Ejercicios de números reales

Ejercicio nº 1.-

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

..020020002.1,9747372,3 3−

Ejercicio nº 2.-

Considera los siguientes números:

..131331333.2,22851,32

23 33−

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.

Ejercicio nº 3.-

Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

838383...2,32,515948

1323 3−

Ejercicio nº 4.-

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

837

14483352,75, 4−−

Ejercicio nº 5.-

Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

510

31333...2,21615872, 3 −

−

Potencias de exponente fraccionario

Ejercicio nº 1.-

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

aa

xx3 5

3 26 4 b)a) ⋅

Ejercicio nº 2.-

Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

2:2b)aaa) 5 373 ⋅

Ejercicio nº 3.-

Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

55

b)xxa)4 3

3 25 2 ⋅

Ejercicio nº 4.-

Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:

3 2

344 b)33a)

a

a⋅

Ejercicio nº 5.-

Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

xxaa :b)a) 4 53 2 ⋅

Intervalos y entornos:

Ejercicio nº 1.-

Expresa en forma de intervalo los números que verifican:

x − 4 ≤ 2

Ejercicio nº 2.-

Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad:

x − 5 ≤ 2

Ejercicio nº 3.-

Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:

x + 1≤ 4

Ejercicio nº 4.-

Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:

x + 2 ≥ 3

Ejercicio nº 5.-

Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:

x − 2≥ 5

Operaciones con radicales

Ejercicio nº 1.-

Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

5656

c) 45380b) 1521

4584a)

−

+−

Ejercicio nº 2.-

Halla y simplifica al máximo:

1222

c) 2432147b) 1012

4530a)

+−

Ejercicio nº 3.-

Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

34336

c) 18298b) 104518a)

+−⋅

Ejercicio nº 4.-

Efectúa y simplifica:

2322

c) 12248b) 23

272a)

+

+−

Ejercicio nº 5.-

Calcula y simplifica:

2323

c) 125345b) 125343

75a)

−

+−

Notación científica

Ejercicio nº 1.-

Los valores de A, B y C son:

547 1034, 102 10282, ⋅=⋅=⋅= − CBA

CABA

⋅+ :Calcula

Ejercicio nº 2.-

Calcula y expresa el resultado en notación científica:

4

101112

1021,10281024,1073,

−⋅

⋅+⋅−⋅

Ejercicio nº 3.-

a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por

término medio? Exprésalo en kilómetros.

Ejercicio nº 4.-

Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Ejercicio nº 5.-

Efectúa y expresa el resultado en notación científica:

( )12

825

1021013,1042,

−

−−

⋅

⋅+⋅

Uso de la calculadora Ejercicio nº 1.-

Halla con la calculadora:

a) √21973 b) (4,31 · 108) ∶ (3,25 · 10−4) + 7 · 1011

Ejercicio nº 2.-

Opera con la calculadora:

( ) ( )31596 1072,:10254,10283,b)62515a) ⋅⋅+⋅

Ejercicio nº 3.-

Utilizando la calculadora, halla:

4

675

1024,1082,1043, b)80716 a) −

−−

⋅⋅+⋅

Ejercicio nº 4.-

Halla, utilizando la calculadora, el valor de:

12

897

1052,10322,10255, b)38416 a) −⋅

⋅+⋅

Ejercicio nº 5.-

Obtén el valor de las siguientes expresiones, con ayuda de la calculadora:

3227 c)10642,1083,1029, b)73620 a) 51415124 lnlog +⋅−⋅+⋅ −−−

Ejercicios de polinomios

1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

         213x3 25x−3 33x + 1 √2 √

2 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

1 2x3 − 5x3 =

2 3x4 − 2x4 + 7x4 =

3 (2x3) · (5x3) =

4 (2x3 y2) · (5x3 y z2) =

5 (12x3) · (4x) =

6 (18x3 y2 z5) · (6x3 y z2) =

7 (2x3 y2)3 =

8 (2 x3 y2z5)5 =

9 3x3 − 5x3 − 2x3 =

10 (12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) =

11

3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1 x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2 2 + 7X2 + 2

3 1 − x4

4

5 x3 + x5 + x2

6 x − 2 x− 3 + 8

7

4 Escribe:

1 Un polinomio ordenado sin término independiente.

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3 Un polinomio completo sin término independiente.

