resultados confiablescomparando diferentes anlisis (basados en diferentes discretizaciones), del mismo problema. Losprocesos adaptativos y la generacin automtica de mallas permiten, automticamente,incrementar la exactitud de un problema dado, una vez estimado el error del anlisis inicial.

Estos doce puntos completan los pasos necesarios para el anlisis de un sistema medianteel mef. Estos conceptos bsicos sern ahora introducidos a travs del siguiente ejemplo.

1.4.-Ejemplo 1.1. Determinacin del valor de

Considrese el problema de determinar el valor de . Para tal fin se limitar un crculo deradio R, mediante un polgono inscrito (o circunscrito), de n lados, de tal modo que los lados delpolgono aproximen la circunferencia del crculo, tal como se muestra en la Fig.e1.1.

Fig.e1.1 Discretizacin del dominio. (a) Polgono inscrito.(b) Polgono circunscrito.


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Supngase que se puede determinar la longitud de cada uno de los lados del polgono. Elpermetro aproximado de la circunferencia ser, entonces, la suma de los lados del polgonousado en su representacin, a partir de lo cual se puede estimar el valor de . A pesar de lo trivialdel ejemplo, su anlisis permitir ilustrar varias (aunque no todas) ideas del mefy los pasos en linvolucrados.

a.- Discretizacin del dominio

Como ya se mencion, en primer lugar se representa la regin continua (i.e., lacircunferencia), por un conjunto finito de n sub-regiones (elementos finitos), que en este caso sonlos segmentios de recta que representan cada lado del polgono. El conjunto de elementos sedenomina malla de elementos finitos o simplemente malla. En este ejemplo se utiliz una mallade seis (n = 6) segmentos de recta y se analizaron dos discretizaciones diferentes, tal como semuestra en la Fig.e1.1. Puesto que todos los elementos tienen el mismo tamao (nonecesariamente siempre es as), la malla se dice uniforme.

b.- Ecuaciones de los elementos

A continuacin se asla un elemento tpico (p.e., el lado e o e ), y se calculan sus

propiedades (en este caso, su longitud). Es aqu cuando se usa, a nivel de cada elemento genricoe , la ecuacin que gobierna el problema para determinar la propiedad requerida (en este caso,la longitud del elemento).

Sea, entoncesel la longitud del elemento e en la malla 1 y sea el la longitud del

elemento e , en la malla 2. Luego, se tendr:

nsenR2le

ntgR2le

c.- Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos finitos del problema

El permetro aproximado P de la circunferencia, se obtiene ensamblando, sumando, la

contribucin de cada uno de los elementos que componen la malla. En este caso, el ensamblajeest basado en que la suma de la longitud de cada elemento, es igual a la longitud total delensamblaje; es decir:

n

1e

e1 lP

n

1e

e2 lP

Puesto que en este caso la malla es uniforme,el o

el es igual para cada uno de los

elementos de la malla y por lo tanto se tiene:

nsenRn2P

n

1

ntgRn2P

n

2


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Se debe notar que en un caso general, el ensamblaje de los elementos est basado en laidea que la solucin es continua en los contornos inter-elementos. En el ejemplo anterior, lascondiciones de continuidad no se presentan ya que las ecuaciones usadas son algebraicas.Adicionalmente, el ensamblaje de los elementos est sujeto a condiciones de contorno y/oiniciales. Las ecuaciones discretas asociadas con la malla de elementos finitos, se resuelven slo

despus de introducir dichas condiciones. En este caso, por la misma razn anterior, tampoco sepresentan dichas condiciones.

d.- Convergencia de la solucin

La convergencia de la solucin de un problema va el mef, depende de la ecuacindiferencial a resolver y del elemento usado. La palabra convergencia se refiere a la exactitud(diferencia entre la solucin exacta y la solucin mef), cuando se incrementa el nmero de

elementos. En este caso, es fcil mostrar que en el lmite, cuando R2

P,n

)n(

1 y, del mismo

modo, R2P

)n(

2 . En efecto, sea n1x , luego:

x

xsenlim

nsennlim

R2

Plim

0xn

n

1

n

De igual modo, sea y n 1 , luego:

y

ytglim

nnlim

R2

Plim

0yn

n

2

n

La Fig.e1.2 muestra la convergencia de la solucin de ambas discretizaciones a medidaque n .

Fig.e1.2 Convergencia de la solucin del valor de .

2,500

2,700

2,900

3,100

3,300

3,500

3,700

3,900

4,100

0 50 100 150 200Nmero de lados del polgono.

Malla 1

Malla 2

Sol. Exacta


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Finalmente, se debe notar que de las tres posibles fuentes de error presentes en la solucinde un problema mediante el mef: (1) errores debido a la aproximacin del dominio; (2) erroresdebido a la aproximacin de la solucin; (3) errores debido al clculo numrico (p.e, erroresdebido a la integracin numrica, redondeo, etc.), en este ejemplo, nicamente est presente el

primer tipo de error. La estimacin de estos errores, en general, no es una tarea fcil.1.5.- Implementacin computacional del mtodo de los elementos finitos

La implementacin computacional de los pasos descritos en la seccin anterior se realiza,en forma general, a travs de tres unidades bsicas: el pre-procesador, el procesador, y el pos-procesador. Las funciones principales de estas unidades son, respectivamente, (1) entrada y/ogeneracin de los parmetros del problema, (2) ensamblaje y resolucin del sistema de ecuacionesy (3) impresin y graficacin de la solucin. El xito de cualquier programa computacional deelementos finitos, depende de la eficiencia de cada una de las tres unidades mencionadas. En laFig.1.5 se resume las operaciones que se realizan en dichas unidades.

