Trigonometri  

1  

Halvor Aarnes, 2014, UiO Trigonometri

Innhold Trigonometri .......................................................................................................................................... 1 

Sinus og cosinus ............................................................................................................................... 8 

Tangens ........................................................................................................................................... 13 

Inverse trigonometriske funksjoner .................................................................................................. 13 

Hyperbolske funksjoner ..................................................................................................................... 15 

Lissajous-kurver .................................................................................................................................. 17 

Lemniskate .......................................................................................................................................... 18 

Kardioide .............................................................................................................................................. 20 

Asteroide .............................................................................................................................................. 22 

Sommerfuglkurve ................................................................................................................................ 23 

“Heksen til Agnesi” ............................................................................................................................. 25 

Episykloide ........................................................................................................................................... 27 

Periodiske funksjoner og Fourier rekker ......................................................................................... 27 

Weierstrass-funksjon ...................................................................................................................... 29 

FM, AM og Herz .................................................................................................................................. 29 

Stemming og kammertone ............................................................................................................ 30 

Bioakustikk og digital lyd ................................................................................................................... 31 

Lydytringer og lydmottak hos dyr ................................................................................................. 33 

Digital lyd .......................................................................................................................................... 34 

Datakompresjon .............................................................................................................................. 38 

Kardinalsinusfunksjonen .................................................................................................................... 39 

Bølger og harmonisk bevegelse ....................................................................................................... 41 

Lys og elektromagnetisk stråling ...................................................................................................... 43 

Praktiske oppgaver ............................................................................................................................. 46 

 

Trigonometri Trigonometri er trekantberegninger. Hvis vi har en rettvinklet trekant med hypotenus c og to kateter (a og b) med vinkel alfa (α) har vi følgende definisjoner for sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan), kotangens (cot),

Trigonometri  

2  

sin

secans (sec) og kosecans (sec). Hvis trekanten nedenfor tegnes på en kule for eksempel et appelsinskall har vi sfærisk trigonometri som benyttes innen navigasjon og astronomi.

å  

cos 

tanå  

 

                                  

For en rettvinklet trekant har vi Pythagoras setning:

Trigonometri  

3  

  

En vinkel kan måles i grader (o) eller som buemål i radianer. Vinkelen mellom to vinkelbein, som også er en del av en sirkel med radius r, uttrykt i radianer blir:

Hvis vi har en enhetssirkel med radius=1 så er omkrets av sirkelen lik to pi (2π radianer). Buelengden blir omkretsen av hele sirkelen

22  

  2 · ·360

Den greske bokstaven pi (π) brukes til å betegne forholdet mellom omkretsen til en sirkel (sirkelperiferi) og diameteren til sirkelen. Pi (π) er et irrasjonalt og transcendentalt tall (π=3.145926535…). En omdreining av sirkelen er lik 2π radianer som er lik 360o. For en vinkel α så blir den tilsvarende buen (arc) i radianer lik:

Hvor mange grader tilsvaren 1 radian ?

Hvis vi har en likesidet rettvinklet trekant vil de to andre vinklene i trekanten være lik 45o=π/4.

Trigonometri  

4  

2         √2Vi får fra Pythagoras:

·   

4 √21√2

√2For 45o får vi:

· 2

2

For sin(π/4) får vi tilsvarende. Vi kan ha en annen rettvinklet trekant men hvor a=c/2 og b≠a, så får vi en vinkel lik 60o=π/3 Vi får da:

      4        

√32

å

og kan regne ut tilsvarende for sin og cos. Vi gjentar:

Figur. En rettvinklet trekant med vinkel theta (θ), hosliggende og motstående katet, og hypotenus.

                  å

Trigonometri  

5  

Figur. Rettvinklet trekant med kateter lengde lik 1, og likesidet trekant med sidelengde lik 2. For en rettvinklet trekant med kateter med lengde 1 så blir hypotenusen lik √2, og

451√2

√22       cos 45

4√22         45

11

1

i setter inn i enhetssirklen   1

2 1  √2

Ved 45o(π/4) er x=y. V

som gir: 1

For en likesidet trekant med lengde 2 blir vinklene 60o, men fra denne kan det lages to rettvinklete trekanter med vinkler 90o, 60o og 30o hvor

ypotnusen får lengde 2 og den ene kataten får lengde 1. Vi kan da finne

hlengden av den andre kateten √3 vha. Pythagoras setning:

603

√32       60

312        60

√31

√3

306

12       30

6√32       30

1√3

√33

Trigonometri  

6  

Figur. Enhetssirkelen med radius = 1 Hvis vi har punkter på enhetssirkelen P= (a, b)=(cosθ, sinθ), så vil lengden av en vektor (a,b)

| , |

erved blir lengden av vektoren OP på enhetssirklen hvor (cosθ)2 er dss. Dcos2θ

1

et vil si:

Euler standardiserte definisjonen av sinus og cosinus basert på en med radius lik 1. Vinkler kan uttrykkes i grader (o) hvor en

mdreining av en radius i sirkelen er 360o. Vi fortrekker å uttrykke vinkler . 1 radian er vinklen som gir buelengde lik 1 på enhetssirkelen.

Omkretsen til enhetssirkelen er 2π, og en omdreining (mot klokka) av nhetssirkelen tilsvarer derfor 2π radianer.

