Willkommen zuStatistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

LV 107.254Wintersemester 2019

Tijana LevajkovicMichael Messer

E105 Institut fur Stochastik und Wirtschaftsmathematik

Kommentare bitte an: M. Messer, michael.messer@tuwien.ac.atT. Levajkovic, tijana.levajkovic@tuwien.ac.at

Uberblick

• Die Vorlesung bietet eine Einfuhrung in die

• Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik) = Theorie des Zufalls

• Statistik = Beschreibung von Daten

• Das Hauptziel des Kurses ist es, grundlegende Konzepte derWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zu lernen.

• Der Schwerpunkt liegt auf

• Kernkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie

• Methoden der deskriptiven und inferentiellen Statistik

• Implementierung der statistischen Analysemethoden(Grundideen der Datenanalyse).

• TISS: Die Kursankundigung und -beschreibung https:

//tiss.tuwien.ac.at/course/courseAnnouncement.xhtml?dswid=3022&dsrid=539&courseNumber=107254&courseSemester=2019W

• TUWEL: Kursmaterial: https://tuwel.tuwien.ac.at/course/view.php?id=19570.

Begleitende Ubung

• Ubungen LV 107.369• Die Inhalte der Veranstaltung werden zunachst in den Vorlesungen

prasentiert, um dann in den Ubungsstunden angewendet und vertieft zuwerden.

• TISS: Die Kursankundigung und -beschreibung https:

//tiss.tuwien.ac.at/course/courseAnnouncement.xhtml?dswid=2989&dsrid=982&courseNumber=107369&courseSemester=2019W

• TUWEL: Kursmaterial: https://tuwel.tuwien.ac.at/course/view.php?id=19567.

Kursdaten

• Vorlesung

LV Nr. 107.254Do 08:30-10:00 Uhr HS 11 Paul Ludwik (ohne Pause)

• Ubungen

LV Nr. 107.3698 Gruppen, Di (bitte sehen Sie TISS)

Die erste Ubungsstunde ist am Di 08.10.2019.

Voraussetzungen

• Erfolgreicher Abschluss von STEOP.

• eine Teilnahme ohne STEOP ist nicht moglich!

• Den Einstufungstest bestehen

• Online-Test• TUWEL: Do 3.10.2019 & Fri 4.10.2019.

• 20 Multiple-Choice-Fragen

• fur jede Frage gibt es vier mogliche Antworten, nur eine ist korrekt

• mindestens 15 richtig beantwortete Fragen, um den Test zu bestehen

• Grundkenntnisse der linearen Algebra und der Analyse

• Zudem ist in die Ubungen ein Laptop mitzubringen, auf welchem

• das Statistikprogramm R https://cran.r-project.org

• das Interface RStudio https://www.rstudio.com/

installiert sind.

R

• Kostenlose Open Source Software

• Sehr einfach zu installieren

• Anleitung• R https://cran.r-project.org

• RStudio https://www.rstudio.com/

Wahrscheinlichkeit vs. Statistik

• Verschiedene Themen: beide uber zufallige Prozesse

• Wahrscheinlichkeitstheorie

• Logisch in sich abgeschlossen• Einige Regeln fur die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten• Eine richtige Antwort

• Statistik

• Sammeln/Beobachten experimenteller Data mit dem Ziel,probabilistische Schlussfolgerungen zu ziehen

• Keine einzige richtige Antwort

Wahrscheinlichkeit vs. Statistik: Beispiele

1. WahrscheinlichkeitsbeispielWir werfen eine faire Munze (gleiche Wahrscheinlichkeit fur Kopf oderZahl) 100 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 60 oder mehr Kopfezu bekommen?

• Es gibt nur eine Antwort (ungefahr 0.0284) und wir werden lernen,wie man sie berechnet.

? Der Zufallsprozess ist bekannt (Wahrscheinlichkeit von Kopfen ist 0.5).

? Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses (mindestens 60Kopfe) aus dem Zufallsprozess zu ermitteln.

2. Statistik BeispielWir haben eine Munze unbekannter Herkunft. Um zu untersuchen, ob siefair ist, werfen wir sie 100 Mal und zahlen die Anzahl der Kopfe.Angenommen, wir zahlen 60 Kopfe. Aus diesen Daten mussen wir alsStatistiker eine Schlussfolgerung (Inferenz) ziehen.• Es gibt viele Moglichkeiten, um fortzufahren. Verschiedene Statistiker konnen

unterschiedliche Schlussfolgerungen ziehen.

? Das Resultat ist bekannt (60 Kopfe).

? Ziel ist es, den unbekannten Zufallsprozess (die Wahrscheinlichkeit von Kopfen)zu erklaren.

In example 1.1 Der Zufallsprozess ist vollstandig bekannt

(Wahrscheinlichkeit von Kopfen ist 0.5).2 Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses (mindestens

60 Kopfe) aus dem Zufallsprozess zu ermitteln.In example 2., the outcome is known (60 heads) and the objective is toilluminate the unknown random process (the probability of heads).

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

• Viele verschiedene Anwendungen

• Medizin, Physik, Ingenieurwissenschaften, Sozialwissenschaften,Biowissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und Informatik

• Tests einer medizinischen Behandlung im Vergleicht zu einer anderer (oder einPlacebo)

• Maßnahmen der genetischen Verknupfung• die Suche nach Elementarteilchen• Machine Learning fur Vision oder Sprache• Glucksspiel Wahrscheinlichkeiten und -strategien• Klimamodellierung• Wirtschaftsprognosen• Epidemiologie• Marketing• ...

• Wir werden Spielzeugmodelle wie Munzen und Wurfel untersuchen.• Der Munzwurf ist ein realistisches Modell fur alle Situationen mit zwei

moglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg einer Behandlung, Wette usw.

Geplante Vorlesungsinhalte

I Wahrscheinlichkeitstheorie ... ungefahr die ersten 5 Wochen

• Zahlen (Multiplikationsregeln, Permutationen, Kombinatorik)

• Wahrscheinlichkeiten berechnen, der Satz von Bayes

• diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

• Erwartung und Varianz

• Unabhangigkeit

• Gesetz der großen Zahlen, zentraler Grenzwertsatz

• Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen.

Geplante Vorlesungsinhalte

II Statistik ... ungefahr die folgenden 10 Wochen

• Deskriptive Statistik

• numerische Zusammenfassungen

• elementare Statistiken, empirische Verteilung

• grafische Darstellungen (Haufigkeitstabelle, Diagramme, Histogramme,Boxplots, Streudiagramme).

• Inferenzstatistik• Konfidenzintervalle fur Mittelwert und Varianz

• Hypothesentest fur Mittelwert und Varianz, p-Wert fur diese Tests

• Nichtparametrische Tests, Varianzanalyse.

• Lineare Regression• Korrelation

• einfaches lineares Modell

• Regressionsgerade, Bestimmheitsmaß.

Literatur

L. Fahrmeir, C. Heumann, R. Kuunstler, I. Pigeot, G. Tutz

Statistik – Der Weg zur Datenanalyse.Springer, Berlin Heidelberg(als online Ressource in der TU Bibliothek verfuugbar)

J. Hedderich, L. Sachs

Angewandte Statistik – Methodensammlung mit R.Springer, Berlin, Heidelberg(als online Ressource in der TU Bibliothek verfuugbar)

N. Sharpe, R. De Veaux, P. Vellemann

Business Statistics.Pearson, Boston.

