www.pintarmatematika.web.id - 1

TRIGONOMETRI

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α = r

y

r y

Cosα = r

x

α

x Tanα = x

y

Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin α + 2cos α = 1

2. tan α = αα

cos

sin

3. sec α = αcos

1

4. cosec α = αsin

1

5 . cotan α = αα

sin

cos

6. 2tan α + 1 = 2sec α 7. 2cotan α + 1 = 2cosec α

Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

5. tan (A + B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

−+

6. tan (A - B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

+−

Rumus-rumus Sudut Rangkap :

1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A

3. tan 2A = 2)(tan1

tan2

A

A

−

Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian ���� jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih ���� perkalian

1. Sin A + sin B = 2 sin 2

1 (A + B) cos

2

1(A –B)

2. Sin A - sin B = 2 cos 2

1 (A + B) sin

2

1(A –B)

3. cos A + cos B = 2 cos2

1 (A + B) cos

2

1(A –B)

4. cos A - cos B = - 2 sin2

1 (A + B) sin

2

1(A –B)

www.pintarmatematika.web.id - 2

Sudut-sudut istimewa :

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

II I Sin + Semua + III IV Tan + Cos +

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant: Kuadrant I Sin (900 - θ ) = cos θ Cos (900 - θ ) = sin θ tan (900 - θ ) = cotan θ Kuadratn II : Sin (1800 - θ ) = sin θ Cos (1800 - θ ) = -cos θ tan (1800 - θ ) = -tan θ

Kuadrant III : Sin (1800+ θ ) = -sin θ Cos (1800+ θ ) = -cos θ tan (1800 + θ ) = tan θ

Kuadrant IV : Sin (3600 - θ ) = -sin θ Cos (3600 - θ ) = cos θ tan (3600 - θ ) = -tan θ

Aturan sinus dan cosinus C b γ a α β A c B aturan sinus

αsin

a =

βsin

b =

γsin

c

Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos α 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos β 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos γ Luas Segitiga

Luas segitiga = 2

1 ab sin γ

= 2

1 ac sin β

= 2

1 bc sin α

α 00 030 045 060 090

Sin 0 2

1 21 2 2

1 3 1

Cos 1 2

1 3 21 2 2

1 0

Tan 0 3

1 3 1 3 ~

Kuadrant I α

Kuadrant II 0180 - α

Kuadrant III 0180 + α

Kuadrant IV 0360 - α

Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

www.pintarmatematika.web.id - 3

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

P(x,y) � koordinat cartesius P(r,0α )� koordinat kutub y

0α x

P (x,y) → P (r, 0α )

r = 22 yx +

0α didapat dari tan 0α = x

y

P (r, 0α ) → P (x,y) x = r cos 0α ; y = r sin 0α jadi , p (x,y) = p(r cos 0α , r sin 0α )

Nilai Maksimum dan Minimum

1. Jika y = k cos (x + nπ ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= π 2. Jika y = k sin (x + nπ ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ ) = 1

sehingga (x + nπ )= 2

π

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ ) = -1

sehingga (x + nπ )= 2

3π

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin α , maka 1x = α + k. 0360

2x = ( 0180 - α ) + k. 0360 b. cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360

c. tan x = tan α , maka x = α + k. 0180

Persamaan umum trigonometri adalah : a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )

dengan k = 22 ba + : persamaan lengkapnya: a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c

α didapat dari tan α = a

b

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c2 ≤ a2 + b2

2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

www.pintarmatematika.web.id - 4

Fungsi Trigonometri: 1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo � ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat 2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo � ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat

www.pintarmatematika.web.id - 5

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat

www.pintarmatematika.web.id - 6

Contoh Soal : Soal-soal UN2010 – UN2012 UN2010

1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2

x – 3 cos x +

1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah ….

A.

6

5,

6

ππ C.

3

2,

3

ππ E.

3

4,

3

2 ππ

B.

6

11,

6

ππ D.

3

5,

3

ππ

Jawab:

2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y

2y2

- 3y + 1 = 0

(2y -1) (y -1) = 0

2y-1 = 0

y = 2

1� cos x =

2

1

x = 600 (

3

π) dan 300

0 (

3

5π)

y-1 = 0

y = 1 � cos x = 1

x = 00 dan 360

0 (2π ) � tidak memenuhi 0 < x < 2π

Himpunan penyelesaiannya adalah

3

5,

3

ππ

Jawabannya adalah D

UN2010

2. Hasil dari =−++++−

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

αααα

.…

A. - 3 C. 3

13 E. 3

B. -3

13 D. 1

Jawab:

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

=−++++−

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

αααα

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

αααα

−++−++

= 00

00

cos30cos2

cos60sin2

αα

= 0

0

30cos

60sin

=

32

1

32

1

= 1

Jawabannya adalah D

UN2010

3. Diketahui (A+B) = 3

π dan sin A sin B =

4

1. Nilai dari

cos (A – B) = ….

