www.pintarmatematika.web.id - 1

TRIGONOMETRI

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin = r

y

r y

Cos = r

x

x Tan = x

y

Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin + 2cos = 1

2. tan =

cos

sin

3. sec = cos

1

4. cosec = sin

1

5 . cotan =

sin

cos

6. 2tan + 1 = 2sec 7. 2cot an + 1 = 2cos ec

Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

3. cos (A + B) = cos A cos B sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

5. tan (A + B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

+

6. tan (A - B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

+

Rumus-rumus Sudut Rangkap :

1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A

3. tan 2A = 2)(tan1

tan2

A

A

Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian

1. Sin A + sin B = 2 sin 2

1 (A + B) cos

2

1(A B)

2. Sin A - sin B = 2 cos 2

1 (A + B) sin

2

1(A B)

3. cos A + cos B = 2 cos2

1 (A + B) cos

2

1(A B)

4. cos A - cos B = - 2 sin2

1 (A + B) sin

2

1(A B)

www.pintarmatematika.web.id - 2

Sudut-sudut istimewa :

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

II I Sin + Semua + III IV Tan + Cos +

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant: Kuadrant I Sin (90 0 - ) = cos Cos (90 0 - ) = sin tan (90 0 - ) = cotan Kuadratn II : Sin (180 0 - ) = sin Cos (180 0 - ) = -cos tan (180 0 - ) = -tan

Kuadrant III : Sin (180 0 + ) = -sin Cos (180 0 + ) = -cos tan (180 0 + ) = tan

Kuadrant IV : Sin (360 0 - ) = -sin Cos (360 0 - ) = cos tan (360 0 - ) = -tan

Aturan sinus dan cosinus C b a A c B aturan sinus

sin

a =

sinb

= sin

c

Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos Luas Segitiga

Luas segitiga = 2

1 ab sin

= 2

1 ac sin

= 2

1 bc sin

00 030 045 060 090 Sin 0

21 2

1 2 21 3 1

Cos 1 2

1 3 21 2 2

1 0

Tan 0 3

1 3 1 3 ~

Kuadrant I

Kuadrant II 0180 -

Kuadrant III 0180 +

Kuadrant IV 0360 -

Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

www.pintarmatematika.web.id - 3

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

P(x,y) koordinat cartesius P(r, 0 ) koordinat kutub y

0 x

P (x,y) P (r, 0 )

r = 22 yx +

0 didapat dari tan 0 = x

y

P (r, 0 ) P (x,y) x = r cos 0 ; y = r sin 0 jadi , p (x,y) = p(r cos 0 , r sin 0 )

Nilai Maksimum dan Minimum

1. Jika y = k cos (x + n ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n ) = 1 sehingga (x + n )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n ) = -1 sehingga (x + n )= 2. Jika y = k sin (x + n ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n ) = 1

sehingga (x + n )= 2

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n ) = -1

sehingga (x + n )= 2

3

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin , maka 1x = + k. 0360 2x = (

0180 - ) + k. 0360 b. cos x = cos , maka 2,1x = + k. 0360 c. tan x = tan , maka x = + k. 0180

Persamaan umum trigonometri adalah : a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - )

dengan k = 22 ba + : persamaan lengkapnya: a cos x + b sin x = k cos (x - ) = c

didapat dari tan = a

b

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c 2 a 2 + b 2

2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax c, cos ax c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

www.pintarmatematika.web.id - 4

Fungsi Trigonometri: 1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ( nilai maksimum nilai minimum) = (1 (-1)) = .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2

d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 ) = sin x, k bilangan bulat 2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ( nilai maksimum nilai minimum) = (1 (-1)) = .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 ) = cos x, k bilangan bulat

www.pintarmatematika.web.id - 5

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. ) = tan x, k bilangan bulat

www.pintarmatematika.web.id - 6

Contoh Soal : Soal-soal UN2010 UN2012 UN2010

1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2 x 3 cos x +

1 = 0 untuk 0 < x < 2 adalah .

A.

6

5,

6

C.

3

2,

3

E.

3

4,

3

2

B.

6

11,

6

D.

3

5,

3

Jawab:

2cos2 x 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y

2y2

- 3y + 1 = 0

(2y -1) (y -1) = 0

2y-1 = 0

y = 2

1 cos x =

2

1

x = 600 (

3

) dan 300

0 (

3

5)

y-1 = 0

y = 1 cos x = 1

x = 00 dan 360

0 (2 ) tidak memenuhi 0 < x < 2

Himpunan penyelesaiannya adalah

3

5,

3

Jawabannya adalah D

UN2010

2. Hasil dari =++++

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

.

A. - 3 C. 3

13 E. 3

B. -3

13 D. 1

Jawab:

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

=++++

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

00

00

)30cos()30cos(

)60sin()60sin(

++++

= 00

00

cos30cos2

cos60sin2

= 0

0

30cos

60sin

=

32

1

32

1

= 1

Jawabannya adalah D

UN2010

3. Diketahui (A+B) = 3

dan sin A sin B =

4

1. Nilai dari

cos (A B) = .

A. 1 C. 2

1 E. 1

B. -2

1 D.

4

3

Jawab:

-2sin A sin B = cos (A+B) cos(A-B) sin A sin B

= - 2

1{ cos (A+B) cos(A-B)}

- 2

1{ cos (A+B) cos(A-B)} =

4

1

- 2

1{ cos (

3

) cos(A-B)} =

4

1

www.pintarmatematika.web.id - 7

- 2

1{

2

1 cos(A-B)} =

4

1

2

1 cos(A-B) = -

4

2 = -

2

1

2

1+

2

1 = cos(A-B)

cos(A-B) = 1

Jawabannya adalah E

UN2011

4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0

0 1800 adalah....

A. {450, 120

0} C. {60

0, 135

0} E. {60

0, 180

0}

B. {450, 135

0} D. {60

0, 120

0}

Jawab:

cos 2x + cos x = 0

cos 2x = 2cos x - 2sin x = 2cos x (1 - 2cos x)

= 22cos x - 1

sehingga

cos 2x + cos x = 2 2cos x - 1 + cos x = 0 (2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0

2 cos x 1 = 0 cos x + 1 = 0

2 cos x = 1 cos x = -1

cos x = 2

1 x = 1800 (di kuadran ke-2)

x = 600

Him