Wyroubof cristallo
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WYROUBOFF, GRÉGOIRE Manuel pratique de cristallographie Paris 1889
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Cours de Cristallographie
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WYROUBOFF, GRÉGOIRE
Manuel pratique de
cristallographie
Paris 1889
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MANUEL PRATIQUE
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CRÏSTALLO&RAPHtE.
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CRISTALLOGRAPHIE
9G.WYROUBOFF.
PARIS.
GAUTMiEX-VILLAnS ET.FILS, ÏMPmfECMS-fJM.UMES
DU BUREAU NES LOXCtTLDHS, HH t,'J;(;()LE t'OL)TEC[tX)Qt;E.
Quai des Grands-Au~usLins.'i'i.
1889
(Tousdroüsréservés.)
208773
PRÉFACE.o
Ce livre ne remplace aucun des nombreux Traités et
Manuels de Cristallographie publiés jusqu'à ce jour; if a
la prétention plus modeste de combler une lacune qui
existe dans la plupart d'entre eux.
A deux ou trois exceptions près (' ), dans tous ces
Ouvrages, parmi lesquels il y en a d'excellents a tous
égards, on examine avec détail les propriétés géomé-
triques des polyèdres cristallins, on étudie leurs lois de
symétrie et l'on décrit minutieusement leurs diverses
formes, réservant pour un appendice de quelques pages
les indications sommaires sur le calcul des cristaux.
Cette façon de procéder a sans doute sa raison d'être,
car la Cristallographie, envisagée à un point de
(') Je ne connais guère que trois Ouvrages consacres au Ct~/c~/erisLat-
tographique:
1° Kut'FFEn, //f<<'MeA des rec/t/te/!c/<t A<y.!<<!<Y//?/i/R, iSj!
2°C.KLEtN,/i't/!<e/<M/tg't/t'<A't'.<<<:<<'C/'eC/t7ttt/!g,S;<i~
3° F. HE~Rtcu, /.e/t/Mc/tf/s' A'j)'~<a«&e/'cc/tMMn~ jS8C.
De ces trois Ouvrages, le pronio'es!. uncrn)'cLebibiiugra[~uquc;ie se-
condesLd'unp)'ixfort.e!eYceLa)'inconvenjenLd'eLreba'iesurJaprojcr-
non linéaire, peu commode et peu usitée; le troisit'pne, enfin, ne donne
que l'emploi déjà projection stereogranhn)ue, qui exi~e une assez grande
habitude du ca)cu)cristaUographique.
V) PtttFAt~
vue, est une branche comme une autre <!e la Géométrie
et comprend, par conséquent, des lois générales etabstraites indépendantes des procédés pratiques qui
permettent de les appliquer à chaque cas particulier;
mais elle a l'inconvénient très grave de ne s'adresser
qu'a ceux, en très petit nombre, qui veulent devenir
cristatiographes, et de laisser sans ressources tous ceux
pour lesquels la Cristallographie n'est qu'un moyen de
déterminer et de décrire tes espèces.
C'est à cette classe, de beaucoup la plus nombreuse,
desavants, que s'adresse le livre que je publie aujour-
d'hui et dont le vrai titre devrait être celui, un peu !onget inusité, de A/<x~M<?//)ra/!<yM<?<c la ~e/TM/oM~.t
/o/Mc.y cristallines.
Combien plus avancées seraient nos connaissances
sur la structure intime des corps si les chimistes décri-
vaient exactement la forme des innombrables suh-
stances qui sortent de leurs [aboratoires, et qui, parfoisaccidentellement obtenues, difficiles à reproduire ou
rapidement décomposâmes, sont perdues pour l'étude;
si, d'autre part, les physiciens prenaient l'habitude de
relier les propriétés qu'ils découvrent a la symétrie
qui appartient à t'enveloppe cristaHine! On peut dire,
il est vrai, que dans les cas douteux ou particulière-
ment intéressants a un titre quelconque, les uns et les
autres ont volontiers recours à un cristattographc de
profession; mais, outre qu'on n'en a pas toujours un
sous la main, l'expérience démontre qu'une sembtahte
division du travail donne rarement de bons résultats.
Des formes arbitrairement orientées, sans aux
PRÉFACE. Vfi
1 1 1 1formes de substances voisines, ne servent le plus sou-
vent qu'a cacher les analogies qu'on se propose de cher-
cher, et à faire considérer comme hétéromorphcs des
composés dont l'isomorphisme n'est cependant pas dou-
teux.
Il y a longtemps, du reste, que les inconvénients de
cette collaboration sont ressentis et qu'on tente de s'en
affranchir; mais on s'arrête a une difficulté plus appa-
rente que réelle, car elle est le résultat d'un malentendu.
On trouve que la Cristallographie est une branche très
complexe exigeant de longues études, et avec les pro-
grès incessants et rapides de la Science on a déjà fort a
faire en cultivant une seule spécialité. Cela est tout à
fait exact et il n'y a rien à objecter, sinon que l'on confond
ici deux choses parfaitement distinctes et qu'il n'y a nu!
besoin d'être initié à tous les arcanes de la Cristallogra-
phie pour déterminer très exactement et dans tous les
cas possibles la forme des cristaux.
C'est en me plaçant à ce point de vue exclusivement
pratique que j'ai conçu le plan de mon Manuel et c'est à
ce point de vue qu'il faut se placer pour le juger.
J'ai supposé le lecteur n'ayant sur les formes cristal-
lines que ces notions préalables qu'on trouve dans tous
les Traités de Chimie, et désirant arriver rapidement et
sans trop de difficultés à pouvoir les déterminer exac-
tement. J'ai écarté pour cela tout ce qui n'était pas ab-
solument indispensable, et j'ai réduit la partie théoriqueà un petit nombre de propositions fort simples, qui
n'exigent que des connaissances mathématiques élé-
mentaires et qui suffisent pour faire comprendre les
VtH t'ttEt-'AC)'
principes fondamentaux du calcul cristattographiquc.Ceux que les formules effarouchent peuvent, a la rigueur,se passer de ces quelques pages de généralités et se
contenter de la partie pratique, que je me suis efforce de
rendre aussi claire et aussi complète que possible sans
dépasser les dimensions d'un volume que je tenais a
mettre à la portée de tous. On y trouvera, en effet, de
nombreux modetes de calcul, disposés de façon à faire
passer en revue la plupart des cas qui peuvent se pré-senter et à n'exiger d'autre connaissance mathématique
que celle du maniement d'une Tabie de logarithmes.On y trouvera aussi des indications detaiitecs sur le
dessin des cristaux et l'examen de leurs propriétés opti-
ques, qu'on négtige généralement de donner dans les
ouvrages élémentaires de CristaUographie, et qui sont
cependant si utiles dans un très grand nombre de cas.
J'espère que ce Manuei pourra égatement rendre des
services aux candidats a la licence ès sciences physiques,
qui sont souvent fort embarrassés de trouver dans les
ouvrages qu'ils ont entre les mains la solution des
questions pratiques qu'on ieurpose.Le point de vue purement pratique qui m'a guidé
n'exclut pas les considérations théoriques; aussi ai-jenisisté sur tout ce qui a trait au choix des axes coor-
donnés et de la forme primitive, aux formes limites et
pseudo-symétriques. Ce sont là des questions qui ne
préoccupaient nullement les anciens cristaHographesct
qui jouent actuellement un rôle considérabie dans la
Science. Les cristaux ne sont, en effet, pas des formes
abstraites pouvant être arbitrairement orientées, ce sont
PRÉFACE. )\
des réalités concrètes représentant des substances qu'il
importe de comparer entre elles en prenant en considé-
ration l'ensemble de leurs propriétés physico-chimiques.Dans beaucoup de cas, les corps cristaijisés ne pos-
sèdent qu'approximativement la forme que la tJx'oric
leur assigne, et divers individus d'une même substance
présentent de notables variations dans la valeur de leurs
angles; plus souvent encore leurs faces, peu ou mal
réfléchissantes, ne permettent pas des mesures très
exactes, et obligent de recourir aux moyennes qui mas-
quent les erreurs sans les corriger. H est évident quedans de semblables conditions la rigueur du calcul est
une illusion pure, à laquelle se laissent matheureusc-
ment entraîner encore quelques cristallographes quidonnent des rapports d'axes avec sept décimâtes et des
angles avec des secondes, alors que le chiffre des mi-
nutes est loin d'être assuré. J'ai essayé de réagir contre
cette tendance peu rationnelle, et je me suis servi par-toutdes logarithmes à cinq décimales, négligeant les frac-
tions de minute lorsqu'il s'agissait de prendre la demi-
somme ou la demi-diuerence d'un nombre impair.Il me reste a dire maintenant deux mots des raisons qui
m'ont fait intervertir l'ordre généra)ement adopté pourles
systèmes cristallins. Puisque les formes cristaHines sont
rapportées à trois axes coordonnés, il m'a semblé beau-
coup plus logique de commencer leur étude par le sys-tème triclinique, qui prés.ente le cas le plus générai etdont les autres systèmes ne sont que des cas particu-liers. J'ai pensé, d'autre part, qu'il y avait là un avan-
tage au point de vue pédagogique: le lecteur le plus
X PXËFACE.
prévenu verra ainsi des l'abord que le calcul cristaHo~'ra-
phique, qui passe pour être fort difficile, est, dans le cas
le plus complexe, d'une extrême simplicité. Une fois
cette première étape franchie, les systèmes plus symé-
triques n'offriront plus aucune espèce de difficulté.
Je souhaite que ce volume, qui m'a coûte beaucoupde peine et m'a tenu pendant plusieurs mois éloigne de
mes travaux habituels, trouve bon accueil auprès de
ceux à qui il est destiné. S'il popularisait te calcul cris-
taHographique parmi les jeunes chimistes et les jeunes
physiciens, je me considérerais comme [armement ré-
compensé, car j'aurais rendu ainsi un service, très mo-
deste sans doute, mais très réel, à une branche du savoir
que j'aime et a laquelle je me suis depuis longtempsconsacré.
TABLEDESMATŒRES.
Pages.
CHAPITREI. Lois fondamentales de la Cristallographie. Axes.
Systèmes cristallins. Formes holoedriques et hemicdriquos.
CnAp)THEit. Caractéristiques des faces, i~'ormos primitives et
formes dérivées. Changement d'axes coordonnés. Zones.
CtiAprfRE Ht. -Des divers modes de notation symbolique dos faces, i~
GnAptTR); IV. De ia représentation graphique des formes cris-
taHinos. af;
CHAPITREV. – Mesure des angles des cristaux. ~u
CnApf'rnf! VI. – Marche du caicui crista)to.~rap!u()no. Détermina-
tion du système cristallin. Choix des axes coordonnes et do la
forme primitive. 5o
CnApmtE Vif. – Système triclinique. Caractères généraux. Formes
simples, primitives et dérivées. Notation des faces. 58
jF;ce/)t/)/es c<ecalcul:
I'rcinierGxcm[))e:icm'omate de potassium. y8
Ucuxt(;mce.\cmp!e:Racc!nate de thatiiurn, sodium. !0.'iTroisième exempte Tartrat.e inactif de LhatHutn, sodium. f28
CnAprrm; Vf
XH TABLE DES :MAT)E)U;S.
)'ae<
CtiAPtTREIX. Système orthorhombique. Caractères généraux.Formes simples, primitives et dérivées. Notation des faces.
/i'.ce/?~/e.! de cs/c~y
Premier exempte: Topaxc. iM~Deuxième exempte Sulfate de magnésie. ]f){
CHAPITREX.–Système quadratique. Caractères ~cncraux.Fo'tnes
simples, primitives et dérivées. Xotati(;n des faces. )()f)
~ce7?:~<e de c<'</CM/
Idocrase. ~02
CnAPtTHEX). – Système hexagonal. Caractères gonoraux. Formes
simptcs,primitives et dérivécs. 207
/?.e/n~<e de c<'<~e:<
Emeraude. ~33
CHApfTKEXII. Système rhomboédrique. Caractères généraux.
Formessimptes,primitivesotderiv6os.
~cem/)~ de calcul:
Catcite. ~.xj
CHApfTMHXIII. Système cubique. Caractères généraux. Formes
simples, primitives et dérivées. ~34
Exemple de calcul:
Pyrite. ~3
CHAPITREXIV. – Calcul des macles. 2611
CHAPITREXV. Dessin des cristaux. 9.{4
Cn,\PiTRE XVI. Détermination des propriétés optiques des cris-
taux. ?,!)()
TABLES POUR LA TRANSt'OHMATtONnt!S SYMUOLESDE AR//e/' E'<
SYMBOLESDE Z~CM'.i'ET 7V<7M/)-M/</< 32J
FfNDELATABLEDESMATtÈRES.
t
CHAPITRE I.
LOIS FONDAMENTALES DE LA CRISTALLOGRAPHIE. AXES.
SYSTÈMES CRISTALLINS. – FORMES HOLOEDRIQDES ET
MËMIEDRIQUES.
Les corps cristallisés sont, quant à leur enveloppe exté-
rieure, des polyèdres limités dans leurs formes et dans leurnombre par deux conditions particulières
)" <~Me/y«evariable que soit le développement /'e~<</ des
faces et des arêtes, les ~M ~e<M /'e~<e/~ eo/M<a/ c/a/Mune substance donnée.
2" Si /'OH~e/ les o!e<M ~'</t<e/ec<M/e ~OM/~e~/e'niant un angle solide pour a~e~ coor~o/t/!e.s', et si K/:e ~Ma-<<e/Ke face !erce~<e ~Ky ces axes des /o/MeK/s' a, b, ctoutes les <r<K<e~/ace~ du cristal <<e/'e<?/)<e/'o/M/- ces /?te/Me.!axes des longueurs ma, pb, ne, les f6:/<?M/ m, p, n étant c/e.;nombres entiers ou y'c'c~o/Mctt'e. /MaM <OM/oMr~rationnelset ~e/!g/'6t~e/Ke/:< très ~~M~)/e~.
Ces deux lois empiriques, découvertes vers la fin du siècle
dernier, l'une par /?o/Ke de /e, l'autre par 77aM~, sont labase et en même temps la raison d'être de la Cristallographiegéométrique. Sans elles, en enet, l'étude des formes cristal-
MANUEL PRATIQUE
DE
CRISTALLOGRAPHIE.
2 MANUEL Pt(AT!QUE DE CRISTALLOGRAPIIIE.
lines serait d'une extrême complication et ne pourrait d'ail-leurs servir à rien, si ce n'est a cataloguer l'infinie diversité
des individus, sans espoir d'aboutir jamais à une idée quel-
conque de l'espèce.Mais ces lois, quelque importantes qu'elles soient au point
de vue de nos connaissances sur la forme et la structure de
la matière, n'apportent aucune méthode nouvelle et ne créent
aucune nouvelle science. La (JrislaHographie, entendue dans
le sens d'étude de la forme des cristaux, n'est donc qu'un
simple chapitre de Géométrie, et, à l'exception des deux lois
d'observation que je viens de citer, tout y est, en effet, de
Géométrie pure: lois de symétrie, lois des zones, procèdes de
calcul.
Ce n'est pas à dire, sans doute, qu'il faille considérer les
cristaux comme des êtres abstraits propres exercer la sagacitédes géomètres et destinés a servir de thème à des spéculations
mathématiques; l'école allemande, après (fe/.M, est tombée
dans ce travers, et a fini par faire de la Cristallographie la plusrebutante et la plus stérite des branches du savoir. it ne faut
jamais perdre de vue, au contraire, que les corps cristallisés
sont des réalités concrètes, que leur forme extérieure ne
constitue qu'une de leurs propriétés, qu'elle n'en est même
pas la plus importante, car elle est souvent plus variabic queles autres, et que le but de toutes nos investigations dans ce
domaine de faits naturels est la recherche des rapports re-
liant les unes aux autres toutes les manifestations de la ma-
tière a l'état cristallin. La Cristallographie, même dans sa
partie purement géométrique, pour être vraiment féconde,doit avoir à son point de départ une conception physique sur
la structure des cristaux, et aboutir à une conclusion qui
permette d'interpréter d'une façon aussi simple que possibleles phénomènes optiques, thermiques, magnétiques, que les
cristaux présentent. Nous sommes encore loin d'avoir atteint
unpareil but; mais un progrès immense a été accompli te jourou la théorie si simple et si ingénieuse des réseaux réticu-
laires a été définitivement introduite dans la Science. Imaginée
depuis longtemps par Bravais, elle est restée inaperçue de la
majorité des cristallographes qui la tenaient pour une pureabstraction mathématique, et n'a été remise en honneur que
AXKS. 3
(') M.tLL.tun. 7't«<e~e C;'i.t'<a!o~a;s. 2 v< Paris, Dunod.
(') DE L.n'pARE~T,7'f«7e'~e~/t'e/'<<o~e. !'uri-i, Savy.
grâce à l'ouvrage magistrat de M. MaHard ('), qui a su l'ap-
pliquer avec un rare bonheur à l'ensemble des propriétés des
cristaux. Il n'entre pas dans mon pian d'exposer ici, même
succinctement, cette théorie, qui est destinée a opérer une
véritaNe révolution dans nos idées sur la matière cristallisée.
On en lira t'expose soit dans le livre de M. Maiiard, soit dans
le livre de M. de Lapparent (~) il importe pourtant de remar-
quer que la Cristallographie acquiert avec elle une base solide
et un moyen cfticace de concourir a la connaissance (te la
structure intime des corps. Mais, si la Cristallographie doit
partir d'une notion physique pour arriver a l'interprétation de
phénomènes observés, elle doit dans sa marche et son déve-
loppement rester purement géométrique; c'est a f~e/.M querevient l'honneur de l'avoir mise dans cette voie, qui est la
bonne, et dans laquelle eite ne risque plus de s'égarer. La
Géométrie uc sera pius, comme pour les successeurs de
l~e/M, un but: e!)e sera un moyen, un procède d'étude qui
simplifie singulièrement les probiemcs a résoudre.
Nous considérerons donc les poiycdrcs cristallins comme
nous considérons tous les polyèdres, c'est-à-dire rapportés a
trois plans coordonnes dont les intersections seront les axes
coordonnés o.e, oy, M (/y/ ]). Ces plans seront des
faces du cristai que nous supposerons, pour plus de commo-
dité, transportées para!)e)cment à ciies-memcs jusqu'à son
centre; les axes seront alors paraHeies aux arêtes d'intersec-
tion de ces faces.
Ici cinq cas peuvent se présenter)° Les trois pians coordonnes f.mt entre eux des angies
~90". Les axes o.r, oy, o: font alors entre eux des angles
'~P~9o°.a" Ils forment trois angles égaux entre eux, mais f)o' Les
angles des axes sont alors oc:==,5==y 90°.3" Les plans AAAA et CCCC font entre eux un angte~o",
et le plan BBUH leur est perpendiculaire. Alors les axes font
entre eux un angle y 90° et des angles c<=: 3 = oo".
/t ~lAXCEL PRATtQL'E DE C!!)STALLOn)L4f'n)f:.
(')H pourrait y avoir confusion entre les axes ox, 0~,0~, qui sont
des <ec<:o/M, et )csaxeso)f,oK,oL,qui sont des/o/MeM/ Mais outre
que, dans chaque cas particu)ier,i[ il est facile de voir de laquelle de ces
deux espèces d'axes il s'agit, on fait (tisparaitre toute confusion en ajou-
tant, torsfjU'on parle de/?a/'amë/e. ['indication de celui auquel on le
rapporte on dira l'axe a ou l'axe b.
4° Les plans BHBB et AAAA font, entre eux un angle dif-
férent de <)o' le troisième plan étant perpcndiculaire aux
deux premiers. Les axes font alors entre eux les angles
x go" et p –= ~= go".5° Les trois plans se coupent a angle droit. Alors les axes
sont éga!ement rectangulaires.Considérons maintenant une face quelconque du cristal,
telle que, transportée parallèlcrnent a eHe-même sur le
système d'axes que nous avons choisi, elle les coupe tous les
trois a des distances oL = c, oK == b, ott =r a(~ /i~ a).Les longueurs a, b, c seront alors les coordonnées ou les/jwa-mètres de cette face; on les appelle aussi les axes de la face,et c'est le terme dont nous nous servirons le plus souvent,
parce que c'est le plus couramment employé (').Trois cas peuvent se présenter ici
1° Les trois longueurs interceptées sont égales; on a alors
a.=b=ic, et, comme sur trois longueurs l'une peut toujoursêtre prise pour unité, on a 1 i.
a" Deux longueurs sont égales entre eltes, la troisième dif-
férente. On a alors b = a, et par conséquent i i c.
3° Les trois longueurs sont inégales. On a aJorsa~b~c.Nous conviendrons une fois pour toutes de prendre toujoursb pour unité. Donc a 1 c.
On pourrait, sans doute ramener tous les corps cristallisés
possibles à trois axes rectangulaires et à trois paramètres qui
seraient, suivant les circonstances, égaux ou inégaux, la posi-tion d'un plan dans l'espace pouvant toujours être déterminée
par un tel système d'axes. Mais, en CristaDographie, nous n'a-
vons pas qu'un problème de Géométrie analytique à résoudre,il nous faut encore mettre en évidence les différences pro-fondes qui existent non seulement dans la symétrie de la
forme extérieure, mais encore dans l'ensemble des propriétés
SYSTÈMES CRfSTALD~S. 5
physiques des divers types cristallins, et nous conformer a la
loi d'observation qui veut que les rapports des paramètres desdiverses faces soient, rationnels et simples. Or l'adoption d'un
système unique d'axes coordonnes masquerait complètementces différences, et nous amènerait dans un grand nombre de
cas à des rapports très complexes.Au point de vue de la symétrie, les polyèdres cristallins se
divisent, en effet, en trois types très distincts
t° Dans les uns, il n'existe <:<Kc~/zedirection suivant la-
quelle ils puissent être coupés en deux moitiés telles, que les
inclinaisons des faces y soient identiques.a" Dans les autres, il existe une direction de ce genre.3° Les troisièmes enfin peuvent être coupés en deux par-
ties semblables dans trois directions, au moins.
H est facile de voir que des axes rectangulaires ne convien-
nent ni aux cristaux du premier, ni aux cristaux du second
type. En effet, dans les axes rectangulaires, les demi-axes s
oH, oK, oL sont respectivement égaux aux demi-axes oit',
oK/, oL/, et comme grandeur et comme position dans l'es-
pace on ne comprendrait donc pas pourquoi tout ne se pas-serait pas d'une façon symétrique autour des trois plans
coordonnes, qui devraient être des directions coupant le po-
lyèdre en deux parties semblables et constituer, par consé-
quent, des plans de symétrie.Les axes rectangulaires conviennent au contraire parfaite-
ment aux cristaux de troisième type, puisqu'ils ont au moins
trois plans de symétrie qu'on pourra toujours prendre pour
plans coordonnés.
Ainsi s'établit très simplement la classification des divers
types qu'on est convenu d'appeler les systèmes c/'t~a//</M.
~CM <C/t/!Ct.
l.x~p~Y~go' a:t:c. Tricliniquo.
2. !<=:p=go°,<)o' a.:i:c. Monoctiniquc.
3.oi=:p~<)()", a:t:c. Rhombocdriquc.
4.x=[M~~=Y~g~, \t:c. Hexagonal.
6 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
~ce.?/'ec~«~e.i'.
H.a t:c. Or<,horhombi()nc.< 1: t:c. Quadrut.iquc.7- ) Cubi([ue.
Nous verrons plus loin, en décrivant les systèmes rhomboé-
drique et hexagonal, qu'il est plus rationnel cl'adopter poureux un autre système d'axes.
Les trois axes en se croisant forment dans t'espace huit qua-drants égaux ou inégaux entre eux, suivant que les angles c<,
P, y sont droits ou ~go". La symétrie exige qu'une face placéed'une certaine façon dans l'un des quadrants se reproduiseavec une position identique dans tous les quadrants égaux.On obtient ainsi un ensemble (le faces qui constitue uneforme simple fermant plus ou moins complètement l'espace,et qu'on appelle forme /<o/oec/yHe. Le nombre de faces deces formes dépend du nombre des quadrants égaux entre
eux, et varie par conséquent d'un système à un autre; Ha sonminimum dans le système tricfinique ou toutes les formessont réduites à des couples de faces, et atteint son maximumdans le système cubique où certaines formes simples peuventavoir 48 faces.
11existe une exception très intéressante à cette règle. Onobserve quelquefois la moitié seulement des faces apparte-nant à une forme donnée, et cela non pas accidentellement,mais dans un grand nombre de cristaux d'une espèce chi-
mique on dit alors que la forme est Ae/MM'f/r~Me. Cette hé-
miédrie qui n'existe pas dans )e système triciinique, qui estextrêmement rare dans le système monoclinique et ortho-
rhombique, ne devient vraiment intéressante que dans les
systèmes plus symétriques où elle produit des po)yèdrps quiont une existence indépendante, comme le rhomboèdre dansle système hexagonal ou le tétraèdre dans le système cubique.
Au point de vue du calcul – et c'est Je point de vue au-
quel nous nous plaçons ici – it n'y a d'ailleurs entre lesformes hotoédriques et les formes hémiédriqucs aucune dif-
férence, puisqu'on ne calcule jamais que les faces isolées.
CARACTÉRISTIQUES DES FACES.
CHAPITRE II.
CARACTERISTIQUES DES FACES. FORMES PRIMITIVES ET
FORMES DERIVEES. – CHANGEMENT D'AXES COORDONNES.
ZONES.
Supposons que nous ayons trouvé, pour un cristal donne,le système d'axes coordonnés qui convient à sa symétrie.Toutes les faces de ce cristal, quel qu'en soit le nombre, peu-vent se ramener à trois groupes distincts
Ou bien elles coupent les trois axes à la fois;Ou bien elles n'en coupent que deux;Ou bien elles n'en coupent qu'un seul.
1. Lorsqu'il n'existe dans un cristal qu'une seule face de la
première espèce, la face HKL (/7,y< 3) je suppose, nous
désignerons ses paramètres oL = c, o K = b, ol!==a, et
les longueurs a, b, c, dont l'une sera prise pour unité, serontles axes du cristal. Mais plusieurs faces de ce genre peuventexister simultanément, et nous pouvons avoir, outre JiKL, les
faces IL'K'L' etH"K"L". En vertu de la deuxième loi fonda-
mentale les paramétres (le toutes ces faces doivent être dansdes rapports simples; nous aurons donc
/oH'=a, /oH"=a,
k. o K'= b, /K"==b,
~.oL' ==c, /L" = c
et, d'une manière générale,
0it .“==a. =D )\= b -=0 L =y c>
o!I"==~=oK"=
~=oL"=~.·
8 MANUELPRATIQUEHE CK!STAf,LOGf!A.Pt!t!
Les valeurs h, et Ie', l' seront les /ce.< ou les <"f<-
/'ac~Ke.?des faces ÎLK'L'et H K L ils les caractérisent
en effet parfaitement, car, en connaissant a, b et c, on ob-
tient directement les paramètres oU', oK', oL' et oïï", oK",oL". Puisque nous prenons le paramètre b~t, il est com-
mode de ramener toutes les caractéristiques sur l'axe y à l'u-
nité, c'cst-a-dire de faire coïncider les points K, K et K" en
transportant les faces parallèlement a clies-mômes, comme
le montre la~. /i (/ I).Les deux faces seront donc très clairement désignées par
les symboles(~ ~)
et(~~)
ou(,)
et(~,),
puisque a, b, c servent d'unité de longueur. On pourra écrire
ces symboles plus simplement (/<) et (/<), les trois ca-
ractéristiques étant des nombres généralement fort simpleset toujours entiers, car on peut toujours, dans le cas d'une
valeur fractionnaire, faire disparaître le numérateur de la
fraction. Soit, par exemple, a; qu'on peut écrire i~; en
divisant par 2, on a ==(t a3); soit encore r qu'on divi-
sera par a, et l'on aura = (334).Ces symboles ne représentant que les /'<x/o/-<.s' entre les
paramètres des faces H'K'L', H"K"L" et les paramètres a, b,c de ia face H KL prise pour unité de mesure, le symbole de
cette dernière face sera évidemment (t 11).Il est clair que des trois faces que nous examinons, on peut
prendre n'importe laquelle pour unité de mesure. Supposons
que,dans l'exemple délaya. 4 (/),iafaceHKL étante ) r),les faces tFK'L et II"K"L" aient pour paramètres ~i~ et
i t En divisant les premiers par 3 et les seconds par 2, on
aura les symboles (a3c)) et (3a3). Si maintenant, au lieu de
la face IIKL, c'est la face Il'K'L' qui a pour symbole (t i <),il suffira de diviser par t et les paramètres des deux
autres faces, qui deviendront
HKL-13 =. (9(i2), )1"K"L"- § i = (<~).
Le symbole (AA'/) ne désigne qu'une seule des faces inter-
ceptant sur un système d'axes donnés des longueurs1
ceptant sur un système (axes donnés des longueurs ~t k z 1
or le croisement des axes donne huit quadrants, dans chacun
FORMESDËfUVHES. <~
desquels on peut placer une face analogue. Ces huit faces au-
ront ainsi les mêmes caractéristiques, mais une position diffé-
rente dans l'espace et formeront, une pyramide (/ ~y< 5).
11 sera facile de les distinguer les unes des autres en ajoutantle signe – a celles de leurs caractéristiques qui se rappor-
tent aux demi-axes négatifs M', o/, o~; on place ce signe
au-dessus de la caractéristique. Les huit faces seront donc
Enhaut. Enhas.
(/) (/) (/)(/), (/<) (/</J)(/)(/).
L'ensemble de toutes ces faces, c'est-à-dire !a pyramide,
peut être désigné par le symbole j/< on se servira du
reste sans aucune espèce d'ambiguïté du symbole (/</t/) en
spécifiant s'il s'agit d'une~/o/Kg ou d'une face.
Lorsque dans le symbole A/f/j les caractéristiques sont f
ou o, la forme est~</M<7t'<'e, puisque ses paramètres servent
d'unité de mesure pour toutes les autres formes, qui seront
ainsi des formes <e/ce&! ayant une ou plusieurs de leurs ca-
ractéristiques > i. La forme est dite ~e quand toutes ses
faces sont exprimées par les mêmes caractéristiques; on l'ap-
pelle forme co/~o~ceou co/H&<M<M lorsque plusieurs formes
simples, primitives ou dérivées, se trouvent simultanément
sur un cristal.
On peut représenter autrement encore une face rapportéea un système d'axes coordonnés. Puisque a, b et c sont les
paramètres de la face HKL et que nous convenons de prendreb = i, le symbole a i c représentera très clairement la po-sition et le caractère de cette face. Les faces Il'K'L' et H KL
ayant des paramètres
c'II'=na, oH"=n'a,
oK'= oK"~ ),
oL' = me, oL" = m'c,
n, m, n', m' seront les caractéristiques de ces faces, dont les
symboles pourronts'écrirc na f me et n'a ) m'c. On re-
marquera que ces caractéristiques, qui peuvent être des nom-
bres entiers ou fractionnaires, sont les inverses de celles que
fO MANUEL PRATIQUE DE CRtSTALLOGRAPHiE.
nous avons trouvées précédemment; on a donc n=:,ct
Im~.
Les faces H'K'L' et I1"K"L", que nous avons désignées parles symboles (23g) et (323), deviennent donc dans la nou-
velle notation ~a i ~c et ~a f c.Pouf distinguer entre elles les huit faces de la pyramide
(~V. 5), on place un accent sur la lettre qui se rapporteau demi-axe négatif. On aura ainsi
En haut.t. En tjas.
a ) cC a' l' c a' c' a' t' c'
a f' c a' t c a' i' c' a' t' c'
Lorsqu'il s'agit de représenter non plus une/ace, mais une
yo/He, on employait, autrefois le symbole ja:t:c], peu com-
mode et actuellement abandonne.
2. Quand une face ne coupe que deux axes, elle est, paral-lèle au troisième et sa caractéristique sur cet axe est égaie à o.
Puisqu'il y a trois axes, il peut y avoir trois espèces de faces
de ce genre aveclessymboles (oA'/), (hol) et (/<Ao). Chacune
de ces faces a trois faces analogues qui ne se distinguent entreelles que par leur position autour des axes coordonnés. Unaura ainsi
~=(o/), (o/~), (~), (r~),
j/;0~=(//0/), (/;0/), (/~0/), (/;J),
j/o~=(/), (/o), (~), (/;7co).
Ces formes à quatr.e faces se nomment /)/'M/Ke.; lorsqu'ellessont parallèles à l'axe vertical, et </o/HMlorsqu'elles sont pa-t'aiiètes à l'un des autres axes. Quand il y a plusieurs faces
de ce genre dans un cristal, l'une d'elles peut toujours être
prise pour unité de mesure, pour forme primitive, et notée
(01 i), (i 01) ou (J 10).Dans le second système de notation ces faces auront pour
symboles généraux: coa J me, n a Tcb me, na ooc.
CHANGEMENT D'AXES COORDONNES, t t
On distinguera, comme précédemment, par des accenis, la
position des faces par rapport aux axes négatifs.
3. Lorsqu'une face ne coupe qu'un seu) axe et qu'elle est par
conséquent parallèle aux deux autres, elle est en même tempsparallèle à l'un des plans coordonnes (P/.7, ;). Suivant.l'axe qui est coupe, ces faces seront (ool), (oko) ou (/<oo),chacune d'elles ne comportant évidemment qu'une face ana-
logue,mais autrementptacée: (oo/), (o/~) et (Aoo). Puisqueces faces sont paratfèJes à des plans coordonnés, il ne peut
pas y avoir plusieurs faces de ce genre dans un cristal; elles
appartiennent donc toujours à la forme primitive et on les
note (001), (010) et (100).Dans le second système de notation les symboles seront
ce a ce h c, ce a b ooc, a oob ce c.H nous importe maintenant de savoir, car le problème se
rencontre fréquemment en Cristallographie, comment on
peut, étant donné un système d'axes, une forme primitive etles caractéristiques des formes dérivées, passer à un autre
système d'axes, à une autre forme primitive, et trouver lesnouvelles caractéristiques des formes dérivées. Nous pren-drons ici le cas tout à fait générât de trois axes inclinés, fai-sant entre eux des angles <x,p,
Soient trois faces dont les symboles rapportés a un certain
système d'axes xyz sont (A/t~)(~)(/). Nous voulons
prendre les arètes d'intersection de ces faces pour ces nou-veaux axes et savoir ce que deviendront, rapportées cesnouveaux axes, les caractéristiques d'une certaine face dont
Je symbole avec les anciens axes est (MC(~). Nous pouvonstransporter les nouveaux axes parallèlement eux-mêmes de
façon que les deux systèmes d'axes aient une origine commune.Les équations des trois faces ramenées à l'origine seront
-i- /C -t- = 0.X Za abc C' =o.
.r r s
/H-i- /< -i- .i'
=: ()abc'
..y.
!22 MAXUELPRATIQUEDE C)USTA[,LOG)iA!'ntE. J
a, b et étant les paramètres de la forme primitive. D'aprèsdes formules bien connues de Stéréométrie, on a, pour les
arêtes d'intersection de ces trois faces, et par conséquent
pour les nouveaux a\eso~ o/ o~ les formules suivantes
Pour l'axe o~ <
.x' y z _r~-i- ) s- ~~– 'rr ces 2 – 2~ cos~ -)- '<z.~co:(1 ah bk ci/a~ h~-T-b~k' c~-t- x ab hk cos~t + ~bckt cos~~tcaTt)tcos
Pour l'axe o~'
..}' -? ~)-)-t-2.r) C<)S~–3}~C()8J:)-2X.xCOS'j' s
atn bn es/a~m~b~+c'~s~2abnmcosK~2bcnseos~-i-2camsco~'
Pour l'axe o~
.r j)' ~/j,t-)-s~2..t'rct)sx-t-?. rscosY-+- cos~Nap bq cr ~a'p~-t-b~q~-t-c~r~abpqeosK–abcqrcos~–~oaprcos'~
dans lesquelles
h r= M/' – y~~ m= <~– /L' p .-= /c.i' –
(L)) k.-=~p –M/ n =rh-pl, q==~/M–f,
I =yK~– s ==:~)~'– r==/<–/(W.
Une face (MC(~) rapportée aux anciens axes aura pour équa-tion
x-+-
za c
=1.
Elle intercepte sur les nouveaux axes des longueurs ox', oy',o- égales aux valeurs de ['expression
/t-t- z~-t-2. cosx -t- ~'z cas p -)- cosy,
tirées des équations de ces droites et de l'équation de la face
(M~(f). Ce radical exprime, en effet, la longueur de la dia-
gonale du parallélépipède obliquangle, dont les trois côtés
sont~ cette diagonale est donc la distance du point
CHANGEMENT U'AXES COOKDOXNJÊS.1,
(~) à l'origine. On aura ainsi
ox'./a~)j~ ~j~ c~+- 2a.bhk cosx ~cbkt cos3-(- ?.cah) cosy a'a,
1~) ~'=–––––––––––––––––––n––––––––––––––––––– "u'
~/a.9rn't- b' -r- c'~ s~– ab mnfos x -r- cb i~ s cos3 –~camscos'f b'"') =
–––––––––––––––––––u" V
i 7) 0: t/a~p~–b~q~-t- c' [')-?.abp(j cos'x -i- acbqrcos~i -<- ~caprcosy c'<7) M=–––––––––––––––––~–––––––––––––––––
équation dans lesquelles
/U=))K-r-k~-i-lt'
(8) 'v==mM–nt's~,
( w = pM (j rff.
Les valeurs des radicaux des équations (5), (6) et (j) étant
absolument indépendantes des caractéristiques M, f et tv de
la face, elles resteront les mêmes, quelles que soient ces ca-
ractéristiques. On peut donc les prendre comme les nouveaux
paramètres a', b', c' de la forme primitive dans le système
d'axes x', y', les valeurs u, v et w seront, par conséquent,
les nouvelles caractéristiques de la face (M(~).
On voit ainsi qu'en connaissant les symboles des trois
faces qui servent de nouveaux plans coordonnés et dont les
intersections sont les nouveaux axes, une simple opération
arithmétique permet de trouver les symbo)es de toutes les
autres faces. Il suffit, pour cela, de résoudre les équations (8)
dans lesquelles on introduira les valeurs de 1), k, 1, m, n, s,
p, q, r tirées des équations (4), en supprimant tous les fac-
teurs communs que ces coefficients pourraient avoir.
Soit, par exemple, une face qui a pour symbole (; i f) avec
un système dont les plans coordonnés sont (oo<), (:oo) et
(ofo). En conservant le premier de ces plans, et en rempla-
çant les deux autres par les faces prismatiques (i to)ct(' f o),
nous aurons
h=t.:–o.o=f, m=t.) – f).o=!, p=i.o– o.;=:o,
k=o.o–<=), n =10.0–t.t=T, q-=o.t–T.o=o,
1=1.o – !.o=o, 0, s ==~.o– o.o==o, r==T.! – i.i==x,
t/t MANUEL PRATIQUE DE CRtSTALLOGRAPtUE.
et.
U==t.[-t-t.)-)-0.t==2, i,,
V=!)-T.t-T-0.t=0;
W==<t-+-0.t-t-=).
La face (fit) rapportée aux nouveaux axes a donc pour
symbole (20 t). Si l'on voûtait, avoir les angles s(',p'que les
nouveaux axes font entre eux, en fonction des angles K, p, ydes axes anciens, des paramètres a, b, c, a', b', c' el des coef-
ficients h, k, ), m, n, s, p, q, r, )a formule bien connue du co-
sinus de l'angle de deux lignes rapportées à trois axes coor-
donnés donnerait
a''hm-)-b~kn-r-c''is-ab(i)n-r-]<m)cosT<+bc(ms-)-tn)cos 3-oa(']m-i-!)s)cos-~cos~
–––––––––––––––––––––~p––––––––––––––––––––~
p, a' mp-r- b~nq-t-c~ s r+ab (mq-t- np) cosx -<-bc('nr-sq)cosp+ca('S))-~mr)cos';cns[j = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––.j
a*pi) -)-b~ q)< -)- c* r] -)- ab<'pk-)-qh)cosx-<-bc('qt-r)<)cosp ca,('rh-t-pt)cos': jcosY =
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
équations dans lesquelles a', b', c' représentent les paramètres
nouveaux, exprimés par le radical des équations (~), (6) j
et(5). jMalgré leur apparente complication, toutes ces formules se I
calculent sans a.ucune difficu)té; elles se simplifient d'ailleurs
beaucoup dans le cas ou, parmi les angles oc, {3, il y en a quisont droits.
Le problème de l'intersection des faces présente un cas
particulier qui a une très grande importance dans les calculs
cristaHographiques. Lorsque plusieurs faces se coupent de
telle façon que leurs arêtes d'intersection sont paratietes,
elles constituent ce qu'on appelle une ~o/;e. L'axe de cette
zone est une ligne passant par t'origine des axes coordonnés
et paraHéie aux arêtes d'intersection; elle est l'intersection
commune de tous les plans menés par l'origine et parallèlesaux faces composant la zone. Quel que soit le nombre de
faces dans une zone, deux faces sufnsent par conséquent pourla caractériser. Soient (A/H) et (nans) ces deux faces. Leurs
ZONES. f5
équations ramenées à l'ofigine seront
L'intersection des deux faces, par conséquent l'axe de la
zone, doit satisfaire à ces deux équations à la fois; elle sera
donc exprimée par les équations
Ça-) = T =: Z. =.a(/L.~–) b(//K–<-) c(./<–/L/H~ ah bk ci
en posant
Soit une autre zone que nous représenterons par les deux
faces (pqr), (MOt~). Son axe aura pour équation
(b )a(<–)"b(/'K–/)"') c(~'f–«) a)) bq cr'
en posant
Si une face (H'<) appartient aux deux zones et se trouve
par conséquent sur leur intersection, elle devra nécessaire-
ment satisfaire à la fois aux équations (a) et aux équations (b);
elle sera donc représentée par les équations
<-ct r
a(kr-iq) b(tp-)tr)' c(hq-pk;
et ses caractéristiques seront
De là une règle fort simple qui permet de trouver les ca-
ractéristiques d'une face commune à deux zones connues,
sans aucune mesure d'angles et sans aucun calcul trigonomé-
trique.
h :r -1-k X-1- = 0,~1 ==o,abc
.r z/M–-+-–-r-.i'-=-0.
abc
h=/[.f–<, k=//M–f, I~=/</<–/L/7:.
.y T
p=~~–y~, q==:K–~ff, r=/~f–~M.
M'=-: kr – iq,
~=tp–hr,
n<'==iiq–pk.
)6 MANUEL PRATtQUE DE CRISTALLOGRAPIIIE.
On cc/e: en série sur <YeM~~t'te.s' .!M/)e/y)e'ee.! /e.; caracté-
ristiques de c/<acK/t des deux co«/M de faces </K<c<ac<e/'<-
sent les f/e«~' ~o/<M. 0/t ~M/)/j'</?:e/'<x la première c<7/'f<c<e'<
tique, on e~ec~Me/'a la M<M/<</j/tea</o/! en croi.x de /'K/te à
/'<2M<e ligne, et l'on /'c<a/!C/«?/'a; les produits co/ï.!c'eH<<7'.s'
A p>< >< >G >< >< ><
in Il .<' M il v f~ M(~
A.f–<, //M–f, /<–A/yz' ~tt~– /–~w,–~Kh k 1 p q r
On /)/'oce~e/'s de /?tc/M6 acec les /:OM(~e//M caractéristiquesainsi o~<e/:Ke~ et /'o/t aK/'a les ca/'ac~e'M~~Me.! c/<e/'c/«?c.; le
~yace M', v', < qui .s'e /OKt'e ~H/' /<<?/ec<M/~ des zones
(hkl), (/?t/n-) et (~) (Mf(~)
h kl h k 1>< ><><
P q r r r
kr–lq, !p–hr, hq–kp'Il (t-'
O/t/e/'C! /:<x<K/'e//e/Mc/ attention aux ~te.; qui (r<ee~e/~les C6!C<e/'M<«/HM.
Soient à déterminer les caractéristiques d'une face («'c')
dont les arêtes d'intersection avec les faces (110), (oo)
d'une part, et (ofo), (101) de l'autre, sont parallèles entre
elles. On aura
i t o t o o T o o T c ) o t o
XXX XXX XXX00100) 1 0 ) 0 I 0 i 0 I
110 Tôt tTt I
Donc (K~)==(t7l).
Nous aurons souvent l'occasion de nous servir de ce pro-cédé de détermination qui évite des calculs parfois fort longset des constructions plus ou moins compliquées.
KOTA'nOKS SYMOUQUKS DES FAf:f;S. )~7
2
CHAPITRE III.
DES DIVERS MODES DE NOTAHOX SYMBOLIQUE DES FACES.
Outre les deux modes de notation dont j'ai indique les prin-
cipes généraux dans le chapitre précédent et sur lesquels je
vais donner quelques défaits, il en existe un grand nombre, un
trop grand nombre d'autres. Chaque cristallographe de quelquerenom a cru devoir apporter un langage cristaiiographique
nouveau, sous prétexte que les anciens étaient imparfaits et
devaient être remplacés par une sorte de uo/a/M~ accepté partous les pays et par toutes les écoles. M en est résulté une
confusion extrême, d'autant plus regrettable qu'elle ne semble
pas près de finir. A voir tous ces systèmes, anciens ou nou-
veaux, dont quelques-uns sont incontestablement fort ingé-
nieux, on admire l'imagination de leurs auteurs, mais on
déplore qu'un temps précieux ait été employé à d'aussi inu-
tiles inventions.
beaucoup parmi ces systèmes sont depuis longtemps ou-
bliés, d'autres n'ont pas survécu à leurs auteurs, d'autres enfin
n'ont aucune chance d'être acceptés; mais il en reste encore
quelques-uns qu'on emploie couramment et dont la diversité
complique singulièrement la lecture des travaux cristallo-
graphiques, même pour les cristallographes de profession.Actuellement on se sert des notations suivantes
En France, de celle de ~<7/(; et de celle de /.ec/;En Allemagne, de celle de J~t7/e/ de celle de /Vc<K/H<M/~et
plus rarement de celle de t~et.M et de /M/He<&e/En Angleterre, de celle de Miller et de celle de 7V<r<H/?~K/
En Amérique, de celle de Dana.
'88 NAKLELmATtQLEDE CRtSTALLOGKAPOiE.
Ce sont les seules que nous examinerons ici sommairement,en renvoyant, pour les cas particuliers, aux Tableaux qui setrouvent à la fin du volume.
Toutes ces notations se rangent en trois catégories dis-
tinctes. Les unes, comme celle de ;~7/< et celle de ~e<<
peuvent directement servir aux calculs cristatiographiques les
autres, comme celle de ~e'~ et celle de /H~e/c/ n'ont
pas de caractère mathématique, mais sont très commodes
pour la désignation des formes, soit par l'écriture, soit parle langage parlé, soit sur les figures les troisièmes enfin, cellede /VaM/?M/t/! et cette de .D<Mf<,sont incommodes à tous les
points de vue et seront certainement abandonnées tôt outard.
Notation de Miller.
C'est celle dont nous nous sommes servi dans toutes lesformules du chapitre précédent. Elle consiste, comme je l'ai
dit, à former le symbole d'une face en écrivant entre paren-thèses les trois caractéristiques, qui sont les coefficients parlesquels il faut multiplier les paramètres de la face pour avoirle paramètre de la forme primitive. Le symbole général est
(/) pour les faces hoioédriques et77(/<A'/) ou x(A~) pourles formes hémiédriques; chacune des lettres peut être repré-sentée par o ou la série des nombres entiers i, a, 3, ne dépas-sant généralement pas <), et porte le signe négatif lorsqu'ellese rapporte à un demi-axe négatif. Ce symbole représentetoutes les faces possibles d'un cristal, quel que soit le systèmeauquel il appartient. Pourtant, pour les systèmes hexagonalet rhomboédrique, il vaut mieux, comme nous le verrons endécrivant ces systèmes, prendre un axe vertical et <o< axes
horizontaux; les symboles seraient alors, comme l'a proposéBravais) à quatre caractéristiques (AA-).
Nous avons vu, et nous aurons encore occasion de le voirpar la suite, avec quelle facilité ce symbole si simple se prêteaux calculs.
Sous ce rapport, la notation de y~7/e/' est sans rivale: aussitend-elle a se génératiser de ptusen plus; mais, a d'autres
égards, elle n'est pas exempte de graves défauts.En premier lieu, et précisément a cause de son caractère
NOTATtONS SYMBOLIQUES DES FACES.)()
trop exclusivement analytique, elle ne représente guère que
des~/acM isolées; or, dans les cristaux, il existe toujours un
ensemble de faces analogues ayant même longueur de para-mètres et constituant des/b/K<M déterminées. On peut bien,il est vrai, lorsqu'il s'agit d'une forme, employer pour ce sym-bole une autre espèce de parenthèse et l'écrire ~/c/ ou
[A~]; mais, outre que ce mode d'écriture n'est pas générale-ment usité, le symbole devient absolument conventionnel et
géométriquement inexact.
En second lieu, et c'est là l'objection principale, la nota-
tion de Miller est fort incommode au point de vue descriptif.Il est à peu près impossible d'exprimer dans le langage parlédes symboles comme (oo), (o;), etc., surtout, lorsqu'il
faut, comme cela arrive dans le cas des systèmes à symétrie
inférieure, ajouter aux caractéristiques des signes négatifs. I!
est également très difficile de placer ces symboles à trois
chiffres sur les dessins des cristaux; on est alors obligé,comme le faisait Miller, de désigner les faces par des lettres
quelconques de l'alphabet, qui sont arbitrairement choisies et
n'ont de signification que pour un cas particulier.
Les axes auxquels ~t7/e/'rapporte ses caractéristiques sont
les deux diagonales du prisme choisi comme primitif, dont
les quatre faces sont par conséquent notées (i'o), ('10),
(: 10), (i !o), et un axe vertical parallèle à l'arête verticale de
ce prisme. Les trois caractéristiques se rapportent: h à l'axe
antérieur a, k à l'axe latéral b et à l'axe vertical c.
Notation de Weiss.
C'est la seconde notation indiquée au chapitre précédent.
Elle consiste à écrire le rapport des trois paramètres de la
face, l'un d'eux étant pris =1. Le symbole généra) sera donc
n a: meou na 1 me, les lettres <xet e indiquant les pa-ramètres de la forme choisie comme primitive. Les lettres in et.
n étant les longueurs interceptées propres à une face donnée et
pouvant être ==ce lorsque la face estparaifèie a l'axe, qui porto
ce signe, ou =:, auquel cas on les supprime, puisqu'on a
alors la forme primitive, ou enfin égale a un nombre entier ou
fractionnaire i etgénéralement simple. Lorsque la face coupe
20 MANUEL PRATIQUE DE CnfSTALLOCftAPtH);.
les demi-axes négatifs, on accentue le paramètre qui se rap-
porte à cet axe.
Les axes de H~<M sont identiques a ceux de ~c/~ c'est-à-dire placés au centre du cristal et paraftètes aux diagonalesdu prisme primitif et à une arête verticale.
Cette notation est incontestablement très rationnelle,
puisque, en définitive, elle représente très clairement ce quele calcul nous donne directement, mais elle est moins com-
mode que celle de ~7/c/ à cause de ses caractéristiques, sou-vent fractionnaires, qui obligent à donner à l'équation deszones une forme infiniment compliquée. Au point de vue dela description des formes, elle est tout à fait impraticable.
Notation de Lévy.
Elle est éminemment descriptive et basée sur un tout autre
principe que les deux notations précédentes, Lévy part du
prisme choisi comme primitif et dont il note les faces par les
lettres p, /M, <; il considère toutes les formes possibles dansun cristal comme des troncatures des arêtes ou des angles so-lides qu'il désigne par des lettres spéciales. Les voyettes a,e, i, o servent pour les angles, les consonnes b, c, <r/ g, /<
pour les arêtes. En prenant le prisme trictinique, le moins
symétrique de tous, et en le plaçant dans la position qu'ondonne habituellement aux cristaux, c'est-à-dire l'axe a en
avant, J'axe b de côté et l'axe c verticalement, ta i() (/ 1)
indique la notation de toutes les troncatures possibles. Lenombre des arêtes et des angles dissemblables diminuant amesure que la symétrie augmente, quelques-unes des lettresdeviennent inutiles; on supprime les dernières par ordre al-
phabétique. C'est ainsi que, dans le système monoclinique, les
angles e et i étant identiques, les deux angles s'appelleronte; de même les deux arêtes <ct/seronttoutes deux notées d,et les arêtes &et c deviendront les arêtes &.Dans le systèmeorthorhombique, il n'y a point de différence entre les anglesantérieur et postérieur il n'y aura donc plus que quatre an-
gles <r<et quatre angles e; il n'y a également aucune diffé-rence entre les huit arêtes horizontales elles sont donctoutes des arêtes b, etc. Nous verrons du reste, en décrivant
NOTATIONS SYMBOUQLES DES FACES. 2f f
chaque système en particulier, la notation qui lui est propre.Les caractéristiques qui appartiennent a chaque forme se
placent en exposant; on aura ainsi ax, .x' pouvant t
être d'ailleurs entier ou fractionnaire. Les faces A et sont.
notées A'' ou -~A, ou xb suivant que la troncature est in-
clinée vers t ou vers n:. Outre ces diverses formes, il peut en
exister d'autres plus complexes qui tronquent tes angies so-
lides de façon à intercepter trois longueurs différentes sur les
trois arêtes qui aboutissent a cet angle; on les note alors,suivant leur position, (e~), (y~e~), Nous verrons
que dans certains cas particuliers ces symboles peuvent être
beaucoup simptinés.Cette notation est extrêmement commode; elle donne dans
l'immense majorité des cas des symboles à une seule lettre,
qui peuvent être facilement prononcés et se placent en gé-nérât très commodément sur les figures; elle n'exige d'ailleurs
aucun signe typographique particulier. A tous ces points de
vue, elle mérite d'être conservée. Malheureusement, elle a
le très grand inconvénient de se rapporter à des axes très
différents de ceux qui servent de base à toutes les autres
notations. J~e~ et tous ceux qui se servent en France de ses
symboles prennent pour axes les trois arêtes du prisme pri-mitif qui aboutissent à l'angle solide antérieur. I! eut été bien
préférable d'adopter les axes dont toutes les autres notations
se servent, c'est-à-dire de prendre pourprisme primitif Il,au lieu de t; mais l'habitude est depuis trop longtemps
prise pour qu'on puisse espérer la déraciner.
L'axe vertical restant le même, les axes horizontaux de
Ze~j' sont donc les côtés du rhombe dont les axes de 7~<7/e/'
ou de ~e<~ sont les diagonales, ou les diagonales de rhombes
construits sur les axes de ~f<7/e/- ou de M~M.
En désignant par /t~/ les caractéristiques d'une face rappor-tée aux axes a, b, c de Mitteretpar/ les caractéristiquesde la même face rapportée aux axes a', b', c' de Lévy, les
formules générâtes de changement d'axes (8) (p. t3)nousdonneront pour ce cas particulier
=/)- /f, /c' =–)- A', =
/<=/– /f= //+A', J=~
M MANUELPRATIQUEDE CRtSTALLOnRAf'HTE.
En supposant que les axes ne soient pas rectangulaires, on
aura, pour les valeurs a', b', c',
a'=~/a~-i-b'2abcosx, b'==~/a~-hb'~–abcosx, c'==c,
et, pour les angles <x', y' qui sont, dans le système d'axe de
Lévy, les angles plans des faces p, <,
cos-a~-b~ b:
cas z =–––~–– – –, 1
ya'-r- b~-t- aab cosx /a~-r- b~ – xabcosaa
r,, –acosf'i-i-bcosx xcos = ––––– –,
/a"-)-b~– '~ab cosx
cosY == acosY–bcosp'––
~a~-)-b~–aabcosx
Toutes ces formules se simplifient naturellement beaucoupdans le cas d'axes rectangulaires. On trouvera du reste a la
fin du volume des Tables permettant de passer d'une nota-
tion à l'autre sans aucune espèce de calcul.
Notation de Rammelsberg.
Ce n'est pas, à proprement parler, un système original de
notation, c'est bien plutôt un procédé de désignation des
faces; mais, comme il est employé dans la /j~<a//o~a~/<Mc/«?Chemie, qu'on est ob)ige de consulter fréquemment, j'en dirai
ici quelques mots. /~M:/Me/e/~ qui se sert de )a notation de
j~eM.~ a remplacé sur les figures et dans le texte les symbolestrès longs de cette notation par des lettres. Le Tableau ci-
dessous donne la comparaison entre les lettres de /H/)ïe/
<)c/ et de Zecy.
Lévy. Maniiiielsborg. Lévy, liammelsbcr,
c f 0
p d
t/)'
c f/'
f/"
F'e
f/'
i7
Les caraO.cristiqucs > sont mises en exposant, celles qui
,}°~'NOTATMKSirï..m!0~(ytES DES~pACES.
23>NOTATIONS e, 1
2,)
sont. <[sont ptacées on.uenom'i~ateur.~On,~ ainsi ou
Les formes qui,y~~ia~Q<~n6t?(]t;7~'y,
s'écrivent,\r"<
avec trois lettres sont dé~hôcs par'dep f~tt~P~ quelconques.Dans le système tiexagon~Ç~mtHtt~bc'rg/hote les formes
pyramidales < dans le syste~i~j'tton~~nrifjue, les rhom-
boèdres sont désignes par r ou suivant qu'ils sont directs
ou inverses. Enfin, dans le système cubique, les formes ne
sont pas désignées par des lettres spéciates.
Notation de Naumann.
./V<r<M/M;x/tplace les axes comme JVeM.~mais les note au-
trement a est l'axe vertical, &l'axe antérieur, c l'axe iatèrat.
t] part non plus du prisme comme Lévy, mais de !'octaèdre,
qu'il désigne par 0 dans le système cubifpic et Il dans les
autres systèmes. Comme il n'y a qu'une sente lettre pour
désigner toutes les formes possibles dans un cristal, il faut
ajouter à cette lettre divers signes distinctifs; c'est ainsi queles faces ~,y, c, b de Lévy deviennent P', ,P, T, P,. L'une
des caractéristiques étant toujours prise = i, les deux autres
seront m et n, la première se rapportant à l'axe vertical, la
seconde à l'axe iatérai. Les caractéristiques, qu'on écrit à
gauche et a droite de la lettre P, peuvent être -=oc ou a un
nombre entier ou fractionnaire, simple, on les supprime
quand elles sont ==i. Lorsque, dans le symbole général mPn,m =:n ==co, on a l'un des plans coordonnés verticaux, qu'on
distingue entre eux en mettant sur la lettre 1' fc signe pro-
sodique ou le troisième plan coordonné, qui est la base
du prisme primitif de/.e< est noté OP.
Pour les faces qui tronquent les angles du prisme et par
conséquent les arètes culminantes de la pyramide, qu
Lévy note a, e, i, o, les symboles sont encore plus complexes,car il faut indiquer auquel des deux axes horizontaux elles
sont parallèles; on se sert alors à la t'ois des accents et des
signes et On a ainsi <~=m,P'oo, <=:m,P,'x,Dans le système monociinique dans lequel l'axe c est hori-
zontal et l'axe a ineliné, on distingue les faces e des faces </
et par un trait inc)inéou))orixonta)quibarre]a)cttreP:on a ainsi e~==m~cc, a~'=+mP=c, o~–mpco.
2.~ ~AXUEL PRATiQLE DE f:)USTALLOG)!AP))[E.
Dans les systèmes a axes rectangulaires, les symboles se
simplifient, car les signes disparaissent, sauf pour le système
orthorhombique ou l'on emploie encore les signes-et
pour distinguer les deux axes horizontaux qui sont d'inégale
longueur.Pour le système rhombocdrique, /<7K/?:f< emploie quct-
quefois le symbole du système hexagonal qu'il fait précéder([e la fraction d'autrefois il se sert de ia lettre Il qui rem-
place la lettre P.
Ce court exposé suffit pour montrer toute !'incommodite de
cette notation, qui est pourtant encore très généralement em-
ployée par tes cristaitographcs de tous les pays. Cette faveur n'a
d'autre explication que la grande influence que /YaM7Ma/!Ma
exercée par ses nombreux ouvrages didactiques et sa longuecarrière de professeur. Elle présente toutes sortes d'inconvé-
nients pour l'exécution typographique, elle est tout a fait im-
praticable au point de vue descriptif, et n'offre aucun avan-
tage, au point de vue du calcul, sur la notation (le tFe<s'
qu'elle a la prétention d'amétiorer.
On trouvera les détails de cette notation dans les Tableaux
de transformation.
Notation de Dana.
C'est la notation de TV~H/HcM/tsimplifiée et conservant les
mêmes axes. Da/!<'<supprime les grandes lettres 0, P ou R et
remplace le signe oo par la lettre i ou par la majuscule I,
lorsque la face est parallèle à l'axe vertical et que n ==t. En
revanche, it écrit le chiffre i que A~M/Ma/ï~ supprime, et l'é-
crit en grand caractère si m==n=:t. Lorsque la face doit
être désignée par deux signes ou deux chiffres, c'est le second
signe ou le second chiffre qui porte les divers signes employésdans la notation de 7VaM/?ta/ Exemple
Nnumann. U~sna.
oPL' o
xp' r
xP'n n t/iu
X?TO t<1
P' i'
m)'n n /?!~z
Px tti
NOTATIONS SYMHOUQUES DES FACES. ~<
Cette notation est a coup sût' plus commode que celle de
/VaH/?M~H, mais elle n'est guère usitée, et je n'en parle ici que
parce qu'elle est employée dans le ciassique ~.s'<c/~e f/e
/;e/'a~o~/e de /)a/ïf<.
En résumé, les deux seules notations vrai ment pratiques sont,
pour le calcul, la notation de ~/<7~r et, pour la descriptionet la désignation des formes, la notation de /cr. Ce sont
celles dont nous nous servirons cxctusivement.
a6 NAXL'EL PRATIQUE DE CR!STAL!.OGt!A['H)E.
CHAPITRE IV.
DE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FORMES
CRISTALLINES.
Nous ne parierons ici que des propriétés générâtes des di-
vers modes de projection des faces cristallines, le dessin géo-métrique en perspective et le dessin exact des projectionsétant exposés avec détail dans le Chapitre XV.
Ii y a trois systèmes de projection usités la projection
.!<e'eo~6'Me, la /?/'o/ec</o/t ~/M/Mo/Mf et la projection/<Mea!<~ cette dernière peu commode et peu répandue, ma)gréles efforts de quelques cristallographes allemands.
Projection stéréographique.
C'est celle que nous étudierons plus spécialement, non
seulement parce que, à cote de quelques inconvénients, elle
offre un grand nombre d'avantages et simplifie souvent beau-
coup les calculs cristallographiques, mais encore parce qu'elleest a peu prés universellement employée et qu'il importe par
conséquent de se familiariser avec son maniement.
Décrivons du centre du cristal une sphère qui l'enveloppe,abaissons de ce même centre des perpendiculaires à toutes
les faces et prolongeons-les jusqu'à la rencontre de la sphère.Ces perpendiculaires perceront la sphère en des points quiseront les/e.s' des faces, et les distances angulaires despotesseront évidemment les suppléments des angles dièdres queles faces font. entre elles. Toutes les faces qui forment une
zone auront leurs pôles sur un même cercle qui sera le cercle
REPRÉSENTATION GRAPtHQUE DES FORMES.2~
de cette zone. Puisque dans Je cristal Je moins symétrique', il
existe au moins deux faces identiques parallèles entre elles,nous pouvons ne considérer que la moitié de la spttère et pro-
jeter cette moitié de sphère, comme on le (ait, pour les cartes
géographiques, sur un certain plan qui sera ici la surface
plane du grand cercle passant par les pôles de deux des faces
parattétes aux plans coordonnés /j'-=(oof), A'=:()oo) et
(o t o) choisis pour le cristal. Ce plan de projection s'ap-
pelle te~~M o~Ktableau. Supposons que te grand cercle quilimite le plan du tableau passe par les poies A' et gl. La /t~. 6
représente une semblable projection de la moitié du crista)
de la/~y. 22. Les trois axes coordonnés x, y, -s, qui sont paral-lèles aux arêtes ~/?, A~, h puisqu'ils sont l'intersection des
trois plans coordonnés, auront sur la sphère Jeurs pôles en
-s, et l'on aura évidemment (/ /j. 7)
== ~r = /<2= g's == =-y.r = go",
de sorte que le triangle xyz est polaire du triangle /<?.
Soient/le pote d'une face M'K'L' dont le symbole est (/<)
(P~.7~/<8); o le centre de la sphère; o.x',oy,o~)es coordon-
nées qui percent la sphère aux points .r, y, z; ti KLune face
que nous choisirons comme primitive et pour laquelle, par
conséquent, oH=a., oK=b, o,L = c; enfin o/une droite
perpendiculaire aux faces HKL et H'K'L'. Les triangles fox,
foy, /o~ sont rectangles en/qui est la projection des pointsH', K' et L'. On a donc
of = oH' eos/.r ==oK' cos~' = oL' cos~s
et en substituant les valeurs trouvées pour OH', OK', OL'
(P. '),
,.a.b,c~( ') COSy.r = COS~= COS/:
C'est là la relation fondamentale qui nous permet de cal-
culer les distances angulaires en fonction des indices ou, in-
versement, de déterminer les indices au moyen d'angfcsdonnés.
Soient, en effet, trois faces P(AA-/), Q(A'),R(A")
a8 MAXUELPRATIQUEDE CRISTAt.LOGItAPmE.
(P/?~.9) situées sur un cercle de zone. Les triangles
sphériques PQ et RQ~e donnent, par la formule Lien connue
de Trigonométrie,
cosP.r = cosQ.reosPQ -+- sinQ.rsia PQ cosPQ.r,
cosR..c = cosQ.ï' cosQR sinQ.r sinQR cosRQ.r.
Si l'on multiplie la première équation par sinQR et la se-
conde par sinPQ et si l'on additionne, en remarquant que
cosPQ~– cosRQ;c = 0
et que
sinQRcosPQ – eosQR sinPQ = sin(PQ -)- RQ) ==sinRP,
on aura
(2) cosP~sinQR-cosR~sit)PQ ==cosQ.rsmRP.
On aura également, en faisant les mêmes opérations pourles triangles PQ y, HQ~ et PQ z, RQ~
(3) cosP~sinQR-~cosR~sinPQ = cosQ~sinRP,
(4) cosP~sinQR-t-cosRzsinPQ =cosQzsinRP.
En éliminant successivement entre les équations (a) et (3),(2) et (4), (3)et(4),PQ, Qliet PQ, on arrive aux trois équa-tions
r"pn (cosP~'cosQ~'– cosPj~cosQ.,t;)
sm
(5) =––(cosP~cosR~'–cosP~cosR~)
= ~–~ (cosQ~cosP~– cusQ~ cosR.~),
gi~)0( cesP,rcos Qz – ces z z cesQ~-).)
(6) ==–.y..(cosP~cosRz–cosPzcosP~)
== ..(eosQ~'cosRz – cosQz cosR~),Sln~ l
REPRÉSENTATION GRAI'fHQL'E DES FORMES.2~
et
––.(cosP~ cosQ.:c– cosP.x'cosQ:)
(7) = .(cosPzcosf!~–cosP.rcosUc)(7)
= (cosQ~ cos!{~ – cosQ.r cosit.:).).
Soient maintenant quatre faces P, Q, R et S (/) si-
tuées surun même cercle de zone (fig. 10). Puisque PQ<P!les relations de leurs distances angulaires seront exprimées
par les équations (5), (6) et (y), dans lesquelles les produitsdes cosinus peuvent être remplacés par les caractéristiques au
moyen de l'équation générale (f), qui deviendra pour les dif-
férentes faces
1,h
OP 1£ 1 -poP.-cosP.r=-cosP.r=-cosP<a b c
hl le, ilQ. –cosQ~==–cosQ~'=:-cosQs,
T. n .r < Y-I{. – cosR~f = cosKr== cosh.a b c
Les produits des cosinus tirés de ces équations sont pourles faces
(P Q) = – = /;7' =
(QR) = /– ~= /– /== /– /f'
Enintroduisantces valeurs dans les équations (5), (G), (~),on obtient
sinPQ (PQ)
smQU (Qi</
D'autre part, on a PS > PU, et l'équation pour la face S
étant
'fS. – cosS.r -i- .-cosS~' – –cosS.
le produit des cosinus entre les trois faces donne
(PS) = y'r – = =
(RS) == /c"r– /(' = /– = /<f'"– /L"
30 MAKtJEL l'ttATtQUE DE CHISTALLOGRAPUtE.
et l'on obtientsinPS (PS)sinHS (1~'
et, pour les quatre faces,
8 sinPQsmPS (PQ)(PS)
sinQKginMS''(Q!~(Kë)'
Si l'on prend, au lieu des angles QR et RS, les différences
PR PQ et PS – PR, on aura, en développant le sinus de la
différence et divisant par PR,
sinQR sifi(PH-PQ) = cotPQ cotP1\––– == –' ==cotPQ – cotPH,smPb smPQsinHS sin~PS–PH)
COLPII cotps.==––––ri-––
= cot,PH – cotPS.sinPS sinP~
En introduisant ces valeurs dans l'équation (8), on obtient
cotPR – cotPS (PQ)~RS).cotPQ – cot,PH (QU)(PS)~
d'où
(A) cotPS=acotPR-cotl'Q(t»;)(t'S)(A)cotPS~PR-~PQ~
En résolvant l'équation par rapport à PR, on aura
(B) cotPR=~PQ-co~i<( cot l-fcot .col(QP)(l'S).
Ces formules peuvent être transformées par l'introduction
d'angles auxiliaires; mais elles se calculent aisément, telles
quelles, au moyen de logarithmes d'addition ou de soustrac-
tion qu'on trouve dans les Tables de 7/oMe~ aujourd'hui ré-
pandues partout.
Lorsqu'il s'agit de faces appartenant à la forme primitive,dont les caractéristiques sont par conséquent égales a f ouà o, ]a fraction qui, dans les équations (A), (B), représente le
rapport des caractéristiques, disparaît, puisqu'elle est égaleà i. Supposons, en effet, que les faces soient
P=!oo, Q=)o;, R=oof, S=To<;
!!EPRËSENTATt():\ GH.U'niQLiE ))ES FOHMES. 3f 1
on a alors
P. foo 0 too 0 P. )oo o tno o><><>< .<><~><
Q '01 f o ) S. o ) i o )
(PQ). oïo 0 (l'S). oïo
Q o tr t o [ M. 0 o o o r><><>< ><><~<!< OOt r !)0t r S. 'JO ) )0 f
(QR). uTo o (RS~ oïu 0
donc
(PQ)(HS)_(oTo)CoTo) )
(Q){)(PS) (oïo) (oïo)
Nous allons voir maintenant comment on peut, avec la pro-jection steréographique, en partant des distances angulaires,calculer la longueur des paramètres, et, réciproquement,toutes les distances angulaires, les paramètres étant donnés.
Nous savons déjà (/ /f' ~) que le triangle formé
parles pôles de trois faces paraHetes aux plans coordonnés est
polaire du triangie formé par les pôles des trois axes.Nous désignerons désormais ces axes par les paramètres in-
terceptés sur chacun d'eux, .:c=a., /r=b, ,=~c; car une
face n'est cristattographiqucmcnt déterminée que lorsqu'onconnaît, non seulement la direction des axes, mais encoreles valeurs numériques prises sur ces directions. Les valeurs
a, b, c seront donc les axes c/'M~f~/t~KM'.Dans le cas Je plus généra), les trois axes font entre eux
des angles différents ac ~=- bc j3, ba = x. En vertu de ia
polarité des deux triangles, on a
~g~=ac~Y, ~g'==bc~j3, /=ba~x.
Puisque les arcs pb, ~c, ha, ~a, ho, gb sont de ~o"(Pl. ~y< t i), on a également
a/~ == b~j = == a~ = /~c ~c == ypc =. go".
Si, dans les équations générales (f), nous faisons ==n,
= i, ==m et que nous remplacions les axes par les
32 MAKCEL PRATIQUE Mi CtUSTALLOGRAPfOE.
paramètres a, b, c, elles deviendront, pour une face quel-conque P,
b cosPb = na cosPa = mccosPc.
On tire de là
na_cosPb na cosPoc me cosPbb cosPa." rnc~'cosPa' b "cosPc
En prenant b ==i, on calculerait donc les paramètres na etme si l'on connaissait les angles Pb, Pc et Pa. Le problèmeconsiste ainsi à trouver ces angles en fonction des angles di-rectement mesurés. On y arrive par la solution de quelques
triangles sphériques.Soient (y: 12) h, p, g les pôles des trois faces (f oo), (oo ))
et (010), a, b, e les pôles des trois axes, t le pôle d'uneface (/tAo), et/te pôle d'une face/(/ A/) dont il s'agit de déter-miner les paramètres. Dans le triangle/Ac rectilatère en ch,on a c/~=c/=:go", et, par conséquent, c/<9o°–/A<;donc
eosyc = sin/~cosc/ ==stn/sin/
Le triangle ~/nous donne
.y., ,sini'fS)n < = sm -––sm~'t
doncsin/sin~
cos/c = –––~ sm/</<.sm/;<t
Dans le triangie/Ab rectilatère en Ab, on a/Ab== 90"–/)/<puisque ~/<b = 90°; donc
cosfb = sin/cos/<b = sin//ysin~
Le triangle p hf nous donne
sin/p.StnD/= Sin/?,
S)n/~pdonc
sin/sin//).cos/b = – sin/cosfb
Stn/~/il.?
itEPRESENTATION nRAPHtQL'E DES FORMES. 33i
3
Mais /<y< ~= j8o°– /?; donc
cos/T) me sin/«sin/)co~y'c b siu/'<itt//y,'
Pour avoir le rapport–; on résoudra les triangies /'c~
/Vo'a~ et/~ (/7, 13) qui donnent
sin<sin.?/' ~n~~n~cos/c== ––-––s- sin"<, cosfa = –' "-sin.?~
S)n~<t sin/g°"
et, par conséquent,
cosfa me sin//)sin<g-
cosyc na sin~sin/)y'
S'il s'agissait d'une face se trouvant dans les zones/)A,
/< le calcul serait beaucoup plus simple. Soit la l'ace t
(~. /a' '~)- Dans les triangles <a et </<b, rectUatercs en
p"aet/<b,ona a
<Q''a==~~<–/?g'aa et <b=/–b.
Mais/-)ga=/)//b=;)'j";
d'autre part,
P~=7~~=ao=Y et <p=bo=~;
donc
cos<a.=sin<g'cos-–')o'= sin/g-sin-j',
cost.b=s!n<cos3–f)()"=~s!n<sin~,
cos<b na sin<sin~costa b sin<g'sin'j'
Le triangle abc étant polaire du triangle il est clair
que les triangles act et bel seront polaires des triangles hptet et que b<~= < et a< ~= <A. On pourra donc écrire
cos<b na sin<costa b ~sin~.)~
~4 NAXL'EL PRATfQH; t~); <;t()STAf,LOGf!APft)E.
On obtiendra ainsi les formules suivantes qui sont. très
commodes et dont nous ferons un fréquent usage
cos<b na s!n//<sin3 sin/p"'f< ––r'tT ~na~-––––, )/, na-––cos<'a bn
snKgstny> il, iia
S!n/ph
cosoa mee sino/~sinTfHI
me sin~g-/?Ihcosoc na sin~sin3' ua a si~M.7;'
“.coscb me smensmx smf-
n)., –––~–-mc–-–'–~–, f)),, mo~-––coscc b
1-nCstneysm-j'
ni esincgî)
iy 2~~– csin/) sin~< mjo sin/?
cos~c na sin/fsin/~g' na."sin/<
Ces formules sont évidemment tout à fait générales et s'ap-
pliquent a toutes les faces qui se trouvent dans les zones
~7~ ~'o' et/?<, quelles qu'elles soient, puisque m et n
peuvent avoir toutes les vatenrs y compris l'unité.