Fig.1.5 Esquema general de la implementacin computacional del mtodo de los elementos finitos.

1.6.- Mtodos y formulaciones de las ecuaciones de los elementos finitos

Como ya se ha mencionado, el mefconsiste en el reemplazo de un conjunto de ecuacionesdiferenciales, por un conjunto equivalente, pero aproximado, de ecuaciones algebraicas, dondecada una de las variables es evaluada en los puntos nodales. En la evaluacin de estas ecuacionesalgebraicas pueden usarse diferentes tipos de aproximaciones, y los mtodos de elementos finitosse clasifican, usualmente, de acuerdo al mtodo usado. Desafortunadamente, no existe un mtodoen particular que sea apropiado para todos los tipos de problemas encontrados en la prctica, detal modo que deben examinarse diferentes mtodos para poder seleccionar el ms convenientepara un problema dado.


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En este texto se analizarn tres mtodos: el directo, el variacional y los residuales. Existenotros, menos comunes, pero escapan al objetivo primario de dicho texto.

1.6.1.- El mtodo directo

El mef se desarroll, al inicio de la dcada de los aos cincuenta, a partir del llamadomtodo directo asociado al clculo estructural, el cual fue ampliamente usado en la solucin dediversos problemas estructurales relacionados con la industria aeronutica. Mediante este mtodose analizaron elementos estructurales reticulares. Las relaciones entre los desplazamientos y lasfuerzas que los originan, se expresaron mediante un conjunto de ecuaciones, dando origen a loque se dio en llamar matriz de rigidezde cada elemento estructural, y se desarrollaron tcnicaspara realizar el ensamblaje de estas matrices en una matriz global, que expresara elcomportamiento de toda la estructura en estudio. Prcticamente, todos los parmetros empleadosen esta aproximacin pueden interpretarse mediante principios fsicos. Desafortunadamente, estemtodo es difcil de aplicar en problemas bidimensionales y tridimensionales, los cuales son,precisamente, los casos donde el mefes ms til. Esta limitacin es por lo tanto muy severa y

reduce, drsticamente, su rango de aplicacin.

1.6.2.- El mtodo variacional

El mtodo variacional est relacionado con un ente matemtico llamado funcional. Elfuncional asociado a un problema dado, puede obtenerse bien sea a partir de alguna expresin deenerga (usualmente este es el caso en los problemas de la mecnica de los slidos), o desde unproblema de valor de contorno. Una vez obtenido el funcional asociado a un problema dado, elmtodo variacional consiste en minimizar el valor del funcional con respecto a cada uno de losvalores nodales de la(s) variable(s) del problema.

Entre las ventajas de este mtodo se incluye la familiaridad de las tcnicas de energa (en

problemas de la mecnica de los slidos), y su fcil extensin a problemas bidimensionales ytridimensionales. Entre las desventajas, se incluye la inexistencia del funcional para cierta clasede problemas (p.e., los relacionados con el flujo de fluidos viscoelsticos), y la dificultad dedeterminarlo, aun cuando exista, para otros problemas. La inexistencia del funcional para algunosproblemas, obliga a que se deba recurrir a otros mtodos.

1.6.3.- El mtodo de los residuos pesados

El mtodo de los residuos pesados es el ms general de las tres tcnicas. Este mtodo estasociado al problema de valor de contorno de un problema dado, y consiste en re-escribir laecuacin diferencial que gobierna el problema, de tal modo que el lado derecho del signo deigualdad sea igual a cero. De este modo, cuando se substituye la solucin exacta en esta ecuacin,el resultado ser, lgicamente, igual a cero. Pero debido a que en general la solucin exacta no seconoce, se debe emplear alguna solucin aproximada. La sustitucin de esta solucin aproximadaen la ecuacin diferencial, conduce a un error residual r, distinto de cero. Este errorres entoncesmultiplicado por una funcin de peso W y el producto es integrado sobre toda la regin deldominio. El resultado es el error residual R, el cual debe hacerse igual a cero. Luego, para cadavalor nodal, existe una funcin peso W y un residuo R, ambos desconocidos, lo cual permiteformular un conjunto de ecuaciones algebraicas globales. La seleccin de las funciones peso W


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da origen a diferentes criterios de residuos pesados (Galerkin, mnimos cuadrados, colocacin,subdominio). El ms ampliamente usado es el mtodo de Galerkin.

A pesar que el mtodo de los residuos pesados es una aproximacin netamentematemtica, y que muy pocas veces se le puede asociar algn significado fsico a los parmetrosinvolucrados en la solucin de un problema dado, presenta la ventaja que puede aplicarse a

cualquier problema del cual se conozca su respectivo problema de valor de contorno y que, unavez que se entiende la tcnica, los detalles matemticos son relativamente fciles de realizar. Enparticular, en el rea de la mecnica de los fluidos, este mtodo es usado en casi la totalidad delos problemas, ya que las ecuaciones de Navier-Stokes y algunas relaciones constitutivas, talescomo las asociadas a los fluidos viscoelsticos, no admiten funcionales.

1.7.- Modelos de elementos finitos en la mecnica de los slidos

En la solucin de los problemas asociados a la mecnica de los slidos se pueden empleardiferentes modelos de elementos finitos, los cuales dependen del principio variacional utilizado ydel tipo de comportamiento localizado de las variables sobre cada elemento. Los tres principios

variacionales ms frecuentemente utilizados son: el principio de mnima energa potencial, elprincipio de mnima energa complementaria y el principio de Reissner. La(s) variable(s)involucrada(s) en un problema dado dictaminan el principio variacional a usarse.

