3

Lairaksturotukāduobjektuvaiprocesu,tāīpašībaspa-rastiapraksta,izmantojotdažādusskaitliskusraksturlie-lumus.Piemēram,laiks,kasnepieciešams,laiizlasītušoparagrāfu,varētubūt2minūtes,telpastemperatūra,kurāatrodamies,varētubūt+22°C,betmācībuklasesgrīdaslaukums24m2.Aprakstot tādus lielumus kā laiks, temperatūra, ga-

rums, tilpums, svarsvai cena, irpietiekami lietot situā-cijaiatbilstošuskaitliunmērvienību, tādāveidāgūstotpilnīgupriekšstatuparapskatāmolielumu.

Lielumus,kurusnosakatikaitāskaitliskāvērtība,saucparskalāriem lielumiem.

Tomēr irprocesi,kuru raksturošanainevienmērpie-tiek tikai ar vienu skaitlisku raksturlielumu.Piemēram,apskatottāduslielumuskāspēks,pārvietojumsvaipaāt-rinājums,beztoskaitliskāsvērtībassvarīgsirarīvirziens.Piemēram,pieliekotvienuuntopašuspēku,ķermenivarpārvietotdažādosvirzienos,braucotarvienuuntopašuātrumu,vardotiesdažādosvirzienosutt.

Lielumus,kurusnosakaganskaitliskāvērtība,ganvir-ziens,saucparvektoriāliem lielumiem.

Atšķirībustarpskalāruunvektoriālulielumuvieglisa-prast,piemēram,aplūkojotkādākustībāveikto ceļuunpārvietojumu.

Ceļšraksturonoietoattālumavienību(piemēram,met-ruvaikilometru)daudzumu.Tasirskalārslielums,jo,sa-kot“noieti400m”,pilnīgiskaidrs,cikgaršceļširveikts.Savukārt, pārvietojums raksturo objekta attālumu nokustībassākumpunktalīdzkustībasbeigupunktam“pagaisalīniju”.Pārvietojumsirvektoriālslielums,jo,laitoraksturotu, svarīgi zināt, cik tāluno sākumpunktakus-tībasbeigāsatrodasobjekts,kāarītas,kādāvirzienāšispārvietojumsnoticis—piemēram,400mdienvidaustru-muvirzienā.

1. VektoriSkalāri un vektoriāli lielumi

Latīņu valodā ‘scalaris’—kāpņveidīgs, ar pakāpie-niem.

1.1.att.Nolatīņuvalodas‘vec-tor’—vedējs,nesējs.

Uzdevumi1.1. Dotidažādilielumupāri.Izvirzihipotēzi,kuršpārisšeitneiederas.Paskaidroto.

a) Darbs,paātrinājums; d) laukums,augstums;b) spēks,ceļš; e) ātrums,masa;c) pārvietojums,garums; f) svars,masa.

pārvietojums

ceļs

1.2.att.

4

Laivektoriāluslielumusattēlotugrafiski,izmantovek-torus.

Vektors ir orientēts nogrieznis, kuru raksturo noteiktsgarumsunvirziens.

Katramvektoramirsākumpunktsungalapunkts.Vektorusvarapzīmēt:

• ar diviem lielajiem burtiem, liekot virs tiem bultiņu,ievērojot,kapirmaisburtsatbilstvektorasākumpunk-tam,betotrs—tāgalapunktam,piemēram,AB CD

, ; • arvienumazoburtu,liekotvirstābultiņu,piemēram,

a n

, .

A

Ba

CD n

1.3.att.

Vektoramatbilstošānogriežņagarumusaucparvektora moduli jeb vektora garumu unapzīmēar a

.

Ja a

=5cm,tadvektors a

ir5cmgarš,ja AB

=10,tadvektorsAB

ir10vienībasgarš.Vektoru,kurasākumpunktssakrītargalapunktu,sauc

parnulles vektoruunpieraksta: 0

.Nullesvektora(jebnullvektora)garumsirvienādsar0:0

=0.

InteresantiVektorajēdzienulietoarīme-dicīnā.Parvektorumedicīnāsaucorganismu,kassaturno-teiktuinformācijuunpārnesDNSvaiRNSmolekulas.Tobieži izmanto gēnu inženie-rijā.

1.4.att.Jaceļasākumpunktssakrītargalapunktu,tadpār-vietojumsir 0

.

s

= 0

Uzdevumi1.2. Cikdažādusvektorusnosakavisi iespējamiepunktupāri, kurusveido romba

virsotnes?Uzrakstitos.

1.3. Uzrakstiatšķirībustarp:a) nogriezniunvektoru; b) staruunvektoru; c) taisniunvektoru.

1.4. TaisnstūraABCDmalaAB=3,AD=4(skat.1.5.att.).NosakivektoruBA DC DB AC

, , , garumus.

1.5. Uzzīmēdotosvektorus,ja A

B C

D1.5.att.

a) KL

= 3 5, cm, c) t

= 0,

b) c

= 35 dm, d) AB AC

= =2 3un .

Vektora jēdziens, vektora modulis

5

JavektoriAB

unCD

atrodasuzvienasvaiuzparalēlāmtaisnēmun,jastariABunCDirvienādivērsti,tadvek-torus AB

unCD

saucparvienādi vērstiem vektoriem.Ja stari ABunCDirpretējivērsti,tadvektorus AB

unCD

saucparpretēji vērstiem vektoriem.

a

f

e

d

c

b

1.6att. Vienādivērstivektoriir a

un d

, c

un b

;pretējivērstivektoriir c

un e

, f

un a

.

Vienādivērstiunpretējivērstivektorivarbūtganvie-nāda,gandažādagaruma.

Vektorusa

unb

,kurumoduļiunvirzieniirvienādi,saucparvienādiem vektoriemunpieraksta a

= b

.Vektorusa

unb

,kurumoduļiirvienādi,betvērsumipre-tēji,saucparpretējiem vektoriemunpieraksta a

= – b

.

e

a f

g

h

c

b

d

1.8.att.

Jačetrstūrisirrombs(skat.1.8.att.),tad c

= d

,jotovērsumiirvienādiunc d

= kārombadiagonālespuses.e

= h

,jotovērsumiirvienādiune h

= kārombamalas.Savukārt,vektori a

un b

,kāarī f

un g

irpretējivektori,jotomoduļiirvienādi,betvērsumipretēji.