D1

enhetssirkeloi radianer

e360 2  

3602

                    12360

 

  180

vor mange radianer er 30o? H

Trigonometri  

7  

30 · 180

0.524 

Vi har at 1 radian tilsvarer 57.3o:

13602

57.3

Hvor mange grader er 0.5 radianer ?

0.5 ·180 

28.6

Vi foretrekker å beregne sinus og cosinus til et tall, ikke vinkler, i området <x <2π. På figuren nedenfor er sinx=b og cosx=a

Figur. Enhetssirklen kan deles inn i fire kvadranter og vi regner mot klokka fra 1. til 4. kvadrant. Hvis x=π så har vi punktet P=(-1,0) hvor sinπ = 0 og coxπ = -1. Hvis x=π/2 så har vi punktet P=(0,1) hvor sinπ/2 = 1 og cosπ/2 = 0. Vinkel π/2 ir bevegelse mot klokka på enh tssirkelen, -π/2 er den samme vinkel

vinkel målt i grader og den tilsvarende o o

0

g emen bevegelse med klokka.

abell Sammenheng mellomTsirkelbuen (arc, l. arcus = bue) målt i radianer. 90 =π/2, 60 =π/3, 45o=π/4, 30o=π/6 α 1o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o arc α π/180 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

Trigonometri  

8  

ier: Tabell. Sammenhengen mellom noen vinkler og trigonometriske verdα sin α cos α tan α 0o 0 1 0

o 12

12√

30 313√

3 45 o 1

2√2

1√22

1 60 o 1

2√3

12 √3

o 1 0 ∞90 Vi har sinusloven:

Vi har cosinusloven: 2 · 2 · 2 ·

inus og cosinus treffer man ofte på prosesser som følger

harmoniske svingninger.

SInnen naturvitenskap

Trigonometri  

9  

Figur. Sinusfunksjonen sinx som funksjon av fasevinkel 0-360o (0-2π)

Figur. Cosinusfunksjonen cosx som funksjon av fasevinkel 0-360o (0-2π)

Trigonometri  

10  

2

Figur. Sinus- og cosinus-funksjonen sinx som funksjon av fasevinkel 0 til 4π. Sinus- og cosinusfunksjoner viser harmoniske svingninger og er faseforskjøvet i forhold til hverandre:

cos

sin 0 0    2

1     cos 0 1       2

0         

     

2       2      

cos · ·

· ·

ølgende formler er også mye brukt:  

2 1 2

Euler fant standardformlene for addisjon og subtraksjon: sin · ·

2 2F

Trigonometri  

11  

22 2

22 2

amt halvvinkelformlene:

22

S1

              1 2

2

En omdreining av sirkelen er lik 2π radianer som er lik 360o. For en

  2 · ·360

vinkel α så blir den tilsvarende buen (arc) i radianer lik:

·            √ 1

De Moivres identitet kunne Euler utlede:

· cos · · essuten fant Euler rekkeutvikling for de trigonometriske funksjonene: D

sin3! 5! 7!

12! 4!

Euler kunne også vise den berømte sammenhengen mellom

ksponentialfunskjon og trigonometrisk funksjon: e· ·

2

sin· ·

2

Det vil si:

· cos  · sin 

Vi har generelt for en funksjon:

Trigonometri  

12  

· cos 2

Hvor m er middelverdi, a er amplitude, n er periode og x0 er akrofase.

unksjonen

6 4cos 2

·12

F

får følgende grafiske framstilling

 

 

 

Trigonometri  

13  

angens

Figur. Tangens-funksjonen tanx som funksjon av fasevinkel.

ormel for tangens, cotangens, sekant, og cosecant:

T

F

        sin

1         

1        

1

Inverse trigonometriske funksjoner k funksjon må vil velge

arcsin             sin           2

For å kunne finne den inverse av en trigonometriset intervall for sinus- eller kosinusfunksjonen er monotont stigende eller synkende. Den inverse sinusfunksjonen kalles arcsin.

2

Inverse trigonometriske funksjoner asin(x), acos(x) og atan(x) gir henholdsvis arcsinus, arccosinus og arctangens.

Trigonometri  

14  

Figur. Sinus-funksjonen og den inverse arcsin-funksjonen I det åpne intervallet [-1,1] kan vi definere den deriverte:

1√1

1√1

Vi har derfor integralet:

sin  

Figur. Cosinus-funksjonen og den inverse arccos-funksjonen.

arcsin er ikke definert utenfor intervallet [-1,1] Vi kan gjøre det tilsvarende for arccos og velger nå intervallet [0,π]:

Trigonometri  

15  

Figur. Tangens-funksjonen og den inverse arctangens-funksjonen.

Hyperbolske funksjoner ponentialfunksjoner, og disse kalles

r

2

Det er noen kombinasjoner av ekshyperbolsk sinus sinh(x), hyperbolsk cosinus cosh(x) og hyperbolsk tangens tanh(x). Navnet hyperbolsk har de fått pga. den geometriske realsjonen til hyperbler, på samme måte som trigonometriske funksjoneer relatert til en sirkel.

      2

       

1

        1

      1

Vi har også:

0 1      0 0    cosh       sinh

yperbolske funksjoner har noen likhetstrekke med trigonometriske

                  1

i har også inverse hyperbolske funksjoner sinh-1 og tanh-1.

