UNIDAD 1 Números enteros y racionales 2. Refuerza...

UNIDAD 1 Números enteros y racionales

Pág. 1 de 32. Refuerza: resolución deproblemas con fracciones

1 a) ¿Qué fracción representan 3 meses y medio respecto a un año?

Solución: Representan de año.

b) ¿Y 6 horas y cuarto respecto de un día?

Solución: Representan de día.

2 Mauro compra un piso por valor de 245 000 €. Aporta en efectivo de dicha cantidad, y solicita para elresto una hipoteca. ¿Cuánto dinero pide de hipoteca?

Solución: Pide de hipoteca €.

3 Alejandra tenía ahorrados 13 500 € al empezar el año. En el primer semestre consiguió ahorrar de lo

que ya tenía. Sin embargo, en el segundo trimestre ahorró 1/5 menos de lo que había ahorrado hasta Junio.¿A cuánto ascienden sus ahorros al terminar el año?

Solución: Sus ahorros ascienden a € al final del año.

4 El primer día, un jardinero realiza la tercera parte del trabajo; al día siguiente, 3/4 del resto, y el tercer díatermina su tarea. ¿Qué fracción de trabajo hace cada día? ¿Qué día trabaja más?

Solución: El 1.er día hace del trabajo; el 2.° día, , y el 3.er día, .

Trabaja más el día.

512

310



5 Un alumno estudia por la mañana 5/8 partes de una unidad, y por la tarde, el resto, que son 15 páginas.¿Cuántas páginas tiene la unidad?

Solución: La unidad tiene páginas.

6 De una botella de agua, se gasta la mitad por la mañana, y por la tarde, la mitad de lo que quedaba.

a) ¿Qué fracción de agua queda sin gastar?

Solución:

b) Si la botella fuera de 5 l, ¿cuántos litros se habría consumido?

Solución: Se habrían consumido litros.

7 Una empresa gasta 3/7 de su presupuesto en la formación de sus empleados, y 1/5, en renovar ordenadores.

a) ¿Qué fracción del presupuesto se ha gastado?

Solución:

b) ¿Qué fracción le queda?

Solución:

c) Si el presupuesto es de 128 030 €, ¿cuánto dinero le queda?

Solución: Le quedan €.

8 Pablo, para ir a su trabajo, recorre la sexta parte del trayecto en coche; 5/6 del resto, en tren, y los 5 km res-tantes, en autobús. ¿Qué distancia recorre?

Solución: Pablo recorre km.



9 Una empresa aceitera dispone de 126 l de aceite que quiere envasar en botellas de 3/4 l para regalar a susclientes. ¿Cuántas botellas podrá regalar?

Solución: Podrá regalar botellas.

10 Tres amigos se reparten un premio. El primero se lleva 5/11 del total; el segundo, la tercera parte de lo quequeda, y el tercero, el resto.

a) ¿Quién se lleva más?

Solución: Se lleva más el amigo.

b) Si el premio asciende a 1 375 €, ¿qué cantidad se lleva cada uno?

Solución: El primero se lleva €.

El segundo se lleva €.

El tercero se lleva €.

11 En cierta empresa, 2/5 de los empleados son chicos, de los cuales 4/7 son licenciados. Si la empresa tiene560 empleados, ¿cuántos chicos hay?, ¿cuántos son licenciados?

Solución: Hay empleados que son chicos.

De los chicos, son licenciados.


Pág. 1 de 13. Refuerza: operaciones con potencias

de exponente entero

1 Reduce a una única potencia.

a) ·–4

= b)5

:3

= c)–2

·3

· 74 =

d) 5–4 · 3

= e) (2–3)5 · 2

·–4

= f ) (103)–2 : =

2 Simplifica y expresa el resultado como potencia única.

a) · 3–2 = b) 25 · 32 · 2–3 = c) · (–2)4 =

d) 24 · 2 · 3–3 · 3–2 = e) (–2)4 · (–2)–2 · 72 = f ) =

3 Calcula, aplicando las propiedades de las potencias.

a) = b) 8 · 42 · –2

= c) =

d) = e) 81 · (3–1)5 · –2

= f ) =

4 Reduce, aplicando las propiedades de las potencias.

a) = b) = c) = a2 · (b3)–1

(a · b )–2(b3 · b–2)4

b6(a3)–1 · a–2

(a4)–2

163

4–3 · 25)19((–5)2 · (53)–3

25–3

(–3)2 · 93

27)12(32 · (–2)3

43

(2–3 · 24)3

5–3

5–8

(53)–453

55

1(104)2)1

2()12()1

52()1

7()17()1

2–2()122()1

32(133


Pág. 1 de 14. Autoevaluación

I. ¿Dominas la operativa con números enteros?

1 Calcula y ordena de menor a mayor.

(–3)3 = (–3)2 = –53 =

(–1)1 025 = 230 = (–5)2 =

–125 < –27 < –1 < 1 < 9 < 25 8

✮ En la página 25 de tu libro de texto tienes la información necesaria.

2 Realiza las siguientes operaciones:

a) (–2 + 5)3 + (3 – 4)2 · (–1) – 50 : (5 – 10) =

b) 4 + 36 : (–1 – 2)2 – 72 : (–1)6 =

c) (2 · 5)3 : (–7 – 3)2 + 5 · (–2)2 =

d) 25 – 3 · (4 – 7)2 + 2 · (–1)10 =

✮ El ejercicio resuelto n.° 3 de la página 25 puede resultarte de utilidad.

II. ¿Manejas la operativa con fracciones y la aplicas para resolver problemas?

3 Calcula.

a) de 480 =

b) El número cuyos siete novenos son 63 8 de … = 63 8 =

c) La mitad de la tercera parte de 126 8 de de 126 = =

d) El doble de la quinta parte de 525 8 2 · de 525 = =

✮ Vuelve a leer la página 27 de tu libro de texto.

· 52515

12613

12

·6379

715



4 Efectúa las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica el resultado:

a) – 1 : 3 + – · – =

b) – · 2 – + 2 · – =


5 Calcula.

a) = b) =


6 Carlos recorre 2/5 de un trayecto en tren; 1/3, en autobús, y el resto, en coche. ¿En qué medio de transpor-te hace un recorrido mayor?

✮ Si tienes dificultades, consulta la página 27 de tu libro de texto.

7 Compro a plazos un ordenador que cuesta 900 €. Pago la décima parte al contado; al mes siguiente, 1/3 delo que me queda por pagar, y al otro mes, 3/5 de lo que aún debo.

a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?

3 14— · (– —)7 55 5 1— : (— – —)3 2 3

1 2 7— + — – —3 5 10

172 – —10

)79

53()4

5(56

16

)32

23(1

2)35()2

5(



b) ¿Qué fracción del total he pagado?

c) ¿Qué cantidad me queda por pagar?

✮ Si tienes dudas, consulta los ejercicios resueltos de la página 29.

8 En una tienda de tejidos se venden por la mañana 3/4 de una pieza de tela, y por la tarde, 2/5 del resto, que-dando 12 m sin vender.

a) Calcula los metros de la pieza de tela.

b) Si el precio es de 12 €/m, ¿qué cantidad se ha recaudado?

✮ Consulta el ejercicio resuelto n.° 4 de la página 29 en caso de duda.

III. ¿Sabes calcular potencias de exponente entero? ¿Conoces sus propiedades y las aplicas?

9 Calcula.

(–5)2 = –52 = (–5)–2 = 5–2 = 50 =

✮ En la página 30 del libro tienes la información necesaria.



10 Calcula.

2=

3=

–4=

4=

–1=

✮ El ejercicio resuelto n.° 1 de la página 30 puede resultarte útil.

11 Efectúa.

a) 7 ·–1

– 5 · 2 – 2

– 2–2 =

b) – 2

: – –1

=

c) – + + · – –1

=


12 Reduce, aplicando las propiedades de las potencias.

a) =

b) =

c) =

✮ Vuelve a leer el ejercicio resuelto n.° 2 de la página 30 de tu libro de texto.

IV. ¿Utilizas los números naturales para resolver problemas en los que haya que contar?

13 Si tienes 3 pantalones, 4 camisetas y 2 pares de zapatillas, ¿de cuántas formas distintas puedes vestirte?

✮ Si tienes dificultades, vuelve a leer la página 22 de tu libro de texto.

125 · (53)3

(–5)4

44

(–2)2 · 4

(–3)2 · (–3)5

((–3)2)3

)13

25()1

676()5

613(

)12

78()3

234(

)1710()7

3(

)–87()3

10()23()–3

5()–35(



14 Tienes en tu bolsillo las siguientes monedas: dos monedas de 1 €, 1 de 50 céntimos, 1 de 20 céntimos yotra de 10 céntimos. ¿Cuántas cantidades de monedas distintas puedes formar?

✮ La página 23 de tu libro de texto te será de utilidad.

15 Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados posibles se pueden obtener? Escríbelos.

✮ Si tienes dificultades, repasa el ejercicio resuelto n.° 3 de la página 23 de tu libro de texto.


Pág. 1 de 15. Soluciones a los ejerciciosde autoevaluación del libro

1 a) b)

2 –4

= –2

= 6–3 = ––1

= –2 (–6)2 = 36

3 a) b) 26 = 64

4 En el momento de la compra, Marta paga 228 €.

Cuando recibe el equipo de música en casa, paga 380 €.

En total, el equipo le sale por 798 €.

5 Puede formar 25 cantidades distintas.

13

)12(1

2164916)4

7(1681)2

3(

156

469

UNIDAD 2 Números decimales

Pág. 1 de 22. Refuerza: cálculo de errores cometidos

al dar una cantidad aproximada

1 Calcula el error absoluto cometido al redondear a las centésimas estos números:

a) 15,123 8 Error absoluto =

b) 6,175 8 Error absoluto =

c) 0,358 8 Error absoluto =

d) 12,106 8 Error absoluto =

2 Rodea, en cada caso, la aproximación en la que se comete menos error absoluto:

a) 1,)4 ≈ b) ≈ c) 2,5

)7 ≈

3 En una tienda de informática se venden 85 ordenadores a 1 420 € cada uno.

a) Calcula el dinero recaudado por la venta. 8 €

b) Aproxima la recaudación a dos cifras significativas. 8 €

c) Da una cota del error absoluto cometido. 8 €

d) Calcula, efectivamente, el error absoluto cometido. 8 €

4 Halla una cota del error absoluto cometido al dar las siguientes aproximaciones:

a) 3 millones 8 Error absoluto <

b) 6 miles 8 Error absoluto <

c) 0,173 8 Error absoluto <

d) 8 cientos 8 Error absoluto <

2,57

2,58

3,1

3,2

196

1,44

1,45


Pág. 2 de 22. Refuerza: cálculo de errores cometidos

al dar una cantidad aproximada

5 Da una cota del error absoluto y otra del error relativo para las siguientes aproximaciones:

a) Asistentes a un concierto: 12 000 personas

Error absoluto < personas. Error relativo <

b) Distancia entre dos localidades: 65,6 km

Error absoluto < km. Error relativo <

c) Precio de una moto: 8 900 €

Error absoluto < €. Error relativo <

d) Número de habitantes de una ciudad: 5 millones

Error absoluto < habitantes. Error relativo <

e) Longitud de una varilla: 2,3 m

Error absoluto < m. Error relativo <

6 Expresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades y completa:

a) Asistentes a una exposición: 24 392 personas

Aproximación 8 personas

Error absoluto =

Error relativo ≈

b) Número de folios que hay en una imprenta: 45 768 folios

Aproximación 8 folios

Error absoluto =

Error relativo ≈

c) Premio ganado en la lotería: 128 956 €

Aproximación 8 €

Error absoluto =

Error relativo ≈


Pág. 1 de 13. Refuerza: operativa con números en

notación científica

1 Calcula y expresa el resultado en notación científica.

a) = b) (2 · 105) · (1,5 · 104) =

c) 6 · 10–3 + 5 · 10–4 = d) (3 · 103)2 =

e) (2 · 10–5)3 = f ) (6 · 108) : (1,6 · 10–2) =

2 Efectúa y expresa el resultado en notación científica (comprueba los resultados con la calculadora).

a) 7,34 · 1011 – 1,5 · 1012 + 5,13 · 109 =

b) (1,25 · 1018) · (4,8 · 10–9) + 7,35 · 108 =

c) (1,72 · 10–14 – 6,83 · 10–13) : 6,3 · 10–15 ≈

d) – 1,83 · 103 ≈

e) ≈

3 Expresa en notación científica y calcula.

a) ≈

b) (12 000)3 · (1 300)2 ≈

c) ≈

d) (0,0000054 – 0,000012) · (7 000)2 =

e) ≈(8 000)2 + 125 · 107

42,5 · 108

125 000 000 – 2 500 0000,00005 + 0,00017

(0,000012)2

(502 · 105) · (–0,0000025)

5 · 10–7 – 7 · 10–6

3 · 105 + 8 · 104

3,75 · 10–10

3,5 · 10–14

3√125 · 10–6



I. ¿Identificas qué números se pueden expresar como fracción? ¿Sabes obtener el número decimal asocia-do a una fracción, y viceversa?