Zini!Vektorus, kas atrodas vienāplaknēunuzparalēlāmtais-nēm,saucarīparkolineāriem vektoriem.

Zini!

Vienādi, vienādi vērsti, pretēji un pretēji vērsti vektori

Uzdevumi1.6. Izmantojotdoto1.9.attēlu,uzrakstivektorus,kasir

a) vienādivērstivektori,b) pretējivektori,c) nullesvektori,d)vienādivektori,e) pretējivērstivektori.

d

b

cf

a

ge

o

1.9.att.

1.7.att.F1

un F2

vienādivēr-

stivektori,bet,piemēram,F2

un F3

ir pretējivērstivektori.

F1

F2

F3

6

Darbības ar vektoriem ģeometriskā formā

1.11.attēlāparādītstūristugrupaspārgājienaceļšdivudienugarumā.PirmajādienāviņinogājaceļunoStacijaslīdzAvotam,betotrajā—veicaceļunoAvota līdzEze-ram.Katrasdienasveiktopārvietojumuvarattēlotarvek-toriema

unb

,kasattiecīgisavienokatrasdienasmaršru-tasākumpunktuungalapunktu.

Stacija Ezers

Avotsba

c

1.11.att.Acīmredzams,kakopējodivudienupārgājienamatbil-

stošopārvietojumuraksturovektorsc

,kassavienoStacijuunEzeru—pārgājienasākumpunktuungalapunktu.Šādāsituācijāvektoru c

sauc par vektoru a

un b

summu.Līdzīgi ir, jauzkāduķermenidarbojasvairāki spēki.

Tādā gadījumā kopējais spēks atbilst atsevišķo spēkuvektorusummai.Laisaskaitītudivusvektorus,varizmantotvainutrij -

stūra likumuvaiparalelograma likumu.

Vektoru saskaitīšana

Šajā mācību kursā apskatīsim vektoru saskaitīšanu,atņemšanuunvektorareizināšanuarskaitli.Šodarbīburezultāti atkarīgi gan no vektoru garumiem, gan no tosavstarpējiemvērsumiem.

Pētniecisks uzdevums 1.7. Nepieciešamie materiāli. Klucītisvaikastīte(piemēram,sērkociņukastīte),divas

aukliņas. Uzdevums. Strādājot pārī, izveidojiet modeli no kastītes un aukliņām

(skat.1.10.att.)unto lēnāmvelcietaizaukliņām.Vērojietunmēģinietuzzīmēt,kādāvirzienāpārvietojaskastīte.Izvirziethipotēziparpriekšmetapārvietošanāsvirzienu,unkātasrodas.

1.10.att.

Skatsnoaugšas

1.12.att.KādiemjābūtattēlādotajiemspēkiemF1

unF2

,laimeite-neneiekristuūdenī?

F1

F2

7

Trijstūra likums. Ja vektori a

un b

atlikti viens otra galā, tad summasvektors c

savienopirmāvektorasākumpunktuarotrāvektoragalapunktu.

Lai1.13.attēlādotosvektorussaskaitītupēctrijstūrali-kuma,rīkojas,kāparādīts1.14.attēlā.

a

b

a

b

c

1.13.att. 1.14.att. a

+ b

= c

.

Saskaitot1.15.attēlāredzamosvektorusAB

unBC

,pēctrijstūralikuma,iegūstvektoruAC

,kurasākumpunktsirpirmāvektorasākumpunktsungalapunktsirotrāvekto-ragalapunkts.

A D

B C1.15.att.

AB BC AC

DA AB DB

+ =

+ = .

Paralelograma likums.Javektori a

un b

atlikti no kopīga sākumpunkta,tadsummasvektorsc

izietnovektorukopīgāsākumpunktaunirtādaparalelogramadiagonāle,kuramalasirvektoria

un b

.

Lai1.16.attēlādotosvektorussaskaitītupēcparalelo-gramalikuma,rīkojas,kāparādīts1.17.attēlā.

a

b a

b

c

1.16.att. 1.17.att. a

+ b

= c

.

Saskaitot vektorus gan pēc trijstūra likumu, gan pēcparalelograma likuma, summā iegūst vienuun to pašuvektoru.Pārliecinietiespartopaši!Vairāku vektoru summu iegūst, ja pakāpeniski pie

pirmāvektorapieskaitototrovektoru,pietosummas—trešovektoru,pietrīsvektorusummas—nākamovektoruutt. Līdz ar tovairākas reizespēckārtas tiek izmantotsvektorusaskaitīšanastrijstūralikums.

Ievēro! S SK KL L

+ =

F2

F1

F

1.18. att. Jauzķermenidar-bojas divi spēki F1

un F2

,tadkopspēkajebrezultējošāspēka F

virzienuunlielumuvarnoteiktarparalelogramalikumu.

8

Parvektora a

reizinājumu ar skaitli k(k≠0)saucvek-toru b

,kuragarums b

vienādsar k a⋅

,pietama)vektori a

un b

ir vienādi vērsti,jak>0,b)vektori a

un b

ir pretēji vērsti,jak<0.

Ievēro!

a

b

a

– b

a – b

Vektoru atņemšana

1.19.attēlādotovektorusummasvektoraiegūšanaat-tēlota1.20.attēlā.

a

b

c

d

a

b

c

d

s

a

+ b

a

+ b

+ c

1.19.att. 1.20.att. a

+ b

+ c

+ d

= s

.

Praktiski izpildot vairāku vektoru saskaitīšanu, tossecīgi atliekvienuotramgalā,nemeklējot starpsummasvektorus.Summasvektoruiegūst,savienojotpirmāvek-torasākumpunktuunpēdējāvektoragalapunktu.

A

B

C D

E

F

1.21.att.

A F AFB B D DC C E E

+ + + + =

Pardivuvektoru a

un b

starpībusauctāduvektoru c

,pie kura pieskaitot vektoru b

iegūst vektoru a

, tātad a

– b

= c

,ja c

+b

= a

.

