7. trigonometri

TRIGONOMETRI

Drs Manaek Lumban Gaol SMK N 2 Doloksanggul

Adaptif

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

...AE

EE'

AD

DD'

AC

CC'

AB

BB'

KONSEP SINUS

Adaptif


...AE

AE'

AD

AD'

AC

AC'

AB

AB'

KONSEP KOSINUS

Adaptif


...AE'

EE'

AD'

DD'

AC'

CC'

AB'

BB'

KONSEP TANGEN

Adaptif

Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10

cm, sisi BC = 5 cm.

Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....

didapat 5V3C

B

5

A

10

?

Maka diperoleh : sin A = ½

Jadi : cos A = ½ V3

tan A = 1/3 V3

Perbandingan trigonometri

Adaptif

Sudut KhususSudut khusus

S

A B

C

D P Q

R

ABC sama sisi

panjang sisi = 2aPQRS persegi

panjang sisi = 2a

Perbandingan Trigonometri

Adaptif

Sudut Khusus

Perbandibgan Trigonometri

045

045

21

1

030

060

2

1

3

22

145sin 0 2

2

145cos 0

145 0Tan

32

130;

2

130 00 CosSin

33

1300Tan

32

1600Sin

2

1600Cos

360 0Tan

Adaptif


Dengan menggunakan gambar di atas,

tentukan nilai perbandingan :

0o 300 450 600 900

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

sin

cos

tg

ctgsec

eccos

Adaptif

1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:

sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo

cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo

sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo

cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo

Hal Khusus

2. Jika αo + βo + o = 270o, maka:

sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o

cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o


Adaptif

7.1. Perbandingan trigonometri

1. Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen)

A B

C

Pada gambar di atas , yakni Segitiga ABC siku – siku di Aa. Jika panjang sisi AB = 8 dan Panjang sisi AC = 6.

Tentukanlah panjang sisi BC b. Jika sin = 0.5 dan panjang sisi AC =10. Tentukanlah

Panjang sisi-sisi yang lainnya.c. Jika Cos = 0,5 . Tentukanlah tan dan sin

Adaptif

7.1.1 Perbandingan trigonometri

Relasi / Rumus dasar trigonometri

1. Relasi kebalikan :

2. Relasi perbandingan:

3. Relasi Pythagoras

tan

1cot,

sin

1csc,

cos

1sec dan

sin

coscot

cos

sintan dan

22

22

22

csc1.3

sec1tan.2

1cossin.1

Cot

Adaptif

7.1.1 Perbandingan trigonometri

2. Dengan menggunakan Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa . Lengkapilah tabel berikut ini.

a.

b. Jika sin = 0,6 . Tentukanlah : csc , Cos , tan ,sec , dan cot

o0 300 450 600 900

Sec

Csc

Cot

Adaptif

7.1.2 Perbandingan trigonometri sudut-sudut

diberbagai kwadran

Perhatikan gambar berikut

X

P(a,b)

P1 (b,a)

O

y

P2(-b,a)

P3(-a,b)

P4(-a,-b)

P5(-b,-a) P6(b,-a)

P7(a,-b)

Jika XOP = .

a

b

Absis

OrdinatTan

r

a

jariJari

absisNilaiCos

r

b

jariJari

ordinatNilaiSin

Perhatikan XOP 1 = ( 900 - )

...

...)90(

...

...)90(

...

...)90(

1

1

1

1

PabsisNilai

PordinatNilaiTan

jariJari

PabsisNilaiCos

jariJari

PordinatNilaiSin

Adaptif

7.1.1 Sudut yang berrelasi

Ternyata

1. Sin (90 - ) = Cos

2. Cos (90 - ) = Sin

3. Tan (90 - ) = Cot

Buatlah perbandingan trigonometri untuk masing-masing

1. XOP2 =(90+ ).

2. XOP3=...?

3. XOP4 =...?

4. XOP5 =...?

5. XOP6 =...?

6. XOP7 =...?

Adaptif

2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasia. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo

tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo

sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo

b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo

cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo

tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo

c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo

cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo

tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo

AllSin

Tan Cos

Bernilai ”+”

7.1.1 Sudut yang berrelasi

Adaptif

Koordinat Kartesius dan Kutub

x

y

y

x

x

Y

P(x,y)

oKoordinat Kartesius

y

x

X

Y

P(r, )

r

O

Koordinat Kutub

x = r cos a

Y = r sin a

r2 = x2 + y2

tan α =

Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub

Adaptif

ATURANSINUS BAN KOSINUS

1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:

sinsinsin

cba

2. Aturan (rumus) kosinus:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos βc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

2ca

2b2a2c

cos α =

cos β =

2bc

2a2c2b

2ab

2c2b2acos γ =

atau

Adaptif

Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengankecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?

