Laporan Trigonometri“FUNGSI TRIGONOMETRI”

Disusun oleh :

Citra Murti Anggraini (14144100078)

Anggi Meylia Saraswati (14144100080)

Yohana Medita Kurniyati (14144100083)

Fariris Norandini (1414100084)

Kelas : 1A3

Dosen : Bintang Wicaksono, MPd

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTAJl. PGRI Sonosewu No. 117 Yogyakarta 55182

2014/2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan

hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan laporan berjudul “Laporan Trigonometri

Fungsi Trigonometri” dengan lancar.Penulisan laporan ini merupakan kewajiban dan sebagai

tugas trigonometrimahasiswa Universitas PGRI Yogyakarta yang kami ajukan untuk

memenuhi salah satu persyaratan dalam penilaian.

Kami menyadari bahwa dalam penyelesaian laporan ini, kami banyak mendapatkan

bimbingan dan nasehat, serta bantuan dari berbagai pihak. Berkaitan dengan hal tersebut

kami mengaturkan banyak terima kasih kepada

1. Bintang Wicaksono, MPd yang sudah memberikan bimbingan dan pengarahan

kepada kami,

2. bapak dan ibunda kami tercinta, terimakasih untuk nasehat-nasehatnya,

3. teman-teman 1A 3 terimakasih atas bantuannya,

4. dan semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu yang telah

memberikan bantuan dalam penyusunan laporan ini.

Kami menyadari sepenuhnya dalam penyusunan laporan ini masih banyak

kekurangan.Oleh karena itu, kami terus menunggu saran dan kritik yang sifatnya membangun

dan positif.Semoga hasil laporan ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang

berkepentingan.

Yogyakarta, September 2014

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Tujuan

Laporan ini dibuat bertujuan untuk mengidentifikasi berbagai fungsi Trigonometri

yang telah diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.Selain itu, tujuan laporan ini yaitu agar

mahasiswa lebih mengerti dan memahami materi Trigonometri.Mahasiswa juga dapat

terdorong untuk aktif dalam kegiatan dikelas maupun diluar ruangan dengan mendiskusikan

bahasan topik tentang Trigonometri beserta penerapannya dalam kehidupan sehari hari.Selain

itu, untuk melatih Mahasiswa untuk berani mengeluarkan pendapat dan tampil didepan umum

untuk mengajarkan materi Trigonometri.

1.2 Latar Belakang

Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia

serta peradabanLembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak .MatematikawanIndia

adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi

dan juga trigonometri.Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun

tabeltrigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga

merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan penghitungan

trigonometri lebih lanjut.Kemudian pada tahun 1595matematikawan Silesia Bartholemaeus

Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan

memperkenalkan kata ini ke dalam bahasaInggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri

telah digunakan oleh pembuat jalan,pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan

bangunan.

1.3 Rumusan Masalah

1. Bagaimana konsep Trigonometri secara umum?

2. Bagaimana fungsi trigonometri sudut berelasi?

3. Bagaimana fungsi trigonometri penjumlahan dan pengurangan dua sudut?

4. Bagaiman fungsi trigonometri sudut ganda?

5. Bagaiman jumlah dan selisih fungsi trigonometri yang sama?

6. Apa saja contoh soal dan pemecahan soal Trogonometrinya ?

1.4 Sistematika Penulisan

Dalam karya ilmiah ini sistematika di bagi menjadi 5 bab yaitu:

Bab I Pendahuluan berisi tujuan, latar belakang, rumusan masalah, dan sistematika penulisan.

Bab II Isi berisi kajian teori dari masalahdan pembahasannya, contoh soal beserta

penyelesaiannya.

Bab III Penutup berisi simpulan dari laporan ini dan saran yang diberikan.

BAB II

ISI

2.1 Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi

yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama.

Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama,

maka kedua segitiga itu pasti sebangun.Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri

sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90

derajat dan kurang dari nol derajat).

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis.Kedua potongan garis

(sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.Sudut sering diukur dalam derajat atau

radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100

gradian.Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam

matematika.Bisa ditemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.

Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

O disebut titik pusat sudut

OA dan OA’

OB dan OB’

Sudut yang berpusat di titik pusat sudut disebut sudut

pusat .contoh :

< AOA’ (sudut positif karena berlawanan jarum jam)

dan <BOB’ (sudut negative karena searah jarum jam)

Notasi sudut

Disebut kaki-kaki sudut

<AOA’ biasa ditulis <O

<BOB’ biasa ditulis <O

Pengukuran sudut

Ada beberapa ukuran satuan antara lain :

1. Derajat (. . . .0)

2. Radian (. . . .rad)

Satuan derajat

10 adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang menghadap busur lingkaran sepanjang 1/360

bagian

Satuan radian

1 rad adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang menghadap busur lingkaran sepanjang jari-

jari lingkaran.

Perbandingan trigonometri

Catatan:

Sin = sinus

Cos = cosinus

Tan/Tg = tangens

Sec = secans

Cosec/Csc = cosecans

Cot/Ctg = cotangens

Dari gambar tersebut dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos,

csc merupakan kebalikan dari sin, dan

cot merupakan kebalikan dari tan)

Contoh:

Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri

untuk sudut A!

Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6

Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4

daerah.Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi

aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a

(k = bilangan bulat > 0)

Identitas Trigonometri

y

xX

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 2.7.sudut yang berelasi

O

hjSehingga, secara umum, berlaku:

sin2a + cos2a = 1

1 + tan2a = sec2a

1 + cot2a = csc2a

2.2 Fungsi Trigonometri Sudut Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90), (180), (360),

dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku

(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut

dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) (Kuadran I)

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis yx, sehingga

diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1= x, y1= y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

y

x X

Y

P(x,y)r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. 2.8.sudut yang berelasi

1.sin (90 °−α )=

y1

r1= x

r=cosα

2.cos (90 °−α )=

x1

r1= y

r=sin α

3.tan (90 °−α )=

y1

x1= x

y=cot α

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90

- ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut (90º + ) dengan (180 - ) (Kuadran II)

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu y,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1= x, y1= y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

1.sin (180 °−α )=

y1

r1= y

r=sin α

2.

cos180 cos

1

1rx

rx

3.tan (180°−α )=

y1

x1= y−x

=−tan α

a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=secα

b. cos (90 °−α )=sin α e. sec (90 °−α )=cosec α

c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α

y

x X

YP(x,y)

r (180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1O

Gb. 2.9.sudut yang berelasi

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut (180 + ) dengan (270º - ) (Kuadran III)

Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik

P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis yx, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1= x, y1= y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

i.sin (180 °+α )=

y1

r1=− y

r=−sin α

ii.cos (180 °+α )=

x1

r1=−x

r=−cos α

iii.tan (180°+ α )=

y1

x1=− y−x

= yx= tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. a. sin (180−α ) °=sin α ° d. csc (180 °−α )=cscα

b. b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α

c. c. tan (180°−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α

a. sin (180 °+α )=−sin α d. csc (180 °+α )=−csc α

b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180 °+α )=−sec α

c. tan (180°+ α )=tan α f. cot (180 °+α )=cot α

y

x

X

YP(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1O -

Gb. 2.10.sudut yang berelasi

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut (270º + ) dengan (360º - ) (Kuadran IV)

Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1)

bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu

x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1= x, y1= y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

i.sin (−α )=

y1

r 1=− y

r=−sin α

ii.cos (−α )=

x1

r1= x

r=cosα

iii.tan (−α )=

y1

x1=− y

x=−tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360, misalnya sin

(360) sin .

Untuk memudahkan mengingat penentuan nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut di luar

interval (0,2π) atau (0º,360º) digunakan cara sebagai berikut:

Langkah I

Tentukan letak kuadran sudut yang akan dicari nilai fungsi trigonometrinya. Tentukan dahulu

dengan mengubah sudut tersebu menjadi bentuk 2.k.π + δ atau k.360º + δ, dan δ ε (0,2π) atau

δ ε (0º,360º).

