Tema_1_2_TSnvbn

10/02/2014

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Tema1.2.CONCEPTOSBSICOSDESEALES,SECUENCIASYSISTEMASCONTINUOSYDISCRETOS17752216TeoradeSistemasGradoenIng.ElectrnicayAutomticaIndustrial/GradoenIng.Elctrica.Profesor:LuisPayCastellDepartamento:IngenieradeSistemasyAutomtica.

Tema1.2.Conceptosbsicosdeseales,secuenciasysistemascontinuosydiscretos.

ndice:

1. Sealesysecuencias.2. Propiedades,operacionesytransformacionesconseales

ysecuencias.3. Sistemascontinuosydiscretos.4. Respuestaimpulsional/secuenciadeponderacin.

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Soportedelainformacin. Unsistematransmiteinformacindesdelaentradahaciaalasalida Modificacindelasvariablesdelsistema. Ejemplocoche.

1.Sealesysecuencias.

Lassealesysecuenciasdescribenycuantificanestosfenmenosfsicos.

Ejemplos: VariacineneltiempodeVc(t)enuncircuitoRC. Variacindelaposicindelaceleradoryvelocidadresultantedelcoche. Variacionesenunasealdevoz(presinacstica)ysealelctricaresultante

enunmicrfono.

Matemticamenteloexpresaremoscomounafuncindeunaomsvariablesindependientes.

EnTeoradeSistemas trataremosfuncionesdeunavariable(tiempo). Diferenciaentresealesysecuencias:

Sealesx(t):Tomanunvalorparatodoinstantedetiempo(ej.sealdevozovoltajeenuncondensadorVc(t)).

Secuenciasx[k]:Slodefinidaseninstantesdetiempoconcretos(ej.valoresburstiles).


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Representacingrfica:

Unasecuenciapuederepresentar: Unfenmenoenquelavariableindependienteesintrnsecamentediscreta

(ej.datosdemogrficos,valoresburstiles). Muestreodesealescontinuas(necesarioporelusodelordenadorcomo

elementodecontrol).Seestudiarenelbloque3.


Clasificacindelossist.dependiendodelsoportedelainformacin: Sistemascontinuos(bloque2).

Laentradaylasalidasonseales.

Sistemashbridos(bloque3).Combinanambossoportesdeinformacin.


Sistemasdiscretos(bloque3). Laentradaylasalidasonsecuencias.

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Operacionesconsealesx(t).

2.Propiedades,operacionesytransformacionesconsealesysecuencias.

Sumadeseales x(t)=y(t)+z(t) Productoporunaconstante y(t)=cx(t) Acotacin Unasealx(t) estacotadasi Retardo xR(t) esunasealretardadadex(t) si

T eselretardo(segundos).

ctxt,/c Ttxtxt, R

Operacionesconsealesx(t).


Sealesperidicas:Unasealx(t) esperidicasiexisteunvalor x(t) esperidicaconperiodoT.

Ejemplos: CircuitoLCideal. Sistemasmecnicossinprdidasporfriccin.

tTtxtxT /0

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Sealescaln: Eslasealqueproducimosalalimentar

unaparato. Puedeestarretardado(ent=t0).Sealimpulso: Tomaunvalorinfinitoent=0 yceroen

todoslosdems. Parasimularunimpulso,nosbasaremos

enunpulsoconunTmuypequeo.Relacionesentreescalneimpulso:

0100

tsitsi

tu

dttdut t dttu 0

Tiposimportantesdeseales.

0rea=1

Secuenciasx[k]


Lassecuenciassepuedenformarpormuestreodeseales: Sefijaunperiododemuestreo,T,siguiendoalgncriterioysetomanmuestras.

,0,0,0,7,4,1

,3,2,1,0

kxxxxxkx

x elemento.k ordenqueocupaenlasecuencia:k=0,1,2,3,

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ckxk,/c nkxkxk, R

OperacionesconSecuenciasx[k] Sumadesecuencias x[k]=y[k]+z[k].Sesumaelementoaelemento. Productoporunaconstante,c y[k]=cx[k] Acotacin Unasecuenciax[k] estacotadasi Retardo xR(t) esunasealretardadadex(t) si

(n =retardo)

Secuenciaretrasadaconn=4.