G. Kersting, A. Wakolbinger

Elementare Stochastik.Birkhaauser, Basel(als online Ressource in der TU Bibliothek verfuugbar)

M. Messer, G. Schneider

Statistik: Theorie und Praxis im Dialog.Springer, Berlin(als online Ressource in der TU Bibliothek verfuugbar)

W. Gurker

Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.TU-Verlag, Vienna(kann im grafischen Zentrum kaauflich erworben werden)

U. Krengel

Einfuuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.Vieweg Wiesbaden

Benotung

• Es wird eine Abschlussprufung geben, die auf demKursmaterial basiert.• Multiple-Choice-Fragen• Fur jede Aufgabe gibt es vier Antwortmoglichkeiten.

Genau eine Antwort ist korrekt.• Die Bearbeitungszeit betragt 120 Minuten• Erlaubt ist ein nichtprogammierbarer Taschenrechner und

ein zweiseitig handbeschriebenes A4-Blatt.• Computer, Smartphones, Tablets, andere Notizen, Bucher usw. sowie

Diskussionen und Konsultationen sind verboten!

• Es gibt drei Prufungstermine:1. Prufungstermin WS2019: Mi, 05.02.2020 um 14 Uhr

2. Prufungstermin WS2019: Mi, 04.03.2020 um 14 Uhr

3. Prufungstermin WS2019: Mi, 10.06.2020 um 15 Uhr

• Anmeldung uber TISS

Sprechzeiten

• Sprechzeiten• nach Vortragen und nach Vereinbarung

• Probleme & Fragen

tijana.levajkovic@tuwien.ac.at

michael.messer@tuwien.ac.at

Alternative in Sommersemester

• Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie• LV 107.273

• Sommersemester 2020

• Die TISS-Kursbeschreibunghttps://tiss.tuwien.ac.at/course/courseDetails.xhtml?courseNr=107273&semester=2020S&dswid=4469&dsrid=352

Wahrscheinlichkeitstheorie

Zahlen: Beispiele

(1) Faire Munze

Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Kopf in 3 Wurfen einer fairenMunze zu erhalten?

• Antwort

• Wir listen die acht moglichen Ergebnisse auf:

TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH

• Drei Ergebnisse haben genau einen Kopf

TTH, THT, HTT

• Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Wir haben

P(ein Kopf in 3 Wurfen) =Anzahl der Ergebnisse mit 1 Kopf

Gesamtzahl der Ergebnisse=

38

Zahlen: Beispiele

(2) Spielkarten: Pokerhande

• Ein voller Kartensatz besteht aus 52 Karten:• 13 Werte in hierarchischer Ordnung: 2, . . . 9, 10, J, Q, K, A• 4 Farbwerte: ♥,♠,♦,♣

• Pokerhande• bestehen aus 5 Karten• One Pair (ein Paar) bezeichnet zwei wertgleiche Karten neben drei weiteren• Beispiele: 5♠, 5♥, 8♦, 10♣, Q♥

• Die Wahrscheinlichkeit einer Hand mit einem Paar ist:

(a) weniger als 5%(b) zwischen 5% und 10%(c) zwischen 10% und 20%(d) zwischen 20% und 40%(e) großer als 40%.

Wir werden auf diese Frage zuruckkommen!

Zahlen: Ziel

• Um die genaue Wahrscheinlichkeit zu finden, arbeiten wir mit Mengen.Außerdem mussen wir die Anzahl der Elemente in jeder dieser Mengenzahlen.• Unser Ziel ist es, Techniken zum Zahlen der Anzahl der Elemente einer

Menge zu lernen.

• Wir haben festgestellt, dass alle moglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich waren und haben dies verwendet, um eineWahrscheinlichkeit durch Zahlen zu finden.

• Der Grundsatz:Angenommen, es gibt n mogliche Ergebnisse fur ein Experiment und jedesist gleich wahrscheinlich. Wenn es k wunschenswerte Ergebnisse gibt, ist dieWahrscheinlichkeit eines wunschenswerten Ergebnisses k/n.

HU Frage: Konnen Sie sich ein Beispiel vorstellen, bei dem die moglichenErgebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind?