160o

220o

60o

20

32

O

A

B

AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o

= 400 + 1024 – 640

= 784

AB = 28

Jarak antara kedua kapal 28 mil

Rumus Trigonometri dalam segitiga

U

Adaptif

37

51

20

AB

C

Berapakah nilai tan A dan sin B?

cos A = sehingga sin A =

cos B = sehingga sin B =

Maka Tan A = . . . . .?

Adaptif

Luas segitiga

AbcL

BacL

CabL

sin2

1.3

sin2

1.2

sin2

1.1

AB

C

t

c

Luas segitiga = . tinggialas2

1

AbcL

Abt

sin2

1

sin

Atau L = . . . . . . . . . Bila melibatkan sudut B

Adaptif

LUAS SEGITIGA

D

1200

A B

C

a

c

b

Perhatikan segitiga di bawah ini

tinggialasABCL2

1

060sin2

1bcABCL

Soal :Tentukan luas segitiga ABC pada gambar berikut ini.

1350

C

B

A

8 cm

12 cm

Adaptif

Pembahasan soal Luas segitiga

D

Luas ABC =. . . . . . . ?

1350

C

B

A

Adaptif

LUAS SEGITIGA

Luas segitiga apabila diketahui sebuah sisi dan tiga sudut

2......sin

sin

sinsin

1.................sin2

1

A

Babatau

B

b

A

a

CbaABCL

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

A

CBaABCL

sin2

sin.sin2

A

B

C

a

B

CAbABCL

sin2

sinsin2

C

BAcABCL

sin2

sinsin2

Perhatikan segitiga ABC di bawahini

Adaptif

Aplikasi penggunaan rumus

Diketahui segitiga ABC sebagai mana gambar di bawahini

A

B

C

Adaptif

PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA

Ingat aturan Cosinus

bc

acb

bc

acbASin

CosACosAACosASin

ritrigonometdasarIdentitas

bc

acbCosA

21

21

)1)(1(1

2

2222222

22

222

bccbbccbcb

Notes

cbaacbcb

acbbcacbbccb

22

4

1

)(2)(24

1

22222

2222

22

222222

22

ACosA

ACosASin

22

22

1sin

1

Adaptif


Maka kita dapat tuliskan bahwa:

Lanjutkan;

cbacbaacbacbcb

ASin

cbaacbcb

ASin

22

2

2222

22

2

4

1

)(4

1

cscsccbacba

bsbsbcbabca

asasacbaacb

segitigakelilings

acbs

2222

2222

2222

2

1

2

Adaptif


Maka dapat kita tuliskan bahwa:

Menjadi

Ruas kiri dan ruas kanan sama-sam di kali dengan 4b2 c2

cbacbaacbacbcb

ASin22

2

4

1

csbsasscb

ASin 22224

122

2

Adaptif

Kita peroleh :

))()((

))()((2

))()((42

4

22222

22222 22

csbsassL

csbsassbcSinA

ataucsbsassbcSinA

csbsassbcSinA

csbsassASinbc

Adaptif

JARI –JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA

Perhatikan gambar di bawah ini

C

B

A

rN

L = ++

Atau:=(1/2).c.r=(1/2).b.r=(1/2).a.r

_______________________ +L =(1/2).r.(a+b+c)2(L ) = r.(a+b+c

Keliling

ABCLuasr

2

Adaptif

Penggunaan rumus

C

B

A

rN

Tentukan luas daerah diarsir pada segitiga ABC di bawah ini apabila masing-masing sisinya , a = 4 , b = 5 , dan c = 3

Ingat rumus luas segitiga

csbsassABCL

sl6

36

3126

3656466

Jari-jari lingkaran dalam segitiga:

1

12

62

2

r

r

Keliling

ABCLr

Luas daerah diarsir= ABC – Luas lingkaran = 6-

Adaptif

Jari- jari lingkaran luar segitiga

L

cbaR

4

..