Secuenciaperidica:Unasecuenciax[k] esperidicasiexisteunvalor

x[k] esperidicaconperiodoT.T debeserunenteropositivo.

kTkxkxT /0OperacionesconSecuenciasx[k]

T=6

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0100

ksiksi

k

0100

ksiksi

ku

1 kukuk

k

iiku

Secuenciaescalnunitario:

Secuenciaimpulso:

Relacionesentreescalneimpulso:

Tiposimportantesdesecuencias.

Primeradiferenciadeu[k]

3.Sistemascontinuosydiscretos. Sistemafsico: Interconexindeelementosodispositivos.

Ejemplos:Automvil,motor,plantaqumica Mediantelasentradasinfluimosenelcomportamientodelsistema.Lasseales

deentradasontransformadasyprovocanqueelsistemarespondadealgnmodo Sealesdesalida(Relacincausa efecto).

Ejemplo:Vehculo,sistemadealtafidelidad,etc. Lossistemasfsicossoncontinuos:u(t),y(t) sonseales. Elestudiodelossistemasdiscretosesnecesarioporqueelelementodecontrol

habitualeselcomputador. LaTeoradeSistemas estableceunaseriedeherramientasgeneralesparaanlisisydiseodesistemasdediferentetipo(ladescripcinmatemticaesmuysimilar).

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Ejemplosistemacontinuo:CircuitoRC:

Ejemplosistemacontinuo:Vehculo:

Lasecuacionesdiferenciales(modelomatemtico)deambossistemastienenlamismaestructura,apesardesersistemasfsicosmuydistintos.(E.D.lineal1ordenconcoeficientesconstantes).

Sepuedenusarmtodoscomunesparasuanlisis.

tVRC

tVRCdt

tdVSc

c 11

3.Sistemascontinuosydiscretos.

tFm

tvmdt

tdv 1

Ejemplodesistemadiscreto:Balancedeunacuentabancariaalfinaldecadames:

Ejemplodesistemadiscreto:Evolucindelapoblacindepeces:

Lasecuacionesendiferencias(modelomatemtico)querepresentanambossistemastienenlamismaestructura,apesardesersistemasmuydistintos.(Ecuacinendiferenciasde1ordenconcoeficientesconstantes).

Ojo:Modelodeunsistema=idealizacindesufuncionamiento.

kukykyky 101.01


kckpkpkp 13.01

y[k]=saldoalfinaldelmesk.u[k]=ingresosduranteelmesk.Modelomatemtico=Ecuacinendiferencias.

p[k]=poblacinalfinaldelaok.c[k]=capturasduranteelaok.

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3.Sistemascontinuosydiscretos. Tiposdesistemascontinuos: Relacin funcional entre las

seales de entrada y de salida y(t) = f(u(t))

Modelo del sistema.

Sistemasestticos:Valordesalidaenelinstantet1 slodependedeu(t1)y(t1) =f(u(t1)) Ejemplo:y=2u+1.

Sistemasdinmicos. Lamayoradesistemassondinmicos. Lossistemasdinmicostienencapacidaddememoria.Lasalidadependedelaentradaactualy

anteriores Acumulaninformacin. Sistemasdinmicoscausales:

Lasalidaent1 dependedeloqueocurreeneseinstanteoantes Relacincausaefecto.

Sistemasdinmicoscausalesdiferenciales:

t duty 0 ttufty 1


11 tttufty

Ejemplo:

tututututytytytyfty nn ,,,,,,,,,

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3.Sistemascontinuosydiscretos. Sistemaslineales:

Larelacinentrelaentradaylasalidaesunaec.diferenciallineal. Sistemasinvariantes:

Todosloscoeficientesai,bi soncontantes(ecuacindiferenciallinealconcoeficientesconstantes.

Lossistemasinvariantesverificanlosprincipiosdelinealidadeinvarianza.

tubtubtubtubtyatyatyaty mmmmnnn 01110111

Principio de Linealidad Principio de Invarianza


Enelbloque2estudiaremoslossistemascontinuosdeestaformagenrica. Sistemaslinealeseinvariantes:Estudiaremossucomportamientoydesarrollaremos

herramientasparasuanlisis. Sistemasnolineales:Estudiaremoscmoaproximarlosasistemaslineales.

