Limit dan turunan fungsi
-
Upload
vanny-febian -
Category
Education
-
view
2.930 -
download
142
Transcript of Limit dan turunan fungsi
06/05/2015
1
LIMIT FUNGSI
&
TURUNAN FUNGSI
Vanny Febian
LIMIT FUNGSI
06/05/2015
2
1. Definisi Limit FungsiLimit fungsi merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus diferensial dan
integral. Limit bersama-sama dengan kalkulus, fungsi, dan sebagainya masuk
dalam satu cabang matematika yang disebut matematika analisis.
Limit fungsi (nilai batas) π¦ = π π₯ adalah nilai yang didekati fungsi itu,
apabila π₯ mendekati nilai tertentu. Ini berarti nilai limit bukanlah nilai yang
sebenarnya, melainkan nilai pendekatan saja.
Limit fungsi π(π₯) untuk π₯ mendekati π, ditulis
limπ₯βπ
π π₯ .
Limit fungsi π(π₯) untuk π₯ ,mendekati β, ditulis
limπ₯ββ
π π₯ .
β adalah lambang yang menyatakan bilangan yang
lebih besar dari bilangan mana saja.
Contoh :
1. limπ₯β2
π₯ + 1 = 3
Ini berarti jika π₯ mendekati 2, maka π₯ + 1 mendekati 3.
2. limπ₯ββ
1
2π₯2+3= 0
Hal ini karena jika π₯ mendekati β,
maka 1
2π₯2+3semakin kecil dan
mendekati 0.
06/05/2015
3
2. Limit Fungsi Aljabar
1. Jika π π = π, maka limπ₯βπ
π π₯ = π
2. Jika π π =π
0, maka lim
π₯βππ π₯ = β
3. Jika π π =0
π, maka lim
π₯βππ π₯ = 0
4. Jika π π =0
0, maka proses penyelesaian
bentuk ini bisa dengan beberapa cara, yaitu :
A. Limit mendekati π, dengan a β π .
Limit fungsi π(π₯) untuk π₯ mendekati π biasa ditulis limπ₯βπ
π(π₯).
Untuk menentukan nilai limπ₯βπ
π(π₯)dapat digunakan cara :
A. Pemfaktoran
Metode ini umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar pada fungsi pecahan.
Langkah-langkanya adalah menyederhanakan bentuk pecahan dengan memfaktorkannya.
limπ₯βπ
π(π₯)
π(π₯)= lim
π₯βπ
π₯βπ π»(π₯)
π₯βπ π(π₯)
= limπ₯βπ
π»(π₯)
π(π₯)
=π»(π)
π(π)
B. Merasionalkan bentuk akar
Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk
difaktorkan, maka agar pecahan dapat disederhanakan,
pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar
sekawannya.
Contoh :
Tentukan nilai dari limπ₯β1
π₯β1
π₯β1
Jawab : limπ₯β1
π₯β1
π₯β1= lim
π₯β1
π₯β1
π₯β1β
π₯+1
π₯+1
= limπ₯β1
(π₯β1)( π₯+1)
π₯β1
= limπ₯β1
π₯ + 1
= 1 + 1 = 2
06/05/2015
4
3. Limit Mendekati Tak Hingga
1. Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi
Untuk jenis fungsi pecahan dengan π₯ mendekati β, maka digunakan
suatu metode dengan membagi pembilang (π π₯ ) dan penyebut (π π₯ )dengan π₯ pangkat tertinggi.
