Übungsbuch zur Finanzmathematik

Jürgen Tietze

Übungsbuch zur Finanzmathematik

Aufgaben, Testklausurenund ausführliche Lösungen

8., verbesserte Aufl age

Jürgen TietzeFachbereich WirtschaftswissenschaftenFH AachenAachen, Deutschlandtietze@fh-aachen.de

ISBN 978-3-658-09073-9 ISBN 978-3-658-09074-6 (eBook)DOI 10.1007/978-3-658-09074-6

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Vorwort zur 8.Auflage

Das vorliegende fmanzmathematische Übungsbuch dient zweierlei Zielsetzung: Zum einen soll es (als eigenständiges Übungsbuch) zur Festigung und Vertiefung des fi­nanzmathematischen Basiswissens und -könnens beitragen, zum anderen aber auch (in Ergänzung des Lehrbuches 1 zur Finanzmathematik) die Examensvorbereitungen für Hörerinnen und Hörer der Grundvorlesungen in Wirtschafts- und Finanzmathema­tik sowie Investitionen unterstützen.

Zur Erreichung insbesondere des letztgenannten Ziels enthält die Übungssammlung neben thematisch angeordnetem Übungsmaterial zusätzlich zahlreiche Testklausuren. Sie sind aus Originalklausuren (Dauer: Jeweils 2 Zeitstunden) entstanden und sollen den Studierenden neben Informationen über Umfang und Schwierigkeitsgrad die Mög­lichkeit bieten, im Selbsttest innerhalb begrenzter Zeit ihre Kenntnisse und Fertigkei­ten in den klassischen Gebieten der Finanzmathematik zu überprüfen (etwa durch Si­mulation der Klausursituationzu Hause oder in einer Lerngruppe).

Viele Aufgaben (im thematischen Teil der Übungssammlung) stammen aus dem Lehr­buch "Einführung in die Finanzmathematik" 1. Der besonders ausführliche Lösungsteil des vorliegenden Übungsbuches dient daher gleichzeitig als Lösungsbuch für die im Lehrbuch enthaltenen Übungsaufgaben (und dient ebenfalls als Lösungsbuchfür frü­here Auflagen des Lehrbuches). Das hiermit in 8. Auflage vorliegende Übungsbuch wurde erneut sorgfaltig durchgesehen, verbessert und an vielen Stellen ergänzt.

Die klassische Finanzmathematik ist - abgesehen von einigen Randproblemen sowie der notwendigen Beherrschung elementarmathematischen Kalküls -letzten Endes die Lehre eines einzigen wesentlichen Grundprinzips (nämlich des auf dem allgemeinen Verzinsungsvorgang beruhenden "Aquivalenzprinzips 'J, dessen Kenntnis undAnwen­dung hinreichend für eine erfolgreiche Bewältigung der Finanzmathematik ist.

Daher wird in dieser Übungssammlung besonderer Wert auf das grundlegende Äqui­valenzprinzip gelegt, etwa dadurch, dass in vielen Fällen gleichartige Problemstellun­gen lediglich unterschiedlich aufbereitet oder numerisch verändert werden - eben um auch für Bearbeiter, die noch nicht den fmanzmathematischen "Durchblick" besitzen, genügend Übungsmaterial bereitzustellen nach dem Erfahrungssatz, demzufolge eine Erkenntnis auch dadurch gewonnen werden kann, dass ein und diesselbe Sache mehr­fach und möglichst von verschiedenen Seiten aus betrachtet wird.

Aus demselben Grund wurden die Problemstellungen innerhalb der einzelnen Kapitel nicht immer streng nach sachlichen Gesichtspunkten geordnet. Eine derartige Aufga­benanordnung könnte schon allein auf grund der logischen Ablauffolge Lösungsansät­ze liefern, die nicht mit dem gestellten Problem zusammenhängen und die dem Bear­beiter möglicherweise nicht vorhandene Eigenerkenntnisse vortäuschen.

1 Tietze, J.: Einführung in die Finanzmathematik, Springer Spektrum Wiesbaden, 12. Auflage 2015

v

VI Vorwort

Zum Gebrauch des Übungsbuches:

Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zusätzlich zu jeder Aufgabennum­mer ist in kursiver Schrift die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch an­gegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 5.41 (5.3. 60)"um die laufende Aufgabe 41 aus Kapitel 5 dieses Übungsbuches und zugleich um die entsprechende Aufgabe 5.3.60 des Finanzmathematik-Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von Übungs- und Lehrbuch übereinstimmen, dürfte das Auffinden der entsprechenden Auf­gabenlLösungen des Lehrbuches wenig problematisch sein.

Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin.

Ein ~ an einernumerischen Lösung bedeutet, dass ein in der Aufgabe geforderter Vor­teilhaftigkeitsvergleich zugunsten der "lachenden" Alternative ausfällt.

Abkürzungen in eckigen Klammem, Z.B. [Alt2], beziehen sich auf das Literaturver­zeichnis am Schluss des Buches.