Contoh :

1. cos 43⅔π =cos(21.2π + 1⅔π)= cos 1⅔π

a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α

b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α

c.tan (−α )=−tan α f. cot (−α )=−cot α

1⅔π di Kuadran IV, maka cos 1⅔π > 0, atau nilainya (“+”)

2. tan 5432º = tan(15.360º + 232º) = tan 232

232º di Kuadran III, maka tan 230º > 0, atau nilainya (“+”)

3. cos -5612º = cos (-16.360 + 148º) = cos 148º

148º di Kuadran II, maka cos 148º < 0, atau nilainya (“-“)

Langkah II

Terhadap dau alternatif perubahan, yaitu:

1. “patokan” sudut pada sumbu x

a. cos 1⅔π = cos (2π - ⅓π)

b. tan 232º = tan (180º + 52º)

c. cos 148º = cos (180º - 32º)

2. “patokan” sudut pada sumbu y

a. cos 1⅔π = cos (1½π - 1/6π)

b. tan 232º = tan (270º - 38º)

c. cos 148º = cos (90º + 58º)

Langkah III

Pada langkah ini merupakan kombinasi langkah I dan II (alternatif pada langkah ) yaitu:

1. “patokan sudut pada sumbu x”, fungsi trigonometri tetap sehingga :

a. cos (2π - ⅓π) = “+” cos ⅓π = ½√3

b. tan (180º + 52º) = “+” tan 52º = 1,2799

c. cos (180º - 32º) = “+’cos 32º = -0,8480

2. “patokan sudut pada sumbu y”, fungsi trigonometri mengalami perubahan.

Perhatikan perubahan yang ada:

Perubahan fungsi sebagai berikut:

Sinus menjadi cosinus,

Tangen menjadi cotangen, dan

Secans menjadi cosecans dan sebaliknya.

Contoh:

a. Cos (1½π + 1/6π) = “+” sin 1/6π = ½√3

b. tan (270º - 38º) = “-“ ctg 38º = -1,2799

c. cos (90º +58º) = “-“ sin 58º = -0,8480

2.3 Fungsi Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Misalnya α dan βadalah sudut sudut sembarang, maka jumlah α dan βadalah (α+β)

dan selisih antara adalah (α-β) . Sebagai ilustrasi,perhatikan gambar 8.1 dan gambar 8.2

berikut ini.

Pada gambar 8.1 :<AOB = α; <BOC= β maka <AOC =α+β

Pada gambar 8.2 : <DOF =α ; <DOE =β maka <EOF = α-β

Selanjutnya, kita akan menurunkan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut selisih dua

sudut, yaitu sin (α+β),sin (α-β),cos(α+β), cos (α-β), tan (α+β), dan tan (α-β)

1. Cos (α+β)dan Cos (α-β)

Untuk menurunkan rumus cos (α+β)dan cos (α-β), perhatikan gambar 8.3 dan uraian berikut

ini.

Gambar 8.3 menunjukkan sebuah lingkaran satuan, titik P (x1,y1) dan titik Q (x2,y2) pada

lingkaran, misalnya <XOQ = αdan <XOP = β , maka <POQ = α-β

Perhatikan segitiga OPP:

PP' y1

Sin β = —— = ------- maka y1 = r sin β

OP r

OP' x1

Sin β = —— = ------- maka x1 = r cos β

OP r

Kita peroleh koordinat P dapat ditulis sebagai (r cos β,r sin β)

Perhatikan segitiga OQQ' :

QQ' y2

Sin β = —— = ------- maka y2 = r sin α

OQ r

OQ' x2

Sin β = —— = ------- maka x2 = r cos α

OQ r

Kita peroleh koordinat Q sebagai (r cos α ,r sin α).