4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

5 Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1 P(x) + Q (x)

2 P(x) − U (x)

3 P(x) + R (x)

4 2P(x) − R (x)

5 S(x) + R (x) + U(x)

6 S(x) − R (x) + U(x)

6 Multiplicar:

1 (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =

7 Calcula:

1

2 (x + 2)3

3 (3x - 2)3

4 (2x + 5)3

5 (3x - 2) · (3x + 2)

8 Dividir:

(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)

9 Divide por Ruffini:

(x3 + 2x +70) : (x+4)

10 Halla el resto de las siguientes divisiones:

1 (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2 (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10 ) : (x + 2)

11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1 (x3 − 5x −1) : (x − 3)

2 (x6 − 1) : (x + 1)

3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 )

4 (x10 − 1024) : (x + 2)

12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1 (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2 (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

4 (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

13 Factorizar:

1

2 xy − 2x − 3y +6 =

3 25x2 − 1=

4 36x6 − 49 =

5 x2 − 2x +1 =

6 x2 − 6x +9 =

7 x2 − 20x +100 =

8 x2 + 10x +25 =

9 x2 + 14x +49 =

10 x3 − 4x2 + 4x =

11 3x7 − 27x =

12 x2 − 11x + 30

13 3x2 + 10x +3

14 2x2 − x −1

14 Descomponer en factores y hallar las raíces de:

1 P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3

2 x3 − x2 − 4

3 x3 + 3x2 −4 x − 12

15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

16 Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

18 Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x= −2, y calcular las otras raíces.

19 Simplificar:

1

2

3

4

20 Operar:

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJERCICIOS DE ECUACIONES : DE PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO, BICUADRADAS, CON X EN EL DENOMINADOR Y CON RADICALES Ejercicio nº 1.- Resuelve esta ecuación:

(((( )))) − =1 1 1

3 2 1 22 2 3

x xx x

+ ++ ++ ++ + + + −+ + −+ + −+ + −

Ejercicio nº 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a)))) 4x2 −−−− 16 ==== 0

(((( )))) (((( ))))− −=

22 5 3 1 5 7 5b 1

3 2 6

x x x x++++ ++++) + +) + +) + +) + +

Ejercicio nº 3.- Resuelve:

(((( )))) (((( ))))− −− =

5 3 1 2 9 56 1 94 3 16 8

x xx x+ ++ ++ ++ +++++

Ejercicio nº 4.- Resuelve estas ecuaciones: a)))) x2 ++++ 3x −−−− 4 ==== 0

− =2

1 2 10b

3 3 9x x ) +) +) +) +

Ejercicio nº 5.- Resuelve la siguiente ecuación:

− = − −2 1 1 3

2 15 3 10 6

x x x x+ ++ ++ ++ +

Ejercicio nº 6.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a)))) 2x2 −−−− 32 ==== 0

− − −− =

22 1 1 1b

2 3 6x x x

))))

Ejercicio nº 7.- Resuelve la ecuación:

(((( )))) (((( ))))−− −− =

3 1 3 2 12 14 3 3 4

x xx x++++++++

Ejercicio nº 8.- Resuelve: a)))) 18x2 −−−− 2 ==== 0 b)))) 4((((5x ++++ 1))))2 −−−− 9 ==== 0 Ejercicio nº 9.- Resuelve:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))− = − −2 1 1

5 2 1 2 35 2 4

x x x+ ++ ++ ++ +

Ejercicio nº 10.- Resuelve estas ecuaciones: a)))) 3x2 −−−− 243 ==== 0 b)))) 2((((2x ++++ 1))))2 −−−− 3((((2x −−−− 1))))2 ++++ 5((((2x −−−− 1)))) ((((2x ++++ 1)))) ==== 0 Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

2

4 2

2 1 1 1a)

2 3 6b) 26 25 0

x x x

x x

− − −− − −− − −− − −====

− + =− + =− + =− + =

-

Ejercicio nº 12.- Resuelve las ecuaciones:

−a) 2 2

1 x 2 7b)

2 4

x x

x x

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −− =− =− =− =

++++

Ejercicio nº 13.- Resuelve:

21 2 10

a) 3 3 9

x x − + =− + =− + =− + =

4 2b) 48 49 0x x- - = Ejercicio nº 14.- Resuelve las ecuaciones:

a) 2 6 1 3

2 15b)

1 1 4

x x

x xx x

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −

Ejercicio nº 15.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( ) 2

4 2

2 5 3 1 5 7 5a) 1

3 2 6b) 3 10 8 0

x x x x

x x

+ −+ −+ −+ − + −+ −+ −+ −+ = ++ = ++ = ++ = +

− − =− − =− − =− − = Ejercicio nº16.- Resuelve:

2

a) 4 1 9 2 1

1 1 5b)

3 12

x x

x x

+ − − = −+ − − = −+ − − = −+ − − = −

+ =+ =+ =+ =

Ejercicio nº 17.- Resuelve la ecuacion: 2x4 + 9x2 – 68 = 0 Ejercicio nº 18.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

4 2a) 9 6 1 0

8b) 5

2

x x

xx

+ − + =+ − + =+ − + =+ − + =

+ =+ =+ =+ =

Ejercicio nº 19.-

Resuelve:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

4 2

a) 2 2 1 3 2 1 5 2 1 2 1 0

b) 4 25 0

x x x x

x x

+ − − + − + =+ − − + − + =+ − − + − + =+ − − + − + =

− =− =− =− =

Ejercicio nº 20.- Resuelve:

3

81a) 2

b) 4 1 3

1x

x x

− =− =− =− =

+ + − =+ + − =+ + − =+ + − = Ejercicio nº 21.- Resuelve:

21 2 10

a) 3 3 9

x x − + =− + =− + =− + =

4 2b) 48 49 0x x- - = Ejercicio nº 22.- Resuelve las ecuaciones:

a) 2 6 1 3

2 15b)

1 1 4

x x

x xx x

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −

Inecuaciones. Ejercicios

1 Resolver las siguientes inecuaciones

1

2

3

2 Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

2 −x2 + 4x − 7 < 0

3

3 Resuelve:

1 𝑥4 + 12𝑥3 − 64𝑥2 > 0

2 x4 − 25x

2 − 144 < 0

3 x4 − 16x

2 − 225 ≥ 0

4 Resolver las inecuaciones:

1

2

Ejercicios de ecuaciones y sistemas

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 = 0

2 −x2 + 4x − 7 = 0

3 12x2 − 3x = 0

4

2 Halla las soluciones de las ecuaciones:

1

2

3Resuelve:

1 x − 61x2 + 900 = 0

2 x − 25x + 144 = 0

4 Resuelve:

1

2

5 Hallar las raíces de:

1 2x − 7x + 8x − 3 = 0

2 x − x − 4 = 0

3 6x + 7x − 9x + 2 = 0

6 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

4

4 2

3 2

3 2

3 2

1

2

3

7 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean uales.

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que a h

, 4 y

15 Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus

solo en

a fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen

4

ig

8 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

9tení ace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

10 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

11 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 35. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

12 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

13 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

14 Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

16 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sítres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

17 El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

18 Halla un1184.

19 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6

o que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del de

% de las del oeste más del 60% de las de terror al

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiend

20 Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oesteamericano y terror. Se sabe que:

total las películas.

El 20% de las infantiles más el 60representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

 

 

 

MATEMÁTICAS B 141

Para practicar

1. Considera la función que a cada nº le asigna su cuadrado menos 1. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y 2. Calcula también los cortes con los ejes.

2. Considera la función que a cada nº le asigna su mitad más 3. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y 3. Calcula también los cortes con los ejes.

3. Considera la función que a cada nº le asigna su doble menos 5. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -2, -1 y 1. Calcula también los cortes con los ejes.