Gelegentlich wird in diesem Übungsbuch auf entsprechende Passagen (Formeln, Defi­nitionen, Regeln, Tabellen, Beispiele, Abbildungen, Bemerkungen) des Lehrbuches verwiesen, gekennzeichnet durch (z. B.) LB (7.4.7) oder LB Tab. 8.8.19 usw.

In einigen wenigen Fällen weicht die AufgabensteIlung einer Aufgabe dieses Übungs­buches von der entsprechenden Aufgabe des Lehrbuches geringfügig ab. Vor einer zeitraubenden Fehlersuche sollten daher zuvor die Aufgabentexte verglichen werden.

Nahezu sämtliche Effektivzinsermittlungen (insbesondere in Kap. 5 und 6 sowie in den Testklausuren) erfordern numerische Iterationsverfahren (etwa die Regulajalsi) zur Lösung der entsprechenden, teils recht komplexen Äquivalenzgleichungen. Ich habe die iterativ gewonnenen Lösungen (mit einem herkömmlichen elektronischen Ta­schenrechner) auf mehr als sechs Nachkomrnastellen genau ermittelt und danach auf vier bis zwei Nachkomrnastellen gerundet. Dabei wurden in aller Regel Zwischener­gebnisse mit voller Stellenzahl gespeichert und ungerundet weiterverarbeitet.

Je nach Baujahr und Genauigkeit der vom Leser verwendeten Rechengeräte sowie abhängig von der Anzahl bzw. Komplexität der Rechenschritte oder von der Rundung von Zwischenresultaten können beim Bearbeiten leichte Abweichungen von den hier angeführten numerischen Endergebnissen auftreten.

Sollten Sie gröbere Ungenauigkeiten, Ungereimtheiten oder schlicht den einen oder anderen Fehler entdecken, so würde ich mich sehr über Ihre diesbezügliche Rückmel­dung freuen, Z.B. via E-Mail: tietze@fh-aachen.de-ich werde jeder/jedem von Ihnen antworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein.

Zum Schluss gebührt mein Dank dem Verlag Springer Spektrum und hier besondere Frau Ulrike Schmickler-Hirzebmch flir ihre stets hilfreiche Unterstützung in den nun schon vielen Jahren erfolgreicher Zusammenarbeit.

Aachen, im März 20 15 Jürgen Tietze

Inhalt

Vorwort ............ . Abkürzungen, Variablennamen .

Voraussetzungen und Hilfsmittel . . . . . . . . . 1. 1 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lineare Verzinsung und Äquivalenzprinzip . 1. 3 Diskontrechnung . . . . . . . . . . . . . . .

2 Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsrechnung) . 2.1 Reine Zinseszinsrechnung und Äquivalenzprinzip 2.2 Gemischte, unterjährige, stetige Verzinsung 2.3 Abschreibungen . . . . . 2.4 Inflation und Verzinsung ...... .

3 Rentemechnung.............. 3.1 Standardprobleme (Rentenperiode = Zinsperiode) . 3.2 Auseinanderfallen von Renten- und Zinsperiode . 3.3 Renten mit veränderlichen Raten .....

4 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Standardprobleme der Tilgungsrechnung . . . . 4.2 Tilgungsrechnung bei unterjährigen Zahlungen

5 Die Ermittlung des Effektivzinssatzes in der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Grundlagen, Standardprobleme ........ . 5.2 Effektivzinsermittlung bei unterjährigen Leistungen.

6 Kurs- und Renditeberechnung bei festverzinslichen Wertpapieren .......... .

7 Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept ..

8 Derivative Finanzinstrumente - Futures und Optionen

9 Investitionen....

10 Testklausuren 1-22

Formelanhang .. Literaturhinweise

VII

V VIII

I 11 Aufgaben Lösungen

1 191

3 193 3 193

11 198 18 206

23 211 23 211 27 216 33 221 38 225

41 227 41 227 54 242 62 250

69 257 69 257 77 271

81 287 81 287 90 300

101 333

107 341

111 347

119 365

131 381

427 435

Vlll

Abkürzungen, Variablennamen

"- entspricht DM Deutsche Mark %,0/00 Prozent, Promille 360TM 360-Tage-Methode l+i Zuwachsfaktor $ Dollar I-i Abnahmefaktor 360TM 360-Tage-Methode e Eulersche Zahl ("" 2, 71828183) 96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.) € Euro

eff. effektiv A (äquivalente) Annuität EG Europäische Gemeinschaft (EU) A+,A- Aktie long, Aktie short et Investitionseinzahlung zum Ende a.H. auf Hundert der Periode t Abb. Abbildung etc. et cetera (und so weiter) AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht EVr Endvermögen bei Investition at Investitionsauszahlung zum EVu Endvermögen bei Unterlassung

Ende der Periode t evtl. eventuell At Annuität am Ende der Periode t

G Gewinn BEP Break Even Point Ge Gewinn der Long-Call-Position Bsp. Beispiel (analog: Gc-,Gp+,Gp-,GA+,GA) bzw. beziehungsweise gern. gemäß

ggf. gegebenenfalls c Dynamik-Faktor (= l+idyn ); Quo- GL Gegenleistung

tient zweier aufeinander folgender GmbH Gesellschaft mit beschränkter Glieder einer geometrischen Folge Haftung