A B

C

P

APBPBCosAPPBAPAB 2222

CRc

CRc

CACBgkatkitaCRc

ACBRc

ACBRc

CRRRRc

sin2

sin2

;sinsin22

2cos12

cos12

cos2

2222

222

22

22

222

Dengan cara yang sama kita perolehPerhatikan APB

BRbdanARa sin2sin2

CabABC sin2

1 Luas

ABC

abcR

R

abcABC

R

cabABC

maka

R

cCganbarPerhatikan

CabABC

Luas4

4 Luas

22

1 Luas

:

2sin

sin2

1 Luas

Adaptif

Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri

Rumus trigonometri untuk jumlah dua buah sudut

1.

5.

2.

3.

6.

4.

Rumus trigonometri untuk sudut rangkap

1.

2.

3.

Sin

)(Sin

Cos SinSinCosCos

SinCosCosSin

)(Cos SinSinCosCos

SinCosCosSin

2Tan 21

2

Tan

Tan

2Cos 22 SinCos

2Sin CosSin2

TanTanTan

TanTan

1

TanTanTan

TanTan

1

Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL

Adaptif

RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK PERTENGAHAN SUDUT

Kita ketahui bahwa:

Misalkan 2 = →

rumus terahir akan menjadi

Dengan cara yang sama akan kita peroleh

122 2CosCos

212 2 CosCos

222 SinCosCos22 12 CosCosCos

2

1

2

1 CosSin

2

1

2

1 CosCos

2

212 CosCos

Cos

CosTan

1

1

2

1

penyebutnya dirasionalkan

maka diperoleh

Cos

SinTan

12

1

2

1

Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul

dstCosCos

CosCos...

11

11

Adaptif

Bentuk equivalen rumus pertengahan sudut bagi tangen

Sin

CosTan

Sin

CosSinTan

Cos

CosSinTan

Cos

Cos

Cos

SinTan

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

12

1

2

2

Adaptif

Contoh penggunaan rumus, sekaligus bukti

2

1

2

1

4

1

2

2

1

2

2

11

2

60160

2

1

2

130

2

00

0

CosSin

Sin

Adaptif

2

30115

00 Cos

Sin

2

32

11

2

2

3

2

2

4

32

322

1

Adaptif

Penggunaan rumus trigonometri untuk pertengahan sudut

1.Nilai eksak dari Cos150 dan Sin(22,5)0 dapat ditentukan dengan rumus pertengahan sudut. Tentu kanlah!

Penyelesaian:

2

30115

00 Cos

Cos

2

32

11

2

2

3

2

2

4

32

322

1

Drs. Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul

00

000

30sin45sin30cos45

304515

Cos

CosCos

Adaptif

1324

132

2

1

Buktikan bahwa:

Bukti ruas kiri

baabdanba

bafikasikitaidenti

64

3

64

3;;122

2

1;;

64

32

2

13

8

12

2

13

4

1

2

1

322

132

4

1

bababa .2

Misalkan

a + b =. . . . .

a.b = . . . . . .

033264 2 xx

Adaptif

Soal soal aplikasi

Adaptif

Pembuktian identitas bentuk irasional

Adaptif

222

1

4

22

4

22

2

22

11

2

451

452

15,22

0

0

Cos

CosCos

Adaptif

Perkalian sin dan cos

Dari rumus-rumus trigonometri untuk ( ± )

Dari (1) + (2)

2.Sin .cos =sin ( + )+ sin ( - ). . . . . . . (5)

Dari (1) - (2)

2.Cos .Sin =Sin ( + )- sin ( - ). . . . . . . .(6)

Dari (3) + (4)

2.Cos .Cos =cos ( + )+ cos ( - ). . . . . . . (7)

Dari (3) - (4)

-2.Sin .Sins =Cos ( + )- Cos ( - ). . . . . . . .(8)

Perhatikan penggunaan rumus (5) s/d ()8

1.............sincoscossinsin

2.............sincoscossinsin

3.............sinsincoscoscos

4.............sinsincoscoscos


Adaptif

Pembahasan soal perkalian sin dan cos

1.Nyatakan bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus

a.

b.

c.

d.