Panjang PQ dapat dicari dengan rumus jarak, yaitu :

PQ = √(x2−x1)2+( y2− y1)

2

= √(r cos α−r cos β)2+(rsin α−rsin β )2

kedua ruas dikuadratkan

PQ2 =(r cos α -r cosβ )2 + (r sin α - r sinβ )2

=r2 cos2α - 2 r2 cos αcos β + r2 cos2β + r2 sinα - 2 r2 sin αsin β+ r2 sin2 β

=r2( sin2α + cos2 α)+ r2 ( sin2 β + cos2β )- 2 r2 sin αsin β- 2 r2 cosαcosβ

=r2 + r2 - 2 r2 sin αsinβ - 2 r2 cos α cosβ

=2r2 - 2 r2 sin αsinβ - 2 r2 cos αcosβ ...................................................................(1)

Berdasarkan aturan kosinus, jika kita perhatikan segitiga POQ, memberikan :

PQ2 =OQ2 + OP2 - 2 OQ . OP cos <POQ

=r2 + r2 - 2 r.r. cos (α-β)

=2r2 - 2 r2 cos (α-β) ..............................................................................................(2)

Persamaan (1) = (2), sehingga :

2r2 - 2 r2 sin sin β- 2 r2 cosα cos β= 2r2 - 2 r2 cos (α-β)

2 r2 cos (α-β)= 2r2 - 2r2 + 2 r2 sinα sinβ + 2 r2 cosαcos β

2 r2 cos (α-β) = 2 r2 sinα sin β+ 2 r2 cosα cos β

2 r2 cos (α-β) =2 r2 (sinα sinβ + cosα cos β)

cos (α-β)=sinα sin β+ cosα cosβ

cos (α-β) =cosα cos β+ sinα sinβ

Kita peroleh :

cos (α-β) =cosα cosβ + sinα sin β ...................................................................(3)

Untuk mendapatkan rumus cos (α+β), kita dapat mensubsitusikan -βke persamaan (3)

cos(α-β)= cos[α-(-β)]

=sinα sinβ + cosα cosβ

= - sinα sinβ + cosα cosβ

= cosα cosβ - sinα sinβ

Kita peroleh :

cos (α+β) =cosα cosβ - sinα sinβ ...................................................................(4)

2. Sin (α+β) dan Sin (α-β)

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α

BD = a.sin β

CD = a.cos β = b.cos α

3. Tan (α+β) dan Tan (α-β)

Untuk menurunkan rumus tan ,perlu kita ingat kembali identitas trigonometri berdasarkan

hubungan perbandingan, diantaranya :

Dengan menggunakan rumus tersebut, kita peroleh :

Untuk fungsi tangens:

Berdasarkan uraian diatas, maka rumus rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan

selisih dua sudut dapat dirangkum sebagai berikut.

Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan selisih sudutCos (α+β) = Cos α Cos β – Sin α Sin βCos (α-β) = Cos α Cos β + Sin α Sin βSin (α+β)= Sin α Cos β + Cos α Sin βSin (α-β) = Sin α Cos β – Cos α Sin β————--  Tan α + Tan βTan (α+β) = ——————————–  1 – Tan α.Tan β————– Tan α – Tan βTan(α-β) = ———————————– 1 + Tan α.Tan β

Soal dan pemecahannya :

Soal No. 1

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:

a) sin 75°

b) cos 75°

c) tan 105°

Pembahasan

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Soal No. 2

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan

sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.

Tentukan:

A. sin (A + B)

B. sin (A − B)

Pembahasan

Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan

rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:

Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.

Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah 

dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5

cos A = 3/5

sin B =12/13

cos B = 5/13

Periksa ulang,

3 Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di

bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara

untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5

4 Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos

dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

Soal No. 3

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan

sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan

Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya

sin A = 3/5,  cos A = 4/5

sin B = 12/13,  cos B = 5/13

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut

Soal No. 4

Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan

nilaidari cos R

Pembahasan

Cek sin cos kedua sudut  P dan Q

sin P = 3/5,   cos P = 4/5

sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)

cos R = cos (180 - (P + Q))  

ingat cos (180 - x) = - cos x

2.4 Fungsi Trigonometri Sudut Ganda

Dari formula-formula yang diperoleh dapat diturunkan formula fungsi trigonometri

sudut ganda yang disajikan kedalam formula fungsi trigonometri sudut tunggal..

a. formula sin 2A

Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

sin 2A = sin (A + B)

           = sin A cos A + cos A sin A

           = 2 sin A cos A

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal:

Diketahui sin A = – 5/13 , di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus

sudut ganda, hitunglah sin 2A.