C+,C- long call, short call Co (Emissions-) Kurs eines fest- H.l Halbjahr

verzinslichen Wertpapiers Co Kapitalwert einer Investition Prozentsatz, Zinssatz Co(i) Kapitalwertfunktion i* nomineller Zinssatz eines fest-ca. circa, ungefähr verzinslichen Wertpapiers C.p. ceteris paribus l.a. im allgemeinen Cn Rücknahmekurs eines festverzins- i.H. im Hundert

lichen Wertpapiers Iäqu äquivalenter Zinssatz Ct aktueller fmanzmathematischer ~d Tageszinssatz

Kurs (Preis) eines Wertpapiers Idyn Steigerungsrate, Dynamikrate Ct* aktueller Börsenkurs eines fest- Ieff Effektivzinssatz

verzinslichen Wertpapiers ~H Halbjahreszinssatz Iinfl Inflationsrate

d Differenz zweier aufeinander Ikon konformer Zinssatz folgender Glieder einer arithme- 1M Monatszinssatz tischen Folge incl. inklusive (einschließlich)

D Duration inom nomineller Zinssatz dCo (kleine) Kursänderung ~sg. insgesamt d.h. das heißt ~p Periodenzinssatz di (kleine) Zinssatzänderung IQ Quartalszinssatz

Abkürzungen, Variablennamen

~rea1

ISMA

1.

K K Ko

Kö Kap. KG Km Kn Kh kon. Kt

Realzinssatz relativer Zinssatz stetiger Zinssatz; Zinssatz nach Steuern International Securities Market Association Tilgungssatz

Jahr

Grundwert, Bezugsgröße Convexity, Konvexität (Anfangs-)Kapital, Barwert, Kreditsumme Barwert einer ewigen Rente Kapitel Konunanditgesellschaft Kontostand, Restschuld Endkapital, Endwert Endkapital nach Steuern konform Zeitwert einer Zahlung (sreihe) Restschuld am Ende der Periode t Restschuld zu Beginn d. Per. t Realwert eines im Jahr x verfüg­baren Kapitals auf Preisniveau­basis des Jahres y

I Liter L Leistung LB Lehrbuch "Einflihrung in die

Finanzmathematik" (siehe Vorwort) lfd. Nr. laufende Nununer log, In Logarithmus

M. Monat m.a.W. mit anderen Worten MD modifizierte Duration ME Mengeneinheit min Minute Mio. Millionen (106)

Mon. Monat Mrd. Milliarden (l09) MWSt. Mehrwertsteuer

n Laufzeit, Terminzahl N (d) Funktionswert der Standard­

Normalverteilung nom. nominell

IX

o.a. oben angeführt, oben angegeben o.ä. oder ähnlich(es) oHG offene Handelsgesellschaft

P P+,P-p.a.

Pc'Pp p.d. p.H. p.M. p.Q. p*

ProzentfiIß, ZinsfUß long put, short put pro anno (pro Jahr) Callwert, Putwert pro Tag pro Halbjahr pro Monat pro Quartal nomineller ZinsfUß eines fest­verzinslichen Wertpapiers

P Ang V Preisangabenverordnung Per. Periode

q Aufzinsungsfaktor (= Hi) q-n Abzinsungsfaktor qn Aufzinsungsfaktor Qu. Quartal

r interner Zinssatz einer Investition; (stetiger) Marktzinssatz

r unterjährige Rate, z.B. Monatsrate R Rate (nhöhe) IR Menge derreellen Zahlen R * äquivalente Ersatzrate,

Kontoendstand Rn Barwert einer (nachschüssigen)

Rente Ra Barwert einer ewigen Rente rel. relativ Rn Gesamtwert einer Rente am Tag

derletzten (n-ten) Rate, Endwert einer (nachsschüssigen) Rente

Rt Einzahlungsüberschuss (= et - at) zum Ende der Periode t

s Skontosatz S stock price, (aktueller) Aktienkurs Sem. Semester, Halbjahr s.o. siehe oben s. u. siehe unten sog. sogenannte a Volatilität

Laufzeit in Tagen, laufende Num­mer einer (Tilgungs-) Periode

X Abkürzungen, Variablennamen

T (Rest-)Laufzeit einer Investition; vs. versus, gegen Tilgungsrate bei Ratentilgung

Tab. Tabelle X exercise price, Ausübungspreis, TDM tausend DM Basispreis einer Option T€ tausend € Tt Tilgung arn Ende der Periode t Z Prozentwert TV Tilgungsverrechnung Z Zahlung

z.B. zum Beispiel u.a. unter anderem, und andere ZE Zeiteinheit usw. und so weiter Zn Zinsen

Zt Zinsen arn Ende der Periode t; v.H. vom Hundert Zahlung im Zeitpunkt t vgl. vergleiche ZV Zinsverrechnung