Elles se simptifient beaucoup pour les systèmes plus symé-
triques. C'est ainsi que dans le système monocliniquc, dans
lequel
x~p=~gt=c)0°, Y~ ~'W~f)0°–g'M, (.Qo"–<-g'
et
/?i/7/ – <)o°– ~H/).g', e/g' ==90"– e/<);
on aura
V,, na =t.ang/7!sinY, V/, na =tang/?/
Vt "12 sinopTT me sino~/)
naa sinoh' n a sino~'
VIt~-=me~t,ange~sin-
V!t/, me= fange/):
vm = sin~sin~/HVITI~ n~c 0 sinf/~
na sin~w na'" sin~
Dans les systèmes a axes orthogonaux, on a, en outre,
Y=9~") M/'=f)o''– ~=:<jo''–
et
Og-/t==
()0°–0~.
ft!;PRËSEKTArtO~GI!AP)nQL'EDES FORMES. 35~~)
On aura donc
IX~ na –tang/;m, IX~ na –tang/j/
n'c me
'na" -~a:ng~;na C na
XL tnc~tange/), Xf& )nc-=t.ana;e/
XIIme
tan~Gt sinkrrr, SCffr, mc"{,, (1)'XI!~(1 ––Lang/si)i/ Xtf~ – -=tnng~g'/?(''):
Pour résoudre le pro)))emG inverse, c'es<a-dirc pourU'ouvcr les angies des p6!es des faces en parlant, des paramè-
tres, on posera dans tes formules f, IV~
))a sin'~ mcsin~ mcsin-j' mcsin/ ,u'bsinj'i nasmx bshix na,.sin~~
et dans les formules !/“ IV/,
na me me
== – == –=
tango,b na b
Dans les formules ï~, tV~, on a
/==(/~–y~), ~=(/–o/)), eg-=(;~–e~).
Soit. la formu)c ïa; on pourra écrire
nasinY 8in(.–n= ––––' = t,ans;&.bsm~ stn~'f
°'
Une formuic bien connue de Trigonométrie nous donnera
sin(/~–~<)–sin~< tang~(/~–~<–~<)
sin(/g-<)+.sing~ ~ang~(/,g.<)
t.ans'–<) tan!!(~–)
t,ans' t,ang-g-
(') Les angles des formules XIt~ correspondent aux angles plansde )a_g'.t'; que nous emploierons pour calculer par une tnct.hodcgeomc-
trique direcLc. Pour savoir passer facilement de t'une de ces méthodes de
ca)cu[ài'autrc,i)cstbondcscrappc)cr(jue
<=T, //)/t:-=T, o~=:u, o~/t=-[j., e/t~=p, e/tg-=-
36 MA?<L'ELPftATtQUEDHCR)STA[.f.f)f,ftÀpn)E.
1 tafl~iOr cette dernière expression –7~ tang(~')''– ~);1-+ lallg'1
d'où
tang(~–y<) = tang~ytang(i5"–
Les formules la, lVf<se transforment, donc dans les sui-
vantes
!“ tang(~y–) =-~ng~t.ang(i~'–
il~ tang( .< – ~) – tan: tang(i'')"– T'),
!)~ t.ang(~~–e;)) .= tat)g~~tang(4.i"– ~),
!V;.< ~ng(- -V) ~ng~< t.a~(45''–).
Quant, aux formules [V/ cites deviendront par des
transformations analogues
~"ë( ~oT~' ~n') '.a"g ~'7~(~ ?
It& t.)ng(. – ~) tan!.r~/<~( i'i"– ).
!
MPRËSEKTA'nOX OtAt'MtQUE DES FORMES.3y7
On aura ainsi
V' tang/~y! =: tang~,
V)~ tang(~–~)==Lang~tang(!5°– J,
\'I~ tange~=t.ang'
VIii~ tang(~j/~–pf/)=: ta!ig~yït.ang({:'i"–~).
Pour avoir les angles plans, on posera
,na. /mc me
~b'=~)'na"b'=~S?.
Elles deviennent alors
V' tang/H~=tangT),Vf/,1'l, t.ang(~/i~–f~) ==
tang/tang(4y'–e. J,
Vf! tange/ =:tang-
V!H/, tangf~.=t,ango.
Dans le système orthorhombique dans lequel on a
-=:t)0"et
~p/M==g-M, /e==e/), a~==f)o"–t7~ p~=:()o"–<
ep=
go" – eg = (jo" –
on pose
,na .me ,mc me(9) = (io)– = (! t)-,– == (m)
––.––= tang?.9 b i i-a b na sinbrn gr"'b 'na. 'b 'na.smgM
On aura ainsi
Tv "a'IX/,
t,ang/H=-,=na,
v<mee
X/, ),anga~=–) naa
v,, meXt~ Langep == = me,
X[!t tang b p == tangT.
Quant aux angtes secondaires qui relient les diverses zones
entre elles, on les aura, connne on le verra dans les exemptes
38 MAXCKf.PHAHQLEDHC)!)STAf,).Of.HAt'f)!E.
de calcul, en résoh'ant un certain nombre de triangles que la
projection stéréographique a ie grand avantage d'indiquertrèsctairement.
Ce mode de projection est, en somme, très commode; il est
fondé sur l'emploi exclusif (le la Trigonométrie snhérique,
conduit, en générai, très directement au Lut et n'exige quedes figures très simples. I[ n'a que f'inconvènient, commun du
reste à toutes les projections, de demander une certaine habi-
tude pour reconnaître !es diverses parties du polyèdre cris-tallin dans leur représentation symbolique.
Projection gnomonique.
Si, au lieu de projeter la demi-sphère décrite autour du
cristal sur sa base limitée par le grand cercle qui passe parles faces /(too) et ~'(oto), comme nous t'avons fait précé-demment, on la projette sur un plan tangent a son pote et pa-rallèle à sa base, les grands cercles se transforment en lignes
droitessurtesquefies les pôles se trouverontp)acés,et les poiesdes faces situées sur le cercte de la base seront u l'infini. La
/<i 5 (/) sera ai nsiia projection gnomonique correspondantau cristal de lay?~. aa et à la projection stéréographique de la
/<'a'. 6. Le point de vue de la projection est en c, il passe pariecentre de ia sphère et coïncide dans les systèmes a axes ortho-
gonaux avec le pote de t'axe- et par conséquent de la face/j.L'angle que les parties positives des axes .x' et~ font entreelles estle supplément de l'angle dièdre /< par conséquent
égal à la distance angulaire /t' du cadran inférieur droit dela projection stéréographique. En prenant )e paramètre del'axe vertical pour unité, on aura sur la projection
s!nx r ] sin3 :3
e/?=
;u= – -– et t f,'p
= – ––.~l'ucsmY
etpbsfnY
Mais il vaut mieux faire cette projection sur l'axe y et taface qui est dans le système monoctinique un plan de
symétrie. On aura ainsi tay?.y. t6 et, en prenant pour unitéle paramètre de l'axer,
bsin3 3 b smxif" = wc' = –– et ~e == == – ––.onas~Y
et le ° f[)c-i)n~
Mt:t')U;SEXTATfON (;)tA)'UIQLH DES FORMES. J~
Les parties positives des axes ~ct.r font entre ettesnnangte
qui esttc supplément de l'angle dièdre/t', et r représente le
point de vue qui passe par le centre de la sphère. Ce point de
vue coïncide avec le pote de l'axer, non seulement dans le
système à axes orthogonaux, mais encore dans le sy-tone mo-
noctinique dans tcque) x := ,5 ==no".
La marche du caicut est analogue à cc)ie suivie pour ht
projection stércographique, car les triangles, quoique )i)nit( s
par des lignes droites, sont sphériques, puisque ces lignesdroites ne sont ici que la représentation symbolique des grandscercles de la sphère.
Cette méthode a t'avantage de montrer très ctairemcnt la
situation des faces dérivées, même sur un dessin qui ne
serait qu'approximativement exact; elle permet de trouver
facilement parle simple procède graphique te symbole de di-
verses formes et de reconnaître du premier coup d'œit tes
erreurs qui ont pu être commises dans le calcul. Soit, par
exemple, une face M, qui se trouve en zone avecy~et <<; ses
paramètres et (~ sont évidemment ~.y et, ctte est
donc~J~==(!a)). Inversement, en connaissant le symbole
(ta)), on voit immédiatement, en traçant les lignes .s' et
n~c, parallèles ay.s et~.r, que leur intersection, c'est-à-dire
la iace M, se trouve en même temps sur << et/ On aura
également de suite c-])~:=(a2)), «'=-0)~(02)),
.;=~ jo=~()2o), ) f -:=(f22). L'inconvénient de cette
projection est que les dessins y exigent ptus de place, que
quetqucs-uns des potes sont situés a l'infini, et que, par suite,il est beaucoup moins aisé de voir la position des triantes
?phé)iques qu'il s'agit de résoudre.
~0 MANLE). PRATfQCE DE CRtSTALLOCHAf'Htt:.
CHAPITRE V.
DE LA MESURE DES ANGLES DES CRISTAUX.
On mesure les angles dièdres des cristaux au moyen d'in-
struments qu'on appelle des goniomètres. Le plus ancien de
ces instruments estie~o/:M/?<e<c f/'a/ca~M~ dont /~M)'i-
s'est servi dans toutes ses recherches et qui a donné entre
ses mains des resuttats d'une remarquante précision. On en
a construit de différents modèles, mais le plus commode estcelui qui est représente ici et se compose de deux alidades in-
dépendantes, ce qui permet de mesurer des cristaux engagesdans la gangue, et d'un cercle rapporteur en métal plein,un peu épais, pour éviter les déformations (jig. «).
Les alidades sont mobiles autour du bouton qui porte unevis pouvant le fixer dans )a position qu'on veut lui donner;elles se meuvent également dans les rainures de façon
pouvoir être ai!ongees ou raccourcies, suivant les besoins.
MMSLitEfJKSAXO.ES. ')i
Soit à mesurer i'angte dièdre des deux faces /M/ï et /< Ontiendra entre le pouce et le médius )c bout de t'atidadc fto-
rizontale et on l'appliquera exactement sur la face /</); on
fera mouvoir alors avec l'index le bout de la seconde alidade,
après avoir légèrement serré fe bouton, jusqu'à ce qu'euerencontre la face /?: Cela fait, il n'y a plus qu'à serrer le
bouton pour maintenir exactement t'ècartcment obtenu, a
transporter les alidades sur le rapporteur et à lire i'ang)e.Pour que ia mesure soit aussi exacte que possibie, il faut:
f Que les alidades soient bien perpendiculaires à i'arete
de l'angle dièdre;a" Qu'elles soient bien d'aplomb sur les deux faces, ce dont
on s'assure en regardant si aucun jour ne passe entre les
faces et les alidades;3" Que le sommet de i'angte des alidades coïncide bien avec
le centre du rapporteur, ce qui n'est pas toujours facile, lors-
qu'il s'agit d'un angle aigu.Ces sortes de goniomètres sont généralement divises en
degrés et les demi-degrés se lisent par estimation. Avec une
grande habitude et en prenant chaque fois la moyenne d'un
grand nombre de mesures, on peut arriver à estimer les f.Y.
Quelque imparfait que soit cet instrument, il rend souvent de
très grands services, lorsqu'il s'agit de cristaux d'une certaine
dimension et à faces peu réftéchissantes. En tout cas, il vaut
incomparablement mieux que les de contact très
compliqués qu'on a récemment construits en AHemagne, et
qui sont difficiles à manier sans donner, en réalité, une exac-
titude bien supérieure.Les goniomètres <;</'c/7fM"M/~qu'on emploie dans tous les
cas où les faces peuvent réfléchir la lumière sont de deux
sortes les uns à axe horizontal, comme le goniomètre de
~o/~M/o/i, les autres à axes vertical, comme te goniomètrede /~<&~c<. La théorie est d'ailleurs la même pour les deux
espèces d'instruments qui ne diffèrent que par leur forme et
quelques détails de construction.
Soit à mesurer, comme précédemment, i'angte dièdre
(7<J.~); est l'arète de l'angle perpendiculaire au plan dela figure, L un point lumineux, Il un point de repère quel-
conque et 0 i'œit de l'observateur. Le point L se rènèchua
MARCEL P)tAT!Q[HJf)HCn!S')'AU,Of,XAf'))[H.
mais elle se produira de nouveau lorsque la face w/t viendra
en sur le prolongement, de la position primitive de /~p.On aura fait ainsi un angle /< qui est précisément, le sup-
plément de l'angle dièdre /?. Il suffira donc d'imaginerune disposition qui permette de piaceri'arcte de l'angle à me-
surer au centre d'un cercle divisé et de donner au cristal et au
cercle divisé des mouvements indépendants l'un (le ('autre,
autour d'un même axe.
Pour que la mesure soit exacte, plusieurs conditions doi-
vent être rempliesL'arête de l'angle dièdre doit être perpendiculaire au
plan du cercle divisé et se trouver sur le proiongement de son
axe.
a" La distance du point lumineux à la face réfléchissante
<)oit être aussi grande que possible.3" Le point lumineux L et ie repère li doivent se trouver
à la même distance de la face reuechissante.
4" Le plan qui passe par le point lumineux, !e repère et le
cristal, doit être aussi parallèle que possible au plan du cercle
divisé.
Nous allons voir comment on réalise pratiquement ces con-
ditions avec le goniomètre de 0 o//<M<~ et avec le gonio-mètre horizontal.
sur la face qu'on placera de façon que, pour )'œi) situe
en 0, l'image deL vienne coïncider avec te repère H vu
directement. L'œii restant immobitc, si i'oi~ fait tourner les
deux faces autour de l'arête la coïncidence disparaitra,
Mt;SLKE))HSAX<.LHS.
Le jM(o/~e<e </c H~aA'<< (/o. c), de beaucoup le plus
répandu tan), cause de son prix relativement peu eicve que
de son moindre votume, est composé d'un cercic divise C,
donnant génerateincnt avec son vernie)'V la minute; ce cercle,
qui est mobile autour de t'axe AS', porte a son centre une pièce
SS'destinee a supporter le crista).Lc bouton A permet de mou-
voir la pièce SS' indépendamment du cercle divise; deux vis
micrometriques D servent l'unc a fixer fe )jouton A, l'autre
a fui donner un mouvement lent. Le cercle B fait mouvoir le
cercle divisé en même temps que la pièce SS', qui porte le
crista), et les deux. vis E permettent d'obtenir un mouve-
ment lent.
fis. c-.
On prendra pour point lumineux une lampe à huiic, ou
mieux à gaz, munie d'un bon reHecteur et recouverte d'un
écran noirci percé d'une fente vcrUcaic, qu'on placera a 8'"
ou )o'° du goniomètre, et à une itauteur qui doit être environ
le double de la hauteur à taquctie se trouve ptace ]c cristal.
On f)xera par terre, verticalement au-dessous de la lampe,
:HASt'ËLt'ftATtQCEUf:)!)STAU,0(;)t,U')nH.
une planchette recouverte de papier blanc et sur Jaquette on
colle une mince bande de papier noir; on s'assurera au
moyen d'un fil à p!omb que cette bande noire se trouve sur );<
même verticale que la fente de l'écran.
On place le goniomètre sur une table bien solide et l'on
met son support horizontalement au moyen d'un niveau d'eau
et des trois vis calantes. On s'assure alors que le cercle divisé
se trouve dans le même plan que la fente de l'écran et la
bande de papier noir; pour cela, on regarde l'image de la
fente réfléchie sur le ecrcle divisé C qui est poti, et on la fait
coïncider avec la fente vue directement, en tournant l'instru-
ment à droite ou à gauche.Cela fait, on fixe le cristal sur un morceau de cire à mo-
deter et on l'assujettit sur le support S', en ayant soin que l'a-
rete de l'angle à mesurer soit, autant que possible, dans le
prolongement de l'axe AS'. On cherchera ensuite à établir ta
coïncidence entre l'image de la fente éclairée, réfléchie parl'une des faces de l'angle qu'on veut mesurer, et la ligne ou
la bande noire du point de repère touche le parquet, en ma-
nœuvrant le bouton A et les vis du support S' qui est mobile
dans deux directions rectangulaires. La coïncidence obte-
nue, on cherchera à l'établir sur l'autre face au moyen de mou-
vements analogues; par une série de tâtonnements, on ar-
rivera ainsi à obtenir la coïncidence sur les deux faces. On
amènera alors le cercle divisé au o° du vernier, on fixera la
position de coïncidence de la première face au moyen des
vis D et l'on tournera le cercle d'avant en arrière au moyen du
petit cercle B d'abord, et des vis E ensuite, pour amener au
même point l'irnage réfléchie par la seconde face. it ne res-
tera plus qu'a lire l'angle qui sera l'angle supplémentaire du
dièdre qu'on veut mesurer.
La grosse erreur ici provient toujours de l'excentricité, car
il est extrêmement difficile de mettre l'arête reette ou vir-
tuelle (il arrive souvent, en effet, qu'entre les deux faces dont
on mesure l'angle il existe un plus ou moins grand nombre
d'autres faces) exactement sur fe prolongement de t'axe de
l'instrument. Mais en plaçant le signa!, comme je l'ai clit, a
une dizaine de mètres, l'influence de l'excentricité, qui est
d'ailleurs d'autant moindre qu'on acquiert davantage l'habi-
'HESmHf)KSA~<.f.);S.
une tentiHc LL', au foyerdeJaquctiese trouve un écran percéd'une fente très étroite. Une lentille placée en avant de l'é-cran concentre sur )a fente h) lumière émise par la lampe,Les rayons lumineux qui sortent de la lentille sont parat-lèles, comme si la source lumineuse était située a l'infini;l'image de la fente vient se renechir sur le cristal et sur une
glace noire /M disposée a 35". L'image reuéchie par la g~ace sertdepoint de repère; pour en atténuer l'intensité et rendre la
coïncidence avec l'image de la face cristalline plus exacte, on
place parallèlement à la lentille LL' deux verres colores t,
rouge et vert. Laglace noire doit être rigoureusement para[!è)e
tude de ces sortes de mesures, devient a peu près nu)te. On a
imaginé du reste, pour permettre un centrage plus parfait du
cristal, une série de supports a plusieurs mouvements rec-
tangulaires ils compliquent en gênera! inutUement t'instru-
ment, et ne remplacent pas l'habileté manuelle qu'une longuepratique donne.
M. ~<7/~< a proposé, tout rcccnimcnt, une disposition quirend les mesures très exactes, même avec une source !umi-
neuse p)acee très près du cristal, ce qui est très avantageuxdans les cas très fréquents ou les faces sont peu réfléchis-santes. On interpose entre le cristal et la source lumineuseune lunette o"o~'a o'o8 de diamètre (y?~. d), qui porte
~6 ))A~[;Ef.P)tAT!QUEDRf:)USTA)J,()(:nA)'nfE.
d'erreurs. Il est composé d'un cercle divisé horizontal immo-
bUe (yi~. e) muni de deux lunettes, 1'une fixe L qui porte
a l'axe du goniomètre; un bouton qui comprime un ressort,
se trouvant sous le support de )ag)ace, permet, d'obtenir
ce paraiïéiismc. On commence donc par s'assurer de la po-sition de )a glace, en plaçant sur le support du cristal une
lame a faces paraHètcs, une iarnc de clivage, par exemple;on amènera en coïncidence tes images réuccbies par les
deux faces avec l'image renecnie p;h' ia glace, en faisant, ma-
nœuvrer le support du cristal et k support de la glace.
Lorsque cette condition est remplie, le cristal n'a plusbesoin d'être exactement centre, et fc cercte divise pourran'être pas parallèle à la lunette. Il suffira, pour qu'un angh'dièdre soit mesuré avec précision, que ses deux faces soient
paral!e)es à la glace, c'est-a-dirc que les deux images de la
fente qu'elles ref!ectussent coïncident avec l'image reuechie
par la glace.Le ~'o/t/o/Ke~e /io/c'<6r/. tel qu'on le construit actuellc-
ment, est disposé de façon a anuuter les principates causes
MKSt;tt)'DKSAXGLI!S. /)'-
li'1- ,m.. ~I",T.:I,~une fente située au foyer d'une lentille, l'autre, mobile, en-traînant. dans son mouvement le support SS' de cristal. La
lunette L' porte un réticu)e qui sert de point de repère etun vernier qui se déplace avec elle. Une loupe qu'on peutabaisser ou relever à volonté, permet d'examiner directement
le cristal et de retrouver les faces dans le cas où elles sonttrès petites. Le signal et le repère se trouvent donc ainsi
situés à l'infini, et la lampe peut être placée tout près de l'in-
strument. Le centrage du cristal s'obtient, sinon rapidement,du moins très exactement au moyen des divers mouvements
du support SS'. Le faisceau lumineux qui tombe sur le cristal
est ici très étroit, et un léger déplacement de l'arête par rap-
port à l'axe vertical du cercle empêche de voir l'image réné-
chie sur l'une ou l'autre des deux faces du dièdre. On s'aper-
çoit donc très facilement de la position excentrique du cristal.
Il est bon d'entourer la lampe d'un manchon perce d'un trou,afin d'éviter que la lumière diffuse ne tombe sur le cristal etne diminue la netteté de l'image réfléchie.
L'inconvénient de ce goniomètre est la difficulté de voir
directement avec la lunette qui sert de viseur les faces du
cristal, et la quantité de lumière que cette lunette absorbe,ce qui diminue l'intensité, souvent insuffisante déjà, des
images rétiécbies par les faces cristallines. Son avantage très
réel est de pouvoir servir en même temps aux mesures cris-
tallographiques et à la détermination des indices de réfrac-tion.
Quel que soit le goniomètre qu'on emploie, les deux facesdu dièdre une fois centrées, l'axe de l'instrument se trouve
parallèle à l'axe de la zone à laquelle ces deux faces appar-tiennent. 1) suit de là qu'en tournant le bouton A, toutes lesfaces composant cette zone donneront des images qu'onpourra faire coïncider les unes après les autres avec le pointde repère; un seul centrage suffit donc pour mesurer tousles angles dièdres de la zone. On a ainsi, d'autre part, unmoyen très exact de constater J'existcnce de zones qu'il serai)
quelquefois très difficile de rcconnaitrc par la simple inspec-tion du cristal.
Les conditions d'exactitude que nous avons examinées jus-qu'ici se rapportent toutes au procédé de mesure, mais il est
48 MAKr);LP))AT!Qt;E))):Cn)S'rA).LO<.RAf'!ifE.
une cause d'erreur, de beaucoup la plus importante, qui tient
au mauvais état des faces du cristal et qu'it est malheureuse-
ment impossible d'éviter.
Quelle que soit la perfection de l'instrument et l'babHetéde l'observateur, on n'obtient qu'une exactitude tout à fait
illusoire, si l'image réfléchie n'est pas absolument nette, ce
qui suppose une surface très rénéchissantc et parfaitement
plane. Or de pareilles faces se rencontrent bien rarement
dans les cristaux naturels ou artincieis;ia plupart du temps,les faces sont plus ou moins mates, striées ou courbes, sou-vent aussi elles présentent plusieurs ptages légèrement in-
clinées les unes sur les autres. Uans )e premier cas, l'imagerénéchic est vague, étalée; dans le second, elle est démesu-rément allongée perpendiculairement aux stries ou composéed'un grand nombre d'images superposées, d'intensité a peu
prés égate ou d'intensité différente suivant la nature et la
disposition des stries; dans le troisième, elle est allongée et
courbe; enfin, lorsque la face a plusieurs plages, on a autant
d'images situées dans des plans différents. Le pointé exact
est alors impossible et l'on en est réduit à des mesures ap-proximatives, obtenues par (tes moyennes de plusieurs me-
sures faites autant que possible sur ptusieurs cristaux. Dans
le cas de stries, on se servira avec avantage d'un procédé in-diqué par M. /i'a/ et qui consiste a interposer entre ['œH c)
le cristal une famé de verre très légèrement recouverte lon-
gitudinatcmcnt, avec le doigt, d'un corps gras quelconque.Les parties les moins éclairées de l'image disparaissent ainsiet l'on obtient un ou plusieurs traits horizontaux parmi les-
quels on choisit le plus brillant.
D'autres difficultés peuvent se présenter. Les cristaux sont
parfois très efflorescents ou très déliquescents. Pour mesurerles premiers, on se servira de préférence du goniomètre de
t~o//6'o/t, à cause de la chaleur que donne la lampe piacéea proximité dans les goniomètres horizontaux. On mesurerales cristaux déHquescents par un temps sec, surtout en hiver
pendant les gelées, ou bien on se servira de t'expédient sui-
vant, proposé par M. J/f<<e. On pfonge le crista!, rapide-ment essuyé au sortir de son eau mère, dans une solution
éthérée de gomme-gutte ou de copal; on le retire aussitôt et
MESURED)'SA~'<j.)J';S.<)
on l'agite quelques instants dans l'air pour le sécher; il est
alors recouvert d'une mince couche de vernis LriDant qui ie
préserve de l'action de l'humidité et permet de faire des me-
sures du moins approximatives.
On peut dire, en thèse générale, que les goniomètres qu'onconstruit actuellement nous donnent une précision théoriqueinfiniment supérieure à celle que nous pouvons pratique-ment avoir, Il est sans doute utile d'avoir à sa disposition un
instrument qui permette de faire, le cas échéant, des lectures
a 30" près, mais il ne faut jamais oublier que, dans les
sciences d'observations, l'exactitude est une fonction de l'en-
semble des conditions dans lesquelles on opère, et que les
divisions d'un vernier sont loin de correspondre toujours à la
réalité d'une mesure. A quoi servent, dans )a pratique cou-
rante, les secondes, lorsque deux cristaux d'une même espècenous donnent des différences de plusieurs minutes et lors-
que les mesures d'une même substance faite par plusieurssavants varient souvent d'un demi-degré?
Une longue pratique m'a démontre que, sauf exception,il faut considérer la concordance entre les angles calculés et
les angles mesurés comme satisfaisante lorsque l'écart ne
dépasse pas ro'.
50 MA~'L'ELPttAT)Q);)!))HCRtSTAL!,0<,HAI'))(H.
Après avoir fait un croquis approximatif du cristal, on dé-
signe ses faces par des lettres quelconques de l'alphabet, en
ajoutant à la lettre un accent lorsqu'il s'agit d'une face oppo-sée. On mesure ensuite le plus grand nombre possible
d'angles, en marquant par un signe spécial les mesures quisont bonnes, médiocres ou mauvaises, et l'on note soigneu-sement les zones qu'on a rencontrées. Cela fait, la détermina-
tion du système cristallin ne présente en général pas beau-
coup de difficulté. On distinguera en effet les cas suivantsi" Tous les angles, dans toutes les zones, sont différents;
le cristal n'a par conséquent aucun plan de symétrie'et appar-tient au système triclinique.
2° Deux zones qui ne sont pas perpendiculaires entre ellesdonnent des angles qui se répètent, ou bien les mêmes
angles se retrouvent </<?M~fois par la rotation de 36o° dansdeux zones plus ou moins inclinées l'une sur l'autre, ou bienencore trois faces font entre elles deux angles droits et un
angle ~90°; le cristal est monoctinique.3° Des répétitions d'angles s'observent dans trois zones
perpendiculaires entre elles, ou bien un même angle se ré-
pète dans deux zones inclinées l'une sur l'autre, mais ~Ma<efois dans chacune d'elles, ou bien encore trois faces font
entre elles trois angles droits le cristal est ortnorbombiquc.4° Des angles identiques se rencontrent dans deux zones
CHAPITREVI.MARCHE DU CALCUL CRISTALLOGRAPIUQUE. – DÊTERMtNATION
DU SYSTÈME. CHOIX DES AXES COORDONNÉS ET DE LA
FORME PRIMITIVE.
M,H!Cnn))t!CA).CLL. 5)
perpendiculaires entre elles, ou Lien on trouve dans une
même zone des angles de 90° le cristal est quadratique.Quant aux systèmes rhomboédrique, hexagonal et cubique,
leurs formes sont tellement caractéristiques qu'elles se re-
connaissent à première vue.
Il est pourtant des cas ou Ja détermination du système cris-
tallin devient très embarrassante. JI existe, en effet, un grandn ombre de cristaux qui appartiennent à ce qu'on appelle des
yb/Ke~ /K~<?.~ c'est-à-dire extrêmement voisines d'une sy-métrie supérieure; il faut alors des mesures très précises, e)
l'état d'imperfection des faces peut les rendre impossibles.
Lorsque la substance est transparente, l'examen des proprié-tés optiques (Chap. XVI) permettra presque toujours de lever
les doutes.
Une fois fixé sur le système cristallin, on procédera, lors-
qu'il s'agit de systèmes à axes inclinés, au choix des /.?/a/Mcoo/oM/tM qui serviront à calculer les dimensions de la forme
primitive. Théoriquement, on peut toujours, dans le système
triclinique, adopter pour plans coordonnés trois plans paral-lèles à trois faces quelconques aboutissant à un angle solide,
et, dans le système monoclinique, un plan parallèle à une
face quelconque faisant un angle droit avec l'un des deux
plans coordonnés rectangulaires et un certain angle go"avec l'autre. Mais, je l'ai déjà dit, les cristaux ne sont pasdes abstractions géométriques, ils sont des corps naturelssoumis à des lois d'observation; or l'observation nous montre
qu'il existe très souvent une remarquable similitude deforme entre substances appartenant à deux systèmes cristal-
lins fort différents et dont l'un peut être a axes rectangu-laires. ï) est même extrêmement vraisemblable, comme l'amontré M. ~a/~</Y/('), que le réseau cristallin est cubiquepour tous les corps, et que leur forme, quel que soit le sys-tème, se déduit très simplement de l'un des systèmes d'axes
possibles dans le cube. il suit de là qu'ii importe de choisir
toujours des plans coordonnés aussi orthogonaux que pos-sible, ce qui complique un peu les calculs, lorsque, aucune
(') ~«~t/i. le /f< ~'ocie'~c.y!c/'f<<og:<e/caMp~ t. yu, p. ;if)3.
52 MANUEL DtAUQLE DE Ct()SrAt.LOCHA!'U!):.
face existante dans le cristal ne satisfait à cette condition,
mais ce qui permet, en revanche, de trouver parfois de frap-
pantes analogies entre corps en apparence très dissemblables.
Des remarques analogues doivent être faites relativement
au choix, de ia/e ~)«</r<?. S'il ne s'agit que de décrire
une substance isolée, sans se préoccuper des rapports qui
peuvent exister entre sa forme et celle de substances simi-
laires, il est clair qu'il est tout à fait indifférent de prendretelles ou telles faces pour déterminer la longueur des axes
cristallographiques. On les choisira, par exempte, parmicelles qui se rencontrent, le plus fréfjuermnent dans l'espècedonnée ou qui sont le plus développées, ou qui donnent les
meilleures mesures, ou, enfin, qui correspondent aux direc-
tions des ctivag'es les plus faciles.
La direction du clivage est surtout intéressante à considé-
rer. On appelle c/A'<7-e cette curieuse propriété, particulièreaux corps cristallisés, de donner des cassures rigoureusement
planes, pouvant se répéter indéfiniment et parallèles à cer-
taines directions déterminées, constantes pour une substance
donnée. Le clivage a joué un grand rôle dans l'ancienne con-
ception de la structure des cristaux et a servi de base à toute
la théorie de 77c!M/; il a perdu quelque peu de son impor-tance depuis que nous savons qu'i! fait défaut la plupart du
temps et que des cristaux d'une même substance ou de sub-
stances isomorphes extrêmement voisines peuvent l'avoir ou
ne l'avoir pas. Il n'en est pas moins vrai que, dans les des-
criptions cristaltographiques, les directions de clivage doi-
vent être prises en sérieuse considération, et il faut toujours,a défaut d'autres indications plus précises, leur attribuer des
symboles aussi simples que possible.Mais le but des recherches cristallographiques est de mettre
en évidence les lois qui régissent les analogies et les diffé-
rences entre composés chimiquement comparables, et non defaire un simple catalogue de formes qui serait, scientifique-ment parlant, parfaitement stérile. Malheureusement, leschimistes négligent complètement la Cristallographie et aban-donnent l'examen de leurs produits aux cristallographes qui,ne s'intéressant que médiocrement a la Cliimie, ont depuis
longtemps pris l'habitude de ces descriptions arbitraires
~AXCHEDUCALCUL. 53
contre lesquelles on ne saurait trop protester. I! arrive sou-
vent que deux substances extrêmement voisines chimique-
ment et géométriquement, décrites par des auteurs différents,
sont orientées et notées de telle façon que toutes les ressem-
blances disparaissent et qu'il faut beaucoup de peine pour
les retrouver. En parcourant la longue liste des formes de
cristaux naturels ou artificiel, telles qu'elles sont décrites
dans les ouvrages classiques, il semble que leur variété est
infinie, mais une étude plus attentive montre que ces formes,
si diverses en apparence, se réduisent toutes à un nombre
très restreint de types, autour desquels elles oscillent. C'est
ainsi que dans tous les corps simples, les oxydes, les sulfures,
les azotates, chlorates, sulfates, titanates, sificatcs, carbo-
nates, tartrates hydratés ou anhydres, et quel que soit le
système cristallin auxquels ils appartiennent, on peut trouver
pour )a forme primitive des rapports d'axes très voisins des
types
/3 v~,
y~ t <,
Ici se place une question qui a longtemps préoccupé les
cristallographes. Les longueurs des axes des systèmes à axes
rectangulaires autres que le système cubique doivent-elles
toujours et nécessairement être exprimées par des valeurs Ir-
rationnelles ? Elle a été résolue affirmativement, car, di-
sait-on, si ces valeurs étaient rationnelles, elles seraient des
multiples ou des sous-multiples de l'unité, et l'on retombe-
rait dans le système cubique. Cette question perd tout intérêt
depuis que nous savons qu'il n'y a aucune barrière infranchis-
sable entre les systèmes cristallins, qu'une substance ortho-
rhombique ou même triclinique, à une certaine température
et dans de certaines conditions, peut, à une autre tempéra-
ture et dans d'autres conditions, devenir quadratique ou cu-
bique sans changer de forme extérieure et sans perdre son
homogénéité. D'ailleurs, l'existence de formes /t/H~e.s' d'une
part, et de l'autre de formes /j.;eM~e'<KM composées de
5t1 J)AX(ELP!!ATfQLE))R<:)!fSTAL).0<;[tAf'!))t:.
plusieurs individus dont la symétrie est inférieure a celle de
leur enveloppe commune, comme dans le horacitc, le gre-
nat, etc., démontre clairement qu'il y a entre les divers sys-tèmes cristaHins des passages insensibles.
Le choix de la forme primitive n'est donc pas arbitraire, et
doit être fait de manière à rattacher la substance qu'ondécritau plus grand nombre possibte de substances analogues. i!
en résultera ainsi quelquefois la nécessité de considérer
toutes les faces observées dans )e cristal comme appartenanta des formes dérivées; mais cela ne présente, comme nous le
verrons, aucune difncutté pour le calcul, puisque tout se ré-
duit à un simple changement de caractéristiques.
Quelque soit le système cristaHin auquel nous avons affaire,
le calcul cristaiïographiquc comporte trois opérations dis-
tinctes et successives que nous allons passer rapidement en
revue, et dont on trouvera les détails dans les exemples des
chapitres suivants.
I. Détermination des dimensions de la forme primitive.
Ces dimensions sont données par les trois paramètres ou
axes cristaHographiques interceptés par une face ou un en-
semble de faces ducristal sur les trois axes coordonnés choisis,
l'un des paramètres pouvant toujours être pris pour unité.
Mais, pour trouver ces paramètres, il faut connaître la posi-tion des axes coordonnés, d'ou il suit que dans le cas le plus
générai, celui ou les trois axes font entre eux des angles
~90", on a cinq inconnues les trois angles <x, p, y des axes,et les deux paramètres a et c, puisqu'on prend b== i. A mesure
que )a symétrie augmente, ie nombre des inconnues diminue;c'est ainsi que dans le système monoctinique il n'y en a phjs
que trois, dans le système orthorhombique deux, une seule
dans les systèmes quadratique, hexagonal et rhomboédrique,et aucune dans )c système cubique dont les trois axes sont
orthogonaux et égaux entre eux.
Pour que le calcul puisse se faire, il faut avoir autant de don-
nées d'observation, c'est-à-dire autant d'angles dièdres me-
surés qu'il y a d'inconnues, et ces angles doivent être indé-
pendants les uns des autres. On choisira donc parmi, iesangtcs
'))AKC)!Hf)).'CALCLt.. 55
trouvés remplissant cette condition ceux qu'on juge les plusexacts: ce seront les <x~~7c.e'<a/~e/~<7~~qui devront seuts
être employés dans le calcul, tous les autres ne servant quede contrôle. On aura soin de les marquer d'un astérisque
pour éviter toute confusion et faciliter la vérification du calcul.
Les angles fondamentaux, de même que tous les autres an-
gles mesurés, seront inscrits tels que les donne le goniomètrede réflexion, c'est-à-dire comme supp!émcn!s des angles
réels, car c'est sous cette forme qu'ils se présentent le plussouvent dans les triangles sphcriques qu'il s'agira de ré-
soudre.
Si l'on dispose d'un grand nombre de mesures également
satisfaisantes, ce qui n'arrive malheureusement pas souvent,il importe de faire parmi elles un choix judicieux, car la con-
naissance de certains angles simplifie beaucoup )e calcul
dans les systèmes à axes inclinés. Dans le système triclinique,on prendra toujours de préférence les angles d'intersection
des faces p, A' et parallèles aux plans coordonnés adoptés,et l'inclinaison d'une des faces octaédriques &, c, f/ choisie
comme primitive, sur deux des faces/?, /t', Les trois pre-miers angles donneront par la résolution d'un seul triangle
sphérique les inclinaisons 0:, p, y des axes, et les deux der-
niers avec un triangiespherique et un triangle rectitignetesdeux paramètres .a et c. Dans le système monoclinique, on
prendra l'angle pA' qui donnera immédiatement y, et l'incii-
son d'une face b ou ~considérée comme primitive, sur/? et~'ou p et A' un triangle sphérique et un triangle rectiligne suf-
nront alors pour avoir a et c.
II. Détermination des autres formes.
Le problème consiste à trouver tes longueurs des paramè-tres de chacune des faces autres que celles qui ont donne les
angles fondamentaux; les rapports de ces paramètres aux pa-ramètres de la forme primitive donneront les caractéristiquesdes faces. Le calcul est donc essentiellement le même quecelui des axes de la forme primitive, à cela près qu'on peutse servir même des angles qui ont fourni des mesures mé-
diocres, car ie rapport des paramétres devant toujours, en
56 MA?<L'K).ï'RAT)QHiD<:C!USTALLOf.RA['!f!);.
vertu d'une loi fondamentale de la Cristauograpbie, être ex-
prime par des nombres simples, on prendra )e nombre
simple le plus rapproché du rapport qu'on a trouvé.
On peut se demander que! est le maximum de Fécartpermisdans ce cas, car il existe des exemples incontestables, quoiquerares, de rapports de paramètres relativement très complexes.La question est assez déiicate et tout dépend de la qualité des
mesures qu'il faut savoir apprécier dans chaque cas particu-lier. Si les mesures sont mauvaises, on peut admettre un
écart qui porte sur la seconde décimale et prendre !e nombre
simple le plus voisin; mais, si les mesures sont relativement
bonnes, un écart aussi considérable n'étant plus admissible,il faudra se contenter d'un rapport plus ou moins complexe.Je suppose qu'on ait trouvé o,5g~ ou ,ag8. Dans le premier
cas, on sera autorise à considérer ces nombres comme étant
et~, )es rapports simples étant toujours plus vraiscmbiabies;dans le second on les prendra pour et
On pourra, du reste, le plus souvent, sortir d'embarras par!a considération des zones. Si la face douteuse se trouve sur
l'intersection de deux zones déjà connues, sa position est
parfaitement déterminée, et ses caractéristiques se trouvent
directement sans aucun calcul trigonométrique (p. 16). C'est
ce procédé si sur et si expéditif qu'on emploiera d'ailleurs
chaque fois qu'on le pourra pour la détermination des sym-holes des faces autres que celles qui ont servi à calculer les
dimensions de la forme primitive.
III. -'Calcul des angles.
C'est le problème inverse du précédent, II consiste à trouver
tous les angles qui se rencontrent sur te cristal en connais-
sant la longueur des axes cristatiographiques, leur positionet les caractéristiques des faces; en d'autres termes, à cal-
culer tous les angles observés au moyen des angles fondamen-
taux. ï) ne faut jamais négliger de faire ce calcul qui sert a
contrôler l'observation, et souvent aussi a retrouver des er-
reurs dans la détermination des symbotes. Il n'y a aucun
besoin de calculer <oK.!les angles parfois très nombreux d'un
cristal, mais on fera bien d'en calculer au moins un pour cha-
MAttOtEDUCALCCL. 5~7
cune des formes observées. On dresse alors un tableau de
tous ces angles en les groupant par zones; on donne ordinai-
rement dans ces tableaux, non plus les suppléments, mais
les angles dièdres eux-mêmes. On trouvera, dans le premier
exemple de calcul du système triclinique, la disposition ha-
bituelle de ces sortes de tableaux.
58 MA:\)EL t'RA'HQLE UK (:)!!STAf.LO(;)!AP))));.
Ce système est caractérise par trois axes a, b, c de lon-
gueurs inégales et faisant entre eux des angles plans ab = e<,
bc~-(3,ac==y constants pour une même substance, maisessentiellement variables d'une espèce chimique à l'autre.
Les trois plans coordonnes, :-=(o o), =:() oo) ct/=(oo ;),
qui passent par ces axes, font entre eux trois angles dièdresA =- /t' B =/ C L-=~A', différents entre eux etdes anglesK, p, (P/. y< )';). On voit de suite qu'un polyèdre rap-porté a de pareils axes ne peut posséder aucun plan de symé-trie susceptible de Je diviser en deux parties semblables.
Il résulte de là que, ()aus ce système, les formes simples sont
réduites à des couples de faces paraHeics entre elles, et quetoute forme prismatique ou pyramidale est nécessairement
une forme complexe. C'est ainsi que dans la )8 (P~. /) les
faces &~(/t/.7), c=;(A~, ~-i (/), /(A/), quoique
appartenant au même octaèdre, sont toutes différentes, puis-
qu'elles se rapportent a des axes et a des plans coordonnés dif-
férents, ies angles A, B, Cet M,,3, étant tautût aigus, tantôt
obtus.
La même remarque s'applique au prisme de la )o,
puisque les deux axes horizontaux, faisant entre eux un ang'eK et les deux plans coordonnes un angle A, ne partagent ni
i'ang!e plan de la base, ni l'angle dièdre /~< eu deux parties
égales.
CHAPITRE VII.
SYSTEME TfUCUXtQUE.
(~M/'<<~Ke, ~f.t)-mc<c, ~.y/e<«/e, <e/06Y<fyMe, ~'<c/<
/M~Kt'iwe o~<e/<fw .MC~)/i'Me doublement
n~~MC.)
SYSTh.~)!T)tfCr.(!<!QLE. 5~
Cela étant, il est tacite de trouver, en partant soit du
prisme, soit de la pyramide, toutes les formes simples possi-bles dans le système triclinique.
Si nous partons du prisme (Pl. )<)), comme on te fait
habituettement, nous voyons quet° Les huit arêtes horizontales sont de quatre espèces, b, c,
~yet leurs parallèles. En les tronquant suffisamment pourfaire disparaitre les faces prismatiques, on obtient t'octaèdre
de la /< 18, dont, chaque face coupe les trois axes à la
fois.
2" Les quatre arêtes verticales sont de deux espèces, les
unes correspondant a l'angle obtus, les autres à l'angle aigudu prisme. En les tronquant, on obtient une forme prisma-tique dont les arêtes sont parallèles aux axes, et par consé-
quent les faces aux plans coordonnés (~ a:). Chacune des
faces se trouve ainsi couper l'un des axes et être parallèleaux deux autres, et leur symbole est ~== (010), /= (ioo),
/~==(00]).3° Les huit angles solides e, i, o et Icurs opposés sont
de quatre espèces, car ils correspondent a des arêtes et des
angles plans différents. En les tronquant, on obtient une py-ramide (yi~ 20), dont les faces seraient tangentes aux arêtes
culminantes de la pyramide (y~ i8). Chacune de ses facesest parallèle à l'un des axes horizontaux et coupe les deux
autres. On a ainsi a= (Ao7),e ~o/), (o~), ~=~(Ao<).Si l'on réunissait toutes ces formes simples sur un même
polyèdre, on aurait la combinaison de la y?~. aa. Toutes
les faces de ce polyèdre complexe ont les mêmes axes a, b, c:leurs caractéristiques peuvent donc être prises =), et elles
deviendront f<=(!0)), e'=(o<J), <=(oif), ~(tor),
/~=:(ii7), ~:=-:(i.7)'), ~~(f'ii),=(n)), A'()oo),
.=~ (o 0), =r (00 t ), () i 0), ~=(l f 0).A côté de ces formes /)/'</M/<'<'('e.il existe une série de for-
mes r/e/wcM pour lesquelles la valeur des paramètres est nactmc.
Ici trois cas peuvent se présenterf" L'axe vertical c seul a varié, en devenant, me. Les axes
horizontaux a et b conservent leur valeur. Ce cas ne peut se
Go ~A~'UKLI'RAT!QLEnHf:!t)STA).LOG)iA)'nH!.
présenter qoe pour les formes pyramidales tronquant )es
arêtes horizontales ou les angles solides du prisme primitif.Les faces nouvelles sont évidemment en zone avec les faces de
la forme primitive et la base; elles gardent les mêmes signes
distinctifs, et leurs caractéristiques seules changent. Au lieu1
de'=~(tit),onaf/=())2)ou'('<2[),au!icudei
a'=:(ioi),oua,f<~=r(20<),etc.
2" L'axe vertical étant ~.cc, j'axe a est devenu na, l'axe b
restant = Ceci se présente pour tes faces prismatiques
qui coupent l'axe antérieur plus près ou plus loin de l'ori-
gine que les faces w et t. On désigne de sembiabtcs formes
parA-(/t/f)) et ~/<~=(/<7o) si n est <;i ou /'> et. par
gx= (hko) et xg (/o) si n > ou /<< Les faces -'7; et
~sont situées a gauche dn côte de/ics faces/<'et .y~ail
droite, du côte de t. Il suffit de se reporter aux/ )o,a'(/),pour comprendre que les faces et ~7; tronquent les arêtes
ou /?t~, et [es faces et tes arêtes ou /?! Toutes
ces faces prismatiques se trouvent donc en zone avec les faces
des deux prismes primitifs /M<et /<3° Les trois axes sont devenus na, me, b restant r. On a
ainsi des faces octaédriques, puisqu'elles coupent les trois
axes à la fois. Mais ces faces ne se trouvent plus dans les'lit 1
zones ~e~,< comme les faces e~,
puisque leurs arêtes horizontales, dont la position dépend de
la longueur des axes, ne sont plus para!)è)cs. Si l'on transporteces faces sur le prisme primitif de ia /?. )Q, on voit aisément
qu'eHes tronquent ses angles solides en interceptant des
longueurs différentes et variabies avec les vatcurs de m et
de n, sur chacune des trois arêtes qui aboutissent a ces
angles (y'e' ~)- ~s les appefierai, pour simplifier te tangage,
desy~ce.! oc/~e~MM </o«~/<?/Ke/~ <c/'<e'e. Leur position est
ainsi intermédiaire entre les faces b, c, c/,yqui tronquent régu-lièrement les arêtes, et les faces a, o, e, i qui tronquent régu-lièrement les angles. Pour indiquer ce caractère particulier,onécrit leur symbole par trois lettres appartenant aux trois arêtes
interceptées. La~ 2.3montre que ces faces sont au nombre
de huit, puisque sur chacun des angles elle peuvent être incii-
SYSTiiMHTtHCU~QU!. 6fr
nées à droite ou à gauche. Leurs symboles serontdonc
(~)~ (~A')~v
(~<(/)f./<
(/)~(~7'/)f;/< A.
(~C')-(/t/ <)= ;/<) t
(rwL?lr~J-(%rll),' (o.j-y%rl,l)~(r-)-(/)' (f~f~J
<jénéra!cmcnt,pour la commodité de ta description et pourla désignation des faces sur les figures, on donne à c))acune
de ces formes une lettre particulière, autre que celles qui
servent a noter les formes primitives. On écrit, par exempte,
(r~)=:M, ou toute autre lettre de l'alphabet )atin ou
grec.
I. – Calcul des éléments de la forme primitive.
Nous avons vu déjà que, pour déterminer les éléments nu-
mériques d'une forme primitive, il fallait, quel que soit le
système cristallin, connaître la position des axes coordonnés
auxquels on rapporte cette forme et les longueurs intercep-tées par ses faces sur deux des axes, le troisième pouvant
toujours être pris comme égal à i.
Or, dans ce système anorthique, et c'est ta le caractère
propre de ce système, les axes, et par conséquent tes plans
qui passent par ces axes, font entre eux des angles différents
qui sont presque toujours ~90" et qui varientd'unc substance
a l'autre. Nous avons donc ta trois inconnues, c<,,5, qu'ilfaut déterminer avant tout, ce qui complique singulièrementle probtème. Si l'on ajoute à ces trois angles la valeur des
axes a et c qui est égak'ment inconnue, et qui est égalementvariahte d'une substance a l'autre, nous avons c</<'yinconnues
a chercher pour déterminer les dimensions d'une forme cris-
tattine appartenant au système triclinique.
Pour cela, cinq données, cinq angles indépendants les uns
des autres sont nécessaires. Le choix de ces angles est par-fois fort embarrassant, car ils doivent toujours être pris parmiceux qui donnent les meilleures mesures, et il peut arriver
que ces angles soient précisément situés de manière à com-
pliquer beaucoup le caicu).
On déduit tout de suite de là qu'un cristal triclinique qui
<)2 MARCEL P!!AT[Q)JE DE CI!!STALf.O<;t!At')UE.
n'a que le prisme avec la base ne peut être détermine, puis-
qu'il ne donnerait que trois angles; qu'un cristal qui, outre
ie prisme et la base, possède encore dans ia zone prismatiqueune face A' ou ou même les deux à ia fois, ne peut être
détermine non plus, car il ne donne que quatre angles indé-
pendants qu'il faut, pour que la détermination soit possible,
qu'il existe encore une face tronquant l'une des arêtes hori-
zontales ou l'un des angles solides du prisme.On commence par chercher si, parmi les faces du cristal,
il n'y en a pas qui puissent être prises pour plans des axes; il
suffit qu'il y ait pour cela deux faces prismatiques et une troi-
sième face plus ou moins inclinée sur elles. En effet, les plansdes axes, c'est-à-dire les faces A', et~, faisant entre eux dans
le système triclinique des angles quelconques, trois faces
quelconques formant un angle solide peuvent être choisies
pour plans coordonnés et recevoir pour symboles A', Les
angles x, p, y sont ainsi immédiatement trouvés par la résolu-
tion du triangle sphérique A, b, C (7~ /o. '7)' dans lequelon connaît A-=/< B r~ et C = /<?. De pareilles faces
peuvent, il est vrai, être presque toujours trouvées, mais il
importe, comme nous l'avons vu au chapitre précèdent, de
choisir pour la position des axes des plans qui fassent entre
eux des angles aussi voisins que possible de oo".Une fois les plans des axes trouvés, soit directement, soit
par le calcul (comme dans le second exemple), on peut évi-
demment les placer de différentes manières par rapport a
l'observateur; on convient généralement de les tourner de
façon que l'angle /)~ soit aigu a droite, et l'angle/?A' obtus
en avant (/<e, 21), l'angle /<'o'' droite étant tantôt aigu,tantôt obtus.
Il suffit maintenant de connaître l'angle qu'une face pris-
matique quelconque, autre que A' et fait avec l'une
de ces deux faces, pour trouver la valeur de l'axe a. En effet,en resolvant l'un ou l'autre des deux triangles sphériques
(Pl. y~. a5 et 26), dont la position est indiquée sur la
y< '~4, et dans lesquels nous connaissons~ < c: ou/<
<A', p ('), nous avons 7 ou o'. <Jcs triangles nous permettent
(') Les ang)es<g-'c),<A'sont. tes suppléments des angles dièdres.
SYSTÈMETtiICDKfQtE. 6~
de calculer du même coup l'inclinaison de t sur la base
Ayant T ou o-, nous pouvons résoudre le triangle rectiligneformé par les deux axes horizontaux et l'arête du prisme
qui les coupe (/< 3o), puisque nous connaissons c<, (oo c)etb-r.
Pour calculer l'axe vertical c, il nous faut maintenant une
face coupant cet axe, et un cinquième angle donné par l'obser-
vation. Supposons que cette face soit une face se trouvant en
zone avec p et~, ce sera alors une face/(.P/ 18 et 82), et
que nous ayons mesuré l'angle/y ou ft. Si nous avons/y, dans
le triangle sphénque (/i~. 33) dont la position est indiquée(/'j. 33), nous connaissons y~' et fp, nous calculerons
Ceci nous permet de résoudre le triangle rcctiligne (/ 3<)dans lequel y et a sont donnés et d'avoir ainsi c. Si au lieu
de/y on avaitft, il suffirait de retrancher cet angle de l'an-
gle <y que nous avons calculé plus haut, pour avoir/y, etretomber par conséquent sur le même triangle sphcrique.
On pourrait tout aussi facilement déterminer la valeur de
l'axe c, si, au lieu d'une face f, on avait une des faces o,a se trouvant dans la zone /<y ou une des faces c, i se trou-
vant dans la zone ,y. En connaissant l'angle oA' ou o/) au
moyen duquel on peut avoir o/< puisque o/A'~–oy,on calcule le triangle sphérique de ta/ 36 et dont la /'o. 35donne la position. Dans ce triangle, on a comme données
o/t* et j3, on cherche p.. Cet angle plan connu, on re-
tombe sur le triangle rectiligne de Ia/3i et l'on a l'axevertical c. Dans le cas d'une face a, on procéderait de lamême façon, en prenant naturellement les suppléments des
angles et y (7~ 77, 3~ et 38). S'il s'agit d'une face i,en connaissant l'angle on résout le triangle sphérique(/~ 39 et ~o) dans lequel A'y', </<' et y sont connus; on
trouve Tr, qui nous permet de déterminer c dans le triangle
rectiligne (Pl. 7, 34), puisque nous avons ,3, et l'axeb = i. Même calcul pour e, sauf pour l'angle A' dont nousdevons prendre le supplément (7'V. Il, ~j: et ~a).
Telle est la marche la plus simple du calcul pour la déter-mination des éléments d'une forme primitive du systèmetriclinique. Mais une pareille marche peut être rarement
suivie, soit parce que quelques-unes des faces nécessaires au
64 NAXL'f;LPHATtQUËUE OUSTAH.OURAPtHH.
calcul manquent, soit, ce qui pratiquement revient au même,
parce qu'on ne peut obtenir des mesures suffisamment, pré-
cises des angles indispensables.
L Supposons que les trois faces A', font défaut toutes
les trois, ou ne se prêtent pas à de bonnes mesures, que le
cristal ne possède que quatre faces prismatiques /n, < et
quatre faces octaédriques t/, (/ /i3). Nous recon-
naissons immédiatement la symétrie triciinique par la diffé-
rence des angles 7?:< et tf qui devraient être rigoureusement
égaux si ia forme avait un plan de symétrie partageant
l'angle /H< en deux parties égaies, et si les axes a et c fai-
saient entre eux un angle droit. Cinq angles nous sont don-
nés :<,<y, et <f Le triangle ~V.< .'i.), dans lequel nous con-
naissons les trois angles, nous donnera le cote qui est t'angk'
plan de )a face t.
Le triangle (Pl. Il, /t, ~6, /iy), dans Icqucf les trois
angles sont également connus, nous donne le côté qui est
l'angle plan de la facef.
3" En rapportant le cristal à ses axes (Pl. 48), on
voit que la connaissance des deux angles plans et .s nous
permet de trouver de suite l'inclinaison de f et de t, sur
le plan En effet, le triang!e spberique (/ /y. /)8. 5o)dans lequel nous connaissons et nous donne/ < et
le coté N = ((Pl. ./7. 31).
/)" Ces données rendront possible la résolution du triangle
sphériquc (/ /8,5f), dans lequel on a //?~< – <
f/=:<– et on trouve ainsi
5" Cela fait, on résout le triangle (/V. 49, ~4) dans
lequel on a clf, r et on cherche fp et <? et T=~r-t-T',c'est-à-dire l'angle plan de la hase.
6" H reste maintenant, a résoudre le triangle (/
y~. ~(), 55) dans lequel y~ y~ et sont donnés; on cal-
cule et l'angle
Nous avons ainsi ce qu'il nous faut pour calculer les
éléments de la forme primitive. En effet )"N–=y:2° T – 7 ~=T'. La connaissance de ? etT' nous permet de trouver
SYS'fiiHETRICUNiQL'E. ')5
!x':=~)8o°– c< d'âpres ]a formule
('~sin~'sin-
(A) tang~(.),
SJI]('t: :)
et par consc(~tcnt l'axe a (.A~. 3o).8° Les angles et nous permettent de calculer l'axe c
(~. 3.).
g'' Enfin cl et l'angle dièdre nous permettent de cal-
culer les angles f}=~ C-=/t'~ et l'angle p)an (/ l,
17).
2. Si, au lieu des faces octaeddques le cristal présen-
tait les faces f<et o ou les faces e, i, les calculs seraient tout
aussi faciles.
a. 6'fM de o et <-<(/ y< 6!). /~o/t/!cc~ /M/, oa, «/
o<, a<.
f" Le triangle sphérique (y<o' 66, G~), dont les trois angles
sont connus, nous donner, l'angle plan de la face <.
2" Le triangle (y(y. 68, G<)), dont les trois angles sont éga-
lement connus, nous donnera l'angle plan de la face o.
3° Le triangle (/j. 6t, 63), dans lequel sont donnes~,
et o~, nous fera trouver l'angle plan compris entre t'arete
(') Cette formuje très commode, qui acte proposée par Kupncr et qui
s'applique tout aussi bien au catcui de et'en remplaçant T et T'par T
etT:'ou;j.ct;J.ouengencra!auca)cu)detoutang)eque)csdiagona!es
d'un rtiomije font, entre cHcs, au moyen des deux ang)es adjacents à l'une
de ('es dia;,ona)es,sededu!taisement. Dans )a/<30 (/), on a mani-
festement tsinT't' sinT'
',n7(x~'Y)"Sjn(ï-T')
Eu de\c]oppant les expressions sin(x–ï) et sin(x--T'), on a
sin(x–T)-:sinxcosT-cosxsin'
sin(x-T')~sin'xcosT:–eosxsinT\
En divisant par cosxctresotvant par rapporta tangx,i) tient
'tsini'sin':
~(~y
On voitqucxestd'autantp)us grand que ~'–T est plus petit.
j'
()f) MAXL'ELt')tA'nQL'EDM(;)<)STAU,OG!tA)'tH)!.
fja et t'arete<w, c'est-à-dire Fang)e,3 que )'a\ec fait avec
i'axeb; nous trouverons égatement~A'€<<
4° Un triangle scmij!ah)e au précèdent, piace sur l'autre
ang~eso)i(te(/()), Ça), et dans tequet on connaît ,3,t'et
/M/<–</< nous donnera.7'.
5" (Connaissant~'et.~f' nous trouvons paria forrnu)e(A)
rang)cp)ano,queia trace du p)an.fait avec l'arête oa
(/ 70).()"<Cet ang[c va nous permettre de caicuter~ i'angte
A ~i' et l'angle o~' en résolvant. le triangle (/ 7', y~)
dansiequc) on connaît. p,o et o/
Nous résolvons ensuite te triangle (/ ~-f, ~2) (tans le-
(niei nous connaissons ~a, et o, et nous o~cnons
M =~:p. ;j.8° Ceci nous donne par la formute (A) (p. C.'i)( 3 !).
g" ~ous avons ainsi~ et. !'ang[eA~/i\ nous pouvons
donc trouver H;(C-:=/< et, s<(/ [~).
fo" Nous calculerons facilement le rapport des axes- puisque
nous connaissons y et Pour avoir t'axe a, nous résolvons le
triangle (7~ 3~ et. a5), (tans lequel on connaît y,et <A'–<A'; on catcuie qui nous permet de trouver
t'axe a, puis(jue nous connaissons en même temps « et b )
(. 3o).
C''7.s'~e e et i (/< /7,y< ';G). /)c)/tces' 7?t<, ei, et,
</?t. – On procède a peu près comme dans le cas précèdent
f" Le triangte (y~ 77, 78) donne. ang)c plan de )a face <.
les trois angics dièdres étant connus.
a''Letriangte(/t'79,8o)donne/angtcptandeiaface/. i.
les trois angles dièdres étant cgafemcnt connus.
3" Le triangle (/ 8t, 8a) donne /,y' et, < connues
/Ct/<.
~t' Un triangle scmb)a])!c au précèdent. (. 83, 8/)), et
p!ace sur !'ang)e postérieur du cristal, nous donne ic se-
cond ang!e plan de la face i, ics angles connus étant <,y',
/M~'=-M<–<Ct.y.5" et, nous permettent de ca[cu)er i'angte plan o que la
trace du plan A' fait avec l'arête et (/f. 8j).
SYSTEMTfUCUNtQLE. ~7
6° Le triangle (~. 85, 86~') permet de calculer 7:, A -=:/<
et /< sont donnés y et o.
7° Le triangle (y7~.85, 86) dans lequel/e,tA'et o sont
connus nous donnera P = n -i- ?t' (7~ /<j. 3~).
8° Connaissant et 7! nous calculons par )a for-
mule (A) (p. 65).
9" Nous connaissons maintenant A=-A' et nous
pouvons donc calculer B~y~ G– A'~ et a' (7- <~).10° Le triangle (y<3/i, 9.5), dans lequel nous connaissons/,
et nous donnera T et par conséquent l'axe a (~. 3o).t° Le triangle rectDignc (y<o'.34), dans lequel 77, et b~ i
sont connus, nous permet de calculer l'axe c.
3. Le cristal peut ne présenter aucune face prismatique ou
ses faces prismatiques peuvent n'être pas mesurables. On a
alors huit faces octaedriques de la forme b, c, c/, /(/
/f'y. t8) ou de la forme a, e, i, o (/ y~ 20).
a. Cas de b, c, < Z'o/Me.?.' y&, f/&, &c,yc.i" Le triangic (/ 7/~ yt. 8-7, 88) nous donne s, angle
plan de la face~, les trois angles étant connus.
a" Le triangle (. 8f), 90), dont les trois angles sont éga-
lement connus, nous fait trouver angle plan de la face &.
3° Le triangle (/ 9;, 32), dans lequel/ s et fb sont
connus, nous donne /.y', et N ( P/. //j. 3 ) ).
4° Le triangle (~ 93, 9~), dans lequel nous avons les
deux angles c~c&–&y et <–y~ et le côté N,
donnera s', angle plan de la face <
5° Le triangle (~95, 96), dans lequel on trouve T=-:T-r-~
(7~. 7, y?~. 3o) et t/y, et .f' étant donnes.
6" Connaissant fp et .?, on caiculc dans le triangle
(/32,33),~et.n~Nous avons ainsi et T'=T– nous pouvons donc cal-
culer par la formule (A) (p. 65) l'angle plan e<queues axes
b et a font entre eux.
8" Nous avons également et =N la même formule
nous permet de calculer y, l'angle plan des axes a et c.
9" Connaissant y~ et c<, nous calculerons facilement
A = A' C = et .3 (. 7 ).)o° L'axe a se calcule aisément dans le triangle rectiligne
68 MAXLELPRATIQUEDE CtUSTALLOGRAPHtE.
(/ 3o) dans lequel on a c<,r et b f. Le rapport cles axes
se trouve dans le triangle recliligne (/ 3)) dans lequel
et'sont donnés.
6. Cas de a, e, i, o. Un octaèdre ainsi formé ne se
distingue, nous l'avons vu, de l'octaèdre précédent qu'en ce
que chacune de ses arêtes horizontales, au lieu de couper les
deux axes horizontaux a et b, n'en coupe qu'un, étant paral-lèle a l'autre. La marche du calcul est donc fort semblable a
celle que nous venons de suivre.
DoMMCM ai, se,ao, t'o, e o
t" On commence par calculer les angles plans des faces r<
et o, comme on l'a fait précédemment pour les faces/ et
Pour cela, deux triangles sphériques sont nécessaires, qu'on
place sur l'angle solide supérieur ou inférieur. Ces deux trian-
gles seront i" oa, o<, ai (Pl. V77,y~ gy, Qg) dont les trois
angles sont connus et qui donnent R =~ – et (/ 2" e/,
eo(yf' 97, g8) dont les trois angles sont également connus
et qui donnent Q = </-i- <y' et r'.
2" Avec q' et = Q < nous calculons o, l'angle plan quela trace du plan fait avec l'arête o<r<(formule A, p. 65).
3" Avec et /=H– nous calculons < l'angle plan quela trace du plan fait avec l'arête ei.
/i° Le triangle (~.97, 100) dans lequel nous connaissons
oi, M=: t8o° – (? -(- o) et ~==180°–(/}- o'), nous donne o',
o~et~.5° Le triangle (y~. gy, 101), dans lequel « (supplémentde
celui que nous venons de trouver), 3 et op sont donnés, nous
permet de calculer et~6° Le triangle (y?o'. 97' 'oS), dans lequel on a /?~ (supplé-
ment de celui qu'on vient de trouver), ap = oa op eto:,donne
7° et nous donnent l'angle y (formule A, p. 65).8° Avec /?~ o: et y nous calculons A==/y', C=:A'
et~(P/.7~.i7).
9° On aura le rapport des axes puisqu'on connaît et y
(P/.7,3~.10" On aura l'axe c en cherchante dans le triangle (~
SYSTÈME TRtCDXtQCE. 6()
1 1 1g' 102), dans lequel on connaît, )8o – (y – ~), x et
ogl. Il ne restera plus qu'à résoudre le triangle rectiligne(/ 82), dans lequel 3, 7r et b t sont connus.
4-. I) peut se faire enfin qu'une ou plusieurs des faces donton est obligé de se servir pour le calcul appartiennent à desformes dérivées. Dans ce cas, la marche à suivre reste essen-tiellement la même, mais i) faut, au préa)ab!e, déterminer fe
symbole des formes dérivées dont on se sert.
Soit, je suppose, un cristal de la forme de ]a/ to~(~).]
dans!eque!Iafacc/" est peuréftéchissante, tandis que la face x,qui n'appartient évidemment a aucune forme primitive, puis-qu'elle ne se trouve dans aucune des zones pt, pm, /~p, ~yt
(/ 7, fig. 22), donne, au contraire, deux bonnes mesures
et nous avons de plus hp, < Ces trois cler-niers angles nous permettent de calculer par des procédés
que nous connaissons déjà les angles A, B, C, c<, j3,et l'axe horizontal a. Pour avoir l'axe c, on procède pourla face x comme pour la face f (p. 63, /,y7j. 32, 33).On obtient ainsi qui, avec y, donne la valeur de l'axe
vertical (. 3i). Mais cette valeur n'est plus c, elleest me; on trouvera rn, qui est toujours un nombre en-
tier ou fractionnaire simple, en calculant c d'après tesmc-i t
sures approximatives des angles et et en divisant
la première valeur par la seconde. On aura ainsi = m. Si
la face ou toute autre face octaèdrique appartenant à laforme primitive manquait complètement, on serait évidem-ment obligé de prendre l'axe vertical calculé avec la face x
comme égal à c.
I! est toujours bon, avant de procéder à la déterminationd'une forme cristalline, de dessiner approximativement sa pro-
jection stéréographique, alors même qu'on ne se servirait pasde cette projection pour le calcul. Cela permet de mieux saisir
l'ensemble des zones existantes et de trouver parfois, du pre-mier coup d'œi), le système auquel appartient )e cristal. H est
plus avantageux de projeter le cristal sur la base de façonà avoir les faces prismatiques sur le grand cercle qui limite le
~0 HAXL'EL P)tAT)QCK DE (~USTAf.LOGHAPiH);.
plan de projection de la splière; on aperçoit ainsi plus facile-
ment la position relative des diverses faces de la forme primi-tive et le rapport des diverses zones qui les relient. La
ai/t (Pl. V) représente une semblable projection sur
laquelle sont portées toutes les faces (le la forme primitive
(/< ~a); les arcs qui relient les faces indiquent les
zones dans lesquelles ces faces se trouvent. En se reportanta ta M, cette projection se comprend tout de suite et n'a
pas besoin d'autre explication.Il nous reste a examiner la place que doivent occuper dans
la projection les diverses formes dérivées.
l'ourles faces ~A et A- l'axe antérieur n a est p) uspetit quel'axe a de la forme primitive; elles font par conséquent avec
la face A' un angle plus obtus que la face /K et t. En se rappe-lant que, dans la projection sptiérique, les pôles des faces font
des angles supplémentaires des angles dièdres vrais, on voit
que les pôles de -< et de doivent se trouver quelque part,entre /<' et t et entre /<' et
On arrive par le même raisonnement à placer tes faces
et dont l'axe na est plus grand que l'axe a, quelque partentre t et ou entre m et
Les faces ax, e~, /o~ sont situées, nous l'avons vu, enzone avec <r<j', e'/?, ilp, o' ou, d'une façon plus générale,dans la zone ils seront donc quelque part sur les cercles
/?~' ou~A', entrer et a', el, il ou c'' si leur axe me est plus
petit que c, ou entre et <'< el, il ou o', si leur axe me est
plus grand que c.
Les divers octaèdres c~, que nous avons trouvési i_
dans la zone de/ c~, < ou, d'une façon plus gé-
nérale, dans la zone de /? ou </), seront quelque part sur les1 1
cercles et mp, entre p et c~, < ouy' si leur axe met 1 i
est plus petit que l'axe c et entre /Mou t et c\ ou si
tour axe me est plus grand que c.
Quant aux faces octaédriques a symboles complexes (p. 61),
dans lesquelles les deux axes peuvent être différents des axes
de la forme primitive, on conçoit que leur situation doive être
beaucoup plus variable, et tout ce que l'on peut dire a leur
SYSTi!))E[MC).)~QLE. ~f
égard, c'est, que les quatre premières se trouvent quelque
part dans l'intérieur des deux triang!es opposés /?/,)/ ou des
deux triangles opposés < que les quatre dernières se
trouvent quelque part dans l'intérieur des deux triangles op-
posés ,yw ou des deux triangles opposés Leur situa-
tion se détermine d'ailleurs le plus souvent d'une façon très
simple par l'intersection de deux zones appartenant à des
formes plus simples.H nous faut montrer maintenant comment les calculs peu-
vent se faire sur cette projection. On sait que les faces y sont
représentées par leurs pôles, c'est-à-dire par des points; il en
résulte que dans les triangles sphériques qu'on trouve sur le
plan de projection j" les angles correspondant aux côtés
des triangles que nous placions précédemment sur les an-
gles solides correspondent aux angles plans des faces; les
côtés correspondent aux angles dièdres. On se rappelleraaussi que tous les angles sont ici supplémentaires des anglesréels. C'est ainsi que dans le triangle ~/< (/ at/i),
p=()8o–x), /o8n–~), ~<'ti-io–-j'), /a'(t8o–A),
(t8o – B),), = (180 – C).
Nous savons d'autre part (p. ao, Pl. 7, t )) que, dans cette
projection, les axes a, b, c, qui sont parallèles aux arêtes d'in-
tersection des trois faces A', p, percent la sphère en trois
points qui sont les sommets d'un triangle sphérique po-laire du triangle A'j. Il s'ensuit que /<=ab'==c!,
/)/<==bc== ,3, /?j'/<'= ac .==y. En reliant ces deux trian-
gles par des cercles, on voit de suite que
a~ = a/) = bp = b/ ==c~' ;= c/<' go".
que, par conséquent, les angles
c/~g' i-=b/ a,/)~' = ')'
Le problème se réduit donc a résoudre directement ou in-
directement le triangle /y, dont les angles nous donnent
l'inclinaison des trois axes entre eux, c'est-à-dire c<, y, et à
calculer la distance du pôle d'une face octaédrique ou de deux
~3 MARCELl'RATtQCE))E CtUSTALLUGRADtit:.
faces prismatiques quelconques de la forme primitive aux
pôles des axes a, b, c.
Prenons pour exemple la projection du cristal (/ /6t)
que nous avons déjà calculé et dans lequel on a mesuré w<, oa,
onz, ot, a< (7~. ~y7~. 20'~). Les faces/), q"i n'existent
pas dans le cristal, mais dont il faut connaître les angles pour
calculer les axes, sont mises entre parenthèses sur la figure
Le triangle 7?to/, dans lequel on connaît les trois côtés,
nous donne l'angle o</M.
2° Le triangle f<o<, dans lequel on connaît également les
trois côtes, nous donne l'angle <ïo<.
3" Le triangle oht, dans lequel on connaît ~/(=. )8o–ao<,
o~Aetlecôtéo~, nous donne l'angle o/<< et les
côtés oh et /t<.
4° Dans le cercle de zone ayo/t' nous connaissons <?/
oa et par conséquent A'a =-(; 80°– <<); nous calculerons donc
hp avec la formule (H), p. 3o.
5° Dans le cercle de zone /M/y nous connaissons <A et
M/i~r~K– <A; nous calculons ainsi /<~ [formule (A), p.3o].6" Dans le triangle ~y~ nous connaissons maintenant
l'angle ~=:{3 et les côtés /.)A et Aj; nous pouvons par
conséquent calculer et les angles y~/t~ et y/?/t==
7° Pour avoir la valeur de l'axe a (b étant pris il nous
faut avoir la distance du pôle de la face t, par exemple, aux
pôles des axes b et a (~ i~i). On les calculera par la
formule ta (p. 34).
8° La formule Iï~ nous donneraet par conséquent c. Si
l'on avait la face i au lieu de la face o, on calculerait c par la
formule Itl~. Si l'on avait une face f, on calculeraitpar
la
formule JV~ (p. 3~).
Le cristal peut enfin n'avoir, comme dans le cas 3, a (p. 6y),
que des faces octaédriques. On commence alors par résoudre
la série de triangles qui permettent de déterminer/ A,
hp et par conséquent e;, p, y (/ T~yï~- 2i4). On supposera
que, dans la figure, toutes les faces, autres que A, y, c,
d, f, sont supprimées1° Le A c~ dont les trois côtés sont connus et dont on
cherche les trois angles;
SYSTÈME TMCUKfQLE. y3
a" Le A dbf dont on cherche les deux angles <& et,
3" Le A <r/&cdont on connaîtdcux côtes, f/~ et c~ et t'angte
<c ~y -}- e On cherche l'angle f/c &4" Le A cp f dans lequel on connaît le cote c/ et les deux
angles /)/e~e et ~c/c/–<c~. On cherchera fp et
i'angte c~5" Le A f//A dans lequel on connaît f// et les angles
~/A =; i8o"– ~/e et /~A t8o"– On trouvera//<;6° Le A /dans lequel on a/ et/A, et l'angle
~<~t8o°-&
On trouvera hp et les angles phf et /</?/,
7° Le A c/j dans lequel on connaît le côté cf et les angles
/Cc'' == '80°– &c/ et c/y m t8o" – ~/e, donne!'a/8" Le A //<~ dont les cotes/ //< et i'angte ~ï~=f//c
sont connus. On trouvera A~'eti'angte/A.
g° Le A/j/dans lequel nous connaissons~ A, A~et, i'angle
pA~:=~A/==p, nous permet (le catcuter~ 6;ety.Nous avons en même temps les é)ements nécessaires pour
ca]cule)' les deux axes a et c. En effet, nous avons t'anglc
/~A et par conséquent/–/yA; la formule !V/,
nous permet donc de calculer D'un autre côté, nous avons
l'angle et par conséquent/y.y~=/– Nous cal-
cuterons ainsi a par ia formule
II. Détermination des symboles des formes dérivées.
Nous savons (p. 55) que le prohtcme consiste à trouver Je
rapport entre les paramètres de la forme dérivée et ceux de
la forme primitive; on détermine ainsi les caractéristiquesnaa
et me b étant pris pour unité. Il 1 1n= et m~- –~ b étant pris pour unité. Ii s'agit donc dee
calculer, pour chaque forme dérivée, les axes na [ me en
suivanttaméme marche que celle qui a été suivie pour calculer i-
les axes de la forme primitive. Supposons que, dans le cristal
(/77,/t.6T), il existe, outre les faces <, o', «', des
faces o- ay (Pl. /7. to8). Pour les faces et
parallèles à l'axe vertical, il n'y a qu'a trouver n a et la marche
~4 MAXLEL!'[!AT)QLËDECR)STALLO(,)tA!')U);.
a suivre est en tout point semblable celle qui nous a servià trouver l'axe a du prisme W/.
