Tutorat Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

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Kai Vogtvogtkai@gmx.net

Termin3

WICHTIGES AUS TERMIN 2

Kategorien Regeln zur Kategoriebildung Scheinbare- vs. Wahre Kategoriegrenzen Offene Kategoriegrenzen

Häufigkeiten Relative Häufigkeit, absolute Häufigkeit und

kumulierte Häufigkeit Maße der zentralen Tendenz

Modalwert, Median und arithmetisches Mittel berechnen.

Voraussetzungen, Vorteile und Nachteile der Kennwerte kennen. 2

VERTEILUNGSKURVEN

3X-Achse: Variablenwerte ( )

Y-Achse: Personenzahl (Häufigkeit)

ix

N steht für die Gesamtstichprobe

n steht für eine definierte Teilstichprobe (Gruppe)

MODUS, MEDIAN, MITTELWERT UND VERTEILUNGSFORM

4

= Linksschiefe Verteilung = Rechtsschiefe Verteilung

Mo > AM Rechtssteile Verteilung

Mo < AM Linkssteile Verteilung

Mo = AM Symmetrische Verteilung

Verteilungsform I: Schiefe

Linkssteile VerteilungRechtssteile Verteilung

31

3

3

)(

x

N

i i

sN

xxa

Berechnung der Schiefe (a3):

a3<0 rechtssteile Verteilung

a3=0 symmetrische Verteilung

a3>0 linkssteile Verteilung

a3<0 a3>0

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Verteilungsform II: Exzess (Kurtosis)

41

4

4

)(

x

N

i i

sN

xxa

Berechnung der Kurtosis (a4):

a4<3 breitgipflige Verteilung (platykurtisch)

a4=3 normale Verteilung

a4>3 schmalgipflige Verteilung (leptokurtisch)

a4<3 a4>3Breitgipflige Verteilung Schmalgipflige Verteilung

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MAßE DER DISPERSION

Range Interquartilabstand AD-Streuung Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient

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RANGE

• Den Range bezeichnet man auch als Spannweite oder Variatonsbreite.

Für kontinuierliche Variablen:Range = maximaler Wert – minimaler Wert.

Für diskrete Variablen:Range = maximaler Wert – minimaler Wert + 1(bei nominalskalierten Variablen =

Kategorienanzahl)

• Voraussetzung: Nominalskalenniveau.

• Nachteile: Anfällig für Ausreißerwerte. Nur 2 Rohwerte fließen in Kennwert ein.

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Range

Minimum Maximum

Geschlecht 1 2

Wohnort 1 5

Optimismus 1 5

Alter 19 45

Neugierde 20 100

Größe 1.55 1.96

Wie groß ist der Range?

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BEISPIEL: RANGEBerechnet für diesen Datensatz den Range.

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rat

4 11,8 11,8 11,8

7 20,6 20,6 32,4

2 5,9 5,9 38,2

8 23,5 23,5 61,8

1 2,9 2,9 64,7

9 26,5 26,5 91,2

3 8,8 8,8 100,0

34 100,0 100,0

1,0

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5,0

Gesamt

GültigHäufigkeit Prozent

GültigeProzente

KumulierteProzente

Diskrete Variable: Range = max. Wert – min. Wert + 1→ Range 5 – 1 + 1 = 5

QUARTILE & INTERQUARTILABSTAND

• Quartile sind die Punkte einer Verteilung bezeichnet, welche die geordnete Liste von Werten in vier Bereiche mit jeweils 25% der Stichprobe einteilen.

Es gibt also 3 Quartile.

• Wegen dessen Ausreißeranfälligkeit wird statt des Range oft der Abstand zwischen dem 1. und dem 3. Quartil - der Interquartilabstand (IQA)–verwendet.

• Im Interquartilbereich als Maß für den „Kernbereich“ einer Verteilung liegen 50% der Stichprobe.

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BESTIMMUNG DER QUARTILE

1. Es wird der Median bestimmt (Q2).

2. Der Median ist Ausgangspunkt („Nullpunkt“) für die Bestimmung von Q1 (25%) und Q2 (75%).

3. Vom Md ausgehend, berechnet ihr für die untere bzw. obere Teilhälfte noch zweimal einen Median. Dies sind Q1 bzw. Q3.

• Wichtig für gerade Stichprobengrößen: Der Median wird selbst als „virtueller“ Messwert berücksichtigt.

• Anders ausgedrückt: Habe ich eine gerade Stichprobe, verwende ich zur Bestimmung von Q1 und Q3 dann die Formel für ungerade Stichproben.

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INTERQUARTILABSTAND

o Berechnung des Interquartilabstands

Kontinuierliche Variablen: IQA = Q3 – Q1

Diskrete Variablen: IQA = Q3 – Q1 (+1)

o Vorraussetzung: Ordinalskalenniveau.

• Vorteil: nicht so stark anfällig gegen Extremwerte

• Nachteil: Nur 50% des Gesamtbereichs der Rohwerte gehen in den Kennwert ein. 13

BEISPIEL:Geordnete Reihe der Messwerte:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5 (N = 34)

1. Median berechnen: Md = Q2 = (3 + 3)/2 = 3

2. Quartile Q1 und Q3 berechnen: Q1 = 2 und Q3 = 4

3. IQA berechnen: IQA = Q3 – Q 1= 4 – 2 = 2

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Virtueller Ausgangspunkt zur Bestimmung von Q1 und Q3.

2

122

NN xx

Md2

1 NxMd

AD-Streuung

N

xxAD

N

i i

1||

Formel der AD-Streuung:

Voraussetzung: Intervallskalenniveau.