1 Transforma en número decimal las siguientes fracciones:

= = = = =


2 a) Rodea los números que pueden expresarse como fracción.

1,75 7π 5 + 7,)7 12,0333…

b) Expresa como fracción los números rodeados.


II. ¿Sabes expresar una cantidad con un número adecuado de cifras significativas y valorar el error come-tido?

3 Aproxima a las milésimas los números siguientes:

7,1254 = = 17,3)7 = 21,

)18 = =


4 ¿Cuál de las aproximaciones, 0,45 ó 0,46, es la más próxima a ? Calcula el error absoluto cometido encada caso.


4190

5617

4013

√3

1 23110

1016

1352

278

1511



5 Expresa con un número adecuado de cifras significativas las cantidades siguientes y completa:

a) Precio de una vivienda: 310 200 €

Aproximación 8 €

Error absoluto = €

Error relativo ≈

b) Personas con una nómina inferior a 1 000 €: 12 875 000 personas

Aproximación 8 personas

Error absoluto = personas

Error relativo ≈

c) Recaudación diaria de un supermercado: 18 755 €

Aproximación 8 €

Error absoluto = €

Error relativo ≈

✮ Vuelve a leer las páginas 41 y 42 de tu libro de texto.

III. ¿Calculas cotas del error absoluto y del error relativo cometidos al aproximar una cantidad?

6 Calcula una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos en las siguientes aproximaciones:

a) Precio de un coche: 18 miles de euros

Error absoluto < € Error relativo <

b) Peso de un grano de arroz: 0,000028 g

Error absoluto < g Error relativo <

c) Televisores vendidos en un mes: 8 cientos

Error absoluto < Error relativo <

✮ El ejercicio resuelto de la página 42 puede resultarte de utilidad.



7 En una tienda se han vendido 6 328 DVD de cierta película a 12,95 € cada uno.

a) ¿Cuánto dinero se ha recaudado con la venta? Aproxima la cantidad obtenida dando dos cifras significa-tivas.

b) Da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos al hacer esa aproximación.

Error absoluto < € Error relativo <

✮ Vuelve a leer el ejercicio resuelto de la página 42 de tu libro de texto.

IV. ¿Expresas números grandes o pequeños en notación científica y sabes operar con ellos?

8 Expresa en notación científica estas cantidades:

a) 12 800 000 = b) 0,000075 =

c) 1 270 · 105 = d) 0,75 · 10–3 =

✮ Si tienes dificultades, repasa la página 43 de tu libro de texto.

9 Expresa en notación decimal los números siguientes:

a) 1,75 · 10–3 = b) 6,37 · 105 =

c) 9,2 · 10–4 = d) 7,3 · 107 =


10 Calcula y expresa el resultado en notación científica.

a) =

b) (2,54 · 107 + 5,34 · 108) · 1,34 · 10–5 =

c) (9,35 · 105 – 1,03 · 106)2 =

d) =

✮ Repasa la página 44 de tu libro de texto.

(1,25 · 1010 + 7,8 · 109) · 1,5 · 10–5

6,27 · 104

7,25 · 1014 – 2,15 · 1013

(6,25 · 10–3)–2



11 Expresa en notación científica y da cotas para el error absoluto y el error relativo en cada caso.

a) Radio de la Tierra: 6 400 km

6 400 km = km E. absoluto < km E. relativo <

b) Distancia media de la Tierra al Sol: 150 000 000 km

150 000 000 km = km E. absoluto < km E. relativo <

c) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3

0,4 mm3 = mm3 E. absoluto < mm3 E. relativo <

✮ Repasa los ejercicios resueltos de la página 44 de tu libro de texto.

V. ¿Manejas la calculadora para operar con números en notación científica, aproximando el resultado aun número determinado de cifras significativas y controlando el error cometido?

12 Opera con la calculadora y expresa los resultados con tres cifras significativas.

a) (5,7 · 1018) · (1,325 · 10–5) = b) =

c) = d) (6,21 · 108)3 =

✮ Repasa la página 45 de tu libro de texto si tienes dificultades.

13 a) Opera con la calculadora y da el resultado con tres cifras significativas.

=

b) Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos en la aproximación anterior.

Error absoluto < Error relativo <


7,128 · 109 – 5,34 · 108

6,23 · 10–2 + 8,4 · 10–3

7,84 · 107 – 1,92 · 106

2,05 · 10–1

√9,89 · 10–6


Pág. 1 de 15. Soluciones a los ejercicios de

autoevaluación del libro

1 18,6 = 1,0)3 = 12,

)6 = 6,12 =

2 a) 2,75 b) 3,47 c) 6,)3 d) 7,

)72 e) 26,8

3 a) Aproximación: 29 000 € E. absoluto = 350 € E. relativo ≈ 0,012

b) Aproximación: 3,5 · 109 E. absoluto = 13 215 599 E. relativo ≈ 0,0038

c) Aproximación: 3 · 106 E. absoluto = 29 650 E. relativo ≈ 0,01

4 a) = ≈ 5,36 · 1016

b) E. absoluto < 5 · 1013 E. relativo < 0,001

(1,5 · 104) · (2,5 · 108)7 · 10–5

15 000 · 25 · 107

0,00007

15325

383

3130

935

UNIDAD 3 Números reales

Pág. 1 de 42. Curiosidades sobre algunos

números irracionales

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que, paradójicamente, nombramos con una letra:

• El número designado con la letra griega π = 3,14159… (pi) relaciona la longitud de la circunferencia con suradio (longitud = 2 · π · r ).

• El número e = 2,71828…, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del sigloXVIII).

• El número designado con la letra griega F = 1,61803… (fi), llamado número de oro, es la inicial del nombredel escultor griego Fidias, que lo utilizó en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten perió-dicamente). Son, por tanto, números irracionales.

Desde el punto de vista matemático, existe una diferencia importante entre los dos primeros y el tercero: mien-

tras que π y e no son solución de ninguna ecuación polinómica, el número de oro, F = , es una delas soluciones de la ecuación de segundo grado x2 – x – 1 = 0. Compruébalo.

EL NÚMERO π

Ya en la antigüedad, los calculistas notaron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre superímetro y su radio. En el siglo XVII la relación se convirtió en un número, y fue identificado con el nombre de“pi”, de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo.

A lo largo de la Historia, el valor del número π ha tenido muchas variaciones:

• En el antiguo Egipto, se tomaba π = 3,1605 y en la antigua Babilonia, era π = 3.

• En China, las aproximaciones para π fueron varias: 3,1447; 3,10; 3,14. En el siglo V d.C., un astrónomo

chino llamado Tsu Cheng calculó que π se acercaba a .

• En Europa, Arquímedes sabía que π cumplía la siguiente relación:

3 + < π < 3 +

• En la Biblia, π es 3.

• Los árabes, trabajando con polígonos inscritos en una circunferencia, obtuvieron hasta 17 decimales exactosde π.

Así, el número de decimales hallados para π fue aumentando hasta llegar al siglo XX. La aparición de los orde-nadores permitió trabajar con más rapidez y, en el momento actual, el récord de cifras decimales encontradaspara este número sobrepasa los mil millones.

17

1071

355113

1 + √52




EL NÚMERO e

El número e es un número real cuyo valor es 2,718281828459…

Leonhard Euler, matemático del siglo XVIII, fue el primero en estudiar este número (calculó hasta 23 de sus ci-fras decimales) y en utilizar la letra e para nombrarlo.

Con la llegada de los ordenadores, el cálculo se simplificó y rápidamente los progresos fueron enormes. Así, porejemplo, en el año 2000, utilizando un programa de cálculo en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron12 884 901 000 cifras decimales de este número, para lo que se necesitaron 167 horas.

Son muchas las aplicaciones que tiene este número:

• Una cadena o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cu-ya expresión analítica es:

f (x) =

• Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgáni-ca, se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 cons-tante. Cuando un ser vivo muere, esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegraciónse determina con la siguiente fórmula:

Q = Q0 · e–0,000124 · t

donde Q es la cantidad final de carbono 14, Q0 es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.

• Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones.Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento. En esos casos se aplica lafórmula:

P = P0 · e t

que permite averiguar cuál será la población P en un tiempo t a partir de la población inicial P0.

EL NÚMERO DE ORO, F

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el matemático Mark Borr designó al número áureo con su símbolo F(fi, sexta letra del abecedario griego) en honor a Fidias, sus comienzos se sitúan en Egipto por su aparición enconstrucciones de pirámides que datan del 2600 a.C.

No obstante, fueron los griegos quienes explotaron al máximo este número, usándolo en todas las facetas del ar-te. Concretamente, los seguidores de Pitágoras tenían la estrella regular de cinco puntas (obtenida con las dia-

e x + e–x

2




gonales de un pentágono regular y en la que F aparecía como proporción entre la diagonal del pentágono y sulado) como figura emblema de su sociedad, hasta el punto de llevarla tatuada en el dorso de sus manos. Esta es-trella representaba la vida y, puesta con el vértice superior hacia abajo, lo maléfico.

Esta figura les fascinaba por lo que en ella se puede encontrar (segmentos proporcionales, triángulos semejan-tes…), pero, sobre todo, por su carácter de autorreproductividad hasta el infinito:

• Si se prolongan los lados del pentágono hasta que se encuentren, se obtiene una estrella proporcionalmentemayor a la del interior del pentágono.

• En el hueco interno que dejan las diagonales, aparece un pentágono menor que, a su vez, origina una estrellaproporcionalmente más pequeña. Y así hasta el infinito.

También los pitagóricos adoraban el dodecaedro regular; tanto, que en la fórmula de su volumen aparecía elnúmero de oro:

Volumen = 4a3

siendo a la arista del poliedro.

Para ellos, el dodecaedro representaba al propio universo y una proporción que se utiliza para la construccióndel universo ha de ser, necesariamente, divina.

El número áureo también se usó mucho en la época del Renacimiento, especialmente en las artes plásticas y enarquitectura. Se consideraba que era la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo (rectángulo áureo),y con él se conseguía el equilibrio y la belleza.

Hoy en día, dicho número se puede ver en multitud de diseños: tarjetas de crédito, nuestro DNI…

La arquitectura moderna sigue valiéndose, en sus edificaciones, de la proporción áurea. Está presente, por ejem-plo, en el edificio de la ONU en Nueva York (prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporcio-nes).