Cuando se utiliza el principio de mnima energa potencial, se debe asumir la forma de losdesplazamientos en el interior de cada elemento. Por este motivo, este modelo recibe el nombrede modelo de elementos finitos de desplazamientos, o modelo compatible.

Cuando se usa el principio de mnima energa complementaria, se supone la forma delcampo de esfuerzos y por este motivo a este modelo se le conoce con el nombre de modelo deelementos finitos de las fuerzas, o modelo de equilibrio.

El principio de Reissner permite el desarrollo de los llamados modelo de elementos finitoshbridosy del modelo mixto. En estos modelos se adoptan simultneamente, los campos de

desplazamientos y de esfuerzos.Para un problema en particular, un principio puede ser ms apropiado que otro pero,

debido a su fcil implementacin, el modelo compatible es el ms ampliamente usado, motivopor el cual constituye la base de la mayora de los programas computacionales comerciales en elrea de la ingeniera. En este texto, nicamente se abordarn los aspectos tericos ycomputacionales de este modelo. Sin embargo, es importante resaltar que muchos de losconceptos que sern presentados, y en particular las tcnicas computacionales utilizadas en laimplementacin del mismo son, en muchos casos, directamente aplicables a los otros modelosdescritos. En la Tabla 1.2 se resumen los modelos de elementos finitos descritos.

1.8.- Modelos de elementos finitos en la mecnica de los fluidos

En la mayora de los problemas relacionados con la mecnica de los fluidos, es muy difcilo imposible formular la solucin de los mismos a travs de algn principio variacional, ya quecomo se dijo anteriormente, las ecuaciones de Navier-Stokes y algunas relaciones constitutivas,no admiten funcionales. As que, en esta rea, el mtodo de los residuos pesados es el msampliamente usados. En particular, en la solucin de los problemas de fluidos viscosos yviscoelsticos, los dos modelos de elementos finitos ms usados son: el modelo U-V-P y elmodelo Penalty.


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En el modelo U-V-P, se resuelven simultneamente, las ecuaciones de continuidad y decantidad de movimiento. Las incgnitas primarias presentes son las componentes de la velocidady la presin. La principal ventaja de este modelo radica en que la presin, debido a que es unaincgnita primaria, se obtiene directamente de la solucin del sistema de ecuaciones algebraicoresultante de la discretizacin. Sin embargo, debido a que la presin y las componentes de la

velocidad requieren diferentes grados de aproximacin, el algoritmo del montaje de la matrizglobal del sistema de ecuaciones se hace muy complicado. Adicionalmente, debido a la presenciade ceros en la diagonal principal de la matriz global del sistema, dicho sistema no es positivodefinido, por lo que el mtodo de solucin del sistema de ecuaciones algebraico resultante, debeincluir la tcnica de pivoteo. Un forma de contornar estas dificultades es a travs del modeloPenalty.

Tabla1.2 Modelos de elementos finitos usados en la mecnica de los slidos.


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II.- FORMULACIN DEL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS VA ELMTODO DIRECTO

2.1.- Introduccin

El mtodo directo puede verse como una extensin del mtodo de rigidez, ampliamenteusado en el anlisis estructural, motivo por el cual es conveniente iniciar el estudio de losconceptos esenciales de esta formulacin, considerando ejemplos sencillos de dicho anlisis. Esteenfoque tiene la ventaja de poder presentar los aspectos fundamentales del mef sin muchamanipulacin matemtica, con lo cual se puede lograr un sentimiento intuitivo de dichomtodo, antes de abordar tpicos ms avanzados del mismo. As, en la formulacin de estosprimeros ejemplos, apenas se har uso de algunos razonamientos fsicos mediante los cuales seestablecern las ecuaciones de los elementos (previamente seleccionados), en trminos de lasvariables asociadas al problema. Luego, combinando estas ecuaciones, se formarn las ecuacionesglobales que habrn de expresar el comportamiento de todo el sistema. Debido a esto, estemtodo tambin recibe el nombre de aproximacin directa del mef.

A pesar que el mtodo directo permite una interpretacin clara y fcil del mef, su utilidadest severamente limitada ya que es difcil o imposible de aplicar cuando se utilizan elementoscomplejos y/o se analizan problemas complicados. En estos casos se debe considerar losfundamentos matemticos del mef.

2.2.- Resorte elstico-lineal

Uno de los elementos ms simples que puede examinarse desde el punto de vista del mef,es el sistema formado por resortes lineales. En la Fig.2.1 se muestra un resorte elstico-lineal,el cual obedece la ley de Hooke; es decir, si una fuerza f est aplicada en el extremo libre delresorte y produce un desplazamiento , entonces existir una relacin fuerza-desplazamiento, la

cual es lineal y est dada por:

f (2.1)

Fig.2.1 Un resorte lineal con un extremo fijo y una fuerza aplicada en su extremo libre.

En esta ecuacin, es la rigidezdel resorte. El resorte de la Fig.2.1 est fijo en un extremoy slo puede tener el desplazamiento indicado en dicha figura.

Considrese ahora un resorte elstico-lineal, de extremos i yj, el cual forma parte de unsistema de resortes (en equilibrio), tal como se muestra en la Fig.2.2. En este caso, debido a laaccin de los resortes adyacentes, actuarn las fuerzas f1y f2 en los extremos del resorte, siendo1 y 2 los correspondientes desplazamientos. Los extremos i y j del resorte son los nodos del


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elemento resorte, y los desplazamientos de cada nodo se denominan, en general, grados de

libertad.

Fig.2.2 Un resorte lineal tpico en un sistema de resortes.