00

2

17cos

2

152cos

00

2

17sin

2

152cos

00 2cos8sin xx

00

2

17sin

2

152sin Xz

Kita pilih satu soal untuk kita jawab:

d. Jawab:

234

1

232

1

2

1

22

13

2

1

2

1

45sin60sin2

1

2

17

2

152sin

2

17

2

152sin

2

1

2

17sin

2

152cos

00

000000


Adaptif

Penggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos

Dari rumus-rumus penjumlahan sinus dan cosinus:

Kita misalkan

Maka:

dan

Maka rumus- rumus penjumlahan di atas akan menjadi:

4.............2coscos

2...............coscos2coscos

2.................sincos2sinsin

1.................cossin2sinsin

SinSin

:::; BdanA

BA

BA

B

A

2

1

2

BA

BA

B

A

2

1

2

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

2

1sin

2

1sin2coscos

2

1cos

2

1cos2coscos

2

1sin

2

1cos2sinsin

2

1cos

2

1sin2sinsin


Adaptif


Cos

CosCosCosCosCos

CosCosCosCosCos

CosCosCos

3377

3377

32523sin4sin2

Kita buktikan ruas kiri

2. Buktikan bahwa:

Sin 3A + (Cos A + sin A)(1-2Sin A) = Cos 3A

Kita buktikan ruas kiri.

)3(cos)3(3 CosAASinASinAASinCosAASin

SinAASinSinAACosASinCosAASin 22223

CosAACosSinASinAASinCosAASin 333

ACos3

1. Buktikan bahwa :

Sin4 Sin3 + 2Cos5 Cos2 - Cos3 = Cos


Adaptif


3. Buktikan bahwa:

Kita jabarkan ruas kiri;5cos3216 23 CosCosSinCos

532

35

22232

322

2222

24

22

116

1616

2

2

223

CosCosCos

CosCosCosCos

SinSinSinSin

SinSinSin

CosSinSin

CosSin

CosSin

CosCosSinSinCos


Adaptif

7.1. Identitas trigonometri

Identitas trigonometri (Kesamaan Trigonometri)

1. Rumus-rumus berkebalikan:

2. Rumus-rumus perbandingan:

3. Rumus Hubungan Sin , Cos , dan Tan


sec

1

CoSin

SecCos

1

CotTan

1

cos

SinTan

Sin

CosCot

122 CosSin

221 SecTan

22 sec1 CoCot

Adaptif

Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri

Rumus-rumus Trigonometri Untuk Setengah Sudut.

1. 2. 3.

Rumus-rumus Perkalian Sinus danCosinus

1. 2.Sin .cos = sin ( + )+ Sin ( - )

2. 2.Cos .Sin = Sin ( + )- Sin ( - )

3. 2.Cos .Cos = cos ( + )+ cos ( - )

4. -2.Sin .Sins = Cos ( + )- Cos ( - )

Rumus-rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus

1.

2.

3.

4.


2

1Cos

2

1 Cos

2

1Sin

2

1 Cos

Cos

Cos

1

1

2

1Tan

BA sinsin BABA2

1cos

2

1sin2

BA sinsin BABA2

1sin

2

1cos2

BA coscos BABA2

1cos

2

1cos2

BA coscos BABA2

1sin

2

1sin2

Adaptif

Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri

1. Buktikan bahwa:

Penyelesaian:

=

=

=

=

=


QPCosQPCos

QPSinTanQTanP

2

TanQTanPCosQ

SinQ

CosP

SinP

CosQCosP

SinQCosPCosQSinP

CosQCosP

QPSin

2

2

CosQCosP

QPSin

CosQCosP

QPSin

2

2

QPCosQPCos

QPSin2

Samakan penyebut

Applikasikan Sin ( + ) =.....?