Si, dans la/ a~ (Pl. /), on remplace wpar ~et, dans la
y?~. a~i, par il suffira pour résoudre tes A (/ a8 et a5)dans lesquels on connaît et. d'avoir encore et /t'Nous ne pouvons pas mesurer directement ces angles, puis-
que la face n'existe pas, mais nous mesurerons -M et /<
et, comme nous avons trouvé par le calcul et /<<, nous
trouvons ~=~M- et /==<~+/~<. Ceci nous
donnera T ou* Nous connaissons d'autre part o; nous pou-vons donc calculer na et n'a; l'axe sera nécessairement plus
petit que a dans le premier cas, puisque ia face se trouve
entre t et et plus grand dans ]e second, puisque la face
se trouve entre /M et Je suppose qu'on ait trouvé n == 2
et n'=- les faces et seront ~o~(t2o)=: et
~}o~:(3)o)~/t~Pour les faces o~ et reportons-nous aux y< 35 (Pl. /)
et 3~ (Pl. //). Nous connaissons dans le triangle (~y. 36) /<~et {3; si nous avons mesure o-~o', nous aurons o~ puisquenous connaissons o'A. On trouvera ainsi ~j-ct, puisqu'on con-
mcnaît y, on peut calculer (. 3;), qui sera nécessairementnaît 011 peut ca cu
a ai), (lui sera necessalremcnt
plus grand que puisque la face se trouve entre o et /<
De même, en résolvant le A (y< 38) clans lequel on connaît
/y, p ctf~/<, car on mesure r<r<' et l'on connaît f<'A', on
trouve p.' et par conséquent –- qui sera nécessairement plus
petit que puisque la face se trouve entre f<' ct/j. Je suppose
que m -= et m' -=: 4- les faces seront –; o =; ( 3 o )= o~' et
<r~7o4 r~N".
Si le cristal possède des faces t-< ( //7, y/ t < t ) outrelesfaces/et prises comme formes primitives dans te cas 3, b (p.6G)
(~ ;6), tes A des 3c), 4o et 4', ~3 (~. //), dans
lesquels nous connaissons /<y, y et ou e~ que nous
obtenons indirectement, en mesurant < et e'e- nous don-
neront n, 7:' et par conséquent l'axe me ou m'c, puisque est
connu (/ 3.')). Il est facile de voir que toutes tes faces <
SYSTEMETfUCUKiQt'E. ~5~~)
et e, quel que soit leur symbole, peuvent être rapportées au
même axe b, et que seul l'axe vertical c varie. Nous avons
trouvé, par exemple, que m -= 7; et m' les faces sont donc4. 3
= of o 5 /i == <" et e~ o t § o 3 5
S'H s'agit de faces octaedriques, et par exemple
(Pl. na), nous résolvons )e A (~y7y. 4f), 55)dans lequel on connaît ? et si nous avons me-
j' jt '1me
sure/ on trouve ainsi et par conséquent le rapport a
puisqu'on connaît y (/ /< Si). On aura de même de
la face < en résolvant ie A (y/y. ~(), 33~") et en mcsu-1~
rant l'angle < Nous avons trouve, je suppose, que
m'~ et m' les faces seront /fr~~=223=: et;-1
~=f7-=/i43-=:On peut avoir enfin des faces octaédriques qui, comme la
face x (/ !o/)), ne se trouvent pas dans les zones
7H/) ou < et dont les deux axes na, me sont par conséquentdifférents des axes de la forme primitive. Il faudra donc, pouravoir ces axes, chercher les deux angles plans et (7~.
y~. 17), et deux mesures a'~ et ~cy' seront nécessaires.Dans les cas ou les deux angtes xp et ~y' ne pourraient
être directement mesurés, on les cherchera par le calcul en1
partant de et ~'<, par exemple. Dans le A (7~. /y~. fo5et to~), nous connaissons les trois angles, puisque peuttoujours être calculé; nous trouvons s; le A (y~. )o6) nous
permet de calculer T et les deux angles étantconnus et~]8o°– L'angle plan [80"–T, que nous dé-
signerons par &),est évidemment égal à la diHercncc des deuxi
angles plans des deux faces et x (y~. jog), donc
T~=:f8o"–(T-M). Cet angle connu, nous retombons surle A(Pl. Il, /< /jQ, 55), qui nous permet de calculer < puis-que et~c' sont connus.
Je suppose qu'on ait trouvé = et = La face x, quise trouve dans ie quadrant supérieur droit, est alors
/'t~-H = 3 2 =(j~) = (/' ~/<').
~6 MANUEL PKATiQUE UE OUSTALLOGRAPHfE.~P-
I) peut se faire que les angles fournis par l'observation re-
lient la face x non à une face de ia forme primitive, mais a
quelque forme dérivée. Les calculs deviennent dans ce cas
beaucoup plus laborieux, mais on peut toujours, en résolvant
de proche en proche un certain nombre de triangles, arriver
à trouver xp et ou .cA'. On fera Lien, lorsqu'on n'a pasune grande habitude de ces sortes de calculs, de faire une
projection stéréographique de l'ensemble des faces on voit
ainsi beaucoup plus clairement la série des triangles qu'il
s'agit de résoudre.
Ce n'est du reste que tout à fait exceptionnellement qu'onsera obligé de recourir à ces calculs toujours longs et péni-bles. On peut presque toujours trouver directement le sym-bole de la face dérivée par la simple considération des zones.
Si la face cherchée est placée sur l'intersection de deux zones
formées par des faces connues, et c'est ce qui arrive la plupartdu temps, on obtient ses paramètres, comme nous l'avons vu
(p. 16), sans aucun calcul trigonométrique. On trouvera plu-sieurs cas de ce genre dans les exemples de calcul qui se trou-
vent à la fin de ce chapitre.
III. Calcul des angles.
Une fois qu'on connaît la position des axes, les dimensions
de la forme choisie comme primitive et les symboles des
formes dérivées, il faut calculer tous les angles autres que les
anglers fondamentaux, pour les comparer aux angles mesurés.
Ce problème est la contre-partie du problème que nous
avons examiné jusqu'ici. Nous avons employé des anglesdièdres et des triangles sphériques pour arriver à résoudre
des triangles rectilignes, et trouver des angles plans et des
longueurs d'axes; il s'agit maintenant de partir de ces lon-
gueurs et de ces angles plans pour remonter aux angles diè-
dres. Le calcul est inverse, mais la marche a suivre est la
même, et les mômes formules peuvent servir, a condition de
faire un échange entre les connues et les inconnues. Je ne
donne ici que quelques indications sommaires, sur la façon
de procéder, car elle ne présente aucune difficulté et sera
montrée en détail dans les exemples de calcul.
SYSTÈMETfUCDXIQCE. ~"j
Soit. une face de pyramide (/ y< f~) rapportée aux trois
plans coordonnes /A' et les coupant, tous les trois; si
nous connaissons les angles Ar=A' B~ C~-=/<
y et les paramétres a, c, b~r, il nous est facitc de cal-
culer les angles p., T, o-, 77,p, et par conséquent de résoudre
les triangles (/ 25 et 33) qui nous donneront <p' </j't i i
~<7~ ou les triangles (~ 36 et .~o) quinous donneront o' o'A', < o'=:–o'A',
t /-< – y p – < oOn aurait tout aussi facilement les incidences de < e', w
sur les trois plans coordonnes en calculant, les angles p.p'
(.P/y~. 30, 3!, 3~). Connaissant w. a' e'o'') on con-
naîtra de suite o'ct', e't', /?~.
11 va sans dire que s'il s'agissait, non d'une face de la
forme primitive, mais d'une forme dérivée, on emploierait
pour calculer les angles p les axes na et me qui ap-
partiennent à cette forme et qui auront été préalablementdéterminés. On aura ainsi y- o~/?, e~/?, A'~p, et. par con-
<
séquenty~y~,o'o- Lorsqu'on veut calculer les angles
que font entre elles des faces dérivées qui ne se trouvent
dans aucune des zones de la forme primitive, il est générale-ment plus avantageux de recourir à la projection stéréogra-
phique, sur laquelle on peut se rendre facilement compte des
triangles qu'il faut résoudre pour arriver à l'angle cherché.
~8 MARCEL PRATtQCE DE CM!5TALLO(;)!AP))Œ.
EXEMPLES DE CALCUL.
PREMtEH EXEMPLE.– /(;0/MC!<'e C/C/~0<a.M«/ Ct'~O~K.
Dans le cas du bichromate de potasse, les faces étant géné-ralement très réfléchissantes, la plupart des mesures sont
bonnes et l'on pourra choisir pour le calcul de la forme pri-mitive les angles qu'on voudra. Les mesures nous montrent
(y<y. A) )" que les angles ~< &</sont voisins de 90",mais ne sont pas des angles droits; a" que les angles f<&et
bc, a.~ et ne sont pas égaux; 3" que dans la zone ~e/'</Al'inclinaison des faces e, f, h sur les faces et d sont diffé-
rentes. Le cristal n'est donc ni orthorhombiquc ni même mo-
noclinique, puisque les trois zones principales, <6cf/,
et ~'e/t ne se coupent pas a angle droit et qu'il n'existe au-
cun plan par rapport auquel les angles dièdres seraient symé-triquement disposés; il appartient donc au système tricli-
niquc.Nous avons déjà vu (p. 5i) qu'il faifait toujours choisir
pour plans coordonnés des faces existantes ou possiblesfaisant entre elles des angles ne s'éteignant pas trop de oo";or on trouve précisément ici les faces &, </ qui remplis-sent ces conditions. Nous les prendrons donc pour les faces/7,
BfCi!KONATi;))E['OTASSH'M. ~f)
~.I;C 1"~nn,I{\ ,1~1, .·i ~,4,m~ «r l' l'nl,nnt
1. En tournant le cristai (/ H) de <)o° autour d'un axe
parabole àt'arete/< on fait. un echan~centreies pians/<'ctfc plan conservant sa position. Maisaio's i'an~ie/ en
avant est aigu et. J'ang!c/j'a droite cstobtns;))our)'amcnera la position convenue, il faut. le tourner encore de 180" au-
tour de son axe vertical: il prend alors l'orientation de la
.o'- Ce sont les faces i et e de ta~'j, U qui deviennent lesfaces prismatiques; l'une des faces e, ccHe qui se trouve
entrer' ct/H, sera une face la face/conservera sa po-
/<Mais t'angic dièdre.~ est obtus, et l'on convient
))a)]ituciicment de placer a droite i'angie aigu /)~ et en avant
)'an~Ieobtus~/t',['a))~Ic/i'a droite pouvant être ai~u ou
obtus; il faudra donc tourner le cristal de f8o<'autour (!'un
axe parallèle à l'arête d'intersection des plans et b: on a
alors iay; H. Les trois plans coordonnes une fois fixés, ia
notation des diverses faces devient très facile. En effet, les
faces ci et c qui sont en zone avec tes deux plans coordonnes
&(/t') et ~(~') sont des faces prismatiques que nous suppo-serons appartenir au prisme primitif /?~. Les faces cty. quisont en zone avec le prisme et la base, sont des faces octae-
driquesyct c; les faces e, f, h, qui sont en zone avec le plan
coordonne .~(~) et ~(~), sont les deux premières des faces e
et c'' et fa troisième une face i, les faces /<, qui se trou-
vent en zone avec les plans coordonnes (/~) et ~(/<' ) étant ics
deux. premières des faces o eto~ et la troisième une face
On peut évidemment donner deux autres orientations au\
trois plans coordonnes choisis.
80 MARCEL PHATiQUE DE CRtSTALLOCRArHtt'.
sition, mais la face c deviendra une face /<; les faces m seront
des faces i et les faces t des faces c. Il y aura egatement
échange entre les faces et <
2. Si, après avoir tourné comme précédemment le cristal
(/<a' B) de Qo" autour d'un axe parallèle à i'arete A'/7, on le
tourne de 00° seulement autour (le l'axe vertical, on a ta posi-tion de ia/< C. Les trois plans coordonnes ont alors changede notation /j' est devenu /<*est devenu p et est devenu
t'angte/~A' est ohtus en avant et Cangte~ aigu à droite.
Toutes les faces ont naturencmertt change aussi de symbo)esles faces sont des o et les des <-<,les faces i et e (!e\ien-
nent des faces prismatiques, l'un des e se transformant en et
l'autre en ia face c (tcvicnt/ct la face/'–&; enfin les
faces o deviennent des faces e et la face f<une face i.
Le choix entre ces trois orientations différentes es), théo-
riquement, absolument arbitraire; mais diverses considéra-
tions d'ordre physico-chimique, notamment l'analogie entre
la plupart des chromates alcalins et plus speciatemcnt l'iso-
morphisme avec le i)ichromatc d'ammoniaque, qui est ctinu-
rhombiquc et dont les orientations sont hmitecs par t'cxistence
<)'un plan de symétrie, mititent en faveur de la position que
Ja~. f! représente c'est celle que nous adopterons pour le
calcul. Nous verrons, du reste (p. f)o), qu'it est extrêmement
facile de passer de i'unc de ces orientations à l'autre.
Le cristal ainsi oriente, on peut procéder à la détermina-
tion numérique de ses divers éléments.
pi:i;Mmn); MH rno)));.
f. – Cf<~CM/c/e.s'e7e/)te/;< <e /'o/te /t'/):<<<t'e.
Les mesures goniometriques ont donne
Il ')'S3"3C f/ *9
Zono/<'p<)oo-~ )8.).i
ZMe~'<)~e~ 38.)
j/?n. 5'.).)o-)o i/~c. '4
'~r< C)5.3) *<)~3
/< '.)i.5 y~ 60.!8
Xono/i' *ij.2~ b' 53.j)
/< 90. c~ 77.5'
BICHROMATE DE POTASSfUH. 8f
6
Les cinq angles marqués par un astérisque sont les don-
nées fondamentales qui vont nous servir pour le calcul.
En nous reportant à ta~. (P/. /), nous voyons que dans
le triangle sphérique nous connaissons tes trois angles et quenous pouvons, par conséquent, trouver les trois côtés x, 3, y
qui sont les trois angles plans que les trois axes font entre
eux
Données. /j~. A~.0' o 1) o
A==/ 88°t5 88"t''i 8i"5i 96~~
B=/)g- 8t.5i –43.t5 –43.J1 –4~~
C==/i'p. ()6.~4 –– .“ –––45 38.36 33. 9
a66.3o
–t8o
86.30
43.iS
o 0 0
sin38.36. 9,7')5io sin53.f). (),()o3ao sm/)'o. ~8~9~sin53.<). 9,go32o sin~S. 9,84f)4() sin38.36 ~()jio
9,6f)83o 9,7~69 9~4~9
sin43.!5. <),8358i sin43.i5. 9,8358; sin43.f5. 9,8358fsin45. 9,8/i9.')9 sin38.36. 9.79~0 sim3.9. 9,9o3'o
9.6853o 9~309: 9,7390:
9,69830 9,7'?-69 9,64.'i59
togtang~x. 9,98700 iogLang~ 9,878?. Iogt.ing! 0,09~2
togtang~K. 9,99330 togt.ang~3. 9,939;! logLang~Y. 0,0472;
-44°34' ~='4i" ~Y=48'6'
x=89"8' ~=82" Y=:96°<2'
H ne nous reste plus maintenant, pour déterminer tous les
éléments de la forme primitive, qu'a calculer la valeur desdeux axes a et c, l'axe b étant pris == i.
Axe a. Puisque nous connaissons l'angle nous pou-vons résoudre le triangle sphérique des y< a~ et a5 (/ /).On pourrait tout aussi bien se servir du triangle y~ a6, car
8~ MANU)!).t'RAHQLEDE OifSTALLOCRAPHtE.
<A' /< – < =: ~t" – ~5" 2.~ == .~6"21'
Kjnnêfi. Cherche.
/)8"
~'=4'°2)'
-j-=9G"f- ~°6'
a !J/jg' <)S.<)\) ')') y
<n" 1~~ Í 4'?) Í
f43.33 52.15i
~I.-)6 2G.2;
0 0
tang/;8.<!==o,o,~o<) tans.f)-=o,o.o()
cos2C.3–<),()'?. sin~(i.a')==f),f')~5
9;'J')U' ')~948{cf)S7)..1<i=<),4()53<) sin7).(i==<),f)7-63
!ogtang~(..s')==<),jo~j3 )ogtang~-(.t–)~(),~)y2!
0~–==7'<.3<.i .v–- -;?.32'
x~.3?.
0
f,angafi.23. fj,G')'i.')a.
siny9..36. <),f)7t)66
(),():~M
sin?.3?. f),6C)8<)
!ogCOt~ 0,()I()2()
/!{"")'
< 88"38'
Le triangle rectiiigne(/< 3o), dans tequct nous connais-
sons o; = 89" 8', T = 45° 4', ?= 8o° – ( x -)- ? ) = 45" 48' et b == ),nous permet de trouver l'axe a
sin4'48' 9,~5~sin.))" (),S~,f,
loga. o,<)o?i8a. 1,0:27
BfCHROHATËDHPOTASSfL'H. ~3
Le calcul serait en tous points semblable, si l'on avait
l'angle au lieu de l'angle On placerait seulement le
triangle à gauche du plan coordonné parallèle a~'Cy~.2~,28),et l'angle serait aigu. On obtiendrait ainsi l'angle planet par conséquent ?', puisque ex, qui est ici supplémentairede celui que nous avons précédemment, trouvé, nous est
connu. On remarquera aussi que l'existence de la face m n'est
nullement nécessaire pour calculer l'axe a.
Axe c. Nous choisissons la face i comme forme primi-tive il; mais il nous sera facile, nous le verrons plus loin,de prendre comme telle toute autre face de la même zone.
Le triangle sphénque des fig. 3g et.~o(/ Il), dans lequelnous connaissons A'y' et < nous donne 7:
Honnces. Cherche.
-i-==83".i8' -~Y =4~5.4'
/=88°))' >'
'== 7~ = ;)8°</–C-23'= 3o°4G'
o /J
/<'g' 88'n 88"r'i
y' 3o.~6 3o.46
i"). 1 ~7-i)
;if).3[ ~8..i''
(1
~). 5/i. ¡
~(~r). ?.6.36
7: 3o.3-.
0iogLang4f.5.!==<),()52t)t i
logcos ?.8.) ==<),<);j28C)
9:89577
ces 5g. 3 = 9, ~o o.j
tOg tang f -r- T) = 0, t <)OJ2
(J
]ogt.ang~[.5, = 9,95291
]ogsim.8. <5 =9,682:3
9;635o/ii
togsin59.3t =9,93339
)og tang-~ ( – ï:) =- 9,699<i5
8/(j MARCEL PRATIQUE DE CRtSTALLOGRAPn!);.
oo
togtangxS.j. <):3<)2*
togsin5y.n. 9;{i')
O.CC3-GiogsunG.36. c),<;jio.j.
IogCO~t' 0,0)2~:<
~t~ 44°!o'88°M'
Connaissant n et == 82", le triangle (~. 3/i) nous permetde trouver c, puique b =1 et p = 180"– (p -h 7:) GyaS'
)ogsin6~°25' g,f)C535togsin3o°35' ()~o6j_i
toge. o,588t (c. <;8t J7
Les trois axes coordonnés de la forme choisie comme pri-mitive font donc entre eux des angles
~=89'8''J. =8g. â
~=82
Y=96.t2.
et leur longueur est
a:b:c==i,oi27:t:i,8t~.
II. .Oe'~e/'M!f~MMdes symboles cles ŒM<e.!formes.
Les faces e, ex, o, o~, <x, c, dont nous avons à déter-miner les symboles, ont manifestement la même valeur pourl'axe a que la forme primitive, puisqu'elles sont toutes enzone avec la base et les faces qui nous ont servi à trouvercette valeur. Mais elles peuvent intercepter sur l'axe verticaldes longueurs c ou me, c'est-à-dire appartenir à la forme pri-mitive ou à des formes dérivées. Il s'agit donc de déterminer
pour chacune d'elles la longueur de l'axe vertica).
Face – Elle se trouve sur l'intersection de deux zones
BICHROMATE DE POTASSiLM. 85
formées par les faces t' et pt, appartenant à ia forme primi-
ttve.Onaainsi('):
t. o t t o l [ a. oo f o o t of f o )) Î
><><;< XXX ><><_><10 0 o t 00 O < t[ f 0 t tf) o It 1 0 i [0 o
o i T T o U t < <
iLa face f est donc une face de l'octaèdre primitif :(: n)~
Face e. Dans le triangle (7~ 77, yï~ ~i, 42), on a
Connues. Cherché.
-j--83"48' ~=4f54'
=P~'–~ -= 8t°5)'– ~°54'= 26" :i/
/g'=()t°43'
n o
/g' <)t..{3 <)[.45
eg' ~6.5~ aG.Sy
n8.4a 64.48
5~2) 32.24
0Iogtang~.54 = 9)93~9i
iogcos 3~.24 = 9,<)~65[
9)8794a.
IogCOS39.2t = 9,70739
Iogtang~(<~ – T') ==o, 17203
0
logtang~= 9,95~9'
Iogsin32.2~ =:f),79-9~
9,68t93
Iogsin5f).2t ==<),()3465
!ogtang~(~–)~9,74728
0
~('T-7:'). ~6.4
~Cf<). 29.f2 2
-n* 26.M
Dans le triangle recUtigne (~ 34), on connaît, mainte-
nant~==26°5a', b~[ [
(') Il importe de faire attention aux signes qui doivent ètre placés surchacun des trois indices des faces qui forment les zones (p. 16).
86 MANUEL PftATtQUH DE CRtSTALLOCitAf'ftX!.
et
p' = 80° – ( 3 [ 80" – f f)8" -i- 26° ~2' ) .= 5 7' 8
!ogsin5j° 8' <),f)t{o~
Iot!Sin~6"52' <),655oG
togmc. o,ic)0!
logo. o,a588)
iogm. u,0002.0
m=i.
La face e interccpt.c donc sur l'axe vertical la mume lon-
gueur que la face t'; elle appartient par conséquent a la forme
primitive et son symbole est (o i f ) = e'.
Face ex. On refait les mêmes calculs que pour la face e'.
Ona iciDonnées. Chercf)".
-~=4i°5~
e~–e~ = 8t"'jt'– 38" 2~'= 43°2G
/<'y'j."4.'
U a/<'o' <)[.4-~ ()[.i5
e~ 43.~G .{3.'26
[33.fi c 4~) (J
6~.36 ?.4.)o
)ogtang4'.54 = 9,9~9'
)ogcosa4.io~f),')6ot7
9~9~<~
togcos67.36=<),8fot
iogtang~(~-t-n') =0,33207
O
logtang 41.{ = f),())?.9f
togsin 2.{. to (),<)!2f/i
'),565o;'i
)ogsin6;.3C=~<),()C5()3
togtang.~(~–7:')=f),~<)!2
~a–). G~.?.2
-~(i7– 21.0
~3.22
P. ;)8
[.22
p' 38.38
BICHROMATEDE rOTASSUJM. 8~
7'~ee c. Les mesures goniométriques nous montrent,
que cette face se trouve sur l'intersection de deux zonesformées par les faces <'A' et~/M. On peut donc la déterminercomme la face f
0 i- 0 ) /.). 00 0 0 r f) ) o i f
Il I ><><X O () ni I _><><><_ 1 O L ><><>< O/< YO 0 f 00 m.. ff o f tO f t 0 ) [0
oït f 1 f) T) 1
nous avons
togs[n38°38' 9,79~?.
iogsin/!3''M' 9,83674
iogmc. 9,95~68
loge. o,88t
log m 9,69987
La face e-" a donc pour symbole (o t 2) = e2.
La face appartient donc à l'octaèdre primitif et son symboleiCSt(ttl)=C".
Face o. Dans )e triangle spherique dcsy/ 35 et 36 (Pl. /),·
Données. Cherche.
/=88'i i
o/ = – 83°36'– 55" 5o' ==a~~C'
~08" ~~4~o a
88"t5r5 88°i5'5
o~ 27.~6 27.~G
f)6. (io.af)08. 3o.i5
Lang4<). =0,06084co~ 3o.r'i ==n,g36/i3
9~97?-7eos58 =g~3~t
tang~(~ – ~.) == o,'2~3o6
tang/ii). =~0,0608')cos 3o. 5 ==<),~o?.?.~
;),763o8sin58 =(),t)7.8ia
Lang~~ – fJ.)== f), 83466
(~–). Ct.'iô
(~–;JL). :2)
j~ '2~.359
88 MANUEL['!tAT!Qt;EDE C)itSTALLOCRAF'Ht)i.
Dans le triangle de ta 3t, nous connaissons ;j.= a~S.T,
= 96" !2', par conséquent )8o°– (~. -h ~) 56° t3'. Nous
pouvons donc catcuter te rapport
sin5(')"f3' <),')~f)G8
sin~.7''3)' (),G()~b.
me)og – 0,'2-j~oCa a
tog°. o,9.5333
logm. o,ooo~3 3
m=[. f
La face est donc (to r) = o'.
7'ace ox. Même calcul que dans le cas précèdent.
Uonneca. Cherché.
/=88'<5'a
~=/;t~–o~ = 83"3C'–i8~{'== 6.~42'
=-!9"1) 0
88"[5 /~g' 88'5'G{42 (,4.,2
'7 7 '~3.3376.~9 n.47
tang49 ~=0,06084
cos):y=<),f)()o'i
o,o5t5()
cos76.29=:(),368:t
tang~-(~ ~) = 0,68288
tang~) ==0,06084
sinn.7~9,3too8
9/~092
sin 76.29 = 9,98780
tang~(r<–j~)==9,383i~
Il
-~(~-i-jJL). ~S.tG
~(a–jjL). )3.3j
6. 1
Y. f)6. )~
iGo.~{
t<). y
BICHROMATE DE POTASS!UM. 8<)
sini<)°7' ~,5tj2n osinC.ji' i),cp6t5
meS'a'
)og- o,').'i333
logm. <),3u:):n
m==0,2 ==
La face est donc (!o5)==:o~.
-Face a. On suit une marche analogue à celle qu'on asuivie pour le calcul des deux faces o; on observera seulement
que, la face a coupant l'axe vertical en bas, l'angle dièdre
~A' et l'angle plan y sont aigus. Les ~.3~ et 38 (P/) indi-
quent le triangle sphérique à résoudre et sa position sur le
cristal:
Données. Cherche.
/<'g'=.88°i5' 15,
a/ = –r~ = ()6°3.i'– 65°35' == 3o°49'
-~=41°o
88"!5 88")5'
30.49 3o.4()
uf). G 5y.~65g.32 a8.43
0
tang~t ~g,()3gtCcos 9.8.3 ==9,9<3oo
9,88atC
COSJ;).39. = (),70''io{1
~ang~(~– ~') =o,t77i?.
ü
tang 41 =o,<)39;6
sin28.43=9,68)(;7
f),6ao83sin 5().3a = f);<)35.~
tangua–)J.')=='),6853G
~(~!–). 5G.M
~(<7–jJ.'). 9.5.'J! 1
jj. 3o.3t
Y. 83.{S
"<9 ()
C5./it1
<)0 MARCELPHATtQUE DE (;tUSTALLOG)!AP)))E.
sin6~°~)' Q,<)~<)fi-')
sin3o°3t' <),~o~C)8
me
!og-~ 0,3.~9:
tog~ o,i3i3
log m. 0,0006.)
w=t.
La face appartient donc a la forme primitive et son sym-
bole est ( i ot) f<
Le cristat présente ainsi les formes suivantes
/)(oo)), /(ton), g'(o)o), /~()Io), /<)fo), /tt~, f~fTft~,
<'(oit), c'(oiï), e~((.)[~), o'ffoi), o'~o5), ~'(Tof).).
Si l'on voulait maintenant, au lieu de l'orientation choisie,
prendre celle de la~y. C ou celle de la y/j. )), il suffirait de
changer les axes de place, les paramètres des diverses faces
restant les mêmes, puisque les angles sont constants. I! n'yaurait de change que le /'c!~o/'< des axes et la notation des
faces. On aura ainsi
a b c
C ~t:I,8[~;f.()[27~<K/'fC.(o;j0j: 1:0,~00
OU
/'7~MyeD. t,8tL'iy:f: 1,012~
Il est évident qu'il y aura en même temps échange entre
les angles que les axes font entre eux. Ils deviendront
FtK'Jrf's
):.>. (:. 1).
Y
P Cf K
Y -6
Dans ces trois positions différentes du cristal, la notation
ttICHROMÀTKDErOTASSIH). <))
des faces sera ainsi:
On pourrait aussi, tout en conservant l'orientation (~. B)que nous avons adoptée pour ie calcul, choisir une autre
forme primitive, considérer, par exemple, la face o° commeo'. L'axe vertical serait ainsi cinq fois moindre et le rapport.des axes serait,
it est clair que les notations de toutes les faces qui coupentl'axe vertical seraient alors changées; elles deviendraient
Connaissant la longueur des deux axes a et c et, les trois
angies plans x, p, y que les axes font entre eux, nous pou-vons calculer tous les angles dièdres qui se rencontrent surle cristai, autres que les cinq angles fondamentaux choisis
Figure-.
)!. (:. P.
/J “1
<.)1 A' ~t
/M e*
< t'
I i~urcs
U. < )(.
e'I 1
f~ c~
f<' <*
3y)
:3~3
3
[ t L
V V
t
< Z
a b c
!,0[2~ t <),3()K8
O" (j0))
0~ f)° (JOI)i
M' ~s (5(JJ)
e' c" ('o~T)
e~ ee (o5~)1 1
y~f~,)1 _L
r' c")(j5))
HI.– C<x~CK~c/e.!a/e~.
9~ MAXfEL !'RAT)QrE DE CRISTALLOGRAI'IIIE.
pour la détermination des éléments de la forme primitive. Ce
calcul, je l'ai déjà dit, est indispensable pour contrôler les
données de l'observation.
/~ce –Dans le triangle rectiiignc (/ A.r. 3o), nous
connaissons b t, a = f ,0)2~ et K' ()0°.')a'; nous pouvonsdonc calculer,
~?.' .'i'i"~(i', ~(T' – <JO"– 2'
tog= log tang – g~'i )2. –: 38 ( {''i" – ) "=o"~?.a =lojtang~9Ji~a. -St" (i;y=o~
iogtango"?. 7,8oGrj
logcot~~G' '),9~343
togtang~?~ 7,79.).S
4'i"3,
~<7'). o.<
44.t4
Dans le triangte spheri~ue (/ l, ay, 28), on a
lJollnée~. Clyrclné.
Y=C)6"t2' /K~
-i4"f j~
~~=8~n' ~o--i(,'
Y. <)fi.t2 ()<).r2
~.i4 M.'4
<.)0.26 'ii.'i8
70.t3 2).5o
iogcot4o.3<o,o6i8C
togcos25.if) ==(),g5'
o,ot')'~8~ogco~yo. =(),5a;)''i)
togtang~(7?~ – ~:g''=
o,/i86oy
iogcot;;o.~<) = o,oC)[~r)
logsin '23.5f) -= (),G4)58
9,70344logsin ri = ;),()~358
logtang~M~ –= 'j,7'~SC
(J
~(/M/)–). ~.5'i )'
~(~/j–Mj:). H.S.i~ Il
100. 9
0
;t.~
'8. Il
my' ~4t 1
BfCHROMATE DE POTASSE). f)3.3
p
<“ 4..2{
7~
~< 8'). '<
Observé. 8~.(; G
.Face e~. Dans le triangle rectiligne (P/. y<y. 3.4), nous
avonsnonn~p-s. f:fcrcLé.
tiVUU~Données. Ch~rciie.
~cb=i
i8o"98" ~=~9"
]ogc=- o,2588t logtang(~T'–~)= 8,68678
loga = o,3oto3 logeot~f)" ==(),t)3()f6
togtangtj) =Iog~c = '),95778 Lang~T:'– p',) 8,<~59'i
(J a
~5 ~–p'). a.<)
?. ~3 ~)~9o"i9~. ~i
(4~–o~ ~7 ~3.j
Lunnées. I;licrché.
/<)[" -g'=45~ c'y'1
Y=83<'48' e~'
= /i3°-
Y. 83"48 8'i8
~3.
t'~7.i3 40.a3
G3.37 M~~"Il
O]ogcot45.52 =- 'j,9868(i
]o.s:eos2o.)x=9,972.'i3 3
9.9~9''9
IogcosC3.37==9,C~7) >
iogtang ( e~ e~g'' ) = o, 3 ) ) j/i
)ogcot.-)5.i~.=<),f)8R!'i<j
iogsinzo.)~ :-f),')'!8n)g
!),:)?.5o5
!ogsin6'3:='),')J?.~3
log t.ang ( c~ –e'y' ''77.8~.
Dans le triangle sphériquc (/j. ;~t, 42), nous avons
9~ MA~'LEL PtiADQLi! DE CtUSTALf.O(:)!A)'H));.
1)
~e'(.). 63.5()
~e~/i'–e~). ~f..3o
c'/< 84.<)
G3.~
~.3o
e~ 4')
Il
8t.~i
e~t.
e"/j.
Observe. 38.'2''
Uof)hc-s. Cherche.
a ;.<.
ic
-<)6" ~-r=<8"G'
to.~c == o,aj88~ to~tangx'i" -= f),Cy~f.i
ton) = "tGgSgy Ioi:cot.{S" (;' – o,t)''2f)t
tog c = 9, 5j98~ log tang ( [J. – ) o, C' f7
loga = o,oo548
(1
4:
)<).43
({j"–~).
~(:j.– a~.58
~(~.– .;) =.f)o"–i.S"fi' = Il
(i'j.'i<
I1 nni·c· <:lion:lne.
/j'-8~)Y .<'“8'
p=()8" ~'h'
.u.=61"'i.
/'f<ce e'. – Le caicut se fait, comme ci-dessus on prendseulement, t'axe c== f,8i~. au lieu de ~c, ce qui modifie la
valeur de (}ui sera <p'; les autres données restent les
mêmes.
/f<ce – Dans le triangle (/ 3)), nous avons
'c[og~– = togtang~ = <),55.~3Gaa c ü
Dans te triangtc sphcriquc (/ 3.'), 3C), nous avons
B!Ct))<ONATËDEf'01'ASS)LH. Q~
togtang~(c~y'–o" = o,8'2tC6
.Face o'. – Le calcul est identique au précèdent. On prendseulement, pour caicu)er non plus .~c. mais c==t,8t~;
(on a fait ce calcul pour la facey''). Dans ce cas ~-< Les
autres données restent les mêmes.
.Face a'. – L'angle se calcule comme pour ta face
en observant pourtant que est ici aigu. On remarquera
aussi, en resotvant le triangle (/ 3~, 38) que est
également aig'u.
7*'ace y~. – En résolvant le triangle spiteriquc (y< ~Q, 55),nous aurons/y-' ety~ Il nous faut pour cela avoir quenous eussions trouve déjà, du reste, si nous avions calculé les
angles de la face o'; nous connaissons en effet puisquel'axe a est ici le même que celui de la forme primitive Si
l'on voulait avoir l'ang)c'), il faudrait résoudre le triangte
o IJ98' f)8"
;j. 6/i.< 64.< >
f()2..T~ 3' 8
8).C tG.34
iogcot4'i. 8 == o,o3)4
iogcosiC.3~=c),f)8i);)
U~)U~3
logées Sf.G ==9,t'oy
logcot.i. 8 – o, ()!) 4
logsin 16.'i{ =~(),5~r;/i
<h4C8t8
io~sin8[.'<'i ==<<)<)~3
!ogtang~(f~–~s/j 9,~i7~oS
-–). Mf.~
'~("~o'*–0°/<'). f<i.3~
o~ <); Í)
Angles reets. r
8).9.5)G.3i
~s/ 61.atfj.8 8
83"3(i
n,<
< )S.~{ 1
Observe. 18~4
t_
<)6 MA~LELPRATfQLEDECnfSTALLOGttÀPfUi!.
(y< 58), et chercher, par conséquent, d'abord c, car
? 80 – ( x – T) est connu
Uunnce~. Chfrchc.
C
a
-~oG-'i~ ~v~t~G'
loga–o,00~48 Iogtan~i')"'i<)'(~_jj~~i)ogC'=0,2')88t IogCOt.(i'–f),f)'i2<Jt
')4'
C. ?.<).!0
(45°–o). i5.3o
~–~). ij.jy
~(~)==<jo"–i8"G'. 4f.j/i ~l,
5G.t!
D~nnccti. Cherche. o.
pg'-8r'5i' 1' ~.=,o"56'
'/=;6''n'
~o y
56.fi 5fi.))
~.4 ~1 4'i -~I
)o).t5 '7 7
')o.38 3.343~l,
u
Iogco~{o.jG=o,06186
log cos ~.34=-=(),()<)~p
o,o'if)8t
Iogcos ~o.38 = ~,80228
'ogt.ang~(~y)=o,2~,3
)ogcot~o.'iG–'),oGi8<)iogsin j.34~8,386~~ 9
<),o.i8(i5.i
log sin 'jo.3S = 9,.S88~
!ogtang~y~j-t6oi.
-~(~+/o'). et.
-y). ~'4
i
(Jo.tSObserve. Cg.tS
fit.'t 'l
S. 'lÍ
,0 ()
'ogtang-? =tog~
==<CG7 iogtang~(~ – u.) =. f),'ioj6.<
~=='.<,f)"t0'
fitCHROMAT)! ME POTASSIUM.f~
tt/~cc c~. – On calcule d'abord comme on a ca)cu!c en
observant que est ici < go". On résout ensuite le triante
(y~. 48, 53), dans lequel on connaît, outre et ~=81°.)',
?' ( voir le calcul de )a face /). On a ainsi r/ et Oni
pourrait, comme pour la face y, en plaçant autrement, le
1
triangle, avoir
y~<!e~Mco/Mp<7y<?<f r<e.f M&.i'e/'ce'.i'et cr<~K/e.f.
Calculé. Observé.o o
.?. *9~~<
i6t.!6 f6).6 f5
(~ *t?./i.n) ()
88. 1
f~t.“ *)3.~36
/M~ f36.fc) igM
\ynf. 8<). 8<).66
Calculé. Ohservé.
*8i"~
~e! ;4t.38 j.3~
t/.)e'x tx'i.C
(/)< H *[!i~
JL
/). JtO. !)0.
t
127.~) )9.7.'i i
i
f~/). M t0'2.<) <~
DEUXfËME MÉTHODE.
I. Calcul des e7e~M/:<de la forme ~?::<tce.
Nous nous servirons ici des mêmes mesures fondamen-
tales.
On commencera par résoudre le triangle /A' (7~.
~ai5) dont on connaît les trois côtés. On aura ainsi les
ang)es~A'=.=:e;,pA'=j3,A')==~.Cestrois angles sont
supplémentaires de ceux que nous avons précédemment
trouves,par conséquent
K=f)o°5~ ~=98°, Y=83°.,8'.
Pour avoir l'axe a, nous prendrons la formule î~ ~p. 84),dans laquelle nous connaissons
b=!.y, p,
f/<'=/g-'– ~'= f)t°45'–4j''2{'=46~t'
g8 MAKL'HL PKATiQUR DE OUSTAf.f.OfiRAPHtH.
sin.~°~–<),8~5o sin)<i°?.)'<),8'f)/j8
si~83°48'–'),')97i~ sin()8" "9,9')'~5
(),8{<j()' ~8M~
sin6~"33' =~ 9,96j2j i
sinc)o''5~/ =~ ;),9<)99'~
(),f)6?20
sin5j"'jo'=(),<)'
sinf)o"'x'=f),f)f)9()5
9~'7ë7
Nous trouverons l'axe vertical c par la fbrmute Ht~, dans la-
f;uet[e nous connaissons t'axe b = [ et. tes angtes
x,==67°a3', /=~~–~=f)8''()'–f)';°2'3o"~6':
Face o. – On se sert, de ta formule lï~ dans laquelle on
connaît.
et.
La face est donc (<of)-o'.
(') Les te~ercs différences entre ces chiffres et ceux que nous uvnns
trouves p)us haut ( p. 8'), de rnerne que fcs petites différences dans ics
9~4<)9'
]oga 0,00~.8
a~t,o[?.3(')
f).~n()'!3i
tOi~C o,i8M7
C=f,8j'io
sin3o°4C' ~9,70888
sin83"i8'==3,~)745
;),7o633
<),()<i~o'~
me e
iog –=
0,2536:)1a
)oN:-–o.2535<)'a a
tog)n=o,oooo()
sm27°34'=
9,66827
snigS" ==f),()()~5 ~)
<),6C.'io~.
I[. –~e/e/Kt/ta~'o/e.t'aM~e~y'o/He.
a, x, 3, f~~55"5o'
= – – 83°3<j' – 55°~o 27''4<)'
)Tt=~t.
)HCHHOMA'mD)':t'OTASSH;M. f~
Face ox. Même formule
0~= i8°5! o~==83''36'–)8°54'=64'2':
sin r$°5!t' ~J,WoG3sifi[8°54'–(j~5to~3ïsin()o°32'–(),()f)9f)~
<j,5[o38
c),f)~ff)6
rn C2
aa
lea===o,z:~3:~gtog
= o,2533f)
logm~g,3o483
si)tC4"4'9')~
sin()8° -<),;)!)'7''
a~ë
m=o,a~.
La face est donc (i o5) == o~
/'ac<? a. Même formule. On remarque seulement que
l'angle /t' est obtus. On trouve ainsi
m=).
La face est donc ( o f) –;<'<
~ce/. – Nous avons déjà vu que cette face se trouvait
sur l'intersection des zones pt et t'A'; la projection (Pl.
/< 3:5) nous montre qu'eiïe se trouve aussi sur l'intersec-
tion de pt etde o'g'. Ces deux dernières zones peuvent donc
servir également à la détermination de son symbole. En cnet,
me
a'
log~ o,<3j7
togm. 0,000/i?.
0 t J 0 Of L M' tO ) L t ()t J ) t o t fX X X X X ,>< X XJ><
ti I oO tI 10O o' °' O O O
Ï!0 O T<)[ L tt t I
angles calculés par les deux méthodes, viennent de ce ~jue, dans le calcul,
en prenant la demi-somme et. la demi-différence des angles ayant, un
nombre impair de minutes, on n'a pas tenu compte de la demi-minute.
100 MAKL'ELPRATtQCED); CRISTALLOGRAPtHE.
/~<cf c. Cette face, que nous avons déterminée par les
zones e' etp/?t (p. 8y), se trouve aussi, comme le montre
la projection, sur l'intersection des zones /j' et a' On a
donc
jFacM e' et e- – On les calculera comme la face il, qui a
servi a ta détermination de i'ax.e vcrticai. On observera seu-
iement que/?~ est ici <9o°.
III. – Ca<ct<<'c/M a;<?!.
j~aee /M. – Formule 1~ (p. 36). On connaît
b=f, a, ~-82", Y~8'{8', /g''=-.88''i5', ~/<==~{°8':
~ce oe. – Formule H~. On connaît,
a, !c, ~-82", x=<)o"j2', ~=:.S3°3C', ~t"{8':
B.uo O t 0 Ot I <x' fo O f Ot I :) o i 0 O
_><><><_ XXX X>
m. if o o t ~o o )?'–' Ot t o o fo o 10 T ) o)
f i o T o T T f
loga = 0,00~8togsin83°~8'=: <),f)()74''
0,00x73
loggia 82°=Q,t)!)~~) i
logtang~ = o,oo6<)8
togtang4-<° 8' = 9,98686
iogtango°~.8'=~,9to8()
–togtang(-g'Hj~=7,8977. i
J
4~
m. –4{.3~
(.,T-~).. o.~
n
4/j.M s
–gt–wy'. 0.27
wy'i'i)
~i~.?.i
s<).3
DtCHKOMATE D)' POTASStLM. ~Ot
face c'. – Formule HI~. On connaît,
b=t, c, Y=83"~8', ~89"8', pg'=8t" ~g''=/io"56'.
Face c~. – Même formule. On connaît,
~c, b~i, -= 83~,8', e:=8t)°8', -=4o''5C':
t
T~'cey~. – Pour pouvoir se servir de la formule 1V~, ii
nous faut avoir l'ang)e~< que nous ne connaissons pas. Nous
obtiendrons cet angle en résolvant le triangle s[))~i'iquf-
loga – o,oo5?.8
iogsin <)o°52'=
9,')999''
0)0o5a3
loge = o,x588;
!og5-0,6989;
!og~c-"9,5598o
]ogsin 8?/' = 9,99~5
9,5555)o,oo5x3
log tang o = 9,5 5o3'.<
tang~t"48'~ <),95'3()
tang35°x7'=
9,67732
iogtang(~p/–o~) == 9,6289:
!¡5
i9.33
(~5°–e.). ~5.2y
~j8
(~p/t'–o~).. 23. 3
n~ t8./)5
)ogc ==0,23887
tog2 = o,3oio3
iog~c= 9,95784
9,9975o
iogtang~ = 9,9553.'i
iogsin 83~8'=~<),997~
Iogsm89" 8' =-9,99995
9;997~o
,ang~ ==9~9~ 045
0. /;2. ~3
(45''–a). 3.57
togtang /!o":)G' '),()38t.~
logtang 2° 5~' i-=8,)'.M)8logtang 205;' = 8,71208
!ogLang(~g'–e~) ==8,65oM
~g'o.~
(~g'–e~~ 2.3'!
e~/)38.?.
[0-ia MARCELP~ATtQrHDHCntSTAf.LDf.ftAPHfE.
1)83"3G 83"3<i(i
<f;.2f tG.~t
'39.'7 3:)
6.'i.')f) r8.38
b.s:cot ~f) (),f)3())G
togcos f8.38 – <),f):C(;a
9,9'7~
log cos 6~)') g, 6~.6?.~
tana:~(<-+.~)–o,~8r)'iC
~(<– t')~io
~<' -). 2
79.4<)
to~eot.{<) r.f,~3g)G
tocsin t8.'}8 ;),5oJ4')
.),43C.i
Jos;sinG/i.5fj"f),()'j~<?,
tans;~Ci')-f),.{8(i~<
G.<.5o
):j.i8 8
togtangiS.38. ~5~~tocsin 6a.5o. (),g4()?.3
'~477'"logsin 2. <),4f)<):C
)ûi;tun~ o,o[o3.
4-j"4,'r'
pt <);"?.?.'
ion-–o.i3' f)"a
(),24<)t8
!ogsin~5"ti'–f),8)~'if) ()
–!ogtang-o,j')f.it)!j
(ogtung{')"–n,o!o3<)
)ogtan~23"H'(),G3o6(i
)os:tang(}/~– c),6.i)oa
/< (/ 3).'i\ dans tcquct nous connaissons
p/<'=83"36', /<t'y'-y'<9t\i'i"3.i'y'9.i.
ft.
/< ~3-
Nous connaissons maintenant dans la formutc ÎV~ (p. 36)
a, c, pg'-98"< ~2~ ~<=())"x?. ~i"
BtCHRONATEnEPOTASStL'N. fo3
Face e~. Calcul identique au précèdent: on prendra seu-
lement pour calculer nzp le triangle /t'/)/M du quadrant infé-
rieur gauche et, par conséquent, l'angle /7'=: et A' < 90°.
~4M<M<x~ On peut avoir besoin de calculer, pour les
comparer aux données de l'observation, des angles qui ne se
trouvent pas dans les zones principales de ]a forme primitive;cela est très simple avec la projection stéréographique, car on
voit du premier coup les triangles qu'il s'agit de résoudre.
On cherche, par exemple, l'angle o\ Dans le triangle
sphérique~o~/(P/. ai5), on a
1
– M" 8
<45°–o). a3.8 8
(;~<–). 9.3.38
4~~
Gf).nj
Donnée- Cnfrcbt'j
/J-~5"48', ~0-2~)f o5/~
/j/=-G9";9'
~~==!8')'
0 069.199 G9.t9
fn. i8~5 i8.~
M. 4 ~0.3~,> a''i.j7
0 1!ogcot,M.5jj =o,3~2<)
logéesa 5. f~ = <),<)5C~.7
o,33o'j3logcos 9,85G6f)
togtang~(~) -.o,4738/i
{(~G'.
0
!ogcot.2.4 –o,3y~G
togsin25.i7~g,63o52
0,00~78
!os:sin~/i.a=<),8/i'2o').
!og~an!(o' --V) = o, t6'H
~(~=j~3o'.
104 MAKL'EL PKA'ifQLE DE CRtSrALLOf.RAPmE.
to~tang25.)7. ~,6;G
togsin 71.~6. <),<)7f'7f)
<J,f)')IO'<
iogsiii 55.3o. 9,ut~f [
iogtang{(~ ~7~~
t u
~o5yi! .,8.3,
f~ '.l
On calculerait tout aussi facilement t'angte e'o° ou e"o% en
résolvant les triangles eo~ et e~o~, dans lesquels on con-
nait p=:s(~r89°8' et o~ et dans iequeis on connaîtrait
aussi ep et e~, si l'on avait eH'ectue les calculs pour les faces
été'.
DEUXtii~)!EXEMPLK.– /~Ce/Ha<e de /a~/<X e< .M~t'M/?<.
C~O'Ti, Na, aiPO.
La différence des angles <-<~et bc, <& et /~e ou ainsi
que des angles ad et dc, c/c et af ou a/(/<A), indique
qu'il n'existe aucun plan de symétrie, et nous montre par
conséquent que nous avons au'aire à une forme tricHnique.Ceta étant, nous pouvons évidemment orienter Je cristal de
plusieurs façons différentes. Nous pouvons considérer Ja face
&, comme hl, ou comme ou comme /J, et les faces f< et c
comme des faces prismatiques ou comme (les faces e et i,
)tACËMAT): DE TnALUUH ET SODtL'M. to5
ou enfin comme des faces octacdriques. Supposons que, pourfaire ressortir les analogies géométriques avec des composes
voisins, nous soyons obliges de choisir l'orientation (~ H).
On pourrait sans doute prendre une des faces o, a, «~ pour
p, ce qui simplifierait beaucoup le calcul; mais les angles
de 62°aa', 3~/io' et Cg"t5' qu'eites font avec sont très
différents de go"; or, je ne saurais trop ie répéter, il faut
toujours choisir des plans coordonnés aussi rectangulaires
que possible.
Les mesures goniométriques ont donne
Les mesures marquées d'un astérisque sont les meilleures
qu'on choisit comme données fondamentales pour le calcul.
On commencera par résoudre le triangle spherique(/
y~. 6;, 64), dans lequel on a
7M< = !8o"–(/ -t-<= t8o"–((j'~° )0'–()4"4"') == ')3"t0' .t
/Mff~t)2°[o' M
<<! =-- [06° f~'
l'rtHMtHRH METHODE.
I. Calcul des e7e'/yte/!<Ade la yo/xe ~<'t'n:t'~e.
f/< )'~6.)0
Zonc/</H/< *G')o
!< J "G.t..(0
fa/ G().))
Jf~ 3~.4o
to< *<)`
f~-<
t~ *73'i3
(< 3~.jo
(~ *8~.)<)
~33
,r/ Gf).i
')~.[0 ()
Données. Cherche.
o o a <<
<a. toG.i~ jo<).~ 't' 'i3.io 0
/Ka. ()'o 3'i9 3'49 3j'4o
/?/ ''i3.tf< T"nzt.yo.').8 ~G.9.~ t~.2~
'37
~f)
,-t.3;
3;.49
'o6 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPIIIE.
logsin 3;°.);/ =9,76730
logsin 7o''28' = (),<)7.'{a(;
9,74'M
9,39~7
logtang~}.t' – o,346(;f)
logtang~.f =; o, t733.{É
logsin :C"2t = <j,()?.o3'i
!ogsint~"?.!=(),{')9
U;39iS7
0~.9 9
2
tt9..t8
togsm3T'49'9,7G73o
logsin t7°at' = 9,474'?.
9,2/,t8'<
9,8946:
togtang~}<t-9,3.'i7~.f f
logtang~M = 9,67360
logsin 70° 28' =: t),g~2G
togsin 56°2t'= t),g2o3~
9~946.
u
2'j.ï'i
'jo.3o
Données. Cherché.M/~–C~°tO' B
M~–:()9.°t0' K'
.t''==i8o''–.t'=G7"4?.' -33°5~ a/
0 f/?!< ()X.)0
6?..10
t')/j.20
77.10
o
Q3.IO
6?..)o
30()
i5-)
0
)ogtang33.5; (),8'~65;!
logcosi'i i ~9.98494
9~7Iogcos~io – <),6''8
logtang~-(p-K')-. 0,46~9
oIogtang33"~ ~9,82653
l~~n~ -) =-=9,4t3oo
9,23953
logsin 77.10=9,98901
Iogt.ang~(!–M') ==9,25o5~
Dans le triangle (~. 6f, 65), on a
KAC)~IATHDf:THAr.m!METSOD)L'N. 10~
n u
Nous connaissons ainsi les trois angles plans de la face f<:
enenret(~6f),
Si l'on place maintenant dans ie cristal icptatt~'qui n'yexiste pas à i'etat de face, et dont il nous faut déterminer la
position, ce plan partagera en deux parties inégales J'angledièdre /M/ ~< -t- o'Met l'angle plan M -)- (/ ~3).
Pour avoir l'angle -s', nous calculerons d'abord
partaformu)e(A)(p.65):
M"==t8o°–(K-i-H')== i8o°–(5o°3o'-i-6o°5()')-:68"3i'.
S =: )8o°– (M' =)
R~+~ 7'
~(p–M'). )0.()()
p. 8~.)[il
0y). )
m.fi G
Il' (io.5~
O
iogLangt~ g~~8o~
tocsin 7f.:j. '),97589
9,4oj9l i
lo~si~ to.6. f),3()'i
Iogco~ ",t)99<)
0
3.. t.'2.
<'< tj~.<
K" G8'3/<)0.i()
(M"–M',). ~i~
ioga. o,'}o)o3
IogsinR8"3)' 9,')G8~'}
!ogsin6o°5<)' ~9/h~
0,9.n5t
!ogsin7°32' (),~i~f
Iogt.angt8o"– r,o()'!f)o
)8o"––r:~8)'
lo8 ~ANCEL PRAT!QLE DE OUSTAHOHRAPHjm.
Dans le triangle sphÉrique (.fi; ~3, ~~), on a
c.()'36
M' <J0.5<)
)55.35
2. -~4.25
~onnces. Cherche.
/M<!=- ()2"t0' ~M<7==~6°5'
.t'==f[2''t8'
3== 24°2.')' N
0 u.f. n2.t8 f~a.18
C. X~ 9.2$
i36.3 87.5368.22 ~3.S;
o
logcot/iG.5==(),c)835~
logées /i3.5y = c),85~!o
9,~087
log cos 68.9.2 == <), ')66G3
Iogtang~(~+ ~g') u,4
~(~g'). 62
~(~–;M~ 3~.43 3
o;.43
Il
Iogcot.4G. 'J ~= 9,983~7
logsin /i3. );7 = <j,8'it38
<h~~9S
Io!sin68. ~68~.8
togt.ang-~(~~–/?2~) 3,8~)67
o
6x"
.'i5.3
M~ ~.6.17
C~.IO
/y' 88.270
Iogtang43.57. (),<)8.~o8
!ogsin6?. <Q)5g'!
<),9'.too)
logsin 3).3. 9,7G()~)
logtang~N. o,i63:G
o
~N.ix9.
N. m. i
HACËtfATE DE TMALUUM ET SODIUM. f0f)
N n'est, autre chose que t'angte forme paria trace du plan
sur la face a, par conséquent par l'arête octaédrique cb avec
l'arête verticate du prisme /M<.DoncN:=:+~ et i8o°–NL-L:p/
(P/3i).Nous pouvons maintenant résoudre le triangte (/
y<f,y2), qui nous donnera M~=p.– (/y/ 3)), et
dans lequel on a
Ponnces. Ci'prchf'
o~=j'h° M
8~:7 o~
3= 85°2.t' -~==4~4~
(j 0~<X. t3f !3!
r~ 82.t; 8~7
at3.i7 48./i3
106.3() 2~.22
fi
logtang ~=(),g6'iio
logcos a'a2~c),f))()48
9,<)2458
logcos to6.3f) = g~S~tG
–logt.ang~M-) ~0,~67~
–(M-r-~). 7;.u
~(!\[–~). 2I./io
49.3t
(~.–)–M. [3o.?,f)
;jL'~t8o''–N. <)8.:)6
;jt. 6[.33
!ogtang.~2.42=c),9G-;to
logsm 2'i.M==<),Gi5')0
g,58oGo
Iogsinio6.3<)=t),t)8)~o
togtang~M–~) ~~5<)f)2o
~f.)t
'!).j0
f)9..)!
87.0 9
o
Jogtan~zl.a?. r~GSRoa
togsin~t.n. ();<)y6t')
f),G3?.t;
togsm't.~o. '),iG~27
togeot~oj. o,oC~<)o
t[0 MA?iL'MLt')tATfQL'E))EC)US1'ALLOG)!At')))E.
La formule (A) ~p. G.) nous permet, maintenant de cal-
C)uer/.()na,eneHct:
Y-~8'i°3)'.
Nous avons ainsi les angles p, y et /< nous pouvons donc
résoudre Je triangle délaya. 17 (/), et déterminer par
conséquent d'une façon complète l'inclinaison des plans des
axes coordonnés
~y. ,)0.
f~ 8~.9.8
;j/ (i8.T;
;j. 'if.'n
(;–;J. ~.9.'3
)0~2. ().<)!')'}
togsin68"')C. u~'J')~
Iogsin6[°3' ;).i{!" (>
f),f)f)()
Iogsin7°'T. ;),<o~<)' '3
i;!o6[C
!)0[ttn''c- Cherche.
/88°~' ~/<'“)~ ~.t
'i'"9<°~9'
H~8!"n' x
Y. ~i..<()
p. 8t.n 8f.[f f
~~4o )}.t8
8~.5o <i.f)
togcom. ).{ – o,ot (6.
)ogcos6.3;)–f),<)~~o~
o,oo8fi()
Jogcos 8~. ~f) 8,5~i7
log tang-~(/~–y~~ = f,'i3n;< CI.
Jogcot. f/! – o,on6~.
logsin f;.3~–(),o63y~
'~o;5~
loi~sin 8y.5o – '),');)96f)
!og tang~(/ –~ (~oy:'i6ji
ttACf:MAT):DHTHALm;M);TSOn)H). Il t
o u
Les six angles sont donc
Axe a. Pour en déterminer la longueur, i) nous faut
avoir l'un des angles ou ?' (~ ~y~. 3o). Pour les calcu-
ter, nous résolvons le triangle sphérique (. 2~, ag).Nous pourrions, du reste, tout aussi bien nous servir du
triangle (y/'y. 2/i, ?.5), puisque nous avons <=/<–<A'.Dans ce cas, les données scraient/ (>t)o"), f!~ et (>go"):
p (J
~(/~+/~L.. 87~3 87.7}
~(/~–p~ C.'i7'17 ')7 17
Q.'i.4o 8t. G
logtang (t.3(). g;f)GGG()
iogsin 87.Ti. '),o~97"
f),0<)f)ifi
iogsin 6./i7. '),o"3f
iogtang~ <<)')',o)
K. 8<). t<'
o o
/88"'<7, x-8f)'r<,
/~i-Sf.6, p--8!.o,
/f)/i.4o, 'j'-9)/9-
Donnens. Cherche.
p/–85"M' T'
/n/ – 6?.°t0' ~)
~98°~' ~=49°~'
/?/< 85.'20 8).'<o
/M/ 6?..)o R~.to
1.~7.io ~tf)
7~~ i
)!3 MANUELP)!AT)QL'):))HOUSTALLOOtAPH~
Dans le triangle rectiligne (y~. 3o), on connaît maintenant
'r'etc''etb.=:t;(Ionc e
a==',977-
y'i~c e. – On te calcule facitemcnt, en résolvant, l'un des
triangles )'ccLi)igncs (~. 3)), car on connaît et y
u
togtans:.{f).o==o,~f')~« z
)ogcost[.3)-f),();))f)H
o,o58-8
)ogcoS7't.i~-<j,iS()
Iogtang.(.t'–'r')o~n)3;)
to.~tan~ {<).'<'<- n,n()-
tocsin tt.<).!o<
')-9'J7
~~sin~i.)- <),()S'«j
)ogtang~(.t'–'7'38':f)S
~(f–7). 7C.i,
~(.t–j'). f3.43
cr' G?..3'<
;)<4~
s' f)..3~.
[')~<~
')6.{o
Iogtangti.3'i. f),3n<')8
logsiti 76.1' 9,987~7
9.09°''J
bgsin ):}..{' 9~7497
lcgcot. 9,9~4oS
~M~ ,{9.'i9
'.t
w~ 99.38
IogsinC';<"3~ f),r)/j8oG
logsin2G".{o' f),G'')'~o')
bga. o,"j<!o[
tO
:.t. <i[.n
Y. <).)
!<(). 'I.
~3.~8 8
)!ACÊMATEDETUALL!U)tEfSODtL)). f)3 3
M
C~-0,9t3.j.
Le rapport des axes est donc
a:b: c=i,977:i:o,9)34.
Supposons maintenant que la face a manque dans le cristal,
que la face ax seule existe, et que les angles <H. et axt aient t
été mesurés d'une façon suffisamment exacte, pour que nous
puissions les prendre comme données fondamentales. On
fait alors pour cette face la même série de calculs que pour la
face a. On ohtient ainsi un angle p.'=:3~c)'. L'angle qui
appartient à la face o ne varie pas, et l'on a p.:=6t°33' et
~/–p.~–24'i4'; d'où l'on calcule par la formule (A)
(p. 65)-1= 68,56'= 111'4'.'j-=-68"56'=tn"4'.
La modification de l'angle y, qui correspond à une modifi-
cation de la position du plan /? par rapport aux deux plans hl
et~ change nécessairement, comme on le voit facilement
sur Ia~. ) )o (Pl. III), les angles yj A,/?~ et e<qui deviennent t
p'h', /)~' et K'. Seuls les angles A' et restent invariables.
On voit qu'en choisissant cette forme primitive:f L'angle obtus y se trouve du côté de la face a qui de-
vient ainsi la face o. Le cristal a donc fait une demi-révolution
autour de l'axe vertical, mais alors les angles f«,yK.y' et ,9se trouvent être à gauche. Pour ramener ces angles à droite,il faut tourner encore le cristal de 180° autour de l'axe la-
téral b; les faces prismatiques changent ainsi de place Mtse
trouvera à droite et devient <, tandis que se trouve à gaucheet devient en même temps devient 180 – /<
2° L'angle y s'éloigne très notablement de <)o°.On remarquera que l'angle y=68"56' est égal a l'angle
que nous avons précédemment obtenu en prenant la face a
]ogs)n23°58' 9,6087:')
Iogsin6)''33' g, o
log~ 9,6G46j
loga. o,tgGof
)ogc. u,~Go<j6
1 1 MA~Er. PRATIQUE !)E C)!!STÀLLOGRAt'!m;.
comme forme primitive, ce qui veut dire qu'eu prenant <
pour a', nous avons pour base une face qui correspond à notre
ancienne face <7'. t[ suit de la que, dans le cas de l'absence de
la face a de la /<Q' B, le calcul nous donnant y -= 68"56', nous
pouvons prendre ~/=:~ ou plutôt y~ par conséquent
pour < car, pour que l'angle/)A' obtus soit en avant, il faut
évidemment que p.'>jU.. On tournera alors le cristal autourde
l'axe vertical et de l'axe b pour le ramener dans )a posi-tion (y< B), et en calculer les éléments, comme nous l'a-
vons fait ci-dessus, la face a' existant parmi les faces ob-
servées.
Ceci peut se résumer dans ces deux règles pratiques
1. 7/~K~ <oM/oMr~'eAoMt/)OK/acM/?/H~A~ f<' et o',
/~a7'7H{les faces a et o existantes dans le c/'M<a/, ce//e.;<o/<< les
t'/t6'~{/te:Mo/M~M/' /<' (oM .;«/' p) f/~ey'<'M< /e /?to//t.~ ccr/' y e.;<d'autant plus voisin de goO <yHep.'–p. (ou '–~) est plus
petit.
2. ~7 qu'une face o et M/K~yacea, on ea/CM~ y co?M~e
si cesfaces e<«/e/t< les faces de ~yo/?!e~K~<ce. 0/t jp/'e/z<r/N~0/ .OK/' p. 0« /~OK/'p.' (~ devant <0f(/'0/< C<C ~> ~OM/'
//M6./~ot'<o&<M.; e/K'<('a/~<).K~e des faces o CMa devient ainsi
une face f/e/cee o-~ CMn-~ dont <7y<XM~<~e<e/M/e/' .!v/M-bole.
Ces règles s'appliquent tout aussi bien au calcul de cristaux
qui ne possèdent pas de faces dans la zone ph', et dont il faut
calculer les éléments soit avec les formes octaédriques, soit
avec les faces e et i. En effet, le calcul des formes octaédri-
ques nous ramène, comme nous le verrons dans l'exemple
suivant, à la détermination de p. et de p. par conséquent au
cas précédent, et dans les cristaux que nous calculerons,comme dans le premier exemple, au moyen de e et de i, et
qui nous donnent un angle trop éloigné de 90°, nous pou-vons toujours considérer ces faces comme appartenant à un
octaèdre primitif, dérive ou doublement dérivé, la face p de-
venant alors, suivant les circonstances, o' ou a', o~ ou a-
RACËNATE DE THALUUM ET SODIUM. Il J
II.–/)e<e/v7t:;M:<M7ta!M<XM<re.s/o7'/MM.
.Face – Dans le triangle ( P/. /7, ~t, 72), on a
DonW es. (:hercl~é.
?-8~9' ~=43°34' M
~o'~i8o°–f<+-~o') =t8o"–(3!°55'+ 49°) ==99" 5'
= 8i°3a'
0 0ao. Q9.
55~99-5 5
og'8t.3a 8[.3x
t8o.37 ty.33
go.tS 8.~6
o
)ogtang43°34=9,978~6
log cos 8.46= 9,99490
9.973~6
iogcos9o. 18=-
7,7t9oo
2,254~
0
logtang43.3~ = 9,97826
logsin 8.46=9,18302
9,i6ta8
!ogsin9o.!8= 9,99999
9,t6t29
-~(M-<-8). 89"4i
~(M-o). 8.t5
8).26
jjL-t-;j.'=M. 98.34
jjt. 6t.33
;j. 37.1 i
0j~ 3~.t i
f. 85.3i
120.34
57.28
On résout maintenant !e triangle rect-itigne (/ l, /2j. 3f),
!f6 MARCEL PRATIQLE DE CK)STALt.Of;RAt'f)!K.
dans lequel on connaît a, p.' := 3/' t', 5~28'
fogS!n~<8' ~i8y
!ogsin3:" )' ~,7*<)<
JOg–– o,t'iC-.i)
ojog. ~,6(].(;'i
o,'i8fj~
m=3.
Donc la face c"~ est (3oi)=a\
7'~cc .r. Les mesures goniométriques nous apprennent
que cette face se trouve sur l'intersection des deux zones <1ct~M.Donc
ta~ 3 T 3 3 oi ~< fo T oï i tT T 7
><><_>< ><><>< ~<><><M. f f o j 10 O 1. O ) fo j ~i
t i 1 1 9~
–La t'acc est donc (.(22) ==- (a < )) ==(~' 6"'A').
H pourrait se faire que la face <r~n'existât pas dans le
cristal; la face~' ne peut plus alors se déterminer par uneintersection de zones, et il faudrait en calculer les para-métres.
Nous connaissons les trois ang[es du triangle spherique
(~ /<g'. t j3, 115) nous pouvons donc calculer K
o U Q (~/<-T. ~').'< ~I ''9.J i IH).i'i !/i.).~()
u').i 97. -i ')* r !)7.~
a. f~/i~.o –––– "––: i'<'<.()0 f~) l7.t~
'jo
180
i~.m07. i
UACÉMATHDETHALt.KMf;TSODn;M. f'y
Mais R n'est autre chose que {3+7: comme on [c voit, sur
la /< l'S, qu'on comparera à la 32 (~ /). Donc
jSo~–R~p'; donc ennnT~ 4~45' etp'38''26'.Nous pouvons maintenant t)'ou ver c- en résolvant te triangle
spherique (Y' ''S; ''7)' dans leque) on a
tocsin 97° )'~ 9,99<'C7
to~sui-(7"r'i'='j,8(i')8f)
f),8<)~i<)
~~9<)
)ogt.ang''{I{–o,f)r')')~
)ostangHt=o,7S
tocsin' –f),
fogsinr'}"{'/–(~}~)
~,9'9')
Il7" 7
R. ).1 Il
nonnces. Chfrche-
p'==38"26' -=.)<)°t' s
~'=8~
.r/== 60'o n
p/ m.90 8j.2f)
.r/ <)').'T)i Co.i) i
j, f/i6.tj ï ~i. i
;3.8 8 )x.)3
u
)ogtang)'j.['!–'),'i'i<?.8 8
logcos )2. t3 '),<)9oo5
;),'<3233
log cos ~3. 8 =- f), /~)a62
logt,ang~(X– ?) f);<)<if)';i
p
]ogt,ang ff). )'! =~ g,5~7.9.8
logsin )2. (3 == i,3?.ij'!
8,86;8!
togsin';3.8r-f~f)(~
togtang~(X–)-~8,886~[
~(X- a). 4;)-
~(X-T). 4~)
s. ~)f J
x. 8f).~9.
!3~.?.
4~~7
!:8 MANUEL PRATIQUE DE CRiSTALLOGKAPntE.
Iogsin45°n' = 9,85087
!ogsin45°37'-=9,8')4[i
logna 9,99676
loga – 0,2960;
log n=9,7oo73
n=~ â
!ogsin38°26' 9,79331 i
togsin43°4'==9,83f7t i
togmc -~9,96:77
log c = 9,96066
togm~o.oofti i
m= t
Donnée~. Cl~orché.
a ;j.'
3c
~=85°3t' ~-j'=4~°46'
toga. 0,29601
)og3c. o,437:8
log~ango~Iog~ (),85823
4~
3).~9
(45"–). 9." 1
~9~Y-4"
)ogtang 9°~–– 9~SR?.
iogcot 4?.°46' 0,03389
!ogtang~('/–:j.'). 9,~425;
Nous pouvons ainsi résoudre les deux triangles rectilignes
(/ 3oet34), ce qui nous donnera les axes me et na
La face est donc = (a 11) f&'e~A').
face y. – Elle a une situation analogue à celle de la face
x, puisqu'elle se trouve sur l'intersection des zones /Ma' et
~<.En employant l'un des deux procédés qui nous ont servi
au calcul de x, on trouvera facilement =-: (211)=: \c'~A'A
IU. Ca/CK~des f!7:g~<M.
face a~. – Dans le triangle rectiligne (jP/. ~.y< 3i), nous
avonsDonnée~. Cl~orché.
fiACEHATE DE THALLIDI ET SODtL'N. ffg 9
Nous avons maintenant dans le triangle (/ f, '7?.)
/!7.'i,
~<–u-'). <.).~ 5
~7. ")
Laface~'nousadonnc~Ct.33
A[=-(~–;j.'j. <j8.j'.< '1
Données. Cherche.
H'g'==8t°32' ~==~~G f~'a~
M--<)8°52'
?-8-</o 0
M. ()8.j2 ()8.5.t
< 87. f) 87.9
186. [ )i.3
g3.i1 5.5?.
0
log cot 40.46~-0,0644'
)ogcos 5.j9.-<),f)f)77~.
o,o(b.[3
Iogcosg3. i==8,7')2o
!ogtang~(oa-t-)= t,34093
fl
togcot/io.,16–o,oG/{t1
togsin5.5a=<),oo()5f
9,"7~9~
togsinfp. )===(),()()~o
)ogt,ang~(oa–~g') =: 9,07452
~(o~ag'). 9~.37
Y(oa–fï~). G.
10' 9().)g9
o'Lf< (:!t"
o'~t~ ')<).'<)
3[.{i 1
tt.~8.i()
Observe. 1~8. 5
120 MARCEL PRATIQUE [)): Cft)SrAL!.0(.itA!'H));.
1Si l'on voulait avoir l'angtc~/M, on résoudrait, )c triangte
(P/ 61, 65), dansiequet on connaît MA~=6a°fo',1
~==3~ti' etp=8i"!i'.
7<"aee~. – On commencera par résoudre les deux triangles
rectilignes (/ /< 3o), dansiesqueis on connaitb~=t.
a et <x', et (~'j. 3~, dans tequet on connaît c, b~f et p.
On aura ainsi (7' et p.
[ 1)
~'fr' )/!8.)~)
r< fto.;8
1
1 ')~< i~ff) ~)
Observe. 14'<o
x'–<)o"/i8' ~'i-
~(T'–<I')='i~3()'
toga=o,<()()o!
!og'=:o,3oto3
iogtang~ log~ a = 9,9949.S
~8t")f' ~}o-.i(/
~p-+--r:)~<~
Lang~=; loge <),()Co6<i
p45"
c. 4.'i.4o
<)°–C. 0.20
Iogtango'o'~7,~R~6
togcot45°a/ 9,9939~É
fogtang~–7,75870
u~(T'a'').i.3<)
~'(T'–T' 0.9.0
7. 4t.'<)
u
0. /;9,.2'i
(/tT'–o). ~.35
)ogt,anga"3)'-8,G~~3-~
]ogcot,o''3(i' =- o,oGGf);
Jog tang (?: – p) –8, y~13'.<
~(7:–p). /ir)..).
~(r–o~ 3. t
p. /i6.'23.
4~3(;'
o.o
~c
KACENATEDE THALULMET SOUfL'K. !2rr
Dans un triangte analogue à celui de ia /y. ~() (Pl. ~),mais place sur la /i8 en & au lieu de t'être en <r<,nous
avons
Si f'on voulait avoir l'angtey~, on commencerait par ré-
soudre le triangle (y< 3!), dans lequel on connaît ~a, c et~on trouverait ainsi'
On résoudrait ensuite le triangle (~. 48, 53), dans le-
quel on connaît r', et on aurait ainsi ,y~
7~9'ce.y. On fera exactement les mêmes calculs que pourla face y, avec cette différence que les triangles seront placésdans le quadrant postérieur gauche ou inférieur droit. Si i'on
calcule ~'e, il est facile de voir qu'on aj'–.e~ angleréel xy.
Autres c!Q' On aurait l'angle a' en résolvant le
triangle (Pl. Ill. /(y. )!3, t)5), dans tequci on connaît
/=t!o°38', /r,
[ogtang~(~p-r-jr/') 0,18839
Donnécs. f:harché.
/i'p==85°M' -={~°4~'
p-4C'3'?'iô'
u o
/,()"?.') ,6.<'}
C' ~).f<) M.'S
<)o.3f) K.7 7
.~j.~) <. 4
IogcoL4?.o~ o,o3j{i
logcos i. =- 9,9999'
o,o3j33
)ogcos.{5.-20 9,846944
O
iogcot /i?.o = o,o35'!
]o~sin t./j~-8,a6f)8!'<
8,3o5'.<t<)
togsin .~5.20–<),852oo
fogtang~(~–j~)=8,'i53'~
0
-H~–). ~7. 3
~(J~). t.38
53.'?.')
)' t'i.9.'i 1)
Observé. f'.t{.5o
122 MA~L'EL PRATfQUE I)E OUSTAt.LORKAPH!);.
qu'on aura préalablement caicuié, et R~– L'ange 7:'
seracalcuté (/y. 3~), comme t'a été l'angle T pour la
face y.On suivra identiquement la même marche pour avoir
l'angle a'j'. en plaçant ]c triante a gauche (~- 1 13, n-'i).
lciK'–7:et~<o°.t
Les mêmes triangles serviront a calculer les angles .r~'
iet /s~; R, R', Aj? etA~ conserveront leur vateur, mais J'angleHA sera naturetiement dmcrent.
