Turunan Fungsi

MODUL 3TURUNAN FUNGSIKalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*

Modul V : Turunan Fungsi

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*TURUNAN FUNGSITurunan fungsi f ditulis f adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :jika limitnya adaf(x)f(x+h)xx+hf(x+h)-f(x)hyxNotasi dan pengertian turunan fungsiGradien garis singgungKecepatan sesaatLaju massa per satuan waktuLaju perubahan panas per satuan waktuPerubahan entalpi akibat perubahan temperaturPerubahan tekanan akibat perubahan volume


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Contoh Menghitung Turunan:Jawab :Hitung f(x)f(x+h) = 3(x+h)2 4(x+h)+6 = 3x2 + 6xh + 3h2 4x 4h + 6 f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 4h = 6x - 4


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Menghitung TurunanGrafik fungsi f(x)Y=4x-x2Y=4-2xY=2xY=2Y=5-(x-3)2Y=1.5x24x+6Y=3x-4Y=-2(x-3)


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Rumus Dasar Turunan Fungsiy=uv y' = u' v + uv'Contoh-contoh(1). y=5x4 + 5x - 10(2). y = (x4 + 10)(x5 5)u=x4+10u=4x3v=x5 5v=5x4 y' = u' v + uv = (4x3)(x55)+(x4+10)(5x4)u=x3+4u=3x2v=x4 + 3v=4x3


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Aturan RantaiMisalkan diberikan, y = (x4 + 3)6 xu=x4+3y=u6u=g(x)y=f(u)Rumus Umum

y=f(u), u = g(x) y=f(g(x))Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7xu=x4+1v=4+3u5y=v7u=g(x)v=h(u)y=f(v)Rumus Umum

y=f(v), v = h(v), u = g(x) y=f{h[g(x)]}


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*SOAL LATIHAN


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Rumus Dasar Turunan TrigonometriContoh-contohHitunglah y dari : y=x4 sin 3xJawab u=x4, v=sin 3xu=4x3, v=3 cos 3xy = u v + uv = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3xHitunglah y dari :Jawab u=x, v=x+sec2xu=1, v=1+2sec2x tan x


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Hitunglah y dari : y = cos4(x2 + 1)Jawab: y= [cos(x2+1)]4xu=x2+1v=cos uy=v4= 4(cos u)3 {sin(x2+1) } (2x)= 4 [cos(x2+1)]3 {sin(x2+1)} (2x) Hitunglah y dari : y = cos(x2 + 1)4Jawab: xu=x2+1v=u4y=cos v= (-sin u4){4(x2+1)3}(2x)= -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x)Hitunglah y dari :Jawab: xv=u4w=sec vy=w3


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi-fungsi berikut ini.6. y = sin(2 3x + x3) 7. y = cos(4 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x)y = sin(x2) cos2 x y = (1 + x2)5 sec(1 + x2) y = tan(x2 + 1)512. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2 x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2))y = (3x + x3)4 sin2 x y = sec3(2x x2)6 y = sin3[cos5(x 3x2)]18. y = sin3 x tan4 x 19. y = sec3 x tan2 x 20. y = cos3 x cot4 x


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Penurunan Secara ImplisitPersamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi-------------------------------------------------------------------------------------------------(1). y = x3 sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 3xy2 = 3x2y Implisit------------------------------------------------------------------------------------------------- Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah :Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 3xy2 = 3x2y Jawab :


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi

TurunanNotasix5sin 2xPertamay 5x42 cos 2xKeduay 5(4x3)- 4 sin 2x Ketigay 20(3x2)- 8 cos 2xKeempaty(4) 60(2x)16 sin 2xKelimay(5)120 (1)32 cos 2xKe-ny(n)


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari : Tentukan rumus turunan orde-n dari :


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Soal latihan Khususx+baySoal 1.Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari x+baSoal 2.Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*Deferensial dan HampiranDiferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dxHubungan antara diferensial dan turunan adalah :1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan : Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial.Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx. Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*HampiranPerhatikanlah sketsa berikut ini xx+xf(x)f(x+x)dyySoal-soalSebelum tangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter.Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak.Jika x mendapat tambahan x, maka y mendapatkan tambahan sebesar y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana y = f(x + x) f(x). Jadi :

f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f (x) x


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*FUNGSI TRANSENDENTFUNGSI LOGARITMA ASLIt=1t=xtyRMenurut definisi integral tentu :A(R) = 0, jika x = 1A(R) > 0, jika x >1A(R) < 0, jika x < 1DefinisiFungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh,Sifat-sifat Logaritma AsliApabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka :(1). ln 1 = 0(2). ln ab = ln a + ln b

Modul IX Fungsi Transendent

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkanJika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, makaContoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)Jawab :Ambil, u = x2 + 4x + 5. Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3)Jawab :Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3) Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3)Maka :


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Grafik Fungsi Logaritma

sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu :Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0 Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0.Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = 1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0 Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempatContoh grafik fungsi logaritmay=ln xy = x ln xyx


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Contoh Grafik Y = 100 x2 ln x


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Diferensial LogaritmikMenghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit

Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab :ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5 = 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x)Diferensial secara implisitContoh : Hitung dy/dx dari JawabDiferensial secara implisit


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*FUNGSI EKSPONENSIAL ASLIFungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh :

y = exp(x) = ex x = ln y

Sifat-sifat eskponensial asli :(1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0(2). ln(exp x) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1(4). ln e = 1(5). ea eb = ea+b (6). (ea)b = eabyy = ln xy=xy=exSketsa grafik


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Rumus turunanContoh : Hitunglah dy/dx dariJawabMisalkan, u = x4 ln x, y = eu Maka :Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari JawabDengan aturan rantai, dihasilkan


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e0.5x


Soal-soal latihanHitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari :


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi :(1). y = sin1x x = sin y(2). y = cos1x x = cos y(3). y = tan1x x = tan y (4). y = sec1x x = sec y (5). y = csc1x x = csc y(6). y = cot1x x = cot y

Catatan :(i). cos1x = arc cos x(ii). cos1x (cos x)1 Grafik Fungsi Invers Trigonometriy=tan1 xy=sin1x yx


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x2 sin1x + x Jawab :


Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent*Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x2 tan1x x ln(1+ x2 ) Jawab := 4x tan1x ln(1+ x2) Contoh Hitunglah turunan dari

Jawab :y = sec1v


Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi*SOAL-SOAL LATIHANTentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,


Turunan Fungsi

Documents

Transcript of Turunan Fungsi