Praktiski, vektoru atņemšanu ērtāk aizstāt ar pretējavektorapieskaitīšanu.Proti, a

– b

= a

+(–b

).Vektoru a

un b

starpībasvektora c

iegūšanasceļšpa-rādīts1.22.—1.24.attēlos.

a

b

– b

– b

ac

1.22.att.Dotievektori

1.23.att.Vektora b

pretējaisvektors

1.24.att. Izmantojotvektorusaskaitīšanastrijstūraliku-mu: a

– b

= a

+(–b

)=c

Vektora reizināšana ar skaitli

9

Uzdevumi1.8. Konstruē 1.25. attēlā doto vektoru saskaitīšanas, atņemšanas vai reizināšanas

rezultātāiegūtovektoru.

b

a

c

1.25.att.

a) a

+ b

e) a

– c

i) 12 · c

b) a

+ c

+ b

f) c

– b

j) –2 b

c) 2 a

g) 2 a

– c

k) 35 a

+2 c

d) – c

h) 0· c

l) 12 c

–2 b

1.9. Attēlos parādīts, kā uz dažādiem ķermeņiemdarbojasdažādispēki.Nosakikatramķermenimpieliktākopspēkavirzienuuntālielumu.

a)9N

12N

c)23N

20N

b)

10N

15Nd)

12N

10N

1.10.Uzzīmēdivusvektorus a

un b

.Uzzīmēvektorus a

+ b

, 2 ⋅ +( )a b

,2 a

+2 b

.Kovarisecināt?

1.11.Uzziņuliteratūrāatrodikomutatīvāsunasociatīvāsīpašībuformulējumus. Vaivektorusaskaitīšanaiirspēkā:

a)komutatīvāīpašība; b) asociatīvāīpašība?

Vektorareizinājumuarskaitliapzīmē: b k a

= ⋅ .

Vektors a

Skaitlisk k a⋅

a

k=2 2 a

k=–3 –3 a

k = 12

12 a

Jakāduvektorureizinaar0,vienmēriegūst 0

.Janullvektorureizinaarkāduskaitli,arīiegūst 0

.

Zini! N(ņūtons)—spēkavienība.Ja ķermeņa masa ir 1 kg,tad 1N liels spēks tampie-šķir paātrinājumu 1m

s2,

1 2N1 kg 1m

1 s=

⋅.

Zini!

10

1.12.Uzzīmēvektoru a

unsummasvektoru a

+ b

,izmantojot1.26.attēlādotosvek-torus.Uzzīmēvektoru b

.

a

+ b

a

1.26.att.

1.13.Uzzīmēdivusvektorus.Pieņem,kaviensnotiemir2 a

,betotrsira

+b

.Konstruēvektoru b

.

1.14.Uzskicēvektoru v

.Pieņemsim,katasirātrums,kuramodulisir10 kmh .a) Uzskicēvektoru2 v

.Koizsakašisvektors?b)Uzskicēvektoru–v

.Koizsakašisvektors?

1.15.Doti punktiA unB.Apraksti punktaP atrašanās vietu, ja AP k AB

= ⋅ (k ≠ 0).(Ieteicamsapskatītčetrusgadījumus:k<0;0<k<1;k=1;k>1).

1.16.Futbolaspēleslaikābumbuvienlaicīgispēradivispēlētāji,kuriatradāsbumbaspretējāspusēs.Kurānogadījumiembumbaitikspieliktslielākskopīgaisspēks?Pamatoatbildi.a)

75N 70Nb)50N 25N

1.17.Lidoja trīs lidmašīnas. Pirmā lido ar ceļavēju, otrālido pret vēju, bet uz trešo lidmašīnu pūš sānvējš(skat.a),b),c)).Vējastiprumsunlidmašīnasātrumsvisosgadījumosirvienāds.Uzskicēaptuvenukatraslidmašīnaslidojumatrajektorijuunnosaki,kuranolidmašīnāmgalamērķisasniegspirmā.

a) b) c)

Latīņu valodā ‘naviga-tio’ —kuģošana.Tāirarīzinātne par kustīgu ob-jektuvadīšanu.

Trajektorija—optimālaismaršruts.

Kurss — virziens, kādālidotulidmašīnavaipār-vietotoskuģis,janebūtuvējavaistraumes.

1.18.Peldētājs100metrusbaseinānopeld50sekundēs.Cikilgipeldētājs100mpeldēspaupi,kurasstraumesātrumsir1,5 ms ,javiņšpeld

a) pastraumi, b) pretstraumi?

1.19.Lidmašīnasātrumsir480 kmh .Cikilgilidmašīnalidos940km,japūš10kmh lielspretvējš?

11

Piemērs

Aprēķinus veikt ar precizitāti līdz desmitdaļām! Motorlaivasvidējaisātrumsstāvošāūdenīir5 ms ,tāskurssiraustrumuvirzienā.Straumetekarvidējoātrumu2,5ms ,dienviduvirzienā.

a) Ciklielsirmotorlaivasrezultējošaisātrums,unkādsirtāvirziens?b)Cikilgālaikāmotorlaivašķērsosupi,jaupesplatumsir80m?c) Parcikmetriemnoizbraukšanaspunktabūspārvietojusiesmotorlaiva,jakustībanotieklejuppastraumi?

a)  Kurss ir OE

 virzienā(skat.1.27. att.), bet straumes virziens ir OS

virzienā(skat.1.27. att.).

O

S V

E2,5 ms

5ms

1.27.att.

Rezultējošā ātruma vektoru atrod pēc paralelogra-ma likuma (1.26.  att. OV). Rezultējošā ātruma lielums atbilst šī vektora garumam. Trijstūris EVO ir taisn-leņķa trijstūris, tādēļ tg   EOV = =EV

OE12 . Izmanto-

jot kalkulatoru, nosakām leņķa EOV lielumu: 26,6°.Tātad laivas trajektorija ir 90°+26,6° = 116,6°, salī-dzinot ar ziemeļu virzienu. Izmantojot Pitagora teo-rēmu, aprēķinām rezultējošā ātruma vektora garumu:

OV = 5 2 5 31 25 5 62 2+ = =, , ,

ms( ) .