Del equilibrio de fuerzas sobre el resorte, se tiene:

f f1 2 0 (2.2)es decir,

f f1 2 (2.3)

Puesto que el nodo i se desplaz una distancia 1 y el nodoj se desplaz una distancia 2 ,la elongacin total del resorte es 2 1 , y por lo tanto este resorte se comporta exactamenteigual al resorte de la Fig.2.1, con una fuerza f2 y un desplazamiento 2 1 . Luego,

f2 2 1 (2.4)

de modo que:

f1 1 2 (2.5)

En notacin matricial, estas ecuaciones pueden escribirse del siguiente modo:

f

f k

1

2

1

2

(2.6)

o, en forma compacta:

f (2.7)

Los ndices i yj de los elementos de la matriz de rigidez , ij , denotan la localizacinde cada coeficiente de rigidez en la i-sima fila y la j-sima columna de dicha matriz. Esta matriz(cuadrada), es conocida con el nombre de matriz de rigidezdel elemento (en este caso, el resorte),el vector es el vector de desplazamientos nodales y el vector f es el vector de fuerzasnodales del elemento.

A pesar que la ec.(2.6) se dedujo para uno de los elementos ms simples que se puedepensar, sta posee, sin embargo, muchas de las propiedades que aparecen en los elementos mscomplejos. Su forma permanece inalterable independientemente del tipo del problema, lacomplejidad del elemento o la forma en la cual se deducen las propiedades de los elementos.


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En este ejemplo, la ley de Hooke permiti determinar los valores exactos de loscoeficientes de rigidez de la matriz de rigidez , pero en situaciones ms complejas, loscoeficientes de rigidez solo podrn determinarse en forma aproximada. Independientemente decomo se determinen estos coeficientes (en forma exacta o aproximada), su interpretacin es lamisma: un coeficiente tpico ij , se define como la fuerza requerida en el nodo i para producir un

desplazamiento unitario en el nodo j, suponiendo que todos los dems desplazamientos soniguales a cero. Esta definicin es consistente ya que en cada nodo slo existe una fuerza y undesplazamiento.

2.3.- Elementos simples de la mecnica estructural

La idea de modelar una estructura como una serie de elementos comenz como unaextensin de los mtodos tradicionales usados en el anlisis de estructuras reticulares tales comoarmaduras, prticos, etc. Estas estructuras estn formadas por barras interconectadas nicamenteen los nodos, a travs de los cuales se transmiten las fuerzas. De modo que es natural ver estasestructuras como un ensamblado de componentes (elementos) individuales. Las relaciones fuerza-

desplazamiento de cada uno de estos elementos, se determinan del mismo modo que en elejemplo anterior.

2.3.1.- Elemento unidimensional sometido a carga axial

Como una aplicacin inmediata del resorte elstico-lineal discutido anteriormente, surgeel elemento estructural de eje recto, el cual est sometido nicamente a carga axial. El anlisis deeste tipo de elemento, proporciona un buen punto de partida para mostrar como el mtodo directoes usado en la determinacin de la matriz de rigidez de un elemento estructural.

Considrese el elemento axial, en su sistema local de referencia xm , mostrado en la

Fig.2.3. En cada nodo slo actan una fuerza y un desplazamiento, con lo cual se tiene un nicogrado de libertadpor nodo.

Fig.2.3 Elemento unidimensional uniforme sometido a carga axial.

En total, el elemento tendr dos grados de libertad, por lo que se necesitan dos ecuacionespara describir las caractersticas de fuerza-deformacin. En notacin matricial, estas ecuacionestienen la forma:

11 12

21 22

1

2

1

2

u

u

f

f(2.8)

o, igual que antes: f


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donde: es la matriz de rigidez, es el vector de desplazamientos nodales y f es el vectorde fuerzas nodales.

De la propia definicin de los coeficientes de rigidez ij y recordando, de la teora bsica

de la mecnica de los slidos, que el desplazamiento del extremo libre de un elemento uniforme,sometido a carga axial viene dado por u FLA Ex , se tiene que los coeficientes de rigidez para este

elemento vienen dados por: LEA

2211x y L

EA2112

x tal como se puede apreciar enla Fig.2.4.

Fig.2.4 Coeficientes de rigidez de un elemento unidimensional sometido a carga

axial. (a) Coeficientes k11 y k21 ; (b) Coeficientes k12 y k .22

De modo que para este elemento, el sistema de la ec.(2.8) viene dado por:

A E

L

u

u

f

f

x1 1

1 1

1

2

1

2

(2.9)

Como puede notarse, este sistema es similar al sistema dado por la ec. (2.6), en el cual A E Lx , ya que, en esencia, representan el mismo tipo de elemento.

2.3.2.- Elemento de armadura plana

En la Fig.2.5a se muestra un elemento tpico (k)de una armadura plana. Se supone quedicho elemento est situado en el plano xy, en donde x y y son los ejes de referencia de laestructura. Este elemento posee dos grados de libertad por nodo (en vez de uno como en losejemplos anteriores), de tal modo que, en total, el elemento posee cuatro grados de libertad, por loque se necesitan cuatro ecuaciones para describir las caractersticas de fuerza-desplazamiento deeste elemento.

La matriz de rigidez para el elemento genrico(k), asociada al sistema local de referencia

(Fig.2.5c), puede obtenerse, fcilmente, a partir del ejemplo anterior (Fig.2.4). Utilizando elsistema de numeracin mostrado en la Fig.2.5.c, se hace evidente que:

4

3

2

1

4

3

2

1

x

f

f

f

f

u

u

u

u

0000

0101

0000

0101

L

EA(2.10)


35/296

21

Fig.2.5Armadura plana y sistemas de referencia. (a) Armadura referida al sistema global X-Y.(b) Componentes de las fuerzas y de los desplazamientos orientados con relacin alsistema global X-Y; (c) Componentes de las fuerzas y de los desplazamientos orientados

con relacin al sistema local de referencia X m y Y m .

donde u u u uT

1 2 3 4 y f f f f T

1 2 3 4 representan, respectivamente, los vectores dedesplazamientos y fuerzas nodales de este elemento asociados al sistema local de referencia.