DKUXf JE~)EM)!TH0t) H
I. Calcul des e7<)t<?/ de la forme /.)/n!<tce.
Nous prendrons pour données fondamentales les mêmes
angles que précédemment: /t'=r.G2°io', <G'i°.'io',
o'=~g°, s~ ~3°/)3' et e~ 8y°jo'.On commencera par résoudre le triangle <f</M(P/. F, ?.)6),
polaire du triangle (7~ Gt, 6~), et dans lequel nous
connaissons les trois côtés. On trouvera ainsi les angles
~~a~G' et /M<M=:a6'. On résoudra ensuite le
triangle Ao' polaire du triangle (. 6~)' dans lequel
A/M, sM et A7?t<r<=:</Mf<sont connus. On trouvera ainsi
l'angle 7~/to'=~A/?~:j3=98"/)f)' et f<A=:6g''22'. Connais-
sant ah et oa, nous connaissons
~/i = !8u°– (/ -)- oa) = t8o''– (6<<'<' .) =: Gf°38'.
Nous pouvons donc catcu)er~ par la formule (13) (p. 3o) (' )
–co), – cotf< cot~
(') La formule n'étant pas directement ca)cu)ab[e par les fogarithrnes
habituets, on se scrticidcstogarithmes d'addition et de soustraction, tci.-t
qu'on les trouve dans)esTab)es de )iouc).Ktantdo!mes)ogf<etiog6,étant
cherché )og(a r &). i! est )c log –, L. s. et L. ad. les togarithrnes de sous-
traction et d'addition donnés par les Tables et qu'it faut ajouter à ou re-
trancher de loga.
RACËHATE DE THALUCM ET SOD!LN. !23
Cette même formule nous permet de calculer Nous
connaissons, en effet, dans la zone A'/H~'A', les distances an-
gulaires /M/t' et A~. On a donc
2COt.g'= COtyK/–COtf/
Dans !e triangle hpg du quadrant supérieur droit de ia
y~. a 16, nous avons maintenant/M~ =,6~ 98~9'<=9/i<io'etA'=88''2~ Nous pouvons donc calculer A'p~'=~<x qu'ontrouvera de 89° ra'; A'=:y qu'on trouvera de 94°29' et
P~'=98°54'. Transportées dans le quadrant inférieur droit,
qui est celui que nous adoptons par convention pour fixerla position des plans coordonnés, ces valeurs deviennent évi-demment
') 0/=-f)t.33, a–()o..j8,
=<54, P-H8..9,
pA' = 85.20, y ==85.3f.
)ogcot.6!°38' '),73:'3''i5
togcot.Gt)" <),5~58t1
R. o,f:)65/!
<),739.3-,i
L. s. o,5t();3
–Iogacot/)/ (j,~)3?.2
Iog2. o,3o;o3
–iogcot~ 8;<)t~tf)–85''9.o'.
/<' = 94" 4o'.
!ogcot.62°io' (),7M6'
!ogcot6.)'io' <),675'<;
R. 0,047388
;),72262L. S. o,g8:')(;7
Iog2cot/ S,7:;6f)5
ioga. <.),3oto'!
!ogcot/ 8,43592
/i'= 88°27'.
~244 MAKUEL DiATIQL'E i)K CRtSTALLOf.RAPt))):.
Mais nous savons que dans la projection stéréographiqueles angles sont les suppléments des angles dièdres reefs; ilil
faut donc prendre 180°–J', 180°–«, Kous re-
tombons ainsi, comme on voit, sur les angles que nous
avons calculés par la première méthode (p. 11<).
La détermination des axes ne présentera ici aucune diffi-
culté, et on les ca)cu)cra par la formule ~(p. 3~i), dans iaqueiicon co))nait-p, << r=/ –<' =~a6"53',et par la formule
H~dans laquelle on connaît o;, p, s'/t', f<)~=/–K'/<
II. /3e<'e/'mt7if:~to/:des Œu<e~o/'Me.s.
Face r~. On calculera le rapport–
par ia formule ï!~
comme on a calculé )e rapport dela forme primitive, en
prenant les angles a~ h et f7~ au lieu de etf< Connais-
mcsant a, on aura me et )e rapport – donnera m.
/'ae<?.re< – Elles seront déterminées, comme précé-
demment, par l'intersection des zones H'/M et f(~t pour y, et
a'< et f~M pour .r.i
Si cependant, par suite de l'absence de la face a~, on avait
besoin de trouver indirectement les axes na et me de la face
y, par exemple, on commencerait par résoudre le triangle
dans lequel on a l'angle ~y~8o"–</?<f<=:f!2'')8'
déjà calculé,
g''M =r /t –t g8"– 6~"f0' = X<)")~'et
~y: = ~;7z–~ = 8~"5o'– /i'= ~°~o'.
On trouvera ainsi l'angle
~'o' ~'= ~)"o'
et le cote
~8-
En décomptant, ~w. de l'angle/t'='/==')~?-'j', on a i'angle
~p==;r~ ~~°/}()'. Ces deux angles nous permettent de cal-
XACËNATEDETHALUCMETSODtUM. !M
culer""°
par la formute H/ On trouverana'
me'og-9,9'7.na 1
On résout ensuite )e triang)e~ dans lequel on connaît
rang)e~44')9',y~'=~8"53' ct/7~98°5. On trou-
vera ainsi l'ang)e y~~=T'=:~4''5~ En le décomptant de
L'angle A'/?~'=e<=~ 8g° la'.on aura t'ang)e /t' ==:cr'=: i')~" i5'.Ces deux angles nous permettent de ca)cu!cr par la formule
!&i'axe na. On trouvera
n=~.
Par conséquent
m=f.
La face est donc -}-{==( 2i ) )= ~e' A'On voit que, si l'on voulait, se servir ici des formules la et
lIa ou des formules i~ et IVa, on allongerait les calculs; car il
faudrait résoudre au moins encore le triangle (~A)y~ pouravoir j/(-~A).
IH. Calcul des a/i.g'/e.s.
Il ne présente ici aucune difficulté, la marche a suivre pourla face <~ ayant été déjà donnée dans l'exemple précèdent.
J'indique cependant la marche pour la face ~=:(at !), dont
les angles n'ont pas été calculés par la première méthode.
togna. o,oo'i38
]oga. o,2C)6o[
logn. '70f)'}7
_t 1
meC
S'na" 9,9~97naa
logna. o,oo53S
togmc. <),')7!J3
loge. ;),[)CoCC)
togm. o,cto6<)
m=f.
126 MAKUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
La formule 1~ (p. 36) donne
Dans le triangle ~(~), on a
ioga. 0,2960:)og2. o,3oto3
iog~a. <),~49~
logsinp–togstngS"~)' <),<)9/i8.'i
0,0001~
IogsinY=togsin94°29' 9,99867
iogtang- 9,998~
045
?. 4'55
(45°–&). o. 5
togtang~= [ogt,ang45"47'- o,01188
Iogtango°5' ~t'S~o
togtang[~/<'g'(/~)] 7,.7458
/,5"7'
[~(~)]. o. 5L2J11bM-~t~ltx~l · O. 5
~'(/). /,5./i3.
Données. Cherche.
(/~)~= y ==94~9' ~° ;5' ~(/~)/?
~=8t°6'
~(/~):=.4'i°~'
81 66~ 8t"6'g-(/~). 45.~ 45.4?.~2,
t26.4S 35.24
63.24 17.4?.
0!ogcot47-'5~9..965H6
!ogcosi7.4~ = 9,97894
9,9448otogcos63.24 = 9t65to4 É
IogtangY[g'(/~)p–(/~)~g'] = 0,29~76
Iogcot,47-'S =9<9C586
logsin 17.42=9,48292
9,44~
logsin 63.24=9,951~1
Iogtang~[g-(/~)~–(/~)~] = 9,497~7
RACENATE DE THALUUM ET SOD!UN.12~
Iogtang~[<.t-–.r(/~)] =c),88~63
Si l'on voulait avoir l'angle .~A', il n'y aurait plus qu'a ré-
soudre le triangle (A~).x'A dans lequel on connaît
et l'angle A(/~)~==i8o"– <(/~)~-=99°to'.
O
~(/)~J. (; 3
~g(/~)~)~].7.27
~f/)/.). 80.3oo
Données. Cherché.
<(/~) =~(')–g'< =- -5°.{2'– 26"53' = !8"4(/ .t'<
~(/9"25'
/(/~).r – ~(/~)~ = 8o°'JO'
.(/ = ~26'
<(~).r. 8o.o 80.o
~~(/~). 7-).2G ~.26
155.56 G. 4
77.9.8 3.~ 2
0
)ogtang f).a5~-g,2t()~t
togCOg3.2==g,()()g3<)
9:2!9)0
!ogcos77.28 =Q,336.17
0togtangf).25~g,ai<)7[
logsin 3. 2=8,~235;)
7,9433o
togsin 77-~8 = 9.989S3
logtang~[~~ -(/~)] = 7,953:7
o o
~[f.f-L..r(/< 3~~ 1 3~at
~[~–.r(/)]. o.3t o.3f3 f
tx. 37.33..ï-(/t~). 36.jo
(/~)/< =/g-'–(~)g' = {5°5t', (/;J)~== 36°3o'
128 tfAKUEL P)!ATfQCE DE C)ttSTALLUG)tA!f)E.
TRO!SIii)IE EXEMPLE. 7~<<7<e !<f<C~y f/C .?0<K//<, /AM/M/
~H'O~NaT~2~H'0.
Il n'y a dans aucune zone d'angles de 90°; mais J'angie o~,
qu'on a trouve de 8/j°33', s'en rapproche beaucoup (/< A).Le cristal peut être monoclinique, et la face d peut être prisesoit pour soit pour/j. Mais, dans le premier cas, les faces
<7,b, c, qui seraient les faces prismatiques, devraient être ega-lement inclinées sur d; or leurs inclinaisons sont toutes dif-
férentes; dans le second cas, elles seraient des faces e et de-
vraient avoir également des inclinaisons identiques sur De
plus, les faces e, /<, i seraient des faces octaédriques et les
angtes/<ct/«r/, ed et devraient être égaux; or ils ne le
sont pas. Le cristal est donc triclinique. On peut évidemment
l'orienter de différentes façons. On peut, par exemple, prendre< pour hase et pour~ les faces '7, b, e seraient alors des o et
des <r<,car elles font des angles trop grands avec <r/pour pouvoirêtre prises pour A' mais leurs incHnaisons amèneraient par le
calcula A'.y'=to~i~ par conséquent très différent de 90°. Il
vaut donc mieux prendre la position de ia~. B. En choisissant
a et b pour prisme primitif/H, t, plusieurs des faces se détermi-
nent du premier coup. En effet, on a constaté les zones sui-
/0, /0, /'w,vantes: a&c~, e/c/, hid, cy~ ~/A, ~<o, .'?~) .M/<. Par
conséquent t" c qui se trouve entre t et est une face
TARTRATE INACTIF DE SODIUM, THALHUH. )?.Q
9
2° les faces e et /<qui sont en zone avec /K et~ sont des
faces octaédriques et c- 3° la face i qui se trouve en zone
avec t et p et une face octaédrique 4° la face f qui est en
zone avec gx etp et une face octaédrique qui a le même axe
na que )e prisme mais elle est aussi en zone avec dx et
son axe me est donc le même que celui de l'octaèdre au-
quel appartient <r/ La face qui tronque l'angle solide formé
par m, t, c et b, et qui est plus incliné sur &que sur c, est évi-
demment une face octaédrique (&cy/~). Puisque dans leszones /H/? et tp nous n'avons qu'une seule espèce de faces
octaédriques, nous les prenons pour forme primitive, elles'-il 1
deviennent ainsi & c~, a~. Les mesures que ces cristaux don-
nent ne sont pas très bonnes; les meilleures sont marquées
par un astérisque et servent de base au calcul
PREMfËRE METHODE.
I. Calcul des éléments de la ~b/He pftM:'<fe.
Dans le triangle (Pt. II, y~. 48, 5a), nous connaissons lestrois angles c~~ 126° i5',e/)==~g"~o' et =42''a3'. On trou-vera T = ? + f' = toa" et u = 54°38'.
Dans le triangle (y~. 48 et 53~), dans lequel on connaîtles angles c/?=/;9°4o' et e~=:6a''5o' et le côte comprisM==54°38', on trouvera p~~84°/i6' (angle réel à droite),T/=38°39' etT'=/)6°~ Puisqu'on connaît T~T'+T et?',onaT=T–~=: 55°5y'. En connaissant T etT', on trouve, parla formule (A) (p. 65) e{=82"29', dans le quadrant antérieurdroit, etp'=:t8o°–(fx+T')==35°~2'. Nous pouvons mainte-nant résoudre le triangle rectiligne (P/. y?~. 3o), qui nousdonne l'axe a== 0,8008.
e~ *53°45 6o°5o ~g' 8o"5o'
1
*53.45
¡ 1
60.50
~·gl..
80.50
e~ *62.5o ~r. /i3 J" 74-3o
(~ "36.3'; ~g' 95.27
~c~ *49./io ~/Mg- ~,6.34
t. jo" *4a.23 (g'-cg'
<3o MANUELDiATiQt;DE C)USTAfJ.O(.tLU')HE.
Le triante (/ /?~(8, 56), dans lequel nous connaissons
<j .== 36"35', ==/) a"23' elle côte compris T'= f 80°–T-~7;° ) 6',nous fera trouver le cote o'r~ /j3°3o'.
Le triangle (/ /i8, 5o), (Jans lequel on connaît les
deux côtes n'=~ao'cto'=f8o"–(K-)-7).==.'i<°3~ eL)'an~!e
compris ~= .'i2°a3', nous donne /i' ';5°/i3'.
(connaissant/t')o-'i°i~ /=84° .~5' et te côte compris
K=:8a°3(/(/L, fy), nous trouvons ,3=: 86° ?.5' ;o3°3c/et /i'=~8f''t8'. J) ne nous reste plus (ju'a déterminer !a)on-
gueur de l'axe vertical c. Mais nous avons déjà ca!cu!e pré-cédemment == 38°3(/; nous avons egatement (y' 3f)
~= iSo"– (v -t- -) = G5".
On aa
c sin'/ asin'/===-–, ou c = –;–a s)n;j.
ousin~
d'oùù
c = o,5''ii8.
H. – /)e<e/M{n<!</o/!t/e.<autres /o/'mo'.
Face – Dans le triangle (7~. a. a5), qui s'appliqueévidemment à toutes les formes prismatiques de la zone /<nous connaissons /5°36', =24" et le côte compris
y =: <o3°3()'. Nous trouvons -7~ a3° et par conséquent
j = t8o"–(x+ -:) = 74° f 4'.
On aura ainsi (y~. 3o)
lo~ na Il)'' sin Ci o, :;86GG ct lorn = lonnaa o /$2 3
~-=~ ~=o~~
d'oùù
n==3.
La face est donc ~}o = () 3o) = =
/~ce – EMe se trouve, nous l'avons vu, en zone avec
TARTRATE INACTIF DE SODIUM, T[IALHUM. l3:
/)~ et <~o'. Par conséquent
y .tlLa face est donc () 3t)~ ~e\Si la face n'existait pas, il faudrait calculer j et ? pour
avoir les axes me et na de la face x. Mais nous savons quet
cette face se trouve en zone avec <~ et~: elle doit par consé-
quent avoir le même axe vertical que l'octaèdre primitif. On
trouvera donc == ag°56' dans le triangle (Pl. 3t), dans
lequel on connaît a == 0,8008, c==o,55i8 et ~/=: io3"3g'. On
résoudra ensuite le triangle (P/ 55), qui s'ap-
plique évidemment à toutes les faces octaédriques du qua-drant supérieur droit et dans lequel on connaît~' ==8/i"26',
a'==43° et le côté compris ~~i3g"56'. On trouvera ainsi
T=i22"5g', et par conséquent o'=)8o°–(6<T)=:y4"32'.Le triangle (Pl. 7,y7~. 3o) nous donnera alors
sins alna=togna==u,!ga~j,
SI11T
d'oùû
Iogn=-?==o,~8<)3 ot n=3.ogn =lo 5 a
= 0,[10 9 et n =rDloga
Puisque l'inclinaison de la face x sur l'axe vertical est la
même que celle de l'octaèdre primitif quoique son axe a soit
3a, il faut évidemment qu'on ait pour l'axe vertical 3c.
La face est donc ~j~ -= (; 31) -y~e'
~acej. Le triangle (/ ~/<o' ~)8, 60), qui s'applique a
toutes les faces octaédriques situées dans )e quadrant posté-rieur gauche et dans lequel nous connaissons les trois angles
~84"26~, ~So-So' et jrp=74"3o',
nous fera trouver
==75° 10' et T = 82°.
f< i 1 r f Ii 1 oO t 3 0 To 0 1 1 o 1
><><>< ><><>< _><><~<
j~ ot o o o 100 p. ooo t o o! 1 3 f o 3 )fj o
Tof l '}To o t3f 1
t
f3a HANLEL PftATIQLE DE CR)STALLOG!!APtHE.
Nous avons, d'autre part,
jjL'=[8o''–(~-)-v'~–28"29' et T–t8o"–(x–T)==t5"3t'.
On calculera ainsi (P/. 3)))
me ]os:sin-o, 3o685log– = ,––:–, =~o,Jo685na fogStn~jLli.
et(~3o)
iocsin-r “ )o~na f n
logna=logsin5-g~G3t6o, lo;;n==li=-g,528o8,
~lo~sin~ 'oga--9,5~o8,
d'oùit
n=~.Donc
logm0=9,738~5, logm = log–=9)9966~ ett m=).
La face est ainsi ~-=~3t i ~~c~A~.Supposons maintenant que, pour comparer le cristal que
nous venons de calculer avec des tartrates analogues, il y ait
intérêt à choisir une autre forme primitive qui ne se rencontre
pas parmi les faces observées, à prendre, par exemple, pouraxes c'~ac et a'==3 a. Les plans coordonnés restant les
mêmes, les nouveaux axes seraient ainsi
a': b' c' ==a,~02~ t 1 j,)o36.
Les diverses faces deviendraient alors
/M – ? ° == ~2ÏO; =
– 0 = (210) ==
3 t
= ) t 0 =. <,
~='=(3tx)== (~c~) == (&'e~).
c''= = (31~) (c~ = (et~
t tTi ~J'
3 1 2 =
x= ==<"~) ==.
= = (912) = ~o/ (/cs/
TARTRATE!NACT!FDE SONUH,THALUUM. t33
III. Calcul cles angles.
Après ce qu'on a vu dans les deux exemples précédents, le
calcul des angles ne présente ici aucune difficulté, et je vais
l'indiquer sommairement. On cherchera d'abord pour les dif-
férentes faces les angles plans T ou T' au moyen du triangle
(.P/y~. 3o), dans lequel on connaît 0:~90°, b==i, a ou
na, et ou~' au moyen du triangle (y~. 3i), dans lequel on
connaît y~go", a ou na et c ou mc.
Face m. Puisque c'est là une face de la forme primitive,on connaît déjà T'== 46° 47', qui nous a servi au calcul de l'axe a.
Le triangle (.P/. T~~t~ a~, 28), dans lequel on connaît, outre r',
84°26' et y~io3"39', nous donnera
/K/)=io3°~6'(angle réel) et Mg''=46°.8'.
~ce <. Même calcul. Triangle (/{~. a4, a5), dans lequelon prendra T 55°5~ au lieu de ?' (yt~. 3o) et /?~ ==95''34'.On trouvera ainsi < 98*24' (angle réel) et <=:5~<'3o'. De
plus /M~= <t- M~' ~no4"i8' (angle réel).
Face Même triangle que pour <, mais on aura
T~=23°35', puisqu'on a dans le triangle (y~. 3o) 3a au lieu
dea.0ntrouveraainsi~p=9o''2)' (angle rée)) et ~24" 7'.On aura en même temps ~=~ <–==23"23'.
~a;ce x. On fera le calcul comme pour la face y dans
le premier exemple (p. 98), en se servant du triangle
(Pl. /7, y<§'.49, 55). L'axe vertical étant ici le même que celui
de la forme primitive, on aura v = 39° 56'; l'axe a étant trois
fois plus grand, comme dans le prisme on a T==23"3.5'.
L'angle/?~' est aigu, y obtus. On trouve ainsi
==58°~' et .-rg' = .,3°t?.
Puisqu'on connaît g2p :=;89"39' et que les faces et x sont
en zone, on a ~=~y.' –.K/ = 3o"5/.
~<ce~. – On calculera les angles de cette face absolument
comme s'il s'agissait d'une face octaédrique (P/. Il,
f3/t MANUELPRATfQLEDECRtSTALLOGRAPHfK.
~'y.i8,Co). Puisque l'axe vertical est ici c et i'axe antérieur
~-a.,on aura (/ I, 3o et3) ) ?r- 8' ro' et ~S' D'où
l'on calculera (en prenant~ f)o°) y.2' et, 8)"2'.
.h~c.ta~j/M'. – On calculera facilement, e~ en résoi-
vant le triangle (Pl. K) analogue au triang[e/< 53~"
et dans lequel on connaît T', et, /)~; on aura ainsi
~r~to.r6'.
Si l'on voulait, avoir t'ang'ie j'& il faudrait résoudre le
triangle (~ /< ng, (21), dans lequel on a les deux angles
--= ~2°23', ~/j ~5° 2' et le côté compris .= 26"! 3' qui est
la différence entre l'angle T-~ 82~)0' correspondant à l'axe
~a et T == 55°5'/ correspondant a l'axe a. On trouvera
y6==C6~8'. En plaçant ic côté o dutriangie non plus surj~
la face & mais sur la face /o)~ aura le triangte (/<j. f2)~)
et l'on trouvera l'angle Pour avoir/c~, on résoudra le
triangle (yt. ;;(), t2o), dans lequel on a e/~=/)f)°~o',
y~~=7~°~' et .=~ t28"52' qui est la somme de r correspon-dant à l'axe a et de T correspondant à i'axe ~a. On trouvera
i
yc''=i;i2<)°~/(angle reet).
On voit que la détermination de ces sortes d'angles exigeune construction géométrique un peu compliquée qu'ii n'est
pas toujours facile de trouver forsqu'onn'a pas l'habitude des
calculs cristallographiques. Le mieux sera donc de calculer
ces angles par la seconde méthode dans les triang!esa résoudre se trouvent directement placés sur ie dessin de la
projection.
DËUXimn; MHTHOD):.
I. – /)e<ey'/?:t/tf<<to/tc/e.s' e/enie/i/.ff~e/f</'o/e /t/<t't'f.
Nous partirons des mêmes données fondamcntaies que1
précédemment: ~3")', e'63"5o', ~)=:36°3.')\t 1
c~ /i9°4o', & =: ~2"23'.
TAftTRATE INACTIF DE SOD)UN, TffALLiM). t3~
On calculera d'abord (P/. V, 2~) ~/M par la for-<
mule (13) [ou, mieux, /Mc~par la formule (A)] et (<r<)~par laformule (B)(p.3o).
1 '< 1yMc'~ (form. A). On a c~ ==/)9°/)0' et c~~==e~+ ~~86°25'
!og2=o,3oio3 togcot49"4o'=9,9?-894 9,9~89'!1 1
togcot86"25'~8,79673 –bg2Cote~~=9,o977G L. s.=0,06907
li JL–Iog2cotc~~=a,o9776 R-o,83ft8 IogcotM~'=9,85987
9,~028
Iogcot63°x5' =-. 9,6993?. L. s. -= !,Ho':47
R =-= o,o;096 Iog2cot(<7)~' .-= 8,toi.!8t
ioga = o,3o)n3
logcot(a)g-' == 7,8o5y8
~:e'~=54°G'.
(a)~'(form.B).Ona a
c~' == G~°5o' et 180"- (e~ ~) 63" a5'C2bT=G~z°5o' CC Lsg1=t8o°__ ~~ï~1~) 'cc 63025':
(a)~~89"38'.
On résout le triangle bpc, polaire du triangle (Pl. Il, 48et 62), et dans lequel nous connaissons les trois côtes. On aura
ainsi l'angle &cy.)~:5~38'.Le triangle (a)pc, dans lequel nous connaissons
(<ï)e=~<)y--e~- ?.G°/,8',
c/) et l'angle compris ~c~(r<)c~. On aura ainsi (c:)~'c=~35"~2'.Le triangle c/ dans lequel nous connaissons c~, c~ et
Fangle compris/)e~~ 180° – ~Cjp ia5°22', nous fera trouver
p~=95"34' et l'angle e/46"4/.Le triangle w/ dans lequel nous connaissons
==c/) -j- cnz to'}'jC', ~y = g5°3.'i'
et l'angle compris yK/c/=:/i6"/i/, nous donnera
m~ A' y -= to3"3()'.
l36 MAXUEf, PRATtQLE t)E CfUSTALLOGHAPnfjE.
Dans le triangle nous connaissons le côté y~ .:= 9~°3/i'et les angles
//g-jD= to3°3()' et /~y = )'~)~c~- c~y = x 8?,"9.g'.
Nousaurons ainsi
/=!0)°'7', /g''=8t'8' et ~/i'=~=f)3''3''i'.
On calculera l'axe a par l'une des deux formules I~,I&(p. 3~),
puisqu'on connaît/?~'et~/t'<–7~ou /M~ et/?!
On calculera lerapport par la formule IVa, car on con-
naît /?! c/) et e/?:, et l'on aura ainsi l'axe c, puisqu'on con-naît a. On pourrait prendre tout aussi bien la formule II&, sil'on avait calculé dans Je triangJe e~ t'angie c~ qui don-nerait en même temps e~A-y/t–c~
II. /)e'<e/?!t~<ï/to/tdes 6!M<M/o/6.
Face x. On Ja trouvera par J'intersection des deux zoneset et <r/ ou bien, en connaissant ~c~ on résoudra le triangJe
dans lequel on a/ et J'angJe /r- ('), etJ'en aura l'angle o' et par conséquent A/j' /</)~ – ~/?.On calculera alors i'axe na par la formute t&.
T~cej'. – On résoudra le triang)e y/y', dans lequel onconnait les trois côtés, puisque i'angle et yp sont donnés
par l'observation. On aura ainsi Ics angles g'py ctj~ onaura en même temps
~y'g' et
On catcu)era alors le rapport '~° par la formule 11~et l'axe na
par la formuie f& on aura ainsi l'axe me.
0 Nous n'avons pas calculé cet an~c, mais il est 1res facile de l'avoir
cnrësotvantic triangle c//?,y dans lequel on Cf)nnait.c< et j'angfe
compris ~</=:t-c<t. L'angfe~/t est évidemment, égal a l'angle
e~o/t que nous avons calculé.
TARTRATE iNACTff DE SODIUH, THALULM. )3~
II[.–Ca'/CM/ù'MfMg~M.
Je n'indiquerai ici que le calcul de quelques angles secon-
daires qu'on n'obtient pas facilement par la première mé-
thode.
j
~4/cyc~. – On trouvera d'abord par les formules IV~et
t/, (p. 36) les angles y/ et yp, par conséquent
~=g-–i'.
Le triangle ~c, dans lequel on connaît cp et !'ang]e
compris j~c =~A'-t- A'~c, nous donnera /c et i'angte ~c/)
qui nous servira pour le calcul de ym. Si l'on a déjà calculé
l'angle /e~ on trouve immédiatement <y= ~c–yc.i
~& – Dans le triangle y &/?, on connaît yp, &~ et
l'angle compris 6/?~~=:&/?A'–t'[&<'=~c–(a)/j)c];on trouvera donc &
~t/z~/ey/M. – On résoudra le triangles/Me, dans lequel on
connaît cm, yc et l'angle compris ~e/M~i8o°–~c~. On
trouvera ainsi ym.j~
A/ c2x. On calculera xp par la formule tV~ et -cp~
par la formule 1~. On résoudra ensuite le triangic cpx, dans
lequel on connaîte/ct l'angle compris c~~=:c/i-)~.On trouvera ainsi c~ Connaissante~, on connaît~=c<–c~e.
t38 MAKL'E), PXAUQUK UF. C)t)STAt.I.OGi!A)')H)!.
CHAPITRE VIII.
SYSTÈME MONOCLINIQUE.
(Tt/b/io.M~~Kf~ c/MO/o~t~e, c/MO~!ë7/M<~ p/'M~te oM~Ke
.y/?:<Me,<e.)
Si,dansla/ t~(P/),onsupposeA:=:A'B==/=;9o",
par conséquent, <x=:go° et l'angle C==y==:A'9o'onaura les axes et les plans coordonnés du système monocli-
nique qui sera ainsi caractérise trois axes d'inégale longueur,l'axe a faisant avec l'axe c un angle différent pour chaquesubstance et l'axe latéral b i étant perpendiculaire aux deux
premiers. On convient de placer toujours l'axe incliné a et
l'angle A'jO obtus en avant.
Puisque A' ct/j. sont des angles droits, tout est symé-
trique des deux côtés du plan qui devient ainsi K/t <r/e
~/M<M coupant le cristal en deux parties égales, une gaucheet une droite. Aucun autre plan de symétrie n'est possible,car A'/) étante 90", les plans A' etp partagent le cristal en deux
moitiés, antérieure et postérieure ou inférieure et supérieure,dans lesquelles les angles dièdres des deux côtés des plans A'
et p ne seraient pas égaux, mais supplémentaires. Il suit de
la qu'aucune forme simple de ce système ne peut avoir plusde quatre faces, qui doivent être parallèles entre elles deux
à deux, car seules les faces situées a droite et à gauche du
plan de symétrie sont géométriquement semblables.
I! est facile de voir qu'en rapportant toutes les formes sim-
ples possibles dans le système monocliniquc au prisme pri-
mitif, comme nous l'avons fait pour le système tricliniquei° Les huit arêtes horizontales sont de deux sortes d~o~
SYSTEM)! NONOCUMQL'H. )3f)
et &~)&&(Pl. 77/,y< ï22), les unes correspondant, en effet àdes angles dièdres obtus, les autres a des angles dièdres ai-
gus. En tes tronquant suffisamment pour faire disparaître lesfaces prismatiques, on arrive a l'octaèdre~. f3t (7-V. /).
2° Les quatre arêtes verticales sont de deux espèces AA et
comme dans )e prisme triclinique, puisque les unes cor-
respondent aux angles obtus, les autres aux angles aigus du
prisme. En les tronquant jusqu'à suppression des faces/M, on
a un prisme analogue à celui de la /t~. 2t (/), dont les
faces sont parallèles aux plans coordonnés et dont les anglesdièdres seraient /~=/j'==ao° et /</j~go°.
3° Les huit angles solides sont de trois espèces quatre an-
gles eeee égaux entre eux, puisque leurs angles plans sont
identiques, deux angles oo différents des deux angles aa,
puisque les angles plans des faces prismatiques sont obtusdans un cas et aigus dans l'autre. En tronquant les huit anglesa la fois, on a un octaèdre analogue a celui de Ia~. 20, maisdans lequel les faces i seraient égales aux faces e.
L'ensemble de toutes ces formes primitives possibles dansle système monocHniquc serait représente par le poiyèdre(Pl. /y~. t23). On voit que le nombre de ces formes est
moindre que dans le système tricfinique (/ I, 2?.);elles ne sont plus que neuf, la présence d'un plan de symé-trie supprimant les formes i, c, f, t.
Quant aux diverses formes dérivées, elles sont égalementmoins nombreuses que dans le système précédent. Nousavons déjà vu (p. 5g) que trois cas pouvaient se présenterici.
a. L'axe c ayant seul varié, la position des faces tronquantles arêtes et les angles solides, par rapport aux deux autres
axes, ne change pas; elles sont donc en zone avec les faces dela forme primitive, dont elles ne diffèrent que par l'indice.
Eiiesdeviennent<r~~(/<o~),o~==:(Ao/), e~~ (o~), ~(7t/t/),~r= (/</).
b. L'axe vertical étant =: l'axe a a varié et est devenu
na; c'est le cas de toutes les formes prismatiques qui tron-
quent les arêtes /?:/<et/K~(P/. 7/y< i23), et se trouvent parconséquent dans la zone Aj. Sina> a, c'est l'arête/< qui est
t~O MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGttAPmE.
tronquée et l'on a une face dont !c symbole est A- (/oavec /<> A; si na < a, la troncature se trouve sur t'arcte /7!et la face est désignée par ~= (A~o) avec /< <
c. Les trois axes sont n a t me. On a ainsi des faces oc-
taedriques qui ne se trouvent dans aucune (tes zones de la
forme primitive (Pl. l, fig. 23). Mais, dans le système rnono-
ctinique, les arêtes c étant identiques aux arêtes b, et les
arêtes~ aux arêtes les troncatures des deux eûtes du plande symétrie sont identiques et le nombre de ces sortes de
formes se réduit à quatre
En faisant la projection stéréographique de toutes les faces
primitives et dérivées du système monoclinique, on a la
y~. 218 (Pl. V). Les quatre faces octaédriques (/) y occu-
pent une position variable, mais se trouvent toujours les
deux premières dans l'intérieur des deux triangles opposésles deux derniers dans l'intérieur des deux triangles
opposés 7K/
I. Calcul des éléments de la forme primitive.
La marche a suivre est tout a fait semb!ab[e a celle qui a
été indiquée dans le système triclinique, mais les calculs sont
ici beaucoup plus simples, car il y a moins d'inconnues a
chercher et la plupart des triangles à résoudre sont des trian-
gles rectangles.En effet, nous n'avons plus a déterminer que la longueur
des axes a et c et l'angle plan que ces axes font entre
eux (/ ~< 17). Cet angle est évidemment égal à l'angle
dièdre C, puisque A et B sont des angles droits. Pour trou-
ver ces trois inconnues, trois données géométriques indé-
pendantes entre elles sont nécessaires, tl suit de la
[° Qu'un cristal monoclinique qui n'aurait que les faces
ct/~ne serait pas déterminable, puisqu'il ne nous donnerait
que deux angles /M/) et /K/H;3° Qu'il ne le serait pas davantage si, outre le prisme et la
(~.)')-~(/f/))/t >
(f~)=(/i/~)i(<)=~(~~)=(/~i
SYSTEMEMONOCDXJQUE. f_'j.)1 1
base, il y avait encore on y' ou les deux à la fois, car ces
deux faces n'ajouteraient, aucune donnée nouvelle, )e plan g'étant un plan de symétrie coupant le cristal en deux moitiés
exactement, semblables et l'angle /t'y' étant un angle droit;3° Que le cristal le plus simple qui permette de déterminer
les éléments de la forme primitive doit avoir outre etpl'une des formes a, o, e, b, r/, ou, en général, posséder une
face coupant les trois axes à la fois ou deux faces coupantchacune deux axes différents.
Nous avons vu que dans le système triciinique trois faces
quelconques se coupant entre elles pouvaient être prises
pour plans coordonnés, ou, ce qui revient au même, pourA'== (i oo), ~== (oto) etp:= (001) tel n'est évidemment pasle cas dans le système monoclinique, dans lequel on est sou-
mis à la condition d'avoir A'y'go". Seule la face ppeut être arbitrairement choisie parmi les faces qui se trou-
vent en zone avec et perpendiculaires à ;$' puisque )'angteA'/? =:y est variable d'une substance a l'autre et n'est jamaisdroit. H faut pourtant remarquer ici, comme on l'a fait précé-demment, qu'on doit, autant que possible, choisir parmi les
faces existantes ou possibles dans le cristal cette qui fait avecA' un angle qui ne s'éloigne pas trop de 90".
Il est à peine besoin d'indiquer en détail ta marche à suivre;
pour ceux qui se seront familiarises avec les calculs du sys-tème trictinique, elle ne présentera plus de difficultés, car il
leur suffira de se rappeler que les angles dièdres situés à
droite et à gauche du plan de symétrie sont égaux entre eux,et que tous les triangles sphériques dont l'un des angles est
A' ou~eT' sont des triangles rectangles. Je vais pourtantdonner trois exemples qui feront clairement comprendre tes
simplifications que la symétrie monoclinique introduit dansles calculs.
I. Soit un cristal ayant les faces ~?, a (Pl. IlI, y~. i?,~) et
soient donnés les angles /K/M, y?~ et ap. Le triangle rectangle
(Yt~ isS), dans lequel nous connaissons /M,y et ~)/M nous
donney=;A' et T qui nous permettra de résoudre le triangle
rectiligne rectangle (fig. 126) et de trouver la longueur de
l'axe a, l'axe b étant pris pour unité. L'axe c se calculera
1~2 MARCELi'ttAT)Q~H[))!CR)ST.H.f.f)GKAP)))):.
aisément, puisque nous connaissons a, 7 et <'<='(/
/<3)).0n a ainsi tous les éléments qui caractérisent la
forme primitive clinor)ion))ji(}ue: les trois axes et l'angtcd'inclinaison (le deux d'entre eux. Supposons maintenant
que l'angle ainsi calculé soit très différent de oo"; nous
considérerons alors la face /< comme une face o. L'angte
que nous avons trouvé sera alors ~/+~ (y/3t) et
son supplément sera ~Puisque r/(qui devient mainte-
nant f<o) nous est donné par l'observation, nous avons
p.'=r<x~– Connaissant p. et p- nous calculerons le nouvc!
angie d'après ia formule A (p. 6.')). Avec et nous trou-
vons v, et par conséquent le rapport Pour avoir l'axe a, il
faudra résoudre le triangle (7~. /7~ /t~ ]a5), qui nous don-
nera? et par conséquent l'axe a (/ '26).
IL Si ]'on avait un cristal avec les formes //t et e et les trois
angles mesurés /M/M, ee et /Me, on résoudrait d'abord )e
triangle ob)iquang)e (/ //A /f' izy, t'~S), qui donnerait y,
puis le triangle rectangle en /)~ (/ 130), qui donnerait T
et par conséquent l'axe a. Enfin le triangle rectangle ou A~
(/t~2g, i3o) donnerait, ï: et par conséquent l'axe c,(/ J-'i')).
IÏI. Supposons enfin un cristai ne possédant que les faces
octaédriques b et d (7- /y< !3f), dans lequel on connait
les angles bb, < et bd. Le triangle obliquangle (./<e, '3~),
nous donnera N et le triangle rectangle en /)~- (y' )3t
et i35) nous donnera et ?. Nous aurons ainsi '/==N–
ce qui nous permettra de calculer (~ yt. 3;) par la for-
mule A (p. G5), et par conséquent lerapport L'angle plan-r
nous permettra de calculer l'axe a (/ 77/, t26).
Les mêmes simplifications se produisent lorsqu'on calcule
un cristal monoclinique au moyen de sa projection stcréogra-
phique. En effet, dans le triangle qui réunit les pôles des
faces/?, les deux côtes/?~ et et les deux angles ,A
et. ~Ay== go", l'angle /~A est par conséquent ~<. Dans le
triangle qui réunit les pôles des trois axes a, b, c, on a égale-ment ac cb -= cab == cba no", d'où il suit que le pôle de
SYSTÈME MOXOCL!QLE. J:~3
l'axe b coïncide avec le pôle de la face (Pl. )~y~. 22~),et que ac= y ==/?/t'.
Il n'y a donc qu'à calculer A' s'il n'est pas donné par l'ob-
servation, et les distances du pôle d'une face octaédrique
quelconque aux deux axes a et c, pour avoir et a b c,c'est-à-dire tous éléments (le la forme primitive.
S'il s'agit, par exemple, du cristal (/ y~. f2~), on
commencera par résoudre )e triangle (A')/~7~ (/ /<,y.a2~),
rectangle en (/), dans lecluel on connait /M/<'=~t//t et/K/on aura ainsi (/ )/,) == et l'angle (A')/j/M. On ca)cuiera alors a
parla formule V/,(( p. 34). Le triangle (A')a~ rectangle en (/),et dans lequel nous connaissons (A')/M et a/M, nous donnera
a (A'), et par conséquent ap ;=(/<')/) – <!(/<'). On pourra donc
calculer le rapport par la formule VIa et avoir c, puisqu'on
connaît a.
Si l'on voulait calculer le cristal (/777,/< t3f) avec les
données d'cl, &'&et db (7~ /t~. 22~), on commencerait parrésoudre le triangle <f& (~), dans lequel on connaît les trois
côtés, puisque &=9o''– ~&'& et c/go~H- on aura
ainsi les angles &(~)~=:(o)aet&f/'(~). On résoudra ensuite
le triangle d'p(o), rectangle en (o), dans lequel on connaît,
~'(</)=~'Cg-) et ~'Co)=~r~;
on aura p(o) et<(o)==7M/)(/!). Ce dernier angle permetdecalculer l'axe a par la formule V/ Connaissant (o)a et (o)p,on connaît ~~=(o)a–(o)p. La formule (A) (p. 3o) nous
permettra alors de trouver <-<(A)et par conséquent
p(/<) = = ~(/; ) –
Connaissant op et s(A') ou (o)~ et (o)(h), on calcule par
la formule VIa (p. 3~), et l'on a c, puisqu'on connaît, a.
II. Détermination des symboles des formes dérivées.
Nous savons déjà que le problème peut se résoudre pardeux procédés différents
t" On calcule les paramètres de la forme dérivée en suivant
MAKUEL PRATIQUE DE CI!!STALLOGnA!'ff!Ë.
la même marche que pour la forme primitive et l'on trouve
ainsi les axes na, i, me, qu'il suffit de diviser par les axes a,
i, c de la forme primitive pour avoir la valeur de n et m.
Les faces situées dans la zone ~<' seront calculées comme
s'il s'agissait des faces m, celles situées dans les zones pA',
y~' et /K~ le seront comme s'il s'agissait des faces o', a', e',i i
& e~ et une seule mesure goniométrique sera nécessaire,
puisqu'il n'y aura qu'un seul paramètre à déterminer, les deux
autres étant égaux aux paramètres de la forme primitive. Seules
lesfaces (/f/) exigent deux données, par exemple leur incli-
naison sur deux des faces/), ou hl qu'on trouve directement
par l'observation ou qu'on calcule, parce qu'il faut déterminer
ici les deux paramètres nae! me différents des paramètres de
la forme primitive.20 On se sert de l'équation (c) (p. 15), qui permet de dé-
terminer directement, et sans aucun calcul trigonométrique,la position d'une face se trouvant sur l'intersection de deux
zones connues. Ce procédé, de beaucoup le plus expéditif,devra être employé chaque fois qu'il sera possible.
On trouvera, dans les exemples de calculs à la fin de ce
chapitre, des applications de ces deux procédés.
III. – Calcul des angles.
Ce calcul, nous l'avons vu, n'est que la contre-partie du
calcul des paramètres; les mêmes triangles rectilignes ou
sphériques peuvent nous servir, si nous y considérons comme
inconnues les angles plans et les angles dièdres.
Les données fondamentales a b c (ou na b me s'il
s'agit de formes dérivées), et l'angle –?A', que nous avons
obtenus au moyen de trois angles mesurés, suffisent pourcalculer tous les angles dièdres qui peuvent se rencontrer
dans un cristal monoclinique.On commencera par avoir les angles li et ou
-;==f8o–(Y-t-) et '/=i8o–fY-)-[j.')
(/ I, 3t), T ou cr=90''–T (Pl. /77, ftg. 126), 7T ou
pr=go°–7r ( Pl. III, yt~ t44)t dont la valeur dépend de
SYSTÈME MONOCUMQUE. !/).')
la longueur na et me des axes. Cela fait, il est facile de
voir que nous pouvons résoudre toute la série des trian-
gles sphériques que nous avons rencontrés dans les exem-
ples I, !I et HI (p. :38) et, d'une manière générate, tous
les triangles sphériques analogues. Si le cristal possède un
grand nombre de faces et qu'il y ait par conséquent un grandnombre d'angles à calculer, il est toujours avantageux de les
calculer sur la projection steréographique, sur laquelle on
saisit mieux la position respective des faces.
On trouvera d'ailleurs plus loin plusieurs exemples de cal-
culs de ce genre.
1~6 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRA!'mf;.
Le cristal (y~A) présente les zones suivantes :<x&c,
t'e</6f~<, !y/)tMO, :~ccM<t, /(~a/x/ ~e/ y,?'~ M<&,
y?!M&.On remarque que, dans la zone a~c, les angles av et
&e sont égaux; que dans les zones < on a !=c'{',
/it=:t< ~(:=/;n\ La forme possède donc un plan de sy-métrie qui estpcrpendicuiaire aux faces de la zone A;elle n'est donc sûrement pas trictiniquc.
D'autre part, on trouve t" que dans les zones x, <
(' < tes angles .s'{\ '/< < /jt' = ;«', ai :=: c{;mais qu'en revanche les ang!es xi et sont différents detous les angles que les faces a'?, <y, et c, < .<forment
avec la face 2° que dans la zone ihi' parmi les angles /<,
ie, /'< <'6, il ne s'en trouve aucun qui soit égal a
l'angte tp<. Le cristal ne possède donc pas de plan de symétrie
qui serait perpendiculaire a la zone t, < puisqu'un pa-reil plan le couperait en une partie supérieure et une partie
EXEMPLES DE CALCUL.
PtiEN!EREXEMPLE. ~0~6M<OM<<'e.
WOLLASTONfTE. f~
inférieure qui seraient semblables. Donc la forme n'est pasorthorhombique, encore moins d'une symétrie supérieure;elle est par conséquent monoclinique.
Puisque, dans les cristaux monocliniques, le plan de symé-trie est perpendiculaire aux deux plans p et /<' qui renfermentles deux axes non rectangulaires entre eux, et que nous pla-
çons, par convention, le plan hl en avant, le cristal de lay! Ase trouve avoir la position voulue.
La face correspondant au plan de symétrie n'existant
pas, car il n'y a pas de face faisant un angle de 90" avec les
faces de la zone i, b, i', il nous reste a voir s'il y adans cette zone des faces que nous puissions choisir comme
plans coordonnésp et A'. Ces plans sont soumis a la condition
d'être aussi peu éloignés que possible de 90°, et leur positiondoitëtre telle, quel'angle dièdre obtuse soit enavant. Or, noustrouvons précisément, parmi les faces de cette zone, les deuxfaces <et&, qui font entre elles un angle dièdre de 9.5°a3': nous
pouvons donc les prendre pour nos deux plans coordonnés.Mais laquelle considérons-nous comme /j et laquelle commehl? Le choix ici semble absolument arbitraire; on remar-
quera pourtant qu'en prenant b pour A' les faces a et c de-
viennent des faces prismatiques qu'on pourra prendre pourprisme primitif; dès lors, les faces r, <y,/;)et s, <, Mseront desfaces octaédriques et les faces x, < des faces octaédriquesdx; les faces j, k, o seront des faces ex, les faces A,
g, d des faces et la face sv une face o- Toutes les facesauront donc des notations très simples.
Tel ne serait pas le cas si l'on prenait la face i pour A'; le
prisme primitif 7~ serait alors parmi les faces j, .o, les
autres devenant des faces ou /< Les faces a et c seraientdes faces ex, les faces de la zone ibi' conserveraient leursnotations. Mais, parmi les quatre dcmi-octaédrcs/s, M,c,il n'y en aurait plus qu'un dans la zonc/?/M et pouvant êtrenoté bx, les autres se trouvant dans les zones ou/ ap-partiendront à des formes (ddh), (~), (~A) ou (&).
Sans doute la complexité plus ou moins grande des nota-
tions et des symboles des faces est une question fort secon-daire en Cristallographie, car elle cstdc pure Géométrie et n'aaucune espèce de rapport avec les propriétés physiques des
)~8 MARCELPRATIQUEDE C)ttSrALLOGKA!'nf):.
corps cristallisés. Ce qui a une importance considérable, c'est
le choix d'axes coordonnés aussi rectangulaires que possible,car de semblables axes, comme l'ohservation t'a montre plusd'une fois, permettent, de comparer des substances chimique-ment voisines, et appartenant a des systèmes cristaiiins diffé-
rents. Dans le cas présent, il vaudra mieux s'en tenir à la pre-mière orientation, qui simplifie les notations, tout en conser-
vant les mêmes axes.
Mais on peut ramener le cristai que nous étudions à des
axes plus rectangulaires encore que ceux que nous avons
choisis, ce qui présente un grand intérêt, car on a constaté
que la woliastonite était dimorphe et que sa seconde forme
était très probablement quadratique. On trouve en effet dans
la zone ib, i' deux angles très voisins f'e:==6c)"48' et
e~=65°/t4'. Dans le système monoclinique, les angles hl o,
/t'<x ou po, ~a sont égaux aux angles pians et
puisque les plans /<' et font entre eux un angle droit; nous
pouvons donc calculer par la formule A (p. 65) i'angie y, quenous trouverons de 8'38". L'angie o~<K~y qui doit se trouver
en avant étant toujours du côté de li. ou de c'est-à-dire de
l'angle plan le plus petit, ce cristal devra être retourné la face
i' en haut. Les faces f/, &, seront alors des faces ox, et les
faces e, f, h des faces < Si nous considérons la face e
comme A', la face n~est une face c~; les faces p et /tdes faces
prismatiques qu'on pourra considérer comme appartenant au
prisme primitif ou à tout autre prisme, les autres faces dont
il nous faudra calculer les inclinaisons sur les trois plans coor-
donnés p, A', seront des e-~ou des bx, ou des faces oc-
taedriques dérivées plus complexes. Si nous prenons la face e
comme basep, les faces d, b, w, e, /< garderont la même
notation, les faces/? et Mdeviendront des e~; il n'y aura pas de
faces prismatiques, et les autres faces seront des faces octaé-
driques à symboles plus ou moins complexes. Parmi les di-
verses positions du cristal que nous venons d'examiner, ii
importe de choisir celle qui fait le mieux ressortir les analo-
gies géométriques ou physiques avec des substances voisines.
Supposons que la position (/tj. B) soit sous ce rapport la plus
avantageuse et que nous l'adoptions.
WOt.LASTOKtTE. !~C)~)
L'observation nous a fourni Jes angles suivants (ceux quisont marqués d'un astérisque sont pris pour données fonda-
mentales de catcut):
Puisque l'angle ~'A'y=:8~3y' nous est directement
donné par l'observation, il ne nous reste plus qu'à calculer les
axes a et c pour déterminer complètement la forme pri-mitive.
Dans le triangle spherique (P~. )2/i, i25), rectangle
en pg, nous connaissons y ==95° aS'et 7Mj'go°–/??,=;~6°6'.On aura donc
d'où(~a6)
Dans le triangle (/~a'. t3), t35), rectangle en/?~ nous con-
PREMIER);;MÉTHODE.
I. Calcul clese7e/?:eytf.sf/c la /o/'nte primitive.
T:=45°M'.
!oga = logcot': ==9,f)853/j,
a=o,()668.
/M/ '3'54'
p/ "84.37
p~ 9.0.7.8
~<r;y. 5o.ï8
Zonc/?/ /a- <!5.]77
69.~8
78.~ 2
/~o. <35.2<)
,/?&.)' 4?. GG~
Zonewn10~ 5f).!0
75.
*fi8.)~.
Zone
fpe- 3/J.7}
Zonopg~e' /!<t.t7
~/?c. <]~7 î
log sin g5° a3' = 9,99808
!ogtang46° 6' = o,ot668
)ogtangT = 0,0~76
)ogcos 95°~3' ==8,g7?.~9
iogsin~6° 6' = 9,85~66
–logées wp= 8,82995
–/y: 8G"/mp. 93"53'
-< 1
l5o MANLEL PRATtQt.E CE C)t<STA[J.OGRAP)HF.
naissons -= /i5°58' e~~f/=68"!2'. On aura donc
logsin /i5"58' <),856C<)
)ogtang68''n' 0,39797
togtangv. o,'25)(if)
o60.55
Y. gj.~3
i56.i8
jj. 23.48
iogsin6o°55' ~g~t~!ogsin23°~)8' 9,60589
log?. 0,33558
loga. 9,98534
!ogc. 0,3209'~2
togsin/!5"58' g,85GH()!ogtang5<)"io' o~z~oc)
Iogtang' 0,080~8
o5o.f88~.37
]3~.55t~ 45. 5
d'ou(P/y~.3!)
0=2,0937.
1Mais nous voulons prendre pour octaèdre primitif ~~=(: i ;)
la face & l'axe c que nous avons trouvé devient ainsi me.Nous résolvons alors le triangle (/ /77, ) 3 ), 136), rectanglecn/?~, dans leque),outreT~; /)5<'58', nous connaissons encore
bxp = 59" to'. On aura
WOLLASTOXtTE. !&) 1
d'où
m=i.
Pour avoir l'axe vertical correspondant à la face & il
faudra donc diviser par 2 l'axe correspondant à la face dx, qui1
se trouve ainsi étre~}~~=:=(22t)~=< On aura ainsi
c =1i,o~68.
II. Détermination des autres formes.
Faces <7~ a, <7~,c~, o. II suffira, pour chacune de ces
faces, de résoudre le triangle rectiligne (P/yt~.3t),dans
lequel on connaît a, y ( qu'on prendra aigu pour les faces a et
obtus pour la face o), ~'=:~ap ou v == o/? et par conséquent
jj.'=/i'a==i8o°–(-)'+'/) et p.==/<'o=i8o°–(Y-t-~).
~meOn aura ainsi le rapport –.aPour la face a, par exemple, on a
m=='2.– 1
La face est donc } o =: ( 2 oi ) ==<
Iogsm5o°t8' 9,886:5
!ogsin~5° 5' 9,85oi?.
)og– o,o36o3
tog~ o,33558
logm. 9,700~5
0
<~– Go.48
Y. 84.37
i54.5
a/=jjL' a5.3~
sin6g°/i8' 9,972433
sina5°35' (),63531
kg– 0,337:2
!og~ o,o3444a
logm. o,3o?.68
<)
l5a MANUELPRATIQUEDE Cn!STALLOGRAPH!E.– – t
On trouvera de même que <~– ( i o3) c~,<r< (jo3)==a",)
6:==(3ot)~=a",or;(fo t) -= o'.Lafaces-sera déterminée sansaucun calcul. EHe est en effet en zone avec les faces octacdri-
ques leurs axes verticaux sont donc identiques et., commei
ta face a été prise pour octaèdre primitif la face se
trouve être (to f) a'.
/'6fCM ey, e~, e. – On résoudra le triangle (/ //7, /< '~9et i3o), rectangle en et dans lequel on connaît y -r 8/)"3~'et e~'==<)o"–/?e. On trouvera ainsi Tr, et par conséquent
P = 90°– 7:,
qui permettront de résoudre le triangle rectiligne rectanglede Ia~. i44. et de trouver l'axe me.
Soit, par exemple, la face e. On a
~'e=G4''2/, donc c~=?.5°33':
I 1
~=~~=~-
IIl 2
La face est donc = o } { ==( o a ) -=.:ei.3
On trouvera de même que e~= (oa3) =: e~.
Quant à la face e- qui se trouve en zone avec et A',elle a évidemment le même axe vertical que l'octaèdre pri-mitif elle est donc (o i) ===e'.
Faces &, &y. – La face & est en zone avec /<' et e que nous
avons trouvée être c' Son axe vertical est donc 20 et elle estT t 7
=(23f)=~.t 1 t
logsin 84°37' 9,99808
Iogt,ang~.5-'33' 9,67947
!ogtangT:=)og~ 9,6773~
)og~ 9,9802~
!og~ 9,69733
WOLLASTONITE.
La face &~est en zone avec A' et e~ qui a le même axe ver-
tical qu'elle, c'est-à-dire -~a. Donc &y-r- (~a3)–
Les faces observées dans le cristal sont donc
/(t0o), ~(00!,), m()to), O'(tOI). f~(To[), a~(~0~,t 3
~<5o3) ~(To3), ~'(3ot), e'('<))t). e'~(oti,), e~o~3).
1~s(-fi;~ ~(~9.)), &'<~a3),i;
111.Calcul des angles.
Faces a et o. – Soit à calculer les angles de la face c'. On
connaît (7~y~. 3t) a, 3cety=84°3y':
On calculera de même -les autres faces, en prenant, bien
entendu, pour la face o, l'angle y >9o°. Lorsqu'on aura cal-t i
culé ainsi l'angle par exemple, la diuerencc~~–i t
donnera l'angle ~'<'< etc.
loge. o,o!978
log3. 0,47712
tog3c. 0,49690
loga. 9~8534
]o. o,5n56a a
a!og~-=!ogtangc. 9,488~)
oe
c. 17.7 7
(45''– 27.53
logtang?,7"53' 9~
logcot~Y=]ogcoL.i'f9. 0,04074
Iogt!ing~-(~– 9.7~428
0
go''–.j2°t9'=~(')-). 47-4'
~('/–j/t. 3o.to
i-/=:pf~ 77' 1
o 1
47°~'3o.too
ijj.'=/< t7.3f 1
ï54 MAKUEL PRATIQUE DE CR!STALLOGRÂP!m'.
3
jFacMe. – Soit la face < Dans le triangie rcctiiigne rec-
tangte (P/. /f' ~4), on connaît, Faxc b r= i et l'axe §c; on
calcule 7t:
n. = JJ°J~.
On résoudra alors le triangle sphérique (/ !2(), t3o), rec-
tangte en dans lequel on connaît 71et y = 84° 3~'
3
e~' ==55°~3 t
go''– e' = e~ = 3/i°48'
e~85"35'.
On calculera de même les deux autres faces. Lorsqu'on3
aura l'angle e' ]a différence e'/) – e~ donnera l'angle3.
e'e~etc.3_
Faces &et < Soit la face b'. On calculera ou p. abso-
lument comme on l'a fait pour les faces <7, en résolvant le
triangle rectiligne rectangte de iay~. 31 (P/. /)
loge. o,ot()';8
tog~ 9,82387
Iog~c=!o.a;cotT: <),84365
togtang55°~ o,t56ia.iogsin 84°3: f),[)f)8o8
iogtangeg' o,i58o)
Iogtang84°3/ f,o25~<)
logsin 55° 5' (),()t38[
togtange~ f,)ng8
toge. o,f)<9~8
!og~ 9,8~387
)og~o 9,8.j365
toga. 9,98534
etog-Iogtangtp. 9,8583t
a at.J
WOLLASTONITE. <55
Si l'on voulait avoir l'angle &t', il faudrait résoudre un
triangle sphérique rectangle en h c -,analogue à celui des/i~. t3t
et 182, mais qu'on placerait dans l'un des quadrants posté-rieurs en haut ou dans l'un des quadrants antérieurs en bas.
Dans ce triangle nous connaissons &=:5()°3~' et~i5~°~5'.On aura ainsi
Comme pour les faces o: et e, lorsqu'on aura calculé l'incli-
9o''–4~t9'=~ <7-4"
~([JL'– )u.i â
5~
logtang 45°38' 0,0~66
logsin 37°37'==(),78560
logtang &~= o,?,9o6
~===~M' 5t).27
c. 35.~9
(45"–e- <).it
)ogtangg°n' <),ao8G'
Iogcot4~°'9' 0,04074
!ogtang~(~'– (),a4()36
!ogcos57°4' 9.7~7?-3
Iogsin5()°ay' g,()35io()
Iogcos& 9,66~33
u45
0 /)
47-4'1
io.4 ~t
37.37
togtang37°3/ =9,88681
Iogsin.~°58'=9,85G69
togtang6~=:o,o3oi2 z
2
9~~t/~t~jjg g~ (ang!edièdre)
3
/?=:/i6°5(/.
&=-6~°3t)'.
3
)56 MANtJE).PRATIQUEDKC)!fSTALLOG!tAmfE.
naison d'une autre face & sur la base, rang!e &?, par cxem-3 1
ple, on aura par différence l'angle & Puisque, d'autre part,3
les faces /< e~ et se trouvent en zone, et que nous avons3
calculé déjà t'angte e~A', on a
3 3e~= 85°35'–G'<°3()'= M"56'.
On a également par une simple soustraction les angies &
puisqu'on connait/?7K. Ainsi, par exemple,
~/M= 86°7'–4G''59'= 3()°8'.
DEUXIÈME MÉTHODE.
I. – Ca~cH~~e~éléments de ~o/Ke~t/Mt~tfe.
Pour varier les procédés de calcul, nous choisirons ici d'au-
tres données fondamentales. Soient donnés les angles
~y/i' = 45°5', o/ = ~o°6' et. &) = 5c)°10'.
On commencera par calculer /?A'y par la formule (B)
(p.3o):
Y=p/=84°34'.
Si nous considérons les faces o et a~ comme appartenant à
la forme primitive, nous pouvons de suite calculerpar
la
formule VIa (p. 3~). Nous connaissons, en effet, o/r=~o°6'et o~=~A'– o/t'~ ~"28'
)ogcott3<)°5~'–o,o'746''
logcot ~5'' T–<),<)()8~:{
R~o.o~Sg;L. s. = 0,79~)0
0,0~465L. s. -0,79.~0
~7975
ioga==o,3oto3
!ogcotp/=
8,[)787'n ln<)If
!ogsin44°28' <),845~0
iogsin~o" 6' 9,8o8()y
tog~o,o36/(3
WOt.LA.STOMTf:. t5~
!ogtang5o°~j' o,o8[58logLang5g°i!). o~a/ion
Iogcos<7~& (j,85y4()
Iog°- o,o3G43
ioga. 9,<;8383
logC. 0,020?.R
logsingj" 9;9<)8ot
!ogtang43°5C' --=9,98383
log tang /H'= 9,98 f 8y
togt.ang()5°a6'= fjOz:~
!ogcos.'i3°:'iC' =='),8;)7~9.
iogtangp/M'=- [,t6.{33
p/H. 86° 5'
p/K' g3°53'
Pour avoir l'axe a, nous commençons par résoudre le triangle
(~F~y~. 2:9), rectangle en ay, dans lequel nous connais-sons a!~==~/t~–ay/t':==5o°ai'et<?~59"io'; nous cherchons
)
l'angle ay/~& La face &~est évidemment l'octaèdre &~(! i),
puisqu'elle se trouve en zone avec <~ que nous avons consi-
dère comme appartenant à la forme primitive et qui est par
conséquent s~
<~yp&=/?/?/ = _{3°'56;
d'oùpar)aformuteV&
loga = logtang 4~55'= 9,98383,
a.=o,9635.
L'axe verUcai sera donc
c~i,o~.
Le triangle A'/?/H', rectangle en A', dans lequel nous con-
naissons hlp = c)5°36' et,A'/j'/K'= /i3°56', nous donne de suite
/?/==/w=: 43"
p/K. g~~
Si, au lieu de l'angle ~p appartenant à l'octaèdre primi-
tif, on n'avait à sa disposition que l'inclinaison de la base
sur l'un quelconque des octaèdres dérivés, &~=.5°n', par
j58 MANUEL PRATIQUE DE CtUSTALLOGRAPtUE.
exemple, le calcul se compliquerait beaucoup, et il faudrait.
avoir un autre angle donné &A' ou &~ ou &e ou pe. Sup-posons le cas le plus désavantageux, celui dans lequel t'obser-
vation nous donne l'angle &A'j8°6', ce qui nous amène à
résoudre le triangle sphérique obtiquangie A'&/), dans lequelnous connaissons les trois côtés A'~==:g5"26', ~o~y5"n'et &A'==48°6'; on cherche l'angle A'/)&
Mais cet angle peut n'être pas exact, puisque nous avons été
obligé pour le calculer d'introduire une nouvelle donnée en
plus des trois angles fondamentaux, qui seuls doivent inter-
venir dans la détermination des éléments de la forme primi-tive. On trouvera l'angle vrai en déterminant le symbole de
la face &. Dans le triangle <~&, rectangle en a, on connaît
&~:=: y5°) i' et /p& r=: .'i~a' on cherchera f~
U U U U
9'a6 icg.2 iog.9.2 jog.22
yS.n <)5.2<) ~5.!< ~.6 6
6i3.56 3~.t[ 6[.)6
~18.43)og.t
sin[3°56'.=9,38!G{ 1 sinio()"M'==<'),97~70
sm34°'n=9,7~Gt sin 6t°t6'~g,94293
9,i3ta5 9;9'763
9,9'7S~
log tang~ & 9, 3 (M
)ogtang~<),6o68i
022. [
2
/~& 44. '2
logtang75"n' 0,5~7.54
)ogcos 44~ 9,8566~
logtang~ 0,4342'}
~=69° jj8'.
WOLLASTOMTE. !)()WOLLASTO
La formule VJ~ donnera
~M=a.
Nous calculerons ensuite ap par la formule VI~, (p. 3~). En
effet:
Nous pouvons résoudre maintenant le triangle a~ rec-
tangle en a, dans lequel nous connaissons que nous venons
de calculer et qui est i'une des données que nous suppo-sons fondamentales. Nous cherchons l'angte
log sin 69°48'. 9 ,972'¡3Iogsin69"48' 9,972~Iogsma5°38' n,636io
log"0,33633
log~ o,o3G43
logm. o,99f)o
!og°.o,o3643
log~ o,3oio3
!og–ogtango. o,33~4<i
–=. G5"t9
45
–(45°–o). 20.19
lo~tang2pk=logtan~ i;°G3' o,oGrzStogtang~ =-: )ogtang.)3' o,o;}ia5
Iogtang?.o'')g' f),')G8jic)9
iogtang~– 9,6097~
-)/!–f~ 32.9 g
–{3
a/?. 6f).j'.<
iogtang6()°52. o,i8o
logtang75"n' 0,377~
iogcosap~ 9,85826
<7p& = /) 7?!==.{3°~f)'
j6o MA~EL PRATIQLE DE CRISTALLOGRAPHIE.
d'ou, par la formule V&(p. 3~
loga = tos;tan~ {3°4') -= 'h98?-"C,
a.==o,(jjg5.
II. –/)e'<e/tt'f<<to/t~Ma!:<<e~yo/y!e.
~'<r<CMa et – Je prends comme exemple la face a~la marciie du calcul étant identique pour toutes les autres.
On a ~'<r~= 20° 28', par conséquent 6r/<)/t' –(.t~=-t°58'.La formule VI,, (p. 3~) nous donne
~=~
La face est donc (' o3) a~.
Si, au lieu des angles a~, f~ l'observation nous don-nait les angles a~/K, <r<yH, on commencerait par calculer
/H/<, dans le triangle /<yj/M, rectangle en A, et dans lequelnous connaissons Izp et A~M précédemment calcules. On ré-soudrait ensuite le triangle A~/M (il est indiqué sur ta figure
pour la face cr) rectangle en dans lequel on connaîtra /<
et a/M. On aura ainsi c~A et l'on calculera–comme ci-a
dessus.
Si l'on avait comme données les angles a~, on résoudrait le
triangle apb, rectangle en a, dans lequel on connaîtrait f<~
et l'angle ~&r~K. On aurait ainsi ap.
Faces e. On les calculera par la formule VI~. Par exem-
ple, la face ey, pour laquelle on a e~–3.3' et par consé-
Iogsin?.o''a8' <j,~436j
}ogsin74''58' 9,98488
me'-S
log- 9,77a a "J,
tog- o;o36/j3Va
)os:m. ;),5~.234
WOLLASTONtT: '6t
1 9
quent e~y= 55"
m=~
Donc e.– (oa3) =r~
Si l'on avait mesuré e/~ au lieu de e/j', on résoudrait ]e
tt-iangte~e (il est indiqué sur !a figure pour la face e.~),1,
dans lequel on connaîtra /M/), /M<?et l'angle /M/).~=:c)o''–/i/)/On aura ainsi ep et par conséquent e~=- go"– e/
Avec l'angle e& comme donnée, on résoudrait le triangle
&e rectangle en e, dans lequel on connaîtra ~e et l'angle
~~=:/?t/?y.
~acM b, On résoudra d'abord )e triangle /</?/ rec-
tangle en A, et dans lequel on connaît/)A et l'angle /)//?. On
aura ainsi /~t et en même temps /M et par conséquent
~/K:=go"–/< et 77~/?! ==2/7M. H suffira maintenant d'a-
voir soit soit &/Kpourca)cu!cr–d'après la formule VHi,
Du reste, dans le cas présent, puisque l'on a détermine
déjà les diverses faces a et e, et que la ptupart des faces b
sont en zone, soit avec e et A', soit avec a et~ leurs axes se
déterminent sans aucune espèce de calcul. On voit, en effet,
par la simple inspection de la projection, que la face a )e
même axe vertical que les faces et e- que la face b a le
même axe que a et e; qu'enfin la face a !e même axe que
la face
III. Calcul des angles.
Faces /M. –NouscaIcuterons~M par la formule V~ (p. 3~-)
g'H=~()''f'
d'où mA'=:43°~8' et /H/?t(sur /<'==8y3~ ).
togeoH)"=f),8~33{
)ogsin8/i"3-i=<),<);)8o/i
iogmc==<),8.})38toSC ==f),09.0?.()
togn~-=<),8~n<
ioga. 9,9838'i.
!ogsin8.t°~i' <hM~4
tans;o==cotg;/< 9,')8)8:
.yH = ~f)" f.
t6"! NA'SUKL t'KAT~Qm DE CRfSTAt.f.OGRAr~nE.
)og-=o,o36.)3
)o!=<),)~S)
!ogt.ang~=f),~)t~j0
4~«).~
C~)"–
U
,7~
(~–~). x~.t'!
/)< ~.o.3o
/7/ ;)'.?(]
/?f< 20.30
<Tt=/ ;4.')()
)OgC. 0,020'?.6!ng~ ~8~87iog~c. <),8/i4t33logsinS-i'S.)' <),t)f)8o.'i
!ogtango=itogt.ange~ (),8.)2t~
iog- o,o3C)(3Io"
na
)og~ o,3o[o3
o,337/i6
ioi.;s)n;K.g''=togS)n~G°t2' (),8"i83c(
)ogtang'c. 0,47907
Faces <-<et o. On se servira de la formule VI~ (p. 3~), et
l'on aura ainsi <7/~ou op et par conséquent <'<A'ou o/< puis-
f)u'onconua!t/Soit la face a~ (<o3) < que nous avons déterminée tout
à l'heure
iogtang~ -= )oi;t.ang ~°43' ",f'4t~.5
)o~tam;'<5° 4'=9/'G9;)'.)
)og tang ( –a/? ) = 9,71 f 2.~
o 0
/c~ e. – On calculera par la formule VH~ t'angte g/j et.
par conséquent )'anglee~ puisque/?~~=: 90".
Soi la face e'=(oa3) e~ que nous avons déterminée. On a
~p=3~4~.
/f<c<M&, < – On calculera la formule VItI~, puis-
qu'on connait déjà /~t et /?t~ On aura en même temps~H: -=:/?/K – &/?.
1Soit ta face r- ( ?-2 ) –:<r~
c
St;),FAT)!MP)!OTOXYn)!))E)''E)!. t63,>
71~'~'i
–(45°– ~.C.8
)os;tan~K=io:;t.an.s/!3"3' <),()~o/i'
–togt.ang26"38' ().oo~R
togta[)~(~)/?!–f~ <),6~o(i8
o f
/j3.~ 3
–~M–/)f/ <j. 'i
M. 8
1
~m. 8G.1
/j~ fi8. 8
1<y! )~7
~K~M- <x/e. – Si l'on voulait avoir un angle &e, non en
zone avec /< )'ang!e &6~, par exemple, on résoudrait le
lriang)e &~e~, dans lequel on connaîtra par le calcul les côtés
& eyh et l'angle compris &~er=: /K~. On trouvera ainsi le
troisième côté ~e~.
On aurait facilement un angle ae ou oe, en résolvant Je
triangie apeou ope, rectangle en p, dans lesquels le calcul
nous aura préalablement donné ap ou op et pe.
Enfin, en résolvant le triangle /~e, rectangle en p, et dans
lequel on connaîtra et~e, on aura t'angie eh.
DEUXI6MEEXEMPLE. Slilfate de protoxyde de /'<?r.
SO''Fe, ~IPO.
On a trouvé, dans le cristal A, les zones suivantes
)()~ MARCELPRATIQUEDECH[STALLOG)tAP)nR.
abc, /e< /t/ /o' <i' </< ~o-y, a/< l,
A'A<c't//toc,</7~,<~v'
Les mesures donnent pour les angtesc'c, ~y–
y/; =~ y <~=.< =~?' Le cristal n'est donc pas tricli-
nique, puisqu'il a un plan de symétrie qui le coupe en deux
parties identiques, une gauche et une droite. D'ailleurs on a
aussi~c == ec T=:~o'== /7;.r =-: go";a la rigueur. )a rectangutarite
de l'un quelconque de ces angles suffirait à exclure le sys-
tème triclinique, mais les faces peuvent ne pas être très re-
uechissantes et ne donner qu'un angle extrêmement voisin
de 90°; d'autre part, on a, parmi les substances tric)iniques,
de nombreux exemples de plans coordonnés dont l'incli-
naison ne diffère d'un angle droit que de quelques minutes.
Il vaut donc toujours mieux, non seulement mesurer le plus
grand nombre possible d'angtcs, mais encore considérer
l'ensemble de la symétrie du cristal et la disposition de ses
faces.
Le cristal ne possède pas d'autre plan de symétrie, car
~Wdans la xone/e<M tous les angles sont différents. Il est donc
incontestablement monoclinique.U semble qu'il soit naturel de !e placer tel que le montre la
yï~. A. La face/'serait la base, a et & seraient des faces pris-
matiques, c deviendrait y'; A, des faces e; e, d des
faces o; Mt une face a; < g, A des faces octaédriques
parmi lesquelles on choisirait t'octaèdre primitif; les faces .s,
r appartiendraient aux octaèdres (<r~); les faces t, v enfin
il un octaèdre (~c~) et les faces o a un octaèdre (&)'/r).Mais avec une semblable position nous avons/i'=y==!o~°t()'.c'est-à-dire un angle qui s'éloigne notablement de go". H y a
donc lieu de chercher si parmi les faces existantes ou possi-bles dans la zone fe ~M,il n'y en a pas qui nous don-
nent. des plansp et plus rcctangu)aires. Les mesures dans la
xone/ na ont fourni les angles suivants
f1
M' 6t°4G
y < '.).o.53
4:.466
SLLFATE DE PROTOXYDE i)E FER. )6.')
On voit de suite que les faces /M' et e font entre elles un
angle de 8a°3g' et peuvent, par conséquent, nous donner des
faces p et /< beaucoup plus rectangulaires que celles précé-demment choisies. On peut en trouver de plus rectangulairesencore. En effet, la face qui serait tangente à l'arête du demi-
octaèdre mais qui n'existe pas dans le cristal, formerait
une troncature sur l'arête e< un peu moins obtuse que latroncature e. On calculera son inclinaison suryen mesurant
les angles ic et ~et en resolvant le triangle rectangle ('l.
yty. t3f, i35). Les mesures n'ont d'ailleurs pas besoin d'être
très bonnes, puisque nous ne faisons ici qu'un calcul approxi-
matif, destiné simplement à orienter le cristal, et pouvons
prendre plus tard d'autres données fondamentales. L'obser-
vation nous donne <c=6o°3o' et //==4o"9'. En désignant laface supposée par e', on aura
mais nous avons<P =?.8<'3,
mats nous avons
donc= Cf~
/M'e'==f)o°ao'.
Ce sont les plans coordonnés que nous adopterons. On peutprendre la face ni soit pour hl, soit pour p; nous la prendronspour tl n'y aura pas alors de base, puisque la face e'
n'existe pas, et, comme l'angle dièdre réel we' est obtus dans
la position de !a~. A, il suffira d'incliner le cristal de façon
(') Dans tes~/ïg'. A, B, C, c'est par une erreur de dessin que les arêtes
&o et op, par conséquent yg"- et g" ne se trouvent pas parallèles.
'66 MANUEL PKA'HQUi DE CtnSTALLOGf!A['ff[K.
a mettre les arêtes /tM et /Ho verticales. On aura ainsi la po-sition de la fig. B.
Cette orientation une fois adoptée, le caractère des diverses
faces se détermine facilement. Puisque /Me~oo", /?t==~' et
les faces o et Msont des faces prismatiques; f et seront desfaces a~; <r/une faceo- les faces i et y, dont ['arête d'intersec-
tion correspond à une face que nous avons prise pour hase,seront des faces e~; enfin les autres faces appartiendront a
des octaèdres, qui seront primitifs ou dérives, suivant la forme
fondamentale que l'on aura choisie (/ C).