4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x)=-2x2+5x-6

b) f(x)=4x2

x2−

c) f(x)= 12x4 2 +−

d) f(x)= 20x4 2 +

e) f(x)=4x2

3

−

5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x)= 3x2x

−− b) f(x)=

3xx+−

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indica:

a) f(x)= ⎩⎨⎧

>+−≤+

1x2x1x2x

en x=1

b) f(x)=⎩⎨⎧

>+≤+

0x2x0x2x2

en x=0

c) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

en x=-1

d) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

en x=-1

7. Estudia la simetría de las funciones:

a) f(x)= x3+2x b) f(x)=2

2

x5

3x −

c) f(x)= 1x2 2 + d) f(x)= 1x1x

−+

e) f(x)=x2

1x4 2 + f) f(x)= x4-3x2-3

8. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica:

a) f(-2)

b) f(-3)

c) f(-1)

9. Calcula las TVM de las funciones de la gráfica en los intervalos [0,4] y [2,4].

a) b)

Funciones y gráficas

142 MATEMÁTICAS B

10. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía.

a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de 240 km?. En el depósito caben 40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito?.

b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más gasolina?. Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin gasolina?

c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros 200 km?. ¿Cuánta en todo el viaje?. ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía?.

11. María y Jorge son dos personas más o menos típicas. En la gráfica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 20 años

a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12?. ¿Cuándo superó Jorge los 45 kg?.

b) ¿A qué edad pesaban los dos igual?. ¿Cuándo pesaba Jorge más que María?, ¿y María más que Jorge?

c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años?. ¿En qué periodo creció cada uno más rápidamente?

12. El gráfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto.

a) ¿Cuál es la distancia recorrida?. ¿Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el 2º?. ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido?

b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche?. ¿En qué km adelantó el 2º al 1º?, ¿y el 1º al 2º?.

c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué tramo la velocidad de cada coche fue mayor?.

13. Las gráficas siguientes corresponden a las funciones I y II.

I) f(x)=x3-6x2+9x II) f(x)=x

1x2 +−

Calcula en cada una:

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e) Los máximos y mínimos.

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tienen?.

g) Los intervalos de concavidad y convexidad.

Funciones y gráficas

MATEMÁTICAS B 145

Autoevaluación

1. Calcula la imagen de x=0 en la función:

2. Calcula el dominio de la función:

3. ¿Cuál de los puntos siguientes: (1,-2) (3,-15) (4,-26) no pertenece a la gráfica de la función f(x)=-x2-3x+2?.

4. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta y=-0,25x-0,75.

5. Si y=f(x) es una función impar y f(3)=-2, ¿cuánto vale f(-3)?

6. La gráfica muestra el primer tramo de una función periódica de periodo 5 y expresión f(x)=-x2+5x (0≤x<5). Calcula f(28).

7. Averigua el valor de a para que la función sea continua en x=3.

8. Calcula la TVM[-3,0] de la función f(x)=-0,25x2-3x+1.

9. Determina el intervalo en que la función de la gráfica es creciente.

10. Un ciclista sale de un punto A hacia otro B distante 60 km a una velocidad constante de 30 km/h. A la vez otro ciclista sale de B en dirección a A, a 40 km/h. Observa la gráfica y calcula a cuántos km del punto A se cruzan en la carretera.

Funciones y gráficas

⎩⎨⎧

>≤−

=3x53x1x2

)x(f

4x

1x)x(f

2 −

+=

⎩⎨⎧

>≤+

=3x63xkx2

)x(f

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 1

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Cálculo de límites sobre la gráfica EJERCICIO 1 : Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

4

6

8

2

−26 82 4−4 −2−8 −6

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 2 : Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

4

6

8

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 2x

c)−→

( )xflim 2x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 3 : La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

Cálculo de límites inmediatos EJERCICIO 4 : Calcula los siguientes límites:

3x2x

4lima)

21x ++−→ 9xlimb) 2

2x−

→ xcoslimc)

2/x π→

1xx

3xlimd)

21x ++

−→

x36lime)2x

−→

xloglimf)1x→

+−

→ 4

x

2

xlimg)

32

2x 1x

2x3limh) +

−→

xtglimi)

4

πx→

( )2

2xx3limj) −

−→ ( )x21limk)

8x−+

−→ xsenliml)

2

πx→

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 2 Cálculo de límites e interpretación geométrica EJERCICIO 5 : Calcula los siguientes límites e interpreta geométricamente el resultado.