Mengen

• Eine Menge S ist eine Sammlung von Elementen.• x ∈ S ... ein Element x in der Menge S• A ⊂ S ... die Menge A ist eine Teilmenge von S• ∅ ... die Nullmenge• Ac = S\A = x : x < A ... Komplement• A ∩ B = x : x ∈ A und x ∈ B ... Schnittmenge• A ∪ B = x : x ∈ A oder x ∈ B ... Vereinigungsmenge• A\B = x : x ∈ A und x < B ... Differenz• A4B = (A\B) ∪ (B\A) ... Symmetrische Differenz• |A| ... Anzahl der Elemente in A

Einige Eigenschaften:

• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A• A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∩ S = A, A ∪ S = S• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)• Komplementgesetze: A ∪ Ac = S, A ∩ Ac = ∅, (Ac)c = A, ∅c = S, Sc = ∅• De Morgansche Regeln: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Venn-Diagramme

• Venn-Diagramme bieten eine einfache Moglichkeit, festgelegte Vorgangezu visualisieren.

Beispiel

• Beginnen Sie mit einer Menge S aller naturlichen Zahlen unter 20.Betrachten Sie zwei Teilmengen

A = die Menge aller ungeraden ZahlenB = die Menge aller naturlichen Zahlen, teilbar durch 3

Schauen Sie sich verschiedene Set-Operationen an.• Schreiben Sie die Menge aller durch 6 teilbaren Zahlen in Form von A und B.

• Was ist Ac ∪ B? Zustand in ”Worten” und als Venn-Diagramm.

Beispiel

• Beginnen Sie mit einer Menge S aller naturlichen Zahlen unter 20.Betrachten Sie zwei Teilmengen

S= 1, 2, . . . , 18, 19A = aller ungeraden Zahlen= 1, 3, 5, . . . , 17, 19B = aller naturlichen Zahlen, teilbar durch 3= 3, 6, 9, 12, 15, 18

Schauen Sie sich verschiedene Mengen-Operationen an.• Schreiben Sie die Menge aller durch 6 teilbaren Zahlen in Form von A und B.

aller naturlichen Zahlen, teilbar durch 6

= aller geraden Zahlen, teilbar durch 3

= Ac ∩ B

• Was ist Ac ∪ B? Zustand ”in Worten” und als Venn-Diagramm?

Ac ∪ B = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

= alle Zahlen entweder gerade oder durch 3 teilbar

Die Produktmenge

• Das Produkt der Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare

A× B = (a, b) : a ∈ A und b ∈ B

• Beispiel

B× 1 2 3 41 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

A 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

A ×B = 1, 2, 3× 1, 2, 3, 4

Zahlen

1 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion

|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|

• Beispiel:

• Eine Band besteht aus Sangern und Gitarristen• 7 Leute singen S• 4 spielen Gitarre G• 2 beides S∩ G

Wie viele Leute sind in der Band?

Große der Band = |S|+ |G|− |S ∩ G| = 7 + 4 − 2 = 9

Zahlen

1 Produktregel (Multiplikationsprinzip)

• Wenn es n Moglichkeiten gibt, Aktion 1 und anschließend m Moglichkeiten,Aktion 2 auszufuhren, gibt es n ·m, um Aktion 1 und anschließend Aktion 2auszufuhren.

• Seien n = 3 und m = 2

Um eine von a1, a2, a3︸ ︷︷ ︸Aktion1

UND eine von b1, b2︸ ︷︷ ︸Aktion 2

zu wahlen

ist das gleiche wie eine von a1b1, a1b2, a2b1, a2b2, a3b1, a3b2︸ ︷︷ ︸Aktion1, Aktion2

zu wahlen

• Beispiel:• Es gibt 8 Teilnehmer im 400m-Finale. Auf wie viele Arten konnen Gold-,

Silber- und Bronzemedaillen vergeben werden? 8 · 7 · 6 = 330 Arten

Fragen

HU DNA besteht aus Sequenzen von Nukleotiden: Adenin (A), Thymin (T),Guanin (G) and Cytosin (C).