PREMU;)tE MÉTnODH.
J. – C<x/ci</des eVey)ie/ de la forme primitive.
On a mesuré les angies suivants
Comme d'habitude, on a marqué par un astérisque les angles
qui donnent les meilleures mesures et qu'on prend pour base
du calcul. On peut naturellement choisir pour forme primi-tive le prisme /M et n'importe laquelle des faces o ou <x;on
peut choisir aussi la face a et l'un des octaèdres b, x, ou la
face o et l'un des octaèdres c. Supposons qu'on se soit ar-1
rête au choix de a = a', &= On voit tout de suite que f/ et e
qui se trouvent en zone avec A' et b (zone < < /K,y7y. A
doivent avoir les mêmes axes que ils sont par conséquent
et e'.
Les angles donnés appartiennent ainsi à des formes <c/'<-
f'M.<et ne peuvent plus directement servir à ]a déterminationdes éléments de la forme/)/'</M«'/ce; il faut donc, pour arriver
il cette détermination, suivre une marche indirecte qui est
fort simple d'ailleurs, mais qui complique un peu le calcul.
Cherchons d'abord l'inclinaison de )'aretej'~ (ou, ce qui re-
/i'< *6f"j6~;f< ao.53
oa (sui, 1» 20.5:\oa'(sur/j3.~C
(< a6.~
ia. 56.)3 3
ce. (if)
~< 32./)(i(;
(I
~o;3f)..7
)o~ 58.3'! '1
*97.~ ~i
j' *g<).)<)
SULFATE DE PROTOXYDE DE FE)).)C~
IogCOs8o')t' '),?.0()?3.
logent))* 6' '),8!78tlog sin 41" 6' \} 8 78
iogcosf)' ;),3<))~!
U~< Ct.~CG
n'y; /i?.9
o'–< '9.~7
los:?. o,3oto3
!ogsin6[°.,6' 9,9~99
toË;sin4~"2t)' 9,8'9'<5
0,07357
)ogsint()"!7' 9,'jt883
!ogtans:Y. 0,556';) i
Iogsi[)32" f),72~[
Io~sin4~x(/ ~8ag~
tog- f),8<~C<ia
vient au même, d'une face o' tangente à cette arête), sur la
face a. Letriangte sphéf'ique, rectangle en <-< des/y. !3~et i38 (~ 7//), dans tequei nous connaissons
~'<-< =8o"~i' eL j'y ==~()8o"–j'j ) –
et dans lequel nous cherchons .?= o'a, nous donne
<–5"/ij'.d'où
O'–=t8o" (o'~–)–~2"2()'.
Nous supposerons que la face o' est une face de la forme
primitive, c'est-à-dire o'. Puisque nous connaissons s/t ct.e'<,
nous pouvons calcutery/! =}' par la formule (A) (p. 6.'))
0,.i/. r. r..
~/i'~Y:=~"9.<
Ces plans coordonnés provisoires, dans lesquels )c pian~
correspond a la face o du cristal, et. qui sont. disposes avec
leur ang)e obtus en avant, puisque a' > o' donnent pour
le rapport (7~. /f, 3 ')
!8o"–(y -T-;j.) – 3'.)",
)68 MAKLELPRATIQUEDE CRfSTALLOGHAPiOE.
Or, nous savons que notre cristal peut ètre ramené à des
plans coordonnés à peu près rectangulaires, avec l'angle obtusGu avant, dans la position de )ay< C. Ceci suppose deu~con-
ditions iu([ispensaijtes: il faut que l'angle Ao ==, soi!, très
voisin de ~A==;JL' et plus petit que lui. La face o ainsi incHuee
doit d'ailleurs être une (ace possible avec le système de planscoordonnés que nous venons de caicn!er.
Supposons donc, puisque =: <i'/t~:<h°.'lG', que~=o/<=~Ci°.On aura alors
-<==t8o''–(n)'i":h'6i'') = '3°29',
d'où
m=.
Nous pouvons maintenant calculer t'angte jUL=:&/i, d'une
façon exacte. On a (/ y' 3f)
~Y=3~°~ ~(i-n-v)~7"tj':
Ioi;sint3°'()' <),3(~66
!ogsin6i°. t),t)it82
1meC 1 ~8"
log'j,t584og a !I",n '1
)og'?. ~,8(~66
logm. (),'i3<)88
!og~;),8<~ti6
)og~ !),'i~?.8{
'c'"g-~=J"g~"ë?- 'J,~7~"a
0<')
0. )).{o
(4j°–). 3fj.)
)oN;tans;3o°'o' ~~6~5
)ogcot,5~{5' ;),8.S~o5
)ugtang~(;jL–). ;),6~83o
SULFATE DE PHOTOXYDE DE FER. )6~
~(;J.-r-~). 3;.[J
~(~–~). X:if)
JJL~ (ii.)~
JJL'==«/ Gf.~t)==«/ 6t.t{ I,i
c/i–o/< o.32
)og2. o,3o[o'!togsinGf''46' <),f);i<);)!ogsin6)°i/i' 9~2~
o,[888t!ogsino"3'2' ~f)688~
logtang- ~<t994
Iogsin28''35' f),H;-f)8?,
iogsin6t°/iC' 9,9~i')9
!og~9,73483
En ayant ainsi o;/<==6t°46' et o/t==Gf'');'i', nous pouvonscalculer Fangte y des nouveaux plans coordonnés par la for-
mule (A) (p. 65):
~==~'==89"3<
Onaura
en résolvant le triangle rectiligne (y~'e, ~')' dans
lequel on connaît
jj.'=6t°46' et -/=i8o"–(8()"3f)'+Gt''46')='8°35':
Nous ne pouvons pas avoir directement. l'axe a, puisquenous n'avons à notre disposition que les angles appartenant à
t'octaèdrc dérivé~ nous chercherons donc t'axe na qui cor-
respond à cette forme. En résolvant le triangle, rectangle en
desy<c'. i3i, i35 (P/. /), dans iequci nous connaissons
= )8o°–(<)o"t'-i- 4'~2;)') = ~o' et ~== 90''–j'= 4'"G',
!yo MANLEL P)tATtQLË DE CRfSTAt.LOGHAP)))f!.
nous trouvons ?
II nous faut maintenant avoir la valeur de n pour savoir de
combien nous devons diminuer ou augmenter na, afin d'avoir
l'axe a de la forme primitive choisie. Pour l'octaèdre primitif1
l'observation nous donne l'angle &~==go°–a&~=63''33';nous connaissons, d'autre part, par le calcul, ~=: 28°35\ On
trouvera donc ? (P/. y< i3t, i33)
n-
Il faudra donc diminuer la vateur précédemment trouvéelia
de~:
a=!,o~<o.
L'axe osera alors
c~u,')G~(.
togsin 4~"<f)' f),8f!53oiogtang/,t°C' f),')~o()()
!o:angT=!oi:– g,80~')~ua
iogsina8''35' ~6~~
Iogtang6'i''3' o,3o3~t i
log~ <),<)!3.,3
'~na'
log~ 9,98'~)'!
log- 9,822f)fi(;
'°~r!'a" 3'9ri a
tog~ f),8?.387
[og~ ~9~~
)oga. 0,01788
2
!og~3483
)oga. 0,0~88
iON'C. f),7')~7!
SULFATEDE PROTOXYDECE FË)!. )~
logsin 7°~ 9,o6
Iogsin8't°3()' 9,99<~?.
tog– {),)3<)(),'t
iog~3,7348.3
logm. 9,3()58t
~=:t8f)"–('/–)–)')"M':
Iogsint5°!j' <),i)8<5
Iogsin74''2S' g,Q838.'i
)og"(),4'~3t3
!og~o,73<83
logm. f),CQf)<8
II.–/)e<eyvn<a<;b/tf<f.!C!;<<f.s'o/He6'.
Face a-–On a
<7~-= 2o°53' et <'< = C['6',
donc
~==~=a~.T-r=8~<'3()' ett 'r-)8<)"–(Y+; =7°4~
En résolvant Je triangle rectiligne (7~ ~y' 3t), on aura
m=~.
La face est (to/i)-=<
Face <?. L'observation nous donne
~G';
d'où
==o/; ==t8o°– (~ – of/ )– ~{"?.8'
et0 1
,n==i.
La face est (102)~0~.
'7' MAKUELPMATfQUEDE CnfSrALLOGRAP[t)E.
7'ace~.– Nous savons déjà que pour la a facey l'axe na -= ~a.Nous avons calcule, d'autre part, l'inclinaison de la face yysur la face a, et par conséquent, aussi sur la fucc/ nous avonstrouvé
;-).=o'=:j~°2<)' et '8o''–(Y-t-;j.)==;fo'.
On procède comme pour la face
m=3.
La face est donc = ( a3 f ) =: (< &).
~occ – EUe se trouve sur l'intersection des zones o~e'i
et & Donc
Lafaceest(73.)=:(~).
.Ff<ce Elle se trouve sur l'intersection des zones e' et
~Donc
La face est a64 = (<3a) (<~&).
Face c. EHc se trouve sur l'intersection des zones y et
!()gsinj;°to' ~,8653o
)<)gsin~9.°~< ;),8at)'j5
] ~C~g~ o~ 51
le 9, i58741.iog~ 9,~87,~
logm. 0,47:0!
f' U 1 ï o )) 1 Tf T i) t ~T t T)
~><J><< ><><>< ><><_><'o I o< a' o' 1 t) t) 1 f) o i o 1
T t T o Y 1 '< T
C' 1 0 ( 02. 1 0 7. 1 02 2 ~?. ?, 2
~3 a 3t 1 0 0 oo to o ~o 0 t ot 1
~2~ 2 ~0) 1 ~'(i.'i 1
SULFATE DE PttOTOXYDE DE FER.f;3
.i
La face est 3 t86 --=(162) (< &
T'ace~. – EHe se trouve sur l'intersection des zones /i'et de celle que la face yfait avec la face ;r, siLuee à droite en
bas. Donc
La face est 36o = (t 30) =: S.
Les formes observées dans le cristal sont donc
/(too), g-'(oto), g3(120), f~(to'<), <-<'(To)), ~'(To;i~,
~(in), <(Ttt), ~-=a3!(~), ~=T3.(~),
/t 1 ))\ ~i* 1
z=i32~ ~=)6?.=(~<
IH. Calcul clesangles.
Pour les faces o, e, b, d, le calcul se fera comme dans
l'exemple précédent (p. t53). L'inclinaison des faces <'
sur les plans coordonnes sera calculée absolument comme s'il
s'agissait d'une face octaédrique b ou < il faudra seulement,
au préalable, trouver au moyen des axes na et me les angles
plans v et r.
Soient à calculer les angles de la face z = (~ 3a) { On
a(~7,3.)
na==3a., mc==~-c0 et -~=9o°2)',l', ~=j5"n':
j. 2 3 t 3t I i 3 a t 3 a o t) n n _) o
T3 3 [ T 3i I o' 1 0 U
o3f) g ~0[ I J )8(i li
)~ 23 1 2 3: c 10 0 f 000 00 t O f)[ r
><_><>< ><><>< < ><><><i3 3 3t n' "t r o t" o ~3 3 <i 33:>
G 3 3 oof Ï 3<io c'
La face est 360 =: (t 30') =: S.
]og~c. (),gx88o
)og3a. o,/it)5oo
lonmc-taog· g,;33so!og–~=tang- 9,~338o
Donc
1~ MANUELf'RATfQUEDE C)USTALLOG)tAP)[!f;.
4.5"
o. )5.n J
~5'–). '~9-49
]ogtanga()°49' 9~3~~
togcot, 45°n' '),9')7~'<logcot !,5°m' y,g~p az
togt.ang~(;j.–). g,~5''i'i'i
;(p.-r-)=9o<Y. 44.49
~(jJL–). 2C).0
)J. g
logtang;7''44. n,~o5oo
logsin i5°u' f),4'7~~
logLangsy. 0,08778
D'autre part,
logtang~ ==!ogg- = f)/)o5oo,
T=i-{'.
On peut maintenant résoudre !c triangle (~ /7/,yt'y. i3f¡
et i35), rectangle en]~ et dans lequel on connaît les deux
cotés et ?logtang;7''44.'–'––- <),~o5oo
Z~M~J',
o'z=go''–zj'=3()°!5'.
DEUXIÈME HETMODE.
I. Calcul de la forme primitive.
A()n de varier autant que posstb)e la marche du calcul et de
donner ainsi le plus grand nombre de cas qui peuvent se pré-
senter, nous choisirons ici d'autres données fondamentales.
Nous prendrons
~=*97°48', ~=*8o°4i', ~==~6° .3'.
La/ aao (Pl. V) représente la projection des faces obser-
vées avec les zones qu'on a constatées. Les lettres entre pa-renthèses représentent des arêtes correspondant à des faces
SULFATE DE t'ROTOXYnE DE t-'t'H. f~
qui n'existent pas dans le cristal, mais dont nous avons Lc-
soin pour le calcul.
On commencera par résoudre le triangle <x(o~)~, rectangle
en (o~), dans lequel nous connaissons
('oy)~==~i8°'').'i' et ~=80'
On trouvera ainsi a(o~)='75"/i5'et. l'angle (oy)a/~=~47'- Si
nous avions maintenant l'angle A'a que nous avions dans le
calcul par la première méthode, nous aurions en même temps
(~')/!==< 80–[a (o~+a/t'], et nous pourrions procéder par ap-
proximation comme nous l'avons fait tout à l'heure, en nous
servant ici de la formule (B) (p. 3o), ce qui abrégerait beau-
coup le calcul. Mais nous n'avons à notre disposition que
l'angle ax. On résoudra donc le triangle (~~(o~), rectangle en
a et dans lequel on connaît
~c==56'')3' et. ~(0.)== ~5°.
On trouvera ainsi
(oy).r~82"8' et l'angle <'<(oy).:c–')/
Ces deux triangles onts(o.' ) pour côté commun, et leurs hy-
poténuses ont pour point d'intersection le pôle de la face .s.
Nous résoudrons donc maintenant le triangle 6:(o~)~ dans
lequel on connaît les deux angles
~<~o.)') == f')~ z(o'')f< = .:f(o.)')~
et le côté compris N(0~). On trouvera ainsi (o.)")~==~8"58' et
l'angle ~(o~) t0!" 14'.Le triangle 0~(0~), rectangle en o, et dans lequel nous con-
naissons l'angle o (o~)~~ a (o~) z et le côté(0~)=, nous donnera
o (oY) = 320 1', o~ =;3c)''t6' et l'angle o~(oy) =/j/)°3()'. L'anglee~o sera par conséquent = a~(o.') ~(o.) = 56"35'. Puisquenous connaissons maintenant <!(o~) =~~5°~5' et o(o~) 32" )~nous pouvons calculer par la formule (A) (p. 3o) (o~)A. On
aura ainsi
!og-t. o,3oto3
!ogcot75°45' (),~o478
<),7o58i
Iogcot3a°! o,ao3()3
c),7o58t
U. 0,498'~L.s. o,t6'i;)y
o,M3<)3L. s. o,tG5gy
loE;cot.(f~')/ o,o'i7<)6
J';6 MANUELPHATtQUEDE C)USTAH.OGnAPn)t:.
(nY)/3()
(oy).< 7~))S.<~
Iogsin28°'!i' 9,67~')IogsinG)'{' 9,9-)4!)~-
log~ <),73~67
~H['
II nous sera maintenant facile de calculer/) A' -~y.Nous résoudrons pour cela d'abord !e triangle .x-o;. On re-
marquera que l'angle azx est l'opposé de l'angle (o.)~ qui
est, )ui, le supplément (te )'ang!e ~~(0~), par conséquent
~8°~6'; donc l'angle
02.r ==<T2H-)- a~=: t3~°a~
Nous connaissons de plus dans le triangtc les côtés
os =39° (G' et.<z==.r(o.–z(~)=33°)<
On trouvera ainsi l'angle
.ro~ = 2.<j'.
Nous résoudrons ensuite le triangle <?o~, dans lequel nous
connaissons o?rr3g"i6', et les deux angles eo:a"o-: et
t;:o -= <x~o.Nous trouverons oc ==: 3a"5'
Enfin le triangle (~)eo, rectangle en (/)), et dans lequelnous connaissons J'angle (/))oe=:go''–eo~65°)i' et le
côté oe, nous donnera (/7)o~=t5"io'; d'ou
y.)/ = y = /;(oJ')– (~')o – n(/.) ) ==89°{['.
Nous prendrons, comme précédemment, les faces ci et d
pour formes primitives.
On aura donc pour l'axe(formule VIa, p. 3'~)
=6t'i'i',
<r~ =f)o°H)'–6i"=28"3~
SULFATE DE PROTOXYDE DE FER. i-
.n. i. r_
)'
Quant à l'axe a, nous n'avons pour le calculer que les faces
dérivées ~ou Nous commencerons donc par catcu)er n a
pour l'une d'eHes, par exempte. Le triangle <x(/~);r rec-
tangle en a, et dans lequel nous connaissons ax et a!(/~), nous
donnera <x(~')~"=/t(~)~ et, par conséquent (formuieV~), na.
H nous suffira maintenant de connaître tang<r/(p) A == a pouravoir la valeur de n, et par conséquent l'axe a. Mais l'observa-tion ne nous donnant que l'angle aM= 52°46', il nous faudra,
pour résoudre le triangle (p)(o~)< trouver préalablement
(o~)(~o) par la formule VI~ (p. 3y)
togtang-B==!og~ ==9,7346'n a a
Triangle (/J)(o-~)<7, rectangle en (o-~). On a
(~)~=~f/==x6''2ï' et (~)(/?)~-28"
n==3.
Pour avoir l'axe a, il faudra donc diviser par 3 l'axe na
iogtang!6°!3' o,56logsin ?.8°34' ~6~~
logn a =logtang (~ ) .r. o, 49~7
~ra maintenant de connaître tansf/~o')/ i
4~<s. s-8.3o
(/i5°–!p). i6.3o
!ogt.ang44"5o' 9,99747
Iogtangt6°3o' 9~
)ogtang[~(~)(~)] 9,46907
0
~.5o
~/)/i'–i~)(/?). )6.a5
(~)(/?). ~m
togtang~6'3'=(),<x)')52
)ogsin28°M'= <),()7~)0
).ang ~(/?)(~') = t.angM(~)/< = toga =- o,of8<~
togna=o,4'j)97
)oga==o,<'<i8oa
Iogn=o,4769?
t~8 MANUEL PRATIQCE DE CRtSTALLO(.)!APH)f;.
trouvé pour la face
a~<,Ot'.M.
Cette marche est sans doute fort longue et exige un grandnombre de calculs, mais elle a t'avantage de donner du même
coup beaucoup d'angies qu'on n'aura plus besoin de cher-
cher.
II. Détermination des f/K<e.!yo/?!M.
Comme dans la première méthode, on déterminera toutes
les faces, sauf ax, par l'intersection des zones. La face <r~sera
déterminée par la formule VL~(p. 3~), ce qui ne présente au-
cune difficulté.
III. Ca/CH<c/e.;angles,
Ce calcul se simplifie beaucoup ici; car, en déterminant
les éléments de la forme primitive, nous avons déjà trouvé un
grand nombre d'angles sans avoir recours à d'autres données
d'observation que les trois angles fondamentaux. Nous avons
eu ainsi A'a', a'o~, o"A', o'e~, olz, <?'/?, par conséquent
e'e'==a/?e',6:=,.s~3.x,r. Le triangle oe~, dans lequelnous n'avons cherché qu'un angle, nous donnait en même
temps e',s. Ces angles suffisent pour contrôler les mesures,mais il serait facile d'en catcuter d'autres.
On trouvera, par exemple, co ou f. en calculant l'angle
ptan '~(p)~ par la formule V'~(p. 3~), et en résolvant soit le
triangle rectangle o(~)f, soit le triangle rectilatère c(/?)~. On
aura vx en résolvant le triangle .a7~y; connaissant çx, on a
vy=xy- c.y. On aura ev en résolvant le triangie ec/, etc.
togna. 0,49497
!og3. o~i77'-2.z
loga. 0,0~8)
SYSTÈMEOHT)!0)t))OMBfQL):. )~Q
CHAPITRE IX.
SYSTÈME OKTHORHOMBIQUË
(7Mo/7!&t</Me,M-y/tO~o/M~,/)/Mcf~f/Me, /)/'<.f/ne <o~ /'ec~gM/«/c,
<e/at/'e.)
En faisant y ~=90°, la symétrie monoclinique se transforme
en symétrie orthorhombique, qui aura pour caractère dis-
tinctif trois axes rectangulaires inégaux. Ceci suppose l'exis-
tence de trois plans coordonnés se coupant à angle droit, et
formant ainsi <oM~/c:/Mf/e .n~!c<e/ /< chacun d'eux
divisant le cristal en deux parties égaies. H suit de ta quedans un prisme orthorhombique (/-V. i3())
[° Les tmit arêtes horizontales &~&&& b sont égaies entre
elles. En les tronquant suffisamment pour faire disparaître les
faces prismatiques, on obtient un octaèdre analogue à celui
de la fig. t3t, mais dans lequel les faces <r/sont semblables
aux faces
a" Les quatre arêtes verticales sont de deux espèces A/t et
comme dans les prismes triciinique et rnonociinique,
puisque les unes correspondent à (tes angles dièdres obtus et
les autres a des angtes dièdres aigus. En les tronquant, jusqu'à
suppression des faces m, on arrive a un prisme analogue a
celui de ta/a' (Pl. I), dont les faces sont paraHeies aux plans
coordonnés et dont les angles dièdres Ay 90".3° Les huit angles solides sont de deux sortes: <aaf< et
<?eee, puisque l'angle plan de la face/? est, tantôt aigu, tantôt
obtus. En les tronquant tous a la fois, on obtient un octaèdre
analogue à celui de la yt~ 20 (/). mais dans taqucite i
serait semblable à e et o semblable à a.
)8o MARCEL PRATfQLE DE CtUSTALLOG[tAP)t!Ë.
L'ensemble de toutes les formes primitives dans le système
orthorhombique serait représente par le polyèdre (/
y/'j. i~o). Le nombre des formes y est moindre encore que dans
le système monoclinique, il n'est plus que de '7.Comme dans les deux systèmes précédents, trois cas peu-
vent se présenter pour les formes dérivées
a. L'axe vertical seul a changé, )a position des faces tron-
quant les arêtes et les angles solides par rapport aux deux
autres axes est restée la même. Ces faces sont donc en zone
avec les faces de la forme primitive et n'en diffèrent que par
l'indice; elles deviennent a~= (/<o~), e~= (~), ~= (/<~).
b. L'axe vertical étant ==oo, l'axe a est devenu na; on a
alors des faces prismatiques qui tronquent les arêtes /~A' et
/M~ et se trouvent par conséquent en zone avec /<' et~ Si
na> a, c'est l'arête /K~ qui est tronquée et le.symbole de la
face est ~= (AAo) avec < A si na < a, la troncature se
trouve sur l'arête /K~' et le symbole de la face est /~==- (/t/fo)
avec A > k.
c. Les trois axes sont n a b mc, m pouvant d'ailleurs être
égatà!. Ce sont alors des faces octaédriques qui ne se trouvent
dans aucune des zones de la forme primitive. Les arêtes b
étant toutes identiques et les angles a et e différents, deux
formes de cette espèce sont possibles.
(~y/~)=(/~) ('),
(~~)=(/),
La y~. 226 (~V. V) donne la projection stéréographique
de toutes les formes primitives et dérivées du système ortho-
rhombique. Les faces (A/) s'y trouvent: les premières dans
t'intérieur des quatre triangles //tpA', et les secondes dans
J'intérieur des quatre triangles 7M/
Puisqu'il existe dans ce système trois plans cle symétrie,
rectangulaires entre eux, on peut placer le cristal de deux
façons différentes par rapport à chacun d'entre eux. Il en ré-
sulte que l'orientation du prisme primitif est absolument ar-
bitraire. En effet, dans le système monoclinique, le plan de
symétrie étant parallèle à g-' et le plan rectangulaire hl étant,
(') Dans ces symboles, on a A~ suivant que/ta.~a.
SYSTtntE OHTHOHHOMBfQrK. )8~
par convention, placé en avant, la position du prisme /H setrouve parfaitement déterminée; ici, au contraire, rien ne
distingue les plans hl et et ils peuvent être placés indis-
tinctement sur i'angte dièdre obtus ou aigu du prisme pri-mitif. Pour éviter toute confusion, on convient généralementde placer Farête obtuse A en avant et d'avoir par conséquent
toujours l'axe a<;r. Mais cette convention présente le très
grand inconvénient d'empêcher la comparaison de cristaux
orthorhombiques avec des cristaux souvent très voisins du
système monoclinique dans lesquels le prisme peut être
aigu. Il vaut donc mieux ne faire à cet égard aucune con-
vention spéciale, autre que celle commune à tous les sys-tèmes à axes horizontaux inégaux, de mettre A' en avant etde considérer par conséquent l'axe a comme axe antérieur.On prendra, suivant les circonstances, un prisme aigu ou
un prisme obtus, pour lequel on donnera le rapport des axes
a b. Aucune confusion ne sera ainsi possible, car b = < fa
position de l'angle ~90" du prisme est déterminée par la va-
leur de l'axe a~t.
I. Calcul des éléments de la forme primitive.
Puisque les trois axes et par conséquent les trois planscoordonnés font entre eux des angles droits et que l'un des
paramètres peut toujours être pris éga[ à f,Hil ne reste plus dé-
terminer que la longueur des axes a et c. 11suffit, pour cela,de connaître deux angles indépendants entre eux. H est facilede voir
t° Qu'un cristal orthorhombique qui n'aurait que les faces
nz, p ne serait pas déterminab)e, car il ne donnerait qu'unseul angle /M/M,l'angle M~ étant un angle droit;
2° Que la présence de hl ou ou des deux à la fois ne
donne aucun angle nouveau, puisque les angles w~' et /M/
dépendent de t'angte /H/K, et sont connus d'avance.
3° Que, pour pouvoir être déterminé, le cristal doit posséder,outre les faces p et Ht, l'une des formes &, a ou e.
Relativement au choix des plans coordonnés, il est clair
qu'ici aucun arbitraire n'est possible, puisque ces plans sont
soumis à la condition d'être rectangulaires. En revanche, le
t82 MA~LËL PRATIQUE M): CRtSTALLOHRAPiHE.
système possédant trois plans de symétrie, on peut indiffé-
remment choisir pour faces prismatiques soit les faces /K, soit
les faces a, soit les faces e.
Quelques exemples montreront la marche du calcul, extrê-
mement simple d'ailleurs, car on a la plupart du temps araire
à des triangles rectilignes.
1. Supposons un cristal composé des faces et <x,dans le-
quel nous connaissons les angles /K6; et ~<. On aurait immé-
diatement les deux axes a et c, car y r= goOet par conséquent
~/M/M==T et ~sa'"=~ ou suivant qu'on prend i'ang!c as par-dessus la base ou par-dessus h. Si, au lieu des faces a. on
avait des faces e avec l'angle ce, le calcul serait tout aussi fa-
cile, car ~ee~n ou p, suivant qu'on prend ee par-dessus la
base ou par-dessus
II. Si le crista) était formé de faces octaédriques soit seules,soit accompagnées de faces prismatiques, il suffirait de con-
naître les angles &&de l'une des arêtes culminantes et de
]'arete horizontaic qui donne &/??,-=:~&et ~=:)8o"–~&&,
pour trouver a et c. En eHet, le triangle rectangle (~ 7/
y/ t3t, t35), dans lequel il faut remplacer d par &, nous
donne immédiatement et r et par conséquent les deux axes
(y~. t26 et i~3), puisque ~.==go".Le calcul par projection stéréograp)iique est égaiementtrcs
simplifié. Puisque ~=y. == 90" (.f/. 7/ y< aa6), le pûie
p est au centre du cercle, et les angles qui ont ce pôle poursommet sont mesurés par les arcs de la circonférence. Il suit
de là que
/;t~/< ==M/; =- <)o''– ~g' ~=i, a~)= 90°– <T/;==v,
ëp ==T, p& –: f)0°– &/7:.
H suffit donc de résoudre un seul triangle sphérique rec-
tangle pour avoir tous les éléments de la forme primitive.
II. Détermination des symboles de formes dérivées.
Les angles dièdres /?t~, cf/j, ep étant respectivement égauxaux angles plans et 7:, on aa
CIl;-==tang~<<-<;
a~cot~z et tang.~ec-=c.
SYSTEMEORTHORHO)))UQCH. 183
Les valeurs n et m des axes de la forme dérivée na: :mc
s'obtiennent donc directement par le rapport des tangentesdes angles dièdres
m_Lang~r~ tang-'y/ tang~ t~n~~f
t.ang~f<~
11
tang~/M/M tang~M
m
Ldug~e-<
·
Lorsqu'il s'agira d'une face octaédrique & il faudra résoudre
le triangle sphérique (/ /77~/< '35), dans lequel ou con-
naît et &~&~ou &~p, et qui donnera == a~ si l'on a af-
faire à une des faces (AA~) que nous désignerons par x, il
faudra connaître les deux angles xx et a"/j; on calculera
ainsi et T.
H va sans dire que, dans le système orthorhombique, la con-
sidération de l'intersection des zones rend les mêmes services
que dans les deux systèmes précédents, et qu'on aura souvent
recours à ce procédé.
III. Calcul des angles.
H n'y a rien à ajouter ici à ce qui a été dit a cet égarddans les deux Chapitres précédents, sinon qu'il y a, en gêne-
rai, moins d'angles à calculer, puisque l'existence de trois
plans de symétrie nous permet de trouver directement plu-sieurs d'entre eux. C'est ainsi qu'en ayant a~ on a en même
temps (en se servant des angles supplémentaires)
<?/;= go°– a/
en ayant bp, on a aussi &/K=: 90"– etc.
On verra le détail du calcul dans les exemples qui sui-
vent.
'84 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
EXEMPLES DE CALCUL.
PREMtER EXEMPLf. 7~/?a=~
Les cristaux de ce minéral sont très rarement développésaux deux bouts; car ils se clivent avec une grande facilitésuivant une face P, qui est perpendiculaire à i'axe vcrticatde
lay~. A; mais un seul sommet suffit ici à déterminer le sys-tème cristallin. En effet, dans la zone a&cc/e, les angles e'<-<
et 6t&sont égaux aux angles e<~et a~c; donc une face tangentea l'arête bc serait également inclinée sur b et e et ferait avecles faces e' et e un angle de 90°. D'autre part, dans les zones
&etcAo.ona &/=eA,=:/to, </=:o~,ctcesmémesangles se répètent dans la partie postérieure du sommet quela figure n'indique pas; donc une face tangente au sommet
serait également inclinée sur les faces x, jr et les faces pos-térieures correspondantes, et ferait avec les faces b et c, et parl'
conséquent avec les faces tangentes a leur arête commune,
(') La face s de )a~ A doit être marquée e* sur ja/)i. Les deux
facettes qui ne portent pas de lettres sont les facettes c.
TOPAZE. t8~
unangtedego°.0naainsitroisp!ansdontt'unee'rc(;t,etles deux autres possibles, rectangulaires entre eux ce cristal
n'est par conséquent ni trictinique, ni monoclinique, 11n'est
pas non plus quadratique, car les angles de la zone ~c.: sont
différents de la zone e.stu; il n'est point hexagonal, puisqu'onne rencontre dans la zone prismatique aucun angle de jao";donc il est orthorhombique. Du reste, la face P qui est ici une
face de clivage, mais qui se rencontre à l'état naturel dans un
grand nombre d'autres cristaux de topaze, est assez brillante
pour permettre des mesures très suffisamment exactes; or on
trouve qu'elle est égatement inclinée sur toutes les faces de
la zone a .e.
Si nous considérons la face suivant laquelle se produit le
clivage comme base, nous pourrons prendre les faces <?,<pouret les faces b, c, par exemple, pour prisme primitif w. Les
faces ..?, c, seront alors des a, les faces .<. <, u des f, les faces
l, y, o, x des b, les faces '7, d des et enfin les faces
w, /<, <y, <r, i, j, des octaèdres de la forme (&r)
ou(~)(~U).Les mesures ont donné les angles suivants, et l'on choisit
M/M et eyp pour angles fondamentaux.
M/p; *55.t
~g. c,'3.;?.?,
~a-~(sury~ iM.~ 2
a~ S~.to
62.2 2
g-'e~ 27.io
g- *46~t i
g-'6- 6~.28
Les zones observées son), /M~'c', w~< a-~&/<e.
a~as~, /Mt'<7,~e~, /f", f<«e. ~M<
~,C.~
/K/ 4~~
/H/ 5-'i.6
~<'(sL)t' ~9.3;
&~&(sm't'L. f0).(i 6
& 38.5() ç)
3o.28
(n.'o
I7
g' jC.j'j
y' ~~8
g' 6t.4~ 2.
g-'f. 81.5(;
.f.i'(sm' ).5.3G
~y'(sure). ,~0.18
f86 MAKL'EL PHATiQLE DH Ct!tSTAt,LOG))AP))IK.
P)tEMHhtEMi';T)]f)D):.
I. – Co<CM/<e /f</o/'MC /i<<ft'e.
Puisque nous avons iciy?/<' =~0'' =~=~90'nous n'avons
plus à calculer que Jes deux. axes a et c. Nous prendrons e.~
pour forme primitive el (/"V. taC et. t/i~)
foga = )ogtang ~7< = tog~angT==togtang 2y°3< <j,T'.<3?.3
a~o,~8:;
loge = IogcoLg''e' ==logcotT: = !ogcot, .{6°~.[' <),97<)~3o= o,9'
La forme primitive se trouve ainsi parfaitement déter-
minée.
H. – /)e7e/tM;7<:o/;<e.<aK<e.</b/))M.
~ace
n=~.
La face est donc (f ao) =:
/aee~ a' a, c~ (/< 1~3)
n=!.
Donc a~ ~r: ( 1 o t ) =;<-<
!ogna~!ogt,ang~g-=togLang/!C)'(< (),<)'i'<~
loga. <),7~3'.<'S
iogn. o,3oif).
(<) tog"~ =Iogtang{~=bgtangR<[' o,7.G5~
)og–<),t''i()3o
0,000~5
(~) Jog–==togt,ang~~<7=Iogtang/~°j' <),<)55~iiInau'"
2 '.0 u
jo~ o.'<')6'!oa
'J~n-
TOPAZE. )8~
Donc a= (t 02) a".
n=,.
Donc o~:– () o3)=-: <
/*ac&! e~, e~
m=~.
1
Donc e~=(oa i)
== e'~
<
Donc e~== (o 1 2) rrr e~.
Faces b, & Les trois dômes a', f~, a3 forment des
troncatures tangentes aux arêtes culminantes de ces trois
octaèdres, qui ont par conséquent le même axe vertical
qu'eux. Donc
t~:=(ii))==~ 6=:(i['.<)=& 1, ~~«i'!)==~.
Faces c. Elles se trouvent sur l'intersection des zones
/H<~ et <~& Donc
t.==(3i~)=(<<)~(~)-~<
/~ce~ H. Elles se trouvent sur t'intersectton des zones
(~) tog_-=tog~ng~~=)ogtang3i~ o,7;()i6
!og-- <~o.'iG3o
1)=n=~
('e-) fog me =Iogcot,g''e~=togcota7°4" <2Soj')~)
iogc. '),'J7')'~
o,3oo')~m=~.
(e~) Iogmc=]ogcotg'e===!ogcot.Gi'8' '~G~f)
iogc. '),<~9'
')~)9~
,“– J.
tl r 0 t 10o «' 10 ) t Ot r ?. u t 9. '.ï i
f~ )<j vz oa 2 tt r a2 t )7. TT i': T T t
a~T TTt i 3T4
f88 HAKUEI, PRATIQUE DE CRiSTALLOGnAP)))):.
1
a'c'ete~.Donc
/1 ) t\Mr=(t'i)=f,
T~ce.! li. Elles se trouvent sur l'intersection des zones
&'<?'et e~ Donc
/;=(;).==(~) :=('/1= (1'),'1)= I;II/'g"j "1'
7f<eM – EHes se trouvent sur l'intersection des zones
~te~ et &'< Donc
/-L' y7- = (. 34 ~=(.~ ''J =. (&' ~~J = c,.J' ==3-1) -1): ')tgt ==\) ')-b~
2CIo
T~cM. – Ces faces ne se trouvant pas sur l'intersection de
zones, leur symbole doit être déterminé par le calcul trigono-
métrique. On résout le triangle spt~erique rectangle en /i~'
(~7/y. i/jf, f~.), dans lequel nous connaissons
~.c=4<)'{8' et f = ()')"– }.«- ==8'
Nous cherchons 7r et
f~ !f '< 'l. t O'Jt 2 r' Of S a 0 )~ 2 '<) 1 f )
X X X >< >< X ><_>< ~<0) t1 o ) ff [ [ t T~ T T aï
~ït L TxT I. T~t :Î
l 1
!I I 2 I 1 ? 0~ Ot T 2 0 1 2 ) ) t t
o) ~~< [o oti r ); r tI )r t rt f ) i i~ ) 2)
TTt r T~f T~J 3
I! 1 0 t )0 o /)' !) r '< 1 t'< ~a 2'< ( 1 2 '<t r
t' 01 2 O ta 2 f' 0) 0 ff C TT 7 i T 1
~~t 1 TI[ Tj~ y
!og;cos ~i()";8' = g,80~87
Iogsin82°!=f),<)()~<)<)
togCOSTT= (),8)'f)t
~-=~)°'
logcos 8a"t~ = g, t3~)i
fogshi~()°~'==;),88?.;)8
togeos~. = 9,2)<jG:iï
!~=79°!
TOPAZE. t8()11,
D'ou(P/i/,3, i44)
m=~.
tl=().
La face est donc
11
1 1
1 1
1)n -i~ = < 9 o ) (~ ') =(~ g~)
1= 6,.
III. Calcul des angles.
Ce calcul est ici des plus simples, puisque tous les anglesdes zones ph', A' et s'obtiennent par la résolution du
triangle rectiligne rectangle, et que pour les autres un seul
triangle sphérique suffit dans la plupart des cas. Je ne don-
nerai donc qu'un exemple pour indiquer ta marche du calcul.
Soit la face Kr=:(r35). On a mc=~c et na~-3a. Donc
(~.i4a,~3):
!ogmc=)ogcot,f)''9t' <),;):;38o
iogc. <),97<~3
Jogm. ~,9~4~7
!og~=!ogtang79~6' ",7434~
logmc.
logna. o,C77~55
toga. '),7~3933
)ogn. o,f))~oa
ti=().
loga 9,7-~3
tog3. o,477r~
!og3a. o,~oo3')
loge. '),979~3
tog§. 9,778'~
tog~c==!ogcot.TT.. <),7'i768 T:=:f)o°iT
tog3a. o.').on35J
1 ~c 03*og–~=cot. 9,357~~ !~=7o"9'
IQOMARCEL l'IIATIQUE DE CXISTALLOGRAf'HtE.
Connaissant, p. et 'n', nous pouvons résoudre le triangle
(y?~. 140, !~t) rectangle en A~ qui nous donnera .y'M et
A' K
Lorsqu'il s'agira de calculer des angles reliant les zones
entre elles, /:&~ ou t~ par exemple, on aura avantage, pouréviter des constructions compliquées, u se servir, comme dans
les systèmes précédents, de la projection stéréographique.
DEUXfÈMEMETHODE.
I. Calcul de la yb/He /<Mt<e.
Pour ne pas surcharger le dessin, on n'a indiqué les faces
que dans un seul cadran (Pl. F, 22;).Les formules IX~ et XIa: (p. 35) donneront les axes a et c
en fonction des angles fondamentaux choisis; on a, en effet,
/7ï = ~/K7H et e/) = (~o"– e~
Si l'on avait d'autres angles fondamentaux,
~sur~)~/i9<'3/ et W.<'('sure:fo5"(;
par exemple, on résoudrait le triangte rectilatère ~~(/<j,dans lequel on connaît
~o' = ')"'– ~'i"4' Gj"11' et /'< <– ~<°33'=~37"
Iogtang~° <)'i-)2'iS
tu~sin6o"i'{'=-<),<)3847
Iogtang/K~o,5o/iot r
logtang g6o'13' O,2cÍ2%]ogtan~Co'')3'«,2.3()iogsin~o" f~' (),97'o
)ogtang~< – o,68g(iU
/K. 72.36
2
KK(cô~e). t4~.tL!<angtcdièdro~
~K. Ct.~ 2
Observe. 6f.j3
Cf.42
««(enavantL.. r23.
TOPAX):. f()f
On cherche
On aura alors, par les formules X~. et Xt~,
On procédera comme on l'a fait dans la première méthode
pour toutes les faces qui se trouvent sur l'intersection de
deux zones. 11peut se faire pourtant que plusieurs faces ca-
ractérisant ces zones manquent, et qu'on soit obligé de cher-
cher les symboles des faces M, M, s par le calcul trigonomé-
trique, comme nous l'avons fait tout à l'heure pour la face .s.
Supposons qu'il s'agisse des faces On résoudra le triangle
/'(A)~ rectilatère en A. dans lequel on connaît
/t=;;g<3' et /=-i go"–y/'=()o''–M°f)'=6()°'i)'.
On cherchera
les faces (e) et (<'<)étant d'ailleurs des faces existantes ou,comme dans le cas présent, des faces possibles
togcos ~(/<)g'= e~'g'= 9,8390[ ¡
e~'g'i6°2i'
log ces f (/;),} == (e)~ = 9,7t'i9"
(e~ ~"2T
~(~~=e~ et. ~g'(')-=~()o''–
II. – jDe7e/'m~6;<tO/:des autres formes.
/-(/;)~==(e)y et /'“(/; )-(a)/<,
Iogcos65°n' = 9,6~296
togsin37-'27'=9,7839'.
0' 43°;!9'
!ogcos37"2/ 9~997''
)ogsinG'n'='g,')5~f)'<
)ogcos~(/<)=-=<),8, Í
< x<)°6["°
)og-=!ogtang6<°. o,9,362)
iogc=Iogcot46°ai'. 9,979~~ c=o,9'j39
log~0,9.7672
loga. 9,7239.8 a=o,')a8()
logées 5G''53' 3,737~7
togsin6<)°5[' = f),<)72')7
(e)p. 3~3~
to~ cos 6<)°j – g 5 3; GC)
logsin 5G":)3' = c),()?,3f)'<
iog cos7'y( ) -= (' a ) <j, 614) t
(~)/ <i5"~i'
(<'<)/?. '24°);'
H()3MANLEL PHATfQUE DE CKtSTALLOGRAPmH.
..J._
Nous revenons ainsi aux formutes X~ et X)a, 'fui nous don-
neront
m=~.La face est donc
~=(,34)-(~~)='
On trouvera la face par la formule !X~, puisque nous
connaissons /i'~= }~a' -16'*36'
n='2.
Donc ~== (120)
Quant aux faces b, leur symbole est déterminé par le sym-bote des faces < tangentes à leurs arêtes culminantes, et ce
dernier se calcule par la formule X~. Si les faces a n'existaient
;.as, on résoudrait le triangle rectangle (p)ab, dans lequel on
connaît le côté &<x=~& et l'angle &(/?)a!==:w(/:)'=~/K/K.On aura ainsi ap et l'on reviendra à la formule X~.
III. Ca'<CM7des ft/t~/e~.
J'indiquerai ici seulement la marche à suivre, variable d'ai)-
leurs suivant les circonstances, pour calculer les angles autres
que ceux. donnés par les formules 1X~, \Jt~, (p. 3~).
togmc=-.iog),ang3T'3'i'. '),8~(io
!og'togtang~4°'7'.'),C5,~ i
na b ü 1
iogna. 0,20026
toga. <),328
iogn. o;.{76<)8
H=). i.
togme = J()gtang'!j°35. (),8'j/)Go
loge. '),')79~
togm. 0,8~~07
togna ios;tani! .f)°'!(i'. n,o?.~a~
loga. <),3x8
iogn. u,o()9
TOPAZE. fg3
)3
Soit, à calculer l'angle M&' (~ 22)). Je suppose qu'on a
prëalab!ement trouvé &=9o"–~&'&o''3o', l'ang)<'
6~==~'&=:~a"2' (par la formule X'~), et par la for-
mule Xt~ l'angle ~90''– e~/) =: 64<'3o\Les formules X/, etXJ&, donneront pour la face ~=(f35) ('):
togtang(e'); = 9,7~768 )og 3a ==o,xoo4o Iogtang(~)~ g,55~288
Dans le triangle (e'')~K, rectangle en (e'), on a
Nous pouvons résoudre maintenant, le triangte < dans
lequel nous connaissons & H~' et l'angle compris
~g'&'= (/)o''&' – (~)g'" ==4'-<°2'–)<)"'io' = 22'
(') Pour ne pas trop surcharger )a figure, on n'a pas tracé Jesarrs
(A)M(e') etg-M(a'). Les pôles (e') et (a') se trouvent évidemment )e prr-mier entre e° et (e) et le second entre (~) et (~).).
1- Il 1 1 1 1 --û~~
(e')~==/K. 2;)°/i7'
(e')g' Go"f3'
togtang~-(g-'M&' -K&'g~ == '98.i3
~(~'M~M&)~85<'2G',
Kg'=6i"
~'t<=n°6'.
Iogc=9,979'~
Iog~==9,778'5
Ioga==f),72328
Iog3= 0,477;~
!o~c= 9,75768
Iog3a==o,'<oo/{n n
(a')~=(~)~ !9°5o'
(a' ~o°fo'
Iogtang6u°i3' o,a{236logcos tg'")o' 9,97344
)og!.angMj: 0,26892
0 o& 70'.3o 70~0«g* Cf..j~ ()[.< ',),
f3~f~ ~2 8./i8M. 6 /i.24É
f)iogco).)f.C=o,~oy3".
togCOS/i.9.i==<),()<)8~2
o;~o6()~
logcosCR. <i == (),Co~G<
togCO[.)f.(')==0,70~<
)ogsin.'i.?./i-=8,8.<~)
Iogsin6G.()~r),()(ito-
!ogtnng~(g'!<~–«~'y~=<~6!tr<
~i,K~g..)~j~
fC)~MANUEL PRATIQUE DE CmSTALLOGRAPfHE.
logtang /2, 8,88<h8logsin 85.26. '),[)f)8f)2
8,88.i8ologsin 23.9. 9,9i~ j
togtang~M~ g,290~')
~M~ x.a
9.
M& 22.)4
Soit à calculer l'angle /'c~, la face étant (f3~). On com-
mencera par chercher /)<r')(<!) et (e)~'= 90°–/)(<?) parles formules X'&et XI~. Le triangle ~(e)~ rectangle en (e),
dans lequel on connaît, (e),et (<)~(a)~,donneraLe triangle ~< recti)atère en ~'a~ donnera ra3.
On voit ainsi qu'en choisissant convenablement les trian-
gles, il sera très facile de calculer tous les angles d'intersec-
tion des faces, alors même qu'eHes ne se rencontrent pas en
une arête rée)Ie.
DECXtËMEEXEMPLE.– .S'K//a<C<7e magnésie.
Je choisis ce sel parce que l'hémiédrie irès fréquente de ses
(') La lettre <juidésigne ta facette tet.raedt'iqne au bas a droite a ctcoub!iéesur)a~/tg'.C.
SCLFATEDEMAGNÉSIE. jg5
faces octaédriques rend plus difficile le diagnostic du système
cristallin, et parce qu'il nous présente un exemple intéres-
sant d'analogie géométrique existant entre deux substances
appartenant à deux systèmes différents.
A première vue, les cristaux ont l'air d'être tricliniqucs
(~ A), car il n'y a au sommet supérieur que deux faces
et deux faces e, et au sommet inférieur que deux faces Il et
deux faces les faces supérieures n'étant pas parallèles aux
faces inférieures, il semble donc que le cristal n'a pas de plande symétrie. Mais les mesures précises nous montrent que
)" <~&==90";
2" &A~ &~ et &/= &<;
3" ~*c!==Mtc -==e a c.
Il y a donc un plan de symétrie parallèle à la face < un
plan de symétrie parallèle à la face b et un troisième plan de
symétrie normal aux deux premiers. La symétrie est par con-
séquent orthorhombique, avec cette particularité remar-
quable, que la moitié des faces octaédriques fait le plussouvent défaut. La forme est même très approximativement
quadratique; car les angles &A et &/ sont presque égaux aux
angles do et f/ ce qui tient à ce que l'angle ac est très voisin
de 90°. Ce développement anormal des faces est une hémié-
drie de l'octaèdre orthorhombique donnant deux tétraèdres
inverses, l'un à gauche, l'autre à droite (~). On place ordinai-
rement le cristal dans la position de la~. H, d'après la con-
vention qui veut que l'angle obtus du prisme soit en avant;
il est cependant plus rationnel d'adopter l'orientation des
y~. A, C, qui le rapproche davantage, comme nous le ver-
rons tout à l'heure, de la forme du sulfate de fer que nous
avons calculé dans le Chapitre précédent. Le sulfate de fer,
qui est monoclinique n'a, en effet, dans la zone /t' qu'uneseule orientation possible, puisque est le seul plan de sy-
métrie c'est donc le sulfate de magnésie orthorhombique
qui doit être placé de façon à amener la coïncidence.
(') ~o:<' au Chap. XIII, i'hcmi.cdrie de t'ocLacdrc régu)ier et tcs/t' t~j,
K)0(~).
Jg6 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
Angles mesurés
On observe les zones/M~, ee~, a~.4', a~ f<o',
A'&e,/H/'e<-<. Clivage facile suivant A', moins facile sui-
vant e.
I. Calcul des c7e/7!M~de <o;/o/Me /)/M!<~('.
L'axe a sera a = tang~MM = tango- (P/. yt~ )26)
toga = !ogt.ang45'7'= o,oo43o,
a = t,ofo.
On aura, d'autre part, en prenant c pour e' (y: t~4),
loge = [ogcotey== logcot.Tr= Iogcot6o°= f),~Gi/
0=0,57733.
En comparant les deux sels, on trouve
Sutfate de magnésie.. :,o[o i 0,~73 ==90°
Sulfate de fer t,o44~t~o,'i6j'j ~~U~~ L'
ou, à peu près,l ,/1
t
î-
Si l'on adoptait l'orientation de la A, c'cst-a-dire si
l'on plaçait, comme on a l'habitude de le faire, l'angle obtus
du prisme en avant. On aurait
o,f)f)oi i o,5yt6,
par conséquent pour l'axe a un rapport moins rapproche
que le précèdent.
0/?! *<)0.3~
60.t8
/,t.!2 2
60
e~g' 4o.56
0
6~(sura). 53.1~,
&&(sure). 5'<.3S
4~S
C'i.37
SULFATE DE MAGNÉSIE. tQ'7
II. Détermination des autres formes.
La projection stéréographique (/ F,y~. aaS) indique de
suite
)" Que la face b se trouve dans la zone e'/<' et que l'axe
vertical des faces &et,e' est le même; donc &== (i f)]
20 Que la face a est dans la zone & par conséquentet a ont le même axe vertical; donc c(= (10 f) = a'.
1La face est sur l'intersection des zones /?:e' et
donc
,.=(.2.)=(~&'g'')=C9.
La face e-~se trouve sur l'intersection des zones /t' et~'donc
1e~=(oa<)=c~
La face a~ fait avec A' un angle de ~1°;2' par conséquent
m =2.i
<= (201) = <
1
/< t! 0 t t0 0 t) t 1 t! 1 tT ) f Tt 1
XXX XXX XXX
f' 0) 1 t 0O 
~98 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
1 1
La face x est sur l'intersection de M~ et b2hl donc
.x-(Zti)-~blb~'lr~a3..X'=(2)f)=(&)=f73.
Les faces et- x, qui sont hémiédriques et qu'on calcule
d'ailleurs absolument comme si elles étaient holoedriques,seront notées ~3 et ~a~.
IH. Calcul des angles.
Les indications données dans le précédent exemple suffi-
sent pour trouver par le calcul tous les angles qu'on ren-
contre ici.
1
a' 2 0 1 2 0 1 ft 1 t t t 1 0 2 02 2
g'01 I 0 0O i0 0 f0 0 O 00 0 Ot T 0 U (T I
Ï02 J OfT t 2TI 1
1
~–r~(t~–u–f,
SYSTÈME QUADRATIQUE. fgf)
CHAPITRE X.
SYSTÈME QUADRATIQUE.
(y'e/ya~'o/M~ /)yya/MK/f<~/?/'t'twe <o;< ~f<t'e eM/ee, ~«a<e/a<e.)
On peut considérer ce système comme un cas particulierdu précédent. En effet, si le prisme orthorhombique /H, dont
l'angle peut être absolument quelconque, était de 90°, il s'en-
suivrait que T ==45", par conséquent a = tang, = ), et le rap-
port des axes serait i c. Cette condition détermine
nécessairement l'existence de deux nouveaux plans de sy-
métrie, parallèles aux faces du prisme. Mais les substances
qui cristallisent dans cette forme possèdent, outre une symé-trie particulière, un ensemble de propriétés physiques quiles distingue nettement des corps orthorhombiques; il est
donc plus rationnel d'en faire un système cristallographiquc
indépendant qui aurait pour caractère: trois plans coor-
donnés et trois axes se coupant à angle droit, les axes ho-
rizontaux étant égaux entre eux, l'axe vertical variable.
Dans un prisme quadratique on a donc (Pl. /I~, /< i45))" Les quatre arêtes verticales h égales entre elles, puisque
les angles dièdres w?H = go*.a" Les huit arêtes horizontales égales entre elles, puisque
les angles dièdres p/M sont droits.
3" Les huit angles solides <-<égaux entre eux, puisque les
angles plans des faces /) et /?t sont des angles droits.
L'ensemble de toutes les formes primitives, dont le nombre
se réduit à cinq, donnerait un polyèdre analogue à celui de la
Yt, i4o(/77/), dans lequel M/= 90"< li et e = a, c'est-
à-dire une base, un prisme octogonal régulier et une pyramide
<00 MANUEL PRATIQUE DE CRfSTALLOnRAPHtË.
octogonale qui n'est jamais régulière, car les deux formes a et
ayant les mêmes paramètres i t c, auraient les angles
<i!~et bp différents, et, si ces angles étaient identiques, tes
axes de a devraient être m c, m ayant la valeur irration-
nelle de ~/2. It est évident que deux formes cristallines, l'une
composée des faces M, /7, l'autre des faces /<), a, seraient
absolument semblables et ne pourraient se distinguer. 
SYSTÈMEQUADRATIQUE. 20tl.JJ.JJ..D.U.l~u"L..n~.uv.
a a/), on trouve c= tang ap =~ tang~ si l'on a &~b ou )c
triangle de la fig. !47, '48 (Pl. IV), dans lequel/==Qo" et
T== ~5", nous donne v et par conséquent c (/ '43).Il est tout aussi facile de faire le calcul sur la projection
stéréographique, car-<2/?~=:~ et dans le triangle a'/j~ l'angle
~&= o"=: 45°.
II. – Détermination des symboles des faces dérivées.
Un seul angle suffit à la détermination du symbole de toutes
fes formes <~ et bx, qui se trouvent nécessairement dans les
xones~Aet~/H. Il faut deux angles pour déterminer les formes
(&t~), puisque la valeur des deux axes est inconnue; mais
ces sortes de formes se déterminent le plus souvent, comme
nous le verrons dans l'exemple de calcul, par l'intersection
de zones connues.
III. Calcul des angles.
Le problème devient d'une extrême simplicité et n'a be-soin d'aucune explication.
202 MAKUEL PRATtQLË DE C)()STALLOGKA!'[)[E.
EXEMPLE DE CALCUL.
/<oc<"a6'e.
La détermination du système quadratique est en généraltrès facile, quelle que soit la complication des formes. C'estainsi que dans le cristal d'idocrase du Vésuve de la y?~. A.
ma]gré le nombre considérable de faces, les mesures donnent
immédiatement
/;</ – <7g-– <ï/ –= – f)o",
/< – /t< et –
Le cristal ne peut donc être que quadratique ou cubique.Mais, s'il était cubique, on devrait avoir ~=/W, il =~/<, ce
qui n'est pas, il est par conséquent quadratique.Nous pouvons prendre indifféremment les faces a, ou <
A comme prisme primitif. Nous choisirons <r<, les faces se-
ront alors notées comme ('indique la H. La projection(Pl. F,y?y.2a3) donne en même temps les principales zones.
c, /<, t sont des dioctaédres, et hy des prismes oc-
togonaux.
!DOCHASE. 203
On a mesuré
I. /)e'<e/t/ta;<:oy: de la /o/Ke ~t/Kt<:fe.
Nous choisirons & comme octaèdre primitif. Le triangle
(Pl. IV, t~, !~8), rectangle en /?/<, dans lequel nous
connaissons &=9o°–~&~=64°4o' et Tr=/i5' nous don-
nera
IL /)e<e/'M:<~tO/: cles autres formes.
Face hx. On a
/==~°–M/~=;8"25';
donc
iogn = [ogtang )8°25' g, 5 2?.~?,2
n=~4
/=(3io)=/~ ==/Face
/= 4')°–M/)=a6°3.donc
togn=Iogtang26°3-'i' g,6f)900
u=~
/<=(2to)=/
/7! !8.2.6
/?/< a6.34
~'«' ?.8.t5
p~ 7.7
/,)/'y. 56.2<)
p~ 37.t3
&&(su]'<ï). *o.3t)
f/;M(adj.). 27.5t
.? » 3j.to
/j6.3'ii
Cf M /)O.J',t
/t~(opposc). 78.tf
/r(adj.). C<).54
y~ 6-7.9.
iogt.ang45°. 0,00000
logtang64°4< 0,3~76
togsinv. 9,675?.~
-~=a8°f')';
Iogc=Iog~ang28')' g,3o'i
0=0,5373.
204 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPH)E.
Face a. – EUe est tangente à i'arète de l'octaèdre
que nous avons choisi comme primitif; e)ie est par con-
séquent (101) == «'.
Face – On a
/)~= 5f)°2f)'.
Le triangte (P/. /<r. ~8) donne
m='2.
/;y=(.).2.[)==<
Face – On a
~= 7'°-
Le même triangle nous donnera
m==.{.
~-=(44t)=~.
Face M. Elle se trouve sur l'intersection des zones ~/<'
(antérieur), et&"A' (latéral gauche). Donc
~=<4tU=(~'Wi').
logsin ~5°. (),8jn~f)9togtang5C'2()' f),)~8g4
!ogtang'=!ogmc.. o,o':8/i3loge. g~3o23
iogm. o,a<[)~2om–') ·>
togsin~ 9,8~949
]ogtang~t°~ o,.{8?.66
!ogtang'/==!oginc. o,33ai5
toge. 9,73028
logm. o,Got9a
1
1& 444
t~4 4'1
fi 1><t )r 1 
IDOCRASE. ao511
Face s. – E)ie se trouve sur l'intersection des zones A*
et~/t". Donc
.r=(3ft)=(&).
Face r. – Elle se trouve sur l'intersection des zones &
/)/Donc.
/.=(2H)=(~)=~.
Face Elle se trouve sur l'intersection des zones /K6''
et/J/ Donc
f=(3l2)= (~) =(&t) =~.
,Fa!ce <. – Elle se trouve sur l'intersection des zones /M.!t
et <Wt'.
<=(~t)== (~t).
Si l'on n'avait pas les zones nécessaires, il faudrait recourir
au calcul trigonométrique. Soit à déterminer la face c. Con-
naissant les angles A't~ = 78" i et pv = /to°2f', nous pouvonsdonc calculer les côtes v et T du triangle (/ 1~8); on trou-
vera v=38"52' et T=7t°34'. Les paramètres seront alors
)ogcot ~t°3~'= logna = logn = 9,5228~,
'n=~.
1
!t [ t t t t p. 0 () t 0 01 1 Of 0 o 1 1XXX XXX >< >< ><
fo 0 t oo 0 3t o 3 o[ i T3 o 1 3o o
o i 1 T 3 o 3 i [
1
It I t t 1 0 O t 0 Ot I Of I T 0 [T 1
/< to o O i oo O /i~ 2 I o ?. [ o 1 2 T 1 2 O
Oïl 1 1~0 O 2[f f
/H. ]I 1 0 t 10 O p. 00 I 0 01 I tt f ) )
a' fo >< t ~<j>< of 3t >< o ><3 >< to ~3 3 o ) ><< 3 0
i T i i 3 o 3 t a
t
M. 11I o i 10O aa ) I 2 2 I iT 7 r T~2
s. 3><><><
I J~I. IXX ~-<
o 0 oXJXX
I v3l 1 [ 3 t! 1 f0 00 t 00 (-) 01 0~') t').
t 1 ~a o ) 4 i
306 MANUEL t'RATfQLE DE CfttSTALLOGRAPHfB.
fog'~=!ogtang38°52. 9,90630na ;:), ~n)ogn. 9,~284
logmc. 9,~9tt É
)ogc. 9,f)-). >
togm. 9,6989: [
toge. 9,7)023
)og~ 9,~9897
logtangv. o,o'3:26 ~=.{7°_{'.
iogsin63"26' 9,95t5t
Iogtangp/ 0,07972
)og).angT ==togtangC3°~G' o,3ofoo
Iog~=logStn.~°4' 9,86.'if)o.
Iog).ang/ o,)3(i.'i3
m=~.donc
t.==~ =(3i2)= (&) ==~.
IH.–C6!~ct<e~s/e~.
Le même triangle (y< i/t~ t48) nous permettra de cal-
culer l'inclinaison de toutes les faces octaedriques sur /<' et
surp (ou sur car~/?t=<)o°), puisque dans ce triangle les
deux eûtes sont: tang~=;et tangT=n. Prenons, pardeux cotes sontna
et tangT = n. l'enons, par
exemple, la face r =L(2 f i) = H On a
!ogcotT~!og~9,6989:,
=63°2f;
ciogtang~=Iog~.b Û a
(J'oit/)/-=5o°t,
d'on ùd'oÙ
/f)".tfi'.
/=: Gf)°54'.
SYSTÈME HEXAGONAL. 207
CHAPITRE XI.
SYSTÈME HEXAGONAL.
( 0/e.,t'<o/<a/j w//<we.).)
De même que le système quadratique, ce système peutêtre considéré comme un cas particulier du système ortho-
rbombique. Si l'on avait, en effet, un prisme de tao", le rap-
port des deux axes horizontaux b a serait t puisque
cot6o"==~. En tronquant les deux arêtes verticales aiguësd'un semblable prisme par les faces on aurait un prisme
hexagonal, dans lequel les douze arêtes verticales de même
que les douze arêtes horizontales seraient éga)es entre elles, etles douze angles solides égaux entre eux. Les faces &et e quii
tronquent les arêtes horizontales doivent donc être également tinclinées sur la base, ce qui donnerait, en les prolongeantsuffisamment pour faire disparaître les faces prismatiques,une pyramide régulièrement hexagonale.
Or on a (/-V. /F, ~9, ~g~)
J tane: =e
= 2etang ~-=––– = – = xc,g 1 smbo' asHitjo2
puisque sin 0 V33 et a=~puisque sin 60" =1 ~– et a =~
tang ep = tang p = mc
les deux angles doivent être égaux. Donc
'~c ==me et m-= 2.
208 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOf.)!A['H)E.
H suit de là qu'une pareille pyramide serait composée de1
huit faces de la forme primitive ~-=(t t )), et de quatre faces1
de la forme dérivée e~ == (oa i) ou, d'une manière générale,dehuit faces &= (A/~) et de quatre faces e~ (o/L'), entre les
caractéristiques desquelles on aurait le rapport -1 et
~2/
Les faces placées sur les douze angles solides et proion-
géesjusqu'à disparition de et de y formeraient aussi une
pyramide hexagonale régulière, composée de quatre faces
<x'~= ('oi) de la forme primitive, et de huit faces pour les-
quelles l'axe horizontal na =~ tang6o°= \/3, et puisque a ==
on a n 3 (y< i5[). On a, d'autre part,
m c m c
tan~.t~ = ––:–-– == –°" nasm3o" ~a.aa
puisque sin3o"= ornais i'angtc.s' doit être égal à l'angle
a' pour lequel on a tanga'~ ~= Doncn a
mo c~t
mee 111 2.-–=-, dou – =m=.a a e
Les axes des faces s sont ainsi 3a i ~c et leur symbole1
par consé()uent ('32) i~ -=e;Cette façon d'envisager les choses complique beaucoup le
calcul et a, de plus, le très grand tort de faire abstraction de
toutes les propriétés physiques qui distinguent le système
hexagonal du système orthorhombique. Il vaut donc mieux
choisir, comme on le fait habituellement, des axes secon-
daires qui fassent ressortir directement la symétrie particulièrede ce système.Il suffit, pour cela, de prendre dans le plan ho-
rizontal trois axes égaux qui se coupent a tao" (/ /i5o),au lieu de deux axes inégaux rectangulaires de ia/<n'. )~f). On
a ainsi un prisme hexagonal w et le rapport des axes 1 i f c.
Dans ce prisme (y~. t5o)Les six arêtes verticales A sont semblables et leur tron-
cature donne un prisme également hexagonal dont les faces
coupent les trois axes horizontaux aux distances f i. Leur
symbole est /< (t i ao).
SYSTEME HEXAGONAL. 20Q
.tiCHn~UC:
t 1
a" Les douze arêtes horizontales b sont semblables elles
sont donc tronquées toutes à la fois et ces troncatures suffi-
samment prolongées donnent une double pyramide hexago-nale de premier ordre. Les faces de cette pyramide coupentl'axe vertical a une distance c, deux axes horizontaux, a une
distance i et sont parallèles au troisième axe horizontal
(fig. i5o). Leur symbole est donc &' r~ (j o i f).3" Les douze angles solides a sont semblables et par consé-
quent tronqués simultanément. Ces troncatures, lorsqu'ellesfont disparaître les faces prismatiques, forment une double
pyramide hexagonale de second ordre. Les faces de cette py-ramide coupent l'axe vertical à une distance 20, deux axes
horizontaux à une distance et un axe à une distance i
(~. !5o). Les axes sont donc a a ) ac et le symbole?. a T x
C'= =-(t t 2 t).t t t
Les formes primitives de ce système se réduisent donc à un
prisme dodécagone in, A et à une double pyramide dodéca-
gonale formée des faces bl et a'. Cette pyramide ne peut être
régulière, et les angles ~\p et alp ne peuvent être égaux. En
effet, on a
tang 6Ip 6 tan~v sinGo'c- ~3 c,tang = sin6o° tang'; =: sinGo"c == c,
tang r<'y.)– rnc
si l'on avait &?:= a' on aurait m= c'est-à-dire une
valeur irrationnelle.
Trois sortes de formes dérivées sont possibles
1° Les trois axes horizontaux ne changent pas, l'axe verti-
cal c seul varie et devient me. On a alors une série de dou-
blespyramideshexagona]es~~(/<oA/) et~~(A/<2A/), quise trouvent dans les zones mp et A' Lorsque les faces d'une
pyramide a~ sont tangentes aux arêtes culminantes d'une py-ramide bx, les axes verticaux des deux pyramides sont dans le
rapport ac c (yfj. !5r).2" L'un des axes a ==ce, les deux autres sont devenus na
et pa. On a alors des prismes dodécagones qui tronquentles arêtes A du prisme primitif par deux facettes symétriques.
2)00 MANUELPRATIQLËDE CK)STALLOGf!APmK.
Les axes de ces prismes seront pa i na =oc et ieur.s
symboles /~=-(/<o). ii suffit de connaître n pour déto'-
miner la position (tes faces, car p– ––- En effet, soit c fa
projection de l'axe vertical (/ i53~, ca, ca', ca" les trois
axes horizontaux dont la longueur est [ a'a" et aa' seront
les arêtes horizontales & du prisme primitif (yi~. f5o), a"nil
l'arête du prisme dodécagone qui coupe les axes a des dis-
tances en -i-- n, i et cp=-p. Les triangles cpneta'a'n nous
donnent
n sin c n np= –––– smcpn~suiaa n==smcnp.an=Sincnp(n–p
sniopa ilsm e p il CC,"sm a a n = sm en p a n = sm c n p n
et, en remplaçant c p n, p –-Il 1
On voit que n doit être > i et a, car s'il était f, on re-
tomberait sur t'arëte a'a", par conséquent sur un prisme hexa-
gonal /?!, et s'il était ==3, l'arête couperait les deux axes ca'
et ca a égale distance, et appartiendrait par conséquent au
prisme hexagonal de second ordre A'. C'est pour ces mêmes
raisons que p doit être 2 et <; ce.
3° L'axe vertical est devenu me et deux des axes horizon-
taux sont devenus na et pa. On a alors des doubles pyra-mides dodécagonales correspondant aux prismes dodecago-naux A-~et tronquant sur le prisme primitif les angles solides
a par deux facettes symétriques. Les faces de ces pyramides
coupent les quatre axes à des distances ma pa me et
leur symbole est (~&) = (/z~). Il existe ici naturelle-
ment la même relation entre les facteurs n et p, se rappor-
tant aux deux axes horizontaux, que dans les prismes dodéca-
gonaux A~. Contrairement à ce que nous avons vu dans les
systèmes à trois axes coordonnés, les caractéristiques des faces
d'une même forme se rapportant aux axes horizontaux chan-
gent ici, non seulement de signe, mais encore de valeur,
comme il est facile de le voir(y~. i5o). Prenons, par exem-
ple, la formes'; sa face supérieure droite sera (~ < i), celle
située à gauche sera (121 f), la face antérieure (2 t j )). Les
trois autres faces supérieures seront ( 2<), ( <f )) et (! 1).
SYSTEM)! HEXAGONAL. 2 !t1
Il en sera évidemment ainsi de toutes les autres formes. Onconvient de designer la forme par le symbole de la face quiest placée sur la partie positive de l'axe des et des y et
la partie négative des M ce sera donc pour a'- f i a t.La projection steréographique a, dans ce système, un as-
pect un peu différent de celui que nous avons vu jusqu'à pré-sent, les faces étant symétriques par rapport à trois axes ho-rizontaux. Lay~. 927 (/ V) donne l'ensemble des formes
primitives et quelques formes dérivées.
Parmi les substances naturelles ou artificielles qui cristalli-sent dans ce système, il n'en est qu'un très petit nombre, sitant est qu'il en existe, qui soient réellement hexagonales.Les unes sont hémiédriques et doivent être rangées dans le
système rhomboédrique que nous étudierons dans le Chapitresuivant, les autres sont pseudo-hexagonales et constituentdes macles de prismes orthorhombiqucs très voisins de fao".
I. Calcul des éléments de la forme primitive.
Comme dans le système quadratique, il n'y a ici qu'uneseule inconnue, la longueur de l'axe vertical; un seul angledonné suffit donc pour le calcul. On a, en effet,
c == tangv = tang < c = sin 60°tang tang,z
sin-, ––tang(()o°–~6) t.ang(<)o°– ~)
et
sin apsm a~ ==––––– –––sin,lipHutg(()o"
Ces formules fort simples permettent de calculer l'axe ver-tical dans tous les cas qui peuvent se présenter.
Le calcul de la projection steréographique ne présente éga-lement aucune difficulté, puisqu'on sait que ap = v et l'anglea/) &== M==3o".
213 MANUEL PRATIQUE DE CtUSTALLOGKApmE.
II. Détermination des symboles des faces dérivées.
On calcule les paramètres me des formes et & comme
s'il s'agissait de l'axe c de la forme primitive, puisque les axes
horizontaux restent les mêmes et sont = L mec
horizontaux restent les mêmes et sont =- Le rapport –
donne la valeur de m. Pour les formes il suffira d'avoir
l'angle hxm ou A~~pour avoir l'angle T (P/. /F, i53), dont
la tangente donne la valeur de n de l'un des axes horizontaux,
et par conséquent la valeur p ~= –– de l'autre axe, le troi-
sième étant ==t. Enfin les pyramides dodécagonales doivent
être déterminées par deux. angles ;rp ou ~e/Met~d? ou xh, qui
permettent de trouver les angles v et -r, et par conséquent la
valeur de l'axe vertical et des deux axes horizontaux.
III. Calcul des angles.
Les formules qui ont servi à déterminer les éléments de la
forme primitive serviront à calculer tous les angles lorsqu'on
y connaîtra la valeur de c ou de me, de n et de p.
ËMERAUDE (BERYL). 2t3
EXEMPLE DE CALCUL.
Z~/Ke/'aMf/e(7~/y/).
La symétrie hexagonale du cristal apparaît à première vue.
Les douze faces prismatiques donnent les angles (,y. A)
<~=~c==e<=:~e==e/–3o'
par conséquent<ïc :==ce = = ~== 60°.
On a de plus
/~=~=-7g-, /i~=/Mg-=o~ ~=/Z~=K~.
Nous pouvons choisir comme prisme primitif a, c, e ou b,
d, f; nous choisirons le premier, le second deviendra alors
A'= (i tao) et la face sera (0001) (~. B). On notera/
t,y – &~==(/!0/) et les faces in, o – b, puisque ces faces
sont dans les zones/?/H. Les faces l, u seront des faces
~=(AAa/~), et les faces p, r, .s', t appartiendront à une
pyramide dodécagonale de la forme (&) (AA/). Les
31-'i MANUEL PRATfQUH DE C)USTALLOGRAPH[E.
angles mesures sont.
/0", 1--l-On trouve les zonesmbxbp, A'<x/), &M et a,s~.
I. Calcul c/e ~yo/e ~t/?:ce.
Nous prendrons comme forme primitive la pyramide du se-
cond ordre a qui devient ainsi s'~([ 121). On aura
0~0,~988.
II. – /)e7e/'nt!/ta<<o~c<e~aM<M~o/'MM.
Faces &. – Les faces <~ sont. tangentes aux arêtes &&,
par conséquent la pyramide &b le même axe vertical que la
pyramide <x'; elle est donc &~==(ao~i).
~CM bx. – Dans le triangle spheriquc rectangle (jP/. /F,
yt~. r5f, taa), on a
m==!.
La face est donc 6'= (;o o i).
~ace.; .=. Les faces e;' sont tangentes aux arêtes cuimi-
nantes par conséquent l'axe vertical de la forme est
t/?~ ~8.5o0
;~6-< 2~.57
/'a. *56
joz. ~27
O
(~ M"2.
<z~ j~.3o
~6~a3.)6
~t7/?ï. ')'?,.[8
log logtang4~~6 9,99899
log2. o,3o;o3
loge. 9,69796
togtang~ '),76056
Iogsin6o\ 9,93753
togmc–togtang- <),Gf)8o9
toge. 9,69796
logm. o,ooot3
ËHEHAUDE (BÉRYL). ~f:')
ac, c), l'angle v~=.~«56'. Le triangfe !5), r5;<), dans le-
quel nous connaissons v et 4~°27', nous donnera
~=7')"9'.
Le triangle rectiligne (~. f53) donne
n-
3
par conséquent p 1= ~– 3. La face que nous examinons2 –t
est donc
~~T? ~< l==-=~i2()3)~&2tff 1
III. – CaZcu~des a/i~/e~.
Faces & –Dans le triangle (~ t5j, 162), T=6o°,
tangv =1 c, d'où a6''3i'
ces .s. – Le triangle ca"n ( /7~. i53), nous donne
a"en–Go". c'a."===c=~tr et, cn:a,
togtang~~°5G' f),on8<j')
togtangj5"2~ 0.0068').
logsim. <j,oo~.i7
io:;sin;()<'9'),()<).f~ 7
!ogsinT–!og~i[it8o''–.6o''–:<)"()')o~s'n.[°5f' (),~t.')(;3
togn. o,)yC54
iogtang9.C"3i' =-= 9,6980j
logginCo" = 9,93753
iogtang ==g~Gojao
29.~~'w. Go. 3
logtang Go"–0,~38~6]o!sm~G"3)!f),G/8
)ogt.ang(()o°–&).=o,588:8 8
0
(~o"–). 7-33
~'& f4.?.72
&(nr.cu)m. 28.5.;
3t6 MANUELt')!ATIQLEDiECiUSTALLUG[tA[')HE.