2.3.3.- Elemento de viga de eje recto

Considrese el elemento (k) de viga de eje recto, uniforme y homogneo, mostrado en la

Fig.2.6a. En la Fig.2.6b se puede apreciar dicho elemento en el sistema local de referenciax y zm m m, , . En este tipo de elemento tambin existen dos grados de libertad por nodo, los cualesestn indicados por los vectores numerados del 1 al 4, en la Fig.2.6b.

Fig.2.6 Elemento de viga uniforme de eje recto. (a) Sistema global de referencia.(b) Sistema local de referencia.

De nuevo, haciendo uso de la definicin de ij y de la teora bsica de la mecnica de los

slidos, se proceder a determinar los coeficientes de rigidez de este elemento con relacin al


36/296

22

sistema local de referencia. En la Fig.2.7 se muestran los coeficientes a determinar de acuerdocon la numeracin adoptada en la Fig.2.6b.

Fig.2.7 Coeficientes de rigidez asociados al elemento de viga uniforme de eje recto.

Debido a la indeterminacin esttica presente en este problema, se considerarn comoredundantes, la fuerza y el momento en un extremo del elemento El clculo de los coeficientes ij se har aplicando el principio de superposicin y con la ayuda de la 1.2Tabla .

Tabla 2.1 Deflexiones y pendientes de una viga de eje recto en voladizo.


37/296

23

As, para el caso de la Fig.2.7a, la solucin es:

yL

EIi

113

3 y

L

EIi

212

2

i

L

EI 11

2

2

i

L

EI 21

Las condiciones de contorno son:

i i i 0 (a)

y y yi i i 10. (b)Luego:

De la ec.(a) 112

21

11

21

20

2L

EI

L

EI L(c)

De la ec.(b): 11

3

21

2

21

3

21

2

3 210

2

3 210

L

EI

L

EI L

L

EI

L

EI

. . (d)

De las ecs.(c) y (d) se obtiene:

21 26

EI

L 11 3

12

EI

L

Siguiendo un procedimiento anlogo, en el caso de la Fig.2.7b se determinan loscoeficientes de rigidez:

12 26

EI

L

L

EI422

De igual modo, para el caso de la Fig.2.7c, se obtienen:


38/296

24

43 26

EI

L 33 3

12

EI

L

Y, finalmente, para el caso de la Fig.2.7d, se pueden determinar los siguientes coeficientes derigidez:

44 4 EIL

34 26 EIL

Los restantes coeficientes de rigidez se determinan mediante los requisitos de equilibrioesttico: Fy 0 y Mz 0. As, la matriz de rigidez del elemento de viga de eje recto estdada por:

m k

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

(2.11)

Siguiendo un procedimiento similar se puede deducir las matrices de rigidez de otroselementos reticulares, tales como, armaduras espaciales, parrillas, prticos planos, etc.

2.4.- Formulacin general del mtodo directo

La deduccin de las matrices de rigidez de cada uno de los elementos presentados en laseccin anterior involucr, nicamente, el concepto de coeficiente de rigidez y la utilizacin dealgunas relaciones bsicas de la mecnica de los slidos. A continuacin se presentar ladeduccin de las matrices de dichos elementos a travs de un procedimiento ms general, el cualpuede aplicarse, con las mismas limitaciones implcitas en el mtodo directo, a problemas dedistinta naturaleza. Mediante este procedimiento, la formulacin de la matriz de rigidez de unelemento se realiza a travs de los siguientes pasos:a.- Se asume el campo de los desplazamientos en el interior de un elemento, en trminos de losdesplazamientos definidos en los nodos del mismo.b.- Se introducen las ecuaciones cinemticas, con las cuales se determina el estado de

deformacin del elemento, correspondiente al campo de desplazamientos asumido.c.- Se introduce la influencia de las propiedades del material del elemento mediante lasecuaciones constitutivas (relaciones esfuerzo-deformacin).d.- Se determina el conjunto de fuerzas nodales del elemento.

2.4.1.-Elemento unidimensional sometido a carga axial

Sea el elemento unidimensional sometido a carga axial que se muestra en la Fig.2.8. Igualque antes, se asume que dicho elemento es uniforme y homogneo. El campo de los


39/296

25

desplazamientos de este elemento, est definido por el desplazamiento axial en los nodos 1 y 2.Luego, para describir la variacin unidireccional del desplazamiento, la seleccin lgica para elcampo de desplazamientos, es un polinomio lineal enx; es decir:

Fig.2.8 Elemento unidimensional uniforme sometido a carga axial.

u a a x xa

a

1 2

1

2

1 (2.12)

Nota: En el caso que el desplazamiento de un punto tenga tres componentes (p.e., u, v y w),entonces se seleccionar una expansin polinomial independiente para cada direccin; es decir:

u a a x 1 2 v a a y 3 4 w a a z 5 6

o, en forma matricial:

u

v

w

x

y

z

a

a

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

1

6

Para completar el primer paso se debe evaluar la ec.(2.12) en los nodos del elemento (enx 0 y en x L ), lo cual conduce a:

u

u L

a

a

1

2

1

2

1 0

1

(2.13)

invirtiendo la matriz de este sistema, se obtiene:

a

a L

L u

u

1

2

1

2

1 0

1 1

(2.14)

sustituyendo la ec.(2.14) en la ec.(2.12) se obtiene:

ux

L

x

L

u

uN N

u

u

11

2

1 2

1

2

(2.15)


40/296

26

donde: Nx

L11

y N

x

L2 son las llamadas funciones de forma del campo de

desplazamientos. Estas funciones definen el comportamiento del desplazamiento u en trminos delos valores unitarios de los desplazamientos nodales, tal como se muestra en la Fig.2.9.