A. –1 C. 2

1 E. 1

B. -2

1 D.

4

3

Jawab:

-2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) � sin A sin B

= - 2

1{ cos (A+B) – cos(A-B)}

- 2

1{ cos (A+B) – cos(A-B)} =

4

1

- 2

1{ cos (

3

π) – cos(A-B)} =

4

1

www.pintarmatematika.web.id - 7

- 2

1{

2

1 – cos(A-B)} =

4

1

2

1 – cos(A-B) = -

4

2 = -

2

1

2

1+

2

1 = cos(A-B)

cos(A-B) = 1

Jawabannya adalah E

UN2011

4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0,

00 ≤ � ≤ 180

0 adalah....

A. {450, 120

0} C. {60

0, 135

0} E. {60

0, 180

0}

B. {450, 135

0} D. {60

0, 120

0}

Jawab:

cos 2x + cos x = 0

cos 2x = 2cos x -

2sin x = 2cos x – (1 -

2cos x)

= 22cos x - 1

sehingga

cos 2x + cos x = 2 2cos x - 1 + cos x = 0

(2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 cos x + 1 = 0

2 cos x = 1 cos x = -1

cos x = 2

1 x = 1800 (di kuadran ke-2)

x = 600

Himpunan penyelesaiannya adalah 600 atau 180

0

Jawabannya adalah E

UN2011

5. Nilai ��� ������ ���

�� ����� ��� = .....

A. - √3 B. −1

2√3 C. −

1

3√3

D. ��√3 E. √3

Jawab:

cos A - cos B = - 2 sin2

1 (A + B) sin

2

1(A –B)

Sin A - sin B = 2 cos 2

1 (A + B) sin

2

1(A –B)

��� ������ ���

�� ����� ��� =

��� ��������������

�����������

� �����������������

�����������

= ���

�������

� ����������

= - �� ����

��� ����

= - ��√�

��

= √3

Jawabannya adalah E UN2011

6. Diketahui (A+B) = �

� dan Sin A Sin B =

�

�, Nilai dari cos (A- B) = …

A. -1 B. - �

� C.

�

� D.

�

� E. 1

Jawab:

(A+B) = �

� maka cos (A+B) = cos

�

� = Cos 60

0 =

�

�

cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B �

� = CosA Cos B –

�

� � CosA Cos B =

�

� + �

� = �

�

cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = �

� + �

� = 1

Jawabannya adalah E

www.pintarmatematika.web.id - 8

UN2012

7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1;

0 < x < 2π adalah ....

A. { 0, �

� π,

�

� π, 2π } C. { 0,

�

� π, π,

�

� π } E.

{ 0, �

� π, π }

B. { 0, �

� π,

�

� π, 2π } D. { 0,

�

� π,

�

� π }

Jawab:

cos2x = cos2x – sin

2x

= cos2x – (1 – cos

2x)

= 2 cos2x - 1

cos2x -2cos x = -1

2 cos2x – 1 – 2 cos x + 1 = 0

2 cos2x – 2cos x = 0

cos2x – cos x = 0

cosx . (cosx – 1) = 0

cos x = 0 ; cos x = 1

cos x = cos �

� cos x = cos 0

0

cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360

cos x = cos �

�

1x = �

� + 0. 2π ; 2x =-

�

� + 1. 2π

= �

� =

��

�

cos x = cos 00

1x = 0 + 0. 2π ; 2x = 0 + 1. 2π

= 0 = 2π

karena intervalnya 0 < x < 2π,

maka nilai yang memenuhi adalah �

� dan

��

�

Tidak ada jawaban

UN2012

8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....

A. �

� √2 D.

�

� √2

B. �

� √3 E.

�

� √6

C. �

� √6

Jawab:

Sin A - sin B = 2 cos 2

1 (A + B) sin

2

1(A –B)

sin 75° - sin165 = 2 cos 2

1 (75

0 + 165

0) sin

2

1(75

0 –165

0)

= 2 cos 2

1. 240

0 sin

2

1(-90

0)

= 2 cos 1200 sin (-45

0)

sin –� = - sin �

cos –� = cos �

tan –� = tan �

Cos (1800 - θ ) = - cos θ

= 2 cos (1800 – 60

0) . – sin 45

0

= - 2 cos 600. – sin 45

0

= 2. ½ . ½ √2

= ½ √2

Jawabannya D

UN2012

9. Diketahui α – β = �

� dan sin α . sin β =

�

� dengan α dan β

merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...

A. 1 B. �

� C.

�

� D.

�

� E. 0

Jawab:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B

cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

� cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β

= cos �

� – ¼ - ¼

= ½ - ½ = 0

Jawabannya E