Donc
]og tango = log~ – <tM<j[, [, – T (go"– !o" ) == Go",
?~3°.
On a, d'autre part, Jogtang~r-Iog~ par conséquent
~==:44°a6\ Dans le cas spécial, cet angle est précisémentcelui qui est pris pour donnée fondamentale, et n'a par con-
séquent pas besoin d'être calculé.
Nous pouvons maintenant résoudre le triang)e (/< )5),
t5a)
On trouvera surla fig. aay (Pl. V) la projection de toutes lesfaces du cristal que nous venons de calculer. Le calcul au
moyen de cette projection est d'ailleurs extrêmement simpleet ne demande aucune explication.
Iogtangi[''i< <),3ot3o
!ogcot3o" o,856
togtangc–T~ (),53<)8(i
~–1. K).~ 7
T–T. 6().
70. 7
logLang/i.t');)
Iogsm79°7'<),c)()2n 2
!ogtangz/.) ~0,00687
=/?.
logtang ~)° – o,7i6o<j
Iogsin.t''5C' (), 84898
)ogLang(')o''– ~~) – 0,867~ i
go°--w
0
()0°–~S2. 8~~
Z~ 7.~2
~S. !5.28
SYSTEM I!!K)H«0~[)i!tQL'E. ~7 j
CHAPITRE XH.
SYSTÈME RHOMBOËDRIQUE.
(7'c/at/'e.) ')
On peut considérer ce système à deux points de vue diffé-
rents
1. Comme une hémiédric du système hexagonal conser-
vant ainsi les axes et le caractère propre de ce système. Sup-
posons, en effet, que dans une pyramide hexagonale (7~ IV,
y~. i54) les faces alternes 1 et leurs paraHèles se développent
seules jusqu'à faire disparaître complètement toutes les
autres; on aura alors un solide à six faces (/< 155), qui
est le rhomboèdre, et qui aura pour symbole b, puisqu'il est
formé par les faces & de la pyramide hexagonale. Si ce sont
les faces H qui se développent au détriment des autres, on
aura un solide semblable au précédent, mais de positioninverse (y~. 106) et tronquant ses angles solides; lorsque les
deux formes se trouvent combinées et que leurs faces sont
également développées, elles reproduisent la pyramide hexa-
gonale.Les pyramides dodécagonales donnent aussi naissance a
deux formes hémièdres particulières, dont toutes les faces
sont des triangles scalènes et qui sont inverses l'une de l'autre.
Suivant que ce sont les faces 1 ou H qui se développent ex-
clusivement (y< )~), on a le scalénoèdre (y< ;58) ou le
scalénoèdre(~ i5g); lorsque les deux se trouvent ensemble
et que leurs faces sont également développées, ils régénè-
rent la pyramide dodécagonale. Leur symbole est .~(~),
'f8 MA~C~ )'MAT!Qt;E DE OtfSTALLOGRAPtHE.
puisqu'ils sont formes par les faces de la pyramide dodécago-
nale. Le système d'axes coordonnés étant le même, la positiondes faces par rapport ces axes n'ayant, pas changé, leur
nombre seul a diminue de moitié; le calcul des éléments (!e
la forme primitive se fait donc absolument comme dans le
système hexagonal.
2. Mais les rhomboèdres se distinguent nettement des
formes hexagonales, non seulement par leurs propriétés phy-
siques, comme le clivage par exemple, mais encore par une
symétrie propre, puisque leur axe vertical est un axe ter-
naire, et non un axe senaire. I! vaut donc mieux les considé-
rer comme des formes holoèdres particulières constituant un
système cristallographique a part, et leur donner une nota-
tion distincte du système hexagonal. On peut adopter ici deux
systèmes différents d'axes
ci. Avec tFe<M et Bravais, les quatre axes hexagonaux
(y~. t5o); on a ainsi une notation a quatre caractéristiques,
qui a l'avantage d'établir un rapprochement entre les sys-tèmes rhomboédrique et hexagonal, très voisins en effet à
beaucoup d'égards.6. Avec ~7/e/' et Lévy, les trois arêtes < f/, & du rhom-
boèdre (y<.y. )62), par conséquent trois axes obliques égale-
ment. inclinés les uns sur les autres et dont deux sont égaux
entre eux. On a ainsi une notation à trois caractéristiques,
qui est incontestablement plus simple.11n'est pas difficile de passer de l'un de ces systèmes d'axes
a l'autre. Soient, en effet, h, /< 1 les caractéristiques dans le
système à trois axes, et A', /c', r', l' les caractéristiques dans
le système a quatre axes. On aura
/,=/
/f'=/c– l, /––
/=~– h, /-<–A'
/'=.–~–
C'est ainsi que les faces (21)) et (Sa i) deviendront (< o ) o)
et (tta6) et, inversement, les faces (022~7) et (2[3i) de-
viendront (aoS) (3 3:)et(6o3)– (ao f;.
SYSTEM RfiO:HBOËD)!)Q))'. \)
Puisque nous nous servons pour la désignation des faces
de la notation de /.e'(y, nous prendrons pour la descriptiondes diverses formes ses trois axes inclines, mais nous adopte-rons pour le calcul les axes hexagonaux.
Le rhomboèdre primitif (/-V. /F~ iCa) est ainsi caracté-
risé
1. Les six faces/ sont égales entre elles;
2. I! y a deux espèces d'angles solides 2 angles a et six
angles e.
Les angles a peuvent être modifies soit par M/te facette
également inclinée sur les facesp, et par conséquent perpen-diculaire à l'axe vertical, on la note a'== (t i ;), soit par <oM
facettes également inclinées sur l'axe vertical et qui peuventêtre placées sur les faces p ou sur les arêtes b, ce sont des
rhomboèdres directs ~(A/?.) ou inverses ~=:(/<f),
plus obtus que le rhomboèdre primitif, soit enfin par six fa-
cettes placées deux a deux sur les arêtes b, on a ainsi des sca-
!enoèdres (~. :58) (&-<) (A/f/).Les angles e auxquets aboutissent deux angles plans
égaux et un angle plan différent peuvent être modifiés parM~e facette interceptant sur les arêtes f/ une longueur plus
grande ou plus petite que sur l'arête b. Dans le premier cas,on a des rhomboèdres inverses e- (/:AA), puisqu'ils rempla-cent les arêtes et dans le second des rhomboèdres directs
e~:=:(A/), puisqu'ils remplacent tesy<'<ce~ du riiomboedre
primitif. Deux cas particuliers sont intéressants
1° Lorsque les longueurs interceptées sur les arêtes <=; 1
et la longueur interceptée sur i'arete &(y< )G6), on a
une face paraHeic à J'axe vertical qui joint les dcuxangtes so-
iides <x,c'est donc une face prismatique et, puisqu'elle se re-
produit sur les six angles e a la fois, elle appartient au prisme
hexagonal de première espèce (~ du système hexagonai). On
note ce prisme <~=(i ta).
a° Lorsque les longueurs interceptées sur ~={ et la
longueur sur &=t (/ 166), on a le rhomboèdre inversei
~:=: (22 t) qui forme avec.le rhomboèdre primitif~ une py-ramide hexagonale (&' du système i)cxagonai).
220 'HAKC):L P)!Ai)QLt: DH C!t!STALLOG[<)'f))K.
Les angles e peuvent être aussi modifies par'M.x facettes
interceptant des longueurs inégales < f/, ou < on a
ainsi des scalènocdrcs c/f?e< (&y~) (A,A~ ou </<ce/<?.;
(&~&f~) (/t/;7), qui se transforment en prismes dodecagonaux
lorsque les facettes sont parallèles a l'axe qui joint tes angles''<et qu'on a par conséquent pour les longueurs des arêtes
/)>2i;/ou <~>2~.0nnotccesprisn)Gs(~~<y~) (AA/t~).
3. Les arêtes sont de deux espèces six arêtes culminantes
6 et six arêtes en zigzag < Les angles dièdres de ces deux es-
pèces d'arêtes sont supplémentaires.Les arêtes en xigxag d' peuvent être tronquées de deux
façons différentes ou bien par M/Mfacette également inclinéesur les faces p et par conséquent parallèle a !'axc vertical, on
a ainsi un prisme l)exagonal'=(t0i) correspondant au
prisme A' du système hexagona), ou bien par <eK.x facettes
formant biseau f./?j. t~8); on alors des scalenoêdres </t'ec~'
(/;o<) ayant,, par rapport aux axes coordonnes, la même
position que le rhomboèdre primitif, et qu'on appelle /Mt~a-
.!<C<~K6'Les arêtes culminantes & peuvent également être tron-
quées de deux manières par M/te face tangente a chacune
des arêtes, on a alors un rhomboèdre </ï('e/e~() [o) ou
~=(A/-o), ou bien par <<?K.rfaces faisant biseau et apparte-nant à des scalenoêdres directs ou inverses suivant que6:a~ (yt~Q). Dans le cas &=< on a un isoscêloêdre
~== (2 t o). En résume, on a, en partant du rhomboèdre pri-
mitif/? (y< t6a), les formes
PrimitiTM.
La base f<Le rhomboèdre primtLify.Le prisme hexagonal e~.
Le prisme hexa~onat~Le rhornbocdro inverse~
D~ri~ecs.
Rhomboèdres ~ec<t'
Rhomboèdres /e/fe.i' c-
Scaienoèdrcs<Sca)(';noedrf;s (~&y&
Scat(jnrjed!'cs(/ef,'h'(~<L 1.
Scalenoèdres Mce/i'e.<-(~).Prismes dodccagonaux (~<) j.
Plusieurs de ces formes peuvent devenir hentn''d['iq<)es,mais les formes hemièdres ne se trouvent jamais qu'en com-
SYSTEMEH)!0:MBOf!MfQrH. 23)
binaison avec la forme holoêdre. Les scaiénoédres directs ou
inverses (~c~~) et (~) donnent, par le déve!oppemcr)tde la moitié de leurs faces, des doubles pyramides trigonaies(~- '7') qui se rencontrent fréquemment dans )e quartz, al'état de petites facettes qu'on appe!)e~/a'ec/<M. Les scaié-noédres métastatifjues c~, lorsqu'ils sont hémiêdres, ne don-nent plus qu'une seule troncature sur chacune des arêtes <du rhomboèdre primitif, inclinée alternativement vers l'extré-mité supérieure et vers l'extrémité inférieure de J'axe ver-
tical qui joint les deux angles solides '7 (/<?. f~-o). Le prismehexagonal <~peut n'avoir que trois faces et se transformer en
prisme trigona). Le prisme dodécagonal peut n'avoir que lamoitié de ces faces, il se transforme alors en prisme hexa-
gonal, dont les côtés sont disposes dissymétriquement parrapport aux trois axes horizontaux. Enfin le cristal peut être
développé de façon différente à f'extremité supérieure et àl'extrémité inférieure. Il peut y avoir, par exemple, un rhom-boèdre d'une espèce en haut, et un rhomboèdre d'une autre
espèce en bas. Cet hémimorphisme se rencontre souvent dansla tourmaline.
I. Détermination de la forme primitive.
La position des axes horizontaux étant connue et leur lon-
gueur étant i, il ne reste plus qu'à déterminer la valeur del'axe vertical. Une seule donnée goniométrique suffit pourcela. On peutprendreindistinctement soit l'inclinaison d'uneface rhomboédrique sur la base, soit l'angle des arêtes cul-minantes ou son supplément, l'angle des arêtes en zigzag. Dans
le triangle sphérique rectangle (/ )63, t64) l'un des anglesest de 6o"; en connaissant l'angle solide on a et l'oncalcule le côté P. Le triangle également rectangle (/ )63,t65), dont l'un des angles est de 3o", nous donnera 7? et parconséquent c cot7r, puisque nous connaissons le côté P.
Si l'on avait mesuré l'inclinaison sur la base, c'est-à-dire
l'angle/a', on se contenterait de résoudre le triang)c(/y. f65);en effet,P~j8o"–-pa', on aurait donc de suite et par con-
séquent l'axe c.
'~2 ~l> MAKLEL t'f!AT)QLK DE OUStALLOCKAt'tUE.
II – Détermination des autres formes.
Tous les rhomboèdres, directs ou inverses, se calculent
comme le rhomboèdre primitif; on obtient ainsi t'axe me et
m :-=: Pour les scalenoedres, le catcut est un peu p)u.-
comptexe; car itfautdeterminer, outre t'axe vertical, iavateur
n d'un axe ))orixonta!,)c second étant ega! a f et ta vateur du
troisième étant, comme nous t'avons vu pour tes pyramides
dodecagonates dont le scatenaedrc dérive, _JI Jt faudrau-- ravoir deuxmesures.
Si t'en désigne par A Cangie dièdre des arènes les pluscourtes (P/. /V, f5g), par D l'angle dièdre des arêtes tes
plus tongues, et par G l'angle dièdre des arêtes en xigxag, on
aura toujours dans un scatenoèdrc A -<; et )e triangle sphe-
rique (/y. '60) permettra de trouver l'inclinaison et T:des
deux sortes d'arêtes sur t'axe vertical.
On commencera par catculcrn au moyen de l'une des trois
formules
suivant, les angles que l'observation donne. On aura ensuite
me par l'une des deux formules
m/~coL~. h~c<~7:~t~mc- --) (~)mc"-––––'~n--t 1 n-r-t1
Si l'on n'avait, a sa disposition qu'un seul des an~tes des
arêtes cuirninantcs, A par exempte, et i'incfinaisor~ .!M'd'une
face scatenoedri([ue sur la base, on résoudrait ie tt'iaogic rec-
t,ang)c(/7~5<),f6t~),(jui donnerait p..
Lorsque p)usicurs scatenocdres ont les mêmes axes i)0-
rizontaux et ne ditt'crcnt que paria valeur de i'axev(')')ica!,i) il
suffira de calculer n pour i'und'eux; un seul des ar)~!esAouH suffira alors à la détermination de me. En effet, tes deux
formules suivantes permettront de trouver i'angie p. et n, et
sin-~C(, ( cos?,)!Il n si~<~C(i)n~ ~n–)– j (~
cM,A cos.~A. !i -i 1 cos~X\1
SYSTEME RHÛMBOËDMQLE. '3
par conséquent de calculer rno par les formules (/i) eu 5
,“. ~n–fcnt~A n--tcot.i B~6)cosM~-–––-–' ~'tcos~
/3 (n-u/3
Ces formules très simples évitent des catcuis assez longs
qu'it faudrait faire si i'on voulait se servir, exclusivement.
comme nous t'avons fait pour les autres systèmes, de trian-
gtessphériques.Pour les prismes dodécagonaux, on suivra la marche indi-
quée dans le système ])exagona), puisqu'it s'agit du même
système d'axes et que la position des faces par rapport à ces
axes reste identique.Le calcul par la projection stereographique ne présente ici
aucune difficulté ctn'abesoind'aucurteexpHcation, puisque les
pôles des faces occupent la même position par rapport aux
axes binaires horizontaux et a l'axe ternaire vertical que les
formes du système hexagonal dont elles peuvent toujours être
déduites par hemiedrie.
III. Calcul des angles.
Pour les rhomboèdres on catcute ?:, puisqu'on connaît me
et qu'on a cotn~mc. On résout alors le triangle rectangle
(jP/y<y. i65) qui donne P, et le triangle également rec-
tangle (y< t64), dans lequel on connaît un angle et un cote,
et qui donne le demi-angte solide des arêtes culminantes.
On aura en même temps l'inclinaison de la face du rhom-
boèdre sur la base a' ou le prisme e~ ou < le côté P des
triangles (~. t64, t65) étant précisément le supplément de
l'angle dièdre que la face du rhomboèdre fait avec le prisme
hexagona).Pour le calcul des scalénoèdres, il suffit de résoudre les
équations (4) et (5), (6) et (7) par rapport a p. etn, ~A ct~-l!
pour avoir les angles dièdres des arêtes culminantes. Elles
donnent, en effet
mc~n–)) rnct'n–f)(8) cot!~ -––, (9) cot~= –––_–,
n\/3 n~3
~'icostJ- )~ <'n–)))/3cos~(f0) cot-A=-––– ([D cot'B~ ––.~n–t 1 n-r~
22.~~t MA~L'EL PRATIQCE DE <:)!)STALLOG!!AP))tE.
On aura le demi-angle des arêtes en zigzag ',(~ par l'une des
formules
<“ i. ,n <. rif'os'tiB()2)s~n.,C==nf;os.,A, ~3~s)n'.(.~ –~–-
x –
Lescalculs étant ici extremementsimp)es,je ncdonne pas la
marche a suivre avec la projection stereograpiiique. On se
servira des formules générales qui ont été données ~p. 3~-35),en remarquant que y r-~<)o"et )ao°.
En général, la met))ode (tu calcul géométrique direct est
plus avantageuse pour le système rhomboedrtque, mais la pro-
jection peut être très utile lorsque le crista) a un grand nombre
de faces et qu'on veut se rendre compte des zones existantes.
Si, dans la y~. aa~ (/ ~), on supprime les t!'ois pôies alter-
natifs b ou les trois pôles alternatifs M, et si on les réunit pardes cercles, on aura la projection du rhomboèdre qui sera
direct ou inverse. Il n'y aura plus qu'à chercher la distance
de b au pôle de l'axe verticat qui est en /) et a l'un des pôiesdes axes horizontaux qui sont en
Pour avoir les scaicnoedrcs, on supprimera la moitié des
faces alternatives de la pyramide dihexagonaie v et on les
réunira par des cercles. On cherchera a)ors la distance du
pôle de la face scaienoedrique aux pô)es de l'axe vcrticat, et
des deux axes horizontaux A et h, te troisième axe étant pris
égal ài.
Toutes ces constructions se comprennent d'ailleurs sans
aucune difficulté et je ne donne aucun dessin pour ne pas
multiplier outre mesure le nombre de figures.
CALCtTE. M~
)
EXEMPLE DE CALCUL.
6'<r</e<<e.
La symétrie rhomboedriquc apparait ici du premier coupd'œi!. En effet, en faisant faire au;cristal un tour complet au-
tour de son axe vertical, les faces ou les groupes de faces sem-blables reviennent trois fois. C'est ai nsi qu'on a en haut (y<y.A):trois faces similaires /t et c', parallèle à c; trois faces et
v', y', parallèles à (~et~; trois groupes de faces /f, l, etc. Lamême disposition se reproduit en bas. On a, de plus, un di-
vage très facile suivant p, c, y, ce qui produit nécessairement
un rhomboèdre.
On a observe les zones suivantes: M~ec~e, ~y/t, //?<
.<A, /x.v~ /M~c', /)/'f«', /e/, t~o/r, v'</y.
En choisissant pour rhomboèdre primitif p cclui suivant
lequel se fait le clivage et qui est formé des faces f, j~, /.<
'y', on voit de suite que les faces /<, c, /< c' consti-
tuent un certain rhomboèdre inverse qui sera f~ ou ex, sui-
(') La facette qui se Lrouveentre;L,et.doiteLre marquée y et non A
la facette qui se trouve entre c et y doit. porter iatettren'
236(~ MANUEL PRATIQLE DE CRISTALLOGRAPHIE.
vant qu'it est plus ou moins incliné sur la base que le rhom-
boèdre primitif ou, en d'autres termes, suivant que son axe
vertical mesera ~c.
Toutes les autres laces qui tronquent (te diverses manières
!es arêtes d'intersection des deux rhomboèdres appartien-nent évidemment à des scaténocdres. Quelques-unes d'entre
elles pourraient, il est vrai, appartenir a des prismes dodeca-
gonaux mais, pour cela, il faudrait qu'eUcs fussent paraitctesà l'axe vertical et que leur inclinaison fût égale suries faces des
rhomboèdres /9 ou e~ en haut et en bas. Les mesures nous
démontrent, au contraire, que tous ces angles sont diffé-
rente
Les faces l et e d'une part, et de l'autre et a, se trouvant
en zone avec les facesp et et/~ et du riiombocdre choisi
comme primitif, elles sont paraHeies aux arêtes en zigzag de
ce rhomboèdre et appartiennent par conséquent à un scalé-
nocdre /He<a'.s'<a<<<yMeLes angles o/ (~c', (n''c étant égaux, les faces y, (t~,«-'
appartiennent à un même scalénoèdre, que nous désignerons
provisoirement par A'; de même, les faces //<, d appar-tiendront à un scalénoèdre
Les faces <, c<,p,y et les faces .s, < qui se trou-
vent en zone avec deux faces du rhomboèdre primitif et
sont par conséquent placées sur ses arêtes culminantes, ap-
partiennent à des scatenocdres et bY (/ B).
Dans le H'iangte rectangic (/ /)~ /f' f63, ~6/(), nous c)tcr-
chons le c6t,6 P, connaissant i'angtc du t'hombocdre. On voit
Les anglesobservés sont
I. – Ca/CM/'t/e lu /o/?!e /)/vMt/~e.
(')C'e~tt'angte/e=:a.deia/t'g'
1)
*7,.j.
C~'C~ 'Ot.') 9
t'.i'fsur~). 62.3';
.i'.t'fsure-~). 3o.~ 7
.t'.t'fetiavattU.. y~.xx
.i'i''f:iUI'6'). 3~.?.f)
/(cnav3nU. ao.Sfj
~(iatcra]).jt.'jj
~y(cnavanL). n. t
~y~~at.era); )~.x'!
f~<(enavan~. 3'i.<) (~
» 47.'<('.) l
CALCITE. 33y
que c'est l'angle réel qui doit être pris pour !c calcul,
/)/3=fo''i°5', ~~==<33':
P==4:'°a/i'.
Le triangle rectangle (y<j. f63, )65) nous donne r:
c-~0,85)?,.
H.–/)c'<e/M:a~o/i</e.4aM<e.o/'Me.
~acM e- – L'observation nous donne t'an~tc rcet
e~c-~==:8°j['.
Le meine calcul que ci-dessus nous amène; a
!ogLang~= =~6~.
Donclf'r YY1, H n.r~n1.
m-
La face est par conséquent
îT~.<)-- -=(<)2~t)-=c'.1 I
Faces < – Nous avons (y< )5g)
~-<(cn avant) U -= f.1.i°?.
et~f/-<' (arèto en zigxag) ==C = < j8';
~~=~0~ ~==<.<JJ:
togcos''ix''33' 9,783r~
Iogsin6o°. 9,')37~<
logcosP. <),8_i6!
P–<
-a'" \~C?' -?
logtang~!5°24' 0,00606
logcos3o°. 9,9~7'
log- =:!ogtangr. o,o68'i.J
!ogc. '7 7
iogmc. f),a3?.?.4
loge. '),)'{7 i
logtn. (),3ooy~ î
2~8 MANUEL PXADQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
donc
~B~7~f~' et .~C~M"
La formute (3) (p. 222) nous donne
IogsinGG"f/ (),()G?.3~
togCOS~2°i~ 9,9
~[T~j' "'47~
)og(n–))=log~ 9,69897
)og~3. o.385ô
9,9'
)ogcot7'°r). 9,50659
tog('n-t-f)==Iog2~ o,3<)~9'i
9,9o453
~9~7~
togcos~ 9,96~00
tog~ o,)y6of))og/3. 0,23836togcot22"3' o.3()~.5()
o,Mo;fji)0g(tt-~f)~)og~ 0,397~
togmc. o,{o<)2[
[ogc. 9,o3t~
"4
-3 3n"7"~
d'oùù
n=~.
La valeur–~– représente, comme nous l'avons vu, le pa-n-i
rameU'e /? du second axe horizonta!, le troisième étant pris
pour t.Nous avons par la formule (~)
T=~2"3.
Enfin la formule (5) nous donnera
m=='j.
CALOTË. 22~
La face est donc
33T3 ~=(~.fji)-=K'.[ 1
/cM'.< – L'angle .s'=~ tiy''a3'==A par-dessus la face du
rhomboèdre pt'imhif, p, étant plus petit que l'angle
.t't-=).;<)°.:i~.=B,
par-dessus la face e', et correspondant par conséquent à l'a-
reté la plus longue du scaiénoèdrc.eHes appartiennent évidem-ment à une forme inverse. On a [formule (a)]
COS~B=COS74°~ <ht'4i' 1
cos~A-=cos58°~ i;7'
togn–). c),<~88!
iog~n–!==tos~ o,!o[oi
)ogcot38°~ 9.83f)t
o,oM4<)t
Iog/3. <),t38~<')
logcos; c),8Ji638
logn=tog' <[;Go~
Iog/3. o,t38)(.
Iogcot.i'j' !),99')t
'),)08:)'j
iog~n–t=Iog' o,3on)3
tourne. o,!o:5C
toge. 9,93'~7
logm. o,t~()o()
n–1=~; n=j.
La formule (6) donne
;J!.=~
On obtient enfin, par la formule (.'))
m=~.
230 MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE,
La face étant inverse, la longueur n correspond à l'axe des
y, la longueur p == –~– -= 3 correspond à l'axe des x, la[l-I
longueur de l'axe Métant prise pour unité. La face est donc
33i3 1
==(f~)=== (~) =C..121 2 ~>
On pourrait tout aussi facilement déterminer les faces par la
considération des zones. Elles se trouvent, en effet, sur l'inter-
section de la zone formée par une des faces du rhomboèdre
primitifp et les deux faces adjacentes du rhomboèdre inverse e'
(zone~po~ A), et de la zone formée parla seconde face
du rhomboèdre primitif et une face (zone c'o/c, A).
Mais, pour pouvoir nous servir de l'équation des zones sous
la forme qui lui a été donnée (p. i5), il faut d'abord ramenerles faces à des symboles à trois caractéristiques. Les formules
de transformation (p. 218) nous donnent
Face antérieure ~=(t 01 i)
/< =ci ) – T =i,
donc
/~([00).
Face postérieure droite, /? =~ ( t)oi )
/;==)-)- T – o~o,
/L==[ -t- f ––T i.
= t -)- o – f = o,donc
yj) ==( 0 f 0).
Face e'= (0221)
/< = [ o – = 3,
/f 1 – 2 – 0 ~= 3,
2
donc
c'=(333)=(nT).
CALCITE. 231
Facef/"=(3!3i)::h = 1-1-2-~ = 6,= i+ 3–3 = 6,
/t=t-i-!–3=0,
~=I-+-3–I=3,
donc
~=(6o3)=(2oT).
On aura ainsi
La face s est par conséquent (a t i). Nous la ramenons aux
symboles a quatre caractéristiques (p. 2t8)
/<=?.–i=i)
/f' = t – T ==3
7-'=T-2==3,
l' == a -<- I T == ?..
Donc
.f=(i232)==(~<)=~.
Faces s'. Comme pour la forme précédente, l'angle dièdre)e plus aigu A ==jo';°38' se trouve par-dessus ia face du rhom-
boèdre primitif. Ce scalénoèdre s' est donc également in-
verse.
Les formules (2), (6) et (4) donneront n ~= et m== La
forme est donc
3'iTn L L '.1\3 3 1 122
( t~ I 2J ) 1 tl 1 Ii = C lliS C~7 ~J °>i i 1~ ~Y~g)=~~2t~t5~ (~l t 3J
C'est la forme que M. Des Cloizeaux désigne dans son ~a-
/~Me~de Mt/K~a~o~te par la lettre n.
Faces L'angle & en avant, par conséquent par-dessus p, étant plus grand que l'angle latéral, le scaiénoédrc
est ~t/'ec<. On trouvera par les mêmes formules n == et
m=~.
/,). tOO O [ 00 20 ) 20) Ot 1 t 0 ) i 1
><><>< ><><>< ><><><
e' t t ) f f )1 /,). o [ oo o f o io o 2 ) oi r
0 t ) ] 0 2 2 f T
232 -> MANUEL PRATIQUE DE CRISTALLOGRAPHIE.
La face est donc
.) 3ï '3= ( 2 :J!¡) ~-={)3.
.~?-(~~)-
/'ac~ Scaiénoèdre également direct. Les deux anglesdièdres des arêtes culminantes, qui sont
A-=i2~3:' et B~-i68"
onnen), par les mêmes formules,
d'ol.n==~-il et. ")-=~
d'où
~CT6=(..(.;)
lit. – Calcul des a/!g-<e~.
Le calcul des angles du rhomboèdre el et (les divers scalé-
noèdres ne présente ici aucune difGcutté et se fera au moyendes formules (8), (13) (p. aaS).)
Si l'on voulait avoir l'angle /e', on calculerait d'abord l'in-clinaison de/) et de el sur la base. On résoudrait pour ceinle triangle (~- 163, i65) et l'on aurait:
Pour~: 1-!ogco~==k)gc. ;),93f{7
~g°3u.
togtang4f)°3o'0,068~0
togcos3o°. (),g3~53
logtang~e! o,oo/io3
IogCOt7r=tog?.C. o,a32X)
~=3o°2~.
iogtang3o°2)' 9,767~
)ogcos3o°. (),;)3'7')3'.1
logtange'e~ 9,70~07
~i5"i6',
Pour c'(f)0°–~e~ ==~= /i°~
,l- -1
e'~=26°j3',
9o"–e'~)=e'=63" 7'.
CABOTE. 233
Les faces p et c' qui appartiennent, les unes à un rhom-
boèdre <ec<, les autres à un rhomboèdre inverse, forment,
lorsqu'elles se trouvent ensemble, une pyramide hexagonale.H suffira donc de résoudre un triangle sphérique analogue à
celui de Ia~. 97, too (P/. //7), et dont les trois angles se-
raient pal, elal et i'angte dièdre cherché ~e'. Le côté compris<xentre les deux angles pal et c'a' serait =120°. On aura
ainsi
~=Go°.
Cette marche s'applique évidemment à tous les angles
pex, et, d'une manière générale, à tous les angles dièdres
formés par l'intersection des deux faces appartenant à deux
rhomboèdres de position différente.
a'e' 63° 7' 63'7'
<ï' 44.44't 44.441
107.5) t8.3
53.56 9.f2
ulogtang Go. o ==o,a38jG
logcos ().[x = 9,99~38
o,a3294logcos 53.56 = 9,7699t
Iogtang~,(«-)-.i')==:o,t}63o3
~K~~)=7~,
log~ang6o. o=:o,a3S')G
logsin g.i2=9,ao38ologsin g.iz = g,2o3&~
9,44~36
Iogsin53.56 = 9~907~9
logtang~K – .f) = 9~/i77
~(~–.v)=)8°5j'.
Iogt,ang<).ta: 9,9.09.~
logsin~t. 9,9~567
9,i85o9
togsin 18.j'i. 9,'i[o8o
!ogcot~/?c' 9~7~
~pe' G~.433
pe' L~.9.26
a34 MANUEL PRATIQUE DE CRtSTALLOGRAmtE.
CHAPITRE XIII.
SYSTÈME CUBIQUE.
(~eg'M/«'~ /e.M(~Y~ oe~e't/He, <e/'<yM<ï<e/e. )
Le système cubique est caractérisé par des axes égaux entre
eux etse coupant à angle droit. On peut donc le considérer géo-
métriquement comme un cas particulier du système quadra-
tique, mais la symétrie propre et les propriétés physiques des
cristaux cubiques les placent dans une catégorie à part, et
nous obligent à les classer dans un système indépendant.La forme primitive ici est le cK&e (/ /]~,y~. 1~2), c'est-
à-dire un polyèdre à huit faces p rectangulaires entre elles
donnant ainsi douze arêtes identiques b et huit angles solides
identiques a. On peut rapporter un semblable polyèdre à trois
systèmes d'axes différents (/ i';a).
1. Quatre axes réunissant entre eux les huit angles solides.
Ces axes sont ternaires, puisque les trois faces auxquelles ils
aboutissent sont semblables et qu'en tournant autour d'euxle cristal de 36o" on le fait coïncider trois fois avec lui-même.
2. Six axes réunissant le milieu des douze arêtes. Ces axessont &<a<re.
3. Trois axes réunissant le centre des faces et qui sont ma-
nifestement f/Ha~r/tc't'e.
Si l'on voulait placer le cube dans la position que nousavons donnée aux prismes dans les systèmes précédents, et,
notamment, au prisme quadratique qui, a bien des égards,est très voisin du cube, il faudrait prendre pour axes horizon-
SYSTÈME CUBIQUE.23.)
taux deux des axes binaires et pour axe vertical l'un des axes
quaternaires; mais il n'est évidemment pas rationnel de
choisir des axes qui sont égaux entre eux, dans des ordres
différents de symétrie. On convient donc d'adopter le sys-
tème d'axes quaternaires, d'abord parce qu'il n'y a ainsi que
trois axes, et que par conséquent les symboles des faces sont
plus simples, ensuite parce que c'est autour de ces axes que
la symétrie est la plus grande.
Puisque les trois axes sont égaux, il n'y a évidemment plus
lieu d'établir de distinction entre l'axe vertical et les axes ho-
rizontaux. Il peut cependant se présenter des cas, particu-
lièrement lorsqu'il s'agit de comparer aux formes cubiques
des formes moins symétriques, les rhomboèdres par exem-
ple, où il est plus avantageux de considérer les axes ternaires.
Entre la longueur de ces différents axes le rapport est d'ail-
leurs très simple.Ces trois axes forment un triangle rectiligne rectangle, et,
si l'on désigne par a l'axe quaternaire vertical, par a' l'axe bi-
naire et par a" l'axe ternaire, on a, pour les angles que ces
axesfontentreeux,aa'=qo' sin aa"= doncaa"=5/t"~5'/'i
et a'a"=:(9o"–aa")=35''t5'. Si A, A', A" désignent trois
plans passant par les axes a, a', a", on a, pour les angles,
AA'=45°, AA"~=9o° etAA"=-6o< par conséquent, l'axe qua-
ternaire étant pris pour unité, l'axe binaire = ~2 et l'axe ter-
naire = ~/3.
Outre le cube qu'on note /=:(ioo), deux autres formes
primitives, c'est-à-dire parallèles aux axes ou interceptant
sur eux des longueurs = t sont possibles. En effet
f En tronquant par une facette les huit angles solides sem-
blables a, de façon à faire disparaître les faces p, on obtient
un octaèdre régulier (y< iy3), qui a pour symbole a'=~ (m).
a" En tronquant les douze arêtes semblables & par une fa-
cette également inclinée sur les deux facés du cube, on ob-
tient, en prolongeant suffisamment les troncatures, le dodé-
caèdre /o/M&o«~ &'= (t 10) (~t~. i~S), qu'on désigne aussi
souvent sous le nom de ~a'a'<oe~ parce que le grenat
prend habituellement cette forme.
a36 MANUELPRATIQUEDE CH)STALLOGRAP))tE.
Quatre espèces de formes dérivées sont possiblest° Celle dont les faces parallèles à l'un des axes coupent
le second à une distance i et le troisième à une distance
n > t. C'est le CK&e/a/?!/<7e (<e<<7/f/«?.y6fe<e ou Ae~'f<<e-
<a<K/e) (y< '8y), qui a pour symbole &i (A/'o). C'est un
solide à vingt-quatre faces, dans lequel les angles dièdres A
sont différents des angles B. On le fait. dériver du cube en
tronquant ses arêtes b par deux facettes placées symétrique-
ment~).a° Celle dont les faces coupent deux axes à une distance
== et le troisième à une distance m > i. C'est l'octaèdre py-/'a/MM~ (<A-Moc<aec/e ou ~'toc<s<M/'e) (~' 'S~), qui a pour
symbole 6"~==(/</tA-). C'est un solide à vingt-quatre faces
qui forment entre elles deux espèces d'angles A et B. Rap-
portée au cube, cette forme tronque ses huit angles solides
par trois facettes inclinées sur ses arêtes (~. )~8).3" Celle dont les faces coupent l'un des axes à une distance
==) et les deux autres à une distance m > f. C'est un solide à
vingt-quatre faces quadrilatères qu'on appelle /eoM~oM/e
ou trapézoèdre (ou ~eKC!'<oM/e,parce que la leucite cristallise
sous cette forme) (y?~. [79), et dont le symbole est Q;(A/-A).
Rapporté au cube, il tronque par des facettes placées sur les
faces de ses huit angles solides (y<y. ~6). Il a deux espèces
d'angles dièdres A etH.
4° Celle dont les faces coupent un axe à une distance =f,
un axe à une distance n > f et le troisième à une distance
m>t. C'est un solide à quarante-huit faces (/{~. t86), qui
possède trois espèces d'angles A, B, C, et qu'on appelle/<M'oc<6!<M<e(/:e.rs/'Moc~e<e). Son symbole est
(~&=)==(/L/).
Rapporté au cube, il tronque ses huit angles solides par six
facettes disposées deux à deux sur les arêtes (~. (77).Tel est l'ensemble des formes /!o/oe'<</MM de ce système.
Les formes /te/Hte~MM sont nombreuses et très impor-
tantes, car elles se rencontrent souvent dans la nature,
soit seules, soit combinées entre elles ou avec des formes ho-
toédriques.
Puisque l'hémiédrie résulte du développement de la moitié
SYSTEME CUBtQLE. 2.3"'J.UL~J ~V~U~. ~'J,
des faces, il est clair que chaque forme holoédrique sus-
ceptible de devenir hémièdre peut donner deux formes, qu'on
peut appeler gauche et droite ou ~ec<e et ~t'c~e par rap-
port à un même système d'axes coordonnés, supposé fixe.
Mais cette dissymétrie est conventionnelle, non essentielle, et
il suffit de tourner le système d'axes de 90° pour faire coïnci-
der les deux formes.
Les formes hoioédt'iques, lorsqu'elles deviennent hémiè-
dres, donnent
.1. L'octaèdre, un solide à quatre faces qui est le tétraèdre
et qui peut avoir deux positions différentes (jP/. V, y~. 189,
!Qo), suivant que ce sont les faces t et II de l'octaèdre qui se
développent (P/. /F, )~3). lis peuvent se rencontrer à la
fois sur un même cristal et sont alors inégalement déve-
loppés s'ils étaient en équilibre, ils régénéreraient l'octaèdre.
2. Le trioctaèdre, un solide à douze faces qui est l'Ae-
/?M<<oc<<!e<e (<06~eeû:M/c f/c/<o<f/a/. <e<6!o/t<x~ <6'e-:o~/f'</)
(y~. 191). Pour ne pas multiplier les figures, on n'a donné
ici, comme pour les formes suivantes, que l'une des deux posi-tions qu'elle peut avoir. Ce solide a deux espèces d'angles so-lides les uns A qui lui sont propres, les autres B qui sont
identiques aux angles 13du trioctaèdrc dont il dérive (/
jig. 'Sa).
3. L'icositétraèdre, un solide à douze faces qui est I'/ie/K<-
icositétraèdre (Ae'/M~7'a/e.so<M/'e, dodécaèdre <t~'o/!<x/~ té-<ae<e /?//Y!/MM/e) (~. i()3). It a deux espèces d'angles diè-dres les uns A qui lui sont propres, les autres B qui sont
identiques aux angles B de l'icositétraèdre (/ ~) ,y''o'. f79)dont il dérive.
&. L'Ae~'oc~ae~e, un solide à vingt-quatre faces qui est
t'/te/H<7<e~oe<ae~e ~yacM t/!e/te~(/«'o'M'<e~aet/e) (Pl. )~,
~a' '9~)) lorsque c'est la moitié des groupes de six faces,situées autour des huit angles solides o', qui se développent(Pl. IV, fig. t86). 11 a trois espèces d'angles dièdres: les
angles A qui lui sont propres, et les angles B et C qui sont
identiques aux angles B et C de l'hexoctaèdre dont il dérive.
5. L'Ae~oc<ae<r/e peut donner un autre solide à vingt-quatre
238 MANUEL PRATIQUE DE CMiSTALLOGRAPtHE.
faces lorsque c'est la moitié des groupes de huit faces situés
autour des six angles solides o (7~ /F, 186) qui se déve-
loppent. C'est l'AgM<Ae.x'oe~<ec/e s y<xc'c.;parallèles (y< ao3)
(icositétraèdre <c~'e.:oti'<x/. <e7/o/<a/, f/~e!AMc/o</c'cae<e). H
a trois espèces d'angles A et C qui lui sont propres et
l'angle B qui est identique à l'angle A de l'hexoctaèdre dontil dérive.
6. L'/<e.M<ef<M/'<?, un solide à douze faces, le ~o~e'eaed'e
pentagonal (y~. tgg), qu'on nomme aussi /<7oM/e, parce
qu'il se rencontre très fréquemment dans la pyrite. Il a deux
espèces d'angles A et B tous les deux différents des angles A
et B de la forme hoioédrique dont il dérive.
Toutes ces formes hémiedriques se rangent dans deux
groupes distincts
a. Les unes sontà faces non parallèles. ce sont toutes celles
qui rappellent le tétraèdre (y'a. '89, ~o, jgf, )g3, tg.')).&. Les autres sont à faces paraHètcs (/ igt), 208).Les symboles de toutes ces formes sont les mêmes que ceux
des formes hoioedriquesdont elles dérivent; on ajoute seule-
ment à ce symbole la fraction dans la notation de /~< et
dans celle de Miller la lettre Tr lorsqu'il s'agit d'hemiedrie à
faces parallèles et x lorsqu'il s'agit d'hémiédrie à faces in-
clinées.
Lorsque des formes hémiedriques à faces parallèles se ren-
contrent en même temps que des formes hémiedriques à faces
inclinées, lorsque, par exemple, le dodécaèdre pentagonal se
trouve avec le tétraèdre, comme dans le chlorate de soude
(/< 206, 20~), la dissymétrie persiste, quelle que soit la po-sition qu'on donne aux systèmes d'axes coordonnés. On a beau
tourner de pareils cristaux dans tous les sens, ils ne coïncident
jamais dans l'espace, et sont toujours l'un par rapport a
l'autre ce que l'objet est par rapport a son image réfléchie.
On a cru pendant longtemps que cette hémiédrie non .e/-
posable entraînait nécessairement la polarisation rotatoire,
mais on a rencontré depuis des exemples qui contredisent
cette manière de voir.
SYSTÈMECU)t)Q);E. a3g
I. Détermination des éléments de la forme primitive.
Ces éléments sont donnés par la symétrie même du sys-tème cubique, puisque les trois plans coordonnés se coupentà angle droit et que les trois axes sont égaux entre eux. H
s'ensuit que les formes primitives, le eM&e, l'octaèdre et le
dodécaèdre /o/H&o<c~ ont toujours les mêmes paramètres
et, par conséquent, les mêmes angles, quelles que soient les
substances qu'on examine.
Les angles que les normales aux laces font entre elles, par
conséquent les suppléments des angles dièdres, sont
i" Pour le cube ==go"a" Pour l'oc~ef/e et le <'e<aef/e sur les arêtes ~o°3a',
sur les angles solides, == f09"38';3° Pour le c/o~cccte~e /7to/M&oM~</sur les arêtes Go", sur
les angles solides auquels aboutissent les angles plans aigusdes faces, = 90°.
II. Déterminationdes symboles des formes dérivées.
Le nombre des formes dérivées observées jusqu'ici dans le
système cubique est très limité; il est donc en général inutile
de recourir au calcul pour en déterminer les symboles; il
suffit, pour cela, de connaître leurs principaux angles et les an-
gles que leurs faces font avec les faces des trois formes pri-mitives. Les deux Tableaux suivants donnent ces angles pourles formes qui se rencontrent le plus fréquemment; ces anglessont ceux que fournissent les mesures goniométriques, c'est-
à-dire les suppléments des angles dièdres:
240 MANUEL PRATIQUE DE CRfSTALLOGRAPHfE.
I. – ~e.t' <c.i'y«eM «c~/</ce/«ei~Ci'</<f'</?a/c.t'?:ei' f/e/ceei'.
A.\(;f.)~SS
FORMES. S YMB 0 LHS –––––– -––
A'. H'. C'.
<'<.– //o/oë<M.
&~(3'0) '.).°3~ ,fi°n'
< ~~(210) :o'' :!<i.5..t.HexatëLraedres. s
:).5:>G.5., N
(/tg'.i8';) ~(5'o) .~i.3
&3(:!)o) jX.~ i a.').).)
~(~o) fh.j~ '9~
1
2. Trioctaedres.1t
M~(33f)
'.t6.3i :)r
(~.t8x)~(~i)
:5G ~.ffi rr
f<~(332) 5u.2() i~3
t f~(3'!2) 2) M. _> t~) n
3.fcosi).et.raedres.1 a~('i) -~8.1~ .'):3')
j~(3..) 33.6 6 .,o.~ r
<ï''(.l) 'iGtju.0 O “
t~&(3~) 'n.~ 3<) u 3t.~
t -t 1
t.Hcxoct.aedres. ~(4~) 3j. ~3
(~'86)
(&'&)(~3.) ('¡.31) .j.5fi 3:n
1 1
(&'&~Y)(~.) ~3.!3 t~.j~ -ji.i3
1.
SYSTÈME CUBIQUE. 2 ff
)6
I. ~et'f/e.t'y«eey c<f<ce/</e.f ~e.i'<c/)~/e.yo/'MiCt' fZc/'t~ce~.
(Suite.)
AXGLES
FORMES. SYMBOLES. -––––-––-–––-
C"
h'OIt\IES. S5'3IIi0LES.
A'. B'. C'.
b. – //Mïf'M<e.s'.
i
1. Tétraèdres. °./ °
(~89) }~) .9.~ u
-(2)o) M. s ~~j
2.Hemihexat.etraedres.~&~T:(a2u) h-M 6.<.3o
(~199) t(ftg. 199)
-(4:!u.) ~~4 H'.i9
S.Hcmitrioct.cdre.
I¡
~) z 27.16 <)o.o
(~'9') '7.f.3i) 37..J-. Mo.a.")
3
~a'x(:~2) 8fi.3S i~~
i4.Hcmiicositetraedres..f “
u
“, < ~f(2-('i)j) ~<).3:. 33.3.,(jig-.lg3)
~ft'(3tj) .')0.f) .'J(J.'Jf)
\} 1
1 1 7:(321) 6.'1.37 3,.0 ,,8.1,)') .1j-U6')~(32i) 6~.3~ 3[.o!3.S.;3
5.IJemi)iexocLacdres.)~?-
(~),t.(42.) 5i.~ M.i3 ',8.i3
(ftg-.203)
) i\"g. 3 J~p8 !,8.55'&T:(53)) af).3 j;).28 .~8.5.~
6. I!emihexoctacdres. ?(~)'(~") ~9.4 CE ~7
(~P) it\
(j~J' 4 21.!Í7
2.1.47(,`C ) )
t~'&x(53))~.4o!4n
2~2 2 MANUEL PRATIQUE DE CtUSTALLOGRAPIUE.
1 ~x C C ·~ U
otoi
ôa o co co cp o co o -·~ co «
S "OC~T ')ODOC'~C'c~~–T
"T'-?~ ."?CI
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SYSTEME CUBIQCE. 2~33
Les angles restent naturellement les mêmes pour les formes
hémiédriques correspondantes.Le calcul des diverses formes, hoioédriques ou hemiédri-
ques, du système cubique est d'ailleurs extrêmement simple.
Nous allons donc passer rapidement en revue les différents
cas qui peuvent se présenter.
Nous désignerons dans ces calculs par A, B, C les angles
dièdres, et par A', B', C' les suppléments de ces angles qui
sont donnés parle goniomètre.
FORMES HOMËDRiQUES.
Hexatétraèdres ~=(/~o).–Sil'onconnaîtl'angtcA'(~
y~. 18~), on a, pour l'inclinaison de la face de la pyramidesur l'axe latéral, p:=go"–~A' et le paramètre n=cotp.
Si l'on connaissait l'angle B', on résoudrait le triangle sphé-
rique rectangle (. 188), dans lequel l'un des angles est de
45" et l'autre = ~B. On aura ainsi 7: et n -=:tang~.
y/'Mc<c'e<e.?a~:=(AAA'). – En connaissant A, on résout
le triangle sphérique rectangle t (y< f8a, i84), dans lequelun côté =:/i5° et un angle =~-}A. On trouve p et m = tangp.
Si c'est l'angle B' qui est donné, on résout le triangle sphé-
rique rectangle 2 (~ !85) dans lequel l'un des angles repré-sente l'inclinaison du plan des axes ternaires sur le plan des
axes binaires et est par conséquent de 60° (p. z35). On trouve
le côté qui est l'inclinaison de la face sur un axe ternaire;
or l'angle que cet axe fait avec l'axe binaire est de 35° 15',
donci8o''–(35"f.j'–
est l'inclinaison de la face sur l'axe binaire, c'est-à-dire la
moitié de l'angle diedreA. On retombe ainsi sur le premier cas.
7co~y'c!e~e ax= (A/fA'). – Si l'on connaît A', le triangle
sphérique rectangle i (y<y. 170, i8t), qui a ses deux angles
et par conséquent ses deux côtés égaux, permet de trouver p,et l'on a m= tangp.
Si l'on avait l'angle B' des arêtes les plus courtes, on résou-
drait le triangle sphérique rectangle a (~. 180), dans lequel
l'un des angles est B et l'autre de 60°, puisqu'il représente
2/j~~l MAXUEL PHATtQLE DE CRISTALLOGRAPHH:.
l'inclinaison du plan des axes ternaires sur le plan desaxes binaires. On trouverait le côté x, et par conséquent
.e'~=i8o°–(5.~4.T-i-j?), du triangle sphérique rectangle 3
(/?~. i83). Ce dernier, qui a un de ses angles de /i. puisquecet angle représente l'inclinaison du plan des axes quater-naires sur le plan des axes binaires, nous donnera n et
m =tangn.
7/e~oc~<M/'e (~) =~ (/<A~). – Deux données sont né-
cessaires, puisqu'il faut déterminer les valeurs m et n des
deux axes qui sont > t.
Si nous connaissons A' et B', le triangle sphérique rec-
tangle i (Pl. P~~,y. 208, an) nous permet de trouver T',c'est-à-dire l'inclinaison de l'arête B sur l'axe binaire; son in-
clinaison sur l'axe quaternaire sera donc 7=180"– (.)"-)-T')et l'on aura n ==tang7. Pour avoir m, on résoudra le triangle
sphérique rectangle a de lay~ 212, dans lequel on connaît T
et B. On aura ainsi p et m = tangp.Si l'on avait les angles B' etC', on commencerait par résoudre
le triangle sphérique 3 ( /t.y. ato), et l'on aurait -rqui est l'in-
clinaison de l'arête B sur l'axe quaternaire et n = tang-. On
résoudrait ensuite, comme précédemment, le triangle rec-
tangle 2 et l'on aurait p et m == tangp.Dans le cas ou l'on connaîtrait A' et C', on se servirait du
triangle spherique 4 (/< aog), dans lequel l'un des anglesest de 60°, puisqu'il représente l'inclinaison du plan des axes
ternaires sur le plan des axes binaires, et les deux au très sont
~A et -~C. On calculera le côte qui est l'inclinaison de l'a-
rête A sur l'axe ternaire et, comme cet axe fait avec l'axe bi-
naire un angle de 35'5'=:t8o"–(3.')°t5'-<-j:') sera l'in-
clinaison de l'arête sur l'axe binaire. On résoudra alors le
triangle spbcrique rectangle 5 (y~. 3t3), dans lequel l'un des
angles est ~A et le côté adjacent x' qu'on vient de trouver;on cherche ~B, et l'on retombe ainsi dans les deux cas précé-dents.
11peut se faire que les angles A et C soient égaux on a alors
un Ae~oc~ac~e M'o~'o/M< Usuftit, dans ce cas, de trouver l'un
des deux paramètres m ou n, car ils sont reliés entre eux par
la relation n = –– et par conséquent m = –"–- De sem-
SYSTEMCU))!QU!. 2/)5_1_ l'I_blables hexoctaèdres se trouvent en zone avec l'octaèdre
<x'(! t) eti'licxatétraédre ~~(a<o).La considération des zones peut simplifier le calcul dans
d'autres cas encore, et l'on n'a besoin que d'un seul para-mètre
i° Lorsque l'hexoctaèdre se trouve en zone avec l'hexaté-
traèdre ~(ato) et l'icositétraedre a"(3i i), on a les relations2 m n
n == –– et m := ––m – ] n –2
a" Lorsqu'il se trouve en zone avec le dodécaèdre rhom-
boïdal &'(: jo) et l'icositétraèdre ~(3; i), on a les relationsm 9.n
n :-= ––– et m = ––m – u – i
3° Lorsqu'il se trouve en zone avec &'(i 10) et <~(a t :), onm n
a les relations n = ––– et m =- –ni – i u – i
FORMESHt~)!f:D)UQL'):S.
/~e/M<7<e.y6!/e~'6!ef/e~&~=='n'(AA'o). – Si c'est l'angle A' quiest donne, on remarque (y~. 199) que '-A représente l'in-
clinaison de la face sur l'axe quaternaire, par conséquent
n=~tang'~A. Si l'on avait au contraire l'angle B', on com-
mencerait par calculer l'inclinaison d'une face de l'hémihcxa-
tetraèdre sur une face octaedriquc. Cette dernière, qui est.
représentée sur la figure par des lignes pointillées, forme un
triangle équilatéral; si l'on abaisse une perpendiculaire sur
l'un des côtés de ce triangle, et si l'on place sur cette per-
pendiculaire le triangle sphérique rectangle a (y~. aoo), son
angle J nous donnera l'inclinaison cherchée. Le triangle sphé-
rique, également rectangle, de la aoa, dans lequel
J'=t8o°–J, et Nestlé demi-angle dièdre de l'octaèdre, c'est-
à-dire 54°45', nous donnera le côté par conséquent l'incli-
naison de la face de l'hémihexatétraedrc sur l'arête octaé-
drique. Or cette arête fait avec l'axe quaternaire un angle de
45°; donc 45°+ (180"– x) est l'inclinaison de la face de l'hé-
mihexatétraèdre sur le même axe, c'est-à-dire jrA. On re-
tombe ainsi sur le premier cas.
H existe du reste ici une relation très simple entre les an-
gles A et B, qui permet d'abréger le calcul. En effet, dans le
triangle sphérique rectangle i (~ aoi)..r est le supplément
3~GG MAXL'i'L PKATtQCE DE OH~TALLOGftAPiHE.
des deux angles dièdres A; on a donc
cosU' cos.r shi A == cos Asin A.
Mais2Cos~Asin.~A=-sinA;
donc
(i) sinA~-2Cos[t et (2) cos-sinA.
77e7M~7'/oc~<e.s' r<x (/t/<).– Si l'onamcsure l'angicA',on calculera l'inclinaison de la diagonale ~/(y?~. '9'), c'est-
à-dire de la face de l'hémitrioctaedrc, sur l'axe ternaire t, au
moyen du triangle sphcrique rectangle (~. [92), dans le-
quel l'un-des angles est de Go" et dans lequel on cherche le
côté x. Nous savons, d'autre part, que l'angle entre l'axe ter-
naire et l'axe binaire est de3j*i5'; donc.r-35° f.T représen-tera l'inclinaison de la face sur l'axe binaire, c'est-a'-dirc
l'angie !,A du trioctaèdrc (~ /)~ )8?.). Cet angle connu,on calculera m comme dans la forme botoedrique.
Si c'est B' qui est donné, on procédera comme s'il s'agissait
de l'angle H' du trioctaedre, car les arêtes B sont identiquesdans la forme hémiédrique et dans la forme holoedrique quilui donne naissance.
7/e/Mt7co~<<e'T<(~e.! .=~ x(A/ k). --Étant donne l'angleA'
(y< t()3), on résout le triangle sphérique rectangle (/ '94),dans lequel l'un des côtés représente l'inclinaison de la face
sur l'axe quaternaire, par conséquent ~A, et l'un des angles
= /i5' On cherche n et m :=~tangTT.Les arêtes B étant, identiques dans la forme hemiedrique et
dans la forme holoedrique, le calcul est le même pour les cieux
formes si c'est l'angle H' qu'on a mesure.
7/e/K;7!<?.z'oe<a<M/'e<'ty<7ce.!inclinées ~-(&y~) 'x(A/<). –Comme pour la forme holoédrique, trois cas sont possibles
i" On a mesuré les angles A' et B' (j~ 19~). On résout le
triangle f (, f~), dont les trois angles sont A, ~)! et l'incli-
naison du plan des axes ternaires sur le pian des axes binaires,c'est-à-dire 60°; on cherche le côté x qui est l'angle que l'a-
rête B fait. avec l'axe ternaire. Ona alors pour l'inclinaison de
cette arête sur l'axe binaire .x''– 3.')"t.7-t- .;e. La connaissance
de cet angle nous permet de trouver l'inclinaison de l'arête A
de la forme holoedrique (y<y. 208) disparue dans la forme
SYSTEME CL'BfQCE. a~.n..u.m.. U'UI\['I. 4, J
hémiédrique, sur l'axe quaternaire. En effet, dans le triangtesphérique rectangle 5 (/< 2f3), nous connaissons le côté
et l'angle ~B; nous cherchons ~e"qui est l'inclinaison de l'a-réte sur l'axe binaire. L'inclinaison sur l'axe quaternaire sera
T'==i8o"–(~5"-t-), et l'on aura n-~tangT. Pour avoir m,on résout le triangle sphérique rectangle 2 de la/afa,dans lequel nous connaissons T et ~A; nous calculerons p quinous donne m tangp.
a" On a mesuré les angles A' et (7. Onrésout le triangle sphé-
rique rectangley~. t96(2delay< ic)5), dans lequel on cherche
le côte x, c'est-à-dire l'inclinaison de l'arête C sur l'axe qua-ternaire. Le triangle sphérique 3 (y?~ i()8), dans lequel nous
connaissons le côté x et l'angle C, et dont le second ang!eest de 45", puisqu'il représente l'inclinaison du plan des axes
quaternaires sur le plan des axes binaires, nous donnera
l'angle J qui n'est autre que l'angle B de l'arête disparuede la forme holocdrique, et 7, c'est-à-dire l'angte que la facefait avec l'axe quaternaire. On aura alors n-~tangr. On ré-soudra ensuite le triangte sphérique rectangie/< af2 (2 de la
fig. ao8), dans lequel nous connaissons ~B –: J et T on trou-
vera p et par conséquent m .T tango.3" On a mesuré les angles B' et C' de l'hexoctaedre dont )'hc-
mihexoctaèdre provient; la marche du calcul est tamemequecelle qui a été indiquée pour la forme holoedrique.
7/g/M!te~'oc<ae<e s faces parallèles. Trois cas peuventégalement se présenter ici
1° On a mesuré les angles A' et B' (y< ao3). On résout le
triangle sphérique rectangle f (/ 20~), dans lequel on con-naît les deux angles et qui nous donne et T. On aura ainsim tangn et n tang-.
2° On a mesuré les angles A et C. On cherche l'inclinaisond'une face sur une face octaédriquc par une construction
analogue à celle que nous avons employée pour le calcul de
l'hémihexatétraédre. On résout le triangle sphérique rec-
tangle a (~tj. 2o5) et l'on trouve. supplément de l'anglecherché. On résout alors le triangle sphérique (/ 202),dans lequel les trois angles sont J' )8o~–.), .~A et le demi-
angle dièdre K de l'octaèdre ~4°~.y; on cherche le côté x
2~8 MANUEL PRÀTiQL'E DE CRtSTALLORRAI'tffE.
qui est l'inclinaison de la face sur l'arête octaédrique. On
a alors, comme dans l'hcmihcxoctaèdre,
-=.{T'–f'bo"–~) X) et m~t.an.2-.
Pour avoir n, on résout le triangle sp)x''rique rectangle d!)
cas précèdent; on y connaît~A et 7r, on cherche et l'on
an-:tangT-.3° On a mesuré B' et C'. Même marche, cela près que, dans
le triangle de Ia~. 202, on prend ~B au lieu de ~A. L'angle
45°-i- (t8o°– ~) représente alors t inclinaison de l'arête B sur
l'axe, par conséquent T; on aura donc ainsi non plus m, mais
n. On calculera m par le triangle t (y< ao.~).
III. Calcul des angles.
Ce calcul ne présente ici aucune espèce de difficulté lors-
qu'il s'agit d'avoir les angles A', B', C' des formes simples. Onse servira des mêmes triangles spheriqucs, la plupart du
temps rectangles, dont on s'est servi pour déterminer leurs
paramètres. Ces paramètres m et n sont, en effet, les tangentesou les cotangentes des côtes de ces triangles; on chercheraleurs angles qui sont les demi-angles dièdres A, B, C. il estdu reste facile d'avoir les cosinus de ces angles en fonction
des paramètres et sans aucun calcul trigonométrique. On
trouvera les formules nécessaires pour les formes holoédri-
ques et hemiedriqucs dans le Tableau 111.
Le calcul des angles formés par des faces appartenant à des
formes différentes n'est pas beaucoup plus complique, puis-qu'on pourra toujours relier les faces, soit par un trianglesphérique rectangle, soit par un triangle sphérique ayant unde ses angles de 45° ou 60°. Il est pourtant, en général, pluscommode d'éviter les calculs trigonométriques et d'avoir ces
angles directement en fonction des paramètres. Les Ta-bleaux IV, V et VI donnent les formules au moyen des-
quelles on obtient le cosinus de ces angles pour les faces ho-loèdres et hémièdres à faces inclinées et à faces parallèles. Cescosinus sont négatifs on obtient donc directement les anglesA', B', C' mesurés au goniomètre.
C'est au moyen du Tableau III qu'on a calculé les Ta-
b)eauxlctll(p.a4o-2/j'):
SYSTÈMECUBIQUE, a/if)
o Sï + E~i" i~'r ¡.
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252 NAKUEL PRATIQUE DE CRtSTALLOGRAPHtE.
Y). /o/y:c.i'/<c'/Mt(W/t'<7 /~f'et'ï//c/ei'.
1~OIi:lIGS.HÉHtHEXATJÉTRAËDRE l~: HËMfUnXOCTAMDRE
n'. m'n'.
Hémihexoctaedi'e n(mtn'-t) ))/n(n)n'-L-t)~mn'
m n.M~m~~7 c MM'
Hëmihexatetracdrc nu'
i~~/n*-t-t~n't t
La méthode de la projection stéréographique n'offre ici
aucun avantage, les calculs étant, comme on vient de le voir,d'une extrême simplicité. Mais, de même que dans les autres
systèmes, la projection peut être utile pour se rendre comptede la position des diverses zones.
PYRITE. a53
EXEMPLE DE CALCUL.
.P/e.
La symétrie cubique du cristal (/ A) apparaît au premiercoup d'œil. En effet, les faces ou les groupes de faces ayantla même forme se reproduisent dans trois directions rectan-gulaires, car on a cc=c/=c/==go' Les faces pourraientêtre, il est vrai, inégalement développées et le cas se présentefréquemment, mais les mesures nous donneraient les mêmesvaleurs pour les angles il v, ~c, lf, par exemple, ou oc, t'e, A/,ce qui ne peut exister que dans le système cubique. Les faces
triangulaires h, s, .s', (3 dorment, d'autre part,
.f =z' p = =. = yo°3o',
c'est-à-dire un angle extrêmement voisin de l'angle de l'oc-taèdre régulier, qui est de ~o<'3a'.
(') La face en bas à droite marquée doit être marquée T.
23~ MAKL'EL PRATtQLE DE OUSTALLOGRAt'H));.
Cela étant, il est clair que les faces c, c, ~'seront des faces
du cube p, et les faces A, s, -=', 3 de l'octaèdre (/ !!). Les
faces t et~, et e, r et qui se trouvent, en zone avec deux
faces du cube v et c, c et f, et/ sont naturcHemcnt des
faces b tronquant les arêtes cubiques. Il n'existe que deux
formes holoedriques occupant cette position suric cube te do-
décaèdre rhomboïdal dont l'inclinaison sur les faces cubiquesest de /i5° et l'hexatétraèdre dont les deux faces adjacentesfont avec les faces du cube des angles égaux. Or nous trou-
vons
t~ = ça! ==/?:= aG°32' et /)c -= ce 53°8'.
Ces faces appartiennent donc à deux bémihcxatétraèdres ou
pyritoèdrcs et~(AA'o). Les faces o, < i, j, y, e<,T1:'
sont toutes également inclinées sur les faces adjacentes du
cube; elles sont groupées trois par trois autour des faces oc-
taédriques h, s, p sur lesquelles elles sont également incli-
nées elles tronquent par conséquent les angles solides du
cube. Elles sont de plus en zone avec le cube et l'octaèdre
elles forment donc un icositétraèdre a-~rr; (A/f~). Quant aux
petites facettes M, ;r, .a/, y', qui ne sont pas en zone
avec deux faces adjacentes du cube et ne tronquent par con-
séquent pas ses arêtes, elles doivent se trouver sur ses
angles. Il existe, nous le savons, trois formes hoioédriquesde cette espèce l'/cM{<e'<e!e<6', mais nos facettes devraient
être alors en zone avec p et ax; le ~'Mc~e~'e, elles devraient
être dans ce cas également inclinées sur les faces de l'oc-
taèdre a', ce qui n'est pas; enfin I'e~'oc<ac<f/e, qui devrait
avoir quarante-huit faces et les petites facettes ne sont qu'aunombre de vingt-quatre. C'est donc un hémihexoctaèdre
x = 2 '-(bxbybz) et il ne nous reste plus qu'à savoir s'il est à
faces inclinées ou à faces parallèles. Mais le premier, qui dé-
rive de l'hexoctaèdre par le développement de la moitié des
groupes de six faces des angles o' (Pl. IV, ~y. f86) placés sur
les faces de l'octaèdre, doit tronquer, lorsqu'il est combiné
au cube, quatre de ses angles solides par six facettes. Or nous
voyons que, sur notre cristal, il n'y a autour des faces octaédri-
ques qui remplacent les angles solides du cube que des
groupes de trois facettes inégalement inclinées sur deux faces
FYRtTE. 255 5
cubiques adjacentes. C'est ainsi qu'autour de la face s on ne
trouve que les facettes K, l; autour de la face p, que les fa-
cettes j~ 't~.La forme est donc un hémthexoctacdre à faces
parallèles n (/).
I. /?e'<e;t/M<<o/!~e~y'o/7?te~c/e'feex.
On a mesuré les angles suivants
~(sur~). 53.5
~~&-<'(sur~). G6.a3
~y/?. 3G.~
~~(sur-). 48.M
1-2.30
~.c(sur<). ,'j8.i2
Faces L'inclinaison mesurée de deux faces de cette
forme par-dessus une face cubique correspond évidemment
au supplément de l'angle dièdre A de la y~j. fgg (P/. V). Nous
chercherons dans le Tableau 1 (p. a4') parmi les angles A' des
hemihexatétraèdres un angle voisin de 53°5' que nous avons
obtenu, et nous trouvons 53" 8'. La face est donc .}&~=n(2 f o).Si l'on voulait faire le calcul, on prendrait la moitié de l'angledièdre A, c'est-à-dire ~(i8o"–53°5')-=:63"a/, et l'on aurait
logm = iogtang63°a'/=~ o,3oi3a et par conséquent m = a.
La face est donc -o~: (a :o) = &
On pourrait tout aussi bien se servir de l'angle
~-<(su['&~) =- 66°23',
qui correspond au supplément de l'angle dièdre B (y~ 199).On prendra la formule (i) (p. a46), et l'on aura
loga. o,3o:o3logcos66°23' 9,602~3
logsinA. 9)<)o3y6
A=~~(sur~) =53"i5'.
La tangente de ~(180"– 53" i5') nous donne m = a.
,F~c<M~&y.– Le double de l'angle ~~p donne
~y~;y=:~3''44',
a5G NANUELPKATIQLEDE CR[STAH.OGt!ArmE.
qui correspond à l'angle dièdre A'. Le Tableau 1 nous donne4.
exactement cet angle pour la forme ~'r~n~So).
Faces ax. il est facile de voir sur la~. t~ (/ /F) que
l'angle observé a~'a'~(sur ~) =:48''ao' est Je supplément de
l'angle dièdre A. Nous trouverons dans le Tableau 1 (p. 2~0)
l'angle de 48° ja~ qui appartient à l'icositetraedrc f~=~ (a f :).Pour trouver la valeur de m par le calcul, on résout le triangle
sphérique rectangle (y<;y. 18:), dans lequel les deux anglessont égaux entre eux et égaux à ~A; par conséquent
~(i8o°–48<'20')==65°5o'. On aa
Iogcos65°5o' <),6t?.t4
Io!,sinG5''5o' g,f)(ioi7
logcosp. 9,C5tf)7
p=63°2o'.Donc
Iogm==logtangG3''2o'=o,2g;)i[ et m==2.
La face est = (2 i i ) =: a'
Si l'on avait trouve l'autre angle a~==33°3/j.' (celui des.
faces o<,o~, < ~/t, o! yr de !ay~ A), qui correspond a
l'angle B', le second triangle de la figure nous donnerait:
logcos-~B = logcos73°t3'. <),46o')3
togsinGo" <j,937'j3
logCOS.r. C),523oo
~~7o°3t.
L'angle x est l'inclinaison de la face sur l'axe ternaire. Donc
(p. 2~3) ~'==t8o°–(5/t"45'-h70°3i')=54"44' est l'inclinaison
de la face sur l'axe quaternaire.En résolvant le troisième triangle (~ t~g, i83), nous
trouvons Ti. En effet
logtang54°44' o,i5o48
iogcos4"'°. 9,8<9~)
iog),angT. o,3oo()<)
L'angle n est l'inclinaison de l'arête A sur l'axe quaternaire.
Donc logtangr, --i-- logm et m == 2.
f'ft[)')'.a.ty
'7
T~ce.; – Ces faces sont en zone avec les a" c), l'une des
faces du cube, par conséquent leur paramètre sur l'un des
axes est le même que celui de ia forme pour laquelle nous
avons trouve m a. II ne nous reste donc plus qu'a c))Grc))er
la valeur de n. L'oi~servation nous donne ..c~);<"3o'; )e
double de cet angle, c'est-à-dire (sur ~), est A', supp!c-ment de i'angie A (/ ao3). Dans le triangte spberiquc
rectangle i (y< 20~), nous connaissons ainsi
T-G3"26',
puisque
tang":=m=?. et ~A=()o"–fa"3o'=~3o'.
Donciogsm63"2C. t),()'ij5{
]og!.ang77°3o' ~,6)~t
iogt,ang~=!ogn.. o,6o5y8
n=4.
iogeosG~°54' g,6not
Iogcos3o°. <),<)37''i3
logeosJ. <),G73.~
J=a8"8'.
La forme est donc
~=~(~)-).
l'
Si l'on avait, à sa disposition l'angtc xx (sur c<) =~ ~8" 12~,
correspondant a l'angle C de la /< ao3, on résoudrait )e
triangle rectangle 2 (/<y. ao5). On aurait ainsi
Le triangfe de )a/t~. aoa, dans lequel l'un des angles est
J'-=~ 180°– J L5)°5a', l'autre est. )e demi-angtc dièdre que]esfaces octaédriques font entre elles ~K =: 5~5', et le troisième
estt'angte~-Hque nous cherchons. Nous connaissons égale-ment.dans ce triangle le cote opposé à i'angic de t5r52'.
En effet, ce côté représente l'inclinaison de t'aretc D de l'lié-
mihexoctaèdre sur i'aretc de l'octaèdre; or nous savons que
tangT~a, et par conscque'nt T=-=63°'!6' est ]'inc)inaisonde
l'arête A sur l'axe vertical; d'un autre côte, l'arête de l'oc-
a58 MAXUtiLMAT!Q)f;MCfUS)'ALLOG)!A!'f))E.
tacdre est incHuce sur )e même axe de /i.')" les dcnx aretes
font. donc entre elles un angte
.z'i°-8o" -G3~6~)Ct~3.
Nous aurons ainsi
Il n'y a plus qu'à résoudre ie triangle spherique rectangle 1
(/< 20~), et dans lequel on connaît
-:=G3''26' et iA=7~
on trouveratangT:=-n=4-
H.–Cf<~CM~~e!a/;g'/e.
Je ne donnerai que deux exemples de ce calcul qui est ici
extrêmement simple, l'un avec les triangles spheriques, l'autre
au moyen des Tableaux 111, IV, V, VI.
togsin:C[.34. 9,.1999~'
logsin 54.45.–' 9;9'~o3
9,4"99
logsimSt.52. <),G735o
logsin~ 9,73H~9
jr=33"!2'.
0 0 oJ. i5!°53 *iG!.3{ ;6[°3.'i~K. 5/ 33.)a 33.<
~.8 8 t9i.4C !8.2
48.3; 97.23 G4.n
0)ogtang_j8.3{. 0,05421
logsin 97.23. 9,99~38
o,o5o59
bgsin 6).[r. 9,95434
!ogcot~(~B). o,o9<)25
~(-~A). 38"422
~A. 77.2.~
PYRH'E. 2Jg
/co.!t<e<ae~e c~. – Nous savons que pour cette forme
m ==2, par conséquent tang? 2 et p =- 63"26'. Le triangle 3
de la y~ t~f) (/ /~) nous donnera
Pour avoir l'angle a*~ correspondant a l'angle B de la
/t~. 179, nous résolvons le triangle rectangle 2, dans lequel
l'un des angles est de 60°, un côte
V/e/M!'AM;oc<c!e<ù'e.'c. Nous savons que dans cette forme
m=aetn==:4;nous nous proposons de chercher l'angle
xx (sur ax), qui correspond au supplément de i'angte dièdre
de l'arête C (/ V) fig. 203). Le Tableau iH nous donne la
togcos4~°.–. t),~4949IogLang63°x6' o,3oin3
logLang.r' o,[')o')'2
.f'=~
!ogcosG3°2G'~ <),G-jo'i.'t= )ogco~A.
~A. G~54'.<
A. !3i.~8
~f~(sur~~)=A' ~.n
Observe. ~8.9.0
par conséquent
a~ ~.C G
=fSu"–(54°'')~–i~)-'=7"
On a ainsi
Iogcos7o°2t' f),)'66<)
Iogsin6o°. ~~3~3
logcos~B. o,iCia~.
a'H -3t).
'2
B J.'i6.8 8
B' 33.')~
a6o MANUELPRATIQUEDE CRISTALLOGRACHtE.
C'=48°'['.
Si l'on voulait avoir l'angle que la face ;x fait avec la face
adjacente~, on prendrait dans le Tableau IV la formuie
mn rnnncosxp
~/AI \/m~,i~–i~+-it~
qui donnera
__a. _R_COS xp
\/4(i(j–t-t() t/~4
formule
mnftn–n-t-t)cosG=-
m~~–!)–u~z
On aura donc
4.fy-t() S/i t~
/i()<j–j,)–)G G S.} ~t¡
)ogi4. !,t{6)3 3
!og2[. t~'MM
logcosC' f),8z:!g[
Iog8. o,<)o3o;)
Iog~/8~ o,)G~i{
logcos~ 9,9.ioijj
~=2t)°!3'.
DESNACr.HS. aCf r
CHAPITRE XIV.
DHSAiACLHë.
Lorsque deux ou plusieurs cristaux se groupent, non d'une
façon quelconque, auhasard de lacristallisation,mais suivant
une loigcomctriquequ'i) est toujours possildedc déterminer,ils forment, des polyèdres complexes ayaut Généralement des
angles rentrants et qu'on appelle des //<Mc/e.s.
H faut distinguer ici deux cas différents. Les cristaux quise groupent, ainsi peuvent se/K.r<<Me/' suivant un plan quiest toujours parallèle a une face existante ou possible dans le
cristal, ou bien se ~e/!e~'c/' plus ou moins intimement, sou-
vent au point de simuler un cristal unique, et se toucher parune surface irreguiiere. Ces deux modes d'assemblage, extrê-
mement fréquents dans la nature, existent quelquefois simul-
tanément et compliquent ainsi beaucoup la détermination de
lamacle.
f/Mf /?Mf'~ee.!<<<~e/M//tee c/'M<C!f7/?A/'yMf.Mc/:< /wM'o/teoM/t~<'</a;)o.</o/ï /'ee</?/'o~Ke <r/e~(/<c/<</M~ ~«/(7e<~M/.M.!e/!<.Dans le plus grand nombre 'le cas cette détermination ne
présente pas de sérieuses difficultés; on rencontre pourtant
parfois des assemblages extrêmement complexes de plusieursindividus, et l'on pcutetre obligé de rechercher non seulement
leur mode de groupement, mais encore les éléments de la
forme primitive, la substance ne présentant pas de cristaux
simples. Le problème devient alors d'autant plus délicat qu'il
n'y a aucune marche générale qu'on puisse suivre utilement,et toutes celles qu'on a proposées embarrassent plutôt qu'ellesne simplifient, le calcul. Le mieux est encore d'acquérir l'ba-
a62 ))AXmLPHAT)QH:)))';C!USi'ALLUGRA['iHE.
bitudc de ces sortes de déterminations, et de chercher clans
chaque cas particulier a tirer le meilleur parti possible de-
étéments qu'on a sous la main.