El segundo paso involucra la introduccin de las ecuaciones cinemticas (relaciones

desplazamiento-deformacin). En este caso, la nica componente de la deformacin distinta decero es x xu , ( u du dxx, ). Este paso puede hacerse de dos formas: en la primera, se

diferencia la ec.(2.12); es decir:

Fig.2.9 Funciones de forma asociadas al elemento unidimensional lineal.

ua

ax,

0 11

2

(2.16)

Luego, introduciendo la ec.(2.14) en la ec.(2.16), se obtiene:

x xu

L

L u

uL L

u

u

, 0 11 0

1 1

1 11

2

1

2

(2.17)

La otra forma de llegar a este resultado es diferenciar directamente la ec.(2.15); es decir:

x xuL L

u

u

,

1 1 1

2

(2.18)

En la etapa nmero tres se introducen las relaciones constitutivas. En este caso, dichasrelaciones se reducen a una nica expresin:

x xE (2.19)

luego:x E

L L

u

u

1 1 1

2

(2.20)

Como ltimo paso se debe determinar el conjunto de fuerzas nodales T21 fff .Eneste caso, dicho conjunto se obtiene multiplicando el esfuerzo x por el rea de la seccintransversal A x del elemento. Luego:


41/296

27

f

fAx x

1

2

1

1

(2.21)

Nota: el requisito de equilibrio ( Fx 0 ) exige que f1 acte en sentido opuesto al sentidopositivo de x .

Introduciendo la ec.(2.20) en la ec.(2.21) se obtiene, finalmente:

f

fA E

L L

u

u

A E

L

u

uxx1

2

1

2

1

2

1

1

1 1 1 1

1 1

(2.22)

Por supuesto que los sistemas de ecuaciones (2.22) y (2.9) son idnticos. Como ya semencion, el resorte elstico-lineal es, en esencia, idntico al elemento unidimensional, uniformey homogneo sometido a carga axial.

La deduccin de la matriz de rigidez del elemento de armadura plana, como ya se vio, essimilar a la del elemento uniforme axial aqu presentado, motivo por el cual se pasar al prximo

elemento.

2.4.2.- Elemento de viga de eje recto

Considrese el elemento de viga de eje recto, uniforme y homogneo que se muestra en laFig.2.10. La determinacin de la matriz de rigidez de este elemento sigue los mismos pasos delejemplo anterior, pero ahora se debern definir, no solo los desplazamientos transversales en losextremos del elemento ( v1 y v2 ), si no tambin, las rotaciones (1 y 2 ) en los mismos puntos.

Fig.2.10 Elemento de viga de eje recto.

Como en el ejemplo anterior, se comenzar por definir el polinomio que describe elcampo de desplazamientos de este elemento. Debido a que existen cuatro desplazamientosnodales, se deber asumir el polinomio cbico completo.


42/296

28

v a a x a x a x x x x

a

a

a

a

1 2 3

2

4

3 2 3

1

2

3

4

1 (2.23)

La evaluacin de v v vT

1 1 2 2 en los nodos del elemento, conduce a:

v

v L L L

L L

a

a

a

a

1

1

2

2

2 3

2

1

2

3

4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

(2.24)

invirtiendo la matriz del sistema anterior, se obtiene:

a

a

a

a

L

L

L L L L

L L

v

v

1

2

3

4

3

3

2 2

1

1

2

2

0 0 0

0 0 0

3 2 3

2 2

(2.25)

sustituyendo la ec.(2.25) en la ec.(2.23), se llega a:

vL

N N N N

v

v

13 1 2 3 4

1

1

2

2

(2.26)

donde:

32

1L

x2

L

x31N

2

2L

x1xN

(2.27a)

32

3L

x2

L

x3N

2

4L

xLxN

(2.27b)

son las funciones de forma para este elemento, las cuales se muestran en la Fig.2.11. stasrepresentan la variacin de v a lo largo de la longitud del elemento, debido a valores unitarios delos cuatro desplazamientos nodales v1 , 1 , v 2 y 2 .


43/296

29

Fig.2.11 Funciones de forma del elemento de viga de eje recto.

En este caso, las relaciones deformacin-desplazamiento se infieren directamente de lahiptesis fundamental de flexin: secciones planas de la viga, normales a su eje longitudinal,

permanecenplanas despus que la viga se somete a flexin, tal como se muestra en la Fig.2.12.

Fig.2.12 Deformaciones debido a la flexin de una viga de eje recto.