( )3

2

x x2

1x3lim)1

−

++∞→

1x

x2lim)2

2

3

x −

−−∞→

x35

x3lim)3

x ++∞→

x35

x3lim)4

x +−∞→

( )3x x1

1lim)5

−+∞→

2

3

x x

x3lim)6

−−∞→

xx

1lim) 7

20x −→

1x2x

2xxlim) 8

2

2

1x +−

−+→

2

0xx4lim) 9 −

→

6x2

1lim)10

3x −−

→

1x

1lim)11

21x +→

3x

5xlim)12

3x ++

−→

1x

3x2xlim)13

2

2

1x −

−+→

( )3

xx3x2lim)14 +−

+∞→

1x

x3x3lim)15

2

2

x −

++∞→

−+∞→

2

xx

2

xlim)16

2

4

x x1

xlim)17

++∞→ 18)

5x3

x4lim

2

2

2x +−

−→

19)2x

x 1lim

x 4→−∞

+−

4

4x

2x 3x20) lim

x 1→+∞

−+

EJERCICIO 6 : Calcular los siguientes límites:

a) 49x

3x2lim

27x −

−−→

b)

−−∞→

xx3xlim 2

x c)

7x2

1x2x3lim

2

x +++

∞→ d)

4x

2

4x 1x

xlim −→

−

e) 1x

11x2lim

21x −−−

→ f)

1x

x 1x2

1x2lim

+

∞→

−+

g) 2x

1

2x x2

2xlim

−

→

+ h)

4x4xx

8x4x2xlim

23

23

2x −−+−−+

→

i) 1xxx

1xlim

231x +−−−

→ j)

2x

1xlim

2x −+

→ k)

21x )1x(

4xlim

++

−→ l) x27x3x4lim 2

x−+−

+∞→

EJERCICIO 7 : Calcular los siguientes límites:

a) limx x

xx→

− +−4

23 24 48

4 b) lim

x x x

x x xx→

− +− + −1

3 2

3 2

2 14 12

10 27 18 c) lim

x a

x bx

x c

→∞

+++

d) lim

x

x xx→

−− −4 2

4

12

e) limx

xx→

−

− +2

2

2

4

3 5 f) lim

x x

x xx→

−− +2

3

2

4

3 2 g)

xx

1x5x2lim

3

2

x +−+

∞→ h)

3x

1x3lim

2

x ++

∞→

i)1x

3x2lim

3x −−

∞→ j)

34x

5xlimx −+

−∞→

k)x2

x 3x2

2xlim

++

∞→ l)

2

x

2

2

x 1x

1xlim

−+

∞→

m) xlim

→∞ x x x

2+ − n)

9x

27x9x3xlim

2

23

3x −−+−

→

EJERCICIO 8 : Calcula el límite cuando x → 3 de cada una de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos en cada caso:

( ) x23

xxfa)

3

−= ( )3x

xxfb)

2

−= ( )

9x

9x6xxfc)

2

2

−+−=

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 3 Estudio de la continuidad a partir de una gráfica EJERCICIO 9 : Dadas las funciones:

a) Di si son continuas o no. b) Halla la imagen de x = 1 para cada una de las cuatro funciones. EJERCICIO 10 : Dada la gráfica:

a) Di si f (x) es continua o no. Razona tu respuesta. b) Halla f (−1), f (0), f (2) y f (3). EJERCICIO 11 : ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2? a) b)

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad. EJERCICIO 12 : ( ):xfón e la funci gráfica dEsta es la

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

a) ¿Es continua en x = −2? b) ¿Y en x = 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 4 Estudio de la continuidad a partir de su expresión analítica EJERCICIO 13 : Averiguar los puntos e intervalos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) y = x

x x

+− +

5

5 62 b) y =

x

x x

+− +

5

5 62 c) y = x x2 5 6− +

EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente:

a) ( )

>−

≤−=

4xsi15x

4xsi3

1x

xf2

b) ( )

>−≤<−=

1xsi1x3

1x0six2xxf

2

c) ( )

>−<

=1xsi

2

1x3

1xsixxf

2

d) ( )

>≤−=

2xsi1

2xsi3xxf

2

e) ( )

=≠−=

0xsi1

0xsix2xf

2

f) ( )

