Werkstoffe der Elektrotechnik - fh-dortmund.de · - Bändermodell der Elektronen im Kristall -...
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- Bändermodell der Elektronen im Kristall -
Prof. Dr. Ulrich HahnWS 2008/2009
Werkstoffe der Elektrotechnikim Studiengang Elektrotechnik
Bändermodell 2
Orbitale für Elektronen im Kristall Kristall: regelmäßige Anordnung vonAtomen
Bindung: ValenzelektronenValenzelektronenValenzelektronenValenzelektronen Orbitale
H2 – Molekül: (1s1)I + (1s1)II � σb2 + σ*
0
N Atome (je n Orbitale) im Molekül:���� NNNN....nnnn OrbitaleOrbitaleOrbitaleOrbitaleim Kristall:
2 e2 e2 e2 e----/Orbital/Orbital/Orbital/OrbitalPauliprinzip: � auffüllen, bis N.n e- in Orbitalen sindmax. Energie: FermienergieFermienergieFermienergieFermienergie
► Atomorbitale:� Energie� Größe (n), Gestalt (l),
Orientierung (m), Spin (s)
► Kristallorbitale:� lokalisiert zwischen Atomen
� delokalisiert im Kristallkovalenter Kristall
Metallbindung
Bändermodell 3
Orbitale delokalisierter Elektronen
Molekül:Energieaufspaltung
WechselwirkungDelokalisierung
Kristall: N gleiche Atome � N gleiche Orbitale• N-fache Energieaufspaltung• Delokalisierung
Abstand
scharfe Energie-niveaus
typ. Gitterkonst.
Energien der Bän-der abhängig von:
� ursprünglichen Atomorbitalen
� Kristallstruktur
� Atomabstand
Bändermodell 4
Quantenzahlen für Kristallorbitale
Orbitalmodell �������� Unschärferelationπ
≥⋅∆4h
xpx
Größe Atom: 5.10-11 mGröße Kristall: 10-3 m
Impuls ist im Kristall genau bestimmbarImpuls ist im Kristall genau bestimmbarImpuls ist im Kristall genau bestimmbarImpuls ist im Kristall genau bestimmbar
Quantenzahlen für Kristallelektronen: px, py, pz, sQuantenzahlen für Kristallelektronen: px, py, pz, s
Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen klein:
���� EnergiebandEnergiebandEnergiebandEnergieband
Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen groß:
���� EnergielEnergielEnergielEnergielüüüückeckeckecke
Bändermodell 5
Bänder in Leitern
Beispiel Li: 1s22s1
3 Energienivaus
���� 3 B3 B3 B3 Bäääändernderndernder
Abstand
E
1s2
2s1
2p0
AtomKristall
jeweils N Orbitale
(1s)- Band: N Orbitale, 2N Elektronen ���� voll besetztes Bandvoll besetztes Bandvoll besetztes Bandvoll besetztes Band
(2s)- Band: N Orbitale, N Elektronen ���� halb besetztes Bandhalb besetztes Bandhalb besetztes Bandhalb besetztes BandEFermi in der Bandmitte
e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale möglich���� Energiezufuhr
Elektronenleitung, LeitungsbandElektronenleitung, Leitungsband
Ionisierung
EF
WA
Bändermodell 6
Bänder in Leitern
Beispiel Be: 1s22s2
Abstand
E
1s2
2s2
2p0
AtomKristall
(1s)- Band:voll besetztvoll besetztvoll besetztvoll besetzt
(2s)- Band:voll besetztvoll besetztvoll besetztvoll besetzt
Elektronenleitung, LeitungsbandElektronenleitung, Leitungsband
Ionisierung
EF
ValenzbandValenzband
� 2s und 2p Bänder überlappen� e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale (2p-Band) möglich
Leitfähigkeit durch Wechsel des Bandes � Leiter 2. Art
Bändermodell 7
Bänder in Leitern
Beispiel Cu:
… 3s2 3p6 3d10 4s1
(1s), (2s), (2p), (3s), (3p), (3d)- Bänder:
voll besetztvoll besetztvoll besetztvoll besetzt
(4s)- Band: N Orbitale, N Elektronen ���� halb besetztes Bandhalb besetztes Bandhalb besetztes Bandhalb besetztes BandEFermi in der Bandmitte
Leiter 1. ArtLeiter 1. Art
Abstand
E
Kristall
E = 0
EF
3d10
4s1
Atom
3p6
3s2
Bändermodell 8
Vorzeichenkonvention für Elektronenenergien
E = 0: e- ∞ weit vom Atom entfernt, Ekin = 0
E < 0: e- an den Atomkern gebunden
Atomphysik:Atomphysik:
im Band: Energien von der Bandunterkante
E = 0: Ferminergie
Festkörperphysik:Festkörperphysik:
oder:oder:
E > 0: angeregte ElektronenE > WA: Elektron verlässt den Kristall
Bändermodell 9
Bänder in Nichtleitern
Beispiel C (Diamant):1s2 2s2 2p2
ValenzbandValenzband
Abstand
E
Kristall
E = 0
∆∆∆∆E ≈ 7eV 2sp3
Atom
1s2
Tetraederstruktur: 2sp3 – Hybrid
► kovalenter Kristall:4 bindende & 4 anti-bindendeσ – Orbitale
► Bändermodell:
4N bindende Orbitale4N antibindende Orb.