De la teora de flexin de vigas se sabe que:

m EId v

dx

2

2(2.28)

donde E es el mdulo de elasticidad, I es el momento de inercia de la seccin transversal (puestoque se ha asumido un elemento uniforme y homogneo este producto es constante), y m es elmomento interno resistente. Aunque estrictamente hablando una ecuacin constitutiva es unarelacin esfuerzo-deformacin, la ec.(2.28) puede verse como una relacin de este tipo ya que en

definitiva, x f m y x f d v dx 2 2 .Por otro lado, se puede notar que las segundas derivadas de las funciones de forma,

[ecs.(2.27)], varan linealmente en el interior del elemento y por lo tanto la curvatura


44/296

30

v d v dx2 2 , puede definirse nicamente, con los valores de v en los puntos nodales 1 y 2del elemento. As, de la ec.(2.26) se tiene:

vv L

L L L LL L L L

v

v1

2

3

2 2

2 2

1

1

2

2

1 6 4 6 26 2 6 4

(2.29)

sustituyendo esta ecuacin en la ec.(2.28), se obtiene:

m

m

EI

L

L L L L

L L L L

v

v

1

2

3

2 2

2 2

1

1

2

2

6 4 6 2

6 2 6 4

(2.30)

donde m mT

1 2 , son los momentos internos resistentes en los nodos del elemento. En este

caso, el conjunto de fuerzas nodales es f f m f mT

1 1 2 2 , donde los trminos f1 y f2 son las fuerzas en la direccin del eje ym , en los nodos 1 y 2, respectivamente, y m1 y m2 representan los momentos con relacin al eje zm en los mismos nodos, tal como se muestra en laFig.2.13.

Fig.2.13 Acciones sobre los nodos de un elemento de viga de eje recto.

Los momentos internos m se definen como positivos cuando producen una curvatura

positiva, tal como se muestra en la figura anterior. Luego, en los nodos del elemento se tiene,respectivamente, m m1 1 y m m2 2 . Para determinar f1 y f2 en trminos de m1 y m2 sehace uso de las ecuaciones de equilibrio esttico; es decir:

f

m

f

m

L

L

L

m

m

1

1

2

2

1

2

1

1 1

0

1 1

0

(2.31)


45/296

31

Sustituyendo la ec.(2.30) en la ec.(2.31), se obtiene, finalmente:

f

m

f

m

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

v

v

1

1

2

2

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

1

1

2

2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

(2.32)

2.4.3.- Elemento bidimensional

Hasta el presente se han tratado elementos unidimensionales. En esta seccin se utilizarel mtodo directo en la deduccin de la matriz de rigidez del elemento bidimensional ms simple,

y extensamente usado en la solucin de problemas de ingeniera; el elemento triangular de tresnodos por elemento, el cual se muestra en la Fig.2.14.

Fig.2.14 Elemento triangular de tres nodos por elemento.

Para este elemento, el polinomio interpolante es:

a a x a y x yaa

a

1 2 3

1

2

3

1 (2.33)

el cual, evaluado en los nodos da:

1 en x x 1 y y y 1 2 en x x 2 y y y 2 3 en x x 3 y y y 3


46/296

32

Sustituyendo estas igualdades en la ec.(2.33), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

1 1 2 1 3 1

2 1 2 2 3 2

3 1 2 3 3 3

a a x a y

a a x a y

a a x a y

(2.34a)

o, en forma matricial:

1

2

3

1 1

2 2

3 3

1

2

3

1

1

1

x y

x y

x y

a

a

a

(2.34b)

la inversin de este sistema conduce a:

a

a

aA

x y x y x y x y x y x y

y y y y y y

x x x x x x

1

2

3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

3 2 1 3 2 1

1

2

3

12

(2.35)

donde:

2

1

1

1

1 1

2 2

3 3

A

x y

x y

x y

(2.36)

y A es el rea del tringulo.

Con la sustitucin de la ec.(2.35) en la ec.(2.33) resulta:

N N N1 1 2 2 3 3 (2.37)donde:

NA

a b x c y

a x y x y

b y y

c x x

NA

a b x c ya x y x yb y y

c x x

NA

a b x c y

a x y x y

b y y

c x x

1 1 1 1

1 2 3 3 2

1 2 3

1 3 2

2 2 2 2

2 3 1 1 3

2 3 1

2 1 3

3 3 3 3

3 1 2 2 1

3 1 2

3 2 1

1

2

1

2

1

2

(2.38)


47/296

33

La evaluacin de N1 en el nodo 1 conduce a:

NA

x y x y x y x y x y x y1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2 11

2

Ntese que los trminos dentro del parntesis es el valor del determinante de la ec.(2.36),por lo tanto:

NA

A11

22 1

en el nodo 1. En los nodos 2 y 3 N1 vale cero:

NA

x y x y x y x y x y x y1 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 21

20

N

Ax y x y x y x y x y x y

1 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3

1

20

Igual consideracin puede hacerse con los nodos 2 y 3.De acuerdo con la ec.(2.33), es funcin de un conjunto de funciones de forma que son

lineales enx yy. Esto significa que los gradientes en dichas direcciones sern constantes.El gradiente en la direccinx es:

x

N

x

N

x

N

x 1 1

2

2

3

3 (2.39)

pero:

A

b

x

N

ii

2 i=1,2,3

por lo tanto:

x Ab b b

1

2 1 1 2 2 3 3(2.40)

puesto que b1 ,b2 y b3 son constantes (son fijas una vez que se especifican las coordenadaslocales), y 1 , 2 y 3 son independientes de las coordenadas espaciales, la derivada tiene unvalor constante con respecto a la direccin x. Con igual razonamiento se concluye, tambin, que

.cte

y

2.4.4- Estado plano de tensiones

El elemento triangular lineal estudiado en la seccin anterior fue utilizado inicialmente enla solucin de los problemas relacionados con la teora lineal de la elasticidad bidimensional; esdecir en los problemas que pueden ser reducidos al estado plano de tensiones o al estado plano dedeformaciones. En esta seccin se deducirn, para ambos estados, las respectivas matrices derigidez de un elemento triangular lineal, en el cual se supondr homogneo, isotrpico y de


48/296

34

espesor (t) es constante. En la Fig.2.15 se muestra un elemento genrico con los vectores querepresentan los desplazamientos y fuerzas nodales, as como tambin el correspondiente sistemade referencia seleccionado.