Estosmtodosdeanlisisgeneralessernaplicablesadistintostiposdesistemasfsicos.

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3.Sistemascontinuosydiscretos. Tiposdesistemasdiscretos: Relacin funcional entre las

secuencias de entrada y de salida y[k] = f(u[k])

Modelo del sistema.

Sistemasestticos:Valordelasecuenciadesalidaparaunndiceconcretok1 slodependedelvalordelasecuenciadeentradaparaesendice.

y[k1] =f(u[k1]) Ejemplo:y[k]=(u[k])2

Sistemasdinmicos. Lasalidaenuninstantedependedetodoslosvaloresdelasecuenciadeentrada(pasadosyfuturos).

Sistemasdinmicoscausales: Lasalidaenuninstantedependedelosvaloresactualyanterioresdelaentrada.

kkufky 1


11 kkkufky

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Sistemasdinmicoscausaleslineales:

Lasalidaactualdependelinealmentedesalidasanterioresydelaentradaactualyanteriores.Ecuacinendiferencias.

Sistemasdinmicoscausaleslinealesinvariantes: Todosloscoeficientesai,bi sonconstantes(ecuacinendiferenciasdecoeficientes

constantes)


mkubkubkubnkyakyaky mn 11 101

Secuenciadeponderacing[k]:Salidadeunsistemadiscretolinealinvariantecuandolaentradaesunimpulsounitario.

Enunsistemacausal, g[k]esmuyimportanteensistemasdiscretos.Siconocemosg[k],podemoscalcularlasalidadel

sistemaantecualquierentrada. g[k]sirvecomomodelomatemticodelsistemadiscreto.

4.Respuestaimpulsional/Secuenciadeponderacin.

00 kkg

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Todasecuenciadeentradasepuedeexpresarcomo:


22110 kukukunknukun

kku 10

1411 kku

2722 kku

Porejemplo,silaentradaeslasiguientesecuencia: Sepuededescomponercomolasumadesecuencias:

+

+

+

Enunsistemadiscretolinealeinvariante,siconocemoslasecuenciadeponderacing[k],(salidaanteentradaimpulso),podremoscalcularlasalidadelsistemaantecualquierotraentrada.

Unaentradacualquieraesunacombinacinlinealdeentradasimpulso. Lasalidasepuedeexpresarcomolacombinacinlinealdesalidasantecadaentradaimpulso.


n

nknuku

n

nkgnuky

ENTRADAALSISTEMA.

SALIDADELSISTEMA. ECUACINDECONVOLUCINDISCRETA.

Lasecuenciadeponderacing[k]permitecalcularlasalidaantecualquierentrada: g[k] esunMODELODELSISTEMA.

CONVOLUCINDISCRETA:

nnnkungnkgnukgkuky

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Ejemplo1:Unsistemadiscretolinealeinvariantetienecomosecuenciadeponderacing[k]={2,3,1,0,0,0,}.Sepidecalcularlasalidadeestesistemacuandolaentradaes:

a)Lasecuenciau[k]={2,2,0.5,0,0,0,}.b)Escalnunitario.


Respuestaimpulsionalg(t):Salidadeunsistemacontinuolinealinvariantecuandolaentradaesunimpulso.

Enunsistemacausal, g(t)esmuyimportanteensistemascontinuos.Siconocemosg(t),podemoscalcularlasalidadel

sistemaantecualquierentrada. g(t)sirvecomomodelomatemticodelsistemacontinuo.


00 ttg

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Cualquiersealdeentradau(t) sepuededescomponerenpulsosdeancho yalturaelvalordelafuncineneseinstante.


Recordemosquecuandolaentradaesunimpulso(rea=1),lasalidaesg(t).

220 tutututu

casootrotsi

t0

01

Cuandolaentradaesu(t), lasalidaserlacombinacinlinealdesalidasantecadaimpulso.


220 tutututu

0

220

kktgkuty

tgutgutguty

dtguty

dtugdtgututgty

0INTEGRALDECONVOLUCIN

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Portanto,podemoscalcularlasalidadelsistemaantecualquierentradacomo:


ttgttg 000 dtgututgty

Sielsistemaescausal:

dtguty t

Sisuponemoselorigendetiemposent=0:(todaslassealessonnulasparat

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