1. TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) AS10 & AS07 Vesa Linja-aho 22. elokuuta 2014 AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 1 / 155

2. 1 1. tunti 2 2. tunti 3 3. tunti 4 4. tunti 5 5. tunti 6 6. tunti 7 7. tunti 8 8. tunti 9 9. tunti 10 10. tunti 11 11. tunti 12 12. tunti AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 2 / 155 3. 1. tunti Kurssin perustiedot Opettaja: DI Vesa Linja-aho, etunimi.sukunimi@metropolia. Tunnit ma klo 8.00-10.45 (3 h) ja to 12.00-13.45 (2 h), luokka P113. Suorittaminen: Kotitehtvt ja tentti. Tentti on ma 7.3.2011 klo 8.00-11.00. Oppikirja: Kimmo Silvonen: Shktekniikka ja piiriteoria (uudempi) tai Shktekniikka ja elektroniikka (vanhempi). Kaikista muutoksista tiedotetaan Tuubi-portaalissa! AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 3 / 155 4. 1. tunti Kurssi on jatkoa Tasashkpiirit-kurssille Tm kurssi jatkaa siit, mihin Tasashkpiirit-kurssi ji. Trke! Kytnnn maailmassa puhdas tasajnnite on hyvin harvinainen siksi pit opiskella mys vaihtoshktekniikka ja muutosilmiiden ksittely. Tasashkpiirikurssin kokemusten perusteella tll kurssilla otetaan kyttn kotitehtvt, joista saa lispisteit tenttiin. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 4 / 155 5. 1. tunti Kotitehtvt Kurssilla on ainakin 20 kotitehtv (10 kertaa 2 tehtv joskus yksi tehtv voi olla kahden pisteen arvoinen). Jokaisesta kotitehtvst saa 0, 0,5 tai 1 pistett. Jotta kurssista psee lpi, on saatava vhintn 7 pistett. Seitsemn yli menevt pisteet hyvitetn tenttipisteiksi kertoimella 0,5. Tentiss on viisi tehtv 6 pistett. Tentti on lpi, jos saa 15 pistett. Muut arvosanarajat ovat liukuvia. Esimerkki Opiskelijalla on kotitehtvist 15 pistett. Hn saa tentist 11 pistett. Tentti menee kuitenkin lpi, koska kotitehtvpisteet huomioon ottaen (15 7) 0,5 + 11 = 15 pistett. Tosin on melko harvinaista, ett henkil, joka on saanut 15/20 kotitehtvist, saa tentist vain 11 pistett. . . AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 5 / 155 6. 1. tunti Kurssin oppimistavoitteet Opinto-oppaasta: Tavoitteet Vaihtoshkpiirien peruslaskutavat ja siirtofunktioitten mrmisen tavat. Kyky lukea piirikaavioita ja kyky analysoida niit mys vaihtoshkn vaikuttaessa. Sislt Sinimuotoinen jnnite ja virta. Yksinkertaisten jatkuvuustilassa toimivien lineaaristen vaihtoshkpiirien analysointi sek muutosilmiitten ett siirtofunktion laskeminen virtapiireiss. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 6 / 155 7. 1. tunti Kurssin aikataulu Tunneilla ksitelln seuraavat asiat 1 Kertaus (tasashkpiirien analysoinnin mieleenpalautus). 2 Sinimuotoinen vaihtojnnite. Kondensaattori ja reaktanssi. Tehollisarvo. 3 Kela. Johdatus kompleksilukuihin ja osoitinlaskentaan. 4 Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla. 5 Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla. 6 Vaihtoshkteho. 7 Loistehokompensointi ja tehosovitus. 8 Usean taajuuden ksittely virtapiiriss. 9 Siirtofunktiot. Taajuusvaste. 10 Muutosilmiiden ksittely dierentiaaliyhtlill. 11 Laplace-muunnos ja dierentiaaliyhtlt. 12 Osoitinlaskennan ja Laplace-muunnoksen yhteys. Fouriern teoreema. 13 Kertaus. 14 Kertaus. 15 Tentti. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 7 / 155 8. 1. tunti Kirjan kappaleet Tunti Shk&ele1 Shk&piiriteoria2 1. Kertaus 1. luku 1. luku 2. Vaihtojnnite, kondensaattori 4.1, 4.2.4 4.1, 4.2.6 3. Kela. Kompleksiluvut. 4.2.14.2.4 4.2.14.2.6 4. Osoitinlaskenta. 4.2 4.2 5. Osoitinlaskenta jatkuu. 4.2 4.2 6. Vaihtoshkteho. 4.4.14.4.2 4.3.14.3.2 7. Tehokomp. ja -sovitus. 4.4.34.4.4 4.3.34.3.5 8. Useat taajuudet. 4.2.7 4.2.9 9. Siirtofunktiot. 1.4.5,13.1.113.1.3 1.4.5, 3 10. Muutosilmit. 2.2.1, 2.3.1, 3.1.13.1.8 2.6.1, 2.9.3, 3.1.13.1.8 11. Laplace-muunnos. 3.2 3.2 12. Fouriern teoreema. 3.3 3.3 1 Silvonen: Shktekniikka ja elektroniikka (4. tai 5. painos) 2 Silvonen: Shktekniikka ja piiriteoria (1. painos) 3 Suodattimia koskeva osuus on siirretty kirjaan "elektroniikka ja puolijohdekomponentit." AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 8 / 155 9. 1. tunti Tm kurssi ei ole matematiikan kurssi! Kurssilla opiskellaan kompleksilukuja, dierentiaaliyhtlit ja Laplace-muunnosta vain sen verran, ett yksinkertaisten virtapiirien laskeminen on mahdollista. Syvlliset matemaattiset perustelut sivuutetaan. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 9 / 155 10. 1. tunti Opiskelusta 1 op 26,7 tuntia tyt. 3 op = 80 tuntia tyt. Tst lhiopetusta on 39 tuntia. Eli opiskelua oletetaan tapahtuvan mys omalla ajalla! Luentokalvoja ei ole suunniteltu itseopiskelumateriaaliksi. Oppikirja on sit varten. Jos tunneilla edetn liian nopeasti tai liian hitaasti, sanokaa siit (joko tunnilla tai kahden kesken [esim. shkpostitse])! Kyselk paljon, mys tyhmi kysymyksi. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 10 / 155 11. 1. tunti Kohta mennn itse asiaan Kysymyksi? Nyt ensimmisell tunnilla kerrataan vhn tasashkpiirikurssin asioita. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 11 / 155 12. 1. tunti Shkvirta Shkvirta on varauksenkuljettajien liikett. Yksikk on ampeeri (A). Suureen lyhenne on I. Shkvirtaa voidaan verrata letkussa kulkevaan veteen. Virta kiert aina jossain silmukassa (se ei puristu kasaan eik hvi olemattomiin). Virtapiiriss virta merkitn nuolella johtimeen: I = 2 mA - AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 12 / 155 13. 1. tunti Kirchhon virtalaki Kuten edell todettiin, shkvirta ei hvi mihinkn. Kirchhon virtalaki (mys: Kirchhon ensimminen laki) Virtapiirin jollekin alueelle tulevien virtojen summa on yht suuri kuin sielt lhtevien virtojen summa. I1 = 3 mA - I2 = 2 mA - I3 = 1 mA 6 Piirsitp ympyrn mihin tahansa kohtaan piiri, ympyrn sisn menee yht paljon virtaa kuin mit tulee sielt ulos! AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 13 / 155 14. 1. tunti Jnnite Jnnite on kahden pisteen vlinen potentiaaliero. Suureen lyhenne on U. Virtapiirianalyysiss ei oteta kantaa siihen, miten potentiaaliero on luotu. Jnnitteen yksikk on voltti (V). Jnnitett voi verrata paine-eroon putkessa tai korkeuseroon. Jnnitett merkitn pisteiden vlille piirretyll nuolella.+ 12 V U = 12 V c AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 14 / 155 15. 1. tunti Kirchhon jnnitelaki Kahden pisteen vlill vaikuttaa sama jnnite tarkastelureitist riippumatta. Tm on helpoin hahmottaa rinnastamalla jnnite korkeuseroihin. Kirchhon jnnitelaki (mys: Kirchhon toinen laki) Silmukan jnnitteiden summa on etumerkit huomioon ottaen nolla. + 1,5 V + 1,5 V + 1,5 V 4,5 V'r r AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 15 / 155 16. 1. tunti Ohmin laki Mit suurempi virta, sit suurempi jnnite ja pinvastoin. Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kyky vastustaa shkvirran kulkua. Resistanssi on jnnitteen ja virran suhde. Resistanssin tunnus on R ja yksikk ohmi ( ). U = RI R U E I - AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 16 / 155 17. 1. tunti Kerrostamismenetelm Vastuksista ja vakioarvoisista virta- ja jnnitelhteist koostuva piiri on lineaarinen. Jos piiri on lineaarinen, voidaan vastusten jnnitteet ja virrat selvitt laskemalla kunkin lhteen vaikutus erikseen. Tt ratkaisumenetelm kutsutaan kerrostamismenetelmksi. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 17 / 155 18. 1. tunti Kerrostamismenetelm Kerrostamismenetelm sovelletaan seuraavasti Lasketaan kunkin lhteen aiheuttama(t) virta/virrat ja/tai jnnite/jnnitteet erikseen siten, ett muut lhteet ovat sammutettuina. Sammutettu jnnitelhde = oikosulku (suora johdin), sammutettu virtalhde = avoin piiri (katkaistu johdin). Lopuksi lasketaan osatulokset yhteen. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 18 / 155 19. 1. tunti Esimerkki kerrostamismenetelmn soveltamisesta Ratkaise virta I3 kerrostamismenetelmll.+ E1+ E2R3 I3 ? R1 R2 Sammutetaan oikeanpuoleinen jnnitelhde:+ E1 R3 I31 ? R1 R2 I31 = E1 R1+ 1 G2+G3 1 G2+G3 G3 Sammutetaan vasemmanpuoleinen jnnitelhde:+ E2R3 I32 ? R1 R2 I32 = E2 R2+ 1 G1+G3 1 G1+G3 G3 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 19 / 155 20. 1. tunti Esimerkki kerrostamismenetelmn soveltamisesta Virta I3 saadaan laskemalla osavirrat I31 ja I32. I3 = I31 + I32 = E1 R1 + 1 G2+G3 1 G2 + G3 G3 + E2 R2 + 1 G1+G3 1 G1 + G3 G3 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 20 / 155 21. 1. tunti Milloin kerrostamismenetelm on ktev? Kun laskija pit enemmn piirin sormeilemisesta kuin yhtlryhmien pyrittelemisest. Jos piiriss on paljon lhteit ja vhn vastuksia, kerrostamismenetelm on usein nopea. Jos piiriss on useita eritaajuisia lhteit (nihin tutustutaan kurssilla Vaihtoshkpiirit), piirin analysointi perustuu kerrostamismenetelmn. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 21 / 155 22. 1. tunti Lineaarisuus ja kerrostamismenetelmn teoriatausta Kerrostamismenetelm perustuu piirin lineaarisuuteen, eli siihen, ett jokainen lhde vaikuttaa jokaiseen jnnitteeseen vakiokertoimella. Sama kaavana: jos piiriss on lhteet E1, E2, E3, J1, J2, niin jokainen piirin jnnite ja virta on muotoa k1E1 + k2E2 + k3E3 + k4J1 + k5J2, miss vakiot kn ovat reaalilukuja. Jos kaikkien lhteiden arvo on nolla, ovat piirin vastusten virrat ja jnnitteet nolla; eli nollaamalla kaikki lhteet paitsi yksi, voidaan laskea kyseisen lhteen vaikutuskerroin. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 22 / 155 23. 1. tunti Kirchhon lakien systemaattinen soveltaminen Virtapiiriyhtlt kannattaa kirjoittaa systemaattisesti, ettei sekoa omaan nppryyteens. Yksi tapa on solmujnnitemenetelm: 1 Nime jokaisen virtapiirin haaran virta. 2 Valitse joku solmuista maasolmuksi ja nime jnnitteet maasolmua vasten. 3 Kirjoita virtayhtl jokaiselle solmulle, jossa on kiinni enemmn kuin kaksi komponenttia. 4 Lausu vastusten jnnitteet nimettyjen jnnitteiden avulla (piirr vastusten jnnitenuolet samoin pin kuin niiden virtanuolet [=selvemp]). 5 Lausu virrat jnnitteiden avulla ja sijoita ne kohdan 2 virtayhtlihin. 6 Ratkaise jnnitteet. 7 Ilmoita kysytty jnnite/jnnitteet ja/tai virta/virrat. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 23 / 155 24. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 25. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 26. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 27. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c I = I1 + I2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 28. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c I = I1 + I2 E1 U3E E2 U3' AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 29. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c I = I1 + I2 E1 U3E E2 U3' U3 R3 = E1 U3 R1 + E2 U3 R2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 30. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c I = I1 + I2 E1 U3E E2 U3' U3 R3 = E1 U3 R1 + E2 U3 R2 = U3 = R3 R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 31. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I.+ E1+ E2R3 R1 R2 I? I1 -I2 U3 c I = I1 + I2 E1 U3E E2 U3' U3 R3 = E1 U3 R1 + E2 U3 R2 = U3 = R3 R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 I = U3 R3 = R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155 32. 1. tunti Huomautuksia Yhtlt voi kirjoittaa monella eri logiikalla, ei ole yht oikeaa menetelm. Vaatimuksena ainoastaan a) Kirchhon lakien noudattaminen ja b) Ohmin lain4 noudattaminen sek se, ett yhtlit on yht monta kuin tuntemattomia. Jos piiriss on virtalhde, se sst (yleens) laskentatyt, koska silloin tuntemattomia virtoja on yksi vhemmn. Kyttmll konduktansseja yhtlt nyttvt siistimmilt. 4 Ohmin lakia voi kytt vain vastuksille. Jos piiriss on muita komponentteja, tulee tiet niiden virta-jnniteyhtl eli tiet, miten komponentin virta riippuu jnnitteest. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 25 / 155 33. 1. tunti Toinen esimerkki+ E1+ E2R3 R1 R2 R4 R5 I1 - I2 - I3 ? I5 - I4 ? I1 = I2 + I3 I2 = I4 + I5 U3 c U4 c E1 U3 R1 = U3 U4 R2 + U3 R3 ja U3 U4 R2 = U4 R4 + U4 E2 R5 G1(E1 U3) = G2(U3 U4) + G3U3 ja G2(U3 U4) = G4U4 + G5(U4 E2) Kaksi yhtl, kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista. Kyt konduktansseja! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 26 / 155 34. 1. tunti Huomattavaa Virtapiirin ratkaisemiseksi on useita muitakin menetelmi kuin solmujnnitemenetelm: haaravirtamenetelm, silmukkamenetelm, solmumenetelm, modioitu solmupistemenetelm. . . Mikli piiriss on ideaalisia jnnitelhteit (=jnnitelhteit, jotka liittyvt suoraan solmuun ilman, ett vliss on vastus), yhtlihin tulee yksi tuntematon arvo lis (=jnnitelhteen virta) sek yksi yhtl lis (jnnitelhde mr solmujen jnnite-eron). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 27 / 155 35. 1. tunti Kotitehtv 1a Kotitehtvt palautetaan seuraavan tunnin alussa. Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi. Kotitehtv 1a Ratkaise virta I ja jnnite U. Tarkista tuloksesi esimerkiksi merkitsemll kuvaan jokaiseen johtimeen virta ja jokaisen komponentin yli jnnite, ja varmista, ett tulokset eivt ole ristiriidassa Kirchhon lakien kanssa!+ E R1 R2 R3 I? U E = 10 V R1 = 7,5 k R2 = R3 = 5 k AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 28 / 155 36. 1. tunti Kotitehtv 1b Kotitehtv 1b Ratkaise kerrostamismenetelmll (muut menetelmt 0 pistett) virta I ja jnnite U. Tarkista tuloksesi esimerkiksi merkitsemll kuvaan jokaiseen johtimeen virta ja jokaisen komponentin yli jnnite, ja varmista, ett tulokset eivt ole ristiriidassa Kirchhon lakien kanssa! R1 J 6+ E R2 I? U E = 3 V R1 = R2 = 1 J = 1 A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 29 / 155 37. 2. tunti Kotitehtv 1a - Ratkaisu Ratkaise virta I ja jnnite U.+ E R1 R2 R3 I? U E = 10 V R1 = 7,5 k R2 = R3 = 5 k Jnnitteenjakosnnn mukaan U = E R1 R1 + R2||R3 = 7,5 V. Ratkaistaan vastuksen R3 jnnite Kirchhon jnnitelailla, ja sitten virta Ohmin lailla: I = E U R3 = 0,5 mA AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 30 / 155 38. 2. tunti Kotitehtv 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmll (muut menetelmt 0 pistett) virta I ja jnnite U. Ratkaistaan ensin virtalhteen vaikutus. R1 J 6 R2 I1 ? U1 E = 3 V R1 = R2 = 1 J = 1 A U1 = J R1R2 R1 + R2 = 0,5 V I1 = J G1 G1 + G2 = 0,5 A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 31 / 155 39. 2. tunti Kotitehtv 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmll (muut menetelmt 0 pistett) virta I ja jnnite U. Ratkaistaan seuraavaksi jnnitelhteen vaikutus. R1+ E R2 I2 ? U2 E = 3 V R1 = R2 = 1 J = 1 A U2 = E R2 R1 + R2 = 1,5 V I2 = E R1 + R2 = 1,5 A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 32 / 155 40. 2. tunti Kotitehtv 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmll (muut menetelmt 0 pistett) virta I ja jnnite U. Yhdistetn tulokset: U = U1 + U2 = 0,5 V 1,5 V = 1 V I = I1 + I2 = 0,5 A + 1,5 A = 2 A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 33 / 155 41. 2. tunti Sinimuotoinen vaihtojnnite Pistorasiasta saatava jnnite on sinimuotoista. Kaikki jaksolliset vaihtojnnitteet voidaan esitt siniaaltojen summana (Fouriern teoreema). Lineaarisessa piiriss sinimuotoinen herte tuottaa sinimuotoisen vasteen. Sinimuotoisilla signaaleilla laskeminen on helppoa. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 34 / 155 42. 2. tunti Sinimuotoinen jnnite (tai virta) Sinimuotoinen jnnite (tai virta) mritelln u(t) = u sin(2ft + ) Usein merkitn = 2f , jolloin kaava lyhenee: u(t) = u sin(t + ) Suuretta kutsutaan kulmataajuudeksi ja sen yksikk on rad s . Kulma on vaihekulma. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 35 / 155 43. 2. tunti Kondensaattori ja sinimuotoinen jnnite Yhtlst i = C du dt+ u(t) = u sin(t + ) C i? Virta on siis i = C du dt = Cu cos(t + ) = Cu sin(t + + 2 ) Eli jnnitteen ja virran suhde on 1 C , ja niiden vlill on 90 asteen ( 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jnnitett edell. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 36 / 155 44. 2. tunti Reaktanssin ksite Kondensaattorille i = C du dt+ u(t) = u sin(t + ) C i? i(t) = C du dt = Cu cos(t + ) = Cu sin(t + + 2 ) Jnnitteen ja virran amplitudien suhde on: X = u Cu = 1 C Tt jnnitteen ja virran suhdetta X kutsutaan reaktanssiksi, aivan kuten jnnitteen ja virran suhdetta vastuksessa kutsutaan resistanssiksi. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 37 / 155 45. 2. tunti Tehollisarvon ksite Tehollisarvolla tarkoitetaan sit, kuinka suurta tasajnnitett vaihtojnnite vastaa lmmitysteholtaan, jos siihen kytketn resistiivinen kuorma. Esimerkiksi hehkulamppu loistaa yht kirkkaasti, kytkip sen 230 voltin akustoon (tasajnnite) tai 230 voltin verkkoshkn (vaihtojnnite). Verkkojnnitteen huippuarvo on 230 2 325 volttia. Sinimuotoisen vaihtovirran ja -jnnitteen huippuarvon ja tehollisarvon suhde on 2. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 38 / 155 46. 2. tunti Kotitehtv 2 (a ja b) Kotitehtv palautetaan seuraavan tunnin alussa. Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi. Kotitehtv 2 Kuinka suuri on virran I a) tehollisarvo b) huippuarvo (i). Onko virta jnnitett edell vai jljess, ja kuinka paljon? Jnnitelhteen taajuus on 50 Hz ja tehollisarvo 230 volttia.+ E C I? C = 1 F AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 39 / 155 47. 3. tunti Kela ja sinimuotoinen jnnite Yhtlst u = L di dt i(t) = i sin(t + ) 6 L i? u c Jnnite on u = L di dt = Li cos(t + ) = Li sin(t + + 2 ) Eli jnnitteen ja virran suhde on L, ja niiden vlill on 90 asteen ( 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jnnitett jljess. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 40 / 155 48. 3. tunti Kelan reaktanssi Yhtlst u = L di dt i(t) = i sin(t + ) 6 L i? u c Jnnite on u = L di dt = Li cos(t + ) = Li sin(t + + 2 ) Jnnitteen ja virran suhde eli kelan reaktanssi on: X = Li i = L AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 41 / 155 49. 3. tunti Kompleksiluvut Vaihtoshkpiirilaskuja on helppo laskea osoittimilla. Osoittimia on puolestaan helppo ksitell kompleksilukujen avulla. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 42 / 155 50. 3. tunti Kompleksiluvut Kompleksilukuaritmetiikka perustuu imaginaariyksikkn i, joka mritelln seuraavasti: i2 = 1 Perinteisess reaalilukuaritmetiikassa mikn luku korotettuna toiseen ei ole -1, mutta mikn ei est mrittelemst sellaista. Ettei pikku-i mene sekaisin virran kanssa, shktekniikassa imaginaariyksiklle kytetn symbolia j: j2 = 1 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 43 / 155 51. 3. tunti Kompleksiluvut Kompleksiluku jakaantuu reaaliosaan ja imaginaariosaan. Esimerkiksi jos lasketaan yhteen reaaliluku 3 ja imaginaariyksikk j, saadaan luku 3 + j AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 44 / 155 52. 3. tunti Laskeminen kompleksiluvuilla Peruslaskutoimitusten laskeminen kompleksiluvuilla ei kytnnss eroa reaaliluvuilla laskemisesta: 3(j + 2) = 3j + 6 (1 + 2j)(1 + j) = 1 + j + 2j + 2j2 = 1 + 3j 2 = 1 + 3j AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 45 / 155 53. 3. tunti Eulerin kaava Kompleksiluvuille ptee Eulerin kaava. Sen todistaminen on mahdollista sarjakehitelmien avulla ja kuuluu (yliopisto)matematiikan tunnille. Otamme kaavan kyttn perustelematta: ej = cos + j sin Eulerin kaava on trke, kun kompleksilukuja muunnetaan summamuodosta kulmamuotoon. Kompleksitason piste 2 + 2j voidaan esitt joko summamuodossa: z = 2 + 2j tai kulmamuodossa (Eulerin kaavan avulla) 2 2 ej 4 = 2 2 cos 4 + j sin 4 Kompleksiluvun 2 + 2j kulma eli argumentti on 4 radiaania eli 45 astetta ja itseisarvo on 2 2. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 46 / 155 54. 3. tunti Eulerin kaavan geometrinen tulkinta Kompleksiluvun itseisarvo tarkoittaa kompleksitason pisteen etisyytt origosta. Kompleksiluvun kulma tarkoittaa pisteen suuntaa x-akselilta katsottuna. Eulerin kaavan kytt ei ole itsetarkoitus shktekniikassa. Sen takia kulmamuodossa olevaa kompleksilukua ei kirjoiteta nkyviin muodossa rej, vaan kytetn muotoa r. Kyseess on vain lyhennysmerkint. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 47 / 155 55. 3. tunti Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla (johdanto) Jos piiriss on yksi lhde ja yksi kela tai kondensaattori, lasku on helppo. Jos niit on useampi, laskeminen on mielettmn tylst. Onneksi voidaan kytt kompleksilukuihin perustuvaa osoitinlaskentaa. Osoitinlaskennassa jnnitteet ja virrat ovat kompleksilukuja, jotka sisltvt sek jnnitteen tehollisarvon ett vaihekulman. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 48 / 155 56. 3. tunti Tehollisarvon ksite Osoitinlaskennassa kytetn tehollisarvon osoittimia, koska tllin tehon kaava on siistimmn muotoinen kuin huippuarvon osoittimia kytettess. Vaihtoshkteho ksitelln seuraavalla tunnilla: nyt riitt, ett tiedmme, ett: Sinimuotoisen vaihtovirran ja -jnnitteen huippuarvon ja tehollisarvon suhde on 2. Tehollisarvolla tarkoitetaan sit, kuinka suurta tasajnnitett vaihtojnnite vastaa lmmitysteholtaan, jos siihen kytketn resistiivinen kuorma. Esimerkiksi hehkulamppu loistaa yht kirkkaasti, kytkip sen 230 voltin akustoon (tasajnnite) tai 230 voltin verkkoshkn (vaihtojnnite). Verkkojnnitteen huippuarvo on 230 2 325 volttia. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 49 / 155 57. 3. tunti Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla Uusi ksite: impedanssi (Z). Vastuksen impedanssi on R. Kelan impedanssi ZL = jL ja kondensaattorin impedanssi ZC = 1 jC . j on matematiikan tunnilta tuttu imaginaariyksikk: j2 = 1. Shktekniikassa ei kytet lyhennett i, koska se tarkoittaa virtaa. Jnnite ja virta ilmaistaan kompleksilukuna siten, ett kompleksiluvun itseisarvona on jnnitteen/virran tehollisarvo ja kulmana (argumenttina) jnnitteen/virran vaihekulma. u = u sin(t + ) U = u 2 Merkint r tarkoittaa kompleksilukua, jonka itseisarvo on r ja argumentti . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 50 / 155 58. 3. tunti Kondensaattori ja sinimuotoinen jnnite osoitinlaskennalla Aiempi esimerkki osoitinlaskennalla (ei tarvitse ymmrt viel).+ u(t) = u sin(t + ) C i? Muunnetaan jnnitelhteen arvo kompleksiluvuksi: u(t) = u sin(t + ) U = u 2 . Virta on Ohmin lain mukaan I = U Z = u 2 1 jC = jC u 2 = C90 u 2 = uC 2 + 90 Muunnetaan takaisin ajan funktioksi: i = Cu sin(t + + 2 ) Eli jnnitteen ja virran suhde on 1 C ja niiden vlill on 90 asteen ( 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jnnitett edell. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 51 / 155 59. 3. tunti Kotitehtv 3 a) Muunna summamuotoon (pyrist tulos tarvittaessa): 330 590 Muunna kulmamuotoon (pyrist tulos tarvittaessa): 1 j 3 + 4j b) Laske, ja ilmoita lopputulos sek kulma- ett summamuodossa: (1 + j)(2 j) 1 1j AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 52 / 155 60. 4. tunti Kotitehtv 3 - ratkaisu Muunna summamuotoon (pyrist tulos tarvittaessa): 330 = 3(cos 30 + j sin 30) 2,6 + 1,5j 590 = 5j (90 asteen kulma = puhdas imaginaariluku) Muunna kulmamuotoon (pyrist tulos tarvittaessa): 1 j = 12 + (1)2 arctan 1 1 = 2 45 3 + 4j = (3)2 + 42 arctan 4 3 = 51275 Laske, ja ilmoita lopputulos sek kulma- ett summamuodossa: (1+j)(2j) = 2j+2jj2 = 3+j = 32 + 12 arctan 1 3 3,1618,4 1 1j = 1(1+j) (1j)(1+j) = 1+j 2 = 0,5 + 0,5j 0,745 5 Varo! Laskin sanoo 53 sinun pit itse siirt kulma oikeaan neljnnekseen! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 53 / 155 61. 4. tunti Kotitehtv 4+ U = 120 C I - R Ratkaise virta I (kompleksilukuna jnnite on ilmoitettu tehollisarvona, ilmoita mys virta tehollisarvona). C = 1 F R = 10 k = 1000 rad s AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 54 / 155 62. 5. tunti Kotitehtv 4 - ratkaisu+ U = 120 C I - R Ratkaise virta I (kompleksilukuna jnnite on ilmoitettu tehollisarvona, ilmoita mys virta tehollisarvona). C = 1 F R = 10 k = 1000 rad s Lasketaan rinnankytkennn impedanssi Z = 1 1 ZC + 1 R = ZC R ZC + R = 1 jC R 1 jC + R = R 1 + jRC Virta I saadaan yleistetyst Ohmin laista I = U Z = U 1 + jRC R = 12 10000 (1 + j1000 106 10000) = 0,0012(1 + 10j) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 55 / 155 63. 5. tunti 0,0012(1 + 10j) 0,01284,3 Eli virta on 12 milliampeeria kulmassa 84,3. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 56 / 155 64. 5. tunti Yleistetty Ohmin laki Tasashklle meill oli U = RI. Sama ptee mys vaihtoshklle ja vastuksille. Vaihtoshklle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyss Ohmin laissa vaihtojnnitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = u sin(t + ) U = u 2 . Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin knteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille ptee YU = I, miss Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 57 / 155 65. 5. tunti Sitten lasketaan esimerkkej! Tll tunnilla kydn vain lpi laskuesimerkkej, ts. ei menn uuteen asiaan. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 58 / 155 66. 5. tunti Esimerkki 1 Ratkaise virta I ja jnnite U.+ E R1 R2 C I? U E = 100 V R1 = 7,5 k R2 = 5 k C = 1 F = 1000 1 s Vastaus: U 9,677,13 V I 1,2618 mA AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 59 / 155 67. 5. tunti Esimerkki 2 Ratkaise kerrostamismenetelmll virta I ja jnnite U. R J 6+ E C I? U E = 330 V R = 1 C = 1 F J = 10 A = 1 1 s Vastaus: U 1,55178 V I 1,8756 A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 60 / 155 68. 5. tunti Esimerkki 3 Ratkaise virrat I1, I2 ja I3.+ E L C I3 ?I2 ? I1 - E = 100 V L = 1 H C = 1 F = 1 1 s Vastaus: I1 = 0 A I2 = 10j A I3 = 10j A AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 61 / 155 69. 5. tunti Kotitehtv 5+ E0 L U W R a) Mill kulmataajuudella tapahtuu niin, ett |U| = |E| 1 2 ?6 b) Paljonko silloin on U:n vaihekulma? c) Ent paljonko on U, jos = 0? d) Paljonko on U jos ? L = 1H R = 100 6 Eli jnnitteen U amplitudi on noin 0,707-kertainen verrattuna jnnitteen E amplitudiin. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 62 / 155 70. 6. tunti Kotitehtv 5 - ratkaisu+ E0 L U W R a) Mill kulmataajuudella tapahtuu niin, ett |U| = |E| 1 2 ?7 b) Paljonko silloin on U:n vaihekulma? c) Ent paljonko on U jos = 0? d) Paljonko on U jos ? L = 1H R = 100 Jnnitteenjakosnnn mukaan: U = E R R + ZL = E R R + jL = E 1 1 + j L R 7 Eli jnnitteen U amplitudi on noin 0,707-kertainen verrattuna jnnitteen E amplitudiin. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 63 / 155 71. 6. tunti Selvitetn, milloin |U| = |E| 1 2 eli |U| |E| = 1 2 . Koska U = E 1 1+j L R , niin |U| |E| = 1 1 + j L R = |1| |1 + j L R | = 1 1+( L R )2 Milloin suhde on 1 2 : 1 2 = 1 1+( L R )2 = 2 = L R 2 + 1 = R L Eli kuvan lukuarvoilla a)-kohdan vastaus on = R L = 100 1H = 1001 s . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 64 / 155 72. 6. tunti b) -kohtaa varten selvitetn vaihekulma: U E = 1 1 + j L R Osoittajan vaihekulma on 0, nimittjn vaihekulma on arctan L R 1 . Koska kompleksi(murto)luvun vaihekulma on osoittajan vaihekulma miinus nimittjn vaihekulma, on kysytty vaihekulma 0 arctan L R 1 = arctan L R . Ja b)-kohdan lopullinen vastaus: kun = R L (a-kohta), niin kulma on arctan R L L R = arctan 1 = 45 . c) -kohta on helppo: jos omega on nolla, lausekkeen imaginaariosa hvi: U = E 1 1 + j 0 L R = E AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 65 / 155 73. 6. tunti d) -kohdassa . Tarkastellaan lauseketta U = E 1 1 + j L R Jos nimittj lhestyy retnt ja osoittajassa on vakio, murtolausekkeen arvo lhestyy nollaa. Eli kun , niin U 0. Jos ollaan tarkkoja, niin U 0 90, koska arctan L R lhestyy arvoa 90, kun . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 66 / 155 74. 6. tunti Kertaus: Yleistetty Ohmin laki Tasashklle meill oli U = RI. Sama ptee mys vaihtoshklle ja vastuksille. Vaihtoshklle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyss Ohmin laissa vaihtojnnitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = u sin(t + ) U = u 2 . Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin knteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille ptee YU = I, miss Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 67 / 155 75. 6. tunti Vaihtovirtateho vastuksessa Hetkelliselle teholle ptee p = ui. Vastuksessa u = Ri, joten p = ui = Ri i = Ri2. Sinimuotoinen vaihtovirta, jonka huippuarvo on esimerkiksi 10 A, lmmitt 2 vastusta vlill p = 2 (10 A)2 = 200 W teholla, ja vlill 0 W teholla. Mik sitten on keskimrinen teho, jolla kyseinen vaihtovirta lmmitt vastusta? Jatkuva keskiarvo saadaan laskettua integraalin avulla Pav = 1 T T 0 p(t)dt. Sijoitetaan sinimuotoinen virta, jonka huippuarvo on i ja kulmataajuus , tehon kaavaan, ja lasketaan integroimalla keskimrinen teho. Pav = 1 T T 0 p(t)dt = 1 T T 0 R(i sin t)2 dt = Ri2 T T 0 1 2 (1 cos 2t)dt AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 68 / 155 76. 6. tunti Integraali jatkuu Pav = 1 T T 0 p(t)dt = 1 T T 0 R(i sin t)2 dt = Ri2 T T 0 1 2 (1 cos 2t)dt Koska kulmataajuus = 2f ja jaksonaika T = 1 f , niin Pav = Ri2 T T 0 1 2 (1 cos 2 2 T t)dt = Ri2 T T 0 1 2 1 2 cos 4 T tdt Pav = Ri2 T ( 1 2 T 1 2 T 4 (sin 4 T T sin 4 T 0)) = Ri2 ( 1 2 1 8 (0 0)) = Ri2 2 Eli mink suuruista tasavirtaa tllainen vaihtovirta vastaa tehon kaavassa? Ie = i 2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 69 / 155 77. 6. tunti Kompleksinen teho Aivan kuten Ohmin laki voidaan yleist vaihtoshklle U = RI U = ZI, voidaan tehokin laskea kompleksilukujen avulla: S = UI , miss S = P + jQ Kompleksisen tehon reaaliosaa P kutsutaan pttehoksi (yksikk: watti, W) ja imaginaariosaa Q loistehoksi (yksikk vari, var). Ptteho kuluu piiriss (esim. muuttuu vastuksessa lmmksi), loisteholla tarkoitetaan tehoa, joka heilahtelee edestakaisin piiriss, mutta ei varsinaisesti kulu mihinkn. S on nimeltn nennisteho. Sen yksikk on volttiampeeri (lyhenne: VA). Huomaa kompleksisen tehon kaavassa merkint I, joka tarkoittaa virran liittolukua eli konjugaattia (= vaihda kulman etumerkki eli vaihda imaginaariosan etumerkki)! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 70 / 155 78. 6. tunti Perusteluja S = UI , miss S = P + jQ Hetkelliselle teholle voidaan laskea kaava p(t) = u(t)i(t) = ui sin(t + u) sin(t + i ) = ui 1 2 [cos(u i ) cos(2t + u + i )]. Ensimminen kosinitermi on vakio, toinen vaihtelee taajuudella, joka on kaksinkertainen verrattuna piirin kulmataajuuteen. Kompleksisen tehon kaavassa on konjugaattimerkki, jotta jnnitteen ja virran tuloon saadaan kulmaksi u i . (Jos konjugointia ei tehtisi, tehon kulmaksi tulisi u + i , joka ei merkitse yhtn mitn.) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 71 / 155 79. 6. tunti Esimerkki (jatkuu seuraavalla kalvolla) Tarkastellaan vaihtoshkgeneraattoria, jota saa kuormittaa enintn 10 ampeerin virralla eli jonka maksimikuormitus on 2,3 kVA (230 V 10A = 2,3 kVA). Kytkemll generaattoriin puhtaasti resistiivisen kuorman, esimerkiksi lmppatterin, saadaan kaikki teho kyttn:+ 230 V 50 Hz R = 23 I = 230 V 23 = 10 A P = 230 V 10 A = 2,3 kW Koska vastus ei aiheuta vaihesiirtoa, tehon laskenta tapahtuu kuten tasashkpiiriss. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 72 / 155 80. 6. tunti Esimerkki (jatkuu seuraavalla kalvolla) Nyt kytketn samaan generaattoriin induktiivinen kuorma, esimerkiksi shkmoottori. Mallinnetaan kuormaa vastuksen ja kelan sarjaankytkennll.+ 230 V 50 Hz R = 15 L = 50 mH Nyt virta ja teho ovat I = U Z = U jL + R = 230 V j 100 50 103 + 15 10,6 46 A S = UI = 230 V 10,646 A 244046 VA 1690 + 1750j P = 1690 W Q = 1750 var AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 73 / 155 81. 6. tunti Esimerkki: johtoptkset Kuorma (moottori) ottaa generaattorilta pttehoa vain 1690 wattia, mutta sen ottama virta on jo hieman yli sallitun. Kytnnn haittana on se, ett generaattoriin ei voida kytke muita kuormia ilman, ett generaattori ylikuormittuu. Toisin sanoen kyttmtt j 2300 W - 1690 W = 610 W. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 74 / 155 82. 6. tunti Loisteho shknjakelussa Loisteho on ei-toivottu ilmi shknjakelussa, koska se kuormittaa verkkoa. Loistehon kulutus on pois verkon siirtokapasiteetista. Esimerkiksi Fortum laskuttaa8 suurasiakkaita shkn siirrosta seuraavasti (hinnat euroina, ei sis. alv.): Perusmaksu /kk 31,50 Tehomaksu /kW, kk 1,55 Loistehomaksu /kVAr, kk 3,12 Pivsiirto, talvi c/kWh 2,30 Muun ajan siirto c/kWh 1,12 Loistehomaksun perusteena on kuukausittainen loistehohuippu, josta on vhennetty 20 % saman kuukauden pttehohuipun mrst. 8 Fortum Espoo Distribution Oy:n verkkopalveluhinnasto 1.1.2011, http://www.fortum./ AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 75 / 155 83. 6. tunti Kotitehtv 6 L = 2 H C = 1 F R = 5 E = 100 = 1 C+ E R L Laske jokaisen neljn elementin (E, L, R, C) kompleksinen teho (jokainen erikseen!). Vihje: jos laskit oikein, jnnitelhteen teho on yht suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin muiden komponenttien tehojen summa. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 76 / 155 84. 7. tunti Kotitehtv 6 - ratkaisu L = 2 H C = 1 F R = 5 E = 100 = 1 C+ E R L Laske jokaisen neljn elementin (E, L, R, C) kompleksinen teho (jokainen erikseen!). Vihje: jos laskit oikein, jnnitelhteen teho on yht suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin muiden komponenttien tehojen summa. Ratkaisu Lasketaan ensin kondensaattorin, kelan ja vastuksen impedanssit (yksikk: ): ZC = 1 jC = 1 j = j ZL = jL = 2j ZR = 5 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 77 / 155 85. 7. tunti Komponentit ovat sarjassa, joten piiriss kiertv virta on I = U Z = E ZC + ZR + ZL = 10 j + 5 + 2j = 10 5 + j Komponenttien jnnitteet saadaan yleistetyst Ohmin laista U = ZI: UC = IZC = 10 5j 1 UR = IZR = 50 5 + j UL = IZL = 20j 5 + j Tehon laskemista varten selvitetn virran konjugaatti (liittoluku): I = 10 5 + j = 10 5 j Lasketaan tehot S = U I: SC = UC I = 10 5j 1 10 5 j = 100 26 j SR = URi = 50 5 + j 10 5 j = 500 26 SL = 20j 5 + j 10 5 j = 200 26 j SE = 10 10 5 j = 100 5 j = 500 100j 26 SE :n kaavassa on jnnitteen etumerkki vaihdettu, koska virta I on erisuuntainen kuin jnnite E. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 78 / 155 86. 7. tunti Jnnitelhde luovuttaa tehoa yht paljon kuin siihen kytketyt komponentit kuluttavat tehoa, eli summan SC + SR + SL tulee olla yht suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin SE . Lasketaan SC + SR + SL = 100 26 j + 500 26 + 200 26 j = 500 + 100j 26 mik on yht suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin edellisell kalvolla laskettu SE = 500 100j 26 . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 79 / 155 87. 7. tunti Kertaus: Yleistetty Ohmin laki Tasashklle meill oli U = RI. Sama ptee mys vaihtoshklle ja vastuksille. Vaihtoshklle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyss Ohmin laissa vaihtojnnitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = u sin(t + ) U = u 2 . Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin knteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille ptee YU = I, miss Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 80 / 155 88. 