Hfunksjoner, men også noen spesielle egenskaper:

V

Trigonometri  

16  

           sinh

iden hyperbolske funksjoner kan uttrykkes som eksponentialfunksjoner Skan inverse hyperbolske funksjoner uttrykkes som logaritmer:

1

Figur. Hyperbolsk sinus (sinh(x)).

Figur. Hyperbolsk cosinus (cosh(x)).

Trigonometri  

17  

· sin             · sin 

Figur. Hyperbolsk tangens (tanh(x)).

Lissajous-kurver Jules Antoine Lissajous (1822-1880) beskrev bevegelsen av to pendler (Lissajous-kurver, harmonograf):

hvor A og B er amplitude, d er faseforskjell og a/b er relativ frekvens.

Trigonometri  

18  

·

· cos1

Figur. Lissajous-kurve med amplituder A=2 og B=3, d=1, a=3, og b=2.

Lemniskate Lemniskate (gr. lemniskos – sløyfe) er en funksjon undersøkt av Jakob Bernoulli (1694) med den kartesiske ligningen:

Euler og Gauss målte buelengden på elipser og buer bl.a. lemniskate hvor lengden av buen er summering av linjesegmenter langs buen. Dette førte videre fram til den inverse funksjonen av eliptiske integraler, og videre til eliptiske funksjoner i kompleks analyse. De parametriske ligningene for lemniskate er:

· sin · cos1

Trigonometri  

19  

· cos · sin

0

cos sin   · cos

Figur. Lemniskate for a=1 som også ligner på symbolet for uendelig (∞). Det er samme resonnement hvor sirkelen med radius r har den kartesiske formel:

og de parametriske ligningene for sirkelen er:

Det viste seg at Bernoulli-lemniskate er en form av Cassini ovaler, beskrevet av Jacques Cassini ifm. med planetbevegelser. Gerono-lemniskate ble studert av Camille-Christophe Gerono (1799-1881) med formel:

med parametriske ligninger:

Trigonometri  

20  

4 · 4 · ·

2 · 1

Figur. Gerono-lemniskate.

Andre eksempler er Booth-lemniskate (l. hippopede – hestefot) hvor c=0.5 tilsvarer Bernoulli lemniskate:

Buelengden s for en Bernoulli-lemniskate med avstand mellom fokalpunktene lik 2 (a=1) og Γ er gammafunksjonen:

 1

√2 ··

14

5.2441151086…

12

Lemniskatekonstanten L:

·

2 cos cos  2

2 sin sin  2

Kardioide Kardioide er en hjerteformet figur som beskrives av et punkt på omkretsen av en rullende sirkel som ruller rundt på en annen sirkel med fast radius, navn fra Castillon (1741). Følgende parametriske ligninger beskriver kurven hvor r er lik radius i den rullende sirkelen:

Trigonometri  

21  

Figur. Kardioide for r=0.5

realet av en kardioide er lik 6πr2 og perimeterlengden er 16r.

et komplekse plan beskrives kardioiden av ligningen:

2

Figur. Kardioide i kompleksplanet, r=0.5

A I d

Trigonometri  

22  

En asteroide er en hyposykloide eller superelipse med koordinater:

og matematiker Ole Christensen ømer (1644-1710), også kjent for meridiansirkelen og oppdagelsen at

lyset har begrenset hastighet.

Asteroide

Undersøkt av den danske astronom R

En asteroide kan beskrives av kurven:

1

ver bevegelsen av et punkt på en sirkel med radius

irkel som den minste sirkelen beveger seg på innsiden v.

Figur. Asteroide

En asteroide beskri1/4 av en større sa

Trigonometri  

23  

Mer generelt:

hvor r er radius på ytre sirkel og r/4 er radius på den indre rullende sirkel. Lengden av asteroiden er 6r og arealet er 3πr2/8.

Sommerfuglkurve Den algebraiske sommerfuglkurven er gitt ved funksjonen

Det vil si:

Trigonometri  

24  

2

Figur. Algebraisk sommerfuglkurve Arealet av en sommerfuglkurve er gitt ved:

16 · 1

33√

2.804364

sin    2 cos 4  12

Nok et eksempel på hvor pi(π) og gamma (Γ) inngår: Den transcendentale sommerfuglkurven ble oppdaget av Temple.H. Fay og er gitt ved de parametriske ligningene:

cos    2 cos 412

Trigonometri  

25  

Figur. Fays transendentale sommerfuglkurve

“Heksen til Agnesi” Italienske Maria Gaetano Agnesi (1718-1799), en av de matematiske pioneerne i sitt århundre laget en kurve som på italiensk heter versiera (svingende kurve). Ordet er likt avversiera (konen til djevelen, altså heks), og derved ble det vridd på ordbruken. Agnesi skrev i 1748 tobindsverket Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana (Innføring i analyse).