)1 + √52(√51

2




La fascinación que el número áureo ha provocado a lo largo de la Historia, se ha visto plasmada también en laliteratura. Rafael Alberti escribió un soneto dedicado a dicho número:

A ti, maravillosa disciplina

Media, extrema razón de la hermosura,

Que claramente acata la clausura

Viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

Áurea sección, celeste cuadratura

Misteriosa fontana de mesura,

Que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,

Flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

ACTIVIDADES

1 Comprueba que los DNI y las tarjetas de crédito son rectángulos áureos.

a =

b =

≈

2 Comprueba que el número de oro, F, es solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0.

ab

b

a



I. ¿Conoces los números reales y los distintos conjuntos de números?

1 Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales, irracionales y/o reales:

1; 7,2)3; ; 3,5; –52; 3 – ; ; 6,131131113…

Naturales 8

Enteros 8

Racionales 8

Irracionales 8

Reales 8

✮ Si tienes dudas, consulta la página 50 de tu libro de texto.

2 Escribe un número racional comprendido entre los siguientes:

a) 1,36 y 1,37 8 b) y 8 c) 5,)2 y 5,

)3 8


3 Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 2 e indica si la solución obtenida es un númeroracional o irracional.


23

13

4√ 9√2π

3



II. ¿Conoces las distintas notaciones para los intervalos? ¿Sabes representarlos gráficamente?

4 Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:

a) {x / 3 Ì x < 7} 8

b) {x / x Ó –2} 8

c) {x / –1 < x < 2} 8

✮ El ejercicio resuelto n.° 1 de la página 55 de tu libro de texto puede resultarte útil.

5 Escribe en forma de desigualdad y representa en cada caso:

a) [1, 3] 8

b) (–4, +@) 8

c) (–2, 2] 8

d) [2, +@) 8

✮ Si tienes dificultades consulta el ejercicio resuelto n.° 2 de la página 55 de tu libro de texto.

III. ¿Conoces el concepto de raíz y lo aplicas?

6 Halla el valor de k en cada caso:

a) = 4 8

b) = 6 8

c) = k 8

d) = 2 8

e) = 8 8


4√k

k√218

√121

k√216

3√k



7 a) Expresa en forma exponencial.

= = = = =

b) Expresa en forma de raíz.

103/4 = 45/3 = a7/2 =

a1/5 = 157/4 = 35/6 =


8 Obtén con la calculadora, aproximando hasta las centésimas.

a) = b) 182/3 = c) =

d) 6,57/2 = e) =


IV. ¿Conoces las propiedades de los radicales y las aplicas para hacer operaciones?

9 Simplifica y extrae del radical los factores que puedas.

a) =

b) ( )2 =

c) ( )6=

d) ( )2 =

e) =

✮ Si tienes dificultades, vuelve a leer las páginas 58 y 59 de tu libro de texto.

10 Expresa como potencia única y simplifica.

a) · = b) 3 · =

c) : = d) · =


√a5√a7√5

3√25

3√93√4√2

3√√—34

6√54

√√—7

4√63

6√315

6√35

5√1,323√–127

5√77√a58√534√a33√72



11 Efectúa:

a) – 3 =

b) 4 – 5 =

c) 3 + 4 – =

d) 5 + – 8 =


12 Calcula y simplifica.

a) · = b) · =

c) · = d) · =


13 Suprime el radical del denominador y simplifica.

a) = b) =

c) = d) =

e) =

✮ La página 59 de tu libro de texto puede resultarte de utilidad.

14 Suprime el radical del denominador.

a) = b) = c) =

d) = e) =


74√3

53√a2

14√5

35√a2

23√a

3

√3

4

√12

3

√6

2√3

√2

5

√5

5√a45√a3√5√10

3√43√16√x3√x5

√75√27√12

√32√8√2

√7√28

√20√45




1 Naturales 8

Enteros 8 ; –5

Racionales 8 ; –5; 7,53; 3,2)3;

Irracionales 8 ;

Reales 8 Todos

2 a) (–3, 5]

b) x Ì 8

3 a) k = 343 b) k = 3 c) k = 25

4 a) 3 b) 5 c) 6 d) 6 e) f ) 2

5 –2

6 a) b) 2 c) 5√a2

a4√73√15

√3

√23√5

4√67√554√3

8

–3 5

π4

√72

711

√64

√64

√64

UNIDAD 4 Problemas aritméticos

Pág. 1 de 22. Refuerza: problemas de

proporcionalidad compuesta

1 Un operario tarda 5 días en poner tarima flotante a una habitación de dimensiones 35 m Ò 12 m. ¿Cuántotardaría si la habitación fuera de 30 m Ò 14 m?

Solución:

2 Un grupo de amigos recorren 350 km en 12 días andando 7 horas al día. ¿Cuánto tardarán en recorrer 100 kmmás si reducen la marcha en 1 hora diaria?

Solución:

3 Seis máquinas iguales envasan 2 610 l de agua en una hora y media.

a) ¿Cuántos litros envasarán cuatro máquinas en tres horas y cuarto?

Solución:

b) ¿Cuánto tiempo tardarán tres máquinas en envasar 10 440 l ?

Solución:

4 Cuatro personas pagan 1 330 € por alojarse en una casa rural durante una semana. Si fueran dos personasmás, ¿cuánto pagarían por 15 días?

Solución:

5 Diez obreros realizan una obra en 12 días trabajando 9 horas diarias. ¿Cuántos obreros se necesitan para realizar esa misma obra en 15 días a un ritmo de 8 horas diarias?

Solución:


Pág. 2 de 22. Refuerza: problemas de

proporcionalidad compuesta

6 En un trabajo de desescombro, 4 camiones sacan 300 m3 de tierra trabajando 8 horas al día. Calcula cuán-ta tierra sacarán 6 camiones trabajando 2 horas más al día.

Solución:

7 En una granja, 16 vacas consumen 100 kg de pienso en 15 días. Si se compran 2 vacas más, calcula cuántosdías podrán comer si se compran 20 kg más de pienso.

Solución:

8 Para limpiar 3 plantas de un edificio se contrata a un equipo de 20 personas trabajando 6 horas al día. Si sequieren limpiar 5 plantas iguales haciendo que el equipo trabaje 8 horas diarias, ¿cuántos trabajadores se ne-cesitan?

Solución:

9 Por enviar un paquete de 10 kg de peso a una población que está a 130 km de distancia me han cobrado 14 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 26 kg a una población que está a mitad de distancia?

Solución:

10 Un solador embaldosa un suelo de 180 m2 en 3 días trabajando 9 horas al día. Le ofrecen el trabajo de em-baldosar un suelo de 420 m2 en una semana. Calcula cuántas horas diarias tiene que trabajar.

Solución:


Pág. 1 de 33. Refuerza: resolución de

problemas aritméticos

1 Se invierten 18 000 € al 3,36% anual durante 3 años y medio. Calcula el capital que se obtendrá al final deese periodo sabiendo que los periodos de capitalización son mensuales.

Solución:

2 Se funde un anillo que pesa 100 g y contiene un 85% de oro con una pulsera de 180 g que contiene un80% de oro. Calcula la proporción de oro del lingote obtenido.

Solución:

3 Un ciclista que va a una velocidad de 25 km/h lleva una ventaja de 40 km a otro ciclista que va detrás de éla una velocidad de 37 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo en alcanzar al primero y la distancia re-corrida hasta lograrlo.

Solución:

4 Un inversor coloca 16 500 € al 4,5% anual. Al cabo de un año, deja el dinero y los intereses y añade otros10 500 €. ¿Cuánto dinero puede retirar al acabar el segundo año?

Solución:

5 Una empresa reparte un beneficio de 106 430 € entre tres socios en partes proporcionales a los años de an-tigüedad que llevan trabajando en la empresa, que son 15, 18 y 25 años. Calcula cuánto recibirá cada uno.

Solución:




6 Calcula el beneficio obtenido de un capital de 7 000 € colocado al 3,75% anual si se mantiene en el bancodurante 20 meses sin retirar los intereses.

Solución:

7 Se han pagado 98,80 € por una colección de libros que costaban, sin IVA, 95 €. ¿Qué pordentaje de IVAse ha aplicado?

Solución:

8 Un capital colocado al 6% de interés compuesto anual durante 2 años se ha convertido en 41 123,76 €.Calcula el capital inicial.

Solución:

9 En una compra nos han aplicado un 15% de descuento y un 16% de IVA.

a) Si inicialmente la compra costaba 85,30 €, ¿cuánto se pagará al final?

Solución:

b) Si pagamos 95 €, ¿cuánto costaba la compra inicialmente?

Solución:

10 Marta presta 3 600 € al 6% anual durante 3 meses. ¿Qué beneficio obtendrá?

Solución:

11 Se depositan 28 000 € a un interés simple del 5% y al cabo de un tiempo se obtienen 34 300 €. ¿Cuántotiempo dura la inversión?

Solución:




12 ¿Cuánto producen 2 000 € durante 8 meses al 4,26% anual?

Solución:

13 Una piscina contiene 22 500 l de agua. Se abren simultáneamente dos desagües que expulsan 180 l /min y120 l /min. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse la piscina?

Solución:

14 El precio del aceite ha subido dos veces este año: la primera un 5% y la segunda un 4%. En el último mesha bajado un 6%.

a) ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida a lo largo del año?

Solución:

b) Si una botella de aceite de 1 litro costaba a comienzos de año 2,48 €, ¿cuánto costará al finalizar el año?

Solución:

c) Si un bidón de 5 l cuesta en diciembre 12,32 €, ¿cuánto costaba a comienzos de año?

Solución:

15 Se invierten 7 200 € al 4,5% de interés compuesto anual durante 4 años. ¿Qué cantidad se retirará al finaldel periodo?

Solución:



I. ¿Dominas la operativa con porcentajes?

1 Calcula, en cada caso, el valor de x:

a) 5% de 355 = x 8

b) x % de 825 = 99 8

c) 28% de x = 376,6 8


2 Piensa y completa:

a) Al multiplicar por 0,64, se disminuye un %.

b) Al multiplicar por , se aumenta un 7%.

c) Al multiplicar por 0,35, se calcula el %.

d) Al multiplicar por 1,15, se aumenta un %.

e) Al multiplicar por , se calcula el 18%.

f ) Al multiplicar por , se disminuye un 12%.

✮ En las páginas 70 y 71 de tu libro de texto, encontrarás la información necesaria.

II. ¿Dominas la resolución de problemas de proporcionalidad simple y compuesta?

3 Por el transporte de 132,5 kg a 45 km se han pagado 53 €. ¿Cuánto costará el transporte de 45 kg a dobledistancia?

Solución: Costará €.




4 Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra setermine en 8 días?

Solución: Se necesitan obreros, luego hay que añadir obreros más.


III. ¿Sabes resolver problemas de repartos proporcionales?

5 Tres tiendas de confección compran un lote de piezas iguales de tela que cuestan 79 800 €. La primera sequeda con 7 piezas; la segunda, con 3, y la tercera, con 4. ¿Cuánto ha de pagar cada tienda?

Solución: La primera tienda paga 7 · = €

La segunda, 3 · = €

La tercera tienda, 4 · = €


IV. ¿Resuelves con soltura problemas de mezclas?

6 Un comerciante mezcla 220 litros de vino de 1,8 €/l con 140 litros de otro vino cuyo precio es de 3,6 €/l.Calcula el precio del litro de mezcla.

Solución: El precio del litro de mezcla cuesta €.




V. ¿Resuelves problemas de móviles?

7 Dos amigos que viven en poblaciones separadas 7 km, deciden salir a la misma hora para encontrarse en unpunto intermedio del camino. El primero va caminando a 5 km/h y el segundo va patinando a 9 km/h.¿Cuánto tardan en encontrarse?

Solución: Tardan en encontrarse horas.