(1) Wie viele DNA-Sequenzen der Lange 3 gibt es?(2) Wie viele DNA-Sequenzen der Lange 3 gibt es ohne Wiederholungen?

HU Anna will nicht grun and rot zusammen tragen.Sie denkt, Schwarz und Jeans passen zu allem.Hier ist ihre Kleidung:

• Hemden: 4R, 5B, 2G

• Pullover: 3B, 2R, 1G

• Hose: 3J, 2B.

Wie viele verschiedene Outfits kann sie tragen?Hinweis: Ein Baumdiagramm ist eine einfache Moglichkeit, eine Antwortdarzustellen.

Permutationen

• Die Dinge in eine Reihe bringen = Ordnung ist wichtig• Auf wie viele Arten konnen wir das tun?

• abc and cab sind verschiedene Permutationen von a, b, c

• Alle moglichen Permutationenvon a, b, c:

abc, acb, bac, bca, cab, cba

Insgesamt 3! = 6 Moglichkeiten

• Wie viele Permutationen von a, b, c, d, e, f , g, h, i gibt es?

Es gibt 9! Moglichkeiten

• Die Produktregel besagt, dass die Anzahl der Permutationen einerMenge von k -Elementen entspricht

k! = k · (k − 1) · · · · · 3 · 2 · 1

Permutationen von k aus einer Menge von n

• Geben Sie alle Permutationen von 3 Elementen aus a, b, c, d an.

abc abd acb acd adb adcbac bad bca bcd bda bdccab cad cba cbd cda cdbdab dac dba dbc dca dcb

... 24 Permutationen

• Wie viele Permutationen von 8 aus einer Menge von 15 gibt es?

Kombinationen

• Auswahl von Teilmengen - Ordnung ist nicht wichtig

• Auf wie viele Arten konnen wir das tun?

• Alle Kombinationen von 3 Elementen aus a, b, c, d sinda, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d.

Insgesamt 4 Moglichkeiten

Insgesamt(4

3

)= 4 Moglichkeiten

• Die Anzahl aller Kombinationen von k aus einer Menge von n ist(n

k

).

• Wie viele Permutationen von 3 aus einer Menge von 4 gibt es?

Permutationen und Kombinationen

abc acbd bac bca cab cba a, b, cabd adb bad bda dab dba a, b, dacd adc cad cda dac dca a, c, dbcd bdc cbd cdb dbc dcb b, c, d

Permutationen Kombinationen

4P3 = 3! ·(4

3

)= 24 4C3 =

(43

)

Fragen

(1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, um bei 10 Wurfen mit einer fairenMunze genau 3 mal Kopf zu erhalten?

(103

)= 120

(2) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit genau 3 mal Kopf zu erhalten?(10

3 )210 = 120

1024 = 0.117

Wahrscheinlichkeit

• Wir verwenden die folgende Notation/Interpretation:• Zufallsexperiment• Ω ...Menge aller moglichen Ausgange...Ergebnismenge (Stichprobenraum)

• ω ∈Ω ... Elementarereignisse

• A ⊆ Ω ... Ereignis• ∅ ... unmogliches Ereignis• Ω ... sicheres Ereignis• Ac =Ω\A ... komplementares Ereignis• A∩ B, A∪ B zweier Ereignisse A, B ... sind wieder Ereignisse• A∩ B = ∅ ... A und B sind disjunkt (unvereinbar)

• Wahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeitsvertreilung) P: P(Ω)→ [0, 1]Axiome:• P(Ω) = 1• P(A) > 0 fur alle A• P(A∪ B) = P(A) + P(B) fur alle disjunkten A, B

• Eigenschaften von P• P(Ac) = 1 − P(A), speziel P(∅) = 0• P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B) ..weitere Details nachste Woche...

Danke fur Ihre Aufmerksamkeit!