MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2...
![Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
15 Maret 2017
![Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/2.jpg)
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/3.jpg)
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/4.jpg)
12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah
• Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah
![Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.
Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
T(x,y)
![Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/6.jpg)
Fungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) ϵ R.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
(x,y)
f
z =f(x,y)
![Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/7.jpg)
Catatan
Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f.
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.
Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.
Jawab:
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
221),( yxyxf
![Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/9.jpg)
Grafik Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan
{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ϵ D}
di ruang R3.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
![Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/10.jpg)
Latihan
Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
22:),( yxyxfz
![Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/11.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)
![Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/12.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
xy
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Petakontur
x
y
![Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/13.jpg)
Latihan 1
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 – y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya(dalam satu sistem koordinat).
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
![Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/14.jpg)
Latihan 2
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
![Page 15: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/15.jpg)
12.2 TURUNAN PARSIALMA1201 MATEMATIKA 2A
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
• Menentukan turunan parsial dari fungsi duapeubah di titik sembarang
![Page 16: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/16.jpg)
Mengukur Laju Perubahan dalam ArahSejajar dengan Sumbu-x atau Sumbu-y
Diketahui fungsi dua peubahz = f(x,y), bayangkan grafiknyaspt pada gambar di samping.
Bila kita berada di suatu titikpada permukaan tsb (bayang-kan di titik puncaknya) danbergerak sejajar dengansumbu-x, berapakah lajuperubahan ketinggian-nya?3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
P
x
y
z
![Page 17: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/17.jpg)
Turunan Parsial terhadap x
Jika y konstan, katakan y = y0, maka z = f(x,y0) merupakanfungsi dari x saja. Turunannyadi x = x0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapx di (x0,y0) dan dilambangkandengan fx(x0,y0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
P
x
y
z
.),(),(
lim),( 0000
000
h
yxfyhxfyxf
hx
![Page 18: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/18.jpg)
Turunan Parsial terhadap y
Jika x konstan, katakan x = x0, maka z = f(x0,y) merupakanfungsi dari y saja. Turunannyadi y = y0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapy di (x0,y0) dan dilambangkandengan fy(x0,y0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
P
x
y
z
.),(),(
lim),( 0000
000
k
yxfkyxfyxf
ky
![Page 19: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh
Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2. Maka,
fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.
Di titik (3,4),
fx(3,4) = -6; fy(3,4) = -8.
Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arahsejajar sumbu-y daripada dalam arahsejajar sumbu-x.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
![Page 20: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/20.jpg)
Turunan Parsial Kedua
Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahdapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.
Karena ada dua turunan parsial pertama, fx danfy, dan masing-masing mempunyai dua turunanparsial, maka kita akan mendapatkan empatturunan parsial kedua, yaitu
fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
![Page 21: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh
Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2.
Turunan parsial pertamanya adalah
fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.
Turunan parsial keduanya adalah
fxx(x,y) = -2; fxy(x,y) = 0.
fyx(x,y) = 0; fyy(x,y) = -2.
Catatan. fxy dan fyx disebut sebagai turunanparsial campuran. Secara umum, fxy ≠ fyx.3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
![Page 22: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/22.jpg)
Soal
1. Diketahui fungsi dua peubah
(a) Tentukan turunan parsial pertamanya.
(b) Tentukan turunan parsial keduanya dan periksaapakah kedua turunan parsial campurannya sama.
2. Diketahui fxy = fyx = 0. Tentukan rumus paling umum yang mungkin untuk f(x,y).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
.1),( 22 yxyxfz
![Page 23: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022012309/5a787e3d7f8b9aa2448cc548/html5/thumbnails/23.jpg)
Fungsi Harmonik
Fungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bilamemenuhi persamaan Laplace: fxx + fyy = 0.
Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:
1. f(x,y) = x3y – xy3.
2. F(x,y) = ln(x2 + y2).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23