Trigonometri  

26  

           

Det er en kurve som beskrives av punktet P når S beveger seg bortover tangenten og R rundt sirkelen. Kurven har parametriske verdier:

Det er også tegnet en kurve som ligger i vinkel til denne gitt ved formelen:

I forbindelse med Agnesis knute kan man spørre, hvor buet er en kurve ? John Milnor grublet over dette. En måte er å bestemme radius i en sirkel som best passer overens med buen på kurven. Jo større radius på den tilpassete sirkelen desto mindre er buen på kurven. Er kurven sterkt buet blir den best beskrevet av en liten sirkel, dvs. liten radius. Kurvaturen er den resiproke (inverse) til radius, 1/r. Hvis kurven man ser på er sirkelen selv så vil kurvaturen være 1/r. Lengden på kurvaturen vil være omkretsen av sirkelen 2πr, slik at kurvaturen for en sirkel blir blir 1/r·2πr=2π. Knutetopologi er en del av topologien som omhandler knuter. I dette tilfellet er en knute en lukket kurve i rommet. Den enkleste av alle knuter er sirkelen, men kalles ofte bare en uknute. En knute har ingen åpne ender. Fáry-Milners teorem (István Fáry) sier at hvis en knute ikke er en uknute så må den totale kurvaturen være større enn 4π. Trekløverknuten er den enkleste ikke-trivielle formen av knute med tre løkker tredd ihverandre. Det finnes uknuter med kurvatur større enn 4π, for eksempel hvis man har et tau isirkel og lager to løkker på tauet.

Trigonometri  

27  

11

Episykloide Vi har en episykloide med følgende parameterframstilling:

1cos

11

1sin

2 cos sin  2

Det minste positive tallet T kalles den fundamentale perioden.

Figur. Episykloide for n=1:6.

Periodiske funksjoner og Fourier rekker Følgende funksjon f(x) har periode T=2, og er satt sammen av to periodiske funksjoner g(x)=2cos(πx) med periode T=2, og h=sin(2πx) med periode T=1.

En funksjon er periodisk med periode T hvis for alle t, hvor m er et heltall:

Trigonometri  

28  

summen

2

Hvis f er periodisk med en fundamental periode så vil f(x) væreav en rekke, kalt Fourier serie, med Fourier-koeffisienter an, bn , og omega(ω) er lik ω=2π/T

cos∞

Fourier-koeffisientene er gitt ved:

2

2

ean Baptiste Joseph Fou ier (1758-1830) arbeidet med varmelære og

Figur. Funksjonen y=2cos(πx)+sin(2πx) (blå), y= 2cos(πx) (rød) og y=sin(2πx) (oransje).

J rvarmeoverføring: On the propagation of heat in solid bodies. Jfr. også Fourier-transformasjoner.

Trigonometri  

29  

n er et eksempel på en kontinuerlig funksjon, men lt

hvor b er et positivt odde heltall, b minimum b=7 og  

Weierstrass-funksjon Weierstrass-funksjonesom ikke er deriverbar over a

         0 1 

ilaritet m en

n annen utgave er:

 

Den er summen av en Fourier-rekke, og viser selvsim sofraktal. E

12

12

22

41

481

8

FM, AM og Herz

Guglielmo Marconi (1874-1937) klarte å sende meldinger via langbølger og radiotelegrafi over Atlanterhavet. Maxwell hadde forutsagt de

ich Hertz

et i

konstant. Bølgen for signalet som skal sendes legges over

Nikola Tesla (1856-1943) utviklet teori for bruk av radio i 1893.

elektormagnetiske bølgene, og deres eksistens ble vist av Heinr(1857-1894). FM-radio er frekvensmodulerte elektromagnetiske bølger benytttelekommunikasjon hvor frekvensen til en bærebølge varierer, men hvor amplituden er

Trigonometri  

30  

to

ølge e A.

bærebølgen. Digital FM kan skje ved å skifte bærefrekvensen mellomdiskrete verdier tilsvarende 0 og 1. FM kan sendes på frekvensen VHF. FM ble også brukt på videoopptakere (VHS), og finnes på lydkort i datamaskiner som digital syntesizer. AM-telefon eller AM-radio er basert på informasjonsoverføring via amplitudemodulerte bølger, hvorstyrken på signalet endres via amplituden på radiobølgen. Denne endringen i amplitude kan for eksempel kobles til en forsterker og høyttaler. I AM-radio er det en kontinuerlig bærebølge som blir modulert. I digital AM kan 1 tilsvare bærebølge og 0 ikke bærebølge. Bærebxc(t) og modulert bølge xm(t) med tilhørende frekvens f og amplitud

cos 2            cos  22

      

I harmonisk analyse forsøker man å dele opp sammensatte svingninger i enkle sinus- og cosinus-kurver som funksjon av tiden t:

·           ·

sin 2t Hvis u er et skalarfelt som er kontinuerlig deri

andre ordens partiellderiverte (Laplace ligningen)

Kurven eller funksjonen uttrykkes deretter som en Fourier-rekke:   cos cos 2 sin t  

verbar i en åpen mengde S i xy-planet så er u en harmonisk funksjon i S hvis det eksisterer

0

Stemming og kammertone mmertonen nstrøken A (440Hz) brukes til stemming av instrumenter kor. På et piano får man for hver oktav (octo=8) tall rekken 55, 119,

mes av frekvensen målt i antall

Kaog

e

220, 440, 880 Hz. Tonehøyden bestemsvingninger per sekund (Hz, hertz). Det er 13 tangenter i en kromatisk skala Cmaj (8+5). En skala (l. scala – trapp,stige) er fordelingen av toner innen en oktav.

Trigonometri  

31  

sin 

·

2

Pythagoras fant sammenhengen mellom lengden på en svingende streng og tonehøyden. Halveres lengden på strengen øker tonehøyden med en oktav. Oktav, den 8. tonen har forholdstall 2/1, kvint har 3/2 og kvart 4/3.