2. Mengubah bentuk π π₯ β π π₯ menjadi bentuk pembagian sehingga
diperoleh bentuk limit :
limπ₯ββ
π(π₯)
π(π₯)
limπ₯ββ
π π₯ β π π₯ = limπ₯ββ
π π₯ β π π₯ βπ π₯ + π π₯
π π₯ + π π₯
= limπ₯ββ
π’(π₯)
π£(π₯)Dengan :
π’ π₯ = π2 π₯ β π2 π₯
π£ π₯ = π π₯ + π(π₯)
4. Limit Suku Banyak (Polinomial)
Jika π(π₯) dan π(π₯) adalah suku banyak, maka :
1. limπ₯βπ
π π₯ = π π , π β πΉ
2. limπ₯βπ
π(π₯)
π(π₯)=
π(π)
π(π)
06/05/2015
5
3. Teorema Limit
Jika π suatu konstanta, πdan π fungsi-fungsi yang
mempunyai limit untuk
π₯ β π dengan π β πΉ ,
maka berlaku :
a. Jika π π₯ = π, maka limπ₯βπ
π π₯ = π
b. Jika π π₯ = π₯, maka limπ₯βπ
π π₯ = π
c. limπ₯βπ
π β π π₯ = π β limπ₯βπ
π(π₯)
d. limπ₯βπ
π π₯ Β± π π₯ = limπ₯βπ
π(π₯) Β± limπ₯βπ
π(π₯)
e. limπ₯βπ
π π₯ β π π₯ = limπ₯βπ
π(π₯) β limπ₯βπ
π(π₯)
f. limπ₯βπ
π π₯
π π₯=
limπ₯βπ
π(π₯)
limπ₯βπ
π(π₯)untuk lim
π₯βππ(π₯) β 0
g. limπ₯βπ
π π₯ π = limπ₯βπ
π(π₯)π
untuk π β π©
h. limπ₯βπ
ππ π₯ = π lim
π₯βππ(π₯)
i. limπ₯βπ
[π π₯ ]π
π=π
limπ₯βπ
π(π₯)π= π lim
π₯βππ π₯
π
a
4. Limit Fungsi Trigonometri
b. Limit Fungsi Sinus :
1) limπ₯β0
ππ₯
sin ππ₯=
π
π
2) limπ₯β0
sin ππ₯
ππ₯=
π
π
3) limπ₯β0
sin π₯ = 0
4) limπ₯βπ
sin π₯ = sin π
a. Limit Fungsi Tangen :
1) limπ₯β0
ππ₯
tan ππ₯=
π
π
2) limπ₯β0
tan ππ₯
ππ₯=
π
π
3) limπ₯βπ
tan π₯ = tan π
06/05/2015
6
TURUNAN FUNGSI
1. Definisi Turunan
Diferensial sering juga disebut turunan. Turunan dapat ditemukan dalam
bidang matematika, sains, ekonomi, dan sebagainya. Contoh permasalahan yang
dapat diselesaikan dengan diferensial adalah cara menentukan percepatan suatu
kendaraan bermotor yang sudah diketahui rata-ratanya
Turunan fungsi π(π₯) dinotasikan dengan πβ²(π₯). Jika
πβ²(π₯) ada, maka :
πβ² π₯ = limββ0
π π₯ + β β π(π₯)
β
06/05/2015
7
2. Arti Fisis dan Arti Geometri Turunan di Suatu Titik
a. Arti Fisis
Secara fisis, turunan fungsi π(π₯) di π₯ = π merupakankecepatan sesaat dari sebuah benda atau titik yang bergerakmengikuti kurva π¦ = π(π₯) pada saat π₯ = π.
π£ = limββ0
π π+β βπ(π)
β
Secara geometris, turunan fungsi π(π₯) di π₯ = π merupakan gradien garis
singgung kurva π¦ = π(π₯) di titik yang berabsis π₯ = π. Gradien tali busur
tersebut adalah :
π =π π + β β π(π)
π + β β π=π π + β β π(π)
β
b. Arti Geometris
Sehingga gradien garis singgung tersebut adalah:
π = limββ0
π π + β β π(π)
β
06/05/2015
8
3. Turunan Fungsi Aljabar
Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak mengenal kata laju perubahan,
seperti pada tanaman, pertumbuhan anak, pertumbuhan penduduk, laju inflasi
dan masih banyak lagi.
Secara matematis, rumus laju laju perubahan nilai suatu fungsi di π₯ = πdinotasikan dengan πβ² π₯ yang didefinisikan sebagai :
πβ² π₯ = limββ0
π π₯ + β β π(π₯)
β
Bentuk limit di atas disebut dengan πππππ£ππ‘ππ atau
turunan pertama fungsi π(π₯) dan ditulis πβ²(π₯). Proses
mencari derivatif disebut ππππππππ πππ.
Rumus-rumus turunan, antara lain :
a. Jika π π₯ = π, maka πβ² π₯ = 0
b. Jika π π₯ = π₯, maka πβ² π₯ = 1
c. Jika π π₯ = ππ₯π, maka πβ² π₯ = πππ₯πβ1, a, n β πΉ
d. Jika π π₯ = π(π₯) Β± β(π₯), maka πβ² π₯ = πβ²(π₯) Β± ββ²(π₯).e. Jika π π₯ = π(π₯) β β(π₯), maka πβ² π₯ = π π₯ β ββ² π₯ + β(π₯) β πβ²(π₯)
f. π π₯ =π(π₯)
β(π₯), β π₯ β 0 π₯ β πΉ. Maka πβ² π₯ =
β π₯ βπβ² π₯ βπ π₯ βββ² π₯
[β π₯ ]2
g. π π₯ = [π π₯ ]π, maka πβ² π₯ = π β π π₯ πβ1 β πβ²(π₯)
Jika π¦ = π(π₯) , maka turunannya dinotasikan
dengan π¦β² = πβ²(π₯). Leibniz memberikan notasi
lain untuk turunan, yaitu :ππ¦
ππ₯=
π
ππ₯π¦ =
π
ππ₯π(π₯).