Penyelesaian:

b.Formula cos 2A

Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh

Cos 2A=cos(A+A)

=cosAcosA - sinAsinA

=cos2A-sin2A

Atau

Cos2A=cos2A-sin2A

=Cos2A-(1-cos2A)

=cos2A-1+cos2A

=2cos2A-1

Atau

Cos2A=cos2A-sin2A

=(1-sin2A)-sin2A

=1-2sin2A

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai berikut

Pelajarilah contoh soal berikut untuk memahami rumus cosinus sudut ganda.

Contoh soal:

Diketahui cos A = – 24/25 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumus

sudut ganda, hitunglah nilai cos 2A.

Penyelesaian:

c.formula tangen2A

Dengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:

            tan 2A = tan (A + A)

Contoh soal:

Jika α sudut lancip dan cos α = 4/5 , hitunglah tan 2αa:

5. Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…

Penyelesaian:

Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti

disamakan/disetarakan.

Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau

cos2α = 2cos²α – 1 atau

cos2α = 1 - 2sin²α

Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.

Jadi,

cos2x – 3sinx – 1 = 0

cos2x – 3sinx = 1

(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1

(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena

bervariabel sama yakni sinx).

(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1

-2sin²x – 3sinx = 1 – 1

-2sin²x – 3sinx = 0

sinx(-2sinx – 3) = 0

sinx = 0 atau -2sinx – 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

x = 0°

(sinx = -3/2 tidak memenuhi)

maka nilai tan x = tan 0° = 0

Penjabaran rumus Sin3x

Rumus sin 3x dan cara mendapatkannya

Rumus cos 3x dan cara mendapatkannya

Rumus tan 3x dan cara mendapatkannya

2.5 Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri Yang Sama

Pembuktian:

Dari rumus fungsi trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α sin β

Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β

Cos (α + β) + Cos (α - β) = 2 Cos α . Cos β

Cos (α + β) - Cos (α - β) = -2 Cos α . Cos β

Cos (α + β) - cos (α - β) = -2 sin α sin β

Cos (α + β) + Cos (α - β) = 2 Cos α . Cos β

Cos (α + β) - Cos (α - β) = -2 Cos α . Cos β

Cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β

Misalkan α + β = A dan α - β = B maka:

α + β = A

α - β = B

2α = (A + B) α = ½ (A + B)

α + β = A

α - β = B

2β = (A - B) β = ½ (A – B)

Sehingga rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus menjadi :

Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A + B) . Cos ½ (A - B)

Sin A - Sin B = 2 Cos ½ (A + B) . Sin ½ (A - B)

Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A + B) . Cos ½ (A - B)

+

--

+

+

Cos A - Cos B = -2 Sin ½ (A + B) . Sin ½ (A - B)

Contoh :Tentukan nilai dari:

a. sin 75 0 + sin 150

b. cos 1000 + cos 800

c. cos 550– cos 350

d. cos 100 + cos 1100 + cos 1300

e. sin 550– sin 350

Jawaban :a. sin 75o + sin 15o = 2 sin ½(75o+15o) . cos ½(75o-15o)

= 2 sin 45o. cos 30o

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

b. cos 100o + cos 80o = 2 cos ½(100o+80o) . cos ½(100o -80o)

= 2 cos 90o. cos 10o

= 2 . 0 .cos 10o

= 0

c.cos 55o– cos 35o= -2 sin ½ (55o+ 35o) sin ½ (55o– 35o)

= -2 sin ½ (90o) sin ½ (20o)