1.28.att.Kompassirnavigācijasins-trumentsZemesdebespu-šunoteikšanai(novācuval.‘kompaß’,savukārtnoitāļuval. ‘compasso’ cirkulis un‘compassare’mērītsoļiem).Grādus kompasā mēra,sākotnoZiemeļiempulk-steņrādītājavirzienā.

b) Lai aprēķinātu laiku, kas nepieciešams upes šķērsošanai, izmanto trijstūru līdzību. Tā kā rezultējošā ātruma vektors nosaka, pa kādu trajektoriju laiva šķērsos upi, tad trijstūris OVS (skat. 1.27. att.), kura malas ir ātrumu vektoru garumi, ir līdzīgs trijstūrim ACB (skat. 1.29.att.), kura mala AC atbilst laivas pārvietojumam no viena upes krasta uz otru, bet mala BC atbilst upes platumam, pēc taisnleņķa trijstūru līdzības pazīmes ll, t. i., ∆ ABC ~ ∆ OVS.

A

B C80m

1.29.att.

Tā kā t s

v= (no ātruma aprēķināšanas formulas v st= ), tad laiku t var aprēķināt, iz-

dalot veikto ceļu AC ar rezultējošo ātrumu OV, t. i., ACOV . Tā kā ∆ACB~∆ OVS, tad 

ACOV

BCSV

mms

s= = =805

16 , jeb šo trijstūru līdzības koeficients atbilst laikam t.

c) Attālums AB = 2,5  ms  · 16 s = 40m.

12

Uzdevumi1.20.

Aprēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām.

Motorlaivabraucaarvidējoātrumu6 ms uzrietumiem,straumesvidējaisātrumsir3,8 ms uzziemeļiem.a) Nosakimotorlaivasrezultējošoātrumu.b)Cikilgimotorlaivabrauksnovienakrastalīdzotram,jaupesplatumsir120m?c) Parcikmetriemnoizbraukšanaspunktabūspārvietojusiesmotorlaiva,jakus-tībanotieklejuppastraumi?

1.21. Aprēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. Airētājs stāvošāūdenī airē ar vidējo ātrumu5 ms .

Upe ir 200mplata,un straumesvidējais ātrums ir

2ms (skat.1.30.att.).

a) Ciktālustraumeaiznestulaivu,jaairētuperpen-dikulārikrastam?

b)Kādā virzienā jāairē laiva (jānosaka kurss), laipretējākrastātānonāktutiešipretīizbraukšanaspunktamA(punktāB)?Ciklielsbūsrezultējošaisātrumsuncik ilgā laikāairētājs sasniegspretējokrastu?

c) Kādāvirzienājāairēlaiva(kurss),laivisātrākno-nāktupretējākrastā?

straume

A

B

1.30.att.Mezgls—ātrumamērvie-

nībajūrā.1mezgls=1jū-

rasjūdze(1,852km)stun-

dājebaptuveni0,5ms.

1.22. Uzskicēatbilstošuzīmējumuunaprēķinileņķistarpkursuuntrajektoriju.a) Kuterisbraucarvidējoātrumu10mezgli,tākurssir30° attiecībāpretziemeļuvirzienu.Straumesvirziensir120°attiecībāpretziemeļuvirzienu,betkuterarezultējošaisātrumsir20mezgli.

b) LaivastrajektorijaarZiemeļuvirzienuveido70°leņķi,tāsrezultējošaisātrumsir8mezgli,straumesvirziensir160°untāsātrumsir8mezgli.

1.23. Vējš pūš dienvidrietumu virzienā. Lidmašīnaijālidouzziemeļiem, lainopilsētasA aizlidotuuzpilsētuB.UzskicēpilsētasBiespējamoatra-šanāsvietu.Atpakaļceļāvējaātrumsunvirziensnemainās,kāarīlidmašīnasātrumsirtādspats.Uzskicē,kādskurssjānostāda,lailidmašīnasa-sniegtupilsētuA.

1.24. Aprēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām.

Divivelkoņivelkkuģitā,kāparādīts1.31.attēlā.Aprēķinivelkoņukopējorezultējošospēku.

30°

30°

12kN

12kN

1.31.att.

1.25. PunktiDun EirtrijstūraABCmaluABun BC viduspunkti.Aplūko1.32.attēluunuzraksti:a) kurivektoriirvienādi;b) kurivektoriirpretēji;c) kurivektoriirvienādivērstiarvektoruAB. A

B

C

D E

1.32.att.

13

Aplūkosimšahagaldiņuunfigūru,kasnovietotagal-diņakreisajāapakšējāstūrī (skat.1.33.att.).Pieņemsim,kavienāgājienāfigūravarpārvietotiesvainuvienurūti-ņuuzaugšu,vaivienurūtiņupalabi.

AB

Oa

l

1.33.att. a

—gājiensuzaugšu

l

—gājienspalabi

OA l aOB a l

= += +2 35 6

LainosākumpunktanokļūtupunktāA,figūratiekpār-vietota2lauciņuspalabiun3—uzaugšu,savukārt,lainokļūtupunktāB,figūrupārbīda5lauciņusuzaugšuun6—palabi.Javienufigūraspārvietojumuuzaugšuapzī-mējamarvektoru a

,betpārvietojumupalabiarvektorul

,tadšajāspēlēkatrufigūraskopējopārvietojumu(vek-toru)varizteikt,izmantojotšosdivusvektorus.

Ja plaknē doti divi vektori a

un b

, kas neatrodas uzparalēlāmtaisnēm,tadkatrucitušīsplaknesvektoru c

varizteiktardotajiemvektoriem a

unb

,t.i.,vektoru c

iespējamsuzrakstītformā

c a b m n Rm n

= ⋅ + ⋅ ∈,kur , .

Vektoru izteikšanā izmantovektoru saskaitīšanas, at-ņemšanas,kāarīreizināšanasarskaitlilikumus.

Vektora izteikšana ar dotiem vektoriem

Ievēro!Lai izteiktu kādu vektoru,tāceļšnosākumpunktalīdzgalapunktam“jāapraksta”arnosacījumosdotajiemvekto-riem.

1.26. VienādsānutrapecēABCD(AB = CD)novilktasdiagonāles,kaskrustojaspunktāO. Atzīmē vektorus BC DA CD BA CO OB AO OD

, , , , , , , . Izraksti nodotajiemvektoriemtosvektorus,kasira) vienādivērstivektori, c) pretējivektori,b) pretējivērstivektori, d) vienādagarumavektori.