Bioakustikk og digital lyd Lyd er oscillasjoner (svingninger) i lufttrykk eller vanntrykk. Lydproduserende organer i dyr gir vibrasjoner som forplanter seg til gassmolekylene i luften (eller vannmolekylene i vann) og gir trykkbølger med alternerende høyt og lavt trykk. En harmonisk svingning beskrives av en tidsavhengig sinus eller cosinusfunksjon. Avstanden mellom to maksimale eller to minimale trykk angir bølgelengden til lyden. Amplituden er det maksimale utslaget fra gjennomsnittsverdien. Akrofasen er toppen i intervallet [0,t]. Man kan endre gjennomsnittsverdien fra 0:

eller endre amplituden:

eller endre akrofasen:

Sirkelfrekvensen omega (ω):

2

hvor T er perioden

Man kan endre perioden fra 2π til T

Samlet:

Trigonometri  

32  

·2

sin 

Figur. Sinus-funksjoner.

Man kan summere harmoniske svingninger Addisjonsteoremet:

Lydtrykk fra dyr omfatter et bredt område av frekvenser fra insektlyd med frekvens 100 kHz, til 15 Hz infralyd i bakken fra elefanter som beveger seg. Frekvensen (tonehøyden) måles i hertz, 1Hz er 1 svingning per sekund. Lydtrykket i luft er forsvinnende lite sammenlignet med lufttrykket. Imidlertid gir lyd med samme frekvens et mye større lydtrykk i vann. Mange dyrelyder faller innenfor frekvensområdet 20 – 20000 Hz, høreterskelen, og kan derved høres av det menneskelige øret. Dyr har atferdsrespons på lyd. lyduttrykk kan vi bruke til å identifisere dyr, for eksempel fuglesang, og gir et mål på biodiversitet. Lydproduksjonen og lydtrykket kommer fra muskelfysiologi og spres i luft med lydfart ca. 343.2 meter per sekund ved 20oC (1234 km time-1). Lydhastigheten er proporsjonal med kvadratroten av absolutt temperatur, og relativt uavhengig av lufttrykk og lufttetthet. I vann med lydfart ca. 4.2 ganger

Trigonometri  

33  

raskere enn i luft, ca. 1484 meter per sekund, i metall som en jernbaneskinne ca. 15 ganger raskere, 5120 meter per sekund.

Lydytringer og lydmottak hos dyr Lydmottaket kan skje via en tromhinne som svinger mekanisk i takt med lydtrykket i lufta. De små ørebeina hammer, ambolt og stigbøyle festet til muskler overfører lydtrykkbølgen fra den vibrerende tromhinnen via det ovale vindu til væsken i det indre øret bestående av bl.a. sneglehuset (cochlea). Sneglehuset inneholder kanaler med perilymfe, mellom disse en kanal med endolymfe og basillarmembranen med følsomme hårceller med synapsekobling til nerveceller, dekket av en tektorialmembrane. Trykk i vann, hydraulikk, gir stort trykk og trykket fjernes via det fleksible runde vindu i cochlea. To ører gjør at man kan retningsbestemme en lyd ut fra lydstyrke og tidsforsinkelse, men lyd ovenfra er det vanskelig å finne ut hvor kommer fra. Lyd laget fra et virbrerende stemmebånd kan gi resonans i munn eller nesekanal. Lyd brukes i partnervalg, reproduksjon og revirhevdelse. Det kan være kontaktlyd, tiggelyd, kallesignal, angstskrik, alarmskrik, skjenne- eller mobbelyd. Ofte er det hannen som lager lyd i reproduksjonsøyemed. Fisk har stor variasjon i lydproduksjon. Det kan være soniske muskler med tynne myofibriller og velutviklet sarkoplasmatisk retikulum som trekker seg raskt sammen og får svømmeblære, finner eller knokler til å bevege seg. Lydbølgene overføres via sidelinjeorgan og knokler til de indre øret. Fuglene har ikke stemmebånd, men lager lyd via et lydorgan, syrinks, i overgangen mellom luftrøret og lungene, koblet til luftsekker. Traner og svaner har en lang vokalkanal og lager trompetstøt, og snadrende ender har bruskformete lydorganer. Øret hos fugl er dekket av spesielle fjær. Hakkespetter produserer lyd ved å hakke i trær eller lignende. Ugler har spesielt god hørsel grunnet mange hårceller. Frosk og padder lager lyd ved å fylle en tynn membran med luft. En klapperslange lager lyd ved å bevege et vedheng. Sikader, gresshopper, bier, fugler lager lyd. Hos gresshopper kommer lyden, gresshoppesang, av deler av kroppen, for- og bakvingene, som gnis mot hverandre, files fram og tilbake. Insekter som lager lyd har et komplekst hørselorgan, tympanalorgan festet til kroppen eller kroppsvedheng. Krabbeklør kan åpnes og lukkes og gi lyd. Flaggermus lager lyd i frekvensområdet 14-

Trigonometri  

34  

1 20

100 kHZ som benyttes i ekkolokalisasjon (biosonar). Flaggermusene sender ut lyd med kort varighet (0.2-100 millisekunder) og lytter til interferenssignal og ekko som sendes tilbake fra objekter. Ekkolokalisasjon brukes til navigering og til fangst av byttedyr. Frekvens 20-60kHz er mye brukt og skremmer ikke insekter. Både konstant frekvens og Doppler-effekt eller frekvensmodulering kan bli benyttet. Tannhvaler og delfiner benytter også ekkolokalisasjon. Lydtrykk (p)kan måles med en logaritmisk desibelskala.

med referansetrykket p0 som den nedre hørselgrensen for vårt vøre, 20 Hz, tilsvarende 2·10-5 N m2, som tilsvarer 0dB.