Bagaimana melahirkan angka

2

Ubah perkalian menjadi

penjumlahan

Adaptif

2. Buktikan bahwa:

Penyelesaian:

Kita jabarkan ruas kiri:

=

=

=

=

ATanACosACos

ASinASin3

24

24

ACosACos

ASinASin

24

24

CosAACos

CosAASin

32

32

Ubah penjumlahan Sin dan Cos

menjadi perkalian

sederhanakan

AACosAACos

AACosAASin

242

124

2

12

242

124

2

12

sederhanakan

ACos

ASin

3

3

ATan3

Lalu . . . . . ?


Adaptif


3. Tunjukkan bahwa:

Bukti ruas kiri:

=

=

=

=

=

BATan

BATan

SinBSinA

SinBSinA

2

12

1

SinBSinA

SinBSinA

BASinBACos

BACosBASin

2

1

2

12

2

1

2

12

BASin

BACos

BACos

BASin

2

12

1

2

12

2

12

BACos

BASin

BACos

BASin

2

12

1

2

12

1

BATanBATan2

1

2

1

BATan

BATan

2

12

1

Ubah menjadi perkalian

Uraikan menjadi dua fraksi perkalian

Ubah fraksi perkalian menjadi fraksi pembagian

Ingat perbandingan Sin dan Cos

Kemudian. . . . . . . . . .?


Adaptif


4. Tuhjukkan bahwa:

Penyelesaian:


=

=

=

=


21

22

SinTan

Tan

21

2

Tan

Tan

2

2

1

2

Cos

Sin

Cos

Sin

2

22

2

Cos

SinCos

Cos

Sin

22

2

SinCos

CosSin

2Sin

Ubah

menjadi

catatan sin

dan cos

Jabarkan penyebut

sederhanakan

Adaptif


5. Tunjukkan bahwa:

Penyelesaian:


=

=

=

=

=


SecSinSin

CosCos

32

42

32

42

SinSin

CosCos

32

422

142

2

12

SinSin

SinSin

32

32

SinSin

SinSin

2

2

Sin

Sin

CosSin

Sin

2

2

Sec

Ubah menjadi perkalian

sederhanakan

Sin(- ) = - Sin

Ingat rumus sudut rangkap

sederhanakan

Adaptif


6. Buktikan bahwa:

Dengan ketentuan:

Penyelesaian:

: dan =

Bukti ruas kiri :


0180

SinSinSinSinSinSin 4222

01800180

o180

222 SinSinSin

CosSinSinSin 222

CosSinCosSin 2222

122

2

12

CosSinCosSin 22

CosSinCosSin 22

18022 CosSinCosSin

CosSinCosSin 22

CosSinCosSin 22

CosCosSin2

CosSinSin 22

SinSinSin4

=

=

Ingat rumus sudut rangkap

Applikasikan rumus penjumlahan menjadi perkalian !

2

1cos

2

1sin2sinsin BA

CosSinCosSin 21802

Sederhanakan

+ =1800 -

Sin (1800 - ) = Sin

= 1800 – ( + )

Cos (1800 – ) = - Cos

Faktorkan

Adaptif

SOAL LATIHAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. Buktika bahwa:

a.

b.

2. Diketahui bahwa: dan

Tuniukkan bahwa:

a.

b.

3. Buktikan bahwa:

4. Tunjukkan bahwa:

TanSinSin

CosCos

53

53

BATanBATanCosBCosA

CosBCosA

2

1

2

1

ASinSinAm 3 ACosCosAn 3

ASinACosCosAnm 222

ATann

m2

0240120 00 SinSinSin

4642

642Tan

CosCosCos

SinSinSin


Adaptif

PERSAMAAN TRIGONO METRI

A.`PersamaanTrigonometri sederhana

1. Persamaan berbentuk : Sin x = Sin a0

Grafik fungsi trigonometri Y=Sin x

Sin a0 = Sin (a0 + k. 3600)

Sin a0 = Sin (1800 – a0). (pelurus dari a0)

Sin a0 = Sin (1800 – a0) + k. 3600 (Perode)

Sehingga :