1.27. Uzzīmētrijstūri DEF. Uzzīmēdotovektorusummasvektoru.

a) DF

un FE

b) DE

un FE

c) DF

unDE

d) FD

un FE

1.28. TrijstūrīABC malas AB=5unBC=12, B=90°.Aprēķini:

a) BC BA + ; c) AB BC

+ ; e) AB BC

+ ; g) BA BC

+ ;

b) BC BA − ; d) AB BC

− ; f) BA BC

− ; h) AB BC

− .

1.34.att.Izsaki attēlā redzamā šahazirdziņa vienu gājienu, iz-mantojotvektorus a

un l

.

14

Piemēri

1. IzteiktvektoruOA

arvektoriem a

un b

.

1)Apraksta ceļu no A uz O. O

a

b

A

1. risināšanas veids 2. risināšanas veids

O

a

b

AB

O

a

b

A

B

A1

C

a

A1

– b

OA OB BA

= + OA OB BA

= +

2) NovērtēkatrunosummasvektoriemOB

unBA

attiecībāuzvektoriem a

un b

.

OB

vērsums sakrīt ar b

vērsumu un OB

 ir 1,5 reizes garāks par a

, tāpēc OB

= 1,5 · a

. BA

vērsums sakrīt ar b

.  

OB

vērsums sakrīt ar b

vērsumu un OB

 ir 3reizes garāks par b

, tāpēc OB

= 3· b

.BA

vērsums nesakrīt ne ar vektora  a

, ne ar vektora b

vērsumu. Apskatī-sim daļu no vektora BA

 — vektoru  BA1

. Vektors BA BC CA1

= + .  BC

 ir b

pretējs vektors BC b

= − ,  bet  BA1

sakrīt ar vektoru a

, tad  BA b a1

= − + .  BA BA b a

= = − +( )1 5 1 51, , .

3)SummāOA OB BA

= + vektorusOB

unBA

aizstājariegūtajāmizteiksmēm.

OA OB BA a b

= + = +1 5 1 5, , . OA OB BA b b a b a

= + = + − +( ) = +3 1 5 1 5 1 5, , , .

Lai izteiktu, piemēram, vektoru AB

ar vektoriem a

unb

,ērtiizmantotdotorisināšanassecību.1)AprakstaceļunoAuzB,kāatsevišķuvektorusummu:

AB n n nk

= + + +1 2

2)Novērtē katru no summas vektoriem ni

attiecībā uzdotajiemvektoriem a

un b

,atbildotuzjautājumiem:• vaini

vērsumssakrītardotovektoruvērsumu?• vaini

irdaļanodotajiem,vaitodaudzkārtnis?• vai ni

(vaitādaļu)varizteiktkādotovektorusum-muvaistarpību?

3)AB n n nk

= + + +1 2 summāni

aizstājariegūtajāmiz-teiksmēm.

15

Uzdevumi

1.29. NopunktaO atlikti vektori OA

= a

, OB

= b

, OC

= c

, OD

= d

. Izsaki prasītosvektorusarvektoriem a

, b

, c

und

:

a) AB

; b) BC

; c) CD

; d) BA

; e) AD

; f) DO

; g) DB

; h) AC

;

i)vienkāršoizteiksmi OA AB BC CD

+ + + ;

j)japunktsEirnogriežņaBCviduspunkts,izsakivektorus BE CE OE

, , .

1.30. DotsparalelogramsABCD,O —tādiagonāļukrustpunkts.Pārbaudi,vaidotieapgalvojumiirpatiesi.

a) BC

+ BA

= BD

d) AO OC

= g) AB

+ CD

= 0

b) AO

= AC

e) BC BA BD

+ = h) AO

=0,5·AC

c) AO

= OC

f) BC

– BA

= AC

i) AB BC CD AD

+( ) + =

2. Dots taisnstūrisABCD (skat. 1.35. att.), kurā novilk-tas diagonāles, kas krustojas punktā O, un vektoriOA a OB b

= =un .

Izteiktprasītosvektorusarvektoriem a

un b

:A

B C

D

Oa

b

1.35.att.

a) BD

; b) AB

; c) CE

, kur E ∈ ADunsadalatoattiecībāAE :ED =3:2.

a) Izsaka  BD

. Pēc taisnstūra īpašībām DB = 2OB. Tā kā vektoriem  BD

 un OB

 vērsumi ir pretēji, iegūst: BD

 = – 2 b

.A

B C

D

Oa

b

b)  Izsaka  AB

.  “Apraksta” ceļu no A uz B: AB

 =  AO

 + OB

.

  Tā kā  AO

 = – a

 un OB

 = b

, tad  AB

= AO

 + OB

= – a

 + b

= b

– a

. A

B C

D

Oa

b

c) Izsaka CE

.

  Ceļu no C uz E var “aprakstīt” vairākos veidos. Apska-tīsim vienu no tiem: CE CA AE

= + .   CA

= 2 a

 (skat. a) piemēru). Ja AE : ED=3:2, tad AE = 35 AD. 

Izsaka AD

.  “Apraksta” ceļu no A uz D: AD

 = AO

 + OD

 = – a

 – b

Tad  AE AD a b

= = − −( )35

35 . Līdz ar to, 

A

B C

D

Oa

b

E

CE CA AE a a b a a b a

= + = + − −( ) = − − = −2 35 2 3

535 125

35 bb

.

16

Aplūkosimsituāciju,kadaizauklastiekvilktasragavi-ņas(skat.1.38.att.).Skaidrs,kavilkšanasspēkstiekpie-liktsauklasvirzienā,tačuragaviņas,kurāskādssēd,slīduzpriekšupa zemi. Ja būtu zināmsvilcējspēka lielumsunarīleņķis,kotasveidoarzemeiparalēlutaisni,varētuaprēķināt vektora projekciju—lielumu,kasraksturora-gaviņukustībuuzpriekšu.Fizikā apskata divus atšķirīgus jēdzienus— vektora

ģeometriskā projekcijaunvektora projekcija.