7. tunti Kertaus: Kompleksinen teho Aivan kuten Ohmin laki voidaan yleist vaihtoshklle U = RI U = ZI, voidaan tehokin laskea kompleksilukujen avulla: S = UI , miss S = P + jQ Kompleksisen tehon reaaliosaa P kutsutaan pttehoksi (yksikk: watti, W) ja imaginaariosaa Q loistehoksi (yksikk vari, var). Ptteho kuluu piiriss (esim. muuttuu vastuksessa lmmksi), loisteholla tarkoitetaan tehoa, joka heilahtelee edestakaisin piiriss mutta ei varsinaisesti kulu mihinkn. S on nimeltn nennisteho. Sen yksikk on volttiampeeri (lyhenne: VA). Huomaa kompleksisen tehon kaavassa merkint I, joka tarkoittaa virran liittolukua eli konjugaattia (= vaihda kulman etumerkki eli vaihda imaginaariosan etumerkki)! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 81 / 155 89. 7. tunti Loistehokompensointi Loisteho on ei-toivottu ilmi. Esimerkiksi shkmoottori ottaa shkverkosta loistehoa, koska siin on kmej (=induktanssia). Tehdas, jossa on satoja tai tuhansia shkmoottoreita, kuormittaa shkverkkoa tarpeettomasti. Loisteho sykkii moottorien ja voimalaitoksen vlill kuormittaen johtimia turhaan. Teollisuuslaitoksilta peritn loistehosta maksua, joka on usein suurempi kuin pttehomaksu! Tmn takia loisteho pyritn kompensoimaan pois. Kompensointi tapahtuu yleens rinnakkaiskondensaattorilla. Perustapa: laitetaan induktiivisen kuorman rinnalle kondensaattori, joka kumoaa loistehon niin, ett kuorma nytt shkverkkoon pin (lhes) pelklt vastukselta. Kompensoinnin voisi tehd mys sarjakondensaattorilla, mutta se ei ole kytnnss jrkev. Miksi? AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 82 / 155 90. 7. tunti Induktiivisen loistehon kompensointi rinnakkaiskondensaattorilla Sarjakompensoinnin haittana on, ett koko kuorman ottama virta kulkee silloin kondensaattorin lpi (kuormittaa kondensaattoria). Rinnakkaiskondensaattorin lpi kulkee vain loistehon kompensointiin vaadittava virta. Kondensaattorin koko valitaan siten, ett kuorman (kela ja vastus) sek kondensaattorin muodostaman kokonaisuuden loisteho on nolla, eli impedanssin imaginaariosa on nolla! L+ E R C AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 83 / 155 91. 7. tunti Esimerkki Loistehokompensointi rinnakkaiskondensaattorilla perustuu siihen, ett kondensaattori ottaa shkverkosta (jnnitelhteest) yht suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon kuin induktiivinen kuorma. Kondensaattorin mitoituksen voi laskea kahdella tavalla: Tapa 1 Lasketaan kuorman (kuvassa vastus + kela) ottama loisteho. Sitten lasketaan, kuinka suuri kondensaattorin tytyy olla, jotta se ottaa yht suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon. Tapa 2 Lasketaan kondensaattorin, kelan ja vastuksen muodostaman kokonaisuuden impedanssi, ja sitten valitaan kondensaattori niin, ett tmn impedanssin imaginaariosa on nolla. Tapa 2 on usein helpompi. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 84 / 155 92. 7. tunti Esimerkki - Tapa 1 U = 230 V L = 0,5 H = 100 R = 100 L+ U R C Kela ja vastuksen sarjaankytkennn nennisteho on S = UI = U U ZR + ZL = U U (R + jL) = |U|2 R jL = |U|2 (R + jL) R2 + (L)2 Nennistehon reaaliosa on ptteho (P, watteja) ja imaginaariosa on loisteho (Q, vareja). Loistehon suuruus on Q = |U|2L R2 + (L)2 239,647 . . . (var) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 85 / 155 93. 7. tunti Esimerkki - Tapa 1 jatkuu Seuraavaksi mitoitetaan kondensaattori siten, ett se kuluttaa yht suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon kuin sken laskettu loisteho. Kondensaattorin nennisteho on SC = UI = U U ZC = U U 1 jC = |U|2 j 1 C = |U|2 j 1 C = j|U|2 C eli sen loisteho on |U|2C (kondensaattori ei koskaan kuluta pttehoa!). Tmn pit olla yht suuri (mutta vastakkaismerkkinen) kuin edellisell kalvolla laskettu Q: |U|2 C = |U|2L R2 + (L)2 C = L R2 + (L)2 14,4 106 eli tarvitaan 14,4 mikrofaradin kondensaattori. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 86 / 155 94. 7. tunti Esimerkki - Tapa 2 U = 230 V L = 0,5 H = 100 R = 100 L+ U R C Kela ja vastus ovat keskenn sarjassa, ja niiden muodostama sarjaankytkent on rinnan kondensaattorin kanssa: Z = 1 1 ZC + 1 R+ZL = 1 jC + 1 R+jL Jotta piiri ei kuluttaisi loistehoa, tulee impedanssin olla reaalinen (=reaaliluku). Osoittajassa on reaaliluku (ykknen), joten impedanssi on reaalinen, jos ja vain jos nimittj on reaalinen. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 87 / 155 95. 7. tunti Esimerkki - Tapa 2 jatkuu Tutkitaan nimittj: jC + 1 R + jL = jC + R jL R2 + (L)2 = jC imaginaarinen + R R2 + (L)2 reaalinen + jL R2 + (L)2 imaginaarinen Jotta luku olisi reaalinen, tytyy imaginaariosan olla nolla. Ratkaistaan, mill kapasitanssin arvolla imaginaariosa saadaan nollaksi: jC + jL R2 + (L)2 = 0 C = L R2 + (L)2 14,4 106 Vastaus on sama kuin mit saatiin edellisell tavalla laskemalla. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 88 / 155 96. 7. tunti Tehosovitus Eri asia kuin loistehokompensointi! Tehosovituksessa pyritn valitsemaan kuorman impedanssi siten, ett kuormaan kulkeva ptteho on suurimmillaan. Esimerkiksi jos vahvistimen lhtimpedanssi tiedetn, valitaan kaiuttimen impedanssi siten, ett teho on mahdollisimman suuri. Toisin sanoen: jos ZS tiedetn, kuinka ZL tulee valita, jotta ZL:n siirtyv teho maksimoituu. Toinen esimerkki: radioantennin kytkeminen lhetinvahvistimeen. ZL+ E ZS AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 89 / 155 97. 7. tunti Tehosovitus vaihtoshkll Vaihtoshkpiiriss tulee ZL valita siten, ett ZL:n imaginaariosa kumoaa ZS:n imaginaariosan. Tllin virta on suurin ja ptteho kuormassa on suurin. Lhteest, jonka ZS tunnetaan, suurinta mahdollista ulos tulevaa tehoa kutsutaan ylttehoksi. Perustelu on samanlainen kuin kotitehtvss suoritettava perustelu; lasketaan vain kompleksiluvuilla. Voidaan perustella mys maalaisjrjell: resistansseille suoritetun tehosovituksen lisksi pit hankkiutua impedanssin imaginaariosasta eroon, jolloin kuormaan kulkee niin suuri virta kuin mahdollista. RL = RS ja vaihtoshkll ZL = Z S AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 90 / 155 98. 7. tunti Kotitehtv 7 RL+ E RS Osoita, ett9 kuormavastuksen RL teho on suurimmillaan silloin, kun RL on arvoltaan yht suuri kuin RS. Ohje: Muodosta lauseke RL teholle. Arvot E ja RS ovat vakioita. Sitten derivoi lauseke RL:n suhteen ja etsi tehon maksimi derivaatan avulla. 9 P.S. Tm on ihan puhdas tasashkpiiritehtv, eli nyt et tarvitse kompleksilukuja. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 91 / 155 99. 8. tunti Kotitehtv 7 - ratkaisu RL+ E RS Osoita, ett10 kuormavastuksen RL teho on suurimmillaan silloin, kun RL on arvoltaan yht suuri kuin RS. Ohje: Muodosta lauseke RL teholle. Arvot E ja RS ovat vakioita. Sitten derivoi lauseke RL:n suhteen ja etsi tehon maksimi derivaatan avulla. Ratkaisu: teho vastuksessa RL on PL = ULI = RLI2 = RL E RS + RL 2 = E2RL R2 S + 2RSRL + R2 L . 10 P.S. Tm on ihan puhdas tasashkpiiritehtv, eli nyt et tarvitse kompleksilukuja. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 92 / 155 100. 8. tunti Osamrn derivaatta on f g = f g fg g2 Derivoidaan sken saatu lauseke RL:n suhteen. Muut muuttujat ovat vakioita: PL = E2RL R2 S + 2RSRL + R2 L PL = E2 R2 S + 2RSRL + R2 L RL(2RS + 2RL) (R2 S + 2RSRL + R2 L)2 Derivaatan nollakohta R2 S + 2RSRL + R2 L RL(2RS + 2RL) = 0 RL = RS AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 93 / 155 101. 8. tunti Hyltn negatiivinen vastaus, koska negatiivinen vastus ei kuluta vaan luovuttaa tehoa. Varmistetaan viel, ett lydetty derivaatan nollakohta todella on maksimi. Jatkuvan ja derivoituvan funktion maksimi voi sijaita vain vlin ptepisteiss ja derivaatan nollakohdissa. Ptepisteiss (nolla, retn) tehon raja-arvo on nolla. Lydetty derivaatan nollakohta on maksimi, koska jos RL on suurempi kuin RS, derivaatta on negatiivinen ja jos pienempi kuin RS, derivaatta on positiivinen. Siis kyseess on maksimi. Kuormavastuksen teho on siis suurimmillaan, kun se valitaan yht suureksi kuin RS. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 94 / 155 102. 8. tunti Useita taajuuksia samanaikaisesti (monitaajuusanalyysi, harmoninen analyysi) Jos piiriss on useita eri taajuuksia, kukin taajuus pit analysoida erikseen. Periaate on sama kuin kerrostamismenetelmss. Eritaajuisia kompleksilukuna olevia jnnitteit ei voi laskea yhteen! Lasketaan yksi taajuus kerrallaan niin, ett muuntaajuiset jnnitteet ja virrat on asetettu nollaan. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 95 / 155 103. 8. tunti Esimerkki+ e1+ e2 i(t) - LR e1(t) = 10 + 2 20 sin 1t e2(t) = 2 10 sin 1t + 2 30 sin 2t 1 = 10 2 = 20 R = 10 L = 1H AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 96 / 155 104. 