Digital lyd Lydtrykket har intensitet, frekvens og varighet En datamaskin kan brukes til å lagre, analysere og behandle lyd. Akustisk lyd registreres av enn mikrofon, eller hydrofon under vann, som omdanner kontinuerlig variasjon i lydtrykk til et elektrisk spenningssignal målt i volt. Mikrofonen er tilknyttet en analog digital (AD)-konverter som omformer variasjon i spenning til binære data som blir lagret i datamaskinen. Digitaliseringen av den akustiske lyden skjer ved at lydtrykket måles ved faste diskrete tidsintervaller styrt av en klokke i AD-konverteren. En digital analog (DA)-konverter omdanner den digitale lyden tilbake til et analogt spenningssignal som blir sendt til en høyttaler med en vibrerende høytalermembran. Den analoge lyden er kontinuerlig, men den digitale lyden er diskret. Et lavpassfilter blir brukt til å glatte ut den trinnvise digitale lyden. Et lavpassfilter beholder frekvenser innen visse grenser og fjerner de utenfor. Deretter blir lyden blir registrert av en tromhinne. En nevrofysiologisk overføringsmekanisme via nevrale nettverk gir lydtolkning i hjernen. Lydkvaliteten avhenger av raten for innsamling,samplingsraten målt som frekvens i Hz eller kHz dvs. målinger per sekund og antall bits per prøve 8, 16 eller 32. Jo større rate for innsamling av data, desto mer nøyaktig lydgjengivelse. 8-bits samplingsrate tilegner amplitudeverdier til en skala

Trigonometri  

35  

bestående av 28=256 forskjellige verdier, 16-bits gir 216=65536 forskjellige verdier. Jo høyere bitkvantifisering desto mer virkelighetsnær lyd. Bit er forkortelse for et binært tall. Mens desimaltall (titallsystemet) har base 10 så har de binære tall, totallsystemet, base 2, og består av to heltall, 0 og 1 25=32 24=16 23=8 22=4 21=2 20=1 Desimaltall 0 0 1 1 1 0 2 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 12 Nyquist-Shannons prøveinnsamlingsteorem for nøyaktig lydgjengivelse sier at frekvensen for prøveinnsamling må være minst det dobbelte av båndbredden på lydsignalet. For eksempel er båndbredden 0-1kHz, så må innsamlingsraten (samplingsraten) være større enn 2 kHz. Man forsøker å finne den prøveinnsamlingsraten som bevarer den opprinnelige lyden mest nøyaktig og gir optimal kvalitet for lydgjengivelse. Det må tilegnes en numerisk verdi for hvert prøvetak avhengig av amplituden Den maksimale frekvensen som kan høres av det menneskelige øret er 20 kHz. Det vil si at prøveinnsamlingen må være større enn 40 kHz. Av praktiske grunner brukte man før 40.1 kHz prøveinnsamling for CD-kvalitet lagret 16 bits format, men nå brukes også 48, 96 eller 192 kHz prøveinnsamling. HD-lyd har samplingsrater 24-48 kHz.Selv om vi ikke kan høre lyd med høyere frekvens enn 20 kHz, så kan slike høye frekvenser modulere frekvensen i hørselområdet og gi et fyldigere

Trigonometri  

36  

lydbilde. Blue-ray (BD) har samme størrelse som en DVD, men ved bruk av en blå laser kan data lagres med større tetthet, 25 GB per lag. En vanlig lyd-CD har samplingsrate 44100 prøver per sekund, og en DAT-opptaker tar 48000 prøver per sekund. Lydformmatrisen har en rad for monoopptak og to rader for stereoopptak. Hver rad tilsvarer en kanal og raden er en sekvens av 0 og 1 (alternativt -1 og 1) som gir en diskret verdi av lydsignalet. Amplituden til lydbølgen langs en tidsakse gir lydstyrke. Lydstyrken kan endres ved å multiplisere med en skalar. 440Hz i 5 millisekunder. pitch til en prøve. 12 semitoner (=1 oktav) opp gir dobbelt hastighet på lydbølgen, det vilsi dobbel frekvens. Dither tilføyer randomisert lavnivåstøy til signalet fra AD-konverteringen. Klipping, lydforvrengning, må sette gainnivå for å unngå kapping av lydtopper. Bitdybde, samplingsberedde, nøyaktigheten av amplitudemålingen per prøve, 16-24 bits sampling, versus 8 bits ved telefoni. Bitrate ved overføring av lyd og datakompresjon. Bitrate=bitdybde ·samplingsrate·antall kanaler 24 bits fil·44.1 kHZ·2 kanaler= 216800 bits/sekund Lyd tatt opp med høy samplingsrate og bitdybde 16 bits gir 2 byte per prøve 44100·2(byte)·2 (stereo)·45 (min)·60 (s)=476280000 byte= 454.3 MB En figur angir en profil av amplitudekonturen, lydenergi versus tid, på en relativ eller absolutt energiskala 1) Abosluttverdien av bølgeformen 2) Hilbert transformasjon av bølgeformen