≠−

==

0xsix1

0xsi1xf

2

EJERCICIO 15 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

≤

≤≤+

5> xsi 3

5<x3 si 13+2x-

3<x<1 si 1+2x

1x<2- si 1

-2<x6- si 3x

b) f(x) =

><≤+

<

1 x si 2

1x0 si xx

0 x si x

1

2 c) f(x) =

>+

<+

0 x si 3x

3

0 x si 2x

2

EJERCICIO 16 : Hallar lim f x

x→ +2( ) y lim f x

x→ −2( ) siendo

f(x)= ≥−

2< xsi 0

2 xsi x3

a) ¿ Existe lim f xx→2

( ) ?

b) Estudia su continuidad en el punto x = 2 EJERCICIO 17 : ( ) :1en x continua sea xf que parak de valor el Halla =

( )

=≠+

=1xsik

1xsi1x2xf

EJERCICIO 18 : Halla el valor de m para que f(x) =

>+≤−+1 x si 32x

1 x si 1mxx3 2

sea continua en todo R.

Asíntotas y ramas infinitas EJERCICIO 19 :Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:

a) ( )2x4

1xf

−= b) ( )

2xx

3xxf

2 −−+= c) ( )

( )2

2

2x

x2xf

+= d) ( )

2

xxxf

3 +−=

e) ( )3x

1xxf

3

+−= f) ( )

9x

xxf

2 −= g) ( )

1x2

x2xxf

23

+−= h) ( )

1x

2xxf

2

++=

i) ( )1x

x2xxf

2

4

++= j) ( )

x2

x31xf

−−= k) ( )

3

2

x

x1xf

+= l) ( )2x

xxf

+=

m) ( )x

3x4xf

2 −= n) ( ) xxxf 2 −=

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 1

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Cálculo de límites sobre la gráfica EJERCICIO 1 : Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

4

6

8

2

−26 82 4−4 −2−8 −6

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 2 : Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

4

6

8

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 2x

c)−→

( )xflim 2x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 3 : La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

Cálculo de límites inmediatos EJERCICIO 4 : Calcula los siguientes límites:

3x2x

4lima)

21x ++−→ 9xlimb) 2

2x−

→ xcoslimc)

2/x π→

1xx

3xlimd)

21x ++

−→

x36lime)2x

−→

xloglimf)1x→

+−

→ 4

x

2

xlimg)

32

2x 1x

2x3limh) +

−→

xtglimi)

4

πx→

( )2

2xx3limj) −

−→ ( )x21limk)

8x−+

−→ xsenliml)

2

πx→

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 2 Cálculo de límites e interpretación geométrica EJERCICIO 5 : Calcula los siguientes límites e interpreta geométricamente el resultado.

( )3

2

x x2

1x3lim)1

−

++∞→

1x

x2lim)2

2

3

x −

−−∞→

x35

x3lim)3

x ++∞→

x35

x3lim)4

x +−∞→

( )3x x1

1lim)5

−+∞→

2

3

x x

x3lim)6

−−∞→

xx

1lim) 7

20x −→

1x2x

2xxlim) 8

2

2

1x +−

−+→

2

0xx4lim) 9 −

→

6x2

1lim)10

3x −−

→

1x

1lim)11

21x +→

3x

5xlim)12

3x ++

−→

1x

3x2xlim)13

2

2

1x −

−+→

( )3

xx3x2lim)14 +−

+∞→

1x

x3x3lim)15

2

2

x −

++∞→

−+∞→

2

xx

2

xlim)16

2

4

x x1

xlim)17

++∞→ 18)

5x3

x4lim

2

2

2x +−

−→

19)2x

x 1lim

x 4→−∞

+−

4

4x

2x 3x20) lim

x 1→+∞

−+

EJERCICIO 6 : Calcular los siguientes límites:

a) 49x

3x2lim

27x −

−−→

b)

−−∞→

xx3xlim 2

x c)

7x2

1x2x3lim

2

x +++

∞→ d)

4x

2

4x 1x

xlim −→

−

e) 1x

11x2lim

21x −−−

→ f)

1x

x 1x2

1x2lim

+

∞→

−+

g) 2x

1

2x x2

2xlim

−

→

+ h)

4x4xx

8x4x2xlim

23

23

2x −−+−−+

→

i) 1xxx

1xlim

231x +−−−

→ j)

2x

1xlim

2x −+

→ k)