8. tunti Useita taajuuksia samanaikaisesti - lopputulos Eritaajuisia osoittimia ei voi laskea suoraan yhteen. Laskun lopputulos (jnnite tai virta) pit ilmoittaa joko Ajan funktiona. Hetkellisarvona. Tm tapahtuu laskemalla ensin jnnite ajan funktiona ja sitten sijoittamalla jokin ajan arvo lausekkeeseen. Tehollisarvona. Tehollisarvo saadaan korottamalla jokaisen eritaajuisen sinijnnitteen tehollisarvo toiseen, laskemalla ne yhteen ja ottamalla tst summasta nelijuuri. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 97 / 155 105. 8. tunti Kotitehtv 8 RL+ e L j 6 U W Jnnitelhteen tehollisarvo on 10 V kulmataajuudella 1 = 10 ja virtalhteen tehollisarvo on 1 A kulmataajuudella 2 = 20. Laske jnnitteen U tehollisarvo. L = 1 H R = 10 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 98 / 155 106. 9. tunti Kotitehtv 8 - ratkaisu RL+ e L j 6 U W Jnnitelhteen tehollisarvo on 10 V kulmataajuudella 1 = 10 ja virtalhteen tehollisarvo on 1 A kulmataajuudella 2 = 20. Laske jnnitteen U tehollisarvo. L = 1 H R = 10 Ratkaisu: lasketaan taajuus kerrallaan. Ensin 1 ja sitten 2. Lopuksi lasketaan jnnitteiden yhteinen tehollisarvo. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 99 / 155 107. 9. tunti Piiri taajuudella 1 Virtalhde ei sisll ollenkaan 2-taajuista siniaaltoa, joten pll on ainoastaan e. RL+ e L U1 W Jnnitteenjakosnnn mukaan: U1 = E RL RL + ZL = 10 10 10 + j10 1 = 10 1 1 + j = 10 1 245 = 10 2 45 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 100 / 155 108. 9. tunti Piiri taajuudella 2 Jnnitelhde ei sisll ollenkaan 2-taajuista siniaaltoa, joten pll on ainoastaan j. RL L j 6 U2 W Vastus ja kela ovat rinnakkain11. Jnnite on siis U2 = ZI = (R||ZL)j = Rj2L R + j2L j = 200j 10 + 20j 1 = 20 j 1 + 2j = 20 190 563 Koko jnnitteen U tehollisarvo on |U| = |U1|2 + |U2|2 = 10 2 2 + 20 5 2 = 130 11,4 (volttia) 11 Merkint || tarkoittaa rinnankytkennn impedanssia. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 101 / 155 109. 9. tunti Napa ja portti Piiriss olevaa johdon liitntkohtaa nimitetn navaksi tai nastaksi. Kaksi napaa muodostavat portin eli napaparin. Helpoin esimerkki on auton akku, jolla sisist resistanssia.+ E RS AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 102 / 155 110. 9. tunti Nelinapa eli kaksiportti Todella moni elektroniikkapiiri toimii niin, ett sinne sytetn jokin signaali, ja sielt saadaan ulos jokin signaali. Sytetty signaalia kutsutaan hertteeksi ja ulos saatavaa signaalia vasteeksi. Vasteen ja hertteen suhdetta kutsutaan syttpistefunktioksi (vaste ja herte samassa portissa) tai siirtofunktioksi (vaste ja herte eri portissa). Uin c Uout c Iin - AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 103 / 155 111. 9. tunti Syttpiste- ja siirtofunktiot Uin c Uout c Iin - IoutSyttpistefunktioita ovat muun muassa tuloimpedanssi Zin = Uin Iin ja lhtimpedanssi Zout = Uout Iout . Siirtofunktioita ovat jnnitevahvistus A = Uout Uin sek virtavahvistus B = Iout Iin AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 104 / 155 112. 9. tunti Sarja- ja rinnakkaisresonanssi Sarjaresonanssissa kelan ja kondensaattorin sarjaankytkennn impedanssi on nolla. Rinnakkaisresonanssissa kelan ja kondensaattorin rinnankytkennn impedanssi on retn. Yleisemmin: resonanssitaajuudella piirin impedanssin imaginaariosa on nolla (sarjaresonanssi) tai admittanssin imaginaariosa on nolla (rinnakkaisresonanssi). Jos piiriss on kela ja kondensaattori sarjassa tai rinnan, resonanssikulmataajuus 0 = 1 LC . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 105 / 155 113. 9. tunti Suodatin Suodatin on elektroninen piiri, jonka avulla signaalia muokataan halutunlaiseksi. Alipstsuodatin: vaimentaa korkeita taajuuksia, pst lpi matalat taajuudet. Ylipstsuodatin: vaimentaa matalia taajuuksia, pst lpi korkeat taajuudet. Kaistanestosuodatin: pst lpi korkeat ja matalat taajuudet, mutta vaimentaa tietyll vlill olevia taajuuksia. Kaistanpstsuodatin: vaimentaa liian matalia ja liian korkeita taajuuksia, mutta pst lpi tietyll vlill olevat taajuudet. Suodattimen asteluku kertoo suodattimen siirtofunktion (yleens: jnnitevahvistus) nimittjpolynomin asteluvun. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 106 / 155 114. 9. tunti Alipstsuodatin Alipstsuodatin voidaan toteuttaa yksinkertaisesti vastuksen ja kondensaattorin sarjaankytkennll. Ensimmisen asteen siirtofunktion perusmuoto on alipstsuodattimella Uout Uin = 1 j 0 + 1 ja ylipstsuodattimella Uout Uin = j 0 j 0 + 1 Ensimmisen asteen ali- tai ylipstsuodattimen jnnitevahvistus on ominaiskulmataajuudella 1 2 eli tehovahvistus on 0,5. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 107 / 155 115. 9. tunti Kotitehtv 9 L+ Uin R C Uout W Laske piirin jnnitevahvistus Uout Uin . Hahmottele jnnitevahvistuksen amplitudivaste (vaaka-akselille , pystyakselille |Uout Uin |). Onko piiri alipst-, ylipst-, kaistanpst- vai kaistanestosuodatin? L = 1 H C = 1 F R = 1 Oikeita lopputuloksia: Uout Uin = 1 j( 1 )+1 Uout Uin = 1 1+( 1 )2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 108 / 155 116. 10. tunti Kotitehtv 9 - ratkaisu L+ Uin R C Uout W Laske piirin jnnitevahvistus Uout Uin . Hahmottele jnnitevahvistuksen amplitudivaste (vaaka-akselille , pystyakselille |Uout Uin |). Onko piiri alipst-, ylipst-, kaistanpst- vai kaistanestosuodatin? L = 1 H C = 1 F R = 1 Lasketaan kelan ja kondensaattorin rinnankytkennn impedanssi (tulo jaettuna summalla -kaavalla) ja sijoitetaan lukuarvot: ZLC = jL 1 jC jL + 1 jC = L C jL j 1 C = 1 j j 1 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 109 / 155 117. 10. tunti Nyt Uout ratkeaa jnnitteenjakosnnll: Uout = Uin ZLC R + ZLC Uout Uin = 1 R ZLC + 1 Sijoitetaan R = 1 sek edellisell kalvolla laskettu ZLC: Uout Uin = 1 j( 1 ) + 1 Lasketaan itseisarvo (amplitudivaste): Uout Uin = 1 1 + ( 1 )2 Amplitudivasteen kulkua voi tarkastella matemaattisesti, mutta sit ei vaadita tehtvss. Kyrll on maksimi kohdassa = 1. Raja-arvot nollassa sek rettmyydess ovat nollia. Kyseess on siis kaistanpstsuodatin. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 110 / 155 118. 10. tunti Muutosilmit Tasajnnitteen ja sinimuotoisen vaihtojnnitteen lisksi trkeit tarkasteltavia ovat muutosilmit. Muutosilmi tapahtuu esimerkiksi laitteita plle kytkettess. Esimerkiksi jos kondensaattorin ja vastuksen sarjaankytkent kytketn jnnitelhteeseen, kondensaattori varautuu. Tllin jnnite muuttuu ajan funktiona. Miten se muuttuu? Edellytt dierentiaaliyhtln ratkaisemista! Monimutkaisemmat dierentiaaliyhtlt kannattaa ratkaista Laplace-muunnoksella. Piirit, joissa on yksi kondensaattori tai kela, on helppo ratkaista yritteen avulla. Monimutkaisemmankin piirin voi ratkaista yritteen avulla, mutta yritteen keksiminen voi olla vaikeaa. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 111 / 155 119. 10. tunti Kondensaattori Kondensaattori on komponentti, jonka jnnitteelle ja virralle ptee yhtl: i = C du dt C i? u c Aivan kuten aiemmin on opittu, ett vastukselle ptee yhtl u = Ri. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 112 / 155 120. 10. tunti Kondensaattori Yhtl i = C du dt tarkoittaa, ett mit suurempi virta kondensaattorin lpi kulkee, sit nopeammin sen jnnite muuttuu. Tai sama toisinpin: mit nopeammin kondensaattorin jnnite muuttuu, sit suurempi virta sen lpi kulkee. C i? u c Symboli C tarkoittaa kondensaattorin kapasitanssia, jonka yksikk on faradi (F). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 113 / 155 121. 10. tunti Kondensaattori Integroimalla yhtl i = C du dt puolittain saadaan: u = 1 C idt + integrointivakio tai mrttyn integraalina (valitsemalla alkuhetkeksi t = 0 ja loppuhetkeksi joku ajanhetki t) u = 1 C t 0 idt + u(0). Termi u(0) tarkoittaa kondensaattorin jnnitett ajanhetkell nolla, ja sit merkitn usein mys UC0 tai U0: u = 1 C t 0 idt + U0. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 114 / 155 122. 10. tunti Yksinkertainen esimerkki Ladataan virtalhteell kondensaattoria. Lukuarvot ovat: J = 6 A C = 2 F U0 = 0 V C J 6 u c i - u = 1 C t 0 idt + U0 = 1 2 t 0 6dt + 0 = 1 2 t 0 6dt = 1 2 6t = 3t Kondensaattorin jnnite on alussa 0 volttia, sekunnin kuluttua 3 volttia, kahden sekunnin kuluttua 6 volttia. . . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 115 / 155 123. 10. tunti Kondensaattori ja dierentiaaliyhtl Muutetaan hieman piiri. Kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0: E = 12 V C = 2 F R = 3 U0 = 5 V C+ E t = 0 R u c i - Kirchhon lakien ja kondensaattorin yhtln mukaan i = E u R ja i = C du dt = E u R = C du dt = RC du dt + u = E Ratkeaa yritteell u = B + Ae t . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 116 / 155 124. 