8 Un ciclista, que lleva una velocidad de 24 km/h, persigue a un compañero que avanza por la misma carrete-ra a 18 km/h y que le lleva una ventaja de 10 km. ¿Cuánto tardará el alcanzarlo?

Solución: Tardará h y min en alcanzarlo.


VI. ¿Dominas la resolución de problemas con porcentajes?

9 El precio de un televisor sin IVA es de 1 350 €. Si se pagan 1 512 €, ¿cuál es el porcentaje de IVA?

Solución: El IVA que se aplica es del %.


7 kmA B

5 km/h 9 km/h

10 km

24 km/h 18 km/h



10 Un autobús ha recorrido el 64% del trayecto y aún le quedan 189 km. ¿Cuál es la longitud del trayecto?

Solución: El trayecto es de km.


11 En una librería hacen una rebaja del 15% en todos los artículos. ¿Cuánto se pagará por un diccionario quecuesta 36 € y una guía de viaje de 18 €?

Solución: En total, por ambos productos se pagarán €.

✮ Vuelve a leer la págia 71 de tu libro de texto.

12 El precio de unas botas de esquiar, a comienzos de año, era de 252 €. A lo largo del año sufre las siguien-tes variaciones: sube un 20%, baja un 15% y baja un 10%.

a) ¿Cuál es el precio de las botas al finalizar el año?

Solución: Las botas cuestan, a final de año, €.

b) ¿Cuál es la variación total expresada en porcentaje?

Solución: A lo largo del año, las botas bajan un %.

✮ El problema resuelto de la página 72 puede resultarte de utilidad.



VII. ¿Sabes resolver problemas de depósitos y préstamos?

13 Una persona gana un premio de 78 000 € en la lotería primitiva y decide colocarlo en un banco que leofrece un 4,25% anual. Si cada año saca los intereses y mantiene el capital con las mismas condiciones,¿qué cantidad tendrá al cabo de 1 año? ¿Y después de 6 años?

Solución: En un año tendrá €, y en seis, €.


14 ¿En cuánto se transforman 40 000 € al 3,5% anual durante 3 años si los periodos de capitalización son se-mestrales?

Solución: En tres años, 40 000 € se convierten en €.

✮ El problema resuelto n.° 2 de la página 74 puede resultarte útil.

15 Un inversor coloca 28 000 € al 6% anual de interés compuesto durante 10 años. Calcula a cuánto ascen-derá su capital al final de dicho periodo.

Solución: El capital ascenderá a €.





1 a) 71,75 b) 80

2 Al final pagará 14,45 €, que representa una variación del 19,25%.

3 Acudieron el 40% de los vecinos.

4 Se obtendrán 736 €.

5 Se transforman en 22 080,72 €.

6 Se encuentran a los tres cuartos de hora de salir.

UNIDAD 5 Expresiones algebraicas

Pág. 1 de 22. Refuerza: traducción de

enunciados al lenguaje algebraico

1 Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados:

a) La suma de tres números impares consecutivos.

b) Área de un rectángulo cuya base mide el doble de la altura.

c) Un número más la tercera parte de su cuadrado.

d) Perímetro de un rombo de lado x.

e) Compré una plaza de garaje por x € y ahora ha aumentado un 15% su valor. ¿Cuál es su precio actual?

f ) La edad de Carmen hace diez años.

g) Perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado desigual supera en 1 cm al triple del lado igual al otro.

h) Cuadrado de la diagonal de un rectángulo de perímetro 46 cm.

i) La suma de las edades de dos hermanos, sabiendo que uno tiene 6 años más que el otro.

j) Precio de un jersey de x € después de aplicarle un descuento del 20%.


Pág. 2 de 22. Refuerza: traducción de

enunciados al lenguaje algebraico

2 Expresa algebraicamente el área y el perímetro de estas figuras:

a)

b)

c)

d)

3 Asocia cada uno de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:

a) Perímetro de un rectángulo cuya base mide el triple que la altura. 1) 2π(r 2 + 12r )

b) El capital que se obtiene al final de año invirtiendo x euros al 6% anual. 2) – x2 + 31x

c) Área total de un cilindro de radio r y altura 12 cm. 3) πx2

d) La edad de Marta dentro de 8 años. 4) 4x

e) Área de un círculo de radio x. 5) 8x

f ) Superficie de un rectángulo cuya altura mide de la base. 6) 1,06x

g) Área de un rombo cuyas diagonales suman 62 cm. 7) π(x2 + y 2)

h) La suma de las áreas de dos círculos de radios x e y, respectivamente. 8) 0,35x

i) La suma de las edades de un padre y un hijo sabiendo que la edad del padre es triple que la del hijo.

9) x + 8

j) El 35% de un número. 10) x2

a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5

f ) 5 g) 5 h) 5 i) 5 j) 5

56

56

12

x + 8

20

x

x + 1

x + 6

y2

x

y

1x 5


Pág. 1 de 13. Repasa: identidades notables

1 Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) (2x + 1)2 = b) (x + 2y)(x – 2y) =

c) (x – 5)2 = d) (5x – 3)2 =

e) (3x + y )2 = f ) (x – 5y)2 =

g) (8 – x)(8 + x) = h) + 2x2

=

i) x – x + = j) (4x + 3y )2 =

2 Asocia cada expresión con el resultado correspondiente:

a) (x + 1)2 – (x – 1)2 1) x4 – 81

b) (2x + 2)(2x – 2) + (x – 2)2 2) 4x

c) (x2 – 9)(x2 + 9) 3) 18 – 6x

d) (3x – 2)2 + (3x + 2)2 4) 5x2 – 4x

e) (x – 3)2 – (x + 3)(x – 3) 5) 18x2 + 8

a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5

)12()1

2()3

2(


Pág. 1 de 24. Refuerza: simplificación de expresiones no polinómicas

1 En cada caso, desarrolla A2 – B2 y simplifica:

a) A = 3 ; B = x – 18

A2 – B2 =

b) A = ; B = x – 1

A2 – B2 =

c) A = ; B = 8 – x

A2 – B2 =

d) A = 2 ; B = x – 24

A2 – B2 =

e) A = ; B = x – 2

A2 – B2 =

f ) A = ; B = 7

A2 – B2 =

2 Multiplica y simplifica:

a) – x – 1 por x – 3

b) + – por 2x

c) + por 3(6 + x)2x – 83

3x – 126 + x

12x

x2

4x

12x – 3

√x + 4

√2x – 1

√x

√5x + 10

√25 – x2

√x


Pág. 2 de 24. Refuerza: simplificación de expresiones no polinómicas

d) + – 2 por 2x (x + 2)

e) – + 21,25 por x (x – 2)

f ) – – 25 por x (x + 2)

3 Expresa algebraicamente la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyo perímetro mide 94 cm.

Llamamos x a un lado del rectángulo. Entonces, el otro lado medirá =

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d = =

4 Un grupo de x amigos compra un regalo de boda por valor de 1 000 €. Finalmente, se apuntan dos ami-gos más para el regalo. Expresa algebraicamente la diferencia de dinero en ambos casos (cuando son x ami-gos y cuando son dos más).

Dinero que ponen siendo x amigos = =

Dinero que ponen siendo dos más = =

Diferencia: – =

COSTE TOTAL

N.° DE AMIGOS

COSTE TOTAL

N.° DE AMIGOS

√√ 2 + 2

94 – 2x2

1 000x + 2

1 000x

1 275x – 2

1 275x

x + 22x

2xx + 2

d

x



I. ¿Dominas la operativa con monomios?

1 Dados los monomios A = 6x, B = –2x3 y C = 3x2, calcula:

a) A · C =

b) B : A =

c) B + AC =

d) C + B : A =

e) B2 =


II. ¿Manejas la operativa con polinomios?

2 Dados los polinomios A = 3x3 – 5x2 + 7 y B = –x3 + 2x2 – 8x, calcula:

a) A + 2B =

b) 2A – 3B =


3 Efectúa las siguientes operaciones:

a) (3x + 1) · (4x2 – 5x + 2) =

b) (x + 3) · (2x – 1) · (3 – 2x) =




4 Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones:

a) (5x4 + 2x3 – 6x + 1) : (x + 2)

Cociente =

Resto =

b) (6x3 + 2x2 – 9x – 3) : (3x + 1)

Cociente =

Resto =


III. ¿Sabes factorizar un polinomio sacando factor común y usando los productos notables?

5 Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) 12x3 + 12x2 + 3x =

b) x4 – 4x2 =

c) 50x5 – 40x4 + 8x3 =




IV. ¿Simplificas con agilidad expresiones de primer grado?

6 Reduce:

a) 18 · – – – =

b) 8 · – – 5 =

✮ Repasa los ejercicios resueltos de la página 88.

7 En cada una de las siguientes expresiones, sustituye x por lo que se indica y simplifica:

a) 3x – y – 6, x por (2 – 3y )

b) 2x + 4y – 1, x por (3 – 2y )

c) 2(x – 3y ) + x – 9, x por (5y – 3)

✮ Si tienes dificultades, repasa el ejercicio resuelto n.° 3 de la página 88 de tu libro de texto.

V. ¿Sabes simplificar expresiones de segundo grado?

8 Reduce las siguientes expresiones:

a) 4 · – 5 – =

b) 12 – =

✮ El ejercicio resuelto n.° 2 de la página 89 de tu libro de texto puede resultarte de utilidad.

)x (2 – x)3

8x2 + 112(

)x – 204

x2 – 3x2(

]x (x + 1)2

(2x – 4)2 – 18[

]11 – 2x18

x – 26

2(x + 1)9

x + 46[



9 Si A = x2 + y2 – 34 y B = 2x2 – y2 + 7, efectúa A + B y simplifica.

A + B =


VI. ¿Sabes simplificar expresiones no polinómicas?

10 Desarrolla A2 – B 2 y simplifica en cada uno de los siguientes casos:

a) A = ; B = 2x – 4

b) A = ; B = x + 2

c) A = ; B = 4x – 4

✮ Repasa el problema resuelto n.° 1 de la página 90 de tu libro de texto.

11 Reduce las siguientes expresiones:

a) 4x2 + – =

b) x (x + 2) · + 1 – =

c) 2(x + 1) · – 7 – =

✮ Si tienes dificultades, vuelve a leer el ejercicio resuelto n.° 2 de la página 90 de tu libro de texto.

)3x2

2xx + 1(

)6x

5x + 2(

)34

1x2

1x(

√2x + 1

√4x + 5

√x + 1



VII. ¿Utilizas correctamente expresiones de distintos tipos para traducir un enunciado al lenguaje alge-braico?

12 Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión:

a) La suma de las edades de Carlos y Víctor, sabiendo que el primero tiene 8 años más que el segundo.

b) La suma de tres números pares consecutivos.

c) El perímetro de un rectángulo cuya base mide el doble que su altura.

d) El precio que se paga por un bolso que costaba x euros, después de una rebaja del 30%.

e) El perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 3 cm más que los lados iguales.


13 Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión:

a) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x – 2 y 25 – x.

b) La diferencia de los cuadrados de dos números que se diferencian en 3 unidades.



c) El cuadrado de la diagonal de un rectángulo cuya base es 3/4 la altura.


14 Cierta peña deportiva contrató un autobús de x plazas por 450 €. Quedaron vacías 5 plazas. Expresa al-gebraicamente la diferencia de precio por plaza en ambos casos (autobús lleno o con 5 plazas vacías).

✮ Si tienes dudas, consulta el ejercicio resuelto n.° 3 de la página 90 de tu libro de texto.




1 2x3 – 4x2 – 17x

2 COCIENTE = 2x2 + x – 1

RESTO = –6

3 a) x2(x + 4)(x – 4) b) x (x – 3)2

4 a) x2 – 6x + 12 b) –9x2 – 9x + 4

5 4y2 + 3y – 7

6 a) 49 – 14x b) 1,08x c) x√52

UNIDAD 6 Ecuaciones e inecuaciones

Pág. 1 de 12. Ampliación: aprende a resolver

ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0

Fíjate en cómo resolvemos la ecuación x4 – 10x2 + 9 = 0.