Vektora ģeometriskā projekcija irvektors,kuruiegūst,novektoragalapunktiempretapskatāmotaisnivelkotperpen-dikulus.Vektoragalapunktaprojekcijaatbilstģeometriskāsprojekcijasgalapunktam,vektorasākumpunktaprojekcijaatbilstģeometriskāsprojekcijassākumpunktam.

at

ta

a

ax

x

1.39.att.Vektora a

ģeometriskāprojekcijair

vektors at

.

1.40.att.Vektora a

ģeometriskāprojekcijairvektors ax

.

Ievēro:x assvietāvarbūt izmantota jebkuracitaass,piemēram,yass.

1.31. TrijstūrīABCpunktsDatrodasuzmalasABunDB =2AD.PunktsEatrodasuztrijstūramalasACunEC =2AE. AD

= x

un AE

= y

.Izsakiprasītosvektorusarvektoriem x

un y

:

a) AB

; b) CA

; c) DE

; d) BC

.

1.32. Trijstūramediānukrustpunkts irpunktsM.  IzsakiAM AE

ar un BF FM

ar (skat. 1.36. att.). Kādasvienādībasvēlvaruzrakstīt? A

B

D

M E

F1.36.att.

1.33. ČetrstūrisRSTUirtaisnleņķatrapece,MN—tāsvidus-līnija.MR a

= ,MT b

= un MN c

= (skat.1.37.att.). Izsakiprasītosvektorusarvektoriem a

, b

un c

:

a) RS

; b) ST

; c) TN

; d) RU

; e) US

!

S

M

R

T

N

U1.37.att.

Vektora projekcija

Projekcija— (no latīņu va-lodas‘proiectio’—mešanauzpriekšu)— kāda priekšmetaattēlsuzplaknes.

F

1.38.att.

17

Vektora a

projekcija uz x ass ir skaitlis,kurš• vienādsarvektoraģeometriskāsprojekcijas ax

garu-mu ax

,jaģeometriskāsprojekcijasunxassvērsumisakrīt,

• irpretējsskaitlisģeometriskāsprojekcijasax

garumamax

, ja ģeometriskās projekcijas un x ass vērsumi irpretēji.

AB C

D

Ax  Bx  Cx  Dxx

1.42.att.VektoraAB

,projekcijair A Bx x

,joģeometriskāsprojekcijasunxassvērsumisakrīt.

1.43.att.VektoraDC

projekcijair − D Cx x

,joģeometriskāsprojekcijasunxassvērsumipretēji.

Jazināmsvektora a

garums a

unleņķisα ,kovektorsveidoarxasspozitīvovirzienu,tadvaraprēķinātvektora projekcijas garumu,izmantojotformulu

a ax == ⋅⋅

cosα .

1.41.att.VektoraABprojekci-jair Ay yB

vektoraDCprojek-cijair − D Cy y

.

y

By

Dy

Cy

Ay

B

AD

C

PiemērsRenārs,velkotrotaļuautomašīnuaizsaites,kasvērsta30°leņķīprethorizontu,pielieksaitei8Nlieluspēku.Ciklielairhorizontālāvilcējspēkaprojekcija?

Ja 

F

= 8 N, tad F Fx = ⋅ ⋅ =

cos30 4 3° = 8 N 32 N .

30°F

Fx

x

1.45.att.

Uzdevumi1.34. Uzzīmē(skat.1.46.att.): a) vektoruģeometriskoprojekcijuuzx unyasīm; b) vektoruģeometriskoprojekcijuuztaisnesy = x.

a

m

s

k

y

x0 1

1

1.46.att.

ax

α

a

x1.44.att.

cosα = a

ax

18

NovietosimvektoruAB

koordinātuplaknētā,laitāsākumpunktsA sakrītarkoordinātuplaknessākum-punktuO(skat.1.48.att.).UzOxassatliksimvektorui

,kuršir1vienībugarš,betuzassOyatliksim1vie-nībugaruvektoru j

.Tā kā katruplaknes vektoru var izteikt ar diviem ci-

tiemvektoriem,kasnavparalēli,tadarīvektoru AB

varizteiktarvektoriem i

un j

.PēcparalelogramalikumaAB xi y j

= + .Šādiizteiktavektorakoeficientusxunysaucparvek-

tora AB

koordinātām.Vektoru, kas uzdots koordinātu formā pieraksta:

AB

= (x; y). Zinot, ka vektora sākumpunktsA sakrīt arkoordinātu plaknes sākumpunktu, vektora koordinātasatbilsttāgalapunktaBkoordinātām(skat.1.49.att.).Zinotvektorakoordinātas,varaprēķināttāgarumu.

Jadotsvektors AB

=(x;y),tadtā moduli (garumu) ap-rēķinapēcformulas AB x y

== ++2 2 .

1.35.Aprēķini1.47.attēlādotovektoruprojekcijasuzxunyasīm.

1.36.Kādāgadījumā:a) vektoraprojekcijauzassirvienādaarnulli;b) vektoraprojekcijasmodulisuzassirvienādsarvektoragarumu?

1.37.Lidmašīnasātrumsir700 kmh untāsnospraus-taiskurssir60°attiecībāpretziemeļuvirzienu.Aprēķiniātrumavektoraprojekcijasuzxuny asīm(yasssakrītarziemeļuvirzienu).

y

x60°

45°

30°

b

= 7

a = 3

c

= 2

1.47.att.

1.38.Ragaviņas,kurāssēžbērns,velkaizauklas,kasveido60°lieluleņķiarzemi.a) Aprēķinihorizontālounvertikālovilcējspēkaprojekciju,jaragaviņastiekvilktasar40Nlieluspēku.

b) Javilcējspēkupieliktu30°leņķīattiecībāprethorizontu,ragaviņasvilktosvieg-lāk.Pamatosavuatbildi.

1.39.Kājānovietoprojekcijuass,laidivudažāduvektoruprojekcijasuztāsbūtuvienā-das?

Vektora koordinātas

1.49.att.Vektoragarumaap-rēķināšanasformulu,jadotastākoordinātas,iegūst,izman-tojotPitagorateorēmu.

Piemērs Aprēķinātvektora a

 =(6;8) garumu.

Vektora  a

 =(6;8) garums jeb modulis ir a

= + =6 8 102 2 .

A

B(x; y)

y

x0 x

y

A

Ax B

Bx

x · i

y ·  j

y

xi

j

0

1.48.att.