Trigonometri  

37  

Fouriertransformasjon (FT, Joseph Fourier 1768-1830) er en reversibel transformasjon som dekomponerer en tidsserie som en sum av endelige sinus- og cosinus-funksjoner FFT er en algortime som raskt beregner FT Diskret Tid Fourier Transform (DTFT) er en form for FT brukt på en tidsbølge som for eksempel lys, analysevindu er et rektangel. Hver av sinus- og cosinusfunksjonene har en spesiell frekvens og relativ amplitude, og disse to brukes til å lage et frekvensseptrum av lydbølgen, fra tid til frekvens Frekvensspektrum dekomponering av tidsbølge for eksempel tre forskjellige bærefrekvenser og tre forskjellige amplituder. Antall sinunsfunksjoner n bestemmes av antall prøver N av den originale tidsbølgen, n=0.5N. DTFT er 0.5*44100= 22050 sinusfunksjoner Triangelvindu (Bartlett), sinusoidal (Backmann), Hamming, Hanning Kort tid FT (STFT) DTFT på seksjoner med glidende vindu Matrise hvor hver kolonne er et spektrum versus tid Spektrogram (sonogram) gir en grafisk presentasjon av frekvensspekter som en funksjon av tid. Cepstral transformasjon er invers av FT av log spektrum Gabor transformasjon Wavelet transformasjon Mel frekvens transformasjon Et Gaborfilter (Dennis Gabor) er et lineært filter for grensedeteksjon. Det viser seg at synscortex virker som et Gabor-filter. Det brukes til å finne kanter i optisk bokstav- og mønstergjenkjenning (OCR), irisgjenkjenning i biometrisk identifikasjon, samt i finkgeravtrykk. Iris får brune farger fra melanin, men bruker ofte et nært IR-bilde fra 700-900 nm. Fjerner øyelokk og andre forstyrrende elementer fra bilde. En gummimattemodell tar hensyn til sammentrekning eller utvidelse av pupillen. Hammingavstand (Richard Hamming) og et sett med komplekse tall gir informasjon om amplitude og fase i mønsteret i iris. Med for eksempel Hammingavstand 0.25 kan 25% av bitsene på to

Trigonometri  

38  

bilder være forskjellige og likevel blir de tolket som like. Denne diagnostikken har sine begrensninger, noe som også bruk av fingeravtrykk har.

Datakompresjon wav-filer er standardformat for ukomprimert lyd. Datakompresjon vil si å kode informasjonen ved bruk av færre bit enn utgangspunktet, enten lossy, tap, eller lossless ,ikketap, av informasjon. Formålet er å redusere behovet for lagringsplass og øke overførsingshastighet av data, ofte med kost-nytte betraktninger, lyd- eller bilde-kvalitet og grad av forvrengning man skal tåle. Lossy reduserer antall bit ved å fjerne unødvendig informasjon.For eksempel er vårt øye mer følsom for luminans enn farge og det benytter man seg av i jpeg. Psykoakustisk kan man fjerne lyd Lossless reduserer antall bit ved å fjerne statistisk redundans uten at noe informasjon tapes. Det meste av dataverden har statistisk redundans for eksempel hvor fargen på et digitalt bilde er konstant over mange piksler så behøver man ikke ta vare på alle. Lossless benytter seg av sannsynlighetsmodeller. For eksempel Lempel-Ziv kompresjon (LZ) og deflate (Hoffmann algoritme, pkzip, Gzip, png,lzw) er lossless LZR (Lempel-Ziv-Renau) brukes til å lage zip-filer. Burrows-Wheller kompresjon. Gramatikk kompresjon sequitur, Re-Pair Bilevel bildekompresjon jbig Dokument kompresjon DjVu Dasher lossless komresjonsformat flac i R Stemmekompresjon på telefoni over internett CD-ripping Lossyalgoritme mpe, mpeg4, VC-2, SMPTE, HDTV Mønstergjenkjenning – lineær prediksjonskoding. Sekvensdatakompresjon uten referansegenom hapzipper.

Trigonometri  

39  

Kardinalsinusfunksjonen Kardinalsinusfunksjonen sinc (sinus cardinalis) er definert som unormalisert sincfunksjon:

I digital signalbehandlingen defineres den som normalisert sincfunksjon

Den normaliserte sinc-funksjonen er lik 0 ved heltallsverdier

Figur. sinc-funksjonen Den unormaliserte sinc(x) har skjæring med x-aksen der hvor cosinusfunksjonen har sine maksimums- og minimumsverdier.

Trigonometri  

40  

Figur. sinc- og cosinus-funksjon Euler oppdaget følgende produktsammenheng mellom den unormaliserte sinc-funksjonen og et uendelig produkt av cosinus:

2

∞

Det er også et sammenheng mellom den normalisert sinc-funksjonen og et uendelig produkt:

1∞

Den normalisert sinc-funksjonen er også relatert til gammefunksjonen (Γ):

11 1

Trigonometri  

41  

Figur. Normalisert sincx uttrykkt som gammafunksjon

Rektangelfunksjonen rect(x)

0   | |  12

er gitt ved :

   | |  12

12

1   | |  12

bølgeretningen. Slår man på en streng er det forflytninger vinkelrett på

Det er en sammenheng mellom Fourier-transformasjon av rektangelfunksjonen og sinc(x)-funksjonen.