(2sp3)b- Band: 4N Orbitale, 4N Elektronen
���� voll besetztes Bandvoll besetztes Bandvoll besetztes Bandvoll besetztes Band
LeitungsbandLeitungsband(2sp3)* - Band: 4N Orbitale ���� leeres Bandleeres Bandleeres Bandleeres Band
∆∆∆∆E: Energielücke kann von e- nicht überwunden werden
�������� keine Leitungkeine Leitung
Bändermodell 10
Abhängigkeit der Energielücke von der Gitterkonstanten
Bändermodell 11
Energieverteilung in den Bändern Modell: freies Elektronengas
Die Geschwindigkeitsverteilung n(E, E+dE) von Molekülen im idealen Gas hängt ab von der:
EEgEfNEEEn d)()()d,( ⋅⋅⋅=+
Wahrscheinlichkeit, dass eine Geschwindigkeit in [E, E+dE] vorkommt
Anzahl der Zustände gleicher Energiein [E, E+dE]
���� Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion f(Ef(Ef(Ef(E))))
���� statistisches Gewicht statistisches Gewicht statistisches Gewicht statistisches Gewicht g(Eg(Eg(Eg(E))))
Maxwell: EekT
ENEEEn kT
E
d)³(
4)d,( ⋅⋅
⋅π⋅⋅=+
−
Bändermodell 12
Energieverteilung in den Bändern
freies Elektronengas im teilweise besetzen Band:
kinetische Energie Energie ab Unterkante des Bandes:
außerhalb der Bänder: keine Elektronen außerhalb0)(
Bandim0)(=≠
EgEg
Pauliprinzip:keine thermische Anregung (T = 0 K) F
F
EEEgEEEf
>=<=
für0)(für1)(
Pauliprinzip: T ≠ 0 Anregung nur in nicht besetzte Orbitale
1
1),(
+= −
kTEE F
e
TEf
FermiFermiFermiFermi----DiracDiracDiracDiracVerteilungVerteilungVerteilungVerteilung
Bändermodell 13
statistisches Gewicht im Band
Unschärferelation:π
=∆⋅∆4h
xpx π=∆⋅∆
4h
ypy π=∆⋅∆
4h
zpz
Pauliprinzip: jedes Orbital muss sich in p mindestens um jedes Orbital muss sich in p mindestens um jedes Orbital muss sich in p mindestens um jedes Orbital muss sich in p mindestens um ∆∆∆∆ppppxxxx, , , , ∆∆∆∆ppppyyyy undundundund ∆∆∆∆ppppzzzz unterscheidenunterscheidenunterscheidenunterscheiden
Anzahl der Zustände in |]d||,[| ppprrr +
Zustände mit gleichem || pr
Kugel im ImpulsraumKugel im ImpulsraumKugel im ImpulsraumKugel im Impulsraum
Minimalvolumen für jeden Zustand:∆∆∆∆ppppxxxx....∆∆∆∆ppppyyyy....∆∆∆∆ppppzzzz
zyx ppp
ppppg
∆∆∆π=⋅⇒
d²42d)(
m
pE
2²
mit =
EEh
mVEEg Krist d
³)³2()4(
d)(4
. ⋅⋅π=⋅
Bändermodell 14
Energieverteilung in den Bändern
Ee
E
h
mVEEfEgEEEn kTEEKrist F
d1³
)³2()4(d)()()d,( /)(
4
. ⋅+
⋅π=⋅⋅=+ −
g(E
)f(E
)/V
K--
�
Bändermodell 15
Einfluss der Impulsrichtung
freies Elektronengas: |)(|2
2
pEEm
pE pot
r=+=
Impulsraum: Orbitale gleicher Energie � Kugeloberfläche
pz
px
py
Modell ok für einwertige Metalle px
py
pz
andere Metalle:Epot abhängig von der Richtung p
���� andere Fermiflächen
Bändermodell 16