06/05/2015
9
4. Turunan Fungsi Trigonometri
Dengan menggunakan definisi fungsi turunan,
a. Jika π π₯ = sin π₯, maka πβ² π₯ = cos π₯b. Jika π π₯ = cos π₯, maka πβ² π₯ = βsin π₯c. Jika π π₯ = tan π₯, maka πβ² π₯ = sec2 π₯
d. Jika π π₯ = cot π₯, maka πβ² π₯ = βcsc2 π₯e. Jika π π₯ = sec π₯, maka πβ² π₯ = sec π₯ β tan π₯f. Jika π π₯ = csc π₯, maka πβ² π₯ = βcsc π₯ β cot π₯
5. Aturan Rantai untuk Mencari Turunan dari
Komposisi Fungsi
Jika π’ adalah fungsi dalam π₯, π£ adalah fungsi dalam π’,
dan π¦ adalah fungsi dalam π£ , dimana π’, π£, dan π¦terdiferensialkan, maka berlaku :
ππ¦
ππ₯=ππ¦
ππ£βππ£
ππ’βππ’
ππ₯
06/05/2015
10
6. Persamaan Garis Singgung Kurva
Secara geometris turunan fungsi π¦ = π(π₯) di π₯ = π merupakan
gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang berabsis π₯ = π.
Ini berarti terdapat kurva π¦ = π(π₯) dan titik π΄(π, π) terletak pada
kurva tersebut, sehingga persamaan garis singgung kurva
π¦ = π(π₯) di titik π΄ adalah :
Dengan : π = πβ² π =ππ¦
ππ₯
π¦ β π = π(π₯ β π)
7. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Jika fungsi π kontinu dan terdiferensialkan dalam interval πΌ, maka :
a. π(π₯) naik dalam interval πΌ jika
πβ² π₯ > 0, untuk setiap π₯ β πΌ
b. π π₯ turun dalam interval πΌ jika
πβ² π₯ < 0, untuk setiap π₯ β πΌ
06/05/2015
11
8. Nilai StasionerApabila fungsi π¦ = π(π₯) kontinu dan diferensiabel, maka π(π)dikatakan nilai stasioner dari π(π₯) jika dan hanya jika πβ² π = 0,
sedangkan titik (π, π π ) dinamakan titik stasioner.
π < π π = π π > π
+ 0 β
maksimum
a. Jenis-jenis nilai stasioner
1. Nilai πβ²(π₯) di sekitar π₯ = πNilai πβ²(π₯) bertanda positif, kemudian bernilai
nol di π₯ = π , dan berganti tanda menjadi
negatif. Dikatakan bahwa π mempunyai
πππππ πππππ ππππ πππ’π π(π).
2. Nilai πβ²(π₯) di sekitar π₯ = π
Nilai πβ²(π₯) bertanda negatif, kemudian bernilai nol di π₯ = π, dan
berganti tanda menjadi positif. Dikatakan bahwa π mempunyai
πππππ πππππ ππππππ’π π(π).
π < π π = π π > π
β 0 +
Minimum
π < π π = π π > π
β 0 β
Belok
3. Nilai πβ²(π₯) di sekitar π₯ = πNilai πβ²(π₯) bertanda negatif, kemudian
bernilai nol di π₯ = π , dan tandanya
menjadi negatif kembali. Dikatakan
fungsi π mempunyai titik belok π(π).
06/05/2015
12
4. Nilai πβ²(π₯) di sekitar π₯ = π
Nilai πβ²(π₯) bertanda positif, kemudian bernilai nol do π₯ = π, dan
tandanya kembali menjadi positif. Dikatakan bahwa fungsi
mempunyai titik belok horizontal di titik (π, π π ) dan (π, π π ).
π < π π = π π > π
+ 0 +
Belok
b. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval Tertutup
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi
dalam suatu interval tertutup, dapat digunakan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-
nilai π₯ yang termasuk dalam interval.
2. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung
interval.
3. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil
adalah nilai minimum dan nilai terbesar
adalah nilai maksimum.
06/05/2015
13
c. Titik belok
Titik (π, π π ) dikatakan titik belok dari π(π₯), jika :
1. πβ² π = 02. πβ²β² π = 0, dimana πβ²β²(π₯) adalah turunan
pertama dari πβ²(π₯) atau turunan kedua dari
π(π₯)
Terima [email protected]