Cara Melakukan Turunan Fungsi Implisit

8/19/2019 Cara Melakukan Turunan Fungsi Implisit

1/8

ra Melakukan Turunan Fungsi Implisit

am kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x2 -3x), mudah

nggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi

plisit ) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y sa salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x

2 + y

2 - 5x + 8y + 2xy

2 = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda.

ngan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan mult

iabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!

an

etode 1 dari 2: Menurunkan Persamaan-Persamaan Sederhana dengan Cepat

1.

1

Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x2 + y

2 - 5

+ 2xy2 = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turu

fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persama

sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.

o Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x2 + y

2 - 5x + 8y + 2xy

2 = 19 memiliki dua

x: x

2

dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, sepert

http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit


2/8

x2 + y

2 - 5x + 8y + 2xy

2 = 19

(Bawalah turun pangkat 2 dalam x2 sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

2x + y2 - 5 + 8y + 2xy

2 = 0

Iklan

2.

2

Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah Anda

selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan te

kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jik

Anda menurunkan y2, maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk

sementara.

o Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy

2 = 0. Kita akan

melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

2x + y2 - 5 + 8y + 2xy

2 = 0

(Bawalah turun pangkat 2 dalam y2 sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-

masing suku).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2= 0

http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit


3/8

3.

3

Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan s

suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi unt

turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g

× g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g.[1]

Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling

membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g2), mensubstitusikan suku pembila

untuk f dan suku penyebut untuk g.[2]

o Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2 = 0, kita hanya memiliki satu suku yang memi

dan y — 2xy2. Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk

menurunkan seperti berikut:

2xy2 = (2x)(y2) —

set 2x = f and y2 = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

(f × g)' = (2x)' × (y2) + (2x) × (y

2)'

(f × g)' = (2) × (y2) + (2x) × (2y(dy/dx))

(f × g)' = 2y2 + 4xy(dy/dx)

o Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 +

4xy(dy/dx) = 0

http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-1http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-1http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-1http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-2http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-2http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-2http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-2http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-1


4/8

4.

4

Sendirikan (dy/dx). Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persama

(dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikali

oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian.[3]

Taktik ini dapat memudahk proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian b

dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).

o Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 seperti

berikut:

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0

(2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0

(2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y2 - 2x + 5

(dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

(dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Iklan

etode 2 dari 2: Menggunakan Teknik-Teknik Lanjut

http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-3http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-3http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-3http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#_note-3


5/8

1.

1

Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Selamat! Anda sudah menurunkan persam

Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan i

untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Asisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).

o Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di at

Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x dan -4 untuk y, diselesaikan seperti berikut

(dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

(dy/dx) = (-2(-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)(dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

(dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

(dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))(dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, atau 0,6875.

http://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#/Berkas:Do-Implicit-Differentiation-Step-5.jpghttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#/Berkas:Do-Implicit-Differentiation-Step-5.jpghttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisithttp://id.wikihow.com/Melakukan-Turunan-Fungsi-Implisit#/Berkas:Do-Implicit-Differentiation-Step-5.jpg


6/8

2.

2

Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting u

dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menya

bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk sosoal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan ind

yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.

o Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x2 + x) sebagai bagian dari soal tur

fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x2 + x) + y

3 = 0. Jika kita membayangkan sin(3x

sebagai f(x) dan 3x2 + x sebagai g(x) , kita dapat mencari turunannya seperti berikut:

f'(g(x))g'(x)

(sin(3x2 + x))' × (3x2 + x)'

cos(3x2 + x) × (6x + 1)

(6x + 1)cos(3x2 + x)



7/8

3.

3

Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa

kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua

variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misa jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini deng

menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kit

menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).

o Misalnya, katakan kita mencoba menurunkan x3z

2 - 5xy

5z = x

2 + y

3.

o Pertama, ayo turunkan terhadap x dan masukkan (dz/dx). Jangan lupa untuk menerapkan aturan hasil ka

diperlukan!

x3z

2 - 5xy

5z = x

2 + y

3

3x2z

2 + 2x

3z(dz/dx) - 5y

5z - 5xy

5(dz/dx) = 2x

3x2z

2 + (2x

3z - 5xy

5)(dz/dx) - 5y

5z = 2x

(2x3z - 5xy

5)(dz/dx) = 2x - 3x

2z

2 + 5y

5z

(dz/dx) = (2x - 3x2z

2 + 5y

5z)/(2x

3z - 5xy

5)

o Sekarang, lakukan hal yang sama untuk (dz/dy)

x3z

2 - 5xy

5z = x

2 + y

3

2x3z(dz/dy) - 25xy

4z - 5xy

5(dz/dy) = 3y

2

(2x3z - 5xy5)(dz/dy) = 3y2 + 25xy4z



8/8

(dz/dy) = (3y2 + 25xy

4z)/(2x

3z - 5xy

5)

Cara Melakukan Turunan Fungsi Implisit

Documents

Transcript of Cara Melakukan Turunan Fungsi Implisit