Esta ecuación es de cuarto grado, pero solo tiene términos de grado par. Se llama ecuación bicuadrada.

Para resolverla, hacemos el cambio de variable x2 = y.

De esta forma, x4 = y2, y la ecuación queda:

y2 – 10y + 9 = 0 8 y = = = =

Los valores que buscamos son los de x, y sabemos que x2 = y :

• Si y = 9 8 x2 = 9 8 x = ± 8 x1 = 3, x2 = –3

• Si y = 1 8 x2 = 1 8 x = ± 8 x3 = 1, x4 = –1

La ecuación tiene, pues, cuatro soluciones.

√1

√9

91

10 ± 82

10 ± √642

10 ± √100 – 362

ACTIVIDADES

1 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0

b) x4 + 3x2 – 4 = 0

c) x4 + 5x2 + 4 = 0

d) x4 – 25x2 = 0

e) x4 – 3x2 + 4 = 0

f ) 36x4 – 13x2 + 1 = 0

g) 25x4 – 109x2 + 36 = 0

h) 9x4 – 4x2 = 0

i) x4 – 5x2 – 36 = 0


Pág. 1 de 13. Refuerza: resolución de ecuaciones

de segundo grado más complejas

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x (x + 2) – 5 = 12 – (x – 4)2

b) =

c) 3(2x – 5) – = 1 – x

d) (x + 1)2 = 2x (x + 2) + 4

e) + =

f ) – 5 =

g) + 2x – = – x

h) 6(x – 2) + x (x + 1) = 6x (x – 2)

i) – = –

j) (2 – x)(2 + x) + 8 = 2(2 – x)

2x3

12

2x (x + 3)3

(x – 1)(x + 1)6

x (x + 1)2

x + 49

x – 14

x – 204

x2 – 3x2

–x4

(1 – x)2

2x (x + 2)

3

(x + 2)2

5

(2 – x) · x3

8x2 + 112



inecuaciones de primer grado

1 Resuelve y representa gráficamente las soluciones.

a) 4 – 2(x + 3) > 23 + 3x

b) 4 – 2(x + 3) Ì 23 + 3x

c) 5 – Ì x – 3

d) 5 – Ó x – 3

e) x – 6 <

f ) 3x – 5 > 2(x – 2) + 1

g) 6x – 9(x – 1) Ó 2(x – 13)

h) – 2x Ó –

i) < 2(x – 3)

j) 7(1 – x) > 2(x – 1)

6 + x2

5(x + 3)6

x3

x + 23

6x – 45

6x – 45


Pág. 1 de 15. Refuerza: resolución de sistemas

de inecuaciones

1 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y observa la solución obtenida en cada caso:

a) b) c) d)

¿Cómo tiene que ser el sistema para que la solución sea el intervalo (3, 5)? ¿Y para que sea [5, +@)? ¿Y (–@, 3]?

2 Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i) 3x Ì 1x – 2 < 0

°¢£

4x – 5 > 3x – 1 > 2

°¢£

x – 1 Ì 53x – 1 > 2

°¢£

2x + 3 Ì 2 – xx < 0

°¢£

6x + 3 Ì 5x + 55x – 3 > 12

°¢£

x + 3 Ó 6x Ì 0

°¢£

x + 1 < 82 – x Ì 3

°¢£

x + 5 > 12x Ó 6

°¢£

5x + 1 Ì 11x – 2 > 3

°¢£

2x > 105x Ó 15

°¢£

2x > 105x < 15

°¢£

2x Ì 105x < 15

°¢£

2x Ì 105x Ó 15

°¢£



I. ¿Sabes resolver ecuaciones por tanteo?

1 Busca, por tanteo, una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x4 – 16 = 0

b) =

c) = 2


2 Halla, por tanteo, con calculadora, una solución aproximada hasta las décimas de la ecuación 2x = 97.

Solución:

✮ El ejercicio resuelto de la página 97 puede resultarte de utilidad.

II. ¿Dominas la resolución de ecuaciones de primer grado?


a) – = + Solución:

b) = + 5 Solución:


III. ¿Resuelves con agilidad ecuaciones de segundo grado?

4 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula general:

a) 7x2 – 14x = 0 8

b) 6x2 – 54 = 0 8

c) 5x2 = 3x 8

d) x2 + 5 = 0 8


x (x + 1)2

(2x – 4)2 – 18

11 – 2x18

x – 29

2(x + 1)9

x + 46

√2x – 1

12

1x + 5




a) 14x2 – 9x + 1 = 0 8

b) x2 – 11x + 10 = 0 8

c) 4x2 + 12x + 9 = 0 8

d) x2 + 4x + 11 = 0 8

✮ Repasa el ejercicio resuelto de la página 100 de tu libro de texto.

6 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) – 5 = 8

b) = 8

c) (5x – 4)(2x + 3) = 5 8

d) – = 8


IV. ¿Sabes resolver ecuaciones factorizadas, radicales o con x en el denominador?

7 Resuelve estas ecuaciones:

a) (3x + 7) · (x2 + 3) = 0 8

b) (2x – 5)(6x – 1) = 0 8

c) x (x + 3)(x2 – 1) = 0 8


(x + 3)2

2(x + 3)(x – 3)

4x2 + 4x + 3

5

x (2 – x)3

8x2 + 112

x – 204

x2 – 3x2



8 Resuelve estas ecuaciones (no olvides comprobar las soluciones que obtengas):

a) 2x – = 4 Solución:

b) = x + 2 Solución:

c) 4x – = 4 Solución:


9 Resuelve:

a) + = Solución:

b) + 1 = Solución:

c) – 7 = Solución:

✮ Repasa la página 105 de tu libro de texto si tienes dificultades.

V. ¿Sabes resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones?

10 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) > 2x Conjunto de soluciones:

b) 2 – 3x Ì Conjunto de soluciones:

¿Cuál es la solución común a ambas? Conjunto de soluciones comunes:


2x3

3(x + 1)2

3x2

2xx + 1

6x

5x + 2

34

1x2

1x

√2x + 1

√4x + 5

√x + 1



11 Halla la solución de cada uno de los sistemas de inecuaciones siguientes:

a) El conjunto de soluciones es .

b) El conjunto de soluciones es .

c) El conjunto de soluciones es .

✮ El ejercicio resuelto n.° 1 de la página 107 puede resultarte de utilidad.

VI. ¿Resuelves problemas usando ecuaciones?

12 Carlos tiene 8 años más que Víctor y entre los dos suman 36 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

Solución: Víctor tiene años, y Carlos, años.

✮ Si tienes dificultades, consulta el problema resuelto n.° 2 de la página 99 de tu libro de texto.

13 La suma de tres números pares consecutivos es la sexta parte del producto de los dos menores. ¿Cuáles sonesos números?

Solución: los números son , , ó , , .


14 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 2 cm menos que la hipotenusa y los dos catetos su-man 23 cm. Halla los lados del triángulo.

Solución: los lados del triángulo miden cm, cm y cm.

✮ Vuelve a leer el problema resuelto n.° 2 de la página 102 de tu libro de texto.

15 Cierta peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo por 450 €. Como quedaron 5 plazasvacías, el resto tuvo que poner 4,50 € más. ¿Cuántas plazas tiene el autobús? Si el autobús hubiera idocompleto, ¿cuánto dinero pondría cada persona?

Solución: el autobús tiene plazas. Si fuera completo, cada persona pondría €.

✮ El problema resuelto n.° 1 de la página 105 de tu libro de texto puede resultarte útil.

x + 5 > 2x – 1x > 0

°¢£

3x + 1 < x + 32 – x > 0

°¢£

x + 3 Ó 0x – 1 < 0

°¢£



VII. ¿Aplicas las inecuaciones para resolver problemas?

16 El perímetro de un rectángulo es menor que 18 cm. Si la base es el doble que la altura, ¿qué puedes decirde los lados del rectángulo?

Solución: la altura es menor que cm, y la base, menor que cm.





1 a) x = 4

b) x1 = 0, x2 = 6

2 a) x1 = –3, x2 =

b) x1 = , x2 =

3 a) [2, +@)

b) (2, 6]

4 Las dimensiones del jardín son 17 m y 13 m.

5 Van a cenar 6 amigos.

6 Los lados iguales miden más de 9 cm cada uno, y el desigual, más de 6 cm.

43

13

52

UNIDAD 7 Sistemas de ecuaciones

Pág. 1 de 42. Refuerza: resolución de sistemas no lineales

1 Resuelve los siguientes sistemas:

a)

Soluciones:

b)

Soluciones:

c)

Soluciones:

2x2 – 3y2 = 10x2 + 2y2 = 19

°¢£

x2 + 5xy = 34x + y = 5

°¢£

x2 + y2 = 2902x – y = 9

°¢£



d)

Soluciones:

2 Resuelve estos sistemas:

a)

Soluciones:

b)

Soluciones:

x = 1 + 2yxy + 2y = 5

°¢£

2x2 – y2 = –1y2 = x2 + 5

°¢£

√—x + y = 1

x + 4y = 4

°¢£



c)

Solución:

d)

Soluciones:

2xy = 54x + y = 7

°¢£

x = √—y + 3

x – y = 1

°¢£



3 Resuelve los sistemas siguientes:

a)

Soluciones:

b)

Solución:

x + 2y = 2x 2— = —y 3

°§¢§£

x (y + 3) = 22x + 3y = –1

°¢£


Pág. 1 de 33. Refuerza: traducción de enunciados

a sistemas de ecuaciones

1 La diagonal de un rectángulo mide 37 cm, y el perímetro, 94 cm. Calcula los lados del rectángulo.

x + y = 94

2 + 2 = 372

Solución: Los lados del rectángulo miden cm y cm.

2 La raíz cuadrada de la edad del padre es el doble de la edad del hijo. Dentro de 8 años, la edad del padre se-rá el cuádruple de la edad del hijo. Halla la edad de cada uno.

= y

x + 8 = 4

Solución: El padre tiene años, y el hijo, años.

3 Pedro compra una plaza de garaje y un trastero por 30 000 €. Al cabo de un tiempo, los vende por 34 950 €. Con la plaza de garaje ganó un 15% de su valor, y con el trastero, un 20%. ¿Cuánto le costó ca-da propiedad?

x + y =

x + y =

Solución: La plaza de garaje le costó euros, y el trastero, euros.

4 La suma de los radios de dos círculos es 73 cm, y la suma de sus áreas coincide con la de otro círculo de ra-dio 53 cm. Halla los valores de los dos radios.

+ = 73 + =

π 2 + π 2 = π532 2 + 2 =

Solución: Los radios miden cm y cm.

√x

8

°§§¢§§£

8

37

x

y

EDAD ACTUAL EDAD DENTRO DE 8 AÑOS

PADRE x x +

HIJO y y +

PRECIO COMPRA PRECIO VENTA

GARAJE x 1,15 x

TRASTERO y y

°§¢§£

8°§¢§£

8°§¢§£

8°§¢§£

RADIOS x y 53

ÁREAS πx2




5 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es 480 cm2 y su altura es 5/6 de su base.

BASE = x · =

ALTURA = y y = x

Solución: La base del rectángulo mide cm, y la altura, cm.

6 La edad de Carmen hace 10 años era el cuádruple de la de María, pero dentro de 20 años será solo el doble.Calcula la edad actual de cada una.

x – 10 = 4

x + = 2

Solución: Carmen tiene años, y María, .