Bandstruktur Elektronen: Welle – Teilchen – Dualismus
Orbital Orbital Orbital Orbital �������� WelleWelleWelleWelleλπ=
π= 2
||2
kkh
prrr
freie Elektronen:em
pE
2²= gleich für alle Richtungen
Impuls Impuls Impuls Impuls �������� WellenlWellenlWellenlWellenläääängengengenge
Kristallstruktur: räumlich periodisch
Wellen � Abtasttheorem
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25Ort
Au
slen
kun
g
Welle 1 Gitter Welle 2 Welle 3
alle Wellen: gleiche alle Wellen: gleiche alle Wellen: gleiche alle Wellen: gleiche AusAusAusAus----lenkunglenkunglenkunglenkung an Gitterplan Gitterplan Gitterplan Gitterpläääätzentzentzentzen
<>> =−=> kkkk Gitter
Bändermodell 17
Bandstruktur
Beschränkung auf k < kGitter :
reduziertes Zonenschema
aber: E(k>) > E(k> – kGitter)
0
2
4
6
8
10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
k →→→→
E →→ →→
g2π
reale Bandstrukturen:
C, Si BeCu
Bändermodell 18
Kontaktspannung
2 Metalle ohne Kontakt:
x
EEVak
unterschiedliche WA
freie e-: Ekin = 0
Metall 1
WA,1
∫∫ Metall 2
WA,2
���� gemeinsame gemeinsame gemeinsame gemeinsame EEEEVakVakVakVak
x
EEVak
Metall 1
WA,1
Metall 2
WA,2
2 Metalle in Kontakt:Elektronenfluss Metall 2 � Metall 1Aufladung:Metall 1: –Metall 2: +
EEEEF,1F,1F,1F,1=E=E=E=EF,2F,2F,2F,2
eUKontakt
2,1, AAK WWeU −=
Bändermodell 19
Kontaktspannung
Austrittsarbeit von Metallen:Metall WA/e [V]
�������� Voltasche SpannungsreiheVoltasche Spannungsreihe
Kontaktspannungen im geschlossenen Stromkreis:
Pb
Fe
CuSn
UUP
b-Sn
USn-F
e
UF
e-Cu
UCu-Pb
∑ =i
iKU 0,
Bändermodell 20
Thermoelektrische Effekte
Seebeck - Effekt: Thermoelement
U
T T+∆T
Kontaktstellen unterschiedlicher Leiterauf unterschiedlichen Temperaturen
ThermospannungThermospannung
x
E
1 2 1
eUKeUth
T T+∆T
T+∆T: mehr e-
oberhalb von EF
e- fließen von 1 � 2
Aufladung: 1: + 2: –EF
f(E)
E
f(E)
E
EF(1) ↓
���� UUUUthththth
Bändermodell 21
Thermoelektrische Effekte
Seebeck - Effekt:
häufig gebraucht: Eisen-Konstantan5,37 mV/100°C
Bändermodell 22
Thermoelektrische Effekte
Seebeck - Effekt:
1: NiCr-Konstantan2: Cu-Konstantan3: Fe-Konstantan4: PtRh5-AuPd46Pt25: NiCr-Ni6: PtRh13-Pt7:PtRh10-Pt8: PtRh30-PtRh6
Bändermodell 23
PeltiereffektTT+∆T
Stromkreis mit unterschiedlichen Leitern
Kontaktstelle wärmerKontaktstelle kälter
EF,r
x
E
12
1
EF,l
eU
Ekin,1
Ekin,2Ekin,1
Ekin,2
Übergang Metall 1 ���� Metall 2
� Gesamtenergie der e- konstant� Erhöhung von Ekin
� Verkleinerung von Epot
���� Gitterenergie ���� AbkAbkAbkAbküüüühlunghlunghlunghlung
Übergang Metall 2 ���� Metall 1
� Verkleinerung von Ekin
���� Gitterenergie���� ErwErwErwErwäääärmungrmungrmungrmung