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Velocidad instantánea. Sea s(t) la función que define la posición de una partícula en movimiento rectilíneo. La velocidad instantánea de la partícula en un tiempo t se define como:

s(t + t) - s(t)

v(t) = Lim [ ]

t 0 t Observa un detalle muy importante: La definición anterior es idéntica en forma a la definición de la pendiente de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el concepto del límite en una expresión de la forma Lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h 0 es un concepto importante. De hecho, es un concepto fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la derivada. Ejemplo Hallar la velocidad en t = 1 y t = 3de un objeto en caída libre cuyo función de posición es 2s( t ) 16t 100 � � Definicion de la aceleración .Si s es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo , su aceleración en el instante t viene dada por a( t ) v ( t )c donde v(t) es la velocidad en el instante t 1) Hallar la aceleración de un objeto en caída libre cuyo función de posición es 2s( t ) 16t 100 � � 2)Supuesto que la velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por

80tv m / st 5

�

hallar la velocidad y su aceleración en t= 0 , 5 , 10 , 15 , …. , 60 segundos

La posición de una partícula que se mueve en línea recta está dada por x(t) = 10.0 + 1.2 t3 donde x está en metros y t en segundos. (a) Escriba la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo. (b) Determine la velocidad instantánea de la partícula en t = 1 s y t = 3 s. (c) Escriba la aceleración de la partícula en función del tiempo.

VCD 32.1 5kt Uct SCD 16437100

Va 32 VHF 32T Sca 641100

3 32.3 96 425 36

Sct 144100

S 32TS 32

esoqtqj.se sota.tqqqsot a.EE a9EYa9EEEisxio

sVCt3,6t2

acta 7,2TQUE72ACE 72.3

21,6

54

(d) Determine la aceleración instantánea en t = 1 s y t = 2 s.

Problema 2 Una partícula se mueve a lo largo del eje Ox de acuerdo a

donde t está en segundos y x en metros. Determine a) la velocidad y la aceleración en función del tiempo,

Problemas de aplicaciones físicas de la derivada

1La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

2 La velocidad instantánea en t = 1.

2Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

3Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas.

4La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t. ¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.

5La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

lim 106

mar jjjHaj faz106

55

7Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

8¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

CAPÍTULO III: APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Teorema de Rolle:

Si f es una función en la que se cumple: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) (iii) f (a) = 0 y f (b) = 0 Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f '(c) = 0 Ejemplo 1 Sea la funcion > @3f ( x ) x x definida en 1, 1 � � � .Determine si la función Satisface las condiciones del teorema de Rolle si es asi , encuentre los valores c que satisfagan dicho teorema. Teorema del Valor medio: Si f es una función en la que se cumple que: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B Ejemplo 1 Sea la funcion > @3f ( x ) x 12x definida en 1, 3 � � . ¿ Existe algún numero c en ( -1 , 3) Que satisface las condiciones del teorema de valor medio

ft 3 71 3 211 0

HIELE3

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle. En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio. En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (c) si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal. En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Crecimiento y decrecimiento de funciones Definición Sea f una función con dominio D un punto ( x o , f(xo) ) se llama :

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1) Máximo absoluto de f si y solo si f(xo) t f (x) � x � D 2) Mínimo absoluto de f si y solo si f(xo) d f (x) � x � D 3) Máximo relativo de f si y solo si f(xo) t f (x) � x � I , I un cierto intervalo que contiene a xo, I � D 4) Mínimo relativo de f si y solo si f(xo) d f (x) � x � I , I un cierto intervalo que contiene a xo, I � D Gráficamente Máximo absoluto Máximo relativo xo xo Mínimo absoluto mínimo relativo Teorema 1 Toda función continua en un intervalo cerrado posee un máximo o mínimo absoluto Teorema 2 Anulación de la derivada en un extremo relativo. Sea f definida en un intervalo abierto I y supongamos que f tiene un máximo relativo o mínimo relativo en un punto c interior de I. Si la derivada )(cf c existe , es 0)( c cf o )(cf c no existe c se llama punto critico. Nota : Los posibles puntos máximos o mínimos de una función se encuentran donde la derivada es cero o no existe .

Teorema 3 .Sea f una función definida y derivable en un intervalo > a , b @. Tenemos entonces

x 1) Si )(xf c ! 0 � x � @ a , b > o f es estrictamente creciente en @ a , b >

x 2) Si )(xf c � 0 � x � @ a , b > o f es estrictamente decreciente en @ a , b >

x 3) Si )(xf c = 0 � x � @ a , b > o f es constante en @ a , b > Ejemplos Determine la monotonía de las siguientes funciones

1) 41531)( 23 ��� xxxxf

Álex X 2 15 X 5 0

3 G 55 c Ceros

Xt3OXzcfcsf lz63 fc.rs_31

Puntomínimo 5 16JRelativo ÉPuntomáximo 3,31 Y lo 1

Relativo

fades creciente 0035035100T

fases decrecientes 3,55