7 En un rombo de 336 cm2 de área, la suma de las longitudes de las diagonales es 62 cm. ¿Cuánto miden lasdiagonales?

+ = 62

Llamamos x e y a la medida de las diagonales: =

Solución: Las diagonales miden cm y cm.

8 Se quieren mezclar dos líquidos de densidades 0,7 kg/l y 1,5 kg/l con el fin de obtener un líquido de densi-dad 1,02 kg/l. Calcula la cantidad necesaria de cada líquido para obtener 20 l de mezcla.

+ = 20

x + y = · 20

Solución: Hay que mezclar l de la 1.a clase con l de la 2.a.

·

8

°§§¢§§£

°§¢§£

EDAD

ACTUAL

HACE

10 AÑOS

DENTRO DE

20 AÑOS

CARMEN x x – 10

MARÍA y8

°§¢§£

N.° DE LITROS MASA (kg)

1.a CLASE x 0,7x

2.a CLASE y 1,5y

MEZCLA 20 1,02 · 20

8°§¢§£

°§§¢§§£




9 En un test se hacen 60 preguntas. Por cada acierto se dan 50 puntos, y por cada error se descuentan 20. SiNuria ha obtenido 2 440 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado?

+ = 60

x – y =

Solución: Nuria ha acertado preguntas.

N.° DE PREGUNTAS PUNTOS

ACIERTOS x

FALLOS y –20y8

°§¢§£




1 La diagonal de un rectángulo mide 37 cm, y el perímetro, 94 cm. Calcula los lados del rectángulo.

x + y = 94

2 + 2 = 372

Solución: Los lados del rectángulo miden cm y cm.

2 La raíz cuadrada de la edad del padre es el doble de la edad del hijo. Dentro de 8 años, la edad del padre se-rá el cuádruple de la edad del hijo. Halla la edad de cada uno.

= y

x + 8 = 4


3 Pedro compra una plaza de garaje y un trastero por 30 000 €. Al cabo de un tiempo, los vende por 34 950 €. Con la plaza de garaje ganó un 15% de su valor, y con el trastero, un 20%. ¿Cuánto le costó ca-da propiedad?

x + y =

x + y =

Solución: La plaza de garaje le costó euros, y el trastero, euros.

4 La suma de los radios de dos círculos es 73 cm, y la suma de sus áreas coincide con la de otro círculo de ra-dio 53 cm. Halla los valores de los dos radios.

+ = 73 + =

π 2 + π 2 = π532 2 + 2 =

Solución: Los radios miden cm y cm.

√x

8

°§§¢§§£

8

37

x

y

EDAD ACTUAL EDAD DENTRO DE 8 AÑOS

PADRE x x +

HIJO y y +

PRECIO COMPRA PRECIO VENTA

GARAJE x 1,15 x

TRASTERO y y

°§¢§£

8°§¢§£

8°§¢§£

8°§¢§£

RADIOS x y 53

ÁREAS πx2




5 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es 480 cm2 y su altura es 5/6 de su base.

BASE = x · =

ALTURA = y y = x

Solución: La base del rectángulo mide cm, y la altura, cm.

6 La edad de Carmen hace 10 años era el cuádruple de la de María, pero dentro de 20 años será solo el doble.Calcula la edad actual de cada una.

x – 10 = 4

x + = 2

Solución: Carmen tiene años, y María, .

7 En un rombo de 336 cm2 de área, la suma de las longitudes de las diagonales es 62 cm. ¿Cuánto miden lasdiagonales?

+ = 62

Llamamos x e y a la medida de las diagonales: =

Solución: Las diagonales miden cm y cm.

8 Se quieren mezclar dos líquidos de densidades 0,7 kg/l y 1,5 kg/l con el fin de obtener un líquido de densi-dad 1,02 kg/l. Calcula la cantidad necesaria de cada líquido para obtener 20 l de mezcla.

+ = 20

x + y = · 20

Solución: Hay que mezclar l de la 1.a clase con l de la 2.a.

·

8

°§§¢§§£

°§¢§£

EDAD

ACTUAL

HACE

10 AÑOS

DENTRO DE

20 AÑOS

CARMEN x x – 10

MARÍA y8

°§¢§£

N.° DE LITROS MASA (kg)

1.a CLASE x 0,7x

2.a CLASE y 1,5y

MEZCLA 20 1,02 · 20

8°§¢§£

°§§¢§§£




9 En un test se hacen 60 preguntas. Por cada acierto se dan 50 puntos, y por cada error se descuentan 20. SiNuria ha obtenido 2 440 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado?

+ = 60

x – y =

Solución: Nuria ha acertado preguntas.

N.° DE PREGUNTAS PUNTOS

ACIERTOS x

FALLOS y –20y8

°§¢§£



I. ¿Resuelves con agilidad sistemas lineales?

1 Rodea el par que sea solución del sistema .

2, (–1, 4) (2, –3)


2 Resuelve gráficamente el sistema:

Solución:


3 ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución?

a)

b)

c)


4 Completa el sistema S1 para que tenga infinitas soluciones y el S2 para que no tenga solución:

S1: S2:


6x + 2y = 8

3x + y =

°¢£

3x + y = 2

x – y = 10

°¢£

3x – 2y = 59x – 6y = 15

°¢£

x + 2y = 32x + 4y = 1

°¢£

x + 3y = 23x – y = 6

°¢£

2x + y = 33x – 2y = 1

°¢£

)32(

5x + 2y = 4x – y = 5

°¢£



5 Resuelve por el método que consideres más adecuado estos sistemas:

a) Solución:

b) Solución:

c) Solución:

✮ Si tienes dificultades, consulta los ejercicios resueltos de las páginas 115, 116 y 117 de tu libro de texto.

II. ¿Sabes resolver sistemas no lineales?

6 Resuelve el siguiente sistema:

Soluciones:

✮ En caso de dificultad, repasa la página 119 de tu libro de texto.

7 Resuelve, por reducción, el siguiente sistema:

Soluciones:

✮ El ejercicio resuelto de la página 119 puede resultarte útil.

x2 + y2 = 342x2 = y2 – 7

°¢£

2x + y = 4x2 – 2y2 = 1

°¢£

3(x + 2) – 5y = 145 + 3y4x + — = 5

2

°§¢§£

x – 3 = 5y2(x – 3y) + x = 9

°¢£

2y x 1— – — = —5 3 1515(x – y) = 2

°§¢§£



III. ¿Resuelves problemas usando sistemas lineales?

8 Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 6 €; seis kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13 €.¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?

Solución: El kilo de peras cuesta €, y el de manzanas, €.

✮ El ejercicio resuelto n.° 1 de la página 120 puede ayudarte.

9 El perímetro de un triángulo isósceles es de 27 cm y se sabe que el lado desigual mide 3 cm más que los la-dos iguales. Calcula la longitud de los lados del triángulo.

Solución: Los lados iguales miden cm, y el lado desigual, cm.

✮ Consulta los problemas resueltos de las páginas 120 y 121 de tu libro de texto.

10 Por un monedero y un bolso habría pagado hace una semana 96 €. El monedero tiene una rebaja del15%, y el bolso, del 30%, pagando entonces por ambos 72,60 €. ¿Cuánto costaba cada uno de los artícu-los hace una semana?

Solución: El monedero costaba €, y el bolso, €.

✮ Si tienes dificultades, consulta los problemas resueltos de la página 121 de tu libro de texto.

11 Un padre le saca 24 años a su hijo y dentro de 8 años le triplicará en edad. Calcula la edad actual de cadauno.





IV. ¿Resuelves problemas utilizando sistemas no lineales?

12 La diferencia de dos números es 3, y la de sus cuadrados, 45. Halla los números.

Solución: Los números son y .

✮ En caso de necesidad, consulta la página 119 de tu libro de texto.

13 En un rectángulo, la longitud de un lado es los tres cuartos de la longitud del otro lado. La diagonal mide15 m. Calcula las dimensiones del rectángulo.

Solución: Las dimensiones del rectángulo son cm y cm.





1 a) x = –57; y = 62 b) Infinitas soluciones.

2 a) x1 = 3; y1 = 1

x2 = – ; y2 = –

b) x1 = 3; y1 = 5

x2 = 3; y2 = –5

x3 = –3; y3 = 5

x4 = –3; y4 = –5

3 Un bocadillo cuesta 2,10 €, y un refresco, 1,15 €.

4 Las dimensiones del rectángulo son 7 m y 8 m.

5 El cinturón costaba 32 €, y la corbata, 54 €.

6 Ana tiene 36 años, y su hija, 6 años.

74

52

UNIDAD 8 Funciones. Características

Pág. 1 de 22. Refuerza: dominio de definición

de una función

1 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f (x) = x + 3

b) g (x) = 7x5 + 3x4

c) h (x) = x4 + x2 – 23

d) i (x) =

2 Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f (x) =

b) g (x) =

c) h (x) =

d) i (x) = x5 + 3x2

4 – x

x – 46 + x

7x5

x + 3

5x – 1

x + 34

67

–34


Pág. 2 de 22. Refuerza: dominio de definición

de una función

3 Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f (x) =

b) g (x) =

c) h (x) =

d) i (x) =

4 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f (x) =

b) g (x) =

c) h (x) =

d) i (x) = 3x – √3x + 1

√–x + 4

√x + 2

√x

x5 + 3x2

x2 – 3x

x – 4x2 + 5x + 6

7x5

x2 + 3

5x2



I. ¿Interpretas una función dada gráficamente y analizas los aspectos más relevantes de ella (dominio, re-corrido, crecimiento, máximos y mínimos…)?

1 Observa la gráfica y contesta las cuestiones:

a) Di cuál es su dominio de definición y su recorrido.

b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿En cuáles es decreciente?

✮ Consulta las páginas 129 y 134 de tu libro de texto.

2 Di cuál es el dominio y el recorrido de la función dibujada:

✮ Consulta la página 129 de tu libro de texto.

2

1

4

X

Y

5 10

2

2 4–4 –2

4

–2

X

Y



II. ¿Sabes representar una función dada mediante su ecuación, obteniendo previamente una tabla de va-lores?

3 Representa la función y = x3 – 3x definida en el intervalo [–3, 3].


III. ¿Reconoces una función continua y sabes decir cuándo no lo es y por qué?

4 Observa la gráfica siguiente y resuelve las cuestiones:

a) ¿En qué intervalos es continua la función?

b) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?


2

2

4

Y

4–4 –2

–4

–2

X

x

yX2–1

–2–3 3

1

Y

6

10

14

18

–18

2



IV. ¿Reconoces cuándo una función es periódica y sabes interpretar su periodo?

5 Observa esta función:

a) ¿Es periódica? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?

b) Averigua los valores de la función en los puntos de abscisa x = 2, x = 5, x = 40 y x = 43.


V. ¿Sabes hallar e interpretar la T.V.M. de una función en un intervalo?

6 Halla la tasa de variación media de la siguiente función en los intervalos indicados:

a) [–5, 0] b) [–5, –3] c) [–5, –1]

d) [–1, 0] e) [2, 4] f ) [0, 4]


2

2

4Y

4–4 –2

–2

X

X

Y

1 5 10

3



7 Calcula la T.V.M. de la función y = – 3x + 4 en los siguientes intervalos:

a) [2, 3] b) [3, 4] c) [3; 3,5] d) [4, 5] e) [1, 2] f ) [2, 4]


VI. ¿Utilizas las funciones para interpretar fenómenos cotidianos?

8 El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:

a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo?

b) ¿Cuándo el consumo es creciente? ¿Cuándo es decreciente?

c) ¿Durante qué horas se alcanzan los valores máximos y los valores mínimos de consumo de agua?

d) Haz un pequeño informe relacionando la gráfica con los movimientos del colegio (horas de entrada y desalida, recreos…).

✮ Consulta toda esta unidad de tu libro de texto.