I. – Macles par juxtaposition.
Les assemblages de cette espèce sont soumis a une loi géo-
métrique déduite de l'observation et qui ne présente aucune
exception:Les f/cM~' /<('<M y/M'MM' j'o/Mcy/'t'/HC.s'f~' /'f?/
~K~/a/tf/e/Mac/e.Soient deux cristaux A et t! (/ PY,y< a3o), appartenant
au système monocimique; ils sont composés des faces A'c!'et juxtaposés suivant le plan ;c.r'. Puis(p)')Is sont symétri-
ques par rapport a ce plan, il est clair qu'on a pour les angles
situés autour de lui: -), La loi ci-dessus
peut donc être ainsi énoncée:
Ze/n/t ~c w~c/e <«'/6'< /c'M.s'les a/t~c.? ~'Y/e~yb/e.M/'les /'<'tee.!r/~ <te//<M ~M~o/c.s' des r/CK.y <{<<M e/t f/pM~'/~a/
</e~e-M/e.s'.
On voit, en même temps, que les moitiés de ces angles diè-
dres ne sontautrechoscquc les inctinaisonsdu plan de macle
sur les laces dont les angles dièdres senties intersections.
C'est ainsi que est l'inclinaison du plan ~c~sur la l'ace/ï;
9 son inclinaison sur la t'ace/?, etc.
On a l'habitude de considérer les macles par juxtaposition
comme des /;e'/M~o/t<M. Supposons, en efTet, un cristal mono-
ctinique composé comme précédemment des faces y', f<'
(y< a3t), coupons-le par le plan ;c.r', laissons la partie su-
périeure fixe et tournons de [80° la moitié inférieure autour
d'un axe normal à .;e.a/. On aura ainsi la y< a3o. Dans
cette manière de voir on dé'inira très clairement la macle de
la/t' a3o en disant que /e/j~/< f/te/o/e c.a/'a~e/e c/
/'r<.re <<e/?t/<o/,)<'e~e/)e/!f/{CM/f<e(r!' «/te ce/'<f<t/<e/acc.c.c'.
Maisune semblahleinterprétation ne simplifie en aucnncfacon
l'étude du phénomène et a le tort de paraitre introduire l'hy-
pothèse tout a fait invraisemblable d'un mouvement de rota-
tion qui se produirait au moment de la cristallisation. II vaut
donc mieux s'en tenir à la réalité qu'on observe, et détinir la
DESNACLES. 'G.
macic en disant. (/M'<e c.s'< .o'y~c/.w /p/ M«/< /<
~a/'<'<e/eM«/<eec/t/;cy~cc.t'.7'.)tpeut,iles)vrai,scpre-senter des cas ou les deux individus maclés ne sont pas rigou-
reusementsymetriquesadroitcetagaucbeduplan demacte:
c'est ce qui arrive lorsque deux (b)'nicsh6n)i(';drcs,t')mc di-
recte, l'autre inverse, se juxtaposent, suivant une certaine
face. Mais dans ces cas, d'ailleurs fort. rares, il n'en reste pas
moins vrai que les angles dièdres formes par des faces de
mêmes longueurs d'axes sont partages par te plan de macle
en deux. parties égaies.Nous anons voir maintenant, comment on peut déterminer
le symbole de la face suivant taquette les deux cristaux sont
maclés.
Je suppose que, dans t'exempte donne (y< a3o), nous avons
calcule au préalable, sur des individus simples de ta même
substance, les éléments de la forme primitive, c'cst-a-dire
i'anglc pA'y et le rapport des axes a.:b c, puisque te
cristal est monoclinique; il faudra évidemment avoir pour
cela, outre les faces indiquées sur la figure, des faces prisma-
tiques /M ou des dômes e.
Nous avons mesure de plus t'angte dièdre AA= -i- que
les faces des deux individus font entre elles. Cela et an),
il est facile de trouver le symbole de la face parattete a
.:r.r'. Il est évident tout d'abord que cette face se trouve dans
la zone A'a'; car, si ctte ne l'était pas, et si elle faisait avec
un angle ~90", les deux faces des deux individus ne se-
raient pas dans un même plan; on voit également que cette
face tronque l'angle obtus~A' c'estdonc une face (A,o~).
On remarquera maintenant(;uc p., qui est la moitié de!'angtedièdre /<A, représentera l'inclinaison du plan .r' sur /< ou,
ce qui revient au même, sur t'axe vertical; il est par consé-
quent identique avec l'angle que nous avons désigne par
dans tous nos calculs du système monoctinique (/..n)C sinh8o–<'Y–
/t~. 3<). On aura ainsi – =-~ J–– ce qut permct--'° a sni~.
ira de trouver puisquec
est connu.
Si la macle de Ia/< 23o appartenait a une su))stance tri-
clinique, il faudrait connaître d'abord, outre les paramètres
364 '))Â'<L'ËLt'!iAT)QH';t)i;i:)Sl'AL)J!C)!A!)t)'
a :b:c,tcsang)esK, 3,y,/t'f.a zone A'<'n'é-
tant plus normate a.y', les deux faces ~'et .ne seront plus
dans un même plan et feront entre elles un certain angte
dièdre dont la moitié représentera )'inc!iuaison'tu ptan de
mactesur la face .y'. Le demi-augtc dièdre/sera
egat non pt)is a l'angle plan ~nais a l'angle dièdre ~< et
il faudra résoudre le triangle (/ 3.'), 36), dans teque)
on connaît A' et o' et <p)i donnera; au m<~yenduf)uet
on calculera le rapport–-On pourra tout aussi Lien se
servir du demi-angle dièdre = o~ si les faces A' étaient
peu réfléchissantes.
Tel est le cas le ptus simple et de beaucoup le ptus fré-
quent. Quel que soit le système cristattin auquel iarnacie ap-
partient, et quetie que soit la face suivant !aquci)c se fait la
juxtaposition, on reconnaît en gênerai très nettement les
contours de chacun (tes deux individus par les angtes /'<?/7-
<<<<.s'qu'ils forment entre eux, et qui n'existent jamais (ians
les cristaux simples. Il arrive parfois cepcn<!ant que les angles
rentrants disparaissent, que les faces ou f< par exempte
(y< a3o), comtdent, par leur devetopperncnt, te vide, et que
le potyèdre, rempfissant cornptetcment l'espace, paraisse, au
premier abord, forme d'un seul individu. Mais, en t'examinant
de plus près, on verra presque toujours très nettement une
ligne ;r;r' qui est la trace du plan de macte et qui délimite les
deux individus dans les cas douteux, on aura recours, lorsque
la substance le permettra, a la tumiere pofarisee (Chap. XVf),
qui indiquera sur la face~ deux parties distinctes ayant des
extinctions symétriquement disposées par rapport a une di-
rection qui sera précisément la direction de la ligne .r~
Il peut se faire aussi qu'une substance donnée ne présente
que des cristaux mactes et que c'est sur ces assembtages com-
plexes qu'i) faut déterminer en même temps et, tesetemcnts
de ta forme primitive et la position de ta face de juxtaposition.
Lorsqu'on est parvenu à retrouver sur tes faces du potyédre
ta iignc de démarcation des deux individus, cette détermina-
tion ne présente pas de difficuttcs, puisque nous savons que,
même dans le système trictiniquc, te moins symétrique de
tous, il suffit, pour le catcut, de l'existence de )a moitié des
DESMACLJ'S. aG~i
faces. Ce n'est que dans le cas où la limite de dent individus
est indécise et où le défaut de transparence ne permet pas de
la constater au moyen du microscope polarisant que le pro-blème devient réellement embarrassant.
Dans la pratique on pourra, du reste, ie plus souvent dé-
terminer une macle, c'est-à-dire trouver le symbole du piande juxtaposition, par un procédé très rapide et sans aucun
calcul. Nous avons vu que ce plan était toujours parallèle à
une face existante ou possible du cristal; son symbole est de
plus, la plupart du temps, très simple. Or une semblable face
fait généralement partie de zones connues, et peut être par
conséquent définie par leur intersection. Les deux exemptes
qui suivent, et que je choisis dans deux systèmes différents,
l'un sans plan de symétrie, l'autre au contraire d'une symé-
trie supérieure, montreront comment on procède dans ces
sortes de calculs. Dans les deux cas le plan de maclc est pa-
rallèle a des faces possibles, mais qui n'existent pas dans les
individus,juxtaposés, ce qui complique un peu !e problème. En
effet, si les cristaux étaient maclés parallèlement a une face
existante et dont le symbole est connu, la détermination
serait fort simple, puisque le demi-angle dièdre autour du
plan de macle est le supplément de l'anide dièdre que fait
chacune des faces analogues avec la face parallèle a ce plan
Pl. a 3 2).
PfiEMtEREXEMPLE. /)/~e <« 7j'0/.
L'atbiteesUncHnique. Les éléments de )a forme primiuve
2~'i ~L~C):LWtATi',)f;)i)));(:ttfS[AU.<)GRA)'!UE.
sont:
~(i x. SS.i 8
t/i.~i < i
f)'i.'2~ Í -–– 'H ~i
ti;t):c~o,n;i:t:f),)K.
La/ A représente un crista! sifnpteco)npfetqu'')))a ptacedans la position que lui donne .\f.))csCtoixeaux dans son
J/a/<~c/eJ/</<c/Y</<<c,e'ext-a-diret'at~tf.'r<)~'a~au-
che.Lay/ H est une ruactc de deux individus semfjtat~es acelui de ta/ A, juxtaposes suivant un plan .ï, dont).) traceest tnarquee par des ii~nes ponctuées, autour desqueth's on
a dans la partie aulerieut'e de la macie des angtes sortants
~toa"38'et.S6'fj'ctut)aujL;creutrattt//<t.Eu
mesurant tes deu\.auglcsso)'tauts, ou constate
<"Q))etesiaces.!et<,etparcouse(jucut teptandeuiacte~'dont. uouschercttons le symbole et qui partage et) dotx
tout'angle dièdre, se trouvent en zone avec la face c- doncla iacc qui correspond au pian de uiacte est dans la xone
'Quetest'aces~'et~'ctparcousequeutteptandcmacte
~'(pji partage eu deux leur angle dièdre sontcnxonc avec la
face/); doue la face qui correspond au pian de macle est dans
ta xone
L'équation de t'intcrsection des zones (p. )5) nous don-
nera
~t o f fo o /j. oo 00) f~ f) T f).) u
f t f t o to O tt ) L
tT' :i. T~o ~> o~[ r
Lcptandemacte.~est.doncparatteteàtatacc
!<)<
H peut se faire que iataccc''n'existe pas sur le ctistat et
DESMACLKS. 2~
qu'on soit obligé des lors de recourir au ca)cu) tri~ouorne-
trique pour la détermination du symbote du pt:)n.y. \oussa-
vons, en tous cas, que se trouve dans iaxone/ or il n'ya dans cette zone que les faces e~' et (/ Mais
l'angle dièdre sortant situe autour du pian de macte
étant en ijas à droite, la face para)tete a cepiau ne peut être
piacec que sur j'aretey. supérieure droite; eftcc-itparcon-
sequent et il ne reste ])ius (ju'a déterminer la iou~ueur rnc
qu'elle intercepte sur t'axe vertical.
Puisque les deux faces ct~' sont symctriquefucnt dis-
posées par rapport au pian.?, -ia moitié de i'au~ledièdre
~==86"3o' donnera t'inctinaison ~=-/)3"f5. Le triangle
(P/.7/,y<,y. 3f), ~.o~, dans lequel nous connaissons
/g'Mf/)G', ~–{3"n' et. -fjC"28',
nous permet de calculer r
(7 t
8<).iG 8f~
~i.f, ii..5 l
t':i!.tt 1 ~). [
6fi.<
~t.
o 0
fo.s taug 58. :j – o, 9.u81 ') io~ t~n~ 'j8. t .i j
togcos''3.t –'();f~Gx~8 io~si)i2'j.~f –f),~j8()G
0;I';Ot/i. f~8<)68) 1:
iogcos(iG.<).-i:;).5';8')'i ioi;sin<.)!j.3Gi-)(.).<7'
Iogtang~f~T:=;o;~i(j8 )og),:ing~(~- -–;j;8.~oi-!
~–~L. :-)
~~–-). 'J-).i<)
-r. 40..i
~i. ;)Ji.4
1:8 $
p.
308 .~A~LELt'RATX.HEMOttSTAU.OGnAPnn;.
Par conséquent (/i~:
tocsin/ij.j< <).8Tif/)
io~sht}<). <).S~
)'j-:)ri0. o.<t.i~'f)
i'JiJC. <).f)<)'<
J~~fn. ".jo'~f~~
tn–<.
La face est donci
<==~0'))"=~
La macle ainsi déterminée, il n'est, pas difficile de ca)cuter
les angles dièdres quêtes faces anaiogucs des deux individus
font entre e!ies. fi suffit, pour cela, de caicnier, par tes mé-
thodes qui ont été données dans les Ciiapitres précédents.i'inctinaisondeia face qui correspond au pian de macle.
dans le cas présent, sur i'une des deux faces analogues:fedouhie de cet artgte sera i'an~iectterche. puisque le piande macte !e divise en detjx parties e~:des. On cateuiera, par
exemple, t'ang!e< comme s'il s'agissait d'uttcristaisimp)e:on Je trouvera e.a!a.'i)°)f/:)'angie dièdre~ de )amac)e sera
par conséquent de )'j3"38' on de ~~°2~' si nous vouions l'ex-t
primerpar son supp!ement. De tneme, en caicuiant !'an~'ie <
qu'on trouve égal a [5', on aura i'angtc dans la macle
egaia86"3o'.
Supposons maintenant que nous nous proposions de cal-
culer les etementsdeia forme prirnitivedet'aitjite sur [ecrista!
macie de !a /<.y. t!. \tous comniencerons par orienter conve-
nabiement l'un des individus, sans nous préoccuper de l'autre:nous choisirons ensuite les faces que nous considérerons
comme appartenant a la forme primitive. Nous aurons ainsi
/Met<. La face qui est en zone avec/~ et/M sera cf.
celle qui est en zone avec et <sera !a face qui est en zone
avec e-et ~-<'sera La face paraiieie au plan de macle et quise trouve sur l'intersection des zones /)- et <c~ sera une face
< Prenons cette face pour On pourra très hieu se servir
DES MACLES. 26f)
des angles « et observés dans la macle et qui nous don*
neront :==<'< et en ajoutant, à ces deux angles
~yH~et/?yHOU/?<, on aura les cinq données nécessaires
pour le calcul d'un cristai tricUnique.
SECONDEXEMPLE.– /~M<<7e.
Le rutile est quadratique et ses paramètres sont
a:b:c==[:r:o,<)n.
Les angles des diverses formes du rutile étant connus, il
suffira de quelques mesures pour orienter convenablement la
macle et attribuer aux faces de chacun des individus les sym-boles qui leur appartiennent. Cela fait, on constate de suite
que le plan de macle qui divise en deux t'angie sortrant b' b1
se trouve en zone avec deux faces opposées (bl ) et (~, et
les faces M' et elle est donc dans la xone/?/~ et ne peut
appartenir qu'à une pyramide On a trouve pour l'angledièdre (&')(&') 5g"~a', dont la moitié représente l'inclinaison
&~&'== 29°5 On a dans le rutile &\p===82" ~3', donc
~p = & -r- =; G~
270 NAXL');Lf't!~T!QUEDECfUSrALLO(;f!APt!n;.
Le triangle (/ /y. [47, 148) donnera
m- `.
Le plan de macle est donc la face
ti:32~
On pourrait se servir de i'angie dièdre aigu ~;M' s'il don-
nait une bonne mesure; on aurait, en efl'et, ~/K'm' ~/M et,
par conséquent, -= 90"– ~/7t. Le reste du calcul se feraitcomme ci-dessus.
On pourrait se servir enfin de l'angle dièdre /< qu'on a
trouve de ~"5~ ce qui donne ~==3y"2/; on a mesuré,de ptus, /?t/26''3.'i'. Si l'on se reporte a )a/ 328 (/ ~),et si l'on prend /= h2, on trouve dans le triangle A~m
ce qui nous ramène encore à la solution du triangle spheriquerectangle de ia/t~ i/ij (7~. IV), et du triangicrect.iiigne rec-
tangle (Pl. /< i~4), qui nous donncmc~tangp.Comme dans l'exemple précèdent, il est facile de calculer
les angles /H'et une fois qu'on connaît te symbole du
plan de macle. Ce calcul revient à calculer par les méthodesi 1
connues les angles &t~ et &M, puisqu'on a
i t2/H~=/H'/K' et ?.&=/<
Iu~sin4''°. 9,84')
Iogtnng6'< o,28,;(;
!o!!mc==Io.t,anL:o. o,) ('7')~)m:c. f),(~5()'i~
!o.s:a. o,t7~3
togcos37°27' 9,8<)f);G!ogcos~C"3.{' f),;)5tj~
bgcos&y/M. f),(~8'M
~Z. 9J"2(i'/). 6.3:('
DjESNACLHS. o.-i ¡
II Macles par pénétration.
Ces macles se distinguent des précédentes par ce caractère
particulier que le contact des cristaux se fait, non plus sui-vant un plan parallèle a une certaine face, ruais suivant unesurface absolument in'éguiièrc et variable '['un écbantiHon a
l'autre d'une même substance. La considération du plan demacle devient dès lors inutile, et la position réciproque desdeux cristaux doit être déterminée autrement.
Prenons pour exemple une macle très fréquente dans l'f,
tlzose, minéral monoclinique, et qui porte Je nom de /yMc/e </e
6'a/M~(/ )~7,y< 233). Les deux faces et des deux
individus étant parallèles et les faces/) et/ et a~ opposées,on peut considérer, et c'est ainsi qu'on te fait habituellement,l'assemblage comme se faisant suivant. avec un axe d'bémi-
tropie paraDèle a J'axe vertical du cristal, c'cst-a-dire a i'aretc
~tyH. Cette définition est cependant tout a fait inexacte, puis-qu'il n'y a, en reaiité, aucun ~/f</t de macle, et que les cris-taux se juxtaposent suivant une surface quelconque.
On pourrait dire tout aussi bien que t'hemitropic se faitsuivant A', car, si les faces A' existaient, dans les deux indi-
vidus, elles seraient également. parallèles, t'axe d'hémitropieétant perpendiculaire à cette face. En effet, si l'on coupait lecristal (/t~. ?.3:~)par un plan .x-.r'parallèle à hl et si l'on tour-naitde !8o°!'unc des moitiés autour de ~,on aurait la /t~.a35,qui donne la position schématique des individus de la maclef/e Cc<&a< Mais une sembiaHc définition serait égalementinexacte, puisque le plan A' n'est nullement un plan de con--tact.
On voit ainsi que, dans les macles par pénétration, le pland'assemblage ne saurait, jouer aucun rôle, et il suffit pour lescaractériser complètement de co/Mj''<e~'e/' /'<M'e <XM~M/'c/M~Ke//'K/t f/e.; </t<M'M.! a tourné. Dans la 7):a;c/e c/e C<7.Mc/ quenous examinons, la rotation s'est faite manifestement autourd'une direction parallèle a l'axe vertical, et cette rotation est de
180°, puisque les faces j' ct. sont parallèles et que l'angle7KyK' est égal à l'angle /M/~ des cristaux simples. cette
2~2 NAXt;)':L)'<tAT)QL'HHEC)t)S<'ALLO(.HAPi)!E.
rotation n'est pas toujours et nécessairement une /<c'/M<<«?.C'est ainsi que dans lay?y. 286, qui représente une rnaclc com-
plexe d'a/o/«7e, un minéral qui cristallise dans le système
orthorhombique, les individus se pénètrent, suivant une [ont
autre loi. On voit, en effet, que dans ce minéral l'angle du
prisme /K/M est de !6" to'; or, si l'on projette la macle sur la
base/ on obtient la /< a3- c'est-à-dire un J)exagone irré-
gutier ayant quatre angles de < f6°)o' et deux angles de )'~°.'tC/,
partagés en deux par une ligne de séparation très nette, per-
pendiculairement à laquelle on voit une bande striée plus ou
moins large.
La ligne de séparation qui joint les deux angles rentrants
indique l'existence d'une macle par juxtaposition avec un
plan d'assemblage parallèle à l'une des faces prismatiques /M.
La bande striée montre que chacun des deux individus IctH
maclés est a son tour composé de deux cristaux t, 2 et 3,
qui se pénètrent. Cette bande, perpendiculaire à la face m,
correspond (!/3/j/'o;.ct/M~:('e/Mc/!< à une face mais elle n'a,en réalité, aucune signification cristallographique détermi-
née. On définira très clairement l'assemblage en disant quel'un des individus a tourné par rapport à l'autre d'un angle
voisin de 120". Il est, dans le cas présent, comme il est facile
de voir par l'absence d'angles rentrants entre les faces voisines
m et m, de 116° to'. Les angles rentrants de lay~. a36 et aSy,
qui sont dus a la présence des faces peuvent disparaitre on
a ainsi un cristal en apparence simple et qui ne révèle sa
structure complexe que par la bande striée qu'on aperçoit sur
les faces //&~ et /H. Cette bande elle-même peut n'être pasvisible on examinera alors les propriétés optiques (CLap. XVI)
qui donneront des indications précises sur l'existence et la
position des individus enchevêtrés.
Tous les cas possibles qui peuvent se présenter dans les
macles par pénétration se résument dans cette définition
très simple ~'M~des </tf/~«~M.;a <oM/ey;w /o/'< ~aM~re
6~–~ /e! D<'</CH/'de n e<6! voisine de s, 3, &K 6 et co/v'e.'<-n
/?o/!c~/z<a/'conséquent à la .sy/He~M binaire, <eA'a<e, ~Ha-
ternaire ou ~e/~a// e.
DKSMACD'S. :~3~->,
tt suit de ta que les substances (lui possèdent, des mactes (le
cette espèce doivent présenter des formes primitives très voi-
sines de ces symétries, et c'est en effet ce que l'on observe.
C'est ainsi que dans t'6'</<o.;<?~en prenant p pour on a
y~:88")i', c'est-à-dire une forme très approximativemcntor-
tliorhombiquc, et par conséquent un axe vertical quasi bi-
naire. Dans )'t<a..ye'/<e, l'angle du prisme est très voisin de
izo"; on a donc une forme à peu près hexagonale et un axe
vertical quasi senaire. On peut dire d'une manière générale
que toutes les macles par pénétration appartiennent a des
substances a/o/He limite, simulant une symétrie qui ne !eur
appartient pas en réatité et, inversement, que toutes les sub-
stances de ce genre ont une tendance extrême a former des
assemblages par pénétration. Cela n'exclut, pas pour elles,
comme nous venons de le voir dans l'exempte de l'a/a~o-
M<~ les macles par juxtaposition.
Puisque les macles par pénétration ne peuvent se faire que
par rotation autour d'un axe de pseudo-symétrie, il suffira,
pour les déterminer dans chaque cas particulier, de chercher
l'axe de ce genre qui existe dans la forme primitive des cris-
taux maclés; l'angle de rotation sera indiqué par la symétriemême de cet axe. Le parallélisme des faces et des arêtes dans
les deux individus, de même que les angles sortants formés
par les faces analogues et auxquels s'applique, bien entendu,
la règle donnée pour les macles par juxtaposition, aideront
dans cette recherche. Dans la macle de C'c'&o!< par exem-
ple, on constate que les faces ~??, sont en zone l'axe
de la macle est donc dans cette zone et, par conséquent, pa-rallèle à l'arête /?!~M,c'est-à-dire à l'axe vertical.
2~4-'l MA'<H':Lf'HA'rfQUE))H(;)ttSTAf.Lf)'i)tA)'fnK.
CHAPITRE XV.
DESSfX DES ClUSTAUX.
On peut se proposer de représenter le cristal en perspec-tive, de façon a en avoir l'image exacte, ou bien de donner
une projection des potes de ses faces, de manière à avoir sur
une seu)e figure )'cnsemh)e des formes observées dans une
substance donnée.
I. Dessin en perspective.
Le meiUeur procède pour ce genre de dessin estie procède
axonométrique, car il exige des constructions relativement
simptes.
y/'o/ec~o/ c/e.! axes. – L'axe c devant être ptace verti-
calement et le plan /<' se trouver, par convention, en avant, il
est clair qu'en faisant coïncider ce plan avec )e plan du pa-
pier, t'axe antérieura, s'il est rectangulaire, coïnciderait avec
)e centre, ou avec un point de la ligne qui représente l'axe
verticai, s'il est obtiquc; il ne serait donc pas visihic. D'autre
part, dans le cas d'axes rectangulaires, les faces paratictesaux axes horizontaux ne pourraient évidemment, être repré-sentées, car elles se réduiraient a des lignes. M faut donc
tourner tout )e système de gauche a droite ou de droite a
gauche suivant )a position qu'on veut donner au dessin, d'un
certain angle o, et l'incliner en même temps en avant d'un
certain angle s.
Soit un système de trois axes égaux et rectangulaires a, b,c ( P/. F/, /< 238). Ils sont supposés projetés de teJIc façon
M)!SS)'<i));SCRtSTAt.X- ''7~
que t'axe antérieur a est perpendicutaireauptan du papier et
que sa projection coïncide par conséquent avec ie centre 0.
four rendre l'exj)ticationp)uscfairc, on a, dans )a/f'38,
déplace iesaxesdeiapositioureetteqn'iis devraient occuper.Si l'on tourne un jtarcit système de droite a gauct!eauto!n'det'axe vertical d'un angle o, les axes a et bvietidro!~ en a' et
b'ctt'onauraOa~Oa'etOb 0/Euat)aissantb'/<cta'~
perpendicutaircs sur Ob, les iongucursO/t et 0/~ seront les
projections de Ob' et Oa' et seront exprimées par
0/<=-ObcosX. O/Uasi~
Quoique les trois axes soient égaux, il est clair que sur la
projection leurs longueurs ne seront ~)as tes tnctnes, puisquei'axc a est vu en raccourci et que sa tongueur dépend de la
valeur de ['angle 6. Supposons que nons arrêtions la rotation
de tout le système au moment où la projection de t'axe a de-
vient une partie atiquote dela projection de b. On aura
alors
Oyj~-0~, coso=/ni~ et. /'–:(.'ut.r ¡. Il, cOSO=:J'~111r) et 1'colrJ.
Mais dans une semblable projection t'axe a continuera a
n'être pas visitjte, car sa projection se trouvera nécessaire-
ment sur la droite bb; il faut donc incHner en avant tout le
système d'un certain angle s –~a'M-. /tb''y. Les deux axeshorizontaux viendront ainsi eu a" et b" et tcurs projectionssur te plan vertical en/~ et (/. On aura, pour tes longueurs/et/t<
p//z~cusota:)g~, /=si!)r:L:)nm.
Si maintenant nous arrêtons l'inclinaison au moment oucette seconde projection /~t de t'axe antérieur a devient une
partie aliquotc de sa projection première 0~, on aura
coso~tUig;~ -simd
et,par conséquent,(.pt~–y's'.
Cela étant, il est facile de trouver, sans aucun calcul trigo-
2~6C) MAXLEL PRATtQtE DE CttISTALLOGRAP!))!
nomctriquc, ia position et la longueur de la projection des
trois axes a, b, c supposés rectangulaires et. égaux, lorsqu'on
a choisi une unité de longueur et la valeur (te et de .s'. On
peut se servir pour cela de plusieurs procèdes.
Prenons deux lignes rectangulaires .')" ct~y' t /7~ 9.3c))et
considérons O~O~ comme unités de longueur; divisons
chacune de ces unités en r et .<parties et faisons passer paryune verticale /?/ Une simple construction de triangles rec-
tang!es nous donnera alors la po.;<o/t de la projection des
axes et leur /o~KeH/En portant sur la perpendiculaire/)// en bas partir dev
une longueur ~0, on aura le point a qu'on réunira a 0 et
qu'on prolongera au de)a ce sera l'axe antérieur a; en por-
tant sur la même perpendiculaire en haut une longueur
-0, on aura le point b qu'on réunira a 0 et qu'on prolon-2IS
geraau delà ce sera l'axe latéral b; l'axe c sera représente
par une ligne verticale.
Quant à la longueur, les trois axes étant supposés égaux,
on portera sur x une longueur-~0~ et sur une longueur
~-0~ la ligne réunissant les deux points a, a ainsi obtenusr,s
nousdonnera la longueur du demi-axe a. On portera sur
une longueur r= 0~ et sur y une longueur -––O.r, la dis-
tance des deux points b, b donnera la longueur du demi-axe
b. Enfin on portera sur x une longueur r = O.x- et sur y une
longueur 0~? la distance cc sera alors la longueur du demi-
axe vertical c. On peut, si l'on veut, calculer ces longueurs
sans aucune construction en prenant pour 0~ 0~' une va-
leur arbitraire en millimètres, et en résolvant les trois trian-
gles rectangles. On aura ainsi
Pour le demi-axe a ==t – ––(/
,> b)) ,) b==t/
/–r -i- .t'
o »
<
D)!SStND):SCtttSTAUX. '~y7
On peut se servir d'un autre procédé de construction. Ontrace deux perpendiculaires cf' (/ a. on prendOh = OA', on les divise en r parties et l'on mène par tes deux
premières et les deux dernières divisions des parallèles à cf'.
Sur la dernière verticale gauche on prend /<~ lo/ on tire
la ligne </0, on la prolonge jusqu'à et sa partie x.x' com-
prise entre les deux verticales est la projection de l'axe an-
térieur a. On fait passer par le point x une parallèle à /;0,ce qui détermine un point Mqu'on réunit a 0, ce qui dé-termine un autre point < On mène par ce point une pa-rallèle à 0/t', ce qui donne sur la dernière verticale a droite un
point y'; on le réunit à 0 et l'on prolonge la ligne jusqu'à ladernière verticale gauche, ~v' est alors la projection de l'axelatéral b. H suffit maintenant de prendre sur la dernière ver-
ticale à droite A'~';0/<' pour avoir 0~, c'est-à-dire la lon-
g'ueur du demi-axe vertical c.
Pour que toutes les faces d'un cristal puissent être repro-duites sur le dessin sans être vues trop en raccourci, ii im-
porte de choisir convenablement les valeurs de et de .s'.Laa
pratique montre qu'on obtient de très hons résultats en fai-
sant/'r=3ct~=;2;avcc.ï-3 les faces horizontales parais-sent trop réduites.
Les axes, tels que nous venons de les dessiner, c'est-,t-dire
rectangulaires et de longueur t i t, sont les axes du sys-tème CM&~Me.On remarquera pourtant que dans ce système,les trois axes étant quaternaires, chacune des faces du cube
est~a/Y~/e/e <M~ <r/'e/e CM'.
Pour le système <yMa<<~<f/Me, les axes horizontaux étant
égaux entre eux, il n'y a qu'à multiplier 0~ par ta vatcur c
trouvée dans la forme primitive de la substance, pour avoir la
longueur exacte de l'axe vertical. Si 0~ 3f' par exemple,et c ~=j,6~-58, on aura, pour la longueur de l'axe vertical,
3<:-<o,<j8 9.t" :').
Pour le système o/o/'Ao/M~~Mp, ce n'est pas seulementl'axe vertical, c'est encore l'axe antérieur qu'il faudra mo-difier en multipliant O.r par la valeur trouvée de a. Si l'on
2~8 NAXCr.LP)!AT)QL'<;)));(:KtSTALLOfi)!Ar!HE.
a, par exempte, O.r 11" et a o,iy.'iG, on aura pour i'axe
antérieur
t~Xf')~j~t)
/?<'x/c. On peut. simpHficr l~eaucoup toutes ces con-
structions. Au lieu de supposer le point de vue (ixe et de
tourner le système (t'axes, on peut Je supposervariabfe et ar-
rêter )ecristat dans imposition dans !anuci!e les (!eux axes,
vcrticat et latéral, restent rectangulaires. 11 suffira alors de
tracer deux perpendiculaires et et une iignc plus
ou moins inctinee d'un angle osur~y' (y~ a~o'), de prendre
Oj 0~ 0: 0:' b c tet
a-.O.O.t'O.,). c
Il est avantageux de faire ~26" 3o'et .<Mais les figures sont ainsi moins élégantes, et l'on fera bien
deseservir,autant<'juepossi)j!e,detaprojection)c!)cqu\iea été décrite plus haut. Lorsqu'il s'agira de construire des
axes incHnes, tels qu'on les rencontre dans les systèmes mo-
noclinique et triclinique, on se servira des axes rectangu)airesconstruits par l'un des procèdes que je viens de donner.
~Me /?;o/Mc/«'</Kc. – Soit ( /7~ ?.i8) un système d'axes
.K, ~egaux et rectangulaires, projetés en perspective avec
r -=3 et .!– a. Les axes a et b et les axes b et c font entre
eux: dans ce système des angles droits; seuls les axes a et c
sont inclinés l'un sur l'autre d'un certain angle y. oI)tL~sen
avant.OnprendradoncsurO~ une longueurO..<U;sin~etsurO~une longueur <)~0~cosy;on construira le paralte-
fogramme, et sa diagonale .?; '!0.donncra la position etla longueur de l'axe cristaDograpluque antérieur a. 11n'y aura
plus qu'à multiplier, comme ci-dessus, O~parcetO.x" par a
pour avoir les axes a rc.
~«ew<?<(:<<y;/c.' tci la position des trois axes doit
être modifiée, puisqu'ils font entre eux trois.mgles K,3.
~~oo". On prendra encore la projection des axes rcctangu-
))ESS)\D)':SCf!)STACX. '()
laires égaux (//“ a~y) et l'on fera
O.r'=().rcosx 7. eL O~Otsinx,
qu on prendra a droite ou a gauc!te suivant que l'augtex 7-
est aigu à droite ouagaucltC;on construira le para!!éio-
gramme et l'on tirera la diagonale 0< On prendra sur cette
diagonale à d!'oitcoua gauclic, sauvant que l'angle f«~~est à droite ou a gauche, une longueur ()< 0~sin,3 e! sur
0.= une longueur 0~' ()~cos,3; on construira le parallélo-
gramme et la diagonale ~== a~0 sera la position de l'axe
latéral cty"0 son unité de longueur. On prendra également
0~0~cosy et 0~0.?:'sin- on construira )c parallélo-
gramme, et sa diagonale.–aO.y"'donnera la positionde l'axe antérieur dont l'unité de longueur est 0..<))n'\aura plus, pour avoir le rapport a c, qu'a muitiptierOs et
0~ par les valeurs trouvées de c et de a.
/~e/K<xr</K;?.– Puisque nous avons convenu de choisir tou-
jours pour les systèmes mouociinique et trictinifjuc des axes
aussi rectangulaires que possible, on pourra la plupart du
temps se dispenser de toutes ces constructions et se contenter
delà projection de la/<~r. 346, qu'on fera une fois pour toutes
sur du papier un peu fort et qu'on transportera en perçantavec une aiguille les points 0, .:c, j', s, sur la fcuiHe
sur laquelle on se propose de dessiner. En effet, si les anglesK, {3,y ne s'éloignent d'un angle droit que de 5° ou 6°, la po-sition des axes sur la projection ne se modifie pas d'une ma-
nière appréciable, et le dessin ne change pas sensiblement.
d'aspect. On réservera donc les constructions qui viennent
d'être données pour les cas ou l'un des angles c<,,8, y seraitnotablement différent de 00° ou pour des dessins qui exige-raient une absolue exactitude. H faudrait alors dessiner la
projection des axes avec une échelle beaucoup plus grande.
.Sj~e/Me Ae~~o/M~. – Ce système possède, comme nous
savons, ~'OM axes horizontaux inclinés de rao" et un axe ver-
tical. On trace deux perpendiculaires /<' et ( c' (y~. 9-~), oudivise AA' en six parties égales et l'on fait passer par les divi-
sions les verticales ), a, 3, 5, G. On prend sur la verticale C
380 MAXUELPRATIQUiiDECntSTALLfX.itA)'))~
ia longueur/~ M" -OA' (' ), et l'on mène H'M' la partie f/M'
est alors la projection de l'un des axes horixontaux. On fait
passer par le point H une parallèle a A/ qui rencontre la ver-
ticale i en un point (t~qu'on réunit au point y de la cinquième
division; on trouve ainsi sur la deuxième verticale un point xet sur la quatrième un point t. On tire qui est le second
axe horizontal. On fait passer par t une parallèle a /< quirencontre la sixième verticale en un point y; on tire ./y'
qui sera le troisième axe horizontal.
En réunissant les pointes x, il, y, .2: «', y', on a ainsi un
hexagone régulier.
Pour avoir les axes .!eco/~7a/r< dont on peut avoir besoin
dans le dessin, on fera passer par te centre 0, jusqu'à leur
rencontre avec l'hexagone .x'K~M'y' des paraliètes a K.y',
/M', ~y'; on obtiendra ainsi un second hexagone tourné de
60° par rapport au premier.Pour avoir la longueur de i'axe vcrticat correspondant a t,
on construit du deuxième point de division ni avec avec une
longueur arbitraire /M/ un triangle èquitatcra! dont l'un des
côtés viendra rencontrer la première verticale en et
s0 =~'0 seront les longueurs des deux demi-axes verticaux.
Il n'y aura plus qu'a multiplier 0~ par la valeur c trouvée
pour une substance donnée, pour avoir la longueur du para-mètre de la forme primitive.
.~j'?:e /7<o/M&oe<<</Ke. – Il est plus commode pour le
dessin des formes de ce système de se servir d'un système a
trois axes également inclinés entre eu~ et parallèles aux
arêtes d, d, b du rhomboèdre primitif (/ /~p', /< 162). Pour
projeter ces axes, on tirera deux lignes rectangulaires AA' etf~' (7~ ~ytj. 250), on divisera /</t' en six parties égales et
l'on élèvera les six perpendiculaires 3, 5, 6. ))u point/M on décrira avec le rayon mit un arc qui rencontrera la ver-
ticale a en un point /?t'. On aura ainsi 0/; -= 0/H' pour l'unité
(') Si )\m prend.i, ce (pji est ici U'cs avantageux, !a construction
de i'axcMK'se simplifie.)) suffira de cousLruircsurO~, avec une ionsucur
arbiLraircO<untriaog)ee()uiJate)'a)don).)ccf'~eOn.rcncm)t,rera)averti-
fa)e~enunpoitH.K,cLOH..OM'seront. )cs deux dcnii-axcs cherches.
DESSfXDKSOUSTAtX. a8t T
de longueur de t'axe vcrticat ternaire du rhomboèdre; on
muttipucra 0~ par la valeur de c trouvée pour la substance,
ett'on aura O.s= O~x c. On prendra sur les vcrticaies f, 3 et
5 des longueurs wo'==/er :0~. Les projections des
trois demi-axes positifs du rhomboèdre donné seront repré-
sentées, quant a leur position et a leur tongueur, par les li-
gnes o'~r, c'y, o' Si l'on voulait avoir les trois axes dans la
position des arêtes < d, de la )C' on prendrait
/?!0"t~ey'0=, et les trois demi-axes seraient
0".e', 0"y', 0'
~q/ec<{b/t c/e.s' <r<e<M.– La projection des axes dessinée,
il faut trouver la position que les arêtes d'intersection des
faces qu'on rencontre dans le cristai et dont, on connaît les
syrnboics occupent par rapport à cette projection. On peutsuivre ici deux procèdes différents.
1. On dessine autour des axes les deux faces dont on cherche
Farete. Lorsque les deux faces se rcncon)rcnt sur le dessin en
une ligne droite, cette droite est l'arête cherchée. Soit, par
exemple, une face prismatique wf/o/: dont )e symhote est
(/!A'o) (y< a~a) et une face octaedrifjuc /??~(/ (tont !e sym-
~)oie est (AA'/), il est clair que leur arête d'intersection est
~!y. Lorsque les faces ne se rencontrent sur le dessin qu'enun seul point ou ne se rencontrent même pas du tout, on
dép)ace leurs arêtes paraHêiement à eUes-mêmcs, de façon a
obtenir des points de croisement; la ligne qui joint ces deux
points indique la direction de t'arêtc cherchée. Soit (~a.'ja)une face prismatique /~f/o/: de la iorme(~/o)ctuncface
octaédrique /M"x/ de la forme (A'). On déplace M"'y para)-telement à eHe-meme jusqu'à ce qu'elle devienne /e et
coupe /My en un point < On tire ~t' paratieie a ~t" on
prolonge ~M? jusqu'à sa rencontre avec ~y" en un pointa';la tigne <c/ sera i'arete cherchée.
Soientencore les deux faces /?!t/o/;(/o)ct<(/<). On
dépiacera c</ paraUetement à etie-mcme en <f/ de façon a
rencontrer /H</ en un point < on fera paratfete à M~ et
l'on prolongera Farete pc qui rencontrera en Uti point &;ta ligne &< est la direction -de l'arête c)~erct)ee.
Soient aussi les deux faces octacdriques M!</(/L/) et
382 MAXL);Lt'!tÂT)QH;D):CR)SfALLO<it!A!'n!E.
c/-) (/(/<) qui n'ont pas de point de croisement sur !e des-
sin. On déplacera comme précédemment cy.paraHéiement
jusqu'en «/ on fera ~paraliê)ea/ et l'on aura ainsi les
deux points d'intersection </ctydont la ligne de jonction re-
présentera la direction de t'arétc cherchée.
Soient enfin les deux faces/'<!K.s(Ao/) et/<<(/o). On
prolongera o</jusqu'à sarencontre avec <Men f/, la !igne /?t~
sera l'arête cherchée.
Ce procède, qui est généralement employé et qui a l'avan-
tage de présenter toujours la position des faces que l'on veut
dessiner par rapport aux axes, a deux inconvénients considé-
rables. Le grand nombre de lignes auxiliaires qu'on est forcé
d'introduire, surtout si le cristal possède beaucoup de faces,
surcharge énormément le dessin et exige une attention sou-
tenue pour éviter de fréquentes erreurs. D'autre part, les in-
tersections qu'on cherche se trouvent parfois fort loin du
centre des axes, et l'on est obligé de dessiner ces axes a une
très petite échelle, ce qui nuit a l'exactitude, ou de se servir l'
de très grandes feuilles de papier, ce qui est très incom-
mode.
2. On obvie facilement à ces inconvénients en ernployantun procédé beaucoup plus simple et plus expéditif. Nous sa-
vons que l'arête d'intersection des deux faces est parahétc a
l'axe de la zone a laqucHe ces faces appartiennent (p. ).~ il
suffira donc de trouver la direction de cet axe qu'on peut tou-
jours supposer passant par l'origine, pour avoir la direction
de l'arête. Or nous avons vu (p. 15) que le symbole de l'axe
de !a zone de deux faces (/<) et (/M/<.s')est hk), dans lequel
h -i /'t – k r-~ /< – t'~ – /(/
Les trois paramètres h, k, t déterminent ainsi la positiond'un point, et la ligne droite qui passe par ce point et le
centre de la projection des axes est la direction de l'arête
cherchée.
0/t/)/'e/<f//Y< f/o/:c .«< /<o/ec<M/~ </c /'M/< f/M f<.r<Ma, b,C (y< ?.4t), .SV</'r<f; /M<b, /M/' <t'C/M/C, f<~f' /0/<CH/'kb, Ct~O~C ou « ~W<C/<e,.S'/«'(Y/<~/MCk C.'<</Mt/f/ ou /!C.Y/-
<< o/t //ic/<c/'« à /)<7/'< << kb ~e <o/<e /x<</e~c ''<
DESSINDESCRISTAUX. ~S3,)
~<?eo/!<a.re. a /M/' e.re/?t/)/c, et /'o/< /)/'<<ï< ~M/' cc«c <ro/<<
en f<ca/< ou e/t a/t~c.H«'<7/:< </Me h c.j's'y~~ /;c~a~
H/).e/o/MCK/' e'f</c ft lia; «/< /c/;c/'f7 e/</t le ~w/< i)~rr
M/ze<o<<e /a/c 'W /<.s'/e/~e a.e et /o/t /c/Y<.s7/ cc~<'
c/o</e~, e/t A<7M<ou 6'/<&s~ ~'M<r~/t<<y~ci c.s/y)o.!<<(/ /<c~K/tC ~0/~M6M/' C~/C « te. ~/t <('C/'M ry/s't f/ ~0</<<JC, et
~ze c/e /OMC<M/<f/ec le cc/e 0 'f.s' ~c.s' .s'c/v<la f/cc</o/<
de ~r<<~e cAe/Aee..S'M//e t/e.! c~MC~s'y~c.? ~c /'<7.c de
so~e, i, ~a/' e~e/H/e~ c'/t7<<c~a/e ~c/'o, /f< co~<MC<M/ .s''<x/
y'e<e/'a't<'au /~< ))~ et la ~'y/M ~M</o/ ce /?o< à <~.;e/'<'</<
la <<<?e~M/t <e /'<7/'e<ec/fe/'cAe'e.
Ce procédé, on le voit, est tout à fait générai, il n'exige qL!<*
des constructions extrêmement simpics ctpct'tnet <i'évi).(;['fa-
cilement les erreurs quc)te que soit la cornpiicaLio)) de la
forme qu'on se propose de dessiner.
TMa/'e/te <Mf/e.<. – On commencera par faire un croquis
aussi exact que possible du cristal a dessiner, de manière a
pouvoir reproduire le de\'c)oppcment relatif de ses diverses
faces. On transportera ensuite sur un cote de la fouiHc de
dessin les axes rectang'uiaires avec les paramètres
<! h c – t )
qu'on a construits, une fois pour toutes, soit par ic procédé
donné (p. ay~, /< a~G), soit plus simp)erncnt d'après la re-
marque (p. a~S, y< a~o). Si )e cristal appartient a l'un des
systèmes à axes rectangulaires, il n'y aura plus qu'a prendre
sur les trois axes les longueurs des paramètres, l'un d'eux
étant égal a i. S'il est monoclinique ou triclinique, on se ser-
vira des constructions données (p. a~8, a~ ct2/i8) et l'on
prendra les trois longueurs correspondant aux paramètres a,
b, c, l'un d'eux considéré comme t. On eftacera toutes les
lignes auxiliaires qui ont servi a la construction et l'on ne
gardera que les trois axes sur lesquels on marquera très visi-
blement les points a, a, b, b, c, c qui correspondent aux pa-
ramètres de la forme primitive. Pour que le dessin puisse
être exécuté avec une suffisante exactitude, il faut choisir
pour la projection des axes une échelle telle que la longueur
384 HA~L'ELP)!ATIQt'EUHC)ttS[A!.Lf)f;)!APH)!
du plus petit demi-axe ne soit pas inférieure a f~Ce)a fait,on cherchera la direction des arêtes en commençant par ceiies
des faces qui dominent dans ta combinaison, ou par ceHcs
qui sont parattétcs a t'axe vertical, et t'en consuttera te cro-
quis ([u'on a fait pourtours dimensions relatives. La figureentière ne doit j)as dépasser, autant que possibte, /j' dans son
p!ustong diamètre, à moins que te nombre de faces ne soit
très grand.Ondessinera le crista) non «M<OM/maisM<<'c de
la projection des axes, en transportant la direction des dine-
rentes arêtes au moyen de deux équerres. Toutes ces direc-
tions seront indiquées par des traits peu marques qu'on pourrafacilement effacer; ces traits se croiseront en un certain
nombre de points qui sont les angles solides du cristal, et
qu'on marquera avec une fine aiguittc; on effacera alors te
tout, et l'on reunira les points ainsi marques par des traits quiconstitueront te dessin définitif.
jË'.z'e/M/e. – \ous nous proposons de dessiner le cristal de
racemate de thattium et sodium dont ta/ )! i'p. <o~) ne
donne qu'un croquis approximatif. On a pour ce cristat
x=:8'j°f2', 5-S["f! Y"9!)
a :b: c'-t.r~y :):«,')[;),
et les faces à dessiner sont~'fto),('[jto),(!oo),()o;),([0t),
(3ot), ~r ('))), y–(2tl).
On transportera d'abord tes axes égaux et rectanguiaires,
projetés comme il a été indique sur ta/y' ?,i6. Lestongueursde ces axes ont été prises a to"b'-26'etc c = a'On construira alors les axes triciiniques (y< '<~); on remar-
quera pourtant que, t'angie étant extrêmement voisin de oo",il est inutile de construire la diagona)e0< et qu'il suffit de
prendre d'une part sur la partie postérieure de t'axe a,
~o'sing~ao'et sur t'axe c, ?.>'cosQ~o', d'autre
j)art. sur ta partie droite de t'axe b, a6""°,5 x sinSr' ) et sur
t'axe c, a~x cos8t"fi'. On construira, comme il a été dit,deux parattétogrammes dont. les diagonales seront 0.~ 11"
et 0/ ;<C" ( /?,y. a ) et seront les deux axes égaux a et b:la longueur de l'axe c J n'aura pas changé et sera de ay'
DESStNDESOUSTAUX. '<8.'<
Pour avoir les paramètres de la substance, on prendra
Oc-<?;o,')f').4"6,
Oa-)t~-i,7 r-?.
Ob--0j. ~6"
Les axes étant ainsi projetés, on (tcssinera les deux arêtes
verticales /~A' et.'<*< (/< s~i~)! ~c façon que la face /<' ait
la longueur voulue par rapport aux autres faces de la zone;i
on dessinera ensuite les arêtes ~'A' et /<'cr' qui sont évidem-
ment parallèles à l'axe b, puisque toutes ces faces se trouvent
dans la zone des plans coordonnes A*et
L'axe de la zone de o'< est
On mènera donc bcparaHete et égal à Oc, puis eccparatièie e
et égal à 0 a; on aura ainsi 0~ pour la direction de t'aréteo'L'axe de la zone e''7M est
On fera bc parallèle et égale à Oc, puis ea parallèle et égalea Oa; la ligne Oa sera la direction de l'arête o'
On dessinera l'arête c'a' (postérieure), qui est parallèle à
l'arête A'o'.1
L'axe de la zone a~ < est
On a divisé ici les trois caractéristiques par 3, pour n'être pas
obligé de trop prolonger l'axe vertical, on prend 0 ~b ~Ob,
on mène ~be égale et parallèle à Oc, puis c ~<xégale et parai-
0' t 0 [ 1 0 [XXX
< t f <j t f o
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_>< X ><_/M- if 1 o < ~o O
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tl I 0 1 !t I
1 ï 3
286 MANUEL P)tATfQ(E))KCi!fSrALLOt.HAPffH'.
)elca~0a;iahg'ne'~0 sera )adtt'cctionde ['arête rr'< et par
conséquent des arêtes ~y, ~< et a'~ (postérieure), puisque
nous savons que [a face~se trouve dans )axonc~"<.1
L'axe de la zone f<est
On divise par 3, onprend 0 ~b Ob, on mené ~c eg'nie e!
paraHcie à Oc, puis c'~<r<para
)))-;SStN)))':S(:iUST.U. a8~
1 1 m 1
r, (y/ 252) qui sont rectangulaires ou obliques etavec les
paramètres a, b, c qui appartiennent a une forme primitive(tonnée.
Supposons le cas tout i fait gênera! d'une face octaèdrique
(A~~) servant de plan de macte. On mènera parattètement a
ac les lignes et /< on construira le paraHétogrammeo"OA' dont la diagonale o"0 coupe en un point Onjointce point à A et sera une hauteur (tu triangte /< On mené
parallèlement à bc les lignes /L/" et on construit te pa-
rallélogramme f<0 dont la diagonatc <0 coupe en un
point y on joint à A et /<</sera également une ttauteur du
triangle Le point /t où les lignes/? et ;< se croi-
sent est ainsi le centre du triangle, et 0/< une perpendicu-laire abaissée sur lui de l'origine des axes. On prolonge 0/<
et l'on t'ait ~o':= 0/ le point o' sera l'origine du second sys-tème d'axes y, et o'A, o'A', o'/ les paramètres de la face
AA'/rapportes à ces axes. Pour avoir sur les nouveaux axes
les paramètres a, b, c de la forme primitive, il n'y aura plus
qu'à diviser les longueurs o'A, o'/f, o'/ par A, A'et l. Les para-mètres 0 A, 0/0~du premier système d'axes étant considères
comme positifs, tes paramètres o'/<, o' o'/ du second le se-
ront aussi. On aura les paramètres négatifs en faisant
o'/< = o' o' o'/f, o'/L_; o~.
Si le symbole du plan de macle avait une caractéristique
égate a zéro, c'est-à-dire si ce plan était parallèle à l'un des
axes, la construction serait plus simple. Supposons que les
deux individus soient assemblés suivant une face (/<o/) paral-lèle à l'axe des on construira, comme précédemment, un
parattélogramme avec les lignes Oh' et 0 l'; la partie/?0 de sa
diagonale sera la normale à la face passant par l'origine des
axes; on prolongera 0/ on ferapo"~ 0~; o" sera t'origine dusecond système d'axes et o" A, o" les nouveaux paramètres de
la face (h o 1). On mènera à partir de o" une ligne o" parat-lèle et égale a 0/f ce sera le troisième axe.
Lorsque la face d'assemblage coïncide avec t'un des planscoordonnés p, A' ou les deux axes auxquels ce plan est pa-rattète ne changent ni de direction ni de longueur, mais le
troisième axe change de signe.
a88 MARCELi'RATfQUEDE C)ttSTA).LOCHA)'0)E.
Laprojection du second système d'a\cs une fois trouvée,
elle servira à dessiner les faces du second individu (le la macie
par le meinc procédé que celui qui ae~e indique pour le des-sin du premier resté dans sa position normale.
II. Dessin de la projection stéreographique.
Le dessin d'une projection stéreographique, d'après les don-
nées fournies par le calcul d'un cristal, présente, s'il doit être
exact, de notables difficultés d'exécution, par suite de la né-
cessité de tracer souvent des cercles de rayons dont les lon-
gueurs peuvent dépasser beaucoup les dimensions d'une
feuille de dessin. Mais, dans la pratique, il n'y a aucun inté-
rêt à pousser a ['extrême l'exactitude de ces sortes de dessins
qui ne sont destinés qu'à donner une vue générale de l'en-
semble des faces et des zones existantes.
Quelques indications suffiront pour permettre de dessiner
cette projection en partant des angles donnés par le calcul ou
l'observation dans tous les cas qui peuvent se présenter.
1. On trace un cercle d'un rayon qu'on prendra égal a
25°"35" suivant le nombre de faces et de zones qu'on aura
à projeter. Ce cercle, qui forme le plan du tableau (/ F/,
fig. a45)~ passera par deux des plans coordonnés, /<'(too) et
gl (oio) par exemple, comme dans toutes les projections de
la Pl. ou par /<' (foo) et/) (001). Les angles que font entre
elles les faces situées sur le cercle de projection, par consé-
quent dans la zone /t' (ou /i'~), seront portés directement
sur le dessin au moyen du rapporteur. Pour trouver les faces
parallèles à A, m, etc., on tracera le diamètre //0/ ~'0~,/MO/M', etc.
2. Les grands cercles qui, comme A/~ (y~. a~a), passent
par le centre du plan du tableau sont représentés par des
droites. En choisissant, par conséquent, pour plan du ta-
bleau la zone A* dans tous les systèmes à axes rectangu-
laires, les zones ph', pgl, 7M/?,/t~/?, seront représentées
par des droites. Dans le système monoclinique, la zone /?/<'sera aussi une droite. En pratique, on considérera égalementcomme lignes droites tous les cercles qui passent <M /7/'M du
DKSS]NMSC«!STAUX.9.8g
'!)
centre. Tel est le cas des zones w;p, /?, dans le
système monociinique, et des zones /< /), ~Ay,dans )e système triclinique, lorsque les angles
A'?~' ctA' sont très voisins de oo", ce qui arrive )e plussouvent.
3. Si 0 est le centre de plan du tableau, A le pôle d'une
face quelconque de la zone /<~ et o une face quelconque d'un
cercle de zone A A' qui passe par le centre et est, par consé-
quent, représenté par une droite, on trouvera ia distance du
pote au centre 0 en prenant
Oo =- tang~ 0~.
Lorsque la base ~(001) coïncide avec le centre 0, ce quiest le cas des systèmes a axes rectangulaires, on aura~'o=; 0 o.
Dans ie cas d'axes obliques, par exemple, d'une face située
dans la zone/ du système monoclinique, on prendra
0~ tan~ ~;)0"– /~).
4. Si une face quelconque o qui est, sur !a/< a.~j, une face
(Ao/), mais qui pourrait tout aussi bien avoir pour symbole
(/) ou (oA'/), fait avec deux faces prismatiques quelcon-
ques m et t de la zone A. des angles 0~ et o<, on trouvera
sa position sur la projection de la façon suivante on tirera
les deux rayons 0/~ et 0< et l'on prendra sur leur prolonge-ment des distances
0~1==/'seco~< et ()N=/'SMCo<:
des points M et N comme centres, on décrira avec des rayons
K==/'t.an~o/ et H'–t:m~o< t
deux cercles dont )e point de rencontre sera le pôle
5. Si une face quelconque (/) appartient, a un cercle
de zone .o'' dont on a déjà trace la projection et si l'ou
avait l'angtc une construction simptc donnera sa po-sition sur ce cercle. On mènera ie rayon ~0 et. une perpen-diculaire à ce rayon qui rencontrera le cercle donne en l; on
')" MANUEL PHATIQCH DE C)USTALLO(.RA['[H!
mènera qui donnera sur le cercle de projection un point, <
On fera c/t-rgo"et~<=~ on mènera -< jusqu'à sa ren-
contre avec 0/ prolongée en un pointa, qui est )e pôic du
cercle on mènera ~K (~ui rencontrera le cercle donne
.y eu un point qui sera )c pute de la face
G. Lorsque trois pôles, ,o, par exemp]e, dont on a déter-
mine la j)osition sur la projection, se trouvent eu zone, le
trace du cercle de zone se réduit a ta construction géomé-
trique Lien connue, qui permet, de faire passer une circon-
férence par trois points donnes. En pratique, il est bien plus
simple de chercher par tâtonnement, en déplaçant peu à peula pointe du compas, un point également distant des trois
points donnés; on aura ainsi le centre du cercle a décrire.
T. Il peut se faire qu'on ait a tracer un grand ccrctc appar-tenant, a une zone sur laquelle on ne connaM que la positionde deux potes, o(/to/) et v(A/<) (/ 2~5) par exempte, les
pôles (/) et (/<~), qui sont en zone avec eux, appartenant à
des faces qui n'existent pas dans le cristal. On cherchera la
position du pôle de la face paraHeic a ceUe (tes deux faces
données qui se trouve le plus loin du centre du plan du ta-
hteau (dans notre exemple, ce sera o): ce poie nous donnera
le troisième point par lequel le cercle cherche doit passer.l'our cela, on mené Oo et 0~' qui lui est perpendiculaire;on mène y'o qui rencontre le plan du tableau en un point. t,
puis te diamètre <0/ et la li~ne ~'y' qui rencontre ~0 en un
point (/ qui est, le po)e opposé de o. H n'y aura plus qu'a tra-
cer le ccrctco'yo, qui rencontrera le ecrcte du plan du la-
htcau en deux points (A-~)(/) appartenant a des faces pris-
matiques de la zone
8. Si une face se trouve sur l'intersection de deux zones
connues, sa position sur la projection se détermine par la
rencontre des deux cercles qui représentent ces xones. </est
ainsi qu'on aura fc pôle d'une face qui se trouve dans les
zones g''0 et. (/ a-~) en menant .0 et leur
point de rencontre sera le p6!c cherche. On se servira, le plussouvent possible, de ce procède fort simple, et il suffira,dans bien des cas, pour trouver la position de tous tes pôles
DESSIN DES OUSTAUX. 3f); 1
du cristal, d'en déterminer un ou deux par l'une des con-
structions précédentes, à la condition de les choisir parmi ceux
qui sont, placés sur te croisement de plusieurs zones.
EXEMPLEDr: PfiOJEC'nON.
Soit à projeter stercographiquement le cristal tricti nique H
(p. to/t) que nous avons déjà dessine eu perspective (/
yf'y. 2~3) et dont la /ty. 216 (7~. ~) représente la projec-tion approximative. Le cristal n'ayant qu'un petit nombre de
faces, on trace un cercle de a5" de rayon (7~. ~V.ytg'.a.')));on prendra arbitrairement le point A' et l'on fera A' 'f)[<'33',/t'w=62°fo' et A'~=: 64~o'. Les diamètres /<<)/ ~O.y',/7t0/ <()<' donnent tes pô)es A', M', paraUdes à /<
<. Quoique le cristal ne possède pas de hase, il est utite
de chercher la position de son pôie qui se trouve sur le croise-
ment des zones /< w/M' et «'. On prendra sur ()/<' une !on-
gueur
05f sec87'a(/: ~5" 3o~
et l'on tracera de M un cercle avec un rayon
R = tans;8j"9.o'.< ~'i"r~ '!oG"3.
On prendra, d'autre part, sur 0. une longueur
ON = séc8[''C'x T' !(;f~
et l'on tracera (te N un cercle avec un rayon
R'= tang8["G'x ~)"= t~C.
Le point, de rencontre des deux cercles est le p6!c~. On mè-nera un ccrc!e par les trois points /< p, /<
On déterminera ensuite le poic pour icquci on connaîtA'.r-:fio'')o'ct <.x'~3~5' Pour cela, on prendra sur le
rayon /0 la fongueur
CM ==sec6o"[f)'~< '<'i" j)"j i
2Q3 MANUEL PHATIQUE ME OMSTALLOHftAf'tHH.
1' 'u.- _1- XI _I- 1, ._n.c,et l'on tracera de M un cercle avec !e rayon
H==tans; Go''f<)'x'<5'°"'= !.{'<).
On prendra également sur <'() une longueur
<)X~scc37")<<j" :!<G (~
ctrontracera de Nuucercte avec )e rayon
I!'–ku)U'i~°'i;X <')" ~-t<)'j.
Le point de rencontre de ces deux cercles est le pote.r.Nous savons que la face 6'' se trouve en zone avec A'~ et
.x'<; on mènera donc le cercle <r<, et son point de rencontre
avec le cercle A'/)A sera le pote de a'. Nous savons aussi que1
la face a~' est en zone avec /< et ~K; on mènera donc
le cercle /H.t'/?~ et son point de rencontre avec le cercle1
A'~ sera le pote de a~. Nous savons, enfin, que la face y est
en zone avec a'/M et r< on mènera donc les cercles /~r<</1
et <<, dont le point, de rencontre donnera la position de )'.Il ne restera donc plus qu'a trouver la position de la face o',
pour taquette on a (p. fo.'))
o' = < )8o°– < /<' – ~'<ï' ~=(W jT.
On mènera une perpendiculaire au diamètre //OA; le putefaisant avec A un angle de 88"a~ nous pouvons, sans com-
mettre une inexactitude appréciable, considérer.0 comme
perpendiculaire a hO. Le cercle /t'/j/< sera rencontré parcette perpendiculaire en on mènera A'/qui rencontrera lecercle de projection eue; ou jtrendra ('/<=-()o" et fou mè-nera /< qui rcncoutrcra.y'O en un pointa; on fera
/tM=r()f°.~5', on mènera < qui rencontrera /<A en un point
(juiseraicpôtedeo'.On pourrait tout aussi bien déterminer la position du
cercle A'a" sans c))ercher prèatahtemcnt ic pote p; il suf-nrait pour cela de déterminer )a position de y, soit par le
procédé employé pour la détermination de .c, avec tes deu\
nHSS!N!)KSCOSTAUX. 9.()3'i
1 -1angtes/t'~et~soitavec le seul angic/ parle procédé
qui nous a servi a trouver ia position de o'. La rencontre
des cercles et /Ky/ nous donnerait~ et la ren-
contre des cercles << et /K~ nous donnerait <r'.
Cette projection suf'ntpour trouver, sans aucune autre con-
struction qu'un simple tracé de cercles passant. par trois
points donnés, un grand nombre d'autres pôles qui peuventexister dans le cristal. C'est ainsi qu'en menant le cercle
~'o' on rencontrera tes cerctes et en deux points qui1 – i
seront, les pôles <]cs faces < (xi) et (n'); ie cercle
~t~, rencontrera <? et 7?< en deux points qui seront
())')cte~ (nt); iccerc)e.<ï"ydonncra,par sa rencontrei--
avcc~/)et//t' ia position de ~(3.~i)etc"(3.3f). Les
faces et étant ('< [t) et (a t )), le cercle rencon-1 _L
trera le cercle < au pô)c (a't), ic cercle A'y au pô)c <x~
et le cercle /H'/) au pôic c' (aai). Le cercle /<< rencon-
trera le cercle ~'7~ ~u pute e' (oi ) le cercle A'c~ rencon-
trera le même cercle au pôic <' (o ) ), etc.
PitOJECTIONGXOMOXtQtK.
On a i'ha))itude de faire la projection gnomonique sur le
plan ~'(oto), ce qui est surtout commode dans te système
monoclinique, dans lequel est le plan de symétrie. Les
deux axes et de la projection font ators entre eux un
angle qui est le supplément de t'angie~ dièdre et i'axc j''coïncide avec le centre de la projection.
Considérons le cas le plus généra), celui d'un cristal a trois
plans coordonnés /j, /< faisant entre eux des angles ~o°,et à trois axes a, b, c faisant entre eux des angles (x, ,3, y <~o°.L'axe Jatéra) b, qui n'est pas perpendiculaire a viendra
percer le plan de projection en un point c (/ A. 'G) quisera le point de vue. Les trois axes .x' j' de la projec-tion sont perpendiculaires aux faces /<'()oo), ~'(oto) et
/)(oot), et les trois paramètres A, )!, < que nous avons a
prendre sur ces axes, sont reliés aux paramètres de la forme
39~~i MAKUEL)')tAT)QLH!H! C~USTALf.OGRAPHU.
primitive trouves pour un cristal donne, par tes rotations
A~si~
~~si.
(~sifix.c
Si t'en prend la longueur du paramètre U pour unité et sil'on fait, par conséquent, B – L, L étant une longueur arbi-traire exprimée en millimètres, il n'y aura plus qu'à prendre,à partir du point y', sur l'axe des x', une longueur LA, et,sur l'axe des une JongueurLC pour avoir la ])rojcctiongnomonique des pôles du réseau primitif.
La position du point de vue n'importe en aucuue façon
pour le dessin de la projection, et il n'y a pas lieu de s'en
préoccuper; mais, si l'on voulait mesurer sur la projectionles angles que les diverses faces font entre elles, il faudraitdéterminer exactement cette position. Soi), 0 le centre de la
sphère qu'on projette gnomoniquement, la distance Oc dece centre au point où l'axer perce le plan de projection sera
exprimée parOt'Lsm2sinpsit)/
La projection de T'(~ sur les axes .r' et s' sera alors
~'M = Occot/CMecp, .)'</ O~cot.cosccx.
On élèvera de H et de des perpendiculaires aux axes .et,
-s'; leur point de croisement sera le point cherche F/,y~. 353). 1) est commode, dans ce cas, de prendre pour unitéde longueur non plus le paramètre H, mais la distance Ot~;les paramètres A et C a prendre sur les axes .x' et devicn-drontators
(h'
a,sihxsin7;
f–ccsifixsin/ (J ).
(') Pour jeadeLaih (te la Uluorie de ccLLc projection, M/hLLAKD,7't:t'<e ~e C/'M<a/~o~f<t:e, t. L
DESSIN DES CRISTAUX. ~')')
Pour tous les systèmes autres que le système triclinique, ta
construction se simplifie beaucoup, puisque le point de vu''
se confond avec le centre~'de la projection, <jue les para-mètres A et C se réduisent à
A~ <;='a c
et que les axes sont rectangulaires, sauf dans le système
monoclinique, ou l'on fera ~== i8o°–Dans les systèmes hexagonal et rhomhoedrique, on prendra
pour plan de projection la hase et pour unité de longueur
C~" Les trois axes horizontaux v', M' seront a )'«:)', <').
puisqu'ils sont égaux entre eux, its auront pour paramètre-.
.7-Si l'on voulait rapporter le rhom!joedre a trois caractéris-
tiques, on tracera un triangle equitaterat dont. tes sommets
représentent )es projections des potes du rhomboèdre primi-tif et, par conséquent, des axes .< v', le pute de la projettion étant perpendiculaire a t'axe ternaire.
Pour dessiner ta projection gnomoniquc d'un cristal donne.
on tracera une horizontale qui sera t'axe des .r', ))uis une
ligne faisant avec cet axe un angle de '80"– A'ctqui sera t'.t\e
des~ On convient de prendre te demi-axe positif~' a gam he.On portera alors sur .a/, à gauche et a droite de )' une ton-
s:ucur A-~ ––, et sur en haut et en bas, une longueurasm~ a sirl'~i
°
-––? la vatcur de L, qru sera d'autant plus petite qu on<~sinK t
aura des faces a caractéristiques plus cicvccs, ne devant pas
dépasser généralement 35" a 3.')" Par les points ainsi dé-
termines, on mènera des paratletcs avec des axes qui déter-
mineront la maitte du réseau de projection; il n'y aura ptus,
pour trouver la place des potes d'une face quelconque </<
qu'a muttiptier !c paramètre A par et!e paramètre par
Dans le cas du système rhomtjoedrique, rapporte a trois ''a-
racteristiques, on fera, pour une face quelconque (/< !a
somme atgetjrique de ses caractéristiques – /-=~, et.
2QG(i MAXL'HL I'RAT)QLE DE CR!STAI.LO(:RA['ntM.
après avoir trace' avec une longueur arbitraire L )c triante
equitaterat.x' y', qui représente la projection des trois
axes, on cherc))Ct'a un point, qui soit a ta distance – du côte
~'ï'et a ia distance- de1 iatigne~e point sera Ie pote-)' et a a ll' ¡;
l c a IglW ,{' Lc poIIIt sera e pu c
de la face (/<).
);\K))f'm.
Soit à projeter gnomoniquemcnt le cristal I! (p. )o/i) que
nous avons déjà dessine en perspective et projeté stereogra-
phiquement. Nous avons
~==()~ ~=8)"(i', /<'y'=88"?. K-8<j"tt', ~–8("i)~
a :b:c=;f,')~ t:o,')t- Í'
On tracera une horizontale.t'(~F/.y~ a.') .3) et
qui (ait avec elle, a gauche, un angic de 180"–=:85°2o'.Pour ménager la p)acc. on a dessine la projection à une pe-
liteectieHeetprisi!=-=L~).Onaaiors
On portera ces longueurs sur les axes .:< et, c). l'or), tra-
cera le réseau au moyen de parallèles à ces axes. (Jeta iait,
la position des potes des diverses faces observées se trouve
sans aucune difficulté. Les potes de la zone A'/) se trouvent a
l'infini sur des directions qui sont déterminées par les carac-
téristiques. C'est ainsi que, pour o'(f 01), on a LA sur l'axe x'1
et LC sur t'axe pour <r'(.:iof), on a 3L.Ysur t'axer' et
LCsur t'axe pour ~'(iot), LA sur ]'a\c et LC sur
Iu~ =:;).~o3f)f) loi~ –o~o'}
IogsmS)"f),()i)~<St )o.~si)l8()").t).or)f)f)';
!o~='),<i<j8m ](j2'C–(),('3')'~o 0
!o~I.t,t~(iof) !oL:L-f~Co()
toi;L.\=o,87~')~ fo!j:L~"),[j'!f)
].7"<. 3. i.)"i').
MESStNDESCXfSTAtX. 2()-;
l'axer', etc. Pour la face M()~o), on a LA sur l'axer'et o
surl'axc~pourIafacej'=(afj),ona'<LAsuri'axc.c<LCsur l'axer'. On peut,du reste,trouvcrauLrementIa position
des pôies -=(/<!< ) et )' (~ i ;). Nous savons, en effet, fjue
ces faces sont placées, la première sur la rencontre des zonest i.
~!a''et<a",ct.)asecondc,sut'ia)'cnconU'cde<'f<'c),wa~.1
On mènera do!)c<)e /~uncpara))ë]ca ~'M~et.dc t nnc
parallèle a y'<r<' leur rencontre donne immédiatement le
pôle ~'==(aft); de même,pour )'–~('t),onmencrade~et
de /K des paraileics a ')''H' et a v'a\
Si l'on avait une face ayant sa seconde caractéristique
(celle qui se rapporte a )'axe des sur loquet nous avons
pris notre unité de mesure) plus grande que une face (3 af)
par exemple, on prendrait sur l'axe des ~LA et sur l'axe
des~LC(y<<53).11serait tout aussi facile de tracer la projection avec la po-
sition de son point de vue et l'unité de longueur Oc. Nous
prendrons encore L t.')" on aura ainsi
togr'i" ),6u<)
JogsinU;)")' ~;0t)99~
)ogshi8j"n' g,<)'j/i8.~
!ogsin8j"9.')' (),()t)85G
Iog0' [,tC;);{5 5
!o.0\'–f,!G<)~) ]~0v~j~6~)
)ogco[.=88"K:'–8,i39.3' 2 )ogcot8t" G'–f),[f).'i;8
Iogco;!(';e8i"~i'o~oo5t(i !ogcoscc8<)°i'.<=o,ooof)~
Iog.,)'f),C<jC!)'! Iog.f/–:o,'iC.'j~
j''</=o" ~'f/=:
)oga. o,'<9<i<~
)ogsin8;)°~ 9,9999<i
!ogsin85°?.o' ;).998)6
u.,29353
et, pour les paramètres,
39~ MANUEL P)!A'HQL'E DE CRtSTALLOGRAt'nfE.
toge. 9,(~io(;('<
!ogsm8()" (),<)99(j6
togsin8i° (i' 9,f)().~j
9,t)3':3C
Iog0v==i,tt;c)~) logOv=),fG()~
'),f)'3 ').9'i''
!ogA=~o,8~< iogC=f,<i~)()
LES l'nOPniËTËS OPTIQUES DHS CmSt'AL'X.'<<)(:)
CHAPITRE XVI.
LES PROPRIETES OPTIQUES DES CRISTAUX.
li ne faut jamais négliger d'examiner les propriétés opti-ques des corps dont on étudie la forme cristalline, car ces
propriétés sont très constantes et, par conséquent, très carac-
téristiques pour chaque substance. EUcs permettent (te plus,très souvent, de reconnaître, dans les cas douteux, ie sys-tème auquel appartient le cristal et les macfes par pénétra-tion dont l'enveloppe extérieure ne porte quelquefois aucune
trace.
Je ne m'occuperai ici que des quelques phénomènes quirésultent de la biréfringence et qui sont particulièrement im-
portants pour la description des corps cristallisés, laissant decôté toutes les considérations théoriques qu'on peut trouverdans la plupart des Traités d'Optique et particulièrement dans
le second Volume du ?Yat<c f/e C/'M<<o.e de M. Mal-
lard.
Au point de vue de leur action sur la lumière polarisée, lescristaux se classent en trois catégories distinctes
1. Ceux qui sont isotropes, quelle que soit la directiondans laquelle on les examine. Ils sont monoréfringents et se
comportent absolument comme les substances amorphes. Ces
sortes de cristaux appartiennent au système cM~Me.
2. Ceux qui ne sont isotropes que dans une seule direction,cette direction, qui est leur axe o/f/~c, coïncidant toujoursavec l'axe cristallographique vertical c. Ils appartiennent à
3oo MAX(;K).)')tATf()UE))]':(:)ttSTALLOGKAPHn:.
l'un des systèmes '/«û'f/a</</Mr, /<M'<7-~L'/«// ou /'Ao//t//f~
<KC.
3. Ceux qui sont isotropes dans deux directions correspon-dant a leurs f/c~.x f<c.t ~</(/Me.s', qui peuvent avoir ou n'avoir
pas de rapport nécessaire de position avec tes trois axes cris-
tallographiques a, b, c. ils appartiennent a l'un des trois sys-tèmes f/0/7<0/M~ /?M/~C/<C ou /tC/MC.