Sin x = Sina0 dan


00 360kax000 360180 kax

BulatBilkRBilx .,.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Axis

Tit

le

Axis Title

Series2

Adaptif


2. Persamaan berbentuk : Cos x = Cos a0

Grafik Fungsi Y = Cos x

Maka untuk Cos X = Cos a

x =a0 + k. 3600 (Perioditas). Dan

Cos a0 = Cos (– a0) Menyebapkan Cos a0 = Cos(-a0 + k.3600)

Sehingga :

Cos x = Cos a0

Maka :

dan00 360kax

00 360kax00 360kaCosx

BulatBilkRx .,

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Adaptif


3. Persamaan berbentuk : Tan x = Tan a0

Grafik Fungsi y = Tan x

Tan a0 = Tan (a + k.3600)

Tan a0 = Tan (1800 + a) dan Tan a0 = Tan(1800 + a0) + k,3600

Sehingga :

Tan x = Tan a0 ↔ x = a0 + k.3600 dan x = (1800 + a) + k.1800 atau

Tan x = Tan a ↔ dengan


BulatBilkRielBilx .,..

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0180kax

90 180 270 360 450 540 630 720

Adaptif

PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi

1. Tentukan x yang memenuhi persamaan:

Sin x = Sin 300

Penyelesaian:

Dik: Sin x = Sin 300 maka:

x = 300 + k.3600 dan x = (180-300) +k.3600

x = 1500 + k.3600

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:

Sin 2x =Sin 300 dalam selang; 00 ≤ x ≥ 3600

Penyelesaian:

2x = 30 + K.3600 ↔ x = 15 + k. 180

k = -1 → x = 15 – 1800 = -1650 (Tidak memenuhi)

k = o → x = 15

k = 1 → x =195

dan

2x = (180 – 30) + K.360 ↔ x = 75 + k. 180

k = o → x = 75

k = 1 → x = 255

k = 2 → x = 75 + 2.180 ↔ x = 4550 (tidak memenuhi)

Himpunan penyelesaian: {150,750 ,1950,2550 }

3. Tentukan x yang memenuhi persamaan:

Cos x = Cos 600

Penyelesaian:

Dik: Cos x = Cos 600 maka:

x = 600 + k.3600 dan x = ±600 + k.3600


Rangkuman IPersamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:

x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600

2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600

3. Tan x =Tan a0 maka:x = a + k.1800

Adaptif

PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONO METRi

4. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan:

Cos 2x = Cos 400 dalam selang 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:

2x = ±400 +k.3600 ↔ x = ±200 +k.1800

k = -1 → x = 200 – 1800 dan

x = -200 -1800 = -2000 (tidak memenuhi)

x = 200- 180 = -1600 (tidak memenuhi)

k = 0 → x = 200 + 0

x = -200 + 0 = -20 (tidak memenuhi)

x = 200 + 0 = 200

k = 1 → x = ± 200 +1800

x = -20 +1800 = 1600

x = 20 +1800 = 2000

K = 2 → x = 200 + 3600

x = -200 + 3600 = 3400

x = 200 + 3600 = 3800 (tidak memenuhi)

HP: {200 , 1600 , 2000 ,3400 }



x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600


3. Tan x =Tan a0 maka:

x = a + k.1800

Adaptif


5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan x = tan 300 dalam selang:

00 ≤ x ≤ 3600

Penyeleaian:

x = 300 + k. 1800

k = -1 → x = . . .?

k = 0 → x = 300

k = 1 → x = 300 + 1800

x = 2100

k = 2 → x = 300 + 3600

x = 3900 (tidak mememnuhi)

Himpunan penyelesaian: {300 , 2100}

6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan 2x = Tan450 : 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:

2x = 450 +k.1800 ↔ x = 22,50 + k.90

K = 0 → x = 22.50 + 0 x 90 = 22.50

K = 1 → x = 22.50 + 1 x 90 = 112.50

K = 2 → x = 22.50 + 2 x 90 = 202.50

K = 3 → x = 22.50 + 3 x 90 = 292.50

K = 4 → x = 22.50 + 4 x 90 = 382.50 (tidak memenuhi)

Himpunan penyelesaian: {22.50, 112.50, 202.50, 292.50}



x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600



Adaptif

PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi

4. Persamaan berbentuk : Sin x = Cos a0

Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai

kwadran, kita ketahui bahwa: Sin x = Cos a0

00 ≤ a ≤ 900

maka: Cos a0 = Sin (90 - a0) dan Cos a0 = Sin (90 + a0) sehjngga terdapat dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:

Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.