0,40

4

0,80

8 12 16 20 24

1,20CONSUMO (m3)

TIEMPO (h)

x2

2



9 Representa la función y = –x3 + 9x2 – 15x + 30, definida en [0, 6], dándole a x valores enteros.

Supón que:

• y es el valor en bolsa, en millones de euros, de una empresa que acaba de cambiar de dirección.

• x es el número de meses transcurridos desde que se realizó una auditoría.

Describe su evolución en estos seis meses, señalando crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.


10

1

20

2 3 4 5 6

30

40

50

60

Y

X

x

y




1

2 a) Dom = [–4, 5]; Recorrido = [–4, 2]

b) Máximos relativos en los puntos (–2, 2) y (5, 2).

Mínimos relativos en los puntos (–4, 0) y (1, –4).

c) Crece en (–4, –2) « (1, 5).

Decrece en (–2, 1).

d) Es continua en (–4, 3) « (3, 5).

Es discontinua en x = 3.

3 T.V.M. [–5, 2] = T.V.M. [–2, 1] = T.V.M. [–1, 2] =

4

• Decrece en el intervalo (0, 1) « (5, 6).

• Crece en el intervalo (1, 5).

• Tiene un mínimo relativo en el punto (1, 19).

• Tiene dos máximos relativos, uno en el punto(0, 26) y otro en el punto (5, 51).

x 0 1 2 3 4 5 6

y 26 19 24 35 46 51 44

52

32

12

1 2 3 4 5 6 TIEMPO (horas)

DISTANCIA (km)

10

20

30

40

10

1 2 3 4 5 6

20

30

40

50

60

Y

X

UNIDAD 9 Las funciones lineales

Pág. 1 de 12. Repaso teórico y práctico:

ecuación punto-pendiente de una recta

Si de una recta conocemos un punto (x0, y0) y su pendiente, m, su ecuación puede ponerse así:

y = y0 + m (x – x0) ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Esta recta pasa por el punto (x0, y0), pues sustituyendo en la ecuación x por x0, se obtiene, para y, el valor y0:

y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0

Su pendiente es m, pues este es el coeficiente de x al despejar y.

Ten en cuenta que la ecuación y = y0 + m (x0 – x0) puede simplificarse hasta adoptar la forma y = mx + n:

y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + mx – mx0 = mx + y0 – mx0 y = mx + n

Por ejemplo:

y = 3 + (x – 1) 8 y = x + 135

25

25

LlamandoÄÄÄÄ8y0 – mx0 = n

ACTIVIDADES

1 Determina la ecuación punto-pendiente de las siguientes rectas dadas por un punto y su pendiente:

P (3, 7), m = 4

P (–2, 5), m = –

P (0, –1), m = 1,2

P (–3, 0), m =

2 Observa las siguientes ecuaciones de rectas. Señala, para cada una, su pendiente y uno de sus puntos:

f (x) = 3 + 2(x – 1)

f (x) = 6 + (x + 2)

f (x) = –2(x + 3)

f (x) = 3 + x12

45

15

23


Pág. 1 de 33. Refuerza: funciones definidas

mediante dos o tres trozos

1 Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

f (x) = f (x) =

f (x) = f (x) =

f (x) = 2 si x Ì 03x si x > 0

°¢£

2x – 1 si x < 3x + 2 si x Ó 3

°¢£

4 si x < 22x si x Ó 2

°¢£

–2 si x Ì 43 si x > 4

°¢£

x si x Ì 0–x si x > 0

°¢£




2 Representa las siguientes funciones e indica su dominio de definición:

f (x) = f (x) =

Dom f (x) = Dom f (x) =

f (x) = f (x) =


2 si –3 Ì x < 1–2x + 3 si 1 Ì x < 5–7 si 5 Ì x < 8

°§¢§£

3x – 4 si x < 3x + 5 si 3 Ì x Ì 712 si 7 < x < 10

°§¢§£

x + 3 si –4 < x Ì 03 si 0 < x Ì 51—x + 2 si x > 55

°§§¢§§£

1 si x Ì 3x – 2 si 3 < x < 62x – 8 si x Ó 6

°§¢§£




3 Representa las siguientes funciones, señala su dominio de definición y estudia su continuidad:

f (x) = f (x) =


Es discontinua en . Es discontinua en .

–2x – 1 si x Ì 13 si 1 < x Ì 5

°¢£

1 + 2x si x < –12x – 2 si –1 Ì x < 34 si x Ó 3

°§¢§£



I. ¿Conoces los distintos tipos de función lineal y el papel que juegan los coeficientes en cada uno deellos?

1 Representa cada una de estas funciones y di cuáles de ellas son de proporcionalidad y cuáles son constantes:

a) y = 3x b) y = –2x

c) y = 6 d) y = –3x

e) y = x/2 f ) y = –3


2 Representa las siguientes rectas y di, en cada caso, cuál es su pendiente y cuál es la ordenada en el origen:

a) y = 9 – 3x m = ; n =

b) y = m = ; n =

c) 3x – 4y = 8 m = ; n =

d) –7x + 2y = 7 m = ; n =

✮ Consulta las páginas 144, 145 y 146 de tu libro de texto.

2x – 55



II. ¿Asocias las funciones lineales con sus expresiones analíticas?

3 Escribe la ecuación de las funciones dibujadas:

r :

s :

t :

v :


III. ¿Sabes poner con destreza la ecuación de una recta dada por un punto y su pendiente o por dos desus puntos?

4 Escribe la ecuación de las rectas que cumplen:

a) Pasa por el punto (1, –3) y tiene pendiente 4/3.

b) Pasa por los puntos (–2, 3) y (3, 0).


X

v

t

s

r

Y

2

2

4

–2

–4

4–2–4



IV. ¿Utilizas las funciones lineales para interpretar y representar funciones definidas a trozos?

5 Representa las funciones definidas a trozos cuyas ecuaciones son:

a) f (x) = b) f (x) =


6 ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica?

Solución:


X

Y

2

2

4

–2

–4

4 6–2–4–6

x— – 3 si x < 022x – 3 si 0 Ì x Ì 23 – x si x > 2

°§§¢§§£

–x + 4 si x Ì 22x – 2 si x > 2

°¢£



V. ¿Utilizas las funciones lineales para describir e interpretar situaciones reales?

7 En una compañía telefónica el precio de cada minuto de llamada en horario normal es de 0,25 € y en ho-rario reducido es de 0,20 €. El horario reducido es de 16 h a 8 h. Una persona hace una llamada a las 15:55 h.

a) ¿Cuánto cuesta la llamada si dura 5 min? ¿Y 15 min? ¿Y 30 min?

b) Haz la gráfica de la función que nos da el precio de la llamada dependiendo del tiempo que dure esta.Supón que la llamada no va a durar más de 40 minutos.





1 a) 3x – 2y – 7 = 0

b) 2x – y – 1 = 0

2

3 a) Compañía A: y = 0,30 + 0,20x b)

— Por 5 min, 1,30 €.

— Por 15 min, 3,30 €.

— Por 20 min, 4,30 €.

Compañía B: y = 0,22x

— Por 5 min, 1,10 €.

— Por 15 min, 3,30 €.

— Por 20 min, 4,40 €.

X

Y

2

2

–2

–2

5

1

TIEMPO (min)

COSTE LLAMADA (€)

10 15 20 25

2

3

4

5

COMPAÑÍA B

COMPAÑÍA A

UNIDAD 10 Funciones elementales


I. ¿Interpretas con soltura las funciones cuadráticas y las representas a partir de sus ecuaciones, y vice-versa?

1 Representa las siguientes parábolas y halla el vértice en cada caso, indicando si es un máximo o un mínimo:

a) y = b) y = x2 – 2x

c) y = + 1 d) y = –x2 – 2x – 4


x2

3

x2 – 4x – 213



2 Obtén la ecuación de las siguientes parábolas:

a) b)

c) d)


X

a

b c

d

Y

2

–6

2

6

4 6–2–4–6

4

–2

–4



II. ¿Conoces algunas familias de funciones (de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales) y rela-cionas sus gráficas con sus ecuaciones?

3 Asocia a cada gráfica una de las ecuaciones:

a) y = 2x – 1 b) y = 2(x + 2)2 – 2 c) y = d) y =

Solución:

✮ Consulta las páginas 156, 158, 159 y 160 de tu libro de texto.

12x – 2

√x + 2

X

Y

2

–2

–4

2

4

4 6–2–4

X

Y

2

–2

–4

2

4

4 6–2–4

IVIII

X

Y

2

–2

2

4

4 6–2–4

X

Y

2

–2

2

4

–2–4

III



4 Representa cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = d) f (x) = 2 –

e) f (x) = 3x – 2 f ) f (x) = –x

✮ Consulta las páginas 158, 159 y 160 de tu libro de texto.

)12(

53 – x

–1x + 2

√4 – 2x√x – 3



III. ¿Asocias una situación real (cotidiana, científica, económica, geométrica,…) con algún modelo defunción y te basas en él para interpretarla?

5 Al lanzar un proyectil en trayectoria parabólica, su altura máxima es 213 km. Cae a 14 km de la base dellanzamiento. Queremos obtener la ecuación de la parábola.

a) Pasa por el punto (0, 0). ¿En qué otro punto corta al eje X ?

b) Si corta al eje X en (0, 0) y en (k, 0), ¿cuál es la abscisa de su vértice?

c) Con todos estos datos, calcula a, b y c para que y = ax2 + bx + c sea la ecuación de la parábola.


6 Las sustancias radiactivas se desintegran transformándose en otras sustancias, y lo hacen con mayor o menorrapidez según de cuál se trate. Supongamos que tenemos 64 kg de una sustancia radiactiva que se desintegrareduciéndose a la mitad cada año.

a) Calcula la cantidad de sustancia radiactiva que queda según pasan los años, completando esta tabla en tucuaderno:

b) Halla la ecuación de la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo y dibújala.


TIEMPO (años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

KILOS DE SUSTANCIA 32 16




1 a) Vértice en el punto (0, –4) b) Vértice en el punto (–2, –9)

2 a) b) c)

3 b = 1, c = –2; y = x2 + x – 2

4 a) 5 III

b) 5 IV

c) 5 II

d) 5 I

X

Y

–2 2

y = 2x – 3

2

–2

y = √—–3x + 4

X

Y

4/3–2X

Y

3

3

1y = 3 – — x – 3

X

Y

2

2

–2

–2

y = x2 + 4x – 5

X

Y

2

4

6

–2

y = x2 – 4

2–2

UNIDAD 12 Geometría analítica

Pág. 1 de 12. Refuerza: ecuaciones de rectas

1 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta pedida.

a) Pasa por (0, 0) y (–3, 2).

b) Pasa por P (–7, 3) y es paralela a 2x – 3y + 5 = 0.

c) Pasa por (0, –5) y es perpendicular a y = x – 5.

d) Pasa por (–2, –1) y es paralela al eje OX.

e) Pasa por (5, –4) y es paralela al eje OY .

f ) Pasa por el punto de corte de r : x – 3y + 5 = 0 y s : 17x – 5y – 7 = 0, y es perpendicular a r.

g) Pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la que pasa por A (–5, 2) y B (3, –4).

2 Calcula, en cada caso, el valor de k para que se cumpla la condición indicada:

a) La recta kx + 5y – 3 = 0 sea paralela a 6x – 2y + 1 = 0.

b) La recta 5x + ky – 7 = 0 sea perpendicular a 2x – 3y + 1 = 0.

c) El punto (k, –3) pertenezca a la recta 7x – 3y + 5 = 0.

d) El punto de corte con el eje OY de la recta x – 6y + 15 = 0 sea (0, k ).

34



I. ¿Sabes hallar puntos medios de segmentos, puntos simétricos de otros y ver si varios puntos están ali-neados?

1 Los puntos A (–1, 3), B (2, 6), C (7, –2) y D (–5, –3) son vértices de un cuadrilátero. Halla los puntosmedios de sus lados.