19

Vektora koordinātas var aprēķināt arī tad, ja tā gala-punktu koordinātas neatrodas koordinātu plaknes sā-kumpunktā.

Javektorasākumpunktsungalapunktsirpunktiarkoor-dinātāmA(x1;y1)unB(x2;y2),tadvektoraAB

koordinātasir(x2 – x1;y2 – y1).

A(x1; y1)

B(x2; y2)

y2y1

x2

x2 – x1

y 2 –

y1

x1

x

y

0

1.50.att.Izmantojotzīmējumu,pamato

vektora AB

koordinātuaprēķināša-nasformulu.

Formuluviegliiegūt,javektoruAB

novietouztampa-ralēlastaisnes,kasnovilktacaurkoordinātusākumpunk-tu, tā, lai tā sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknessākumpunktu.

Ievēro! Vektoru AB

un BA

koordi-nātasirpretējiskaitļi.

Piemērs DotipunktiA(3;2)unB(–1;0).Aprēķinātvektoru AB

un BA

koordinātas(skat.1.51.att.).

AB

=(–1–3;0–2)=(–4;–2),betBA

=(3–(–1);2–0)=(4;2).

y

x

A(3;2)

B(–1;0)

BA

AB

0 1

1

1.51.att.

Darbības ar vektoriem koordinātu formā

Ja vektori doti koordinātu formā, tad tos var gansaskaitīt,ganatņemt,ganreizinātarskaitli.Todara,ievērojotšāduslikumus:

Jadotivektori a

=(x1;y1)un b

=(x2;y2),tad

a

+ b

=(x1+x2;y1+y2)a

– b

=(x1 – x2;y1 – y2)

k · a

=(k · x1;k · y1)

Izmantojot1.52.attēlu,pamatoformulu:a

+ b

=(x1+x2;y1+y2)! 1.52.att.

y2

y1

x2

y1

x1

x2

x1+x2

y 1+y2

a

ba  +  b

0 x

y

b

20

Piemērs

1.53.attēlādotivektori a

=(2;–2)unb

=(3;0)unskaitļik =3unm =–0,75.Aprēķinātvektorua

+ b

, b

– a

,k · a

unm · b

koordinātas.

  1)  a

+ b

= (2+3; –2+0)=(5; –2)

  2) b

– a

= (3–2; 0–(–2))=(1; 2)

3) k  · a

= (3·2; 3·(–2))=(6; –6)

4) m · b

= (–0,75·3; –0,75·0)=(–2,25; 0)

y

a

b

0 1 3 5

3

1

x

1.53.att.

Uzdevumi

1.40.Koordinātuplaknēatliecdotosvektorus:

a) vektoruAB

,jaA(4;5),B(–1;2); c) vektoram c

vienādivērstuvektoru;

b) vektoru c

=(2;–3); d) vektoramAB

pretējuvektoru.

1.41.AutomašīnabraucnopunktaAuzEcaurpunktiemB,C,D(skat.1.54.att.).

a) Izsaki koordinātu formā vektorus AB

,BC

,CD

unDE

.b) IzsakikoordinātuformāvektoruAE

.c) Aprēķinikoordinātuformāvektorusum-muAB

+BC

+CD

+DE

.Salīdzini iegūtosummasvektoruarvektoruAE

.

EA

BC

D

1.54.att.

1.42.Dots,ka a

=(2;4), b

=(3;6), c

=(6;12)un d

=(1;3).Aprēķiniskaitļusk,munn,jatasiriespējams.a) c

= k a

b) c

= m b

c) a

= n d

Konstruēdotosvektorus.Kovarsecināt?

1.43.Zināms,ka:a) AB

=(3;2)unA(4;0).NosakipunktaBkoordinātas.b) CD

=(0;–2)unD(4;5).NosakipunktaCkoordinātas.Uzzīmēšosvektorus.

1.44.DotsvektorsCD

(–2;–4)unvektors AB

,kuramA(–1;–3)unB(–1;2).Uzzīmēšosvektorus.

a)aprēķiniabuvektorumoduļus;

b)aprēķinipunktaEkoordinātas,javektori EF

unCD

irvienādiunpunktaF koordinātasir(4;5);

c) izmantojot zīmējumu nosaki abu vektoru viduspunkta koordinātas. Izvirzihipotēzikāvaraprēķinātvektoraviduspunktakoordinātas.

21

1.45. Dots v

=(1;2)unu

=(3;0).Aprēķini:

a) 3 v

; b) v

+u

; c) v

– u

; d) 2 v

+3u

.

1.46.DotipunktiK(2;1),L(8;1)unM(6;4).Aprēķinivektoru KL KM LM MK

, , , garumus.

1.47.DotipunktiA(4;0),B(5;4),C(–3;1)unD(1;–3).Nosaki:a) vektoruAB

unCD

koordinātas;b) AB

un CD

;

c) 14 ⋅ AB

;

d)tādapunktaKkoordinātas,kuršsadalanogriezniABattiecībā1:3,skaitotnopunktaA.

1.48. PQRSirtaisnstūris,kuramPQ =4cm,QR =3cm.Aprēķinivaiizsaki:

a) PQ QR

+ b) PQ QR

+ c) PQ RS

+

1.49.PunktiA(2;3),B(4;–1)unC(2;8)irtrijstūravirsotnes.XirnogriežņaABvidus-punkts,betYirnogriežņaBCviduspunkts.UztaisnesXYatliktspunktsTtā,laiXY  = YT.AprēķinipunktaTkoordinātas.NosakiunpamatofigūrasXBTCvei-du.

1.50.Dotivektori a

=(2;4)unCD

,kur C(1;1)unD(–2;–2).Uzzīmēvektoruģeomet-riskāsprojekcijasunnosakitoprojekcijasuzasīm.

1.51.Vektora a

ģeometriskāsprojekcijasuzasīmirvektori c

=(4;0)und

=(0;–2).Uz-zīmēvektoru a

unnosakitākoordinātas.

Uzdevumi par nodaļu

1.52.NopunktaOatliktidivivektori:OA

= a

unOB

= b

.PunktsMirnogriežņaAB viduspunkts,betNirnogriežņaOBviduspunkts.a) Uzzīmēaprakstamatbilstošuzīmējumu.b) IzsakivektorusAB

,AM

,OM

,ON

unAN

arvektoriem a

un b

.

c) PunktsHatrodasuznogriežņaANunAH AN= 23 .IzsakivektoruOH

arvek-toriem a

un b

.d)punktsPirnogriežņaOAviduspunkts.Pierādi,kapunktiB,H,Patrodasuzvienastaisnes.