10. tunti Dierentiaaliyhtln ratkaiseminen Lasketaan yritteen derivaatta u = B + Ae t = du dt = A e t Ja sijoitetaan yrite derivaattoineen yhtln: RC du dt + u = E = RCA e t + B + Ae t = E Jotta yhtl olisi tosi kaikilla t:n arvoilla, tulee pte = RC ja B = E. Tllin: Ae t + Ae t = 0 Mist saadaan A? Kondensaattorin alkujnnitteest. Ajanhetkell t = 0 tulee kaavan antaa jnnitteeksi 5 volttia: u = B + Ae t = u = E + Ae t RC = 5 = 12 + Ae 0 23 A = 7. Lopullinen vastaus jnnitteelle: u = 12 7e t 6 . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 117 / 155 125. 10. tunti Kela Tavallaan kondensaattorin vastakohta yhtliss on jnnitteet ja virrat vaihtaneet paikkaa verrattuna kondensaattorin yhtlihin: u = L di dt L i? u c Sama integraalimuodossa i = 1 L t 0 udt + I0. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 118 / 155 126. 10. tunti Kotitehtv 10 Ratkaise kondensaattorin jnnite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0. R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C+ E t = 0 R2 R1 u c i - Lopputulos: u = 5 5e2t = 5(1 e2t ) (volttia) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 119 / 155 127. 11. tunti Kotitehtv 10 - ratkaisu Ratkaise kondensaattorin jnnite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0. R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C+ E t = 0 R2 R1 u c i - i = C du dt i = E u R1 u R2 R1R2C R1 + R2 du dt + u = R2 R1 + R2 E AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 120 / 155 128. 11. tunti R1R2C R1 + R2 du dt + u = R2 R1 + R2 E Sijoitetaan yhtln tunnilta tuttu yrite derivaattoineen: u = B + Ae t du dt = A e t jolloin saadaan R1R2C R1 + R2 ( A e t ) + B + Ae t = R2 R1 + R2 E Jotta vakiotermit olisivat samat, tytyy pte: B = R2 R1+R2 E. Eksponenttitermiss tytyy olla = R1R2C R1+R2 . Nyt yhtl on ratkaistu: Ae t + Ae t = 0 u = R2 R1 + R2 E + Ae t R1R2C R1+R2 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 121 / 155 129. 11. tunti Sijoitetaan vastaukseen lukuarvot: u = 5 + Ae2t Vakio A ratkeaa alkuehdosta. Ajanhetkell t = 0 kondensaattorin jnnitteen tulee olla nolla: 0 = 5 + Ae20 A = 5 Lopullinen vastaus on siis: u = 5 5e2t = 5(1 e2t ) (volttia). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 122 / 155 130. 11. tunti Muutosilmit Muutosilmiiden ksittely on helppoa, jos piiriss on vain yksi kela tai kondensaattori. Jos niit on useampi, muodostuva dierentiaaliyhtl on erittin hankala ratkaista (ilman syvllisemp dierentiaaliyhtliden osaamista). Monimutkaisempi dierentiaaliyhtl on helppo ratkaista Laplace-muunnoksen avulla. Laplace-muunnoksen avulla voidaan dierentiaaliyhtl muuntaa tavalliseksi yhtlksi, josta selvi tavallisella kaavanpyrittelyll. Avuksi tarvitaan Laplace-muunnostaulukko (lytyy Tuubissa olevasta kaavakokoelmasta). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 123 / 155 131. 11. tunti Laplace-muunnoksen idea Laplace-muunnos on niin kutsuttu integraalimuunnos. Se mritelln seuraavasti: L(f (t)) = 0 f (t)est dt Laplace-muunnosten laskeminen on tylst. Siksi kytnnn sovelluksissa kytetn valmista Laplace-muunnostaulukkoa. Muuttuja s on nimeltn Laplace-muuttuja. Laplace-muunnettua ajan funktiota f (t) merkitn usein isolla kirjaimella F(s). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 124 / 155 132. 11. tunti Mit hyty Laplace-muunnoksesta on? Laplace-muunnoksen avulla voidaan dierentiaaliyhtl muuntaa tavalliseksi (=algebralliseksi) yhtlksi. Sitten algebrallinen yhtl ratkaistaan. Ja lopuksi se Laplace-knteismuunnetaan takaisin ajan funktioksi. VERTAUS: Aivan kuten osoitinlaskennassa ensin sinimuotoinen jnnitelhde muutetaan kompleksiluvuksi, sitten lasketaan kompleksiluvuilla ja lopuksi tulos muunnetaan sinimuotoiseksi. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 125 / 155 133. 11. tunti Askelfunktio ja impulssifunktio Mritelln pari uutta funktiota: Askelfunktiolla tarkoitetaan sellaista (ajan t) funktiota (t), joka saa arvon 1, jos t 0 ja 0, jos t0. Tll funktiolla voidaan esimerkiksi mallintaa kytkint, joka suljetaan ajanhetkell t = 0. Impulssifunktiolla tarkoitetaan funktiota12 (t), jonka arvo on , kun t = 0, ja 0, kun t = 0. Impulssifunktiolla voidaan mallintaa killist virta- tai jnnitepiikki. Esimerkiksi jos kelan virta katkaistaan yhtkki, niin kelan jnnite hypp (teoriassa) rettmksi. 12 Pilkunviilaus: impulssifunktio ei tarkalleen ottaen ole funktio, koska silt puuttuu joitain funktiolle tyypillisi ominaisuuksia. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 126 / 155 134. 11. tunti Muutama tavallinen Laplace-muunnos Laplace-muunnos on lineaarinen, joten vakiokerroin voidaan siirt Laplace-muunnoksen lpi(aivan kuten derivoinnissakin), ja summalausekkeessa termit voidaan Laplace-muuntaa yksi kerrallaan (aivan kuten summalauseke voidaan derivoida termi kerrallaan). Alla pari trke muunnosta: L{A (t)} = A s L{(t)} = 1 L{t} = 1 s2 L{eat} = 1 s+a Laplace-muunnos on mritelty vain ajanhetkill t 0. Tm tarkoittaa, ett jokainen muunnettava funktio voidaan ajatella kerrotuksi askelfunktiolla. Siis: L{ (t)} = L{1} = 1 s ja vakiolle L{A} = L{A (t)} = A s . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 127 / 155 135. 11. tunti Komponenttien Laplace-muunnokset Virtapiirej laskettaessa ei tarvitse ensin kirjoittaa dierentiaaliyhtl ja sitten muuntaa sit, vaan komponentit voidaan muuntaa suoraan. Kela ja kondensaattori Laplace-muunnettuna ovat: sL 1 sC Kaavat on helppo muistaa, ne muistuttavat impedanssin kaavoja, nyt vain j:n tilalla on Laplace-muuttuja s. Tm ei ole sattumaa aiheesta lis ensi tunnilla! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 128 / 155 136. 11. tunti Komponenttien Laplace-muunnokset Mikli kelassa kulkee alkuvirta (virta hetkell t = 0) tai kondensaattorissa on alkujnnite (jnnite hetkell t = 0), muunnos tapahtuu seuraavasti: L IL0 - C UC0 E sL + LIL0 1 sC + UC0 s AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 129 / 155 137. 11. tunti Lhteiden Laplace-muunnokset Tasajnnitelhde ja tasavirtalhde muunnetaan yksinkertaisesti jakamalla tasavirta tai tasajnnite Laplace-muuttujalla s. + E J - + E s J s - Mikli lhde on ajasta riippuva, esimerkiksi sinimuotoinen, niin lhteen ajan funktio vain muunnetaan Laplace-muunnostaulukon avulla. Trke (ja ktev) Laplace-muunnetulle piirille ptevt kaikki tutut laskusnnt (Kirchho, Ohm, jnnitteenjako . . . )! AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 130 / 155 138. 11. tunti Yksinkertainen esimerkki Ratkaistaan kelan jnnite u Laplace-muunnoksen avulla. E = 12 V L = 2 H R = 6 L+ E t = 0 R u c i - Laplace-muunnetaan piiri (ks. seuraava kalvo). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 131 / 155 139. 11. tunti Yksinkertainen esimerkki - jatkuu Ratkaistaan kelan jnnite u Laplace-muunnoksen avulla. E = 12 V L = 2 H R = 6 sL+ E s R U c I - Nyt kelan jnnite ratkeaa jnnitteenjakosnnll: U = E s sL R + sL = E 1 R L + s Muunnetaan vastaus takaisin ajan funktioksi: L1 E 1 R L + s = Ee R L t AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 132 / 155 140. 11. tunti Osamurtokehitelm Edellinen esimerkki oli helppo, koska Laplace-muodossa oleva ratkaisu oli helppo pyrytt muotoon, johon lytyi suora muunnoskaava Laplace-taulukosta. Jos lauseke on hankalampi, se tulee pilkkoa murtolausekkeiden summaksi (=osamurtokehitelm). Osamurtokehitelmn laskeminen on helppoa, mutta siin on mys helppo tehd virheit (monta vlivaihetta). Osamurtokehitelmn idea on, ett siin ikn kuin tehdn takaperin kahden tai useamman murtolausekkeen yhteenlasku. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 133 / 155 141. 11. tunti Osamurtokehitelm Esimerkiksi lauseke 1 s2+sa eli 1 s(s+a) voidaan lausua muodossa A s + B s + a , miss A ja B ovat vakioita, joita emme viel tied. Ne selvitetn seuraavasti: A s + B s + a = 1 s(s + a) A(s + a) s(s + a) + Bs s(s + a) = 1 s(s + a) As + Aa + Bs s(s + a) = 1 s(s + a) Jatkuu seuraavalla kalvolla. . . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 134 / 155 142. 11. tunti Osamurtokehitelm Jotta osoittajat olisivat samat, tulee olla A = B (jotta s-termi hvi) ja A = 1 a (jotta osoittajaan j ykknen). Eli: 1 a s + 1 a s + a = 1 s(s + a) Nyt vasemmanpuoleiset termit voidaan muuntaa taulukkoa kyttmll. Lis esimerkkej lytyy googlaamalla Partial Fraction Decomposition tai vaikkapa Wikipediasta http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction. Vinkki: jotkut laskimet (esim. TI-89) osaavat laskea osamurtokehitelmn. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 135 / 155 143. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtv Laplace-muunnoksella Ratkaise kondensaattorin jnnite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0. R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C+ E t = 0 R2 R1 u c i - AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 136 / 155 144. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtv Laplace-muunnoksella Laplace-muunnetaan piiri R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V 1 sC + E s R2 R1 U c R2 ja C ovat rinnakkain, ja niiden rinnankytkennn impedanssi on ZR2C = R2 sC R2+ 1 sC = R2 R2sC+1. Jnnitteenjakosnnn mukaan jnnite U on U = E s ZR2C R1 + ZR2C = E s 1 R1 ZR2C + 1 = E s 1 R1 R2sC+1 R2 + 1 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 137 / 155 145. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtv Laplace-muunnoksella jatkuu U = E s 1 R1 R2sC+1 R2 + 1 = E R1C 1 s(s + R1+R2 R1R2C ) Tehdn lyhennysmerkint (tilan sstmiseksi): a = R1+R2 R1R2C . Nyt: U = E R1C 1 s(s + a) Nyt pit tehd osamurtokehitelm, mutta onneksi se on tehty tllaiselle kaavalle jo kolme kalvoa sitten: U = E R1C 1 s(s + a) = E R1C 1 a s + 1 a s + a AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 138 / 155 146. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtv Laplace-muunnoksella jatkuu Suoritetaan Laplace-knteismuunnos: u(t) = L1 {U(s)} = L1 E R1C 1 a s + 1 a s + a = E R1C 1 a L1 1 s 1 s + a = E R1C 1 a (1 eat ) = E R1C 1 R1+R2 R1R2C (1 e R1+R2 R1R2C t ) = E R2 R1 + R2 (1 e R1+R2 R1R2C t ) Huomautus! Tss kyseisess tapauksessa Laplace-muunnos oli tylmpi kuin yritteen kytt. Jos piiriss on useampi kuin yksi kela tai kondensaattori, Laplace-muunnoksen kytt on kytnnss vlttmtnt. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 139 / 155 147. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Kondensaattorin alkujnnite UC0 on 5 volttia. Millainen virta piiriss lhtee kulkemaan, kun kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0. C = 1 F L = 1 H i - t = 0 UC0 = 5 V W Laplace-muunnetaan piiri. Koska kondensaattorilla on alkujnnite, muunnokseen tulee mukaan jnnitelhde (ks. seuraava kalvo). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 140 / 155 148. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Kondensaattorin alkujnnite UC0 on 5 volttia. Millainen virta piiriss lhtee kulkemaan, kun kytkin suljetaan ajanhetkell t = 0. 1 sC sL I - + UC0 s Seuraavaksi ratkaistaan Ohmin lain avulla munnetusta piirist virta I: I = UC0 s 1 sC + sL = UC0 1 C + s2L = UC0 1 C + s2L Jatkuu. . . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 141 / 155 149. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Nyt lauseke pit vnt sellaiseen muotoon, ett siihen voidaan soveltaa jotain kaavakokoelman muunnoskaavaa. Virran lausekkeen nimittjss on toinen s:n potenssi plus vakio. Sopivalta kaavalta nytt L{sin t} = s2 + 2 Jrjestetn virran lauseke niin, ett se nytt samalta I = UC0 1 C + s2L = UC0 1 1 C + s2L = UC0 L 1 1 LC + s2 = UC0 L LC 1 LC 1 LC + s2 Ja knteismuunnetaan ja sijoitetaan lukuarvot i(t) = L1 UC0 L LC 1 LC 1 LC + s2 = UC0 L LCL1 1 LC 1 LC + s2 = UC0 L LC sin 1 LC t = 5 sin(t) Eli piiriss j kiertmn 5 ampeerin sinimuotoinen virta, kulmataajuudella = 1 LC = 1. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 142 / 155 150. 11. tunti Motivointia Kurssin asiat on nyt ksitelty! Ensi tunnilla katsellaan vhn, miksi s = j, ja harjoitellaan lis laskuesimerkkej. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 143 / 155 151. 11. tunti Kotitehtv 11 Ajanhetkell t = 0 kondensaattorin jnnite on 0 V ja kelan virta on 1 A. Miten piirin virta i kyttytyy ajanhetken t = 0 jlkeen? Selvit se Laplace-muunnoksen avulla. C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A C L i - IL0 ? UC0 W Oikea lopputulos: i(t) = sin(t + 2 ) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 144 / 155 152. 12. tunti Kotitehtv 11 Ajanhetkell t = 0 kondensaattorin jnnite on 0 V ja kelan virta on 1 A. Miten piirin virta i kyttytyy ajanhetken t = 0 jlkeen? Selvit se Laplace-muunnoksen avulla. C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A C L i - IL0 ? UC0 W Ratkaisu: muunnetaan piiri (seuraava kalvo). AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 145 / 155 153. 12. tunti Kotitehtv 11 C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A 1 sC sL I - + LIL0Virta Laplace-tasossa on I = LIL0 1 sC + sL = 1 1 s + s = s s2 + 1 Knteismuunnetaan: i(t) = L1 s s2 + 1 = cos(1 t) = cos(t) = sin(t + 2 ) AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 146 / 155 154. 12. tunti Laplace-muunnos ja Fourier-muunnos Laplace muunnos: L(f (t)) = 0 f (t)est dt Fourier-muunnos: F(f (t)) = f (t)ejt dt Kaavoissa ainoa ero on alempi integrointiraja, sek muuttuja s = j. Osoitinlaskenta perustuu teoreettisesti dierentiaaliyhtliden ratkaisuun Fourier-muunnoksen avulla. Tmn takia Laplace-muunnettujen ja Fourier-muunnettujen komponenttien ainoa ero impedanssin kaavoissa on s = j. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 147 / 155 155. 12. tunti Fourier-sarja jaksolliselle funktiolle Jos halutaan laskea, miten piiri kyttytyy esimerkiksi jos sinne sytetn kolmioaaltoa, voidaan kytt Fourier-sarjaa. Fourierin teoreeman mukaan mik tahansa jaksollinen signaali voidaan hajottaa siniaaltojen summaksi. Tllin muodostuvan jokaisen siniaallon taajuus on alkuperisen signaalin monikerta. Fourier-sarjan laskeminen ei ole varsinaisesti vaikeaa, mutta jtmme sen rajoitetun ajan vuoksi pois kurssilta. Laskeminen vaatii hieman integrointia. Kiinnostuneet voivat tutustua aiheeseen kirjan kappaleesta 3.3.1 Fourier-sarjan laskeminen. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 148 / 155 156. 12. tunti Kertaustehtv - ratkaisu seuraavalla kalvolla! Ratkaise kondensaattorin jnnite U kompleksilukulaskennalla. R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 1020 = 100 C+ E R2 R1 U c I - E on siis sinimuotoinen jnnitelhde, jonka tehollisarvo on 10 volttia, vaihekulma 20 astetta ja taajuus 50 Hz eli kulmataajuus on 100. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 149 / 155 157. 12. tunti Ratkaisu R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 1020 = 100 C+ E R2 R1 U c I - E on siis sinimuotoinen jnnitelhde, jonka tehollisarvo on 10 volttia, vaihekulma 20 astetta ja taajuus 50 Hz eli kulmataajuus on 100. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 150 / 155 158. 12. tunti R1 = R2 = 1 C = 1 F E = 1020 = 100 C+ E R2 R1 U c I - Merkitn R2:n ja C:n rinnankytkennn impedanssia ZR2C . Tllin jnnite U on jnnitteenjakosnnn mukaan U = E ZR2C ZR2C + R1 Lasketaan rinnankytkennn resistanssi ZR2C = 1 1 R2 + 1 1 jC = R2 1 + jCR2 ja sijoitetaan se ylempn kaavaan U = E R2 1+jCR2 R2 1+jCR2 + R1 = E R2 R2 + R1(1 + jCR2) = 1020 2 + j100 . AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 151 / 155 159. 12. tunti Lasketaan lopullinen arvo: U = 1020 2 + j100 = 1020 22 + (100)2 arctan 100 2 1020 31489,6 0,032 69,6 . Eli kondensaattorin (ja vastuksen R2) yli on 32 millivoltin jnnite, jonka vaihekulma on -69,6 eli se on 89,6 astetta jljess jnnitelhdett E. Jos ei halua pyritell vlivaiheita, voi kytt sopivaa laskinta tai Wolfram Alphaa13. 13 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810e^%28i*pi%2F9%29%29%2F% 282%2B100*pi*i%29 AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 152 / 155 160. 12. tunti Kotitehtv 12 Tss kalvosatsissa on oli14 kaksi tahallista virhett. Virheet on tehty niin, ett ne eivt sotke asioiden oppimista (niist nkee heti, ett kyseess on virhe). Kummankin virheen lytmisest tulee 1 piste. Jos lydt muita virheit15 (niit saattaa olla tai sitten ei), annan niist hyvityst tenttiin jollain kertoimella (jonka ptn, kun nen virheiden mrn :-). Virheiden lisksi otan mielellni vastaan mys parannusehdotuksia (esim. jos joku asia on selitetty puutteellisesti tai jostain trkest asiasta puuttuu esimerkki). 14 Otin virheet pois, nyt kun tehtv on jo ohi. 15 Ensimmisen tunnin kalvoilla lukee, ett tehtvi on 10x2. Tt ei lasketa virheeksi, vaan yksinkertaisesti muutin mieltni (jotkut tehtvt olivat sen verran vaikeita/laajoja, ett lasketaan ne kahdeksi tehtvksi). Lisksi viimeisell opetusviikolla on mys kotitehtvi, vaikka puhuttiin 10:st tehtvst. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 153 / 155 161. 12. tunti Loppukurssin aikataulu Talviloman jlkeen lasketaan kertaustehtvi (jaan ne tunnilla ja tulevat mys Tuubiin). Koe on ma 7.3. ja kokeen palautus seuraavan viikon torstaina. Jos haluat harjoitella laskutehtvi talvilomalla, niin tlt niit lytyy reilusti: http://users.tkk.fi/ksilvone/Lisamateriaali/ lisamateriaali.htm AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 154 / 155 162. 12. tunti Lopuksi Jos lydt kalvoista virheit tai epjohdonmukaisuuksia tai sinulla on kehitysideoita, ota rohkeasti yhteytt. Parantelen kalvoja mielellni. AS10AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtoshkpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 155 / 155