5. Persamaan berbentuk : Cos x =Sin a0

Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai kwadran, kita ketahui bahwa: Cos x =Sin a0 dalam selang 00 ≤ a ≤ 900

maka: Sin a0 = Cos (90 - a0) dan Sin a0 = Cos (90 + a0) sehjngga terdapat

dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:

Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.

00

00

0000

90

9090

aSinSinx

aSinSinxaSinCosaCosaSinx

00

00

0000

90

9090

aCosCosx

aCosCosxaCosSinaSinaCosx


Adaptif


7. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 400 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600

Penyelesaian:

Cos x = Sin 400

Sin 400 = Cos (900 ± 400 )

I. Cos x = Cos 900 - 400

Cos x = Cos 500

x = ± 500 + k. 3600

k = 0 → x = ± 500 + 0

x = -500 + 0 = -500 < 0 (tidak memenuhi)

X = 500 + 0 = 500

k = 1 → x = ± 500 + 3600

x = -500 + 3500 = 3000

x = 500 + 3500 = 4100 >0 (tidak memenuhi)

II. Cos x =Cos 90 + 400

Cos x = Cos 1300 , maka:

x = ±1300 + k. 3600

k = 0 → x = ± 1300 + 0

x= -1300 + 0 = -130 < 0 (tidak memenuhi)

x = 1300 + 0 = 1300

k=1 → x = ± 1300 +3600

x = - 1300 +3600 = 2300

x = 1300 +3600 = 4900 > 0 (tidak memenuhi)

HP.{500 . 1300 , 2300 , 3000}


Rangkuman II

Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:

x = a0 + k.3600 dan x = (180- a0) +k.3600



4.

5.

00

00

0000

90

90

90

aCosCosx

aCosCosx

aCosSinaSinaCosx

00

00

0000

90

90

90

aSinSinx

aSinSinx

aSinCosaCosaSinx

Adaptif


8. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 300 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600

Penyelesaian:

Sinx = Cos 400

I. Cos 400 = Sin (90 ±40)

Sin x = Sin 500 maka:

x = (1800 – 500) + K. 3600

x = 1300 + k.3600

k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300

k = 1 → x = 1300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi)

dan

x = 50 + k.3600

k = 0 → x = 500 + 0 = 500


II. Cos 40 = Sin (900 +400)

Sin x = Sin 1300 maka:

x = (1800 – 1300) + K. 3600

x = 500 + k.3600

k = 0 → x = 500 + 0 = 500


x = 1300 + k.3600

k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300


HP: {50, 130,}

Rangkuman II

Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:

x = a0 + k.3600 dan x = (1800 - a0) +k.3600



4.

5.

00

00

0000

90

90

90

aCosCosx

aCosCosx

aCosSinaSinaCosx

00

00

0000

90

90

90

aSinSinx

aSinSinx

aSinCosaCosaSinx


Adaptif

PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi

6. Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c

Simaklah uraian berikut ini.

r Cos ( - ) = r. Cos Cos + r. Sin Sin = c

Misalkan; a = r. Cos dan b = r. Sin . Terdapat hubungan yakni

a2 + b2 = r2 Cos2 +r2 Sin2

a2 + b2 = r2 (Cos2 + Sin2 )

a2 + b2 = r2↔ dan

Persamaan persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c dapat diselesaik dengan terlebih dahulu mengubah persamaan itu menjadi bentuk;

r Cos(x - ) = c dan memenuhi persyaratan apabila:

;

Dari itu maka harus dipenuhi syarat: c2 ≤ a2 + b2


22 barb

aTanTan

Cosr

Sinr

b

a2

2

2222 0011)( rcrcrcrcrcrr

c

r

cxCos

Kesimpulannya:Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c ;memenuhi syarat; c2 ≤ r2

a = r Cos b = r Sin ;

22 bar

b

aTan

7. trigonometri

Documents

Transcript of 7. trigonometri