= -2 sin 45o sin 10o

= -2 .( ½ √2 ) sin 10o

= - √2 sin 10o

d. cos 10o+ cos 110o + cos 130o= (cos 130o+ cos 110o) + cos 10o

= (2 cos ½ (130o+ 110o) . cos ½ (130o– 110o)) + cos 10o

= 2 cos 120o.cos 10o + cos 10o

= 2. - ½ .cos 10o+ cos 10o

= - cos 10o+ cos 10o

= 0

e. sin 55o – sin 35o = 2 cos ½ (55o + 35o) sin ½ (55o– 35o)

= 2 cos ½ (90o) sin ½ (20o)

= 2 cos 45o sin 10o

= 2 .( ½ √2 ) sin 10o

= √2 sin 10o

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini :

1. Sin3xo+ sin xo= 0 0 ≤ x ≤ 360

2. Cos 4xo + cos 2xo = √ 2 cos 3xo 0 ≤ x ≤ 180

Jawaban :

1. Sin 3xo+ sin xo= 0

2.Sin ½ (3xo + xo) cos ½ (3xo–xo) = 0

2.Sin 2xo . cos xo = 0

Sin 2xo .cos xo= 0

Sin 2xo = 0 atau cos xo = 0

2xo = 0 + k.360 xo = 90, 270

xo = 0 + k.180

xo = 0, 180, 360 jadi, Hp = {0, 90, 180, 270, 360}

atau

2xo = 180 + k.360

xo = 90 + k.180

xo = 90, 270

2. Cos 4xo + cos 2xo = √ 2 cos 3xo

Cos 4xo + cos 2xo -√ 2 cos 3xo = 0

2Cos ½ (4xo + 2xo) cos ½ (4xo - 2xo) - √ 2 cos 3xo = 0

2cos 3xo cos xo - √ 2 cos 3xo = 0

Cos 3xo (2 cos xo- √ 2) = 0

Cos 3xo = 0 atau 2 cos xo = √ 2

3xo = 90 + k.360 cos xo = ½ √ 2

xo = 30 + k.120 xo = 45

xo = 30, 150

atau

Cos 3xo = 0 jadi, Hp = {30, 45, 90, 150}

3xo = 270 + k.360

xo= 90 + k.120

xo= 90

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwatrigonometri adalah

cabang dari ilmu matematika yang mengkaji masalah sudut, terutama sudut segitiga yang

masih ada hubungannya dengan geometri.Sedangkan dalam aplikasinya, trigonometri dapat

diaplikasikan dalam bidang astronomi, bidang sains, pemetaan, listrik, statistik, optik, dan

sebagainya.

3.2 Saran

Saran yang dapat diberikan berdasar diskusi dan laporan kami yang dilakukan adalah :

1. Setelah kami melakukan diskusi tentang Trigonometri, sebaiknya kita mencari sumber

sumber akurat berkenaan dengan Trigonometeri agar konsep teori yang diambil dapat

dimengerti dengan mudah.

2.Untuk seluruh Mahasiswa, selain kita memahami konsep trigonometri kita juga harus

menerapkan konsep tersebut dengan mengerjakan soal soal yang berkaitan dengan

Trigonometri.

3.Untuk penulis laporan yang akan datang, kami sangat berharap dapat memperbaiki laporaan

kami menjadi lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Karyadinata, Rahayu. 2013 .Trigonometri Dasar.Bandung : CV Pustaka Setia.

Zen, Fathurin. 2012. TRIGONOMETRI. Bandung : CV Alfabeta.

http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/58-11-sma-trigonometri-jumlah-dan-selisih-

dua-sudut#ixzz3Cz82NT2j

http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/58-11-sma-trigonometri-jumlah-dan-selisih-

dua-sudut

http://rumushitung.com/2013/04/01/rumus-trigonometri-matematika-sma/

http://duniamat.blogspot.com/2010/08/jumlah-dan-selisih-trigonometri.html

http://rumus-matematika.com/rumus-trigonometri-serta-cara-memperolehnya/

http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/58-11-sma-trigonometri-jumlah-dan-selisih-

dua-sudut