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Vorteil: Alle Rohwerte fließen in den Kennwert mit ein.

Nachteil: Viele kleine Abweichungen haben denselben Einfluss wie ein großer abweichender Wert. Um Unterschiede besser darzustellen: Varianz bzw. Standardabweichung

VarianzDie Varianz als wichtigstes Dispersionsmaß beschreibt die mittlere quadrierte Abweichung vom Gesamtmittelwert.

Vorteile: Die Berechnung berücksichtigt jeden Einzelwert; es gibt keinen Informationsverlust.

Größere Abweichungen sind von höherer Relevanz.

Nachteil: Die Varianz ist durch die Bildung der Quadrate schwer zu interpretieren; sie ist ein unstandardisiertes Maß Daher wird oft die Standardabweichung verwendet

N

xN

i ix

1

22

)(

σ² : Varianz in der Population μ: Mittelwert in der Population

Formel der Varianz:

Voraussetzung: Intervallskalenniveau.

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StandardabweichungDie SD berechnet man schlicht durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Varianz.

Vorraussetzungen und Vorteile sind dieselben wie bei der Varianz.

N

xN

i i

xx

1

2

2)(

1

)(1

2

2

N

xxN

i i

xx Schätzung aus den Daten einer Stichprobe:

Berechnung aus den Daten der kompletten Population:

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Variationskoeffizient

18

100x

stkoeffizienVariations x

Gibt den Prozentsatz der Standardabweichung im Bezug auf den Mittelwert wieder.

Gut zum Vergleichen von mehreren Variabilitäten.

LATEINISCHE VS. GRIECHISCHE BUCHSTABEN: POPULATION ODER STICHPROBE

• Lateinische Buchstaben Stichprobe

• Griechische Buchstaben Population

• Dabei ist der wahre Wert in der Population in der Praxis nicht bekannt – hierzu müsste nämlich die gesamte Population erhoben werden.

• In der empirisch-sozialwissenschaftlichen Praxis erheben wir immer Stichproben.

• Somit schätzen wir aus Stichprobendaten auf Populationsdaten. Dies machen wir durch die Verwendung eines Dachs (=„Schätzer“) über den griechischen Buchstaben deutlich.

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DREI NOTATIONEN AUF EINEN BLICK

20

x̂

xxs Lateinischer

Buchstabe: Beschreibt die Stichprobe

Griechischer Buchstabe: Beschreibt die Population

Griechischer Buchstabe mit Dach: Schätzt aus Stichprobendaten den Populationswert (konservatives Vorgehen mit Freiheitsgrad: N- 1)

POPULATION ODER STICHPROBE?

1. Mich interessiert der Mittelwert der mathematischen Kenntnisse in diesem Tutorat. Ich erhebe mit einer 20-stufigen Skala die Daten jedes Teilnehmers.

Population

2. Forschungsfrage analog zu 1. Diesmal erhebe ich allerdings nur die Daten der Hälfte der Teilnehmer.

Stichprobe

3. Ich erhebe die mathematischen Kenntnisse aller Studenten eures Semesters. Mich interessiert nun der Mittelwert der deutschen Psychologiestudierenden in eurem Jahrgang.

Stichprobe 21

VARIANZ IN DER POPULATION

• Die Stichprobenvarianz ist kein erwartungstreuer Schätzer (im Gegensatz zum Mittelwert); sie unterschätzt die Populationsvarianz. Diese Abweichung ist umso stärker, je kleiner die Stichprobe ist.

• Die Formel für die Stichprobenvarianz korrigiert diese Unterschätzung.

• Freiheitsgrade: Beim Term im Nenner des Bruchs (N-1) spricht man von Freiheitsgraden.

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Populationsvarianz, die aus einer Stichprobe geschätzt wurde.1

)(ˆ 1

2

2

N

xxN

i i

x

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RECHENBEISPIELBerechnet für diesen Datensatz Varianz und Standardabweichung.

Anmerkung: Wir wollen eine Schlussfolgerung für euren gesamten Jahrgang ableiten.

rat

4 11,8

7 20,6

2 5,9

8 23,5

1 2,9

9 26,5

3 8,8

34 100,0

1,0

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5,0

Gesamt

GültigHäufigkeit Prozent

2,99 x

36,1134

74,44ˆ 2

x

17,136,1ˆ x

1

)(ˆ 1

2

2

N

xxN

i i

x

Kennwerte und Skalenniveaus

Maß Vorraussetzung

Häufigkeit / Prozente Nominal

Modalwert Nominal

Median Ordinal

Quartile Ordinal

arithmetisches Mittel Intervall

Varianz Intervall

Standardabweichung Intervall

Schiefe Intervall

Exzess Intervall

Bei einem jeweils höherem Skalenniveau darf ein Maß selbstverständlich auch eingesetzt werden!

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WICHTIGES AUS TERMIN 3

Verteilungsformen Schiefe & Exzess

Maße der Dispersion Welche Kennwerte gibt es… (Range, IQA,

Varianz, Standardabweichung usw.) Einfache Berechnungen Voraussetzungen, Vor und Nachteile

Stichprobe und Population Notationsunterschiede (Stichprobe Lateinische

Buchstaben, Population Griechische Buchstaben)

Freiheitsgrade (Warum?) 25

VIELEN DANK FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT!

Bis nächste Woche… Schreibt euch Fragen auf wenn ihr welche

habt… Fragen an vogtkai@gmx.net

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