Bølger og harmonisk bevegelse Slippes en stein i vann eller slår man på en streng vil det dannes en bølgepuls som beveger seg vekk fra forstyrrelsen. Imidlertid, hvis bølgene forekommer i regulære serier kalles de periodiske. Slår man på en stemmegaffel lages det alternerende sammenpressinger og utvidelser (fortynninger) i luften nær stemmegaffelen og lager lyd. Lydbølger er eksempler på longitudinnelle bølger, forflytninger langs

Trigonometri  

42  

i

tvers av bølgeretningen, og dette kalles transverse bølger. Lys med elektrisk og magnetisk vektor vinkelrett på hverandre og på tvers av bølgeretningen er transverse bølger. Bølger i vann er en blanding avlongitudinelle og transverse bølger hvor vannmolekylene beveger segsirkelbevegelser. En fiskedupp beveger seg opp og ned mens bølgene passerer. Periodiske bølger har en frekvens (f) som er lik antall bølger som passerer et punkt per sekund. Perioden T, tiden som trengs for en fullstendig bølgeoscillasjon, dvs. tiden mellom to påhverandre følgende bølgetopper, og som er lik den inverse til frekvensen.

1

Avstanden mellom to bølgetopper er lik bølgelengden λ. Amplituden A er et mål på maksimalt utslag fra likevektslinjen, og den periodiske bølgen forflytter seg mellom A og –A. Hastigheten c til bølgen er avstanden bølgen beveger seg dividert på tid:

Det vil si: ·

I luft beveger lysbølgene seg med hastigheten 3·109 m s-1 og lydbølgene

sinusbølger344 m s . Periodiske bølger er , og sinus gjentar seg selv når fasen

-1

øker med 2π-radianer (=360o). Vi har bølgetallet k i enheten invers meter (m-1) er relatert til bølgelengden:

2

Når en puls beveger seg i +x retning med hastighet c får vi:

er avvik fra faselinjen, x+α kalles fasevinkel og α er initialverdien til

· sin · dfa

ksevinkelen. Perioden er lik :

2

Trigonometri  

43  

·  ·

Figur. Sinusbølge for A=2, d=1, α=0.2 og k=3.14.

Lys og elektromagnetisk stråling Energien til lys (E)er gitt ved Plancks konstant (h) ganger frekvens (ν), hvor c er lyshastigheten og lambda (λ) er bølgelengden til lyset

· ·   · ·

Vanligvis plukker vi ut et mol av verden som er lik Avogadros tall 6.022·1023 med partikler, og da blir energien per mol fotoner (N) lik Energien til 1 mol blå fotoner (440 nm) blir: E=(6.022·1023 mol-1)(6.626·10-34 Js)·(6.82·1014 s-1)=272 kJ mol-1.

Farge Bølgelengde Λ (nm)

e.g. λ (nm)

Frekvens hertz

Energi kJ mol-1

Ultrafiolett 300-400 260 11.54·1014 460 Fiolett 400-425 410 7.31·1014 292 Blå 425-490 440 6.82·10 14 272

Trigonometri  

44  

Grønn 490-560 510 5.88·1014 242 Gul 560-585 570 5.26·1014 210 Oransje 585-640 620 4.84·1014 193 Rød 640-740 680 4.41·1014 176 Nær infrarød 740- 1000 3.00 120 Elektromagnetisk stråling i bøl deområd vår hjerne tolker

Figur. Energien til lys som funksjon av bølgelengde. Legg merke til y-

geleng e somsom farger, med noen utvalgte bølgelengder (nanometer= nm = 10-9 meter) og deres frevens (Herz) og energi (kilojoule per mol)

aksen går ikke til 0.

Trigonometri  

45  

,2

Figur. Frekvensen til lys som funksjon av bølgelengde. e+14= 1014.

Ifølge Plancks strålingsfordelingsformel kan vi finne utsendelsen av elektromagnetisk stråling fra et objekt (”svart legeme”). Her er en utgave av Plancks formel;

·1·· ·

1

Hvor h Plancks konstant h=6.6260693·10-34 J s Plancks kvantekonstant er en proporsjonalitet mellom energi (E) og frekvens angitt i Planck-Einstein ligningen:

Plancks konstant er en atomær konstant med meget lav verdi, men når den multipliseres med Avogadros konstant (6.02214·1023 mol-1) så blir energien målbar. Elektronvolt (eV) er en atomær måleenhet som angir energien til hvert enkelt foton, hvor h·c=1240 eV nm. Lyshastigheten c=299792458 m s-1 Boltzmanns konstant k= 1.3806505·10-23 J molekyl-1 K-1 Boltzmanns konstant er forholdet mellom den universelle gasskonstanten R og Avogadros konstant NA:

Trigonometri  

46  

8.314472   6.02214 · 10

1.380651 · 10 

Praktiske oppgaver Finn frekvenser (Hz, kHz, mHz) og bølgelengde for lysbølger, lydbølger i luft og vann, havbølger, tidevannsbølger, AC-strøm, mikrobølger, daglengde, solflekkhyppighet, og temperatur gjennom døgnet. Litteratur Apostol, T.M. Calculus (Vol I + II). Blaisdell Publ. Comp. 1962. R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/. Wikipedia En reise på tusenvis av mil begynner med et skritt. Lao Tzu. Nani gigantum humeris insidentes (Dverger står på skuldre til giganter). Bernard fra Chartres. Der hvor alle tenker likt, tenkes det ikke mye nytt. Han var nær ved at være en ener, han var et null.