1.53. Aprēķinus veic ar precizitāti līdz veseliem grādiem. Sākotceļojumunoostas,kuģisvirzienāuzrietumiemnobrauca200kmunpēctam

vēl240kmvirzienāuzdienvidiem.Tadtassalūza.Uzzīmēvirzienu,izmantojotvektorus.Uzzīmēvirzienu,kādājādodasglābējiemnoostas,laipēciespējasātrāknokļūtupiekuģaunnosakileņķistarptounrietumuvirziemu.

22

1.54.DotipunktiA(1;3)unB(4;2).KādasirpunktaDkoordinātas,javektoruCD

iegūstnopunktaC(–2;3)atliekotvektoru3AB

.KādsiriegūtāsfigūrasABDC veids?Atbildipamato.

1.55.Vektors p

irperpendikulārsvektoram p

+ q

.Dots,ka p

=5un q

=13.Aprēķinip q

+ .

1.56.UzzīmēOA

= a

,OC

= 5 a

,OB

= b

,OD

= 5 b

,A ∈ OC,B ∈ OD.IzsakiDC

ar BA

.

1.57.Peldētājsstartējanovienaupeskrastaunpeldējataipārivirzienāuzdienvidiemarātrumu2km

h.Upeir200mplatauntekuzaustrumiemarātrumu1 km

h.

a) Attēlopeldētājapārvietojumu,izmantojotvektorus.b)Aprēķinipeldētājarezultējošoātrumu.c) Cikilgālaikāviņšpārpeldēsupi?Ciktāluuzaustrumiemnostartavietasviņšbūsaizpeldējis?

1.58.LauraunLaila lūdz izšķirtviņustrīdu.Viņas, saskaitotdivusspēkavektorus,kurulielumiir4Nun3N,ieguvušasdažādusrezultējošosspēkus.Laurasatbildeir7N,betLailasatbilde5N.Kuraimeiteneiirtaisnība?Pamatosavuatbildi.

1.59. Dots:A(0;4)unB(6;1).PunktsP sadalanogriezniABattiecībā2:1, skaitotnopunktaA.NosakipunktaPkoordinātas.PunktsQsadalanogriezniAB attiecībā5:1skaitotnopunktaA.NosakipunktaQkoordinātas.

1.60.Nosaki punktaM koordinātas, ja zināms, ka tas atrodas vienādā attālumā nopunktiemA(7;–1),B(–2;2)unC(–1;–5).

1.61. F1

ir3Nlielsspēks,kasiedarbojasuzķermenivertikāliuzaugšuunF2

ir3Nlielsspēks,kuravirziensir60°attiecībāpretvertikālovirzienu.

a)Uzzīmēganvektorus F1

un F2

,gantosummasvektoru.

b)Aprēķinivektoru F1

un F2

summasvektoragarumu.

c)Nosakivektora F3

garumuuntāvirzienaleņķi,jazināms,ka F1

+ F2

+ F3

=0.

1.62.Novienapunktaatliktivektori a

+ b

,2 a

– b

un–5 a

+13 b

. Pierādi,katogala-punktiatrodasuzvienastaisnes.

1.63.Uzskicēzīmējumu,kasparāda,ka − =2 2v v

.

1.64.Pierādi,ka kv k v

= .

Paškontroles uzdevumi

1. Doti vektori a

un b

(skat.1.55. att.).Uzzīmē a

+ b

, a

– b

, a

–2 b

! a

b

1.55.att.

23

2. Uzzīmē 1.56. attēlā doto vektoruģeometriskāsprojekcijasunnosakitoprojekcijasuzkoordinātuasīm!

d

b

c

a

y

x0 1

1 1.56.att.

3. DotsparalelogramsABCD,tādiagonāļukrustpunktsirpunktsO,AB a

= unAD b

= .

Izsakiarvektoru a

un b

palīdzībuvektorus:

a) AC

; b) DB

; c) CO

; d) BO OC

+ .

4. PastaigājotiessunspārvietojaspatrajektorijuABCDEFG(skat.1.57.att.),totiessuņasaim-nieksdevāstaisninopunktaAuzpunktuG.Izsakivektorus AB

, BC

, CD DE EF

, , , FG

unAG

koordinātuformā!

E

ABC

DFG

1.57.att.

5. DotipunktiA(1;6),B(4;8)unC(–2;5).NosakivektoruAB

,CB

unAC

koordinātasungarumu!

6. Dots:kaAB

= a

unAC

= b

.IzsakiBC

arvektoriema

unb

!IzsakiCB

arvektoriema

un b

!

7. Dots u

=(3;1), v

=(–8;4),w

=(–6;–2).Aprēķini:

a) u

+ v

; c) 3u

+w

; e) u w

+ 12 ; g) u w

+ 12 ;

b) u

– v

; d) 3u w

+ ; f) u w

+ 12 ; h) v

v

.

8. ParalelogramaABCDvirsotnesatrodaspunktosA(1;2),B(3;8),C(9;10)unD(x;y).Aprēķinixuny!

9. PunktaAkoordinātasir(4;0).AtrodipunktaP koordinātas,lai AP

= 2 !

10.

Aprēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām! Ieva vēlaspārpeldēt upi, kuras straumes ātrums ir 2 kmh . Ievapeld ar ātrumu

3,5 kmh .Aprēķini:

a) kādā leņķī attiecībā pret krastu viņai jāpeld, lai upi šķērsotu perpendikulārikrastam;

b) peldētājasrezultējošoātrumu!

11. Aprēķinus veic ar precizitāti līdz vieniem! Baļķavidūirpiesietasdivastroses,kurasuzaugšuvelkdiviceļamkrāni.Vienutrosi

ceļamkrānsvelkar65kNlieluspēku,betotrutrosivelkotrsceļamkrānsar75kNlieluspēku.Spēkiarvertikāliveidoattiecīgi46°un44°lielusleņķus.Ciklielsirabuceļamkrānurezultējošaisspēks?