Le système cubique mis a part, puisqu'it n'agit en aucune
façon sur le rayon polarisé, nous aUons passer en revue tes
phénomènes qui permettent de distinguer facilement quei-
ques-uns des systèmes cristaHins entre eux, et qu'on observe
soit en [umièrc paraHete au moyen de deux nicols croisés,soit en lumière convergente avec l'un des nombreux mo-
dèles de microscope qu'on a construits dans ces dernières
années. Nous supposerons qu'on emploie dans toutes ces ob-
servations la lumière biancbc.
Orientation des directions d'extinction et des axes optiques
f. – SïSTJiMKSQUAURAt'tQr);,HEXAGOX.U.
ET itMOMUOfimUQt):.
a. /~H/M/e/'c~H/'6!e/f. – Ltie iame, perpcndicutairc a i'axc
cristai)ograp))ique vertical, par conséquent., parat!é)c a la
i)ase~ ou <7, reste éteinte dans tous )cs azimuts entre deux
nicols croisés, comme s'il s'agissait, d'une substance cubiqueou amorphe. C'est du moins ce qui devrait arriver comme
conséquence de la théorie de la double réfraction; mais, en
réalité, une sembiabtc lame, torsqu'cHe appartient a une
substance don), la biréfringence n'est pas trop faibic. ne
s'éteint que très imparfaitement, soit, qu'eiic ait une légère
obhquité sur l'axe, soit que les rayons qui la traversent ne
soient pas rigoureusement paraHétes, soit, cntin, pour des
causes plus complexes et qui n'ont pas encore été étudiées.
Une iamc taiHée dans toute autre direction s'éteint suivant
deux directions rectangulaires, dont t'unc correspond a la
trace d'un pian passant par l'axe vcrtica).
< /L<c/'c cewc/c/~e. – Une lame paraUète a la base
LES DtOPIUËTHS Ot'HQL'ES <))iSOtfSTAL'X. 3oil
montre un système d'anneaux colores concentriques, d'autant
plus serrés que la lame est plus épaisse ou, it épaisseur égaie,que fa substance est plus biréfringente. Ces anneaux sont
traversés par une croix, qui est noire lorsque les sections
principales des nicols sont à go" et blanche lorsque ces sec-tions sont paraiicics entre elles (/ t'Y, ~j). Lorsquela lame est très mince ou la substance très peu biréfrin-
gente, les anneaux colorés ne sont plus visibles. La croixnoire ne se disloque pas par la rotation de !a lame dans )c
plan horixontai.
Il. SYSTËHE o)n'no)tnoM)ttQU):.
a. 7.H/M<e/'e /~<a//e/c. – Une lame, paraiicie à l'un des
trois plans coordonnés /<'(too), .(ofo), /)(oo;), qui sontici cil même temps des plans de symétrie ou, d'une manière
générale, parallèle a un plan qui se trouve dans l'une des
trois zones A' s'éteint dans des directions rec-
tangulaires qui sont parallèles a ses arêtes d'intersection
avec les deux autres plans ou aux axes des deux autres zones.Sur une lame prise suivant par exemple, les extinctionsauront lieu paraiièiemcnt a et sur une tame parai-lèle a e', elles auront lieu suivant e' et A'e'. Lne lame
prise dans toute autre direction s'éteint également dans
deux directions rectangulaires, dont i'une est la trace d'un
plan passant par l'un des axes cristaiiograpbiques. Enfin une
lame, rigoureusement parallèle a l'un des axes optiques,devrait rester complètement éteinte dans tous les azimuts.mais on n'obtient jamais cette extinction complète, a cause
de la réfraction conique.
b. AH/e/'c (;wtt'c/c/<<e. – iteux lames, paraiieies a deuxdes trois plans coordonnés /< placées a .').')'du pian de
polarisation, montrent des Icmniscates colorées ayant a ieors
pôles deux systèmes d'anneaux traversés par des branches
d'hyperboic qui indiquent la position des deux axes optiques(/ )/7, a.')8). La ligne ~a qui joint le centre des byper-hoies est la trace du /a/ des ~c.s' qui est perpendicu-laire a ia face a travers laci.uelle on les voit, et, par consé-
quent, parallèle au troisième pian coordonne. Si l'on place
3M MANUEL t'nAt'tQU); DE CR[STA!.LO(;))APH)E.
les deux famés parallèlement ou perpendiculairement au
plan de polarisation les lemniscates ne changent pas (te
forme; les anneaux autour des axes deviennent elliptiques et
les hyperboles se croisent formant une croix qui ressembleassez a celle des substances uniaxes (/ 3~).
Une normale au mitieu de la Hgne aa est la ~M.sec~cc
de l'angle que les axes optiques font entre eux dans i'inte-
ricur du cristal, et en même temps un axe de f'cHipsoïde op-tique e//c c~~tc/</c, ~/< le f~ Mt'ec /'M/< f/c.s' <r~M ~.re.s' c/s'-
<a//o~<'<</Me.! a,b, c. La distance qui sépare les hyperbolesn'est pas la même dans les deux famés; car l'une corresponda l'angie f~M et l'autre a i'angie ~s' fies axes optiques.EHc n'est pas la même non plus pour les différentes couleursdu spectre, par suite de la ~s'e/o/< </e.scMc.s'.
Chacune des six orientations des axes optiques, possiblesdans un cristal orthorhomhique (/ ~V./f'a.'i.')), sera donc
parfaitement déterminée forsqu'on connattra les symboles du
plan coordonne auquel le plan des axes est paraffele et de
celui auquel l'une des bissectrices est perpcndicuiaire. Les
six orientations désignées sur la/?. a5:') par f, a, G se-
ront, par conséquent, caractérisées ainsi
Pfandt'satcs Hi~sf'ctricc
par;)!teh'tt u pf'r~cndicuiairea n
).
2.
4.
ri.
0. /<'
!–SYSTÈME MOXOCF.IXfQt);.
M.H/e/'c~<a//e/c.–Uue)amc,paraHe)ca une face
queicon()ue (!c fa zone /r, domic dc))\ cxtittcUons t'cctangu-
)ait'cs,()on~t'ut)ecs)~)ara)!eàrar(''t,(.'fjuc)afacf'fait.avec
iepiati de symétrie ~cL l'autre, j)a['a)ic)c aux ar(''tcs que la
face fait, ave<) et A'.
Une famé prise dans toute autre direction, sauf ce)!e per-
pendiculaire a l'un des deux axes optiques, donne egaicment
LES P!!OPmÊ)'ËS OPT)QU!;S DES CHtSTÀLX. 3o3 '3
deux extinctions rectangulaires, mais qui n'ont plus de rap-
port nécessaire avec aucune arête de cristal.
Une lame, perpendiculaire a l'un désaxes optiques, de-
vrai), théoriquement, rester constamment éteinte; mais, de
même que dans le système orthorhombique, l'extinction n'yest jamais comptète.
/,f//H<e cMce/e/i~e. Une tamc, paraiiete a donne
ou ne donne pas l'image des deux axes (/ a.jG). Lorsquecette image est visihte. la direction des axes, c'est-à-dire la
tigne aa (./(.< a58), n'est jamais ni paranefc ni perpendicu-laire aux arêtes /< qui se trouvent dans la
xone/jA'; elle fait toujours avec ces arêtes un certain angicvariabfe (['une su).)Stance a l'autre. La bissectrice, qui peutêtre ~'«c ou o~<M.!e,c'est-à-dire correspondre a i'angie aiguou obtus des axes, est perpendiculaire a et coïncide, par
conséquent, avec !'axecristaHograp)ii()ueb. Comme dans )e
système ort)ior))omi)iquc, t'ecartcmcnt des axes est différent
pour c!)aquc substance e), (tans une même substance, pour
chaque cou)eur <[u spectre; mais il existe ici, en outre, une
dispersion particutiere de i'axe d'élasticité qui se manifeste
par une disposition (tes couleurs autour (te t'byperbote tettc,
que si l'on a a gauche du viotet en haut, on t'aura en bas a
droite (./?~. aCoA). Cette dispersion porte !e nom de f/M/~c/.s'<o/<<~<<eouc/'o~')'ce.
Une lame, paratiete à une face quetconquc, existat~tc ou
possible, de la xone/< torsqu'on y voit tes deux axes opti-
ques, peut ]cs presentct' dans deux positions différentes ou
])ieni!s sontpara)!e)csatatrace du plan de symétrie; par con-
se<juent,commcia position! déjà/y. a.").),ou i)ien,perpendi-culaires a cette trace, par conse(juent, comme la position.3.
Mais,dansJcsdeuxcas, la ))issectricc n'est, point n<n'ma)e a la
lame: elle ne coïncide donc jamais avec l'axe cristaiiogra-
p))i(p)e a ou c (. a'<~ les axes optkjues paraissent déplacesdans b'sois tateral ou <tans ic sens ve!'ticai,e) il faut redres-
se)'ht lame pour avoir une image reguHere.~nconstitte, ici
encore, deux espèces particutiercs (te dispersion des axes
d'eJasticite. La première s'o))scrve lorsque !ep)an fies axes
cstperpen(ucutaircctiaijtsscctriccpara!te)ea~o)[voit
3o.~É MANUEL PRATtQLE DE (:)!)STALLOG)tAt'f)));.
alors autour des byperho.tesie rouge, par exempte, a droite
et a gauche, en bas, et te violet, à droitectagauct)e,en))aut c'est la f/M/c/o/</<<o/~a/e ( /< 260)}). La secondese produit lorsque le plan des axes et la bissectrice sort), tous
deux parattètes a. on voit alors autour de l'une des hyper-botcs du rouge a t'cxtericur et du bleu a l'intérieur, tandis
qu'autour de l'autre leur position est inverse (/ ~6o<~);
parfois aussi, )e diamètre des anneaux et l'intensité des cou-
leurs sont notablement différents autour des deux axes c'est
ta <<.s'/?c/<o/t //tc/'</ïe'e.
En résume, il ne peut y avoir que trois espèces d'orienta-
tions des axes optiques dans le système monocliniquei" Ptan des axes et bissectrice perpendiculaire au pian de
symétrie.';t°rtan des axes perpendiculaires et bissectrice parallèle au
p]an de symétrie.Dans ces deux cas, les axes sont visibles, en lumière con-
vergente, du cote de leur angle <-<~Mou (te leur angle ~K.s.3" Plan des axes et bissectrice paraHe)es au plan de symé-
trie.
Mais, pour que l'orientation dans citacun des cas soit com-
plètement déterminée, il faut connaître encore i'angic queJe plan des axes ou la bissectrice fait avec des directions
connues, axes ou arêtes du crista!.
fV.SYST!'MHT!t)CUN)QUE.
a. /.MWM/'e~a/e/ – Aucune face ne donne d'extinc-
tions qui soient para)ie!es a des directions cristaiiographi-ques déterminées.
~.A;<t/c/'eco/t('e/e/~e.–Aucune )ame,paratu'e a uneface existante ou possible du cristal, ne laisse voir les (feuxaxes optiques ou, s'ils sont visibles tous les deux, )a t~isscc-tricc n'étant jamais normale aune pareiHeta)ne, ils sont <!c-
piaces dans un sens ou dans l'autre.
t)ans ce système, la position des axes optiques, constante
pour chaque substance, n'a donc aucune espèce (te rapportavec la forme géométrique et doit être déterminée en mesu-
LES PROPRIÉTÉS OP)')Q):HS))KS~)t)STA);o'i
rant trois angles d'extinction sur trois faces aboutissant un
angle solide. On y observe, comme dans le système monocii-
nique, outre la dispersion propre des axes, les dispersions~OK/tct/~e, /M/o/:<f</e et </<c/t/<ee.'parfois même, ces diverses
dispersions existent simultanément.
Comme dans les cristaux uniaxes, les anneaux qui entou-rent, les hyperboles et les lemniscates des cristaux biaxes
appartenant aiix sysuirries oi-Lliorliombi(lii(- i)iotio(~lini(lu(,~appartenant aux systèmes ortborbombique, monocliniqucet triclinique, sont de plus en plus serrés a mesure quela lame augmente d'épaisseur et que )a substance est plusbiréfringente. Mais il arrive quelquefois que les lemniscatesne sont pas visibles, même dans les lames assez minces desubstances de biréfringence relativement faible, comme lesulfate de zinc, ou que les anneaux autour des hyperbolesfont défaut, même dans des lames épaisses de substances
possédant une double refraction très énergique, comme lenitre. Ce dernier cas se présente surtout lorsque l'écartcmentdes axes optiques est très faible.
Il arrive aussi souvent, lorsque les axes sont extrêmement
écartés, ce qui est le cas gênerai autour de la bissectrice ob-tuse et se rencontre même autour de la bissectrice aiguë,que les anneaux et les hyperboles ne sont plus visibles; onvoit alors seulement les branches noires le champde l'instrument lorsqu'on fait tourner la lame.
MACLES.
Puisque dans les macles par juxtaposition tout est symé-trique par rapport au plan d'assemblage, une lame, parallèle aune face qui coupe ce plan, nous donnera entre les nicolscroisés un angle d'extinction que la trace du plan d'assem-
blage partagera en deux. Si donc on connaît les symboles cris-
tallographiqucs du plan d'assemblage et de la face a travers
laquelle on observe, l'angle d'extinction donnera l'orienta-tion du plan des axes, et, inversement, si l'on conna!t cetteorientation dans le cristal, l'angle d'extinction indiquera laposition du plan d'assemblage par rapport aux autres faces.
Soit, par exemple, dans la macle de la~. a3o (/ )7), danss
laquelle les deux neches représentent les deux directions
~0<.) MANUEL ['[!AHQL)!DHCfUSfAf,LO(.RAr)f)):.
Ild'extinction, E~e-T-<~ l'aryle qu'elles font entre elles et
<j'(iot) le symbole du plan ~\r'. L'angle ?. donnera, pat' rap-port a 01 et, par conséquent, par rapport aux autres faces deta zone ~A', puisque tous les angics/)/<o' peuventêtre mesurés ou calcules, l'orientation des axes, si leur planest perpendiculaire a .y' et s'ils sont visibles a travers cette
face, ou d'une de leurs bissectrices, si leur plan et leurs bissec-trices sont paraHéles a inversement, si nous savons queles axes ou leur bissectrice font avec /<' antérieure ou posté-rieure un certain angle (p, on aura, en mesurant s, l'inclinai-son de d?~' sur hl qui sera =: o -)- s-.
Dans les macles par pénétration, en gênera! fort complexes,on verra s'éteindre a la fois toutes les plages dans lesquellesl'orientation optique est la même, ce qui donne une indica-tion précise sur le nombre d'individus qui composent lamacle et leur position réciproque. C'est ainsi que dans lamacle de la /fj. a3~, composée de deux individus (! et H)juxtaposés, on voit dans chacun d'eux deux plages dont lesextinctions font entre elles un angle de 63"/t0'. On aperce-vrait donc facilement les quatre individus i, 2, 3, '), alorsmême que la bande striée indiquée sur la figure n'existeraitpas.
H peut se faire, la lame étant trop mince ou la substance
trop peu biréfringente, que les extinctions soient peu netteset qu'il soit, dès lors, difficile de reconnaître les plages ayantdes orientations optiques différentes. On se servira, clans cecas, avec avantage de lames sensibles dont il sera parlé plusloin et qui coloreront les parties optiquement distinctes deteintes différentes.
ANOMALIES.
Les phénomènes dont je viens de décrire les principauxcaractères peuvent, dans des cas particuliers d'ailleurs fort
nombreux, surtout lorsqu'il s'agit de cristaux de symétrie su-
périeure, subir de notables modifications qu'ii est importantde connaître et qu'on notera soigneusement chaque foisqu'on les rencontrera, parce qu'elics constituent un des Cha-
pitres les plus intéressants de la Physique moléculaire.
LES PHOPtiIËTES OPTIQUES DES CftISTACX. !o-
6'M<<xK~' cH~yHe. – Au lieu d'être isotropes, comme lathéorie l'exige, ils sont souvent plus ou moins biréfringentet montrent parfois, comme dans le grenat, la boracitc, lapérowskite, deux axes optiques parfaitement nets.
C/'M~M" <«-<f~Me.s'. /ie~e!<~M~ g< /7ie'oe<Me.s.La croix noire qu'ils donnent en lumière convergente, ,tlieu de rester fixe, se résout par la rotation de la famé dansle plan horizontal en deux branches d'hyperbole dont i'ecar-
temcnt, parfois notable, varie généralement d'un individu aun autre d'une même substance. Tel est le cas de l'apophyj-lite, du béryl, de l'améthyste et d'un grand nombre d'autres
minéraux, du sulfate de strychnine, du iartrate d'antimoineet de strontiane, du sulfate sodico-potassique et d'un grandnombre d'autres produits de laboratoire.
C/'M~M.r o/to/to/K&~MM. – En fumiëre parallèle, les di-rections d'extinction peuvent n'être pas rigoureusement pa-rallèles aux arêtes~ A' /j/t', ainsi que cela devrait être,et en différer de quelques degrés, comme on le constate sur
quelques cristaux de topaze. En lumière convergente, on peutobserver quelquefois une dispersion des axes d'élasticité quela théorie ne prévoit que dans les systèmes monocfiniquc et
triclinique. Tel est le cas de la prehnite, du mélange iso-
morphe des sels de Seignette et des sulfate et chromate so-
dico-ammoniques qui possèdent une dispersion <oK/a/</econsidérable. Souvent aussi l'image des axes n'est pas régu-lière les hyperboles manquent, les anneaux autour des axeset les lemniscates sont plus ou moins déformes. Cette der-nière particularité se rencontre également dans beaucoup decristaux monocliniques et tricliniqucs.
Toutes ces anomalies qu'on attribuait anciennement àd'inexplicables irrégularités de structure et que quelques cris-
tallographes allemands attribuent encore à un phénomènecomparable à la trempe, sont, en réalité, dues au mélangedes diverses orientations que les molécules d'un corps pseudo-symétrique peuvent prendre dans l'espace. On constate, eneffet, que ces anomalies ne se rencontrent que dans des cris-taux appartenant à des formes /</Kt< par conséquent trèsvoisines de deux symétries différentes, et l'on observe presque
3o8 MA~LEL t')tA)'tQL); DH CtUSt'ALLOm!At')f)f;.
toujours, en même temps que les phénomènes anormaux,desmacles par pénétration plus ou moins intime.
C'est à la même cause ([u'estdn le phénomène si intéres-
sant de la /7o/<s'a<<o~ /'o~<o(/ que présentent, quelques sub-
stances cubiques, quadratiques, hexagonales ou rhomboèdri-
ques. Ce ptiénoniène consiste en ccqu'tine lame qui devrait
être isotrope, par conséquent )orsqu'ci)e est prise dans n'im-
porte quelle direction d'un cristal cubique et pcrpcndicuiaire-menta l'axe vertical dans les cristauxdes trois autres systèmes,n'éteint le rayon polarisé qui la traverse que lorsqu'on se sert
de lumière monochromatique; avec la lumière blanche, elle
paraît colorée d'une certaine teinte qui dépend de t'épaisseurde la lame et qui change lorsqu'on tourne le nicol analyseur.En lumière convergente, les cristaux à un axe optique mon-trent bien encore les anneaux colorés (Jig. 25/i); mais la
croix noire a disparu dans le centre, du moins lorsque la
lame n'est pas trop mince, et ce centre est uniformément
coloré d'une teinte qui dépend également de l'épaisseur de
la lame et change par la rotation de l'analyseur. Le phéno-mène est très rarement aussi régutier; le plus souvent, onobserve des hyperboles au lieu d'une croix, ce qui indiquel'existence de f/e;<~ axes optiques, et la lame ne s'éteint dans
aucune direction, même avec une lumière monochromatiquc,ce qui indique que les sections principales des diverses cou-ches de cristal sont croisées sous un certain angle et que le
rayon émergent est elliptiquement polarisé.
Détermination du signe de la double réfraction.
On sait que les cristaux optiquement uniaxes ou optique-ment biaxes se distinguent en /o.<~<s' et /;e~<'<<< suivant
que des trois axes d'élasticité, c'est le plus petit ou le plus
grand qui coïncide avec l'axe optique unique ou avec la bis-
sectrice des deux axes. Le signe de la double réfraction esttrès constant pour chaque substance et doit, par conséquent,être toujours noté. arrive cependant quelquefois, et no-
tamment dans le cas on les cristaux présentent les anomalies
indiquées dans te paragraphe précédent, que )c signe varied'un échantiiion a un autre ou même dans les différentes
LES PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES OUSTALX. 3of)
plages d'un cristal; l'apophyllitc, la chabasie et la pennineen sont d'intéressants exemples.
11y a plusieurs moyens de déterminer d'une façon très
simple le signe de la double refraction, soit qu'on opère enlumière convergente, soit qu'on se serve (le la lumière pa-rallèle.
LL')I)ËKËCONVERGENTE.
M. C/'M~KK~eM/K'f<~e.s'.– Lorsqu'on superpose deux James
perpendiculaires à l'axe optique et montrant les anneaux avec
la croix noire de la y<y. M~, tes choses se passent comme si
l'épaisseur avait augmente quand les deux lames sont demême signe, ou comme si elle avait diminué quand les deux
lames sont de signes contraires on voit donc les anneaux se
rétrécir ou se dilater. Il suffira ainsi d'avoir a sa dispositionune lame dont on connaît, le signe, une lame de calcite quiest négative par exemple. Mais ce procédé n'est pas très
commode dans les cas, de beaucoup les plus fréquents, oules lames sont de petite dimension.
ïl vaut mieux se servir d'une iame très mince de mica dite
</Ma/'<<o/ ayant la direction de ses axes optiques dans le
sens de la longueur. On introduit la iame entre le cris-tal qu'on examine et le nicol analyseur, de façon qu'eltesoit placée à 45° du plan de polarisation, par conséquent,entre les branches de la croix noire qui disparaît alors et setrouve remplacée par deux points noirs. Ces deux points sontsitués tantôt parallèlement, tantôt perpendiculairement a la
longueur de la lame de mica dans le premier cas, le cristalest négatif; dans le second, il est /jo.;<'<t/ Comme moyen
mnémonique, on remarquera que, dans le premier cas, la di-rection des deux points fait avec la direction de la longueurde la lame de mica une droite, par conséquent ie signe –,et, dans l'autre, une croix, par conséquent le signe
&. Cristaux biaxes. Le mieux est de se servir ici d'une
lame de quartz taillée en Inseau, de far'on que l'une de ses
faces soit parallèle a l'axe optique et l'autre inclinée sur lui
de quelques degrés; l'axe optique est dans la direction de la
longueur de la lame. Si l'on interpose une semblable lame
3!00 MANUELPHAHQCEDEC!USTALLOGttA['HfK.
entre le nicol analyseur et le cristal dispose de façon a
avoir l'image de la y< a.')8, en renfonçant graducHement
a partir de son tranchant, on voit les anneaux situés autour
des hyperbotes se dilater et marcher vers le centre; les lem-
niscatcs, au contraire, marchent vers la périphérie, tantôt
lorsque la lame de quartz se trouve perpendiculaire, tantôt
forsqu'cilc se trouve parallèle au plan f7f<des axes. Uansic
premier cas, le cristal est ~c~'<'</< dans le second, il cst/o-
.«'«/ Mais, puisque dans un cristal biaxc il y a deux anglesdes axes, l'un obtus, l'autre aigu et, par conséquent, deux
bissectrices perpendiculaires entre elles, il est clair que deux
lames, normales a ces deux bissectrices, seront de signescontraires, et une substance pourrait être positive ou néga-tive, suivant qu'on t'examinerait dans l'une ou l'autre direc-
tion. C'est le signe de la bissectrice de l'angle ~'M des axes
qu'on choisit pour définir le caractère de la biréfringence de
la substance.
LL!)!l!nt);PAHALLËL!
Lorsque dans une lame d'un cristal uniaxe, taillée parallè-lement ou obliquement a l'axe, et ([ans une lame quelconqued'un cristal biaxe, on connaît la direction de t'axe unique ou
d'une des deux bissectrices, il est facile de reconnaître le
signe de la biréfringence par la considération des teintes de
polarisation. De pareilles James présentent, en en'ct, quandelles sont placées entre deux nicols croisés, des cou!curs plusou moins vives. Si l'on introduit entre l'analyseur et la famé
cristalline un mica </Ha/'<!f/o/<~e et qu'on fc place paraitcle-ment a l'axe ou à ia bissectrice dont. on cherche Je signe, lateinte monte, par exemple, du rouge d'un certain ordre de
i'ecbeHe de Newton a l'orange, au jaune, quand cet axe oucette bissectrice est de signe ~o~/< ou descend du rougea') viotet, au b)cu de l'ordre supérieur, quand ifs sont /<~<-~L'i)tconvénicnt de ce procédé est que, le plus souvent,les teintes de polarisation sont peu vives et n'existent même
pas du tout, soit a cause de la trop faible épaisseur de !a
iantccrista!iinc,soitacausedesatropfaib)e))irefringencc.On se sert a)ors, au lieu de mica, d'une lame de gypse assez
mince pour donner, entre les nicols croisés, la couleur rouge
LES P!tOPR!ÉT);SOPTfQUESf)ES CHfSTAL'X. 3ft f
du premier ordre. Ce sont alors les modifications apportées a
cette couleur par la lame cristalline qu'on observe. Si )a
teinte monte vers le jaune du premier ordre, l'axe d'élasti-
cité parallèle à la lame de gypse est po.s'<<< si elle descend
vers Je violet et le bleu du second ordre, il est /<c~{/ On
peut se servir aussi d'une lame mince de quartz, taillée pa-rallèlement à l'axe, de manière que )a direction de cet axe
soit dans la longueur de la lame. Si elle donne le rouge du
premier ordre, les phénomènes observés seront inverses, le
mica et le gypse étant négatifs et le quartz positif.
Pléochroïsme.
Les cristaux autres que ceux du système cubique, qui sont
colorés naturellement ou par introduction dans la solution
d'une substance colorante, présentent quelquefois un phé-nomène d'absorption particulier auquel on a donné le nom
de /?/eoc/<oM/Me ils ont des couleurs différentes quand on
les regarde par transmission dans les directions qui corres-
pondent a leurs différents axes d'élasticité. Les cristauxuniaxes peuvent donc donner deux couleurs et les cristauxbiaxes trois.
Pour étudier ce phénomène, qu'il est rarement possibled'observer à l'œil nu, les différences (les couleurs étant peusensibles, le mieux est de se servir d'un petit appareil qu'on
appelle la /OM/~ef~c/ï/'oxco/He de //<7«~e/ C'est un tubeen cuivre qui renferme un rhomboèdre de spath auquel sontaccolés deux prismes de verre. Le tube porte il l'une de sesextrémités un écran percé d'une petite ouverture, et à l'autre,une lentille destinée à grossir un peu les deux images decette ouverture. Si l'on regarde par transmission, au moyende cette loupe, un cristal p!éochro')'que, les deux images de
l'ouverture paraîtront différemment colorées et, pour les cris-
taux biaxes, les couleurs seront variables, suivant qu'on re-
gardera parallèlement à la bissectrice aiguë, a la bissectrice
obtuse ou a une direction normale a ces deux lignes.
Lorsqu'on a des cristaux très petits ou des lames très
minces, on se servira du microscope polarisant dont on en-
lèvera En faisant tourner la lame, on la verra
3f9 2 MA~fEL P)!ATfQLH !t): C)tfSTAH.OGnA!'n)E.
prendre les deux couleurs qui correspondent aux deux axes
d'ctasticite que la famé contient.
Mesure de l'angle des axes optiques.
Lorsqu'on a à sa disposition un des appareils pour )amc-
sure des axes que les constructeurs ajoutent généralementaux microscopes potarisants, on ncnegugera pas de faire cette
mesure. L'ange ttcs axes optiques, dans certaines limites de
température du moins et sauf !cs cas d'anomalies, est en citct
très constant pour une substance donnée.
Mais J'anglc qu'on mesure dans i'air ou dans un liquide
n'est pas l'angle vrai queics axes font dans t'interieur
du cristal, puisqu'it dépend de l'indice ()c réfraction de fa
substance et de l'indice de réfraction (tu liquide dans tequet
on le plonge. Si aE est i'an~le mesure (!ansi'air,'iHJ'angte
mesure dans un ti(juide, vêtant l'indice de ce liquide, ~l'in-
dicé moyen de la substance et aV t'angic reet des axes,
on a
//sinHIlft) s)nV –~–
(2~
(~3) '-h)E"sinH.
Les formules (f) et (2) restent les mêmes pour )'ang!e aiguet l'angte obtus des axes. Si donc on désigne par xV~, aV,
aIL,, atL,, aE, r<Eoics angles aigus et obtus reeis et mesures
dans !e Hquide ou dans t'air,et si l'on rernarfjue que
sin\t~cosV,onaura
,n,V~ ~.mUn
~'j) t.an~Sjnt'.n
(R) 3--"tV~.V'~
( ) sin)~,~sinV.- (l
LES t'nOP)UËTtSOn'fQC);S))ES(:)USTA)X.if~t '1'
Les équations (t)et (a) permettent de ca!cufer!'angieree)au moyen d'une seule mesure lorsqu'on connait ,3 et. tes
équations (.'i), (5), (G) et. (~) exigent deux mesures, mais
permettent (te trouver, outre t'angie réel, l'indicé moyen de !a
substance. Il est vrai que l'indice ainsi ca!cuie n'est guèreexact, dans les conditions les plus favoraijies, qu'a la troi-
siemcdccimafe,parsuitcdet'inexactitu(teiidie)'en)e a la me-sure des axes, mais on est souvent oidige de s'en contenter,la substance ne se prêtant pas a la taiiie de prismes.
Nous avons vu que les axes avaient, en raison d'une disper-sion propre, un ecartcmcnt. différent, pour les différentes cou-
leurs du spectre. On mesurera donc l'angle des axes, autan)
que possibte dans différentes lumières monochromatiques,rouge, jaune et verte par exempte, en employant, pour cela
soit des verres cotores convenablement choisis, soit, ce quivaut mieux, les Hammes de lithium, rie sodium et de thai-lium qui correspondent a des raies déterminées du spectre.On ajoute aiorsau signe'<V, qui désigne !'angie vrai des
axes, et aux signes aft et 2E, qui désignent )'ang)e des axesdans t'huile et dans t'air, les lettres qui indiquenUes couleurs
V, '<V;, etc. Lorsque la dispersion est très )'aih!e. ce qui est lecas le plus fréquent, on observera les couicurs qui bordent les
hyperboles placées à .'i.~du plan de polarisation (y~. ?,i8) si)e rouge se trouve piacc a re.c/c~ c'cst-a-dire à !a partieconcave des hyperboles et le b!eu à i'e/eK/ c'est-a-dirc à
leur partie convexe, ce sont les axes rouges qui sont le /~r;</i.;
écartes. On a l'habitude de designer les axes rouges par &,)esaxes violets pare et d'indiquer brièvement Je sens de la dis-
persion parte signe c<t.
Dans le système orthori~omijiquc, iiestfpxdquefbis pos-sible de catcuier l'angle réel des axes optiques sans cmpioycrdeux lames. Si nous pouvons mesurer t'angie apparent des
axes dans l'air a travers deux couples de faces de deux formes
appartenant a une zone dont i'axc est perpendiculaire auxdeux bissectrices, par exempte dans i'orientatiou 3 de ia
/< 25. à travers deux faces M et deux faces ou nous
obtenons deux équations qui nous permettent d'éliminer leterme S.
Les angles w/~ et étant les suppléments des angies
3t'j MANUELPHATtQLEDE C)!)S't'ALLOG[tAPH)E.
dièdres des deux prismes, o.E' et -<E' les angles apparents me-
sures dans l'air u travers les deux couples de faces, on aura
tan,~–~––~––
– V
,a~(~)1 x~r~'
_'71212t t l
~Yi~i-T'EI~) d
ce qui donnera V et, par conséquent,, aV, puisque le terme
l.,x~ –?!,7!~––~–~––
est connu.
Par exempte, dans le sulfate de potasse dans lequel te.s axes
optiques ont l'orientation 5 de la y~. 255, leur plan étant pa-rallèle à et leur bissectrice f«'~M~perpendiculaire à p, on
peut facilement mesurer leur angle apparent a travers deux
faces <~ dont les normales font entre elles io6°33' et deuxi
faces e~ dont les normales font entre elles C'38'. On trouve
pour les deux angles des axes optiques ~)"56' et 66° 5a'. On a
ainsiOm_>r5°~r'J'
tan~(\{3°33' – V.) ==tangc~ ––~–b ,bLau~ î'j
d'oùi~V==33"33' cL ~V=-.C7"(i'.
Marche à suivre pour l'examen des propriétés optiques.
On peut se proposer ici deux objectifs différents ou bien
déterminer le système cristallin, lorsque les mesures gonio-
métriques laissent des doutes; ou bien rechercher les pro-
priétés optiques, la forme géométrique étant connue.
1. De<e/M{/ta<to~ f/H .<e/Me c~'M<f< – Nous avons déjàvu que les exemples sont nombreux de substances possédantune forme limite qui ne diffère que de quelques minutes
d'une forme de symétrie supérieure; l'angle du prisme ortho-
rbombique est souvent extrêmement, voisin de r)o" ou tao",l'inclinaison de p sur /<' dans le système monoclinique et les
angles~/t', /?. et /< du système triclinique peuvent être
presque droits. D'autre part, les faces ne sont pas toujours
I.HS PROPRIÉTÉSOPTIQUESDESCRtSTAUX. 3)5")
suffisamment réfléchissantes pour donner des mesures exactes
un quart et même à un demi-degré près. Il se joint, quel-
quefois à cela une autre difficulté, le manque de zones néces-
saires pour la détermination des formes primitives; un prisme
quadratique, par exempte, qui n'aurait aucune modification
sur ses angles ou sur ses arêtes ne pourrait pas être distinguéd'un cube. Dans tous les cas ou il y a incertitude, les pro-
priétés optiques donneront d'utiles indications et permettrontde décider la question.
On commencera par examiner le cristal en lumière conver-
gente dans différentes directions; on le fixera pour cela sur
une lame de verre avec un peu de cire ou de baume du Ca-
nada. S'il est uniaxe, et s'il n'est pas très épais, on trouvera
après quelques tâtonnements une direction dans laquelle on
apercevra dans le champ du microscope les anneaux coiores
et la croix noire plus ou moins déformes par l'obliquité, Il n'ya plus qu'a redresser le cristal pour avoir la position de l'axe
optique, qui coïncide, comme on sait, avec l'axe vertical c.
Toutes les faces s'orienteront alors très facilement.Si le cristal est biaxc, on trouvera généralement deux
directions dans lesquelles on voit des anneaux traversés parune branche d'hyperbole. On cherchera alors une face a tra-
vers laquelle les deux axes soient visibles; si leur centre &
(~. a.8) est au milieu du champ du microscope et si, par
conséquent, leur bissectrice est perpendiculaire a la face, on
conclura que cette face est un plan de symétrie. Une sem-
blable face peut ne pas exister, mais les axes peuvent être
visibles a travers deux faces adjacentes sur lesquelles elles
occupent ia même position, ou bien on voit les axes dans )e
voisinage de l'arête des deux faces a laquelle ils sont. paral-lèles.
On taille alors une face tangente à cette arête, et si le plandes axes vus a travers la face artificielle est au milieu du
champ du microscope, cette face est un pian de symétrie.Lorsqu'on peut, avoir ainsi dans un cristal deux faces rectan-
gulaires entre elles, qu'cUcs soient d'ailleurs naturelles ou
taillées tangentiellement a des arêtes existantes, formant
plans de symétrie, on est sur que te cristal est orthorhom-
biquc. Cet examen en lumière convergente présente quel-
3)6 G MA~L'ËL PitATfQLE DE OtISTALLOnKAPfHE.
quefois d'assez grandes difficultés, car les axes, surtout autour
de la bissectrice obtuse, peuvent être tellement écartés qu'onne les voit pas et qu'on ne peut juger s'ils sont égalementécartés du centre du champ, 11vaudra donc mieux employerla lumière paraHete et observer les extinctions. Les fils du
réticule que porte l'oculaire, une fois placés exactement
dans les deux plans du poiariscur et de l'analyseur, on fera
coïncider l'un d'eux avec différentes arêtes, et i'on notera
celles parallèlement auxqueifes l'extinction se produit. Si
dans deux faces /'ec<<M~K~c. entre elles, qu'eites existent
reeUemcnt dans le cristal ou qu'elles soient taiitécs sur des
arêtes existantes, on obtient des extinctions paraHeies a ieur
arête commune, la symétrie est ortitorhombique.
Lorsque, dans les couples de faces rectangulaires entre
elles, qu'on rencontre dans le cristal ou qu'on produit par la
taille tangentiellement aux arêtes, itnc se trouve pas M/M.?c«/c
face donnant une extinction suivant i'arete du couple, le cris-
tal est monoclinique. Pourtant ici il peut y avoir incertitude.
Nous savons, en effet, que dans le système monocliniquetoutes les faces de la xone/~A' sont perpendiculairesnous avons vu aussi que le plan des axes peut être paraUcicau plan de symétrie, les extinctions étant dans ce cas paral-lèles aux arêtes /?'/) et /t\ or, parmi les faces /< fï~, o'trouvées dans cette zone ou tangentes a leurs arêtes d'inter-
section, on peut en rencontrer qui fassent entre elles un angletrès voisin de go", et nous avons précisément suppose quel'état du cristal ne permettait pas de mesures rigoureuses. On
aura recours alors il la lumière convergente, et l'on consta-
tera qu'aucune des deux faces n'est perpendiculaire la bis-
sectrice et que les axes présentent la dispersion /w{~f<
ou /c/ee. Les trois espèces de dispersion des axes d'élas-
ticité constituent d'aineursun cxccHent caractère pour recon-
naître, même avec une seule face, la symétrie monocimiquc.
Lorsque aucune face existante ou taillée tangenticllementaux arêtes n'est perpendiculaire à une bissectrice ou lorsqu'enlumière parallèle on n'obtient aucune extinction qui soit
parallèle à une arête, on a affaire a un cristal tricHnique.
2..De~e/Mt'o/t ~M')/'o/tc'4'o~<«e.s' <«/~ye'<e~eo-
L);SPRO!'K)~TfiSÛ)'Tf()Lf;S))f-;Sf:t!)STALX. 3iy
/7ie~eco/i/<f/c.–Pour les substances /<c.s', H n'\ a~i
qu'à cherche)', par l'un des procèdes qui ont été décrits, le
signe de la double refraction. On aura soin d'indiquer si une
lame perpendiculaire a l'axe montre quelques particularitésen lumière parallèle ou convergente, dislocation de la croix
noire, macles intérieures, etc. Pour les cristaux o/'</w/w/<-
&«/MeAdans lesquels les axes ne peuvent s'observer qu'a tra-
vers les faces /t', et /), on trouvera généralement i'une au
moins de ces faces; au besoin on usera un peu les deuxarêtes opposées w/M, as ou ee. Si l'une des facettes ainsi ob-
tenues ne montrait pas l'image (les axes, c'est qu'elle serait
parallèle à ieurpian, et il n'y aurait plus qu'a tailler des lamessuivant les deux autres plans coordonnés pour avoir les (feux.bissectrices.
Pour les cristaux ~M/Me/«yMc.s', on commencera par tailler
une lame paraiieiement a si cette face ne se trouve pasparmi les faces de cristal, en conservant. le plus possible les
arêtes que les faces de la xone/<' font avec Ici deux cas
peuvent se présenter:a. Les axes sont visibles a travers la lame; leur plan est
donc perpendiculaire au plan de symétrie, et il faut détermi-ner sa position par rapport a une arête connue. On choisira
pour cela l'arête qui parait Ja plus nette, /< je suppose
(/< MQ), on la mettra parallèlement au fit du réticuieet l'on tournera la platine du microscope jusqu'à obtenirl'extinction. On aura ainsi l'angle o, mais ij peut être situe a
gauche ou a droite il faudra, par conséquent, donner enmême temps l'angle ~que le plan des axes fait avec une autre
arete, l'arête dans l'exemple de ia/ ~5(). Cet ang)e n'a,du reste, pas besoin d'être mesure, puisqu'on connaît,/ etqu'ona M== )8o"–(~-y): il est évident que, s'it s'agissait d'uneface autre que p, d'une face ox ou on prendrait, au lieude y, l'angle e~A' ou a- La position du plan des axes seradonc parfaitement déterminée lorsqu'on dira qu'il fait aveci'aretc <7/~c/'{'eM/'e un certain angle o ou avec une nor-male a /< antérieure un angle o'oo"–r; et avec l'arête
un certain angie r,), ou avec une norma!e a /)~ un angie~)'=f)o"–M. On peut dire encore, ce qui est plus simple,que le plan des axes fait avec i'axc vcrticafc, dans l'angie
3t8 MANUELt'HATtQL'EDE CR)STALLOGnAt')n)'
aigu un certain angteo. Il n'y aura plus qu'a indiquer
laquelle des deux bissectrices est perpendiculaire a Si
l'angle des axes mesure </r<s' l'huile à travers dépasse 90'on est à peu près sûr d'avoir affaire t la bissectrice f~c, et
il faudra tailler une autre lame pour avoir la bissectrice
a~Kt; cette lame est, cri tous cas, nécessaire pour ic calcul
de l'angle réel des axes 3 V. Sa direction iA ( <if)) devant
être perpendiculaire a la trace du plan des axes et a ta face t,elle fera avec la face p un angle dièdre de 90" et avec la
face postérieure A' un angle dièdre de 90" On taillera
approximativement dans cette direction, en s'aidant d'un go-niomètre d'application si la dimension du cristal le permet;on examinera au microscope la lame lorsqu'elle est encore
épaisse et on la redressera, s'ii en est besoin, en i'usautd'un
côté ou de l'autre.
b. Les axes ne sont pas visibles a travers la lame taillée
parallèlement à y'; leur plan est alors parallèle au plan de sy-
métrie, et il faudra chercher la position des bissectrices. On
procédera, comme on l'a fait dans le premier cas, a la mesure
de l'extinction par rapport a une arête, l'arête par
exemple (~. sSg); supposons que la direction de l'extinc-tion soit la même que précédemment et qu'on ait trouve un
angle 8. L'une des bissectrices sera donc parallèle et l'autre
perpendiculaire a cette direction, faisant, comme il est facilede le voir, le même angle o avec une normale à face anté-
rieure. Il faudra alors tailler dans la zone /?A' deux lames
telles, que l'une d'elles, HB, soit parallèle à l'extinction et
fasse, par conséquent, avec antérieure un angle dièdre de
j8o°–o et l'autre AA perpendiculaire a l'extinction et fasse
avec h' postérieure un angle dièdre de 90° -)- o ou avec~ un
angle dièdre de 90° -r- 0.
On fera bien d'opérer les mesures d'extinction avec deux
ou trois lumières monochromatiques différentes qui donne-
ront quelquefois de sensibles différences dans les angles, parsuite de la dispersion propre aux axes d'élasticité. On notera
le caractère de cette dispersion, qui peut être /t~f.)/~f</e, t~-
c/t'~ee ou c/'oMee.
Pour les cristaux <<c/tt</Hey, qui n'ont aucun pian de sy-
métrie, on déterminera la position des axes ou des bissec-
LES t'OP!!)ËTËS OP'DQL'ES DES CtHSTACX. /!m
trices en mesurant, comme on l'a fait pour le système mono-
clinique, ies angles d'extinction dans trois faces aboutissant a
un angle solide. Le mieux est de prendre les trois faces
A', ou de tailler trois lames qui leur soient parallèles si cesfaces n'existent pas. On trouvera ainsi les directions exactessuivant lesquelles il faudra tailler les deux lames perpendi-culaires aux deux bissectrices; ces directions seront plus oumoins inclinées sur les arêtes ou les angles solides fortnes parles trois faces ~o,A', On notera également ici le genre de
dispersion observé.
Quelques remarques générales se rapportent a tous lescristaux biaxes indistinctement.
Il faudra déterminer dans tous, par l'un des procédés quiont été donnés pour la lumière convergente ou parallèle, le
signe de la double réfraction.
Il faudra également, dans tous, mesurer l'écartement des
axes, du moins pour l'une des bissectrices, si la petitesse descristaux ou des difficultés spéciales ne permettent pas d'avoirdeux lames. Les lames doivent être taillées assez minces pourque l'image des axes soit aussi nette que possible, et que les
hyperboles soient assez larges pour rendre facile leur coïnci-dence avec les fils du réticule.
Il est toujours plus avantageux d'opérer les mesures dansun liquide d'un indice un peu élevé, l'buiie décolorée parl'exposition au soleil, par exemple, car les axes même trèsécartés et invisibles dans l'air peuvent ainsi être observés, et,d'autre part, les lames n'ont pas besoin d'être polies pour être
parfaitement transparentes.On mesurera l'angle des axes, non dans la lumière blanche
qui donne un angle moyen, mais en interposant devant l'ocu-laire des verres colorés le rouge et le vert qui sont le plus mo-
nochromatiques, ou mieux, en éclairant le polariseur par uneflamme de sodium, de tnallium et de lithium. On aura ainsile sens de la dispersion propre des axes p1~ et l'écart entreles angles, pour les différentes couleurs, pourra être quelque-fois extrêmement considérable.
Si l'on possède une cuve munie de thermomètres, il serabon de mesurer les axes à diverses températures, réchauffe-ment faisant souvent varier notablement leur angle.
3~0o MA'<L'HL)'f!A't'fQL'ED)!C)USTA).).OH)tAP)!)i;.
Comme pour les cristaux uniaxes, on aura soin de noter lesanomalies qu'on rencontrect,part.icuiierement,icsvariatiousde i'angie des axes dans les dinereuts écitantiifons d'unemême substance.
Taille des lames.
Je ne donnerai ici que quelques indications sommaires, )a
pratique permettant seule d'acquérir )'c\periencc nécessaire
pour se tirer d'affaire (iansc)iaque cas particulier.Les substances dures, tefies que la ptupart de celles qu'on
rencontre dans ta nature, sont usées sur des plans en fonteavec de l'émeri plus ou moins gros, qu'on humecte avccdet'eauet qu'on renouvclle lorsqu'on ne le sent plus mordre. Si le cris-tal était très gros et la substance très dure, il serait préférable,
pour gagner du temps, d'en détacher a !a scie une tranche
plus ou moins épaisse qu'on taillera ensuite. On emptoie pourcela un arc en bois ou enjonc temtu au moyen d'un fit de fer;on indique d'une manière quetconque sur ie cristal la direc-tion dans laquelle le sciage doit être fait; on fixe solidementle cristal sur une famé (te verre au moyen du baume du Ca-nada ou mieux d'un mastic compose de deux parties de co-
lophane et d'une partie de cire jaune qu'on ramoftit par ia
chaleur; la iamedeverre est eHe-meme fixée avec le masticsur un cube de bois. On humecte alors le cristal d'une bouillieassez liquide d'cmeri et d'eau et l'on scie avec le fil de l'archet.
La tranche une fois détachée, on )'usenn peu de façon arendre l'une de ses surfaces ptanes et on la coHe sur une pe-l[tc lame (te verre avec du baume du Canada sofidifie qu'on
Hquefie en ]e chauffant a la lampe. Ou use alors la seconde
surface, on l'iuimectc avec un peu d'eau ou d')miie et l'on re-
garde au microscope si )'on est bien dans la direction; aubesoin on redresse iaiamecninciiuautdu côte convenaideia
petite tame de verre qu'on tient, a la main. Lo!'squ'on a oi)-totu la direction cherchée, il n'y a ptus qu'a continuer l'usure
pour arriver a J'epaisscurvoutuc. i'our terminer, on usera les
(teux surfaces sur (tespians en !aiton avec des emeris de p!usen plus fins. On n'a, en gênera!, pas besoin de pousser.jus-qu'au poli, puisqu'on peut toujours itumcctcr ics préparationsavec un iiquide ou les noyer dans du baume du Canada, et
LES DtOPtUËTËS OPTIQUES ))MS CJOSTALX. 321
2)
qu'on mesure les axes dans l'huile. Si l'on voulait, cependant,polir les lames, ce qui est assez difficile, surtout si la sub-stance n'est pas très dure, on les frotte avec un peu de rouged'Angleterre et d'eau sur une surface tendue de drap, ou asec sur du papier avec du tripoli très fin.
On usera les cristaux artificiellement obtenus, qui sont gé-néralement très tendres, sur du verre dépoli à grains plus oumoins gros, en se servant d'un liquide qui ne dissolve pas, oune dissolve que difficilement la substance i'cau, l'alcool, lepétrole. Il n'y a jamais besoin de les scier, car ils s'usent très
rapidement, et il suffira de les couper avec une pince ou avecun canif s'ils sont trop grands. On conservera, bien entendules faces qui serviront il orienter ta position de ta lame qu'onse propose de tailler. Dans le cas ou la substance est anhydreet supporte l'élévation de température sans se décomposer,on procédera comme pour les substances dures, et l'on fixerale cristal sur une lame de verre avec du baume du Canada, ce
qui est toujours plus commode, surtout lorsque ie cristal est
petit.Dans le cas contraire, on prendra un morceau de cire ilmodeler un peu dure qu'on fera adhérer à une lame de verre;ony creusera une cavité dans laquelle on placera te cristalen tassant autour de lui la cire de façon a le maintenir aussisolidement que possible. Si le cristal est assez grand, onpourra tout simplement le tenir entre le pouce et l'index enl'inclinant du côté suivant lequel!) s'agit de tailler. C'est icisurtout que l'habileté acquise joue un grand rù!e.
On ne polira jamais les cristaux tendres, on se contenterade les frotter pendant quelques instants sur un morceau desoie très fine.
Exemple de détermination des propriétés optiques.
Nous nous proposerons de déterminer les propriétés optiquesdu sulfate de fer qui est monociinique ctdont la~ C(p. iG.'))donne la forme géométrique.
Puisque la face o" existe, nous n'avons qu'a coucher lecristal sur cette face et à l'examiner en lumière convergente.On constate ainsi que les axes ne sont pas visibles à traverscette face, ce qui pourrait tenir, il est, vrai, il leur grand écar-
322 MA~LKL!'HAitQtŒf)t;f:H~STAH.OGHA!'ft)E.
terne))!; muis, en tournant la )amc autour (~et'uxcdc l'instru-
ment, on n'aperçoit, dans aucun aximnt de branches d'hy-
perfjote qui devraient se croiser au milieu du champ pour la
position paraitèie au plan (te potari.-atiou (/ f/. /),)-).Nous sommes donc surs que !c p!an des axes est/.w~c/<; au
plan de symétrie.Nous examinons alors te cristal en lumière paraHeie, e!.
nous p!a':ous le fii du rcticuie suivant rareté (/ A) et
nous trouvons que la direction de l'extinction fait avec cettearête ou, ce qui revient au même, avec l'axe vertical c un
angle de t3''i/, situé dans l'angle aigu y et, par conséquent,un angle de ~6° M' avec l'axe a, puisque 8()"3c/. C'est doncdans cette direction ee que se trouve l'une des bissectrices,et il faudra tailler la lame ){BB!! pour voir les axes qui se
trouvent autour de cette bissectrice. La seconde bissectricese trouvera dans une direction perpendiculaire, suivante,et, pour voir ['autre couple d'axes, il faudra tailler la iame
AAAA. Les deux lames doivent naturellement se trouver dans
)a zone/< et être, par conséquent, normales a.Les axes étant très écartés et en dehors du champ du mi-
croscope, il est difficile de juger si la lame est bien perpen-diculaire aux bissectrices on s'assurera donc au goniomètre
d'application qu'elles sont dans la bonne direction. II est facilede voir, en effet, sur la y7~. A que la direction ec' doit faire,
LESr)tO['f!ttTËSOPT)QtJf:SUM(;)!)STALX. 3?.3
avec/t' antérieure, unang!ediè()re de 180" t3"f~ -66°/j3'et avec !eso'et a' des angles dièdres o'/<' f3"6~'tt'
et a'A – t3°t~' r= ~5"3', puisque
a'Ct'G' et ')')8o"–(/<<)'~).t~(p.,G6).
Quant, a la direction &&il est manifeste qu'eiie (ait avec A'
antérieure un angle dièdre )66"~3'–()o"6"/)3'etaveca'un angle dièdre de tSo"– (';6°~3' – M'A') !65°3'.
La mesure de t'ecartetnent des axes dans i')iuiic,donti'in-dice a été trouve pour te verre rouge t.~C.~ et pour le verre
\ert 1,io, donne
C'est donc la lame BBBB qui donne l'angle aigu des axeset c'est, par conséquent, dans la direction ee que la bissec-
trice aiguë se trouve. L'introduction de la famé prismatiquede quartz montre que cette bissectrice est positive. On dis-
tingue assez nettement que les couleurs qui bordent les deux
hyperboles ont des intensités différentes.
La formule (!) (p. 3[a), dans laquelle on a n~~ /)3"2' pourle rouge et 4'2''5/ pour le vert, 11~= 4y°33' et ~48' pour ces
deux couleurs, nous donne
t.ameAA. L.tuhiiiM.
Verre rous'p. <))"T 8G°~'i,Verre vert. 85"ji'
!ogsin {3° a' f),834o5 logsh) ~'<7' g,83.338Jogsin 47°33' – f),8G~<)8 )og-,in .i7".i8' f),8'i;~o
IogtangV,t),96607 IogtangV,9,i)G3C8
V~=~~G' \'t,2-'36'
?.V,.=85°3~' ~V~=~~2'
On aura, d'après )uformuie(6),
Iog/<–o,)().'i8f) Iog/=o,.<i;3'<
iogsin. a'==;),83',o'i log~in4~=(),83338
');9')99t 0,000:0
!ogsi)t.)?.°4<o,83t88 )ogs)n~.t°36'-=<~83o5t
!og~=o,[C8o6. )og3..=:o,i;un)
3''==',47'~ ~–i;9-
32 ç MANUEL t'HADQLE ME C!S)ALLOGHA)'t))E.
Il est facile de voir, au moyen de la formule (3), que dans le
cas actuel les axes, même autour de ta bissectrice aiguë, neseraient pas mesurables dans l'air. On aurait, en effet, pour )everre rouge, par exemple
tos;siu ,3° a' f),.S3i')'i
to~ o.tftj.Sf)
)ogsiu)- 'j/J'JU'ji ¡
Ë, 8~.f
~H, j;8"8'
En résume, les propriétés optiques du sulfate de fer serontdonc ainsi caractérisées
Plan des axes optiques paraUéle au pian de symétrie; bis-sectrice aiguë faisant un angte de i3")/ avec l'axe vertical cet un angle de ~6°22' avec l'axe a. Double réfraction ~o.«</ce.Dispersion propre des axes faibles p>c; dispersion t/:c//Me<?
peu marquée
2V,.=:8-j°32', ~V~r..t': ~),?.'i, ~),7~8.
THA!SFOR))A')')Or<UHSSY)i)!OmS. 3~5~')
TABLEAUX
pm'nn
TRANSFORMATION DES SYMBOLES DE MJLLER
E\ SYMBOLESBE)jKVY,Mm~E)'WE!SS.
Ce sont les symboles de Miller et ceux de ~f'tv~t pour le systèmerhomboédrique qu'on a pris pour terme do comparaison, puisque cesont eux que nous avons employés dans tous les calculs. On trouveradans ces Tableaux, après le symbole général de chaque forme, une série
d'exemples pris parmi les formes qui ont 6t6 rencontrées dans le cou-rant de l'Ouvrage. Quelques remarques préliminaires sont nécessaires ici.
/{e/?!Kc Les sommes et les diuorenccs, comme /;– /–/;–/–y' sont dos sommes et des différences <r</g'e&Me'i';il importe donc de faire attention aux signes qui affectent les caractc-
)_ <
ristiques. Par exemple, dans ie symbole del'hemipyrarnide,
monoctinique qui, dans la notation de Ze'< représente la forme de
~M/cy, /< doit (''tre considère comme négatif; on aura donc, si la formeest 3 a /<-+- – – 3 2 –t et /< – – 3 – 2 = – 5.
Les dénominateurs des fractions du symbole de /.e~/ étant toujourspositifs, on ne fera pas attention au signe qui affecte les nombres ) et ')
1et l'on écrira ~< J! n'en est plus de même lorsque dans le systèmehexagonal ou rhomboedrique on trouvera, soit dans les symbo)es do
.B/w~t\, soit dans les formules de transformation de ces symboles en
symboles do /b~7/e/ des expressions comme ––/f ou –/f–
Soit, par exemple, le prisme dodécagone /o (p. 338), pour lequelon a /< =– r– /t, et qui correspond à dans la notation do 7,c'('Si l'on prend le prisme t a~o donne comme exempte, on a ~= 3– = )
d'autre part, 6 – a == /i, = 4 – 3 --r – – –- 3 –. parconséquent ~15.
1 1
/<eM<7/Ke – Dans le système monoclinique, les svmbotes /r) t 1
et c~r de /.e<~ qui se rapportent aux hcmipyramidos placées sur
3a6 )i,~Ct':).P)tAT)QLHUKt:)~ST,U,L()(.)tAr'))H'.
les angles postérieur et antérieur f<et. o (/ 1'). peuvent être
simplifiées lorsqu'on n.r==s on ~-===; on peut les écrire a!ors sansaucune ambiguïté <7. ou o,.n,.H n'en est pas de même pour les
1 i t
hemipyramidf's dont )ess\'mboJes sont/f/ et ~caron pour-rait confondre les faces qui s'inclinent vers Fa~~gio~avec f'et)es(]uis'incHncnt\ersiang)c«.
7~e/<c – Dans co système urtitori~ornbiqne, aucune confusiont t i t
n'étant possible, ics deux syrnbo)es/7r et < pourront êtreécrits f; ou e~, c,. Iors(pt'on aura .=:ou~
~e;?!<7y~Hc/y.– Il est évident que, dans les systèmes fjuadratiquc,hexagonal et rhomboédrique, tous les symboles a trois iottrcs do /.c'i'peuvent être simplifies lorsque l'un des deux premiers dénominateursest cgat au troisième.
7~c/<e– ~?/);<7/< a donne deux notations pour )e svsteme
rhomboedriquo. Dans l'un, il considère le rhomboèdre comme dérivepar hémiedrio do la pyramide ncxagonato et écrit io symbofo gênerai
dusystème–~–~ auque) ii donne (juctquefois !a forme pius simple1)
7HM/<. Dans t'autre, il fait dériver le rhomboèdre du scatenoedro. avecte symbole gênera! ;?:'R/ dos trois axes i[orixontauxau\()ueis il rap-porte ce scaicnoëdre, deux sont de première espèce, faisant par consé-quent entre eux un angie de f'~o", et un de seconde espèce, faisant avecles deux premiers dos angles do oo" et 3o°. Pour passer de t'une de cesnotations ut'autrc, on a les formules
//?.C?.–)~/<–––,
'2//~–– /<–
~–/< /;–f
La seconde notation est peu usitée et ne se rencontre que dans quot-ques anciens Ouvrages de .\fin6ra]ogio.
7<c/M~/Y/Ke~Y.–Dans )osysten]orhondjocdrique, la notation de~e/.w a été rapportée, pour plus de simplicité, non aux quatre caracté-ristiques de ~<7('a/.f, mais aux trois caractéristiques do .e/
TRANSFOKMATtONDES SYMBOLES. 3a~
TAfiLEAU Système triclinique.
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d'uptÈs~'aumanii. 'AT.¡J'aprèsXaUm8111l. VAT.
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)u.nr)us)tEs.
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TABLEAU 1. Système triclinique. (Suite.)
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TKAXSFORHATtONDES SYMBOLES. 32()
TABLEAU I. Système triclinique. ('Suit.c. )
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33o MAXUELPtiATtQLECEC)!<STAf.f.OnRA)')nE.
T.UiLEAUii.–Systèmemonoclinique.
\0)!S.,ESFORMES,LLEH. ).)tYY. XAUNA~xJWKtsS.\'O;ISDESfOrOIES'HLLE!Il. OnSE! ¡J;y, 'A¡;;IA~ \l';¡SS,d'aprè":\auman:L VAT.
rtXACrjtDF.s.
'Hase. x</x~ cOinopiuacoïdc. .?' x~x !xf<!0rtit<.)pinacoi'de.i xPx a &xe~
t'mitHEs.
!rotoprismc.fjo
/Mxt' ~:&:xc!c
!C.!inoprisrn(;s. /) x)' .<xe C
f.ioj xP:! .<XC~0 xf'! :XC
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OrLhoprismcs. /<f)~/t. /< !<xc
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'J n ¡" Pl, b ~J:.ct~' xP'i~&:xc/f x[' !<-<:<<:xcc
))KMtDO)fF.S.
!Hcmicfinodomes."< e~ -Px -cc~f e' )'x
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i o''i xi'x x~'<c Cc'a e2 -t'xz x~c~ c
'orLhodùmesant.o'. t f/' !–,t'x~<:x~c c'o' ~t t'x !x~:f:!f); f)~ -t'x /X<C r;
Z ~x~e ('
TftA~'SFOtMAt'fO; DES SYMBOLES. 3.'{f¡
TABLHAU Il. Système monoclinique. ~Suite.)
M~DKSFO.UlKS j. <MA-<X.! w):f.s.')(f['r~s~iium;jt)n.~in.
.n.ort.hodumcspocL. /;“/Id < /'py~x/<c~ G
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jfI.cHnopyram.ant. A/<Z1, /< .i.~l,1.
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'3() -t~)!;i/c! c
~g~ :,S].-fi~ C
33a MANUELP)!AT)Qr!; DE CRtSTALLUGttAt'tXE.
TABLEAU H. Système monoclinique. (Suite.)
KOMSDiJSt'OHHES M,u,ËItJ" LEVY. XAUHAXX.~ WEfSS.
tt'apr~s~'aumf'nn. ~AT.
1
H.ctinopyi-am.posL. A< ~7~~A"7~
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H.ort.hopyram.ant. /tA<C /<> ~f~'+<-~P~ ~<c cH. orlhopyram. ant. hl.-I /¡ > 1.-
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t l2 2
2~3 f.<t~=0;(') –~P2 2ft:<C2133' 3
1 1 1
post.. AA'/l /t> k+~P~ ~c
32t A'~At --3P~~6:3e2 2
/i /i.~33 6~6/t:i -s
f_
-t-~Pa z 2a':&c c
ait &A'=C!:}(') -2P2 2ft':&:2C
(')Yoir~c/M~/Y~/t'
TRANSFORMATIONDES SYMBOLES. 333
TABLEAU Ht. Système orthorhombique.
tOMSDESFORMKa,vy ~AUMAXX. WEISS.
dapres~aumantt.'IlLLEIL
\A1.U;VY, :H[;)!o;:> WEISS,
rl'xyrès\aumunn.
1
\1.1,.LI~;VY.
1
\VEISS.
rtNACOÏDES.
j Base.oo) OP xa:x~:c c
Drachypinacoïde. 0~0 xPx
T:<:<x.eMacropinacoïde. 'oo A' xPx f<:x~:xc
rmSMHS.
Proloprisme, 1 1 0u zrt l'l' cz b c I~Protoprisinc. 110
Ht
xP
A
''x:&:xc
~Brachyprisme-i. AAoo /«/ k .A x)''/t ~xe~A A
'~o0 y2 x!i .f<:&:xc!
`zo /;j fÎ' >cc:G:fc~o xi' :<c<xciA~
kMacroprismes. /to u /t> l xi'-
lt-yr c.Macrnprlsmes" k ho '> k h'k Z
C,l
Z
z o Asx!
3-a~:xe f c
~'o o x),i3
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:i~:&:xc~
DOMES.t
Hrachydomes. o/ C gA"t'x x~'6-c
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l el !'xz xK:~c c
o~ ça -'Px x<-<e2 a
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iMacrodômes. /t0< a/t ~'fx, a:x~c
'o' f!~ i'x, <r<:x&:f; c
'o:!2 a~ -Fx. a'x6'~c c
.02 ft~ ~p~ ~:x&C c.)02 Cc~S ~y. Cl -c)
<')Voir/tf;y/~< t~r,
33~É MANUEL PftAUQU)! DK CKfSTALLOGRA)'!HH.
TABLEAU tl[. Système orthorhombique. (SuiLo.)
~OMSDESFOHMKS~Ons.:K- XAUHAXX.WEfSS.
daprf'a~aufna'it). VA't'.
['YHAHtDHS.1-lS.
/'“ A
PYI1AJIIDES...1
Il h!Prot.opYrami<.)cs. /t/'< & ~c
tt'j &' f<:&c
22:! &~ l'a:&c
!Hrachyp;'ramidcs. li l~ /t: ~A- ~:&c~C
33.~'&e5('; ~<:&:3c~
.')
t~2~)/i~ t~ 2<Ï:U:C
'23~i~=e,(~ 3'~ '<t:&jC~
a3
2
li h 1 h 1 ~1--h h
Ilh
CAfacropyramides./A/
/t> < A'-«: <c' <
3ti[ 1 &<' 1 /11 3?' !n:&:3c! c
3t..)2 &~&i.«i!(') e)-2
l' :J3ft:c!
'!i313 ~~A~-H~) ~i'7.2 2a:&c c
(')Vu)r/?~7'<y~ë/
TRANSFORMA't'fO~ D!S SYNBOLHS. 33,'i
TABLEAU IV. Système quadratique.
NOMSDES FORMES. MILLER. LEV\ XAL'MAXX. WEfSS.
Base. 001 Oi' y.<xK:c!
rr.tsMES.
ProLoprisme. ;;o m x)' f<: M:xCj
DeuLëroprisme. tuo /t'1 x)'~ f<:xf<:xc!
/< APrismes ocLogone-i. AAo0 /– ~~7 ~M:xe'
~o /<~ ~«:xc({ z. C
3'0 A* x.P;i:J M:ia:xc C
lIYH.A:\IIDES.t'YKAMtDEK.
Protopyramides. /t/ ~p a:<-<c
P a:f<:c c
'i'~ -Pl' ft:<x:ci
33' -P a:«:~c33.~ ci
DeuLëropyramides. Ao~ M:xf<f/
'01 a' Px s:x<r<'c
201 f~ 'x. ~:x<t:3C c
Dioctaedre, A/ 1 ~A/jIt.
~c
2 & Px 2a:a:e C
3t3 ~=M,(~ ~a:c C'j 3 3
,,¡ .( '), ;-j3t2 <=~ '-j.j ,) .'i~c c
(~V<.ir7i,w,;r~c/¡) Voir1l1'IlUI1'qll(~JI"
336 MANUELPHAHQCE DE CRiSTALf.OGHAPHH'.
TABLEAU V.
1
_i
NOMSUES FORMES. BRAVAIS. !.EVY. XAL'MAXN.
i
Base. 0001 1 ul*P
rmSMES.
Protoprisme. 10100
n n~ x)'P
Deuteroprismc.
)[~o
o A' x)';i
/`
rrismcsdodëcagones. /o i'o xj'1n
;i o le'= r
A
;J() /<2 xt'-
!'YRAM!f)ES.
a-T/e~g-ona~. 1
Protopyramidcs. Ao/</lyt'
l'
io7f 1 ~t f
1
20~t 'i* I~
a
–– ~/tD '[ ltltaltl l 1
21 2Deutéropyramides. /t/t2/t<t f~' -Pa
lf2t «t 2P2
t ~if' l 12~< fï~ ~P2
l J
!6./)o<~eeag'o/ta/M. AA'7< ~t'' I~['~ j
-'t33 &'& r~
s2~3 ~'<A':=a.(') -P-z
S
t f.C:!
G-a?-
(')Voir/!<ttK)-~K. Iv. ~j`-`3)~
ca
TRANSFORMATION DES SYMBOLES. 337
22
Système hexagonal.
MILLER.
WEISS. Formes rhomboédriques
directes. inverses.
ooa:o:lcef<~c III
e[ a' cea' CGC 2 [ 1
2a;:C!~2a:x)C 101
y r
,<a:û!:ccc 2/t+A-, A–A, –(2/(+/t)
336[:c!a:occ 5~
2
a:c::=oc!eC <+2/t,~–A,~–/t ~-+. Z+A, ~–~A
a:C[:a:C!:C c 100 22!
a a 'xa; 2c 5 i 111
z It
2C::Œ:2C[:Cc /+3A, /–3/:
2a:M:2Œ:2C 2
3a:a:26[:~c ni5
A"A ~Z~~-)-2/+~- k /+2A-+A h
l+ A–A /+ A–A
<–2A–A h ~–2/i.-A k
3c
36t:a;<x:ce 821 742
3oet:<6[:JC lt2 2[[1 1
33a:c:<x:2c i3i5 ii5'72
1315 _1
338 MANUEL PRATIQUE DE CMSTALLOGRAPHfË.
TABLEAU VI.
NOMSDES FORMES. BRAVAIS. OBSERVATiONS. MtLLER.
base. ooo! 1 t)t
t'RtSMES.
Protoprisme to;o o ;<! :1
Deuteroprisme. it~ o ~n;
Pf.dodécagones. /t~o
(/t=-) /t/j
A~2; k.2~-r l'
< k
~3o .) iRHOMBOÈCRES.
R. primitif. ;o7i 1 .00
Dircctssurs. /to/'< l <>A k
(/t=/-) /t~2/t
/c-t
t 0 E2 'j t
Directssure. /<o/-< <t rt /t~~
(A-) /<-)-t
/<–/t
3021 ~ïi
Inverses sur a. o/f/
(/r) <>2/.
/t~/+/
A'=<-2/ k
o~3
tnversessure. o~r/ <2/ /t/tA-
(~) A:+~
/<
0!)~1_
2.i) ¡
~)V..ir/fi:M;jK"
TRANSPORNATION DES SYMBOLKS. 33g9
Système rhomboédrique.
LEVY. NAUMANN. NAUMANN.WE!SS~.LF;VY.
I y, 4 l' 1.NEIBSI'l.
a' Of< OR oe~:xM:cef<:c
e2 xR ccH a: o;:x.a:c e
xX.! ecRz 2f<: <{:2<2:e c
~7. j~' ,</F~ a A\-A “K 2A+~ /t+2A-
s I&°c! xR- xi!'
<x'a:-s:xce
2 3
y -pH a:a:x~:c e
A A /t–~ ks* r--H It -–R Ii a:t!:cea:–––-c C< < 2/f+A
+-R :-R a:a:os<{:-c c2 2 2
I+2le/t /t JL lC
e -)- )! – R a s cca ––- ce< <
a a va/t-)-2/f2 Ir
C
e3 –2R Il +2R a:0!:o'9c
A. A /t.–A– H 7 R C: <X K;S –– ct < a/H-A-
a~ --)< –,R ft:a;:œa;c
T,L-;r A,. A' /t–e '+" –
7 ~i –y R Ct a o5C[ ,––– c
< < 2A+/
iR –R a:6!:oc<7,:e c
3~0 MAKCEL P)tAT!QUE DE CRtSTALLOGRAPHff!.
TABLEAU Vt.
NOMSDES FORMES. BRAVAIS. OBSERVATiftriS. MtLLEK.
[nversessurc.i
o)t2 'z fio o
SCALËNOEDRES.
Directssura. /t/t-< <+A-i-2/o 0 /t/
(~~–r–A) /<=<{–
/~=:<––a/t
<<+/t-i-~)'
2t3.') ;0.)
Dircctssure. AA~< <{-2;'<:o AA-/
(/–A) <–r--2/t>o 0 /t:=< +/t– l'
/< -2A
~'2r-+-<t
2t32 ~f'2
» /t/i-7<
(/=:– <-rA-t-2;-<o /~<
<–r–3A<o A;- <+ A–
~2/t-<
~= 2/'+ /+A Iz
tt.7.~
Directs sur& A~~
A'=<––/<) <A-i-2/o /~0
/t- r
A r
2'3~ 3~;f)
TRANSFORMA TION DES SYMBOLES. 3~f 1
1Système rhomboédrique. (Suite.)
I
LH:vx.XAUMANK. KACM~NN.
wross.LEVY. WEfSS.t. 2.
~-I-~R -~H
s:a:xa:~c c
l-r-Zh l+le-r l~ It-k ~+k h~ ._I y j /I~~r~7 ~~r,7. ~7+~7. “ ~<b b b
t A--I-
< /t–t A -A' A-t-~
1 a 3 3 1. JI. 16i~&T'o -~R~ +'R' a:s:~cblb~blO
2 5 2 5
~~+A ~r, R/~ -L e'b21'+/+/¡ bl-I'-2/t bl'+I-1< A '1+<
nh-I/t–< A–/f A+~+~
c
~& +~R~ +~R' a:f<a:~c:)
b2bfb~2 2 2 2
~-7~-'7'~ CI 1 %t I lt I /t it -E- lf +I
1:3 1& !+Hf~. +2R. ~ia:2c2 2
/,TTr l' ~–7~–~o+-,)<)- –– R~' -< f< a ,–– a cbi +-r
<L /t!tr
<1 R̂l-
Alty
/t–/i- k /t+/. l.'c
!+~~ -~R' a:a-cc
4 2 /) /)
3/}a2 MANUEL PRATtQCE ))E €R!STAH.OGHAPtUE.
TABLEAUVI.
NOMSDES FORMES. BRAVAIS. OBSERVATIONS. MfLf.KM.
Directs sure! /t/t/
l-r-h-21'==0 hl)l(A=:A) <'+/t--2/'=..o o /toi'L
/tr-A It
<=/t /t
~i3.
fnverscssui'o; /t~i' AA<
(A-r––/c) ~–/t-o /{-–2/'–
A'+2/f+;. r
~+7' –/i
ia36 ~o.i
Inversessure. /t~ 0 AA~
(/t=-r–A) /t~–a,.–~
/c=~+a/c-)-
<=-+A'–<
t23a 2tt
Inversessur & ~7~ ~A.c, o /~o
A=(–) A==/.y·
/(=/ k
'235 J 3~0p
C)Votr~<')tM;e/
TRANSFOMIÀTtONDESSYMBOLES. 3.~33
1 Système
rhomboédrique. (Suite.)
LÉVY.NAUMANN. NAUMANN.
WEISLEVY. WEISS.LÉVY.t. 2.
WEISS.
-I-
,–, '“ l' ~–/a
La cd" +~~7 +-. -.RA- s:––,<t-Œ–––;C c
<' A < /!–< A /t+<
d2 +3R~ +R' K:~t:a:e c2 3
t t i/c- !z r_r+i /L k lc- h- Iz k.
/t- _A--A_~ c< A' < A--< A–/ /t-fA'-+-~
.1 ~l 3 J 1 [
-~R~ -~R' C
I -t. _1- h- JL r` +t l;. l k l h l
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I bl e23 3
z 1, 2(,'l C(/=<(') -~R' a:~ï:2f<:cc
r k-/L rr+k /t-h. lc- h- )z _k
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-ï6--a: a: k~-kc C
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~`
344 MANUEL PRATIQUE DE CRfSTALLOGRAPHfE.
TABLEAUVU. Système cubique.
<
NO)IS DES FOR)IES. \IIUER. OBSEI\V.
1
LÉVY.
1
:;AUMAl'iN.1NOMSDES FORMES. MtU.ER. OBSEttV. LEVY. NAUMAN~t. WEISS.
__m.
Cube. tOO p ecOcc <'<:«!:co<x
Octaèdre t;t ¡ a' 0 a a a
Dodécaèdre rhomb. i!o o coO a:a:cea
Hexatétraèdres. AA-o /t>A- k ~0~h
a'yaA'
3~0 xO- 3 a:-a:ccat32o2 a z
1) b2
is
x02
2
~:2a:œa
Icositétraédres. ltkk la > k ak C~ht a a
ktaIcositëtraedres. A~~ A>~ a*
~0~ A" a:a: Aa
3~ ~0~3
<ï:a:~ a7. 2
21 1 ~02 2 <ï:C!:l!a a
k
Trioctaedres. AA~A>~k ~0 n~a-~aTrlOctaedres. hhA h>A aA-' 'A /t
3~ 3 3-0 a:-s:-a
12 22 z
33't
30 a:3s:3a
1 th.h l l
Hexoct.aédrcs. AA~ A>/f>/ l~0~ ~t;
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