Solución:


2 Halla el punto P' simétrico de P (–3, 7), respecto de M (5, 1).

Solución:


3 a) Comprueba analíticamente si los puntos P (–1, 3), Q (2, 6) y R(16, 48) están alineados.

Solución:


II. ¿Sabes trabajar con ecuaciones de rectas?

4 Halla la ecuación de las rectas siguientes:

r : pasa por A (–3, 5) y B (1, 2). s : pasa por C (4, –1) y su pendiente es .

Solución:


5 Escribe la ecuación de las rectas r y s que pasan por el punto P (–5, 2) y son:

r : paralela a 3x – 2y + 5 = 0. s : perpendicular a x – 2y – 3 = 0.

Solución:


14



6 Calcula el valor de k para que el punto P (k, 17) pertenezca a la recta que pasa por (–1, 3) y (2, 6).

Solución:


7 Halla el punto de intersección de las siguientes rectas:

8x + 9y – 52 = 0 3x + 2y – 3 = 0

Solución:


III. ¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos?

8 Calcula la distancia entre los puntos (–3, 5) y (2, –7).

Solución: distancia =


9 Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices A (–2, 1), B (4, 11/2) y C (1, –3) es rectángulo.

Solución:


10 Halla la longitud de la mediana que parte del vértice B en el triángulo A (–2, –3), B (6, 1) y C (2, 5).

Solución:




IV. ¿Sabes utilizar tus conocimientos geométricos para la resolución de problemas?

11 a) Representa el cuadrilátero cuyos vértices son A (2, 1), B (4, 6), C (–1, 4) y D (–3, –1), y halla la lon-gitud de sus lados.

Solución:

b) Compara las pendientes de las rectas AB y CD. ¿Son paralelas?

Solución:


12 En el cuadrilátero del ejercicio anterior, halla el punto de corte de las rectas AC y BD.

Solución:


13 Escribe la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB en su punto medio (la mediatriz de AB),siendo A (–3, 2) y B (7, 4).

Solución:




V. ¿Sabes describir recintos planos por sus ecuaciones?

14 Dibuja el recinto siguiente:


15 Define, mediante inecuaciones, este recinto:

Solución:


X2–1

Y

–3 Ì y Ì 3x – y Ó 0

°¢£




1

Punto medio de AC = punto medio de BD = (–1; 3,5)

2 a) P'(11, 15)

b) dist (P, M) = u

3 3x – 2y – 21 = 0

4 r : 3x + 8y – 7 = 0

s : 4x + 2y – 31 = 0

5 P 9, – )52(

√306

A

C

D

M

B

UNIDAD 13 Estadística

Pág. 1 de 12. Repasa: población, muestra y tipos de variable

1 Un fabricante de tornillos desea hacer un control de calidad. Para ello, recoge 1 de cada 100 tornillos pro-ducidos y lo analiza.

a) ¿Cuál es la población?

b) ¿Cuál es la muestra?

c) ¿Cuáles son los individuos?

2 El fabricante de tornillos descrito en el ejercicio anterior estudia en cada tornillo si es correcto o defectuoso, sulongitud y el número de pasos de rosca. Di de qué tipo es cada una de estas variables.

3 Indica, para cada uno de los seis casos propuestos:

• Cuál es la población.

• Cuál es la variable.

• Tipo de variable: cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua.

a) Peso al nacer de los bebés que se alumbraron en Murcia a lo largo del año pasado.

b) Profesiones que quieren tener los estudiantes de un centro escolar.

c) Número de animales de compañía que hay en los hogares españoles.

d) Partido al que se va a votar en las próximas elecciones generales.

e) Tiempo semanal que dedican a la lectura los estudiantes de la ESO en España.

f ) Número de tarjetas amarillas mostradas en los partidos de fútbol de la temporada pasada.


Pág. 1 de 13. Refuerza: elaboración de tablas de frecuencias

1 Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados. Repetimos la experiencia 30 ve-ces:

11, 8, 9, 9, 3 4, 11, 7, 7, 8 7, 5, 6, 4, 4 7, 10, 2, 6, 10 7, 7, 6, 2, 8 7, 5, 8, 6, 9

Confecciona una tabla de frecuencias.

2 Las alturas de 30 alumnos y alumnas de una clase son:

168 160 168 175 168 168 158 149 160 178 158

163 171 162 163 156 154 160 165 165 161 162

166 163 170 164 165 173 172 168

Elabora una tabla de frecuencias con los datos agrupados en los intervalos siguientes:

147,5 - 151,5 - 155,5 - 159,5 - 163,5 - 167,5 - 171,5 - 175,5 - 179,5

INTERVALOS FRECUENCIA

xi

fi


Pág. 1 de 14. Refuerza: cálculo de la x–, q y C.V.

1 Hemos consultado, en diferentes comercios, el precio (en euros) de un determinado modelo de impresora,obteniendo los datos siguientes: 146 - 150 - 141 - 143 - 139 - 144 - 133 - 153

a) Calcula el precio medio.

b) Halla la desviación típica.

2 En la familia Fernández, el salario mensual del padre es de 950 €, y el salario de la madre, 1 600 €. En lafamilia Torres, el padre gana 1 800 € al mes, y la madre 750 €.

a) ¿Cuál es el sueldo medio de cada familia?

b) ¿En cuál de ellas es mayor la dispersión?

3 Los puntos conseguidos por Teresa y porRosa en una semana de entrenamiento, ju-gando al baloncesto, han sido los siguien-tes:

a) Halla la media de cada una de las dos.

b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. ¿Cuál de las dos es más regular?

4 Contando el número de erratas porpágina en un libro concreto, Davidha obtenido los datos siguientes:

Halla la media y la desviación típica.

5 En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los si-guientes datos:

Calcula la media y la desviación típica.

Ayuda: La marca de clase del intervalo 60 - 70 es 65.

VELOCIDAD (km/h) N.° DE COCHES

60 - 70 5

70 - 80 15

80 - 90 27

90 - 100 38

100 - 110 23

110 - 120 17

TERESA 16 25 20 24 22 29 18

ROSA 23 24 22 25 21 20 19

N.° DE ERRATAS (xi) 0 1 2 3 4 5

N.° DE PÁGINAS (fi) 50 40 16 9 3 2


Pág. 1 de 15. Refuerza: cálculo de medidas de posición

1 El número de aparatos de radio que hay en los hogares de un grupo de personas viene dado en la tabla si-guiente:

a) ¿Cuál es la mediana?

b) ¿Cuántos aparatos de radio y cuántas viviendas hay en esa muestra?

2 A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto:

4 5 3 6 3 5 4 6 3 2

2 4 6 3 5 3 4 5 3 6

4 5 7 4 6 2 3 4 4 3

4 4 5 3 2 6 3 7 4 3

a) Haz la tabla de frecuencias, incluyendo las frecuencias acumuladas y su expresión en porcentaje.

b) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles de orden 80 y 98.

a)

b)

xi fi Fi En %

N.° DE RADIOS 0 1 2 3 4 5

N.° DE VIVIENDAS 3 19 18 6 3 1

UNIDAD 14 Probabilidad

Pág. 1 de 22. Repasa: experimento aleatorio,

espacio muestral y suceso

1 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el número ob-tenido.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Escribe los sucesos:

A = “Menos de 5”

B = “Más de 4”

C = “Número par”

D = “No múltiplo de 3”

2 Nos fijamos en la cifra en la que termina el premio gordo de la lotería.

a) Describe el espacio muestral.

b) Describe los sucesos:

A = “Menor que 4”

B = “Número impar”

C = “Mayor que 5”

3 Escribimos cada una de las letras de la palabra JUEGO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa.Extraemos una letra al azar.

a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio.

b) Describe el suceso “obtener vocal”.

c) Si la palabra elegida fuera PROBABILIDAD, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?

a) b)

12

5

7

6 9

2


Pág. 2 de 22. Repasa: experimento aleatorio,

espacio muestral y suceso

4 Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.

a) Escribe el espacio muestral:

b) Escribe los sucesos siguientes:

A = “La primera fue cara”

B = “Ninguna fue cara”

5 Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados.

a) Describe el espacio muestral (hay 8 casos).

b) Describe los sucesos:

A = “Obtener dos veces cara”

B = “Obtener dos veces cruz”

C = “No obtener ninguna cruz”


Pág. 1 de 13. Refuerza: relación entre un suceso

y su contrario

1 En los siguientes experimentos se describe un suceso. Enuncia, para cada uno, el suceso contrario y por quésucesos elementales estaría compuesto:

a) Experimento: Se extrae una carta al azar de una baraja española y se observa el palo al que pertenece.

Suceso: A = “La carta es de oros”

b) Experimento: De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10, se extrae una bola.

Suceso: A = “La bola extraída tiene un número menor que 6”

c) Experimento: Se lanza un dado, con sus caras numeradas del 1 al 6, dos veces, y se anota la suma de laspuntuaciones obtenidas.

Suceso: A = “La suma obtenida es menor o igual que 10”

2 Se lanza un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, y se consideran los siguientes sucesos:

A = “salir par” B = “salir un número mayor que 3” C = {1, 2, 6}

Escribe los sucesos elementales que componen los siguientes sucesos:

A' B' C'

A « B A » B (A « B)'

(A » B)' A' » B' A' « B'


Pág. 1 de 14. Refuerza: cálculo de probabilidades sencillas

1 En un examen de Matemáticas aprueban 16 de los 28 alumnos de una clase. Calcula la probabilidad deque, elegido un alumno al azar, haya obtenido un aprobado.

Solución:

2 En una urna hay 5 bolas blancas, 6 bolas negras y 7 bolas rojas. Extraemos una bola al azar. Calcula la pro-babilidad de los siguientes sucesos:

A = “Extraer una bola blanca”

B = “No extraer una bola negra”

C = “Extraer una bola blanca o roja”

Solución:

3 En una urna hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una bola. Calcula la probabilidad de los siguien-tes sucesos:

A = “La bola extraída es múltiplo de 3” B = “La bola extraída no es múltiplo de 3”

C = “La bola extraída es par” D = “La bola extraída en menor que 8”

Solución:

4 Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente. Calcula la probabilidad de lossiguientes sucesos:

A = “La primera fue cara” B = “Ninguna fue cara”

Solución:


Pág. 1 de 15. Refuerza: distinción entre experiencias

dependientes e independientes

1 En los siguientes experimentos compuestos por dos experiencias, señala si estas son dependientes o inde-pendientes:

a) Al levantarme observo el día. Si está nublado, es muy probable que me lleve un paraguas, y si hace sol, espoco probable que lo lleve.

b) De una baraja de cartas sacamos una, anotamos el palo y la devolvemos al mazo. Extraemos una segundacarta y anotamos su palo.

c) De una baraja de cartas, extraemos dos de ellas, una tras otra y sin devolver ninguna al mazo, anotamoslos palos obtenidos.


Pág. 1 de 16. Refuerza: cálculo de probabilidades

con experiencias independientes

1 Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de “no obtener ninguna cara” y la de “obtener alguna ca-ra”.

2 Tenemos dos urnas. En la primera hay 10 bolas, de las que 3 son negras y 7 son blancas. En la segunda hay6 bolas: 4 rojas y 2 azules. Extraemos una bola de cada urna.

Calcula la de probabilidad de:

A = “sacar una bola negra y otra roja”

B = “sacar una bola blanca y otra azul”

3 De una baraja de cartas, Ana extrae una, la observa y la devuelve al mazo. Después, Juan repite el experi-mento. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

A = “Al menos uno de ellos saca un as”

B = “Ambos sacan oros”

C = “Ninguno obtiene espadas”

UNIDAD 1 Números enteros y racionales 2. Refuerza...

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