Fig.2.15 Elemento triangular de tres nodos y el sistema de referencia usado.

Como se observa en la figura anterior, los campos de los desplazamientos y de fuerzasnodales vienen dados por:

T3Y3X2Y2X1Y1X

T

332211 fffffff;vuvuvu (2.41)

y que el desplazamiento en el interior del elemento debe ser una funcin de x yy, el cual podrser determinado a travs de los seis desplazamientos nodales. Con esta restriccin, la nicaseleccin posible para la funcin del desplazamiento es:

u a a x a y 1 2 3 ; v a a x a y 4 5 6 (2.42)

Ntese que estas expresiones son polinomios lineales completos. La evaluacin de lacomponente del desplazamientou en los puntos nodales, conduce a la ec.(2.34b); es decir:

3

2

1

33

22

11

3

2

1

a

a

a

yx1

yx1

yx1

u

u

u

(2.43)

invirtiendo la matriz de este sistema, se llega a:

3

2

1

123123

211332

122131132332

3

2

1

u

u

u

xxxxxx

yyyyyy

yxyxyxyxyxyx

A2

1

a

a

a

(2.44)

sustituyendo a1 , a2 y a3 en la primera de las ecs.(2.42) se obtiene:


49/296

35

u N u N u N u 1 1 2 2 3 3 (2.45)

donde 321 NyN,N , son las funciones de interpolacin de este elemento deducidas anteriormente;

es decir:

123

213

12213

3333

312

132

31132

2222

231

321

23321

1111

xxc

yyb

yxyxa

ycxbaA2

1N

xxc

yyb

yxyxa

ycxbaA2

1N

xxc

yyb

yxyxa

ycxbaA2

1N

(2.46)

Siguiendo el mismo procedimiento para la componente del desplazamiento v, se llega:

v N v N v N v 1 1 2 2 3 3 (2.47)

Para de la elasticidad lineal, las relaciones desplazamiento-deformacin vienen dadas por

xu

x

yv

y

xy

u

y

v

x (2.48)

Sustituyendo las ecs.(2.45) y (2.47) en las ecs.(2.48), se llega a:

3

3

2

2

1

1

x,3y,3x,2y,2x,1y,1

y,3y,2y,1

x,3x,2x,1

xy

y

x

v

u

v

u

v

u

NNNNNN

N0N0N0

0N0N0N

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

v

u

v

u

v

u

ccbcbc

c0c0c0

0b0b0b

(2.49)

dondeNi x, representa la derivada de Ni con relacin ax, etc.


50/296

36

Para introducir las ecuaciones constitutivas, se supondr que el elemento estar bajo lacondicin de estado plano de tensiones. Esta condicin es la forma ms simple decomportamiento de una estructura continua y frecuentemente aparece en la prctica. Un ejemplotpico de esta situacin lo constituye el caso de una placa delgada cargada en su propio plano, tal

como se muestra en la Fig.2.16.

Fig.2.16 Placa plana en estado plano de tensiones.

Para esta condicin, z 0 y z x yE 0 .Adems, debido a la condicinbidimensional del problema, xz yz 0 y la ecuacin constitutiva es igual a:

x

y

xy

x

y

xy

E

1

1 0

1 0

0 01

2

2(2.50)

El ltimo paso en la deduccin de la matriz de rigidez de este elemento, involucra ladeterminacin del conjunto de fuerzas nodales equivalentes, que sean estticamente equivalentesal campo de esfuerzos (uniforme) que acta en los lados del elemento. Sin embargo, unadificultad que comnmente aparece cuando se trabaja con el mtodo directo es, precisamente, lade encontrar las fuerzas nodales que sean estticamente equivalentes, en forma exacta, al estadode esfuerzos. Ntese que existen seis incgnitas (las seis fuerzas nodales), pero solo tresecuaciones de equilibrio esttico para determinarlas. Para contornar este problema, usualmente se

determinan las fuerzas nodales que satisfagan los requerimientos del balance de fuerzas y demomentos, pero el conjunto, por supuesto, no es nico. En la Fig.2.17a se muestra ladistribucin de esfuerzos sobre el elemento, y en la Fig.2.17b se muestra el conjunto de fuerzasequivalentes actuando en el punto medio de los lados del elemento, y las fuerzas nodales

correspondientes.Una forma de determinar un conjunto fsicamente razonable de fuerzas nodales

equivalentes, consiste en dividir las fuerzas de los puntos medios de los lados del tringulo enpartes iguales y sumar las contribuciones respectivas en los nodos de cada lado; es decir:


51/296

37

12xy12x12x xxyytf (2.51a) 12xy12y12y yyxxtf (2.51b)

32xy23x23x xxyytf (2.51c) 23xy32y23y yyxxtf (2.51d)

13xy13x13x xxyytf (2.51e)

13xy13y13y yyxxtf (2.51f)

Fig.2.17 Campo de esfuerzos en un elemento triangular de tres nodos. (a) Distribucin uniforme

de esfuerzos en el contorno del elemento; (b) Componentes de las fuerzas estticamente equivalentes.

y por lo tanto:

1xy1x23xy32x13x12x1x cb2

txxyy

2

tff

2

1f (2.52a)

1xy1x32xy23y13y12y1y bc2

tyyxx

2

tff

2

1f (2.52b)

2xy2x31xy13x23x12x2x cb2

txxyy

2

tff

2

1f (2.52c)

2xy2x13xy31y23y12y2y bc2

Zeferino Da Fonseca Completo

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