21x )1x(

4xlim

++

−→ l) x27x3x4lim 2

x−+−

+∞→

EJERCICIO 7 : Calcular los siguientes límites:

a) limx x

xx→

− +−4

23 24 48

4 b) lim

x x x

x x xx→

− +− + −1

3 2

3 2

2 14 12

10 27 18 c) lim

x a

x bx

x c

→∞

+++

d) lim

x

x xx→

−− −4 2

4

12

e) limx

xx→

−

− +2

2

2

4

3 5 f) lim

x x

x xx→

−− +2

3

2

4

3 2 g)

xx

1x5x2lim

3

2

x +−+

∞→ h)

3x

1x3lim

2

x ++

∞→

i)1x

3x2lim

3x −−

∞→ j)

34x

5xlimx −+

−∞→

k)x2

x 3x2

2xlim

++

∞→ l)

2

x

2

2

x 1x

1xlim

−+

∞→

m) xlim

→∞ x x x

2+ − n)

9x

27x9x3xlim

2

23

3x −−+−

→

EJERCICIO 8 : Calcula el límite cuando x → 3 de cada una de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos en cada caso:

( ) x23

xxfa)

3

−= ( )3x

xxfb)

2

−= ( )

9x

9x6xxfc)

2

2

−+−=

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 3 Estudio de la continuidad a partir de una gráfica EJERCICIO 9 : Dadas las funciones:

a) Di si son continuas o no. b) Halla la imagen de x = 1 para cada una de las cuatro funciones. EJERCICIO 10 : Dada la gráfica:

a) Di si f (x) es continua o no. Razona tu respuesta. b) Halla f (−1), f (0), f (2) y f (3). EJERCICIO 11 : ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2? a) b)

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad. EJERCICIO 12 : ( ):xfón e la funci gráfica dEsta es la

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

a) ¿Es continua en x = −2? b) ¿Y en x = 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 4 Estudio de la continuidad a partir de su expresión analítica EJERCICIO 13 : Averiguar los puntos e intervalos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) y = x

x x

+− +

5

5 62 b) y =

x

x x

+− +

5

5 62 c) y = x x2 5 6− +

EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente:

a) ( )

>−

≤−=

4xsi15x

4xsi3

1x

xf2

b) ( )

>−≤<−=

1xsi1x3

1x0six2xxf

2

c) ( )

>−<

=1xsi

2

1x3

1xsixxf

2

d) ( )

>≤−=

2xsi1

2xsi3xxf

2

e) ( )

=≠−=

0xsi1

0xsix2xf

2

f) ( )

≠−

==

0xsix1

0xsi1xf

2

EJERCICIO 15 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

≤

≤≤+

5> xsi 3

5<x3 si 13+2x-

3<x<1 si 1+2x

1x<2- si 1

-2<x6- si 3x

b) f(x) =

><≤+

<

1 x si 2

1x0 si xx

0 x si x

1

2 c) f(x) =

>+

<+

0 x si 3x

3

0 x si 2x

2

EJERCICIO 16 : Hallar lim f x

x→ +2( ) y lim f x

x→ −2( ) siendo

f(x)= ≥−

2< xsi 0

2 xsi x3

a) ¿ Existe lim f xx→2

( ) ?

b) Estudia su continuidad en el punto x = 2 EJERCICIO 17 : ( ) :1en x continua sea xf que parak de valor el Halla =

( )

=≠+

=1xsik

1xsi1x2xf

EJERCICIO 18 : Halla el valor de m para que f(x) =

>+≤−+1 x si 32x

1 x si 1mxx3 2

sea continua en todo R.

Asíntotas y ramas infinitas EJERCICIO 19 :Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:

a) ( )2x4

1xf

−= b) ( )

2xx

3xxf

2 −−+= c) ( )

( )2

2

2x

x2xf

+= d) ( )

2

xxxf

3 +−=

e) ( )3x

1xxf

3

+−= f) ( )

9x

xxf

2 −= g) ( )

1x2

x2xxf

23

+−= h) ( )

1x

2xxf

2

++=

i) ( )1x

x2xxf

2

4

++= j) ( )

x2

x31xf

−−= k) ( )

3

2

x

x1xf

+= l) ( )2x

xxf

+=

m) ( )x

3x4xf

2